河北省邯郸市武安市第一中学2024-2025学年高二上学期12月月考数学试题

第 1页 共 4页 ◎ 第 2页 共 4页 武安一中 2024--2025 学年第一学期 12 月考试 高二 数学 时间：120 分钟 满分：150 分 一、单项选择题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的．) 1.已知 a＝(λ＋1,0,2)，b＝(6,2μ－1,2λ)，若 a∥b，则λ与μ的值可以是( ) A．2，1 2 B．－1 3 ， 1 2 C．－3,2 D．－2,2 2.设 na 是无穷数列，记 nnn aab  1 ，则“ na 是等比数列”是“ nb 是等比数列的” A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．若AB → ＝λCD → ＋μCE → ，则直线 AB与平面 CDE的位置关系是( ) A．相交 B．平行 C．在平面内 D．平行或在平面内 4．过点 P(1，－2)作圆 C：(x－1)2＋y2＝1 的两条切线，切点分别为 A，B，则 AB所在直线的方程 为( ) A．y＝－ 3 4 B．y＝－1 2 C．y＝－ 3 2 D．y＝－1 4 5．若直线 l1：ax＋2ay＋1＝0与直线 l2：(a－1)x－(a＋1)y－1＝0垂直，则 a的值为( ) A．0 B．－1 C．－2 D．－3 6．过抛物线 y2＝2px(p>0)的焦点 F且倾斜角为 120°的直线 l与抛物线在第一、四象限分别交于 A， B两点，则|AF| |BF| 的值等于( ) A．1 3 B．2 3 C．3 4 D．4 3 7.已知动圆 M与圆 C1：(x＋4)2＋y2＝2外切，与圆 C2：(x－4)2＋y2＝2内切，则动圆圆心 M的轨迹 方程为( ) A．x 2 2 － y2 16 ＝1(x≤－ 2) B．x 2 2 － y2 14 ＝1(x≥ 2) C．x 2 2 － y2 16 ＝1 D．x 2 2 － y2 14 ＝1 8.已知在四面体 ABCD中，AB BC CD DA BD    ，二面角 A BD C  的大小为 π 3 ，且点 A， B，C，D都在球O的球面上，M 为棱 AC上一点，N 为棱 BD的中点．若MO CN   ，则 （ ） A. 1 3 B. 4 9 C. 5 9 D. 2 3 二、多项选择题(本大题共 3小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的四个选项中，有多项符 合题目要求，全部选对的得 6 分，有选错的得 0 分，部分选对的得部分) 9. (多选)已知双曲线 2 2 : 1 6 3 x yC       ，则（ ） A.  的取值范围是 ( 6,3) B. C的焦点可在 x轴上也可在 y轴上 C. C的焦距为 6 D. C的离心率 e的取值范围为 (1,3) 10．(多选)已知数列{an}的前 n项和 Sn＝ n       2 1 －1，则下列说法正确的有( ) A．{Sn}是递减数列 B．{an}是等比数列 C．an<0 D．Sn＋an＝1 11.(多选)“阿基米德多面体”又称“半正多面体”，与正多面体类似，它们也都是凸多面体，每个面都 是正多边形，并且所有棱长也都相等，但不同之处在于阿基米德多面体的每个面的形状不全相同．有 几种阿基米德多面体可由正多面体进行“截角”得到如图，正八面体 E ABCD F  的棱长为 3，取 各条棱的三等分点，截去六个角后得到一种阿基米德多面体，则该阿基米德多面体（ ） A. 共有 18个顶点 B. 共有 36条棱 C. 表面积为6 8 3 D. 体积为8 2 第 3页 共 4页 ◎ 第 4页 共 4页 三、填空题(本大题共 3小题，每小题 5分，共 15分) 12．函数 f(x)＝x＋2cosx在[0，π]上的极小值点为__________． 