第04讲 单位圆与三角函数线（2个知识点+5类热点题型讲练+习题巩固）-【帮课堂】2024-2025学年高一数学同步学与练（人教B版2019必修第三册）

第04讲 单位圆与三角函数线 课程标准 学习目标 1．了解三角函数线的意义，能用三角函数线表示一个角的正弦、余弦和正切．(重点) 2．能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题． 1．通过三角函数线概念的学习，培养学生的数学抽象和直观想象核心素养． 2．借助三角函数线的应用，培养学生的逻辑推理及直观想象核心素养. 知识点01 正弦线与余弦线 1、单位圆与三角函数：在平面直角坐标系中，坐标满足的点做成的集合，角的终边与单位圆相交于点，如图， 则，，，则角的终边与单位圆的交点为 2、三角函数线综合图示 （1）过角的终边与单位圆的交点作轴的垂线，垂足为； （2）角的终边（或其反向延长线）与直线交于点。 3、正弦线的定义：为角的正弦线 的方向与轴的正方向相同时，表示是正数，且； 的方向与轴的正方向相反时，表示是负数，且。 4、余弦线的定义：为角的余弦线 的方向与轴的正方向相同时，表示是正数，且； 的方向与轴的正方向相反时，表示是负数，且。 【即学即练1】（2024高一上·江苏·专题练习）如图，在单位圆中，角α的正弦线、正切线完全正确的是（　　） A．正弦线为，正切线为 B．正弦线为，正切线为 C．正弦线为，正切线为 D．正弦线为，正切线为 知识点02 正切线 1、正切线的定义：为角的正切线 当角的终边在第二、三象限或轴的负半轴上，终边与直线没有交点，但终边的反向延长线与有交点，而且交点的纵坐标也正好是角的正切值。 2、三角函数线的特征 （1）位置：三条三角函数线中有两条在以坐标为原点的单位圆内，一条以坐标原点为圆心的单位圆外； （2）方向：正弦线由垂足指向的终边与单位圆的交点；余弦线由原点指向轴上的垂足；正切线由切点指向切线与的终边（或其反向延长线）的交点； （3）正负：三条三角函数线的正负可简记为“同向为正，反向为负”； （4）书写：起点（比如点）在前，终点（比如点）在后，写为 【即学即练2】（24-25高一上·全国·随堂练习）角和角有相同的（    ） A．正弦值 B．余弦值 C．正切线 D．不能确定 题型01 三角函数线的作法 【典例1】（24-25高一上·全国·课前预习）作出下列各角的正弦线、余弦线与正切线. (1)； (2). 【变式1】（24-25高一上·上海·课前预习）请作出下列各角的正弦线： (1)； (2)； (3). 【变式2】（24-25高一上·全国·课后作业）已知，在单位圆中角θ的正弦线、余弦线、正切线分别是，则它们的大小关系是（    ） A． B． C． D． 题型02 利用三角函数线比较大小 【典例2】（（24-25高一上·全国·课后作业）把，，，由小到大排列为 ． 【变式1】（23-24高一下·北京顺义·阶段练习）已知，那么下列命题成立的是（    ） A．若，是第一象限角，则 B．若，是第二象限角，则 C．若，是第三象限角，则 D．若，是第四象限角，则 【变式2】（24-25高一下·全国·课后作业）利用正弦线比较的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（23-24高一下·北京·期中）若，则下列关系中正确的是（    ） A． B． C． D． 题型03 利用三角函数线解不等式 【典例3】（24-25高一下·广西北海·期中）在上，使不等式成立的x的集合为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2024高一·全国·专题练习）使成立的x的一个变化区间是（    ） A． B． C． D． 【变式2】若，且，，利用三角函数线，得到的取值范围是 . 【变式3】（23-24高一下·上海·假期作业）（1）已知，求：满足条件的角的取值范围； （2）已知，求：满足条件的角的取值范围； 题型04 利用三角函数线证明不等式 【典例4】（24-25高一上·上海·课后作业）应用单位圆证明：若，则. 【变式1】（2024高一·上海·专题练习）若，证明： (1)； (2). 题型05 新定义问题 【典例5】（2024·浙江·二模）古人把正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、正割函数、余割函数、正矢函数、余矢函数这八种三角函数的函数线合称为八线.其中余切函数，正割函数，余割函数，正矢函数，余矢函数.如图角始边为轴的非负半轴，其终边与单位圆交点，、分别是单位圆与轴和轴正半轴的交点，过点作垂直轴，作垂直轴，垂足分别为、，过点作轴的垂线，过点作轴的垂线分别交的终边于、，其中、、、为有向线段，下列表示正确的是（    ）    A． B． C． D． 