第06讲 等比数列的前n项和（3个知识点+7类热点题型讲练+习题巩固）-【帮课堂】2024-2025学年高二数学同步学与练（人教B版2019选择性必修第三册）

第06讲 等比数列的前n项和 课程标准 学习目标 1.探索并掌握等比数列的前项和公式； 2.掌握等比数列前项和的性质的应用； 3.能运用等比数列的前项和公式解决一些简单的实际问题。 1.在推导等比数列前项和公式的过程中达成逻辑推理、数学抽象的核心素养； 2.在运用等比数列前项和公式的过程中提升数学建模、逻辑推理和数学运算核心素养； 3.等比数列前项和的性质。 知识点01 等比数列的前n项和公式 1、等比数列的前n项和公式 若等比数列{}的首项为，公比为q，则等比数列{}的前n项和公式为 =. 【解读】 ①错位相减法是一种非常常见和重要的数列求和方法，适用于一个等比数列和一个等比数列对应项的积组成的数列求和问题，要求理解并掌握此法． ②在求等比数列前项和时，要注意区分和． ③当时，等比数列的两个求和公式，共涉及、、、、五个量，已知其中任意三个量，通过解方程组，便可求出其余两个量． 【即学即练1】（24-25高二上·全国·随堂练习）等比数列的首项，公比，则等于（    ） A． B．31 C． D．63 【答案】D 【分析】利用等比数列前项和公式求解. 【详解】因为等比数列的首项，公比， 所以. 故选：D. 知识点02 等比数列前n项和的函数特征 1．与的关系 (1)当q=1时，=是关于n的正比例函数，点(n,)是直线y=x上的一群孤立的点. (2)当q≠1时，=.记A=，则=+A是一个指数式与一个常 数的和.当q>0且q≠1时，y=是指数函数，此时，点(n,)是指数型函数y=+A图象上的一群孤立的点. 2．Sn与an的关系 当公比q≠1时，等比数列的前n项和公式是，它可以变形为,设，则上式可以写成的形式，则Sn是an的一次函数. 【即学即练2】（23-24高二下·北京怀柔·期末）若是公比为的等比数列，其前项和为 ，，则“”是“单调递增”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】结合等比数列性质判断“”和“单调递增”之间的逻辑关系，即可得答案. 【详解】由题意可知是公比为的等比数列， 当，时，则， 由于，，且随n的增大而减小，故单调递增， 当，时，也单调递增，推不出， 故“”是“单调递增”的充分而不必要条件， 故选：A 知识点03等比数列前项和的性质 1、等比数列中，若项数为，则；若项数为，则． 2、若等比数列的前n项和为，则，，…成等比数列（其中，，…均不为0）． 3、若一个非常数列的前n项和，则数列为等比数列． 【即学即练3】（24-25高三上·安徽·期中）记为正项等比数列的前项和，若，，则（    ） A．6 B．9 C．12 D．15 【答案】B 【分析】运用等比数列前项和的性质，即：等比数列依次项的和仍为等比数列求解即可. 【详解】设正项等比数列的公比为， 由题意知，， 所以，，成等比数列， 所以，即， 解得（舍负）. 故选：B. 题型01 等比数列前项和的有关计算 【典例1】（24-25高二上·福建龙岩·月考）在等比数列中，已知，，，则n的值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【解析】在等比数列中，，，，所以， 由，及通项公式， 可得，解得.故选：B. 【变式1】（23-24高二上·云南昆明·月考）（多选）等比数列的前n项和为，若，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】BD 【解析】根据题意设等比数列的首项为，公比为， 当时，由可得，则满足题意，此时； 当时，由可得， 两式相除整理可得，解得，此时. 综上可得或.故选：BD 【变式2】（23-24高二下·四川南充·月考）（多选）已知等比数列的前n项和为，，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】设数列的公比为，由题意可得， 则有，， 即， 故，则，即， 故，则， 故B、C、D正确，A错误.故选：BCD. 【变式3】（24-25高二上·安徽阜阳·月考）在等比数列中，记其前项和为，已知，则的值为（    ） A．2 B．17 C．2或8 D．2或17 【答案】D 【解析】由等比数列的通项公式可得， 整理得，解得或． 当1时，； 当时，． 所以的值为2或17．故选：D． 【变式4】（2024·高二·江苏南京·阶段练习）记为等比数列的前项和，若，则 . 【答案】/ 【解析】设公比为，因为，所以由得，即，解得， 所以. 故答案为：. 