第09讲 三角形的证明 单元综合检测（难点）-【寒假自学课】2025年八年级数学寒假提升精品讲义（北师大版）

第09讲 三角形的证明 单元综合检测（难点） 一、单选题 1．下列命题中，其中正确命题的个数为（    ）个 ①中，已知两边长分别为3和4，则第三边为5； ②有一个内角等于其他两个内角和的三角形是直角三角形； ③三角形的三边分别为，，若，则 ④在中，，则为直角三角形． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查直角三角形的判定，利用勾股定理及其逆定理、三角形内角和定理即可判定． 【解析】解：若4是斜边，则第三边为, 若4是直角边，则第三边为, 故①错误； ∵三角形的内角和为， ∴若三角形中一个内角等于其它两个内角的和，则这个角的度数为， ∴这个三角形是直角三角形， 故②正确； ∵三角形的三边a、b、c满足， ∴中，， 故③错误； ∵在中，， ∴， ∴是直角三角形， 故④正确； 综上所述，上述四个命题中，正确的有2个． 故选：B． 2．数学课上，同学们探讨利用不同画图工具画角的平分线的方法，小旭说：我用两块含的直角三角板就可以画角平分线，如图，取，把直角三角板按如图所示的位置放置，两直角边交于点，则射线是的平分线，小旭这样画的理论依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，利用证明得出，即可得解． 【解析】解：由题意可得：， 在和中， ， ∴， ∴， ∴射线是的平分线， 故选：D． 3．下列说法： ①顶角和底边对应相等的两个等腰三角形全等； ②等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等； ③等边三角形是轴对称图形，三条高是它的三条对称轴； ④等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半． 其中正确的有（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查等腰三角形，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关性质是解题的关键．利用等腰三角形，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质等逐一判断即可得解． 【解析】解：在和中， ∵，， ∴，， 又， ∴ 又， ∴， 故顶角和底边对应相等的两个等腰三角形全等，说法正确，故①符合题意； 在中， ∵D是中点， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等，说法正确，故②符合题意； 等边三角形是轴对称图形，三条高所在的直线是其对称轴，原说法错误，故③不符合题意； 在中， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半， 说法正确，故④符合题意； 正确的为：①②④，共3个； 故选：C． 4．如图是一个棱长为1的正方体的展开图，点A，B，C是展开后小正方形的顶点，连接，则的大小是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了直角三角形中勾股定理的运用，考查了等腰直角三角形底角为的性质，本题中求证是直角三角形是解题的关键． 连接，由勾股定理可知，简单计算即可发现． 【解析】解：连接， 由勾股定理可得， 则， 故， 则是一个直角等腰三角形， 则， 故选：B． 5．如图，中，，且垂直平分，交于点F，交于点，若周长为，则为（    ） A．4 B．4.5 C．5 D．5.5 【答案】C 【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质，等腰三角形的三线合一的运用，根据周长为，，可得，根据垂直平分线的性质可得，根据，可得，所以，由此即可求解． 【解析】解：∵周长为， ∴， ∵， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 6．如图，的三边、、的长分别为、和，三条角平分线的交点为O，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查角平分线的性质，过O作于M，于N，于K，由角平分线的性质推出，由三角形面积公式得到的面积，的面积，的面积，于是得到． 【解析】解：过O作于M，于N，于K， ∵的三条角平分线的交点为O， ∴， ∴的面积，的面积，的面积， ∵、、的长分别为、和， ∴． 故选：A． 7．如图，过边长为1的等边三角形的边上一点P，作于点E，Q为延长线上一点，当时，交于点D，则的长为（   ） A． B． C． D．不能确定 【答案】B 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．