专题01 三角形的初步知识（8个知识回顾+15种重点题型归纳+过关检测）-【寒假自学课】2025年八年级数学寒假提升精品讲义（浙教版）

专题01 三角形的初步知识 （8个知识回顾+15种重点题型归纳+过关检测） 题型聚焦：核心考点+中考题型，有的放矢 重点专攻：知识点和关键点梳理，查漏补缺 难点强化：难点内容标注与讲解，能力提升 提升专练：真题感知+精选专练，全面突破 【题型1 三角形的相关概念】 【题型2 三角形的三边关系】 【题型3 与三角形高有关的计算】 【题型4 与三角形中线有关的计算】 【题型5 与三角形内角和有关的计算】 【题型6 三角形折叠中的角度问题】 【题型7 三角形外角问题】 【题型8 定义、命题与证明】 【题型9 全等三角形的性质】 【题型10 全等三角形的判定】 【题型11 全等三角形的综合】 【题型12 全等三角形模型】 【题型13 角平分线的性质与判定】 【题型14 垂直平分线的性质与判定】 【题型15 尺规作图】 知识点 1 三角形的相关概念 由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形； 记作：△ABC，如图：其中：线段 AB，AC，CA 是三角形的边，A，B，C 是三角形的顶点，∠A，∠B， ∠C 是相邻两边组成的角，叫做三角形的内角，简称三角形的角． 三角形的分类： 三角形的三边关系： 三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边。 【拓展：三边关系的运用】 ①判断三条线段能否组成三角形； ②当已知三角形的两边长时，可求第三边的取值范围。 三角形的稳定性 ①三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性。三角形具有稳定性，而四 边形没有稳定性。 ②三角形的稳定性有广泛的运用：桥梁、起重机、人字形屋顶、桌椅等 三角形的重要线段 三角形的内角 ①三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于 180 度。 ②证明方法：剪拼成平角、通过做平行线构造平角、构造两平行线下的同旁内角。 测量法： 剪角拼角法 ： 三角形的外角 ①定义：三角形的一边与另一条边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。 如图，∠ACD 是 △ABC 的一个外角 ②结论：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和；三角形的一个外角大于与它不相 邻的任何一个角。 知识点2 命题、定理、证明 知识点 3： 全等三角形 全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形。 （一）全等形的形状相同，大小相等，与图形所在的位置无关。 （二）两个全等形的面积一定相等，但面积相等的两个图形不一定是全等形。 （三）一个图形经过平移、翻折、旋转后，形状、大小都没有改变，只是位置发生了变化，即平移、翻折、旋转前后的图形全等。 全等多边形 （1）定义：能够完全重合的两个多边形叫做全等多边形.相互重合的顶点叫做对应顶点，相互重合的边叫做对应边，相互重合的角叫做对应角. （2）性质：全等多边形的对应边相等，对应角相等. （3）判定：边、角分别对应相等的两个多边形全等. 全等三角形 （一）全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 （二）全等三角形中的对应元素 1、概念：把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。 对应顶点：点A与点D，点B与点E，点C与点F。 对应边：AB与DE，AC与DF，BC与EF。 对应角：∠A与∠D，∠B与∠E，∠C与∠F。 2、对应元素的确定方法 （1）字母顺序确定法∶根据书写规范，按照对应顶点确定对应边、对应角。 （2）图形位置确定法 ①公共边一定是对应边； ②公共角一定是对应角； ③对顶角一定是对应角; （3）图形大小确定法∶两个全等三角形的最大的边（角）是对应边（角），最小的边（角）是对应边（角）。 （三）全等三角形的表示：全等用符号“≌”表示，读作“全等于”。如三角形△ABC和△DEF全等，记作△ABC≌△DEF。记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。 知识点4：全等三角形的性质 （一）全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等。 （二）全等三角形对应边上的高、中线分别相等，对应角的平分线相等，面积相等，周长相等。 ∵△ABC≌△DEF ∴AB=DE，AC=DF，BC=EF（全等三角形的对应边相等）。 ∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F（全等三角形的对应角相等）。 判定全等三角形（边边边） 1、三边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS”）。 判定全等三角形（边角边） 1、用直尺和圆规作一个角等于已知角(已知角∠AOB，求作∠AOB=∠A'O'B') ①以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C、D。 ②画一条射线O'A'，以点O'为圆心，OC长为半径画弧，交O'A'于点C'。 ③以点C'为圆心，CD长为半径画弧，与第2步中所画的弧相交于点D'; ④过点D'画射线O'B'，则∠A'O'B'=∠AOB。 2、两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）。 判定全等三角形（角边角） 两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）。 知识点 判定全等三角形（角角边） 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（可以简写成"角角边"或"AAS"）。 判定全等三角形（直角边、斜边） 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简写成"斜边、直角边"或"HL"）。 注意：用“HL”证明两个直角三角形全等，书写时两个三角形符号前面要加上“Rt”。 知识点5 全等三角形的性质 对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等． 寻找对应边和对应角，常用到以下方法： (1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边． (2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角． (3)有公共边的，公共边常是对应边． (4)有公共角的，公共角常是对应角． (5)有对顶角的，对顶角常是对应角． (6)两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角)，一对最短边(或最小角)是对应边(或对应角)． 要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的元素是关键． 知识点6：全等三角形的应用 运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线． 拓展关键点：能通过判定两个三角形全等进而证明两条线段间的位置关系和大小关系．而证明两条线段或两个角的和、差、倍、分相等是几何证明的基础． 知识点7 角的平分线的性质与判定 （一）作已知角的平分线（已知：∠AOB。求作：∠AOB的平分线） 1、以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N。 2、分别以M,N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C。 3、画射线OC，射线OC即为所求。 （二）角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。 几何表示：∵OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E。∴PD=PE。 角的平分线的判定 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。 几何表示： ∵点P是∠AOB内的一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，且PD=PE， ∴点P在∠AOB的平分线OC上。 重要拓展： 1、三角形的三条角平分线相交于三角形内一点，且该点到三角形三边的距离相等。反之，三角形内部到三边距离相等的点是该三角形三条角平分线的交点。 2、三角形的角平分线与三角形一边交于一点，这条角平分线把三角形分成两个小三角形，它们的面积比等于另外两边的长度的比。 ∵AD是∠BAC的角平分线； ∴DF=DE； ∵；； ∴ = ； 知识点8：线段垂直平分线的性质与判定 1.定义 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线。 2.线段垂直平分线的作图 1. 分别以点 A、B 为圆心，以大于AB 的长为半径作弧，两弧相交于 C、D 两点； 2. 