题型02 等比数列片段和的性质 【典例2】（2024高二上·宁夏银川·阶段练习）设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S3=8，S6=7，则S9等于（    ） A． B．- C． D． 【答案】C 【分析】利用等比数列中，，，成等比数列的这个性质解决问题. 【详解】已知：，，成等比数列， 且：，，∴， ∴. 故选：C 【变式1】（2024高二下·河南洛阳·阶段练习）设等比数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C． D．3 【答案】C 【分析】根据等比数列的求和公式或者等比数列的性质解析即可； 【详解】法一：设等比数列的公比为，若，则，所以； 由，得，即，所以， 解得，则. 故选：C. 法二：设等比数列的公比为，若，则，所以； 由等比数列的性质知成等比数列，其公比为，设，显然，则，， 所以，所以. 故选：C. 【变式2】（23-24高二上·福建龙岩·月考）在等比数列中，前n项和为， ， ，则+（    ） A．22 B．210 C．640 D．2560 【答案】C 【解析】由，由题设易知：、、、成等比数列， 所以，即， 同理，即.故选：C 【变式3】（23-24高二上·江苏南京·月考）已知等比数列的前项和满足，满足，，则 . 【答案】210 【解析】由等比数列的性质可得：，，也成等比数列， 所以，即，所以. 故答案为：210 题型03 等比数列前n项和公式的特征及应用 【典例3】（2024高二下·青海海东·阶段练习）在等比数列中，前项和，则实数的值为 ． 【答案】/ 【分析】利用与的关系求出的通项，可解出的值，再验证此时数列是等比数列即可. 【详解】，当时，， 依题意，也应满足，所以有，得． 此时，，，满足是等比数列，所以. 故答案为： 【变式1】（2024·高二·江西吉安·期末）设等比数列的前n项和为，且，则（    ） A． B． C．0 D．2 【答案】C 【解析】设等比数列的公比为， 等比数列的前n项和为，显然当时不合题意，则不等于1， 则， 令，则有，由题意，得. 故选：C. 【变式2】（23-24高二上·河南新乡·期末）已知等比数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由， 当时，，可得， 当时，， 因为数列为等比数列，可得，解得.故选：D. 【变式3】（23-24高二上·江苏常州·月考）数列的前n项和，数列的前n项和为，则=（    ） A．192 B．190 C．180 D．182 【答案】B 【解析】当时，， 当时，， 经检验满足上式，所以， 设，则 ， 所以.故选：B 【变式4】（2024·西藏林芝·模拟预测）等比数列的前项和，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】若等比数列的公比为， 因为， 则，矛盾，故 设等比数列公比为，则， 即等比数列的前项和要满足， 又因为，所以. 故选：B 题型04 等比数列奇偶项的和 【典例4】（23-24高二下·云南保山·开学考试）等比数列的首项为2，项数为奇数，其奇数项之和为，偶数项之和为，则这个等比数列的公比q＝ . 【答案】/0.5 【解析】设数列共有项， 由题意得，， 则，解得， 故答案为： 【变式1】（24-25高二上·上海·月考）等比数列共有2n项，其和为240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比 . 【答案】 【解析】设等比数列的奇数项的和、偶数项的和分别为，. 由题意可得解得 所以． 故答案为：. 【变式2】（24-25高二上·福建龙岩·月考）若等比数列共有项，其公比为2，其奇数项和比偶数项和少100，则数列的所有项之和为 ． 【答案】300 【解析】设等比数列的奇数项之和为，偶数项之和为， 则， ， 由题意可得：，即，解得， 故数列的所有项之和是. 故答案为：300. 【变式3】已知一个项数为偶数的等比数列，所有项之和为所有偶数项之和的倍，前项之积为，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可得所有项之和是所有偶数项之和的倍， 所以，，故 设等比数列的公比为，设该等比数列共有项， 则，所以，， 因为，可得，因此，.故选：C. 题型05 等比数列前n项和的实际应用 【典例5】（23-24高二下·海南海口·期末）小明同学利用暑假时间到一家商场勤工俭学，该商场向他提供了三种付款方式：第一种，每天支付150元；第二种，第一天付10元，第二天付30元，第三天付50元，以后每天比前一天多20元；第三种，第一天付元，以后每天比前一天翻一番（即增加一倍）；如果小明预计工作12天，从总收入最高的角度，小明会选择哪种方式领取报酬（    ） A．