13．设正项等比数列{an}的前 n项和为 Sn，若 S4＝10S2，则S6 S2 的值为__________． 14.设椭圆 1E 2 2 2 2  b y a x ： ）（ 0 ba 的左右焦点为 21 FF， ，右顶点为A，已知点 P在椭圆E上， 若 0 21 90 PFF ， 0 2 45PAF ，则椭圆的离心率为 四、解答题(本大题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．) 15.（13分） 已知函数 f(x)＝lnx－ax(a∈R)． (1)当 a＝1 2 时，求 f(x)的极值； (2)讨论函数 f(x)在定义域内极值点的个数． 16．（15分）已知点 P(2,2)，圆 C：x2＋y2－8y＝0，过点 P的动直线 l与圆 C交于 A，B两点，线 段 AB的中点为 M，O为坐标原点． (1)求 M的轨迹方程； (2)当|OP|＝|OM|时，求 l的方程及△POM的面积． 17.（15分）已知数列{an}是等差数列，数列{bn}是等比数列，且 a1＝1，a3＋a4＝12，b1＝a2， b2＝a5. (1)求{an}和{bn}的通项公式； (2)设 cn＝(－1)nanbn(n∈N*)，求数列{cn}的前 n项和 Sn. 18（17 分） 如图，已知圆锥 SO的底面圆周上有 CBA ,, 三点，AB为底面圆O的直径，且 060BOC ，Q为 AC的中点. （1）证明：平面 SOQ 平面 SAC； （2）若 2,2  SOAB ，求二面角 CSQB  的正弦值. 19.（17 分）已知椭圆 1 34 : 22  yxC 的右焦点为F ，过点 F 且不垂直于 x轴的直线交C于 BA, 两 点，分别过 BA, 作平行于 x轴的两条直线 21, ll ，设 21, ll 分别与直线 4x 交于点 NM , ，点R是MN 的中点。 （1）求证： FNAR // ； （2）若 AR与 x轴交于点D（异于点 R），求 FDN ADM S S   的取值范围。 第 1页 共 8页 ◎ 第 2页 共 8页 武安一中 2024--2025 学年第一学期 12 月考试 高二 数学 答案 1.故选 A．2答案：D3．[答案] D 4．[解析] 解法一：由题意知，圆心 C(1,0)，连接 PC，CA，CB， 则 CA⊥AP，CB⊥BP，|PC|＝2，则点 P，A，C，B在以 PC为直径的圆上，圆心坐标为(1，－1)， 半径为 1，所以圆的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝1，与圆 C的方程作差，可得 AB所在直线的方程为 y ＝－ 1 2 .故选 B．[答案] B 5．[答案] D 6．设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，|AB|＝x1＋x2＋p＝ 2p sin2120° ＝ 8p 3 ，所以 x1＋x2＝5p 3 .又 x1x2＝p 2 4 ，可得 x2 ＝ 3 2 p，x1＝p 6 .则|AF| |BF| ＝ p 6 ＋ p 2 3 2 p＋p 2 ＝ 1 3 .故选 A．[答案] A 7.[解析] (1)设动圆 M的半径为 r，由已知得，圆 C1与圆 C2的半径均为 2，|MC1|＝r＋ 2，|MC2| ＝r－ 2，所以|MC1|－|MC2|＝2 2.因为点 C1(－4,0)，C2(4,0)，则|C1C2|＝8，所以 2 2<|C1C2|.根据双 曲线的定义可知，动圆圆心 M的轨迹是以 C1(－4,0)，C2(4,0)为焦点的双曲线的右支． 因为 a＝ 2，c＝4，所以 b2＝c2－a2＝14，于是动圆圆心 M的轨迹方程为x 2 2 － y2 14 ＝1(x≥ 2)．故选 B． 8.