作直线 CD，CD 为所求直线 线段垂直平分线性质 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. 线段的垂直平分线的判定 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 题型归纳 【题型1 三角形的相关概念】 1．（24-25八年级上·浙江温州·期中）若一个三角形三个内角度数的比为，那么这个三角形是（    ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的内角和定理以及三角形的分类．根据三角形的内角和是，列式即可求得最大内角的度数，然后判断三角形的形状． 【详解】解：∵一个三角形三个内角度数的比为， ∴最大内角的度数为， ∴该三角形是直角三角形， 故选：A． 2．（24-25八年级上·山东济宁·阶段练习）具备下列条件的中，不是直角三角形的是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形内角和定理以及直角的判定条件，熟知三角形内角和是是解答此题的关键．根据三角形内角和为，直接进行解答． 【详解】解：．，即，，为直角三角形，故该选项不符合题意； ．，则，则，为直角三角形，故该选项不符合题意； ． ，则，为直角三角形，故该选项不符合题意； ．，即，，三个角没有角，故不是直角三角形，故该选项符合题意． 故选：D． 3．（24-25八年级上·浙江湖州·阶段练习）已知的三个内角度数比为，则这个三角形是 三角形． 【答案】锐角 【分析】本题考查三角形归类．利用内角度数比分别求出三个内角度数，继而得到本题答案． 【详解】解：∵的三个内角度数比为， ∴三个内角分别为：， ， ， ∵三个内角均小于， ∴这个三角形是锐角三角形， 故答案为：锐角． 4．（23-24八年级上·浙江台州·阶段练习）在中，若，则此三角形是 （填“锐角”、“直角”或“钝角”）三角形． 【答案】直角 【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形的分类，由，，求得，再根据三角形分类即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】∵，， ∴， ∴， ∴三角形是直角三角形， 故答案为：直角． 5．（24-25八年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，我们知道要使四边形木架不变形，至少要钉一根木条，那么要使五边形木架不变形，至少要钉几根木条？要使七边形木架不变形，至少要钉几根木条？要使n边形木架不变形，又至少要钉多少根木条？请带着这些问题开始探究活动．    多边形木架的边数 至少要钉木条的根数 … ▲ 根据以上信息，解答下列问题． （1）要使十二边形的木架不变形，应至少要钉______根木条． （2）表格中的“▲”处填_____．（用含n的代数式表示） （3）有一个多边形，至少要钉上18根木条，才能使它不变形．则这个多边形的边数是_____． 【答案】（1）（2）（3） 【分析】本题考查三角形的稳定性，图形类规律问题； （1）利用三角形具有稳定性即可解答； （2）根据（1）中的结论代入计算即可求解； （3）根据（1）中的结论可知，有18根木条，则多边形的边数为，即可求解． 【详解】解：（1）如下表： 多边形木架的边数 4 5 6 … n 至少钉木条的根数 1 2 3 … （根）， ∴要使十二边形木架不变形，至少要钉上9根木条， 故答案为：． （2）由（1）进而得表格中的“▲”处填 故答案为：． （3）解：， ∴这个多边形的边数是21， 故答案为：21． 【题型2 三角形的三边关系】 1．（24-25八年级上·安徽马鞍山·期中）三角形的三边长分别为，，，则第三边长的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查三角形三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键；根据题意及三角形三边关系可直接进行求解． 【详解】解：由题意得第三边长的取值范围是：，即 故选：C． 2．（24-25八年级上·浙江宁波·开学考试）已知一个三角形的三边长均为整数，若其中仅有一条边长为6，且它不是最短边，也不是最长边，则满足条件的三角形共有（   ） A．12个 B．10个 C．8个 D．6个 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的三边关系，先确定出最短边的长度是解题的关键． 根据边长为6的情况确定出该三角形的最短边的长度，然后根据三角形的任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出最长边，从而得解． 【详解】解：根据题意，∵三角形的三边长均为整数， ∴该三角形的最短边可以是1、2、3、4、5， 当最短边为1时，无法满足条件三角形， 当最短边为2时，最长边，即最长边，所以最长边为7， 当最短边为3时，最长边，即最长边，所以最长边为7，8， 当最短边为4时，最长边，即最长边，所以最长边为7，8，9， 当最短边为5时，最长边，即最长边，所以最长边为7，8，9，10 满足条件的三角形共有． 故选：B． 3．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）已知三角形的三边长分别为3，5，x，若x是整数，则x的值可取 （只填一个）． 【答案】3（答案不唯一） 【分析】该题主要考查了三角形的三边关系，解题的关键是掌握三角形中第三边大于两边之差小于两边之和． 根据三角形的三边关系求出x的范围即可求解． 【详解】解：由三角形三边关系定理得，即， 是整数， 可以取， 故答案为：（答案不唯一）． 4．（23-24八年级上·浙江宁波·期中）线段，，首尾顺次相接组成三角形，若，，则的长度可以是 ．（写出一个符合题意的答案即可） 【答案】3（答案不唯一） 【分析】本题考查三角形三边关系，解答本题的关键是明确题意，求出的取值范围． 根据三角形三边关系可以求得的取值范围，然后写出一个符合要求的的值即可． 【详解】解：线段，，首尾顺次相接组成三角形，，， ， 即， ， 的长度可以是3， 故答案为：3（答案不唯一）． 5．（24-25八年级上·安徽马鞍山·期中）已知三角形三边长分别为a，b，c，其中a，b满足，这个三角形的最长边为． (1)求的取值范围： (2)若此三角形的周长为偶数，求此三角形的周长． 【答案】(1) (2)22或24 【分析】本题考查了非负性的性质，以及三角形三边的关系，利用非负数的性质，求得a、b的值是解题关键． （1）由非负数的性质，可得、的值，根据三角形两边之和大于第三边，三角形的最长边为，可得答案； （2）由此三角形的周长为偶数，可知为奇数，则或11，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， ∵三角形的最长边为， ∴，即：； （2）由（1）可知，，，， 则此三角形的周长为， ∵此三角形的周长为偶数， ∴为奇数，则或11， ∴或24， ∴此三角形的周长为22或24． 【题型3 与三角形高有关的计算】 1．（24-25八年级上·辽宁大连·期中）如图，在中，，，的高与的比是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的高，三角形的面积公式，根据等面积法求解即可． 【详解】解∶∵与是高， ∴， ∴， 故选∶B． 2．（23-24八年级上·浙江衢州·期末）如图，和分别是的角平分线和高线，已知，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查与角平分线有关的三角形的内角和定理．先求出，的度数，根据平分线平分角求出，再利用进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵和分别是的角平分线和高线， ∴，， ∴， ∴； 故选：A． 3．（23-24八年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，在中，，，点在边上，作于、于，若，的面积为，则的长为 ． 【答案】 【分析】此题考查三角形的面积，解题关键在于作辅助线和利用面积公式计算．连接，根据列式计算即可得解． 【详解】解：如图，连接， ，，，的面积为， ， 即， 解得：， 故答案为：． 4．（23-24七年级上·浙江杭州·期末）如图，三角形中，，，，则能表示点 C 到直线 的距离的是线段 的长，点 C 到直线的距离为 ． 【答案】 / 【分析】本题考查点到直线的距离，能够灵活运用三角形的面积公式是解答本题的关键．根据点到直线的距离可判断出表示点 C 到直线 的距离的线段，运用直角三角形面积的两种求法求的长． 【详解】解：∵， ∴点 C 到直线 的距离的是线段的长． 由题意可知，的面积为， ， ∴， ∴， ∴． 故答案为：，． 5．（23-24八年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，，是的两条高，已知，，． (1)求的面积； (2)求的长． 【答案】(1)10 (2) 【分析】本题考查了三角形的面积，熟记三角形的面积计算公式是解题的关键． （1）根据三角形面积公式计算即可； （2）结合（1）中的面积利用三角形面积公式即可求出的长． 【详解】（1）解：是的高，， 的面积为：； （2）是的高，，的面积为， ， 即， ． 【题型4 与三角形中线有关的计算】 1．（23-24八年级上·四川德阳·阶段练习）如图所示，中，点、、分别在三边上，是的中点，、、交于一点，，，，则的面积是（   ） A．25 B．30 C．35 D．