第一种 B．第二种 C．第三种 D．无法判断 【答案】C 【解析】第一种可以领取报酬元； 第二种每天的报酬构成以为首项，公差为的等差数列， 则第二种可以领取报酬元； 第三种每天的报酬构成以为首项，公比为的等比数列， 则第三种可以领取报酬元， 因为，从总收入最高的角度，小明会选择第三种方式领取报酬．故选：C． 【变式1】（23-24高二下·广东广州·期中）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地.”则该人第一天走的路程为 里. 【答案】192 【解析】设第一天走里，则每日行走里程构成以为首项，为公比的等比数列. 由题意得，解得， 所以该人第一天走的路程为192里. 故答案为：192 【变式2】（23-24高二下·河南南阳·期中）刚考入大学的小明准备向银行贷款a元购买一台笔记本电脑，然后上学的时候通过勤工俭学来分期还款．小明与银行约定：每个月月末还一次款，分12次还清所有的欠款，且每个月还款的钱数都相等，贷款的月利率为t．则小明每个月所要还款的钱数为（    ）元． A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设小明每个月所要还款的钱数为元， 根据等额本息还款法得，第一个月末所欠银行贷款为：， 第二个月末所欠银行贷款数为：； ．．．， 第12个月末所欠银行贷款为： ； 由于分12次还清所有的欠款，所以，解得.故选：D． 【变式3】（2024高三上·天津·期中）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则该人第一天走的路程为（    ） A．228里 B．192里 C．126里 D．63里 【答案】B 【分析】应用等比数列的求和公式可得答案. 【详解】由题意得，该人所走路程构成以为公比的等比数列，令该数列为，其前项和为， 则有，解得， 故选：B. 题型06 等比数列求和中的图推问题 【典例6】（2024·高二·江苏南通·期中）如下图所示：一个正三角形被分成四个全等的小正三角形，将其中间小正三角形挖去如图（1）；再将剩余的每一个正三角形都分成四个全等的小正三角形，并将中间的小正三角形挖去，得到图（2）……如此继续下去，设原正三角形边长为4，则第5张图中被挖掉的所有正三角形面积的和为 . 【答案】 【解析】设第次挖去的正三角形个数为，对应的每一个正三角形面积为， 所以第次挖去的正三角形总面积为， 由题知，，即为等比数列，公比为，首项为， 所以； 设原正三角形的面积为，由于原正三角形边长为4，故. 由题知，，即为等比数列，公比为，首项为， 所以， 所以， 由于，故为等比数列， 所以的前项和为， 所以当时，图中被挖掉的所有正三角形面积的和为 故答案为： 【变式1】（2024·北京·一模）如图所示：正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形腰上再连接正方形，…，如此继续下去得到一个树形图形，称为“勾股树”．若某勾股树含有个正方形，且其最大的正方形的边长为，则其最小正方形的边长为 ． 【答案】 【解析】由题意，正方形的边长构成以为首项，以为公比的等比数列，现已知共得到个正方形，则有，∴，∴最小正方形的边长为，故答案为. 【变式2】（2024·贵州·模拟预测）拓扑结构图在计算机通信、计算机网络结构设计和网络维护等方面有着重要的作用.某树形拓扑结构图如图所示，圆圈代表节点，每一个节点都有两个子节点，则到第10层一共有 个节点.（填写具体数字） 【答案】1023 【解析】由图可知，每一层节点的个数组成以1为首项，2为公比的等比数列， 所以到第10层节点的总个数是. 故答案为：1023. 【变式3】（2024·陕西西安·一模）在《庄子·天下》中提到：“一尺之锤，日取其半，万世不竭”，蕴含了无限分割、等比数列的思想，体现了古人的智慧．如图，正方形的边长为，取正方形各边的中点、、、，作第二个正方形，然后再取正方形各边的中点、、、，作第三个正方形，依此方法一直继续下去，记第一个正方形的面积为，第二个正方形的面积为，，第个正方形的面积为，则前个正方形的面积之和为 ． 【答案】 【解析】设第个正方形的边长为，由题意可得，且， 故数列是以为首项，以为公比的等比数列， 所以，，且， 所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列， 因此，前个正方形的面积之和为. 故答案为：. 题型07 等比数列求和中的最值范围问题 【典例7】（24-25高二上·江苏·期中）已知无穷等比数列的前项和为，且，则下列说法正确的是（   ） A．是递增数列 B．是递减数列 C．