过点作的延长线的垂线于点，证明，，根据全等三角形的性质可得，进而可得，即可求解． 【解析】解：过点作的延长线的垂线于点， 是等边三角形， ， ， ， ，， ， 又， ， ， 同理可证，， ， ， ， 故选：B． 8．如图， 中，的角平分线和边的垂直平分线交于点，的延长线于点 ， 于点． 若，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，角平分线的定义，连接，由“”可证，可得，，由线段垂直平分线的性质的得到，进而由“”可证，可得，即得到，据此即可求解，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 【解析】解：连接 ∵是的平分线 ， ∴， ∵，， ∴， 在和中 ， ， ∴， ∴，， ∵是的垂直平分线， ∴， 在和中 ， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：． 9．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，点是线段的中点，点是轴上的一个动点，连接，以为直角边，点为直角顶点作等腰直角，连接．则长度的最小值是（    ） A．1 B．2 C． D．3 【答案】D 【分析】作轴且，连接，延长交轴于，求出点坐标为，点坐标为，得出，得出点，设点，则，证明得出，，得出，，三点共线，从而得到，得出，再由勾股定理表示出，即可得出答案． 【解析】解：如图，作轴且，连接，作轴于， ， 直线与轴交于点，与轴交于点， 令，则，解得，令，， 点坐标为，点坐标为， ， 轴， ，， 点坐标为， 设点，则， 是等腰直角三角形， ，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ，，三点横坐标相同，都为， ，，三点共线， ， ， 点是线段的中点， ， ， ， 当即时，最小，为， 的最小值为， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，综合程度较高，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 10．如图，C为线段上一动点（不与A，E重合），在同侧分别作等边和等边，与交于点O，与交于点P，与交于点Q，连接，以下五个结论：①；②；③；④平分；⑤平分，恒成立的结论有（    ） A．①②③ B．①②③④ C．①②③⑤ D．①②③④⑤ 【答案】B 【分析】根据可得，则，因此结论①正确；根据可得，则，因此结论③正确；证明是等边三角形，则可得，则可得，因此结论②正确；过C点作于F，于利用等面积法可得对应高相等，再用角平分线的判定定理即可得平分，因此结论④正确；在和中，先证，由则可得，又由可得，因此结论⑤不正确． 本题主要考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的判定和性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【解析】∵和都是等边三角形， ，，， ， 即， ， ， ∴结论①正确； ， ． ， ， ． 又， ， ， ∴结论③正确； ，， 是等边三角形， ， ， ， ∴结论②正确； 如图，过C点作于F，于G， ， ，， ， ， ∴C点在的平分线上， ∴平分， ∴结论④正确； ， ， ， ， 又∵平分， ， ， ， ， 即， ∴不平分， ∴结论⑤不正确； 故选：B 二、填空题 11．如图，是等边三角形，，，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，根据等边三角形的性质可得出，由可得出为等腰直角三角形，进而可得出及，再根据等腰三角形的性质结合三角形内角和定理即可求出的度数即可得出结论． 【解析】解：∵为等边三角形， ∴． ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 12．如图，中，，延长至点D，使，连接AD，过点C作的垂线，交的平分线于点E，则的度数为 ． 【答案】/55度 【分析】本题考查了角平分线的判定与性质，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的判定与性质，先利用三线合一得出平分，平分，然后利用角平分线的判定与性质可得出平分，求出，利用等边对等角得出，，即可求解． 【解析】解：过E作于H，作于G，于M，连接， ∵平分， ∴， ∵，， ∴平分，平分， ∴，是的垂直平分线， ∴，， 又，， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴，即， ∴， 故答案为：． 13．如图直线与轴、轴分别交于点、，与直线交于点．