40 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的面积公式、三角形之间的面积加减计算．注意同底等高的三角形面积相等，面积相等、同高的三角形底相等．由于，那么结合三角形面积公式可得，而，可得出，而是中点，故有，于是可求，从而易求． 【详解】解：如图， ∵，同高， ， ， 是的中点， ∴同理可知， 又，， ， ． 故选：B． 2．（24-25八年级上·浙江金华·阶段练习）如图，已知点，，分别为，，的中点，若的面积为20，则四边形的面积为（   ） A．10 B．9 C．8.5 D．7.5 【答案】D 【分析】本题考查了利用三角形的中线求面积问题，熟练掌握和运用利用三角形的中线求面积的方法是解决本题的关键．根据三角形一边上的中线，把三角形分成面积相等的两部分，即可求解． 【详解】解：点为的中点，的面积为20， ， 点为的中点， ， 点为的中点， ，， 四边形的面积为， 故选：D 3．（23-24八年级上·浙江温州·阶段练习）如图，是的中线，若的周长比的周长大，，那么的长为 ．    【答案】5 【分析】根据中线的定义得出，根据的周长比的周长大，得出，则，即可求解． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∵的周长比的周长大， ∴， 则， ∵， ∴， 故答案为：5． 【点睛】本题主要考查了三角形的中线的定义，解题的关键是掌握三角形的一个顶点与对边中点的连线是三角形的中线． 4．（2024八年级上·浙江·专题练习）如图，是的边上的中线，是的边上的中线，是的边上的中线，若的面积是32，则阴影部分的面积是 ．    【答案】12 【分析】本题考查了中线的性质，清晰明确三角形之间的等量关系，进行等量代换是解题的关键． 利用中线等分三角形的面积进行求解即可． 【详解】解：是的边上的中线， ， 是的边上的中线， ， 又是的边上的中线，则是的边上的中线， ，， 则， 故答案为：12． 5．（23-24八年级上·浙江温州·阶段练习）如图，是的高，是的角平分线，是中点，，． (1)求的度数； (2)若与的周长差为3，，能否求出的值？若能，请写出理由和结果；若不能，请你补充条件并解答． 【答案】(1) (2)能，，理由见解析 【分析】本题考查的是三角形的角平分线、中线和高． （1）根据三角形的高的概念得到，根据直角三角形的性质求出，根据角平分线的定义求出，根据三角形的外角性质计算即可； （2）根据三角形的中线的概念得到，根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【详解】（1）解：是的高， ， ， ， 是的角平分线，， ， ； （2）解：能，，理由如下： 是中点， ， 与的周长差为3， ， ， ， ， 【题型5 与三角形内角和有关的计算】 1．（2022八年级上·浙江·专题练习）如图，在中，平分，交于点．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查三角形内角和定理，角平分线的定义，平行线的性质等知识．求出，，再利用三角形内角和定理即可解决问题． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴． 故选：． 2．（2024·浙江台州·二模）将一个含角的直角三角板和一把等宽的直尺按如图所示的位置摆放，其中，若，则的度数是(    ) A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质、邻补角和三角形内角和定理，由平行线的性质可得，根据邻补角求得，由三角形内角和定理可求出的度数． 【详解】解：，， ， ， ， ． 故选：C． 3．（23-24八年级上·浙江宁波·期中）如图，在中，是一条角平分线，是边上的高线，相交于点F，若，则 ． 【答案】/40度 【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，关键是掌握以上知识点． 先根据三角形内角和定理求出的度数，再根据三角形外角的性质即可求解． 【详解】解：∵是边上的高线， ， ， ， ， ， 故答案为：． 4．（23-24八年级上·浙江温州·阶段练习）如图所示，在中，内角和外角的平分线交于点，则 ． 【答案】 【分析】本题考查求角度，涉及角平分线定义、三角形外角性质等知识，现有角平分线定义得到，，设，，再由三角形外角性质得到①；②，由①即可得到答案，熟练掌握角平分线定义、三角形外角性质是解决问题的关键． 【详解】解：平分、平分， ，， 设，， ，即①； ，即②； 由①得， 与②比较可得， 故答案为：． 5．（23-24七年级下·江苏扬州·期中）如图，在在中，是边上的高，． (1)求的度数： (2)若是的角平分线，交于点F，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的定义： （1）根据三角形内角和定理，可得，再根据三角形高的定义，则由三角形内角和定理即可求出答案； （2）根据角平分线的定义，可得，然后根据三角形外角的性质，即可求解． 【详解】（1）解：在中，∵， ∴， ∵是边上的高， ∴， ∴； （2）解：∵，是的角平分线， ∴， ∵是的一个外角， ∴． 【题型6 三角形折叠中的角度问题】 1．（24-25八年级上·浙江台州·阶段练习）如图，将沿、、翻折，三个顶点均落在点O处，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查翻折变换，三角形内角和定理；根据翻折的性质可知，，，，又，可知，又，继而即可求出答案． 【详解】解：根据翻折的性质可知，，，， 又， ， ， 又， ． 故选：D 2．（23-24七年级下·陕西榆林·阶段练习）如图，将长方形纸片沿对角线折叠，点C的对应点为点E，交于点O．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了折叠的性质，长方形的性质以及三角形内角和定理，根据折叠的性质，可以得到的度数，然后再根据平行线的性质得到的度数，最后由三角形内角和定理可得结论． 【详解】解：由折叠的性质得到，， ∵， ∴， ∵四边形是长方形， ∴， ∴， ∴ 故选：A． 3．（23-24七年级下·江西萍乡·期末）如图，中，，，将其折叠，使点A落在边上处，折痕为，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了翻折变换，直角三角形两锐角互余，根据直角三角形两锐角互余求出，根据翻折变换的性质可得，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解． 【详解】解：，， ， 折叠后点落在边上处， ， 由三角形的外角性质得，． 故答案为：． 4．（23-24八年级上·湖北咸宁·期中）如图所示，中，边上有一点D，使得，将沿翻折得，此时，则 度． 【答案】90 【分析】根据可得，再根据翻折的性质可得，最后根据三角形的内角和求解即可． 【详解】解：∵， ∴． ∵沿翻折得， ∴，． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． 故答案为：90． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，翻折的性质，解题的关键是熟练掌握两直线平行内错角相等，翻折前后对应边相等对应角相等． 5．（2023八年级下·浙江·专题练习）探索归纳： (1)如图1，已知为直角三角形，，若沿图中虚线剪去，则　　． A．  90°  B．  315°  C．  135°  D. 270° (2)如图2，已知中，，剪去后形成四边形，则　　度． (3)如图2，根据上面的求解过程，猜想与的关系是　　． (4)如图3，若没有剪掉，而是把它折成如图3的形状，请猜想与的关系是　　． 【答案】(1)D (2)240 (3) (4) 【分析】（1）由三角形的外角的性质：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，即可得到答案 （2）由三角形的外角的性质：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，即可得到答案 （3）由三角形的外角的性质：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，即可得到答案 （4）由三角形的外角的性质：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，即可得到答案． 【详解】（1）解：，， ， 故选：D． （2）解：，， ， 故答案为：240． （3）解：，， ， 故答案为：． （4）解：连接， ，， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查三角形的外角，关键是掌握三角形的外角的性质． 【题型7 三角形外角问题】 1．（23-24八年级上·广西贵港·期末）如图，是中的平分线，是的外角的平分线，若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据角平分线的定义以及一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和，可求出的度数，根据补角的定义求出的度数，根据三角形的内角和即可求出的度数，即可求出结果．本题考查了角平分线的定义，三角形的外角性质，三角形内角和性质，难度适中． 【详解】解：是中的平分线，是的外角的平分线，且， ， ， ． ， ， 故选C． 2．