【变式1】（23-24高一下·湖北·期末）如图所示，角（）的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，其终边与单位圆的交点为，分别过点作轴的垂线，过点作轴的垂线交角的终边于，，根据三角函数的定义，．现在定义余切函数，满足，则下列表示正确的是（    ） A． B． C． D． 一、单选题 1．已知角的正弦线和余弦线的方向相反、长度相等，则的终边在（　　） A．第一象限的角平分线上 B．第四象限的角平分线上 C．第二、第四象限的角平分线上 D．第一、第三象限的角平分线上 2．如图，已知点A是单位圆与x轴的交点，角的终边与单位圆的交点为P，PM⊥x轴于M，过点A作单位圆的切线交角的终边于T，则角的正弦线､余弦线､正切线分别是（    ） A．有向线段OM，AT，MP B．有向线段OM，MP，AT C．有向线段MP，AT，OM D．有向线段MP，OM，AT 3．（23-24高一下·上海·假期作业）若，，则，的大小关系为（    ） A． B． C． D．不能确定 4．如果，则角与的终边除了可能重合外，还有可能（    ） A．关于轴对称 B．关于轴对称 C．关于直线对称 D．关于原点对称 5．在上，利用单位圆，得到成立的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．,,的大小关系是 A． B． C． D． 7．若0<α<2π，且sinα<，cosα>，则角α的取值范围是（    ） A． B． C． D．∪ 8．已知，，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．下列说法正确的是（ ） A．一定时，单位圆中的正弦线也一定 B．在单位圆中，有相同正弦线的角相等 C．和有相同的余弦线 D．具有相同正切线的两角的终边在同一条直线上 10．（23-24高一下·浙江杭州·开学考试）下列不等式中，正确的是（    ）． A． B． C． D． 11．如图，在平面直角坐标系中，以原点O为圆心的圆与x轴正半轴交于点．已知点在圆O上，点T的坐标是，则下列说法中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．，则 D．若，则 三、填空题 12．函数y＝lg(2sinx－1)＋的定义域为 . 13．已知角，则的大小关系为 ． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 单位圆与三角函数线 课程标准 学习目标 1．了解三角函数线的意义，能用三角函数线表示一个角的正弦、余弦和正切．(重点) 2．能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题． 1．通过三角函数线概念的学习，培养学生的数学抽象和直观想象核心素养． 2．借助三角函数线的应用，培养学生的逻辑推理及直观想象核心素养. 知识点01 正弦线与余弦线 1、单位圆与三角函数：在平面直角坐标系中，坐标满足的点做成的集合，角的终边与单位圆相交于点，如图， 则，，，则角的终边与单位圆的交点为 2、三角函数线综合图示 （1）过角的终边与单位圆的交点作轴的垂线，垂足为； （2）角的终边（或其反向延长线）与直线交于点。 3、正弦线的定义：为角的正弦线 的方向与轴的正方向相同时，表示是正数，且； 的方向与轴的正方向相反时，表示是负数，且。 4、余弦线的定义：为角的余弦线 的方向与轴的正方向相同时，表示是正数，且； 的方向与轴的正方向相反时，表示是负数，且。 【即学即练1】（2024高一上·江苏·专题练习）如图，在单位圆中，角α的正弦线、正切线完全正确的是（　　） A．正弦线为，正切线为 B．正弦线为，正切线为 C．正弦线为，正切线为 D．正弦线为，正切线为 【答案】C 【分析】根据三角函数线的定义得到答案. 【详解】角在第三象限，故正弦线为，正切线为. 故选：C 知识点02 正切线 1、正切线的定义：为角的正切线 当角的终边在第二、三象限或轴的负半轴上，终边与直线没有交点，但终边的反向延长线与有交点，而且交点的纵坐标也正好是角的正切值。 2、三角函数线的特征 （1）位置：三条三角函数线中有两条在以坐标为原点的单位圆内，一条以坐标原点为圆心的单位圆外； （2）方向：正弦线由垂足指向的终边与单位圆的交点；余弦线由原点指向轴上的垂足；正切线由切点指向切线与的终边（或其反向延长线）的交点； （3）正负：三条三角函数线的正负可简记为“同向为正，反向为负”； （4）书写：起点（比如点）在前，终点（比如点）在后，写为 【即学即练2】（24-25高一上·全国·随堂练习）角和角有相同的（    ） A．正弦值 B．余弦值 C．正切线 D．不能确定 【答案】C 【分析】根据角和角的终边在一条直线上，结合正切线的作法可得两个角有相同的正切线，得到答案. 