如果在轴上存在一点，使等腰三角形，则点的坐标是 ； 【答案】或或或 【分析】本题考查两直线的交点与二元一次方程组的解，等腰三角形的定义．联立，求得A点坐标；再分类讨论，①当时，②当时和③当时，分别画出图形即可得解． 【解析】解：联立，解得：， ∴A点坐标为； 分类讨论：①当时，如图点和点． ∵， ∴， ∴，； ②当时，如图点，过点A作轴于点Q． 设，则，， 在中，， ∴， 解得：， ∴； ③当时，如图点， ∴， ∴．    综上可知，P点坐标为或或或． 故答案为：或或或． 14．如图，中，的平分线交于点E，过点E作于点F．点D在边上，连接、，平分，若，则的面积为 ． 【答案】7 【分析】本题考查角平分线的性质，三角形的面积，关键是由角平分线的性质得到，由三角形面积公式得到． 过作于于，由角平分线的性质推出，由三角形面积公式得到，求出，即可求出的面积． 【解析】解：过作于于， 平分平分， ， ， ， ， ， ， ， 的面积， 故答案为：7． 15．如图，在中，，，以点A为圆心长度2为半径作弧，分别交边于两点，再分别以点为圆心，长度r为半径作弧交于点F，连接并延长交边于点G，点分别在边上，且，．下列说法：①射线平分；②；③；④．正确的有： （填上所有符合要求的条件的序号） 【答案】①④/④① 【分析】本题考查了尺规作图—作已知角的角平分线，角平分线的性质，勾股定理．利用角平分线的作法，角平分线的性质，30度角的直角三角形的性质，勾股定理对选项逐一分析即可． 【解析】解：①根据作图痕迹知射线平分，故①说法正确； ②因为平分， ∴， ，， ，，， ，故②说法错误； ③、，， ，， ，故③说法错误； ④、，， ∴为等边三角形， ， ，故④说法正确； 故答案为：①④． 16．如图，边长为的等边面积是，点D，E，F分别是边上的一个动点，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查轴对称最短问题、平行线间的距离最短、垂线段最短等知识，解题的关键是灵活运用轴对称以及垂线段最短解决最短问题． 作关于的对称点，连接，过作于，则， 的值最小，就是的长， 【解析】解：如图示，作关于的对称点，连接，过作于，则，    ∴，， ∵在等边中，， ∴， ∴ ∵边长为的等边面积是，， ，解得， ， 故当点D，E，F三点一线，并垂直于时， 的最小值是； 故答案为：． 17．如图，在等边三角形中，，于点D，点E，F分别是BC，AC上的动点，沿所在直线折叠，使点C落在上的点处，当是直角三角形时，的长为 ． 【答案】或 【分析】由等边三角形的性质可得，由是直角三角形，分两种情况讨论：①若，②若，由直角三角形的性质分别求解即可． 【解析】解：∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， 由折叠可得， 分两种情况： ①若，如图所示：    ∵， ∴， 在中，根据勾股定理，可得， 又∵， ∴ ， ∴， ∴； ②若，如图所示：    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上所述，的长为或， 故答案为或． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，折叠的性质的运用，勾股定理的应用，二次根式的运算，熟练掌握折叠的性质是解题的关键，注意分情况讨论． 18．如图，在中，，分别以、和为边在外部作等边三角形、等边三角形和等边三角形，连接、和交于点P，则、、、中某三条线段存在等量关系是 ． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质； 证明，，可得，，求出，在上截取，连接，证明，再证，可得，进而可得． 【解析】解：∵，是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可得， ∴， 如图，在上截取，连接， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题 19．如图，在等边三角形中，点D，E分别在边，上，且，过点E作，交的延长线于点F． (1)求的度数； (2)求证：是等腰三角形； (3)若，求的长． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查等边三角形的性质，平行线的性质，三角形内角和，等腰三角形的判定与性质，比较基础，难度不大． （1）根据是等边三角形和平行线的性质，可证，再根据三角形内角和为，即可求得． （2）根据题意易证，从而可得到，故此可证为等腰三角形． （3）根据等边三角形的性质可得，再根据，可得，然后由进行求解即可． 【解析】（1）解：∵是等边三角形， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为等腰三角形． （3）解：由（1）可知， ∴， 又∵， ∴， ∴． 