（24-25八年级上·浙江·期中）将一副直角三角板按如图所示方式摆放，含角的三角板的斜边经过含角的三角板的直角顶点，短的直角边与含角的三角板的斜边重合，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了三角形的外角性质，准确识图，理解三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解决问题的关键． 如图，依题意得，，根据三角形的外角性质得，由此可得出的度数． 【详解】解：如图， ， 由题意，得，， ∵， ∴， 故选：B． 3．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）中，，点在边边上，点在边上，，若，则的度数为 ． 【答案】24° 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形的外角的性质等知识，根据三角形的内角和定理得出，由三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和可得，进而可得，代入即可得解，熟练掌握三角形内角和定理，三角形的外角的性质是解决此题的关键． 【详解】如图， ∵， ∴在中，， ∵， ∴ ， ∵， ∴ 故答案为：． 4．（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）如图，，则的度数为 ． 【答案】/105度 【分析】本题考查三角形的外角性质，延长交于点E，由三角形外角的性质可得，，进而可得． 【详解】解：延长交于点E，如图所示： ∵是的一个外角， ∴， 又∵是的一个外角， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 5．（23-24七年级下·辽宁葫芦岛·期末）如图，点在直线上，，平分交于，． (1)求证：； (2)若平分，：，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了垂直的定义、平行线的判定、角平分线的定义、一元一次方程的应用等知识，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键． （1）首先根据题意可得，，进而可知，可证明，即可证明结论； （2）根据平分线的定义可得，设，则，再求出，可得关于x的一元一次方程，解得x的值，进而求解即可． 【详解】（1）证明：平分， ， ，即， ； （2）解：平分，， ， 设， ， ， ， ， 解得： ． 【题型8 定义、命题与证明】 1．（24-25八年级上·浙江温州·阶段练习）下列选项中，可以用来说明命题“若，则”是假命题的反例是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了举例说明假命题．熟练掌握举例说明假命题是解题的关键． 由 ，，可知是说明命题“若，则”是假命题的反例，然后作答即可． 【详解】解：∵ ，， ∴是说明命题“若，则”是假命题的反例， 故选：D． 2．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）若证明命题：“对于任意实数恒成立”是假命题，只需要举一个反例，则这个反例可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查假命题的判定，举反例，熟练掌握假命题的判定方法：举一个符合命题的条件，不满足结论即判定是假命题是解题的关键． 把各选项数据分别代入等式左右两边计算，再比较即可求解． 【详解】解：A、若，，则，， 所以成立，故此选项不符合题意； B、、若，，则，， 所以成立，故此选项不符合题意； C、若，，则，， 所以成立，故此选项不符合题意； D、若，，则，， 所以不成立，故此选项符合题意； 故选：D． 3．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）要说明命题“若，则，”是假命题，则 ， ． 【答案】 2（答案不唯一） （答案不唯一） 【分析】本题考查了真假命题，反证法，解题关键是能够运用反证法证明一些命题的真假； 可先假设命题为真命题，再举出反例，推翻假设，进而得出结论． 【详解】解：假设若，则，是真命题， 当，时，，但，， 所以假设不成立， 所以命题为假命题． 故答案为：2， (答案不唯一) 4．（23-24八年级上·浙江衢州·开学考试）给出下列语句：①延长线段到点；②垂线段最短；③过点画直线；④在中，若，则，其中是命题的有（只填序号） ． 【答案】②④ 【分析】本题考查了命题与定理得知识，利用命题的定义逐项判断即可得出答案，解题的关键是掌握命题的定义． 【详解】解：①延长线段到点，没有对问题作出判断，不是命题，不符合题意； ②垂线段最短，是命题，符合题意； ③过点画直线，没有对问题作出判断，不是命题，不符合题意； ④在中，若，则，是命题，符合题意； 综上所述，是命题的有②④， 故答案为：②④． 5．（23-24七年级下·河北邯郸·阶段练习）已知命题“两直线平行，同旁内角互补”． (1)写出该命题的题设和结论，并将其改写成“如果……那么……”的形式； (2)嘉淇想证明该命题，下面是她的解题过程，请将其补全，并在括号内填上推理的根据． 如图，已知直线，直线截，于点M，N． 求证　　． 证明：∵（已知）， ∴（ 　　）． ∵　　（平角的定义）， ∴　　（ 　　）． 【答案】(1)该命题的题设是“两直线平行”，结论是“同旁内角互补”，改成“如果……那么……”的形式是：如果两直线平行，那么同旁内角互补 (2)；两直线平行，同位角相等；；；等量代换 【分析】本题考查了命题，平行线的性质等知识， （1）确定题设是“两直线平行”，结论是“同旁内角互补”，按要求表述即可； （2）根据两直线平行，同位角相等可得，再结合平角的定义，即可证明． 【详解】（1）该命题的题设是“两直线平行”，结论是“同旁内角互补”， 改成“如果……那么……”的形式是：如果两直线平行，那么同旁内角互补； （2）如图，已知直线，直线截，于点M，N． 求证． 证明：∵（已知）， ∴（两直线平行，同位角相等）． ∵（平角的定义）， ∴（等量代换）． 故答案为：；两直线平行，同位角相等；；；等量代换． 【题型9 全等三角形的性质】 1．（24-25八年级上·河北廊坊·阶段练习）如图，点，在上，且．若，，则的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的性质．根据全等三角形的性质得到，推出，从而可得． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：C． 2．（2023八年级上·全国·专题练习）如图，在中，于点D、E是上一点，若，，，则的周长为（    ） A．22 B．23 C．24 D．26 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的对应边相等，是解题的关键．由全等三角形的性质可得，，即可得的周长，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∴的周长， ∵，， ∴的周长为． 故选：C． 3．（24-25八年级上·浙江·期中）一个三角形的三条边的长分别是5，7，10，另一个三角形的三条边的长分别是5，，，若这两个三角形全等，则的值是 ． 【答案】14或12.5 【分析】本题考查的是全等三角形的性质及解二元一次方程组、求代数式的值，掌握全等三角形对应边相等是解题的关键． 根据全等三角形的对应边相等，分与7对应和与7对应两种情况计算，得到答案． 【详解】解∶两个三角形全等， ，或，， 解得∶，或，， 或12.5． 故答案为∶14或12.5． 4．（23-24七年级下·河南驻马店·期末）如图，在长方形中 ，，，，，延长至点E，使，连接．动 点P 从 点A  出发，以每秒2个单位长度的速度沿运动，回到点A 停止运动，运动时间为：t秒，当t 的值为 时，和全等． 【答案】或 10 【分析】此题考查了全等三角形的性质和判定，根据题意分两种情况：和，然后根据全等三角形的性质求解即可． 【详解】解：如图所示，当时， ∴ ∵在长方形中，，， ∴， ∴ ∵点P的运动时间为每秒2个单位 ∴（秒）； 如图所示，当时， ∴， ∴， ∴（秒） 综上所述，当t的值为或10秒时，与全等． 故答案为：3.5或10． 5．（23-24八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，已知中，，，点为的中点．如果点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动． (1)若点的运动速度与点的运动速度相等，经过1后，与是否全等？说明理由； (2)若点的运动速度与点的运动速度不相等，当时间为何值时，与全等？求出此时点的运动速度． 【答案】(1)，见解析 (2)，速度为厘米/秒 【分析】本题借助动点问题，考查了全等三角形的性质，熟记相关性质定理的内容是解题关键． （1）根据运动时间，可得出，，据此即可求证； （2）由点的运动速度与点的运动速度不相等可得出且时，与全等，据此即可求解． 【详解】（1）解：，理由如下： （秒） ，点为的中点 在和中， ∴ （2）解： 若与全等，则 故 所以点、的运动时间： 此时（厘米/秒） 【题型10 全等三角形的判定】 1．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，是一个任意角，在边，上分别取，移动角尺使角尺两边相同的刻度分别与，重合，过角尺顶点的射线便是的平分线，这一做法用到三角形全等的判定定方法是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键．