一定有最大值 D．一定有最小值 【答案】D 【解析】设等比数列的公比为，由，得，则， 对于AB，当时，，则，数列不单调，AB错误； 对于C，当时，，是递增数列，无最大值，C错误； 对于D，当时，；当时，， 若为奇数，；若为偶数，， 而， 因此当时，对任意整数，，D正确. 【变式1】（23-24高二上·安徽合肥·期末）已知数列的前n项和满足，（），则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意知，则，且， 两式相减得：，因为，所以，故， 则数列是首项为，公比为的等比数列， 所以， 由于随n的增大而减小，故单调递增，所以， 综上，.故选：C 【变式2】（2024高二·全国·课后作业）设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，且满足条件，，，则下列结论错误的是（    ） A． B． C．的最大值为 D．的最大值为 【答案】C 【分析】讨论与不成立可判断A；利用等比数列的下标和性质可判断B；根据单调递增可判断C；根据的取值可判断D. 【详解】若，则，，所以，与矛盾； 若，则因为，所以，，则，与矛盾， 因此，所以A正确． 因为，所以，因此，即B正确． 因为，所以单调递增，即的最大值不为，C错误． 因为当时，，当时，， 所以的最大值为，即D正确． 故选：C 【变式3】（24-25高二上·甘肃酒泉·期中）已知等比数列的前n项和，，则a＝ ；设数列的前n项和为，若对恒成立，则实数λ的取值范围为 ． 【答案】 1 【解析】由等比数列的前n项和知，， 所以，所以， 而，， ∴，即， 由上知：，则， ∴， 即， 当时，的最小值为，所以. 故答案为：1； 一、单选题 1．（23-24高二下·广东广州·期末）已知等比数列的首项为1，公比为，则数列的前5项和为（    ） A．11 B．16 C． D． 【答案】A 【分析】根据等比数列前n项和公式求解. 【详解】根据题意，. 故选：A 2．（23-24高二下·云南楚雄·期末）设等比数列的前项和为，则（    ） A． B．63 C． D．31 【答案】A 【分析】由题意知，继而由，解得， 利用等比数列的前项和公式代入求值即可. 【详解】设等比数列的公比为，则， 由，解得， 故． 故选：A. 3．（24-25高二上·全国·课后作业）某工厂去年产值为，计划今后年内每年比上年产值增加，则从今年起到第年，这个厂的总产值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等比数列求和公式计算化简即可. 【详解】从今年起到第年，这个厂的总产值为， 故选：B. 4．（24-25高二上·天津红桥·阶段练习）在等比数列中，则 （    ） A． B．31 C．31或-11 D．31或11 【答案】D 【分析】求出数列的公比，进而求出其前5项和. 【详解】设等比数列的公比为，则，解得或， 所以或. 故选：D 5．（22-23高三下·重庆北碚·阶段练习）已知各项均为正数的等比数列满足：，则（    ） A．60 B．32 C．15 D．20 【答案】A 【分析】设等比数列的公比为，由两个等式求得，再利用等比数列部分和的特征，将拆项分组求和. 【详解】设等比数列的公比为.由， 可得，因，解得. 则 . 故选：A. 6．（24-25高三上·辽宁·期中）数列中，已知对任意自然数，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件，利用与，求得，进而得到，再利用等比数列的前和公式，即可求解. 【详解】因为①， 当时，②，由①②得， 又，满足，所以， 由，得到， 所以， 故选：C. 7．（24-25高二上·全国·课后作业）已知一个等比数列的项数是偶数，其奇数项之和为1012，偶数项之和为2024，则这个数列的公比为（   ） A．8 B． C．4 D．2 【答案】D 【分析】根据题意结合等比数列的性质运算求解. 【详解】由题意可知：， 所以． 故选：D. 8．（22-23高一下·北京海淀·期末）已知等比数列的前n项和为，其中，则“”是“无最大值”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由等比数列中等价于公比或，结合前项和公式单调性的判定可得其是否具有充分性，必要性方面举反例发现无最大值不一定推得,继而选项可定. 【详解】充分性：设等比数列的公比为， ，， ， 可得或， 又， 当时，若为奇数，， ，，当为奇数时单调增，则无最大值， 当时， ，,单调增, 则无最大值； 必要性：当时，，又，则无最大值. 可得“”不是“无最大值”的必要条件； 由此可知“”是“无最大值”的充分不必要条件. 故选：A. 