20．如图，在等边中，D、E分别是、上的点，且，与交于点F． (1)求证：； (2)作，垂足为G，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，直角三角形的性质以及等边三角形的性质等知识， （1）由等边三角形的性质得，，再证出，进而即可得解； （2）由，可得，由，可得，再由直角三角形的性质即可得解； 熟练利用全等三角形的判定得出是解题关键． 【解析】（1）解：是等边三角形， ，， 在和中 ， ， ； （2）证明：，垂足为， ， ． ， ， ∴． 21．如图所示，在中： (1)下列操作中，作的平分线的正确顺序是 （将序号按正确的顺序写在横线上）． ①分别以点M、N为圆心，大于的长为半径作圆弧，在内，两弧交于点P； ②以点B为圆心，适当长为半径作圆弧，交于点M，交于点N； ③画射线，交于点D． (2)能说明的依据是 （填序号）． ①，②，③，④角平分线上的点到角两边的距离相等 (3)如图，过点D作于点E，若，的面积是24，的周长为12，求的长． 【答案】(1)②①③ (2)① (3) 【分析】本题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定和性质、角平分线的作法等知识点，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． （1）根据尺规作图作角平分线的步骤解答即可； （2）根据全等三角形的判定定理和性质定理即可解答； （3）过D作，垂足为F，根据角平分线的性质定理以及等面积法得到 ，再根据三角形的周长公式得到，根据三角形的面积公式计算即可． 【解析】（1）解：作 的平分线的正确顺序是②①③， 故答案为：②①③； （2）解：如图：连接 ， 在 和 中，， ∴ ， ∴， 故答案为：①； （3）解：过D作，垂足为F， ∵，， ∴， 解得：， ∵平分，，， ∴， ∵， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得：，即． 22．如图，点在的平分线上，点分别在上，且． (1)求证：； (2)延长，分别交于点，连接，若平分，回答下列问题． ①试说明平分； ②若，，求点P到射线的距离． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②点P到射线的距离为2． 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质和判定，线段垂直平分线的判定和性质，正确引出辅助线解决问题是解题的关键． （1）利用证明，即可证明； （2）①过点作的垂线，垂足分别为，利用角平分线的性质求得，即可证明平分； ②先证明是线段的垂直平分线，利用三角形的面积公式求得，据此求解即可． 【解析】（1）证明：∵点在的平分线上， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：①过点作的垂线，垂足分别为， ∵点在的平分线上， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴平分； ②由（1）得， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴是线段的垂直平分线， ∴点恰好是与的交点， ∵，， ∴， ∴， ∴， 即点P到射线的距离为2． 23．如图，，点与点关于射线对称，连接．点为射线上任意一点，连接．将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接． (1)求证：直线是线段的垂直平分线； (2)点是射线上一动点，请你直接写出与之间的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2)当为钝角时，；当为锐角时， 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，轴对称的性质，线段垂直平分线的判定，全等三角形的判定与性质，证明是解题的关键． （1）连接，，，可得为等边三角形，再利用证明，得，从而证明结论； （2）分为钝角和为锐角两种情形，分别画出图形，即可得出答案． 【解析】（1）证明：连接，，， 点与点关于射线对称，， ，， ， ， 为等边三角形，， ， ， 则， 在和中， ， ， ， ， ， 又， 垂直平分； （2）解：解：如图，当为钝角时，由（1）知， ， 如图，当为锐角时， ，， ． 24．如图，是等边三角形，，动点P、Q分别从点A、B同时出发，点P以的速度沿向终点B匀速运动，点Q以的速度沿折线向终点A匀速运动．连接，设点P的运动时间为x（秒）（）． (1)________，________；（用含x的式子表示） (2)当是等边三角形时，求x的值； (3)当是等边三角形时，x的值为________； (4)当或为直角三角形时，直接写出x的值． 