根据作图过程得出，利用三边相等证明即可得答案． 【详解】解：∵角尺两边相同的刻度分别与，重合， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴这一做法用到三角形全等的判定定方法是． 故选：A． 2．（23-24八年级上·江苏苏州·期中）如图，已知的面积为12，平分，且于点D，则的面积是（    ） A．10 B．8 C．6 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，中线平分三角形的面积，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先延长交与点E，根据平分，且于点D，得出，证明，所以,，即，因为，所以的面积是，即可作答． 【详解】解：延长交与点E， ∵平分，且于点D， ∴， ∵， ∴， ∴,， ∴是的中线， ∴， ∵的面积为12，且， 则的面积是， 故选：C． 3．（24-25八年级上·浙江温州·期中）如图，，，若添加一个条件可得，则添加的条件可以是 ．（写出一个满足条件的答案） 【答案】（或） 【分析】本题考查了全等三角形的判定，解题的关键是掌握判定定理，根据已知条件合理添加条件进行证明．根据已知条件可得两个三角形中有两对边相等，所以可以根据和添加条件． 【详解】解：由题意可得：，， 添加：，根据可得； 添加，根据可得； 故答案为：（或）． 4．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，，，垂足分别为、，、交于点，已知，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的知识，解题的关键是根据题意，则，根据对顶角相等，求出，再根据，判定三角形，即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 5．（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）如图，已知，是上两点，且． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查平行线的性质，全等三角形的判定定理和性质，三角形的外角的性质，熟练掌握并应用这些性质定理是解题的关键； （1）先根据平行线的性质得到，根据已知线段相等可得到，根据三角形全等的判定定理——即可证明； （2）先根据三角形的外角得到的度数，然后根据全等三角形的对应角相等即可求解． 【详解】（1）证明：， ， ， ， 即， 在与中， ， ． （2）解：， ， 由（1）得， ． 【题型11 全等三角形的综合】 1．（23-24八年级上·江苏南通·阶段练习）如图，，，，于H，的延长线交于G，下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论为（    ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】在上截取，利用证明，利用证明即可得，延长使，连接，根据得四边形是平行四边形，则，，，根据得，则，利用证明，得，则，，即可判断②④，根据题意无法证明与相等，故③错误，即可得． 【详解】解：如图所示，在上截取， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 即， 故①正确； 如图所示，延长使，连接， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∴， 故②④正确； 根据题意无法证明与相等， 故③错误， 综上，①②④正确 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，三角形的面积，解题的关键是掌握这些知识点，适当添加辅助线． 2．（23-24八年级上·黑龙江牡丹江·期末）如图，，，，点、、三点在一条直线上，，，则度数为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查全等三角形的知识，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质，三角形的外角． 3．（23-24八年级上·浙江温州·期中）如图，平分，，的延长线交于点，若，则的度数为 度． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，角平分线的性质，三角形形内角和定理，先证明，得到，再由，求出，即可求得． 【详解】解：解：∵平分， ∴， ∵，， ∴在和中， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为： 4．（24-25八年级上·浙江金华·阶段练习）如图，中，，，，点从点出发沿路径向终点运动，终点为点，点从点出发沿路径向终点运动，终点为点，点和分别以和的运动速度同时开始运动，两点都要到达相应的终点时才能停止运动，分别过和作于，于．设点运动时间为秒，要使以点，，为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形全等，求的值． 【答案】或或 【分析】本题考查的是全等三角形与动点问题，先求出点从点出发到达点和点所需要的时间，点从点出发到达点和点所需要的时间，然后根据、所在的位置分类讨论，分别画出对应的图形，找出全等三角形的对应边并用时间表示，然后列出方程即可得出结论． 【详解】解：由题意知，点从点出发到达点所需要的时间为：；到达点共需要的时间为： 点从点出发到达点所需要的时间为：；到达点共需要的时间为： 当，点在上，点在上，如图所示： 此时 要使以点，，为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形全等 （不符合题意，舍去）； 当，点在上，点在上，如图所示： 要使以点，，为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形全等 和重合，和重合 （符合题意） 当，点在上，点在上，如图所示： 要使以点，，为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形全等 （符合题意）； 当，点在上，点与点重合，如图所示： 要使以点，，为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形全等 （符合题意）； 综上所述，要使以点，，为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形全等，则或或 5．（24-25八年级上·浙江金华·阶段练习）如图，在中，，高相交于点，且． (1)求线段的长； (2)动点从点出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动，动点从点出发沿射线以每秒4个单位长度的速度运动，两点同时出发，当点到达点时，两点同时停止运动．设点的运动时间为秒，当为何值时，； (3)在（2）的条件下，点是直线上的一点且．是否存在值，使以点为顶点的三角形与以点为顶点的三角形全等？若存在，请直接写出符合条件的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)当或时，； (3)或时，与全等． 【分析】本题考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质、三角形的面积等知识，利用方程的思想解题是关键： （1）只要证明即可解决问题； （2）分两种情形讨论：①当点Q在线段上时，，②当点Q在射线上时，，分别列方程求解即可； （3）分两种情形求解：①如图2中，当时，，②如图3中，当时，；再进一步建立方程求解即可． 【详解】（1）解：如图1中， ， ∵是高， ∴， ∵是高， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵，， ∴，， 由题意得， ，， ①当点Q在线段上时，，，如图， ∵， ∴， 解得， ②当点Q在射线上时，，如图， ∵， ∴， 解得， 综上可知，当或时，； （3）解：存在，理由如下， ①如图2中，当时， ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，解得， ②如图3中，当时， ∵，， ， ∴， ∴， ∴，解得， 综上所述，或时，与全等． 【题型12 全等三角形模型】 1．（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在长方形中，是中点，在边上，若，则（    ） A．3 B．2 C．1.5 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形全等的性质和判定，延长，交于点G，构造，利用三角形中线的性质得出，进而求出，再由求出答案． 【详解】解：延长，交于点G， ∵在长方形中，，， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选A． 2．（2024·内蒙古鄂尔多斯·三模）生命中总有些节点，如同一条线段的中点，它既是过去与未来的交汇，也是静默与喧嚣的界碑．如图，点D是的边上的中线，，，则的取值范围为（    ）．    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查对全等三角形的性质和判定以及三角形的三边关系．