二、多选题 9．（23-24高二下·辽宁·期中）已知等比数列的公比为，前项和为，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】利用题设等式进行等比数列的基本量运算，求得，代入公式即可一一判断. 【详解】依题，，解得故A错误，B正确； 则，，故C错误，D正确. 故选：BD. 10．（24-25高二上·甘肃酒泉·期中）已知是数列的前n项和，，则下列结论正确的是（   ） A．数列是等差数列 B．数列是递增数列 C． D． 【答案】CD 【分析】根据作差得到，结合等比数列的定义及通项公式计算可得. 【详解】因为，当时，，解得； 当时，，则，即， 所以，则是以为首项，为公比的等比数列， 所以，则，故A错误，C、D正确； 又，所以数列是递减数列，故B错误； 故选：CD 11．（23-24高二下·陕西渭南·期末）设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，若，，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．数列中的最大值是 D．数列无最大值 【答案】ABC 【分析】根据题中条件，分析出为单调递减的数列，，.A选项利用即可判断正确；B选项利用等比中项即可判断正确；C选项可分析出数列中多少项比大即可判断；D选项，利用C的判断，可判断D的正误. 【详解】由，，可得为单调递减的数列且， 由可得，. A选项：，显然A正确； B选项：， 根据等比中项可得，显然B正确； C选项：由，为单调递减的数列且， 可知的前2023项（包含2023项）都大于1，从第2024项（包含2024项）往后都小于1， 所以数列中的最大值是，所以C正确； D选项：由C正确可知，有最大值，所以D错误. 故选：ABC. 三、填空题 12．（24-25高二上·上海青浦·阶段练习）若数列为首项为3，公比为2的等比数列，则 ． 【答案】189 【分析】根据给定条件，利用等比数列前项和公式计算即得. 【详解】由数列为首项为3，公比为2的等比数列，得. 故答案为：189 13．（2024·全国·模拟预测）已知等比数列的前项和为，若，为实数，则 . 【答案】 【分析】根据已知和求通项及等比数列通项公式可得结果. 【详解】当时，， 当时，， 所以，，因为为等比数列，所以， 即，解得或0（舍去）， 所以，，公比，所以. 故答案为：. 14．（24-25高二上·广西南宁·阶段练习）《庄子·天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”. 已知长度为的线段PQ，取PQ的中点，以为边作等边三角形（如图1），该等边三角形的面积为，再取的中点，以为边作等边三角形（如图2），图2中所有的等边三角形的面积之和为，以此类推，则 . 【答案】/ 【分析】先由题意推导每个正三角形的面积可构成等比数列，再利用等比数列求和公式求解即可. 【详解】由题可得，， 从第2个等边三角形起，每个三角形的面积为前一个三角形面积的， 故每个正三角形的面积可构成一个以为首项，为公比的等比数列， 则. 故答案为：. 四、解答题 15．（24-25高三上·广东·开学考试）设公比不为1的等比数列的前项和为，且． (1)求的公比； (2)若，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意列方程即可求解； （2）由题意得，结合等比数列求和公式即可求解. 【详解】（1）设的公比为， ，， ，， ，. （2），， （或） ， . 16．（24-25高二上·甘肃兰州·期中）已知数列满足，点在直线上. (1)设，证明为等比数列； (2)求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据题意整理可得，结合等比数列的定义分析判断； （2）由（1）可得，利用分组求和结合等比数列求和公式运算求解. 【详解】（1）因点在直线，则. 可得， 即，且， 所以数列是以为首项，公比为的等比数列. （2）由（1）可知：，即 所以. 17．（24-25高二上·安徽阜阳·期中）已知是单调递增的等差数列，，且成等比数列． (1)求的通项公式； (2)若，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）运用等比中项公式，结合等差数列的通项公式计算即可； （2）运用对数性质，结合等比数列求和公式计算. 【详解】（1）设的公差为， 由，得，则． 由成等比数列，得，则， 而是单调递增的等差数列，所以，所以． 解方程组得 所以的通项公式为． （2）由，可得，所以． 故是以为首项，公比为的等比数列， 所以． 18．