【答案】(1) (2) (3) (4)秒或2秒或秒 【分析】本题考查了列代数式，等边三角形的性质与判定，30度所对的直角边是斜边的一半，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据运动的起点，以及运动的方向和速度进行分类讨论，再结合勾股定理列式化简，即可作答． （2）根据是等边三角形，，得出，，结合是等边三角形，，代入计算，即可作答． （3）因为是等边三角形，，所以，，再结合是等边三角形，得，，代入计算，即可作答． （4）进行分类讨论，再结合30度所对的直角边是斜边的一半，进行列式计算，即可作答． 【解析】（1）解：∵动点P、Q分别从点A、B同时出发，点P以的速度沿向终点B匀速运动，点Q以的速度沿折线向终点A匀速运动． ∴， 过点B作, ∵是等边三角形， ∴ 当，则， 则 则 则 即 故答案为：； （2）解：∵是等边三角形，， ∴，， ∵是等边三角形， ∴， 即， 解得； （3）解：依题意，如图所示： ∵是等边三角形，， ∴，， ∵是等边三角形， ∴， ∴， 解得， 故答案为：； （4）解：∵是等边三角形，， ∴，， ∵为直角三角形， ∴或 当则， ∴， 即， 解得； 当则， ∴ 即 解得； ∵为直角三角形， ∴或 当则 ∴， 即， 解得； 当则， ∴， 即， 解得； 综上：当或为直角三角形时， x的值为秒或2秒或秒． 25．如图，、，且满足． (1)如图，直接写出两点的坐标； (2)如图，点在线段上（不与重合）移动，，且，猜想线段之间的数量关系并证明你的结论； (3)如图，若为轴上异于原点和点的一个动点，连接，以线段为边作等腰直角，使得，直线交轴，当点在轴上移动时，线段和线段中，请判断哪条线段长为定值，并求出该定值． 【答案】(1)， (2)，理由见解析 (3)是定值， 【分析】（）根据非负数的性质解答即可求解； （）如图，延长至，使得，连接，证明得到 ， ，即得，进而可证，得到，据此即可求证； （）如图，作于，在上截取，证明得到，进而得到，即得到，得到，据此即可求解． 【解析】（1）解：∵, ∴，， ∴，， ∴，； （2）解：； 理由如下： 如图，延长至，使得，连接， 由（）知：，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在与中 ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在与中， ， ∴，    ∴， ∴； （3）解：是定值． 如图，作于，在上截取， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在与中 ， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了非负数的性质，坐标与图形，等腰三角形的判定和性质，全都三角形的判定和性质，余角性质，正确作出辅助线证明三角形全等是解题的关键． 26．如图1，图2，在和中，，，，与所在直线相交于点，于点．    (1)如图1，连接，求证：平分； (2)如图1，若，，则的长为___________； (3)如图2，若，，连接，交于点． ①是否为线段的垂直平分线？并说明理由； ②过点作，交的延长线于点，直接写出与之间的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2)4 (3)①是线段的垂直平分线，理由见解析；② 【分析】（1）作，证明和，可以推出，就可得到平分； （2）证明，推出，利用三角形面积公式即可求解； （3）①利用等腰三角形三线合一的性质即可得证； ②由是线段的垂直平分线，推出，，得到，再证明，等量代换即可得解． 【解析】（1）证明：如图，过点C作，垂足为N，    在和中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴平分； （2）解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解①：是线段的垂直平分线，理由如下： 由（1）可得，平分， ∵， ∴，， ∴是线段的垂直平分线； ②， ∵是线段的垂直平分线， ∴，， ∵，， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴，， ∴． ∴， 【点睛】本题是一道与三角形相关的综合性题目，考查的知识点有：全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，角平分线的性质定理，线段垂直平分线的判定和性质，本题熟练掌握三角形全等的性质和判定是关键． 27．【问题初探】 （1）在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图①，在中，，，，，连接交于点，且． 