【详解】因为，可知角和角的终边互为反向延长线， 即两个角的终边在同一条直线上，设为直线， 因此，过点作单位圆的切线，与直线有且只有一个交点， 可得，都等于有向线段的长，即两角有相同的正切线.    故选：C 题型01 三角函数线的作法 【典例1】（24-25高一上·全国·课前预习）作出下列各角的正弦线、余弦线与正切线. (1)； (2). 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】根据三角函数线概念，结合单位圆和三角函数概念画图即可. 【详解】（1）如图，有向线段DP，OD，AT分别表示的正弦线、余弦线、正切线. （2）如图，有向线段DP，OD，AT分别表示的正弦线、余弦线、正切线. 【变式1】（24-25高一上·上海·课前预习）请作出下列各角的正弦线： (1)； (2)； (3). 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 【分析】根据正弦线的作法即可作出（1）（2）的正弦线； （3）在上，和终边相同的角是，再作出正弦线即可. 【详解】（1）如图所示，正弦线为 （2）如图所示，正弦线为 （3）因为，所以的正弦线和的正弦线一样，如图所示，正弦线为 【变式2】（24-25高一上·全国·课后作业）已知，在单位圆中角θ的正弦线、余弦线、正切线分别是，则它们的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直接根据角的范围，画出的终边大概所在位置，结合三角函数线的定义即可求解. 【详解】画出图象如下图所示，由图可知，. 题型02 利用三角函数线比较大小 【典例2】（（24-25高一上·全国·课后作业）把，，，由小到大排列为 ． 【答案】 【分析】由三角函数的定义，利用三角函数线即可比较大小. 【详解】如图所示，在平面直角坐标系中,以为圆心作单位圆，分别作出已知角， 则，， ，． 而， ∴， ∴． 故答案为： 【变式1】（23-24高一下·北京顺义·阶段练习）已知，那么下列命题成立的是（    ） A．若，是第一象限角，则 B．若，是第二象限角，则 C．若，是第三象限角，则 D．若，是第四象限角，则 【答案】D 【分析】根据题意，结合三角函数线，以及三角函数的定义，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，若，是第一象限角，且，作出三角函数线，如图1所示， 则，因为，所以，所以A错误；      对于B中，若，是第二象限角，且，作出三角函数线得到有向线段， 如图2所示，则，所以，所以B错误；    对于C中，若，是第三象限角，且，作出三角函数线得到有向线段， 如图3所示，则，所以，所以C错误；    对于D中，若，是第四象限角，且，作出三角函数线得到有向线段， 如图4所示，则，所以，所以D正确. 故选：D.    【变式2】（24-25高一下·全国·课后作业）利用正弦线比较的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正弦线的知识求得正确答案. 【详解】依题意，， 在单位圆中，观察正弦线可知， 在区间，的长度随着增大而增大， 所以 故选：D    【变式3】（23-24高一下·北京·期中）若，则下列关系中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，在坐标系画出单位圆，并且作出角的正弦线、余弦线和正切线，再由的范围比较三角函数线的大小即可. 【详解】由三角函数线定义作出如图： 是角的终边，圆是单位圆， 则，，， ， ，即. 故选：D 题型03 利用三角函数线解不等式 【典例3】（24-25高一下·广西北海·期中）在上，使不等式成立的x的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知条件，结合余弦函数的图象，即可求解． 【详解】由，则， 又，所以所求集合为． 故选：A． 【变式1】（2024高一·全国·专题练习）使成立的x的一个变化区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角函数线，即可得出相应的区间. 【详解】当x的终边落在如图所示的阴影部分时，满足．    故选：A 【变式2】若，且，，利用三角函数线，得到的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据单位圆及三角函数线直接求解即可. 【详解】如图所示单位圆，由于，，若终边为（不可取）， 所以满足，且，， 所以的取值范围是.    故答案为： 【变式3】（23-24高一下·上海·假期作业）（1）已知，求：满足条件的角的取值范围； （2）已知，求：满足条件的角的取值范围； 【答案】（1）；（2）或 【分析】（1）画出画出单位圆中三角函数线，结合图象可得.     （2）画出画出单位圆中三角函数线，结合图象可得或. 