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用． 延长到，使，连接，证，推出，根据三角形的三边关系定理求出即可． 【详解】解：延长到，使，连接，   点D是的边上的中线， ， 在和中 ， ， ， ， ， ， 故选：A． 3．（2024八年级·浙江杭州·专题练习）（2016育才周测）如图，正三角形和，A，C，E在同一直线上，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60°．成立的结论有 ．并写出3对全等三角形 ．    【答案】 ①②③⑤ △ACD≌△BCE，△BCQ≌△ACP，△CDP≌△CEQ 【分析】①可证明△ACD≌△BCE,从而得出AD=BE； ②可通过证明△BCQ≌△ACP，从而可证明△PCQ为等边三角形，再根据内错角相等两直线平行可证明PQ∥AE． ③由②中△BCQ≌△ACP，可证AP=BQ； ④通过证明△CDP≌△CEQ可得DP=EQ，又由图可知DE＞QE，从而④错误； ⑤通过三角形外角定理和前面△ACD≌△BCE可得该结论． 由前面的证明过程可得出三个全等三角形． 【详解】解：①△ABC和△DCE均是等边三角形，点A，C，E在同一条直线上， ∴AC=BC，EC=DC，∠BCE=∠ACD=120° ∴△ACD≌△BCE ∴AD=BE，故本选项正确； ②∵△ACD≌△BCE， ∴∠CBQ=∠CAP， 又∵∠PCQ=∠ACB=60°，CB=AC， ∴△BCQ≌△ACP， ∴CQ=CP，又∠PCQ=60°， ∴△PCQ为等边三角形， ∴∠QPC=60°=∠ACB， ∴PQ∥AE，故本选项正确； ③由②△BCQ≌△ACP可得AP=BQ，故本选项正确； ④∵△ACD≌△BCE， ∴∠ADC=∠BEC， ∵CD=CE，∠DCP=∠ECQ=60°， ∴△CDP≌△CEQ（ASA）． ∴DP=EQ， ∵DE＞QE ∴DE＞DP，故本选项错误； ⑤∠AOB=∠DAE+∠AEO=∠DAE+∠ADC=∠DCE=60°，故本选项正确； ∴正确的有：①②③⑤． 由上面证明过程可知△ACD≌△BCE，△BCQ≌△ACP，△CDP≌△CEQ． 故答案为：①②③⑤；△ACD≌△BCE，△BCQ≌△ACP，△CDP≌△CEQ． 【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质．熟练掌握全等三角形的判定定理，并能依据等边三角形三边相等，三角相等都是60°的特征判断三角形全等是解题关键． 4．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在中，，过点作，且，连接，若，则的长为 ． 【答案】3 【分析】过点作交延长线于点，先证明，则，然后根据求即可． 【详解】解：过点作交延长线于点， 则∠DMC=90°=∠ABC， ，， ，， ， ， ， ， ， ． 故填． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质以及三角形的面积，正确作出辅助线、构造全等三角形证得成为解答本题的关键． 5．（24-25八年级上·浙江嘉兴·阶段练习）（1）阅读理解：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：在中，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）： 　　 ①延长到，使得； ②再连接，把集中在中； 请完成任务1：在图1中找出与的数量关系并证明．； ③利用三角形三边关系可得． 任务2：的取值范围是_________． （2）感语：解题时，条件中若出现“中点”“中线”等条件，可以考虑倍长中线，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中． （3）思考：如图2，是的中线，． 任务3：探究线段与的数量关系并加以证明． 【答案】（1）；（3），理由见解析 【分析】本题考查全等三角形的常见模型：倍长中线模型．熟记相关几何模型和结论是解题的关键． （1）证明，进一步由且即可求解； （3）延长到Q使得，连接，延长交于点，证、即可求解． 【详解】解：（1）延长到，使得，连接， ∵是边上的中线， ∴， ， ， ∴， ∵， ∵且， ∴． 故答案为：； （3）解：，理由如下： 延长到Q使得，连接，延长交于点，如图；    ∵是边上的中线， ∴， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【题型13 角平分线的性质与判定】 1．（24-25七年级上·山东烟台·期中）如图，已知的周长是30，，分别平分、，于点D，且，则的面积为（    ） A．30 B．35 C．40 D．45 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线性质，过O作于E，于F，连接，根据角平分线性质得出，求出的面积，再求出答案即可． 【详解】解：过O作于E，于F，连接， ∵，分别平分和，，，，， ∴，， ∵的周长为30， ∴， ∴ ， 故选：D． 2．（24-25八年级上·云南昭通·期中）如图，，和分别平分和，过点且与垂直．若，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的性质，熟记角平分线的性质并作辅助线是解题的关键．过点作于，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得，，那么，又，进而求出，进而根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：如图，过点作于， ，， ， 和分别平分和， ，， ， ， ， ， ， 故选：A． 3．（24-25八年级上·浙江绍兴·阶段练习）点在的角平分线上，点到边的距离等于10，点是边上的任意一点，则的取值范围是 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质和垂线段最短．过作于，根据角平分线的性质得出，再根据垂线段最短得出即可． 【详解】解：过作于， ，，平分， ， 点到边的距离等于10， ， ， 故答案为：． 4．（23-24八年级上·北京西城·期中）如图，在四边形中，，对角线平分，则的面积为 ． 【答案】12 【分析】本题主要考查了三角形的面积和角平分线的性质，过D作于E，根据角平分线的性质得出，再根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：过D作于E， ∵，对角线平分， ∴， ∵， ∴． 故答案为：12． 5．（24-25八年级上·全国·单元测试）如图，在中，点在边上，连接，有，的平分线交于点，过点作交的延长线于点，且，，连接．求的度数． 【答案】 【分析】此题考查了角平分线的性质，理解角平分线上的点到角的两边距离相等，到角两边距离相等的点在角的平分线上是解答此题的关键．过点作于点，于点，先通过计算得出，根据角平分线的性质得，，进而得，据此根据角平分线的性质可得出结论 【详解】解：如图，过点作于点，于点， ，， ， ， ， ，即为的平分线． 又，， ． 是的平分线， ， ， 点在的平分线上， 平分． 【题型14 垂直平分线的性质与判定】 1．（24-25八年级上·湖南长沙·期中）如图，有，，三个居民小区，它们的位置可连接成一个三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（ ） A．三条中线的交点处 B．三条角平分线的交点处 C．三条高线的交点处 D．三条边的垂直平分线的交点处 【答案】D 【分析】本题主要考查线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等；要求到三小区的距离相等，首先思考到小区、小区距离相等，根据线段垂直平分线定理的逆定理知满足条件的点在线段的垂直平分线上，同理到小区、小区的距离相等的点在线段的垂直平分线上，于是到三个小区的距离相等的点应是其交点，又因为三角形三边的垂直平分线相交于一点，所以答案可得． 【详解】解：根据线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等． 则超市应建在三条边的垂直平分线的交点处． 故选：D． 2．（23-24八年级上·广西玉林·期中）如图，在中，的垂直平分线交于点，边的垂直平分线交于点．已知的周长为，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，由线段垂直平分线的性质可得，，结合的周长，得出，即可得解，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∵的周长， ∴， ∴， ∴， ∴的长为； 故选：D． 3．（24-25八年级上·浙江金华·阶段练习）如图，已知平分，，在上，结论：①；②；③平分；④所在的直线是的垂直平分线．其中正确的是 （填序号） 【答案】①②③④ 【分析】本题考查了全等三角形的中与判定，垂直平分线的性质与判定，证明，可得，，进而可得垂直平分，则，即可求解． 【详解】解：∵平分， ∴ 又∵， ∴ ∴，，即平分；故①③正确， 又∵ ∴垂直平分，故④正确， ∵在上， ∴，故②正确， 故答案为：①②③④． 4．（23-24八年级上·浙江温州·期中）如图，中，，，的垂直平分线与相交于点，则的周长为 ． 【答案】/7厘米 【分析】本题考查了线段的垂直平分线的性质．根据线段的垂直平分线的性质得出，求出的周长，再代入求出即可． 【详解】解：的垂直平分线与相交于点， ， ，， 的周长为 ． 