求证：． 如图②，丞丞同学从结论的角度出发给出如下解题思路：在上截取，连接，将和之间的数量关系转化为和之间的数量关系； 如图③，霖霖同学从条件的角度出发给出如下解题思路：过点作，交的延长线于点，将转化为，进而转化为和之间的数量关系． 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程． 【类比分析】 （2）如图④，在等边中，是上的一点，过点作于点，延长至点，连接交于点，此时恰好是的中点．求证：．      【学以致用】 （3）如图⑤，和都是等腰直角三角形，，，，分别交，于点，，其中是的中点，连接，若，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）4． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质、勾股定理、等边三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）分别根据平行线的性质以及全等三角形的判定与性质即可证明结论； （2）过D作，则，先说明是等边三角形，再结合三线合一的性质可得，再证明得到即可证明结论； （3）过A作交于G，连接，先证明可得，再证明可得，然后证明 可得，即是直角三角形；由勾股定理可得，再根据题意可得，进而完成解答． 【解析】解：（1）证明：①如图①：选择丞丞同学的解题思路： ∵，， ∴， ∵， ∴， 同理：， 在和中， ， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴； ②选择霖霖同学的解题思路： 如图②：同①可得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）证明：如图④：过D作，则， ∵等边， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∵， ∴，即， ∵点是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴ ∴． （3）如图⑤：过A作交于G，连接， ∵， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵和都是等腰直角三角形， ∴，， ∴，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形， ∴，即， ∵，， ∴，即， ∴，即． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！40 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第09讲 三角形的证明 单元综合检测（难点） 一、单选题 1．下列命题中，其中正确命题的个数为（    ）个 ①中，已知两边长分别为3和4，则第三边为5； ②有一个内角等于其他两个内角和的三角形是直角三角形； ③三角形的三边分别为，，若，则 ④在中，，则为直角三角形． A．1 B．2 C．3 D．4 2．数学课上，同学们探讨利用不同画图工具画角的平分线的方法，小旭说：我用两块含的直角三角板就可以画角平分线，如图，取，把直角三角板按如图所示的位置放置，两直角边交于点，则射线是的平分线，小旭这样画的理论依据是（    ） A． B． C． D． 3．下列说法： ①顶角和底边对应相等的两个等腰三角形全等； ②等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等； ③等边三角形是轴对称图形，三条高是它的三条对称轴； ④等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半． 其中正确的有（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 4．如图是一个棱长为1的正方体的展开图，点A，B，C是展开后小正方形的顶点，连接，则的大小是（    ） A． B． C． D． 5．如图，中，，且垂直平分，交于点F，交于点，若周长为，则为（    ） A．4 B．4.5 C．5 D．5.5 6．如图，的三边、、的长分别为、和，三条角平分线的交点为O，则（    ） A． B． C． D． 7．如图，过边长为1的等边三角形的边上一点P，作于点E，Q为延长线上一点，当时，交于点D，则的长为（   ） A． B． C． D．不能确定 8．如图， 中，的角平分线和边的垂直平分线交于点，的延长线于点 ， 于点． 若，，则的长为（     ） A． B． C． D． 9．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，点是线段的中点，点是轴上的一个动点，连接，以为直角边，点为直角顶点作等腰直角，连接．