【详解】（1）由可知，角x对应的正弦线方向朝上，而且长度为， 作示意图，如图所示，    可知角的终边可能是，也可能是， 又因为，所以或， 再由图可知，如果的终边在中，则一定有， 因此，满足条件的角的取值范围. （2）画出单位圆中三角函数线，如图． 由图可知角的范围是： 或. 题型04 利用三角函数线证明不等式 【典例4】（24-25高一上·上海·课后作业）应用单位圆证明：若，则. 【答案】证明见解析 【分析】通过三角函数线可得：，，，则只需比较，，的大小，转换为面积，即可得到大小关系，得证. 【详解】证明：如图，由三角函数线得：，，，    ∵， ∴， ∴，即. 【变式1】（2024高一·上海·专题练习）若，证明： (1)； (2). 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）利用正切线与余弦线的定义，结合三角形两边之和大于第三边即可得证； （2）利用三角函数线的定义，结合三角形与扇形的面积大小即可得证. 【详解】（1）如图，在平面直角坐标系中作出角，角的正弦线和余弦线.    由，为直角三角形，且，，， 在中，，所以. （2）如图，，分别为角的正弦线和正切线，连结，    由，显然有， 而，， ， 所以，即. 题型05 新定义问题 【典例5】（2024·浙江·二模）古人把正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、正割函数、余割函数、正矢函数、余矢函数这八种三角函数的函数线合称为八线.其中余切函数，正割函数，余割函数，正矢函数，余矢函数.如图角始边为轴的非负半轴，其终边与单位圆交点，、分别是单位圆与轴和轴正半轴的交点，过点作垂直轴，作垂直轴，垂足分别为、，过点作轴的垂线，过点作轴的垂线分别交的终边于、，其中、、、为有向线段，下列表示正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用单位圆以及三角函数的定义可知，，，然后结合新定义简单计算可判断各个选项. 【详解】根据题意，易得， 对于A，因为，即，故A错误； 对于B，根据三角函数定义结合相似三角形相似比可得，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，根据三角函数定义结合相似三角形相似比可得，故D错误. 故选：C. 【变式1】（23-24高一下·湖北·期末）如图所示，角（）的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，其终边与单位圆的交点为，分别过点作轴的垂线，过点作轴的垂线交角的终边于，，根据三角函数的定义，．现在定义余切函数，满足，则下列表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用三角形相似，即可求解. 【详解】由图象可知，， 则，即， 所以. 故选：D 一、单选题 1．已知角的正弦线和余弦线的方向相反、长度相等，则的终边在（　　） A．第一象限的角平分线上 B．第四象限的角平分线上 C．第二、第四象限的角平分线上 D．第一、第三象限的角平分线上 【答案】C 【分析】由题意可知角终边上的点的纵坐标和横坐标互为相反数，即可得出答案. 【详解】因为角的正弦线和余弦线的方向相反、长度相等， 所以角终边上的点的纵坐标和横坐标互为相反数， 所以的终边在第二、第四象限的角平分线上. 故选：C. 2．如图，已知点A是单位圆与x轴的交点，角的终边与单位圆的交点为P，PM⊥x轴于M，过点A作单位圆的切线交角的终边于T，则角的正弦线､余弦线､正切线分别是（    ） A．有向线段OM，AT，MP B．有向线段OM，MP，AT C．有向线段MP，AT，OM D．有向线段MP，OM，AT 【答案】D 【分析】根据题图及三角函数线的定义判断角的正弦线､余弦线､正切线. 【详解】由题图知：圆O为单位圆，则， 且， 故角的正弦线､余弦线､正切线分别是有向线段MP，OM，AT. 故选：D 3．（23-24高一下·上海·假期作业）若，，则，的大小关系为（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】B 【分析】作出的正弦线、余弦线，即可判断. 【详解】因为，作出的正弦线，余弦线， 所以，，所以，即． 故选：B 4．如果，则角与的终边除了可能重合外，还有可能（    ） A．关于轴对称 B．关于轴对称 C．关于直线对称 D．关于原点对称 【答案】A 【分析】由单位圆中的余弦线即可求解. 【详解】如图：角的终边与单位圆相交于点，过点作轴于点， 由三角函数线的定义可知：， 由图知：设角的终边与单位圆相交于点，当角的终边与角的终边关于轴对称时， 过点作轴的垂线，则垂足为点，所以， 所以当角与的终边关于轴对称时，， 故选：A. 5．