故答案为：． 5．（23-24八年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，在中，是的垂直平分线． (1)若，的周长是13，求的周长 (2)若中，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质易得到的周长，然后计算即可； （2）根据三角形内角和求出的度数，根据等腰三角形的性质得到，然后求得的度数． 【详解】（1）∵是的垂直平分线， ∴， ∵的周长是13， ∴， ∴的周长； （2）在中，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形三角形内角和定理，熟练掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题关键． 【题型15 尺规作图】 1．（24-25八年级上·浙江温州·期中）在中，，以A为圆心，适当长为半径画弧，交于D，E两点，再分别以D，E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点作射线交于点F，若，，则点F到的距离为（     ） A．3 B．4 C． D．5 【答案】B 【分析】本题考查了作图基本作图、角平分线的性质，熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．过点作于点，如图，利用基本作图得到平分，则根据角平分线的性质得到，即可求解． 【详解】解：过F点作于H点，如图， ，， ， 由作图痕迹得平分， 而，， ， ∴点F到的距离为 故选：B 2．（24-25八年级上·浙江温州·期中）如图， 在中，， 使． 再分别以点 D、E为圆心， 大于 ，两弧在内交于点F， 作射线交边于点 G， 若，， 则的面积为（   ） A．12 B．16 C．24 D．32 【答案】B 【分析】本题考查的是尺规作图，三角形的面积，角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 根据角平分线的性质得到，根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】如图，作于， 由尺规作图可知，是的角平分线， ∵，， ∴， ∴的面积为∶． 故选：B． 3．（23-24八年级上·浙江·阶段练习）如图，，以点为圆心，小于长为半径作圆弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于长为半径作圆弧，两弧交于点，作射线交于点．若，则的大小为 度． 【答案】 【分析】本题考查作图—基本作图（作已知角的平分线），利用基本作图得到，再利用平行线的性质得，得，然后根据三角形内角和计算的度数即可． 【详解】解：由作法知：平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的大小为度． 故答案为：． 4．（24-25八年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，在中，分别以A，C为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别相交于M，N两点，作直线，分别交线段，于点D，E，若，的周长为，则的周长为 cm．    【答案】14 【分析】本题主要考查了基本作图，熟练掌握作图是解题的关键．根据题意得到垂直平分，利用等量代换即可得到答案． 【详解】解：由作图可得垂直平分， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴的周长为， 故答案为：． 5．（24-25八年级上·浙江杭州·阶段练习）已知，用直尺和圆规作下列图形： (1)边上的中线（原图上画，只要保留痕迹，下结论）； (2)的角平分线（原图上画，只要保留痕迹，下结论）； (3)作一个角，使它等于（另画图，只要保留痕迹，下结论）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了作垂线，作角平分线，作一个角等于已知角等知识．熟练掌握作垂线，作角平分线，作一个角等于已知角是解题的关键． （1）作的垂直平分线交于，连接，即为所作； （2）作角平分线即可； （3）作一个角等于已知角即可． 【详解】（1）解：如图1，作的垂直平分线交于，连接， ∴为的中点， ∴即为所作； （2）解：如图2，即为所作； （3）解：如图3，即为所作； 过关检测 1．（24-25八年级上·浙江温州·期中）如图，已知点在一条直线上，，为了使则下列添加的条件不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握三角形全等的判定是解题的关键． 运用边边边，边角边，角边角，角角边的方法进行判定即可求解． 【详解】解：∵， ∴，且， A、添加， ∴，即，可以运用边角边证明，不符合题意； B、添加，不能运用边边角证明三角形全等，符合题意； C、添加，可以运用角边角证明，不符合题意； D、添加， ∴，可以运用角角边证明，不符合题意； 故选：B ． 2．（24-25八年级上·浙江温州·期中）如图，是的中线，，，E，F分别是垂足．已知，，则的长度为（     ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】此题考查了三角形中线的性质：平分三角形的面积． 根据三角形中线的性质得到的面积的面积，然后根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：是的中线， 的面积的面积， ，， ， ， ， ， ， ． 故选：C． 3．（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）对于命题“若，则．”能说明它属于假命题的反例是（  ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查了举反例判断命题真假．反例就是符合已知条件但不满足结论的例子，可据此判断出正确的选项． 【详解】解：对于命题“若 则 ”，能说明它属于假命题的反例是： ，，，但 ． 故选： B． 4．（24-25八年级上·浙江温州·期中）如图，在中，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别交于点，，直线分别交与于点和，连结，若，的周长为，则的周长是（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了垂直平分线的性质，理解垂直平分线的性质是解答关键． 根据垂直平分线的性质得到，，再结合三角形的周长求解． 【详解】解：由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线， ，． 的周长为， ， 的周长为． 故选：B． 5．（24-25八年级上·浙江·期中）在直角三角形中，，的平分线交于点，的平分线交于点，、相交于点，过点作，过点作于点，有以下结论：①；②；③平分；④，其中正确的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查三角形内角和定理，平行线的性质，角平分线的定义及等角的余角相等，解题关键是熟练运用这些知识点． 根据角平分线的定义及三角形内角和定理即可判断①正确；由平行线的性质及角平分线的定义即可判断②正确；根据等角的余角相等即可判断④正确；根据已知条件无法判断③，所以错误，综上所述即可得出答案． 【详解】解：在直角三角形中，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴， ∴①正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴②正确； ∵的度数不确定， ∴根据已知条件无法证明平分， ∴③不正确； ∵，， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵平分， ∴ ∴， 即， ∴④正确； 综上，正确的结论为①②④，共3个． 故选：C． 6．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）要说明命题“若，则，”是假命题，则 ， ． 【答案】 2（答案不唯一） （答案不唯一） 【分析】本题考查了真假命题，反证法，解题关键是能够运用反证法证明一些命题的真假； 可先假设命题为真命题，再举出反例，推翻假设，进而得出结论． 【详解】解：假设若，则，是真命题， 当，时，，但，， 所以假设不成立， 所以命题为假命题． 故答案为：2， (答案不唯一) 7．（24-25八年级上·浙江台州·期中）如图，在中，边的垂直平分线l与交于点D，垂足为点E．试比较与的大小： ．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，垂线的性质等知识点，熟练掌握线段垂直平分线的性质及直角三角形的斜边大于直角边是解题的关键． 根据线段垂直平分线的性质得到，，根据垂线的性质得到，然后根据直角三角形的斜边大于直角边判断即可． 【详解】解：直线l是边的垂直平分线， ，， ， ， ， 故答案为：． 8．（24-25八年级上·浙江金华·期中）当三角形中一个内角是另一个内角的时，我们称此三角形为“希望三角形”，其中角称为“希望角”．如果一个“希望三角形”中有一个内角为，那么这个“希望三角形”的“希望角”度数为 ． 【答案】或或 【分析】分角是α或是β或既不是α也不是β三种情况，根据希望角的定义以及三角形的内角和定理列式计算即可得解．