【答案】C【详解】由题意知 ABD△ 与 BCD△ 均为等边三角形，连接 AN，CN ，则 AN BD ， CN BD ， ANC 是二面角 A BD C  的平面角， 所以 π 3 ANC  ，又易知 AN CN ，所以 ACN△ 是等边三角形． 设 P为 BCD△ 的外心，Q为CN 的中点，连接 , ,OP ON AQ，则点 O，P，Q都在平面 ACN内， 建立平面直角坐标系如图． 设 2AN NC AC   ，则 2 3 NP  ， π 6 ONP  ，所以 2 3 9 OP  ． 又 3AQ  ，所以 2 9 OP AQ ，因为 //MO CN，易知 2 9 CM CA ， 则 2 2 3, 3 9 O        ， 16 2 3, 9 9 M        ，从而 10 9 MO  ， 5 9 OM CN    ． 故选：C 9.【答案】AC【详解】对于 A， 2 2 1 6 3 x y        表示双曲线， ( 6)(3 ) 0     ，解得 6 3   ， 故 A正确； 对于 B，由 A项可得 6 3   ，故 6 0,3 0     ， C 的焦点只能在 x轴上，故 B错误； 对于 C，设C的半焦距为 ( 0)c c  ，则 2 6 3 9c       ， 3c  ，即焦距为2 6c  ，故 C正 确；对于 D，离心率 3 6 e    ， 6 3   ， 0 6 3    ， e 的取值范围是 (1, ) ， 故 D错误．故选：AC. 10.[解析] 因为 Sn＝ 1 2 n－1，所以 Sn＋1－Sn＝ 1 2 n＋1－ 1 2 n＝－ 1 2 n＋1<0，即 Sn＋1<Sn，所以数列{Sn} 是递减数列，所以选项 A 正确．当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝ 1 2 n－ 1 2 n－1＝－ 1 2 n，当 n＝1 时，a1 ＝S1＝－ 1 2 也满足上式，所以 an＝－ 1 2 n.所以an＋1 an ＝ － 1 2 n＋1 － 1 2 n ＝ 1 2 ，所以数列{an}是等比数列，所以选 第 3页 共 8页 ◎ 第 4页 共 8页 项 B正确．an＝－ 1 2 n<0，所以选项 C正确．Sn＋an＝ 1 2 n－1－ 1 2 n＝－1，所以选项 D错误．故选 ABC．[答案] ABC 11. 【答案】BD【详解】由图可知该多面体有 24个顶点，36条棱，故 A错误，B正确； 该多面体的棱长为 1，且表面由 6个正方形和 8个正六边形组成， 故该多面体的表面积为 16 1 8 6 1 1 sin 60 6 12 3 2          ，故 C错误； 正八面体 E ABCD F  可分为两个全等的正四面体，其棱长为3， 过 E作 EO 平面 ABCD于O，连接 AO，如下图： 因为 EO 平面 ABCD，且OA平面 ABCD，所以OE OA ， 正方形 ABCD中，由边长为3，则对角线长为3 2，则 3 2 2 OA  ， 在Rt AOE△ 中， 2 2 3 2 2 EO AE AO   ，则 2 3 2EF OE  ， 正八面体 E ABCD F  的体积为 21 3 3 2 9 2 3    ， 切割掉 6个棱长均为 1的正四棱锥，减少的体积为 21 26 1 2 3 2     ， 所以该阿基米德多面体的体积为9 2 2 8 2  ，故 D正确．故选：BD. 12． f′(x)＝1－2sinx，令 f′(x)＝0，得 x＝π 6 或 x＝5π 6 ，所以 f(x)＝x＋2cosx在区间 0，π 6 上是增 函数，在区间 π 6 ， 5π 6 上是减函数，在 5π 6 ，π 上是增函数．故 x＝5π 6 是函数 f(x)的极小值点．5π 6 13．[解析] 解法一：设{an}的公比为 q(q>0)，易知当 q＝1时，不符合题意，故 q≠1，∵S4＝10S2， ∴ a11－q4 1－q ＝10·a11－q 2 1－q ，得 q＝3，∴S6 S2 ＝ a11－q6 1－q a11－q2 1－q ＝ 1－36 1－32 ＝91. 