在上，利用单位圆，得到成立的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正余弦、正切函数的定义，应用数形结合判断即可. 【详解】如图所示， 在单位圆中，设，则，，， 由图形可得在第一象限均大于0，在第一象限恒成立，即在第一象限恒成立，以为分界线，当时，即，当时，即；综上在第一象限无解； 由图形可得在第二象限大于0，均小于0，所以在第二象限无解； 由图形可得在第三象限小于0，大于0，所以在第三象限无解； 有图形可得在第四象限大于0，小于0，且恒成立，即在恒成立，所以 在第四象限的解为， 综上在的解集为， 故选：C 6．,,的大小关系是 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】在单位圆中作出1弧度角的正弦线、余弦线、正切线，由图可观察出它们的大小． 【详解】如图所示,作出1弧度角的正弦线､余弦线､正切线分别为,,,由图知,,,且,所以. 故选：D.    【点睛】本题考查三角函数线的应用．三角函数线可能用来求三角函数值，解三角不等式，比较三角函数式的大小等． 7．若0<α<2π，且sinα<，cosα>，则角α的取值范围是（    ） A． B． C． D．∪ 【答案】D 【分析】根据题意，画出三角函数线，找出角度范围，即可表示. 【详解】角α的取值范围为图中阴影部分如下所示吧：    即∪ 故选：. 【点睛】本题考查由三角函数值的范围，求角度的范围，涉及三角函数线的应用，属基础题. 8．已知，，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，故可得，由指数函数和幂函数的单调性即可比较大小. 【详解】因为，故可得， 根据指数函数是单调减函数， 可得，即可得； 根据幂函数是单调增函数， 可得，即可得 综上所述：. 故选：A. 【点睛】本题考查正弦函数和余弦函数在区间上的大小关系，以及指数函数和幂函数的单调性，属综合中档题. 二、多选题 9．下列说法正确的是（ ） A．一定时，单位圆中的正弦线也一定 B．在单位圆中，有相同正弦线的角相等 C．和有相同的余弦线 D．具有相同正切线的两角的终边在同一条直线上 【答案】AD 【分析】根据三角函数线的定义即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A，单位圆中，一定时，单位圆中的正弦线一定，所以A正确． 对于B，与有相同的正弦线，但，所以B错 对于C，和的余弦线相反，所以C错， 对于D，一三象限角的正切线相同，二四象限角的正切线相同，即具有相同正切线的两个角终边一定在同一条直线上，所以D正确． 故选：AD 10．（23-24高一下·浙江杭州·开学考试）下列不等式中，正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】利用诱导公式及三角函数的单调性判断A、B，利用三角函数线证明当时，即可判断C、D. 【详解】对于A：， ，所以，故A错误； 对于B：因为，且在上单调递增，在上单调递减， 所以，又， 所以，故B正确； 对于C、D：首先证明当时， 构造单位圆，如图所示： 则，设，则， 过点作直线垂直于轴，交所在直线于点， 由，得，所以， 由图可知， 即， 即， 所以，，故C正确，D错误； 故选：BC 11．如图，在平面直角坐标系中，以原点O为圆心的圆与x轴正半轴交于点．已知点在圆O上，点T的坐标是，则下列说法中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．，则 D．若，则 【答案】AD 【分析】根据弧长公式可判断A的正误；由正弦线余弦线的定义即可判断B的正误；当时，可知可判断C的正误；当时成立，故也一定满足，此时可判断D的正误. 【详解】由于单位圆的半径为1，根据弧长公式有，所以A正确． 由于B是∠AOB的一边与单位圆的交点，是对应∠AOB的正弦值，即，所以是对应∠AOB的余弦值，即，所以B错误． 当时，，，所以C错误． 反过来，当，即时，一定成立，所以D正确． 故选：AD． 三、填空题 12．函数y＝lg(2sinx－1)＋的定义域为 . 【答案】 【分析】要使函数有意义，则有，由三角函数线可得不等式组的解集，即得原函数的定义域. 【详解】要使原函数有意义，必须有即， 如图，在单位圆中作出相应的三角函数线，由图可知， 解集为,取交集可得 原函数的定义域为 故答案为：    【点睛】本题考查函数定义域的求解，考查利用三角函数线解不等式，属于基础题. 13．已知角，则的大小关系为 ． 【答案】/ 【分析】在单位圆中画出角并确定正弦线、正切线，即可判断大小关系. 【详解】如下图示，在单位圆中，轴，轴，且， 所以，，， △的面积， 扇形的面积， △的面积， 由图知：，故. 故答案为： 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$