则长度的最小值是（    ） A．1 B．2 C． D．3 10．如图，C为线段上一动点（不与A，E重合），在同侧分别作等边和等边，与交于点O，与交于点P，与交于点Q，连接，以下五个结论：①；②；③；④平分；⑤平分，恒成立的结论有（    ） A．①②③ B．①②③④ C．①②③⑤ D．①②③④⑤ 二、填空题 11．如图，是等边三角形，，，则的度数为 ． 12．如图，中，，延长至点D，使，连接AD，过点C作的垂线，交的平分线于点E，则的度数为 ． 13．如图直线与轴、轴分别交于点、，与直线交于点．如果在轴上存在一点，使等腰三角形，则点的坐标是 ； 14．如图，中，的平分线交于点E，过点E作于点F．点D在边上，连接、，平分，若，则的面积为 ． 15．如图，在中，，，以点A为圆心长度2为半径作弧，分别交边于两点，再分别以点为圆心，长度r为半径作弧交于点F，连接并延长交边于点G，点分别在边上，且，．下列说法：①射线平分；②；③；④．正确的有： （填上所有符合要求的条件的序号） 16．如图，边长为的等边面积是，点D，E，F分别是边上的一个动点，则的最小值是 ． 17．如图，在等边三角形中，，于点D，点E，F分别是BC，AC上的动点，沿所在直线折叠，使点C落在上的点处，当是直角三角形时，的长为 ． 18．如图，在中，，分别以、和为边在外部作等边三角形、等边三角形和等边三角形，连接、和交于点P，则、、、中某三条线段存在等量关系是 ． 三、解答题 19．如图，在等边三角形中，点D，E分别在边，上，且，过点E作，交的延长线于点F． (1)求的度数； (2)求证：是等腰三角形； (3)若，求的长． 20．如图，在等边中，D、E分别是、上的点，且，与交于点F． (1)求证：； (2)作，垂足为G，求证：． 21．如图所示，在中： (1)下列操作中，作的平分线的正确顺序是 （将序号按正确的顺序写在横线上）． ①分别以点M、N为圆心，大于的长为半径作圆弧，在内，两弧交于点P； ②以点B为圆心，适当长为半径作圆弧，交于点M，交于点N； ③画射线，交于点D． (2)能说明的依据是 （填序号）． ①，②，③，④角平分线上的点到角两边的距离相等 (3)如图，过点D作于点E，若，的面积是24，的周长为12，求的长． 22．如图，点在的平分线上，点分别在上，且． (1)求证：； (2)延长，分别交于点，连接，若平分，回答下列问题． ①试说明平分； ②若，，求点P到射线的距离． 23．如图，，点与点关于射线对称，连接．点为射线上任意一点，连接．将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接． (1)求证：直线是线段的垂直平分线； (2)点是射线上一动点，请你直接写出与之间的数量关系． 24．如图，是等边三角形，，动点P、Q分别从点A、B同时出发，点P以的速度沿向终点B匀速运动，点Q以的速度沿折线向终点A匀速运动．连接，设点P的运动时间为x（秒）（）． (1)________，________；（用含x的式子表示） (2)当是等边三角形时，求x的值； (3)当是等边三角形时，x的值为________； (4)当或为直角三角形时，直接写出x的值． 25．如图，、，且满足． (1)如图，直接写出两点的坐标； (2)如图，点在线段上（不与重合）移动，，且，猜想线段之间的数量关系并证明你的结论； (3)如图，若为轴上异于原点和点的一个动点，连接，以线段为边作等腰直角，使得，直线交轴，当点在轴上移动时，线段和线段中，请判断哪条线段长为定值，并求出该定值． 26．如图1，图2，在和中，，，，与所在直线相交于点，于点．    (1)如图1，连接，求证：平分； (2)如图1，若，，则的长为___________； (3)如图2，若，，连接，交于点． ①是否为线段的垂直平分线？并说明理由； ②过点作，交的延长线于点，直接写出与之间的数量关系． 27．【问题初探】 （1）在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图①，在中，，，，，连接交于点，且． 求证：． 如图②，丞丞同学从结论的角度出发给出如下解题思路：在上截取，连接，将和之间的数量关系转化为和之间的数量关系； 如图③，霖霖同学从条件的角度出发给出如下解题思路：过点作，交的延长线于点，将转化为，进而转化为和之间的数量关系． 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程． 【类比分析】 （2）如图④，在等边中，是上的一点，过点作于点，延长至点，连接交于点，此时恰好是的中点．求证：．      【学以致用】 （3）如图⑤，和都是等腰直角三角形，，，，分别交，于点，，其中是的中点，连接，若，求的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！5 学科网（北京）股份有限公司 $$