（24-25高二上·福建·期中）已知数列满足，，.记. (1)证明：数列是等比数列. (2)求的通项公式. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由递推关系式结合等比数列的定义即可得证； （2）由等比数列求和公式以及累加法即可求解. 【详解】（1）因为，所以， 所以，所以. 因为，所以是首项为3，公比为3的等比数列， 所以. （2）由（1）知， 所以，，，…，， 累加可得. 因为，所以, 因为符合上式，所以. 19．（24-25高二上·河南信阳·期中）已知正项数列的前n项和为，且满足，. (1)求证：数列为等差数列，并求出它的通项公式； (2)若数列的前n项和为，恒成立，求实数的最大值； 【答案】(1)证明见解析， (2) 【分析】（1）利用的关系，作差即可得，利用等差数列的定义即可求解. （2）根据等差求和可得，即可分离参数得，根据的单调性求解最值即可求解. 【详解】（1）由可得， 相减可得， 因此， 由于为正项数列，所以，因此， 故， 故数列为等差数列，且公差为2， 又，所以， 故 （2），故， 由可得，化简可得， 因此， 记，则 ， 当时，，故，而， 当时，， ，故， 故为数列的最小项，故， 故的最大值为 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第06讲 等比数列的前n项和 课程标准 学习目标 1.探索并掌握等比数列的前项和公式； 2.掌握等比数列前项和的性质的应用； 3.能运用等比数列的前项和公式解决一些简单的实际问题。 1.在推导等比数列前项和公式的过程中达成逻辑推理、数学抽象的核心素养； 2.在运用等比数列前项和公式的过程中提升数学建模、逻辑推理和数学运算核心素养； 3.等比数列前项和的性质。 知识点01 等比数列的前n项和公式 1、等比数列的前n项和公式 若等比数列{}的首项为，公比为q，则等比数列{}的前n项和公式为 =. 【解读】 ①错位相减法是一种非常常见和重要的数列求和方法，适用于一个等比数列和一个等比数列对应项的积组成的数列求和问题，要求理解并掌握此法． ②在求等比数列前项和时，要注意区分和． ③当时，等比数列的两个求和公式，共涉及、、、、五个量，已知其中任意三个量，通过解方程组，便可求出其余两个量． 【即学即练1】（24-25高二上·全国·随堂练习）等比数列的首项，公比，则等于（    ） A． B．31 C． D．63 知识点02 等比数列前n项和的函数特征 1．与的关系 (1)当q=1时，=是关于n的正比例函数，点(n,)是直线y=x上的一群孤立的点. (2)当q≠1时，=.记A=，则=+A是一个指数式与一个常 数的和.当q>0且q≠1时，y=是指数函数，此时，点(n,)是指数型函数y=+A图象上的一群孤立的点. 2．Sn与an的关系 当公比q≠1时，等比数列的前n项和公式是，它可以变形为,设，则上式可以写成的形式，则Sn是an的一次函数. 【即学即练2】（23-24高二下·北京怀柔·期末）若是公比为的等比数列，其前项和为 ，，则“”是“单调递增”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 知识点03等比数列前项和的性质 1、等比数列中，若项数为，则；若项数为，则． 2、若等比数列的前n项和为，则，，…成等比数列（其中，，…均不为0）． 3、若一个非常数列的前n项和，则数列为等比数列． 【即学即练3】（24-25高三上·安徽·期中）记为正项等比数列的前项和，若，，则（    ） A．6 B．9 C．12 D．15 题型01 等比数列前项和的有关计算 【典例1】（24-25高二上·福建龙岩·月考）在等比数列中，已知，，，则n的值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式1】（23-24高二上·云南昆明·月考）（多选）等比数列的前n项和为，若，则（    ） A． B． C．1 D．2 【变式2】（23-24高二下·四川南充·月考）（多选）已知等比数列的前n项和为，，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25高二上·安徽阜阳·月考）在等比数列中，记其前项和为，已知，则的值为（    ） A．2 B．17 C．2或8 D．2或17 【变式4】（2024·高二·江苏南京·阶段练习）记为等比数列的前项和，若，则 . 题型02 等比数列片段和的性质 【典例2】（2024高二上·宁夏银川·阶段练习）设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S3=8，S6=7，则S9等于（    ） A． B．