解法二：等比数列{an}中，S2，S4－S2，S6－S4成等比数列，则(S4－S2)2＝S2(S6－S4)，又 S4＝10S2， Sn>0，∴S6－10S2＝81S2，∴S6＝91S2，∴S6 S2 ＝91.[答案] 91 14.答案 13  四、解答题(本大题共 5小题，共 77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．) 15. [解] (1)当 a＝1 2 时，f(x)＝lnx－1 2 x，函数的定义域为(0，＋∞)且 f′(x)＝1 x － 1 2 ＝ 2－x 2x ， 令 f′(x)＝0，得 x＝2， 于是当 x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： x (0,2) 2 (2，＋∞) f′(x) ＋ 0 － f(x) 单调递增 ln2－1 单调递减 故 f(x)在定义域上的极大值为 f(2)＝ln2－1，无极小值． (2)由(1)知，函数 f(x)的定义域为(0，＋∞)， f′(x)＝1 x －a＝1－ax x .当 a≤0时，f′(x)>0在(0，＋∞)上恒成立， 则函数在(0，＋∞)上单调递增，此时函数在定义域上无极值点；当 a>0时，若 x∈ 0，1 a ，则 f′(x)>0， 若 x∈ 1 a ，＋∞ ，则 f′(x)<0，故函数在 x＝1 a 处有极大值． 综上可知，当 a≤0时，函数 f(x)无极值点， 当 a>0时，函数 y＝f(x)有一个极大值点，且为 x＝1 a . 16[解] (1)圆 C的方程可化为 x2＋(y－4)2＝16，所以圆心为 C(0,4)，半径为 4. 设 M(x，y)，则CM → ＝(x，y－4)，MP → ＝(2－x,2－y)． 由题设知CM → ·MP → ＝0，故 x(2－x)＋(y－4)(2－y)＝0， 第 5页 共 8页 ◎ 第 6页 共 8页 即(x－1)2＋(y－3)2＝2.由于点 P在圆 C的内部， 所以 M的轨迹方程是(x－1)2＋(y－3)2＝2. (2)由(1)可知 M的轨迹是以点 N(1,3)为圆心， 2为半径的圆． 由于|OP|＝|OM|， 故 O在线段 PM的垂直平分线上， 又 P在圆 N上，从而 ON⊥PM. 因为 ON的斜率为 3，所以 l的斜率为－1 3 ， 故 l的方程为 y＝－1 3 x＋8 3 . 又|OM|＝|OP|＝2 2，O到 l的距离为4 10 5 ，|PM|＝4 10 5 ， 所以△POM的面积为 S△POM＝ 1 2 × 4 10 5 × 4 10 5 ＝ 16 5 . 17[解] (1)设等差数列{an}的公差为 d，因为 a1＝1，a3＋a4＝12， 所以 2a1＋5d＝12，所以 d＝2，所以 an＝2n－1. 设等比数列{bn}的公比为 q， 因为 b1＝a2，b2＝a5， 所以 b1＝a2＝3，b2＝9，所以 q＝3，所以 bn＝3n. (2)由(1)知，an＝2n－1，bn＝3n， 所以 cn＝(－1)n·an·bn＝(－1)n·(2n－1)·3n＝(2n－1)·(－3)n， 所以 Sn＝1·(－3)＋3·(－3)2＋5·(－3)3＋…＋(2n－1)·(－3)n，① 则－3Sn＝1·(－3)2＋3·(－3)3＋…＋(2n－3)·(－3)n＋(2n－1)·(－3)n＋1② ①－②得，4Sn＝－3＋2·(－3)2＋2·(－3)3＋…＋2·(－3)n－(2n－1)·(－3)n＋1 ＝－3＋ 2·－32[1－－3n－1] 1＋3 －(2n－1)·(－3)n＋1＝3 2 － 4n－1 2 ·(－3)n＋1， 所以 Sn＝ 3 8 － 4n－1 8 ·(－3)n＋1. 18（17 分） 第 7页 共 8页 ◎ 第 8页 共 8页 19 题答案