- C． D． 【变式1】（2024高二下·河南洛阳·阶段练习）设等比数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C． D．3 【变式2】（23-24高二上·福建龙岩·月考）在等比数列中，前n项和为， ， ，则+（    ） A．22 B．210 C．640 D．2560 【变式3】（23-24高二上·江苏南京·月考）已知等比数列的前项和满足，满足，，则 . 题型03 等比数列前n项和公式的特征及应用 【典例3】（2024高二下·青海海东·阶段练习）在等比数列中，前项和，则实数的值为 ． 【变式1】（2024·高二·江西吉安·期末）设等比数列的前n项和为，且，则（    ） A． B． C．0 D．2 【变式2】（23-24高二上·河南新乡·期末）已知等比数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式3】（23-24高二上·江苏常州·月考）数列的前n项和，数列的前n项和为，则=（    ） A．192 B．190 C．180 D．182 【变式4】（2024·西藏林芝·模拟预测）等比数列的前项和，则（    ） A． B． C． D． 题型04 等比数列奇偶项的和 【典例4】（23-24高二下·云南保山·开学考试）等比数列的首项为2，项数为奇数，其奇数项之和为，偶数项之和为，则这个等比数列的公比q＝ . 【变式1】（24-25高二上·上海·月考）等比数列共有2n项，其和为240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比 . 【变式2】（24-25高二上·福建龙岩·月考）若等比数列共有项，其公比为2，其奇数项和比偶数项和少100，则数列的所有项之和为 ． 【变式3】已知一个项数为偶数的等比数列，所有项之和为所有偶数项之和的倍，前项之积为，则（ ） A． B． C． D． 题型05 等比数列前n项和的实际应用 【典例5】（23-24高二下·海南海口·期末）小明同学利用暑假时间到一家商场勤工俭学，该商场向他提供了三种付款方式：第一种，每天支付150元；第二种，第一天付10元，第二天付30元，第三天付50元，以后每天比前一天多20元；第三种，第一天付元，以后每天比前一天翻一番（即增加一倍）；如果小明预计工作12天，从总收入最高的角度，小明会选择哪种方式领取报酬（    ） A．第一种 B．第二种 C．第三种 D．无法判断 【变式1】（23-24高二下·广东广州·期中）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地.”则该人第一天走的路程为 里. 【变式2】（23-24高二下·河南南阳·期中）刚考入大学的小明准备向银行贷款a元购买一台笔记本电脑，然后上学的时候通过勤工俭学来分期还款．小明与银行约定：每个月月末还一次款，分12次还清所有的欠款，且每个月还款的钱数都相等，贷款的月利率为t．则小明每个月所要还款的钱数为（    ）元． A． B． C． D． 【变式3】（2024高三上·天津·期中）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则该人第一天走的路程为（    ） A．228里 B．192里 C．126里 D．63里 题型06 等比数列求和中的图推问题 【典例6】（2024·高二·江苏南通·期中）如下图所示：一个正三角形被分成四个全等的小正三角形，将其中间小正三角形挖去如图（1）；再将剩余的每一个正三角形都分成四个全等的小正三角形，并将中间的小正三角形挖去，得到图（2）……如此继续下去，设原正三角形边长为4，则第5张图中被挖掉的所有正三角形面积的和为 . 【变式1】（2024·北京·一模）如图所示：正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形腰上再连接正方形，…，如此继续下去得到一个树形图形，称为“勾股树”．若某勾股树含有个正方形，且其最大的正方形的边长为，则其最小正方形的边长为 ． 【变式2】（2024·贵州·模拟预测）拓扑结构图在计算机通信、计算机网络结构设计和网络维护等方面有着重要的作用.某树形拓扑结构图如图所示，圆圈代表节点，每一个节点都有两个子节点，则到第10层一共有 个节点.（填写具体数字） 【变式3】（2024·陕西西安·一模）在《庄子·天下》中提到：“一尺之锤，日取其半，万世不竭”，蕴含了无限分割、等比数列的思想，体现了古人的智慧．如图，正方形的边长为，取正方形各边的中点、、、，作第二个正方形，然后再取正方形各边的中点、、、，作第三个正方形，依此方法一直继续下去，记第一个正方形的面积为，第二个正方形的面积为，，第个正方形的面积为，则前个正方形的面积之和为 ． 题型07 等比数列求和中的最值范围问题 【典例7】（24-25高二上·江苏·期中）已知无穷等比数列的前项和为，且，则下列说法正确的是（   ） A．是递增数列 B．是递减数列 C．一定有最大值 D．一定有最小值 【变式1】（23-24高二上·安徽合肥·期末）已知数列的前n项和满足，（），则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2024高二·全国·课后作业）设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，且满足条件，，，则下列结论错误的是（    ） A． B． C．的最大值为 D．的最大值为 【变式3】（24-25高二上·甘肃酒泉·期中）已知等比数列的前n项和，，则a＝ ；设数列的前n项和为，若对恒成立，则实数λ的取值范围为 ． 一、单选题 1．（23-24高二下·广东广州·期末）已知等比数列的首项为1，公比为，则数列的前5项和为（    ） A．11 B．16 C． D． 2．（23-24高二下·云南楚雄·期末）设等比数列的前项和为，则（    ） A． B．63 C． D．31 3．（24-25高二上·全国·课后作业）某工厂去年产值为，计划今后年内每年比上年产值增加，则从今年起到第年，这个厂的总产值为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·天津红桥·阶段练习）在等比数列中，则 （    ） A． B．31 C．31或-11 D．31或11 5．（22-23高三下·重庆北碚·阶段练习）已知各项均为正数的等比数列满足：，则（    ） A．60 B．32 C．15 D．20 6．（24-25高三上·辽宁·期中）数列中，已知对任意自然数，则等于（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高二上·全国·课后作业）已知一个等比数列的项数是偶数，其奇数项之和为1012，偶数项之和为2024，则这个数列的公比为（   ） A．8 B． C．4 D．2 8．（22-23高一下·北京海淀·期末）已知等比数列的前n项和为，其中，则“”是“无最大值”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 二、多选题 9．（23-24高二下·辽宁·期中）已知等比数列的公比为，前项和为，若，则（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高二上·甘肃酒泉·期中）已知是数列的前n项和，，则下列结论正确的是（   ） A．数列是等差数列 B．数列是递增数列 C． D． 11．（23-24高二下·陕西渭南·期末）设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，若，，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．数列中的最大值是 D．数列无最大值 三、填空题 12．（24-25高二上·上海青浦·阶段练习）若数列为首项为3，公比为2的等比数列，则 ． 13．（2024·全国·模拟预测）已知等比数列的前项和为，若，为实数，则 . 14．（24-25高二上·广西南宁·阶段练习）《庄子·天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”. 已知长度为的线段PQ，取PQ的中点，以为边作等边三角形（如图1），该等边三角形的面积为，再取的中点，以为边作等边三角形（如图2），图2中所有的等边三角形的面积之和为，以此类推，则 . 四、解答题 15．（24-25高三上·广东·开学考试）设公比不为1的等比数列的前项和为，且． (1)求的公比； (2)若，求数列的前项和． 16．（24-25高二上·甘肃兰州·期中）已知数列满足，点在直线上. (1)设，证明为等比数列； (2)求数列的前项和. 17．（24-25高二上·安徽阜阳·期中）已知是单调递增的等差数列，，且成等比数列． (1)求的通项公式； (2)若，求． 18．（24-25高二上·福建·期中）已知数列满足，，.记. (1)证明：数列是等比数列. (2)求的通项公式. 19．（24-25高二上·河南信阳·期中）已知正项数列的前n项和为，且满足，. (1)求证：数列为等差数列，并求出它的通项公式； (2)若数列的前n项和为，恒成立，求实数的最大值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$