本题考查了三角形的内角和定理，读懂题目信息，理解希望角的定义是解题的关键，难点在于分情况讨论． 【详解】解：依题意，①角是α，则“希望角”度数为； ②角是β，则， ∴ ∴“希望角”度数为； ③角既不是α也不是β， 则， ∴ 解得， ∴“希望角”度数为； 综上所述，“希望角”度数为或或 故答案为：或或 9．（24-25八年级上·浙江金华·阶段练习）已知如图：，且，于，于，，．连接，．则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，先导角证明，再证明，得到，则． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 10．（24-25八年级上·浙江金华·阶段练习）如图，已知平分，，在上，结论：①；②；③平分；④所在的直线是的垂直平分线．其中正确的是 （填序号） 【答案】①②③④ 【分析】本题考查了全等三角形的中与判定，垂直平分线的性质与判定，证明，可得，，进而可得垂直平分，则，即可求解． 【详解】解：∵平分， ∴ 又∵， ∴ ∴，，即平分；故①③正确， 又∵ ∴垂直平分，故④正确， ∵在上， ∴，故②正确， 故答案为：①②③④． 三、解答题 11．（24-25八年级上·浙江温州·期中）如图，点，，，在同一条直线上，，，．    (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键； （1）由平行线的性质可得，根据证明，即可得证； （2）根据全等三角形的性质结合三角形的外角性质求解即可． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：由（1）知， ， ， ． 12．（24-25八年级上·浙江温州·期中）已知：如图，点，在线段上，，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，理解全等三角形的判定和性质是解答关键． （1）由，利用线段的和差得到，由证明两个三角形全等即可； （2）由（1）可知，由全等三角形的性质得到，然后利用角的和差来求解． 【详解】（1）证明：∵， ． 在和中 ． （2）解：， ， ． 13．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）如图，在中，平分，； (1)试判断与的位置关系，并说明理由． (2)若，且，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理、平行线的性质和判定，掌握平行线的性质、判定及三角形的内角和定理是解决本题的关键． （1）先说明，再说明，利用平行线的判定得结论； （2）利用平行线的判定与性质求出，利用邻补角求出即可． 【详解】（1）解：与平行． 理由：∵平分， ． ， ， ， ， ． （2）解：， ． ， ， ， ， ． 14．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）已知的三边长是． (1)若，，且三角形的周长是小于22的偶数，求的值； (2)化简：． 【答案】(1)4或6 (2)0 【分析】本题主要考查了三角形三边的关系，化简绝对值， 对于（1），根据三角形三边关系确定c的取值范围，再根据三角形周长的范围可知答案； 对于（2），根据三角形三边关系可知，，再去绝对值即可． 【详解】（1）解：是的三边，，， . 三角形的周长是小于22的偶数， ， 或； （2）解：是的三边， ，， ∴． 15．（23-24七年级下·河南南阳·期末）【概念认识】 如图，在中，若，则，叫做的“三分线”其中，是“邻三分线”，“邻三分线”． 【问题解决】 （1）如图，，，是的“三分线”，则 ； （2）如图，在中，，，若的“邻三分线”交于点，则 ； （3）如图，在中，分别是“邻三分线”和“邻三分线”，且，求的度数． 【答案】（）；（）；（）． 【分析】（）根据“三分线”的定义即可得到答案； （）根据是“邻三分线”，根据三角形的外角性质计算即可； （）根据三角形内角和定理得到，根据“邻三分线”的定义计算即可； 本题考查了三角形的外角性质、三角形内角和定理，正确理解“邻三分线”、“邻三分线”的定义是解题的关键． 【详解】解：（）∵，，是的“三分线”， ∴， 故答案为：； （）如图， ∵是“邻三分线”时，， 则， 故答案为：； （）∵， ∴， ∴． ∵分别是“邻三分线”和“邻三分线”， ∴，， ∴， ∴， ∴． 16．（24-25八年级上·浙江衢州·期中）在中，，点D是直线上一点（不与B，C重合），以为一边在的右侧作，使，，连接． (1)如图1，当点D在线段上时，如果，则　　°． (2)设． ①如图2，当点D在线段上移动时，α、β之间有怎样的数量关系？请说明理由． ②当点D在直线上移动时，α、β之间有怎样的数量关系？请你在备用图上画出图形，并直接写出结论． 【答案】(1) (2)①，理由见解析；②或，对应图形见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理、三角形外角的性质等知识，涉及了分类讨论的思想方法，解题关键是发现全等三角形． （1）证明，得到，再进行等量代换，最后利用三角形内角和定理即可求证； （2）①证明，得到，再进行等量代换，最后利用三角形内角和定理即可求证；②分别讨论当点D在线段上移动时，当点D在线段的延长线上移动时，当点D在线段的反向延长线上移动时，三种情况即可． 【详解】（1）； 理由：∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴； （2）①； 理由：∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； ②或； 当点D在线段上移动时，，证明见小问①； 当点 D在线段线的延长线上时,如图1，， 证明：∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； 当点D在射线的反向延长线上时,如图2，， 证明：∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 17．（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）如图，在长方形中，，，点从点出发，以秒的速度沿向点运动，设点的运动时间为秒： (1)________．（用t的代数式表示） (2)当t为何值时，？ (3)当点从点开始运动，同时，点从点出发，以秒的速度沿向点运动，是否存在这样的值，使得与全等？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，2或 【分析】此题是四边形综合题，主要考查了全等三角形的性质，列代数式，解本题的关键是全等三角形性质的掌握． （1）根据点的运动速度可得的长； （2）根据全等三角形的性质即可得出即可； （3）此题主要分两种情况①得到，，②得到，，然后分别计算出的值，进而得到的值． 【详解】（1）解：点从点出发，以秒的速度沿向点运动，点的运动时间为秒时，， 故答案案为：； （2）当时，， 理由：，， ， ， ， ， （3）①当时， ，， ， ， ， ， 解得：， ， ， 解得：； ②当时， ， ， ， ， 解得：， ， ， 解得：． 综上所述：当或时，与全等． 18．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）（1）如图1，在中，，，是边上的中线，延长到点使，连接，把，，集中在中，利用三角形三边关系可得的取值范围．请写出的取值范围，并说明理由． （2）如图2，在中，是边上的中线，点，分别在，上，且，求证：．小艾同学受到（1）的启发，在解决（2）的问题时，延长到点，使…，请你帮她完成证明过程． （3）如图3，在四边形中，为钝角，为锐角，，，，点，分别在，上，且，连接，试探索线段，，之间的数量关系，并加以证明． 【答案】（1）；理由见解析 （2）详见解析 （3），证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，三角形的三边关系等知识，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理． （1）证明，推出，在中，利用三角形的三边关系解决问题即可； （2）如图2中，延长到，使得，连接，．证明，推出，再证明，利用三角形的三边关系即可解决问题； （3）结论：．延长到，使得，通过两次全等证明，即可解决问题． 【详解】解：（1）；理由如下： 是边上的中线， ， 在和中， ， ， ， ， ， 在，，且， ， ， ， ； （2）证明：延长到，使得，连结，． 是边上的中线， ， 在和中， ， ， ， ，， ， 在中，， ； （3）解：．理由如下： 延长到，使得， ，， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 三角形的初步知识 （8个知识回顾+15种重点题型归纳+过关检测） 题型聚焦：核心考点+中考题型，有的放矢 重点专攻：知识点和关键点梳理，查漏补缺 难点强化：难点内容标注与讲解，能力提升 提升专练：真题感知+精选专练，全面突破 【题型1 三角形的相关概念】 【题型2 三角形的三边关系】 【题型3 与三角形高有关的计算】 【题型4 与三角形中线有关的计算】 【题型5 与三角形内角和有关的计算】 【题型6 三角形折叠中的角度问题】 【题型7 三角形外角问题】 【题型8 定义、命题与证明】 【题型9 全等三角形的性质】 【题型10 全等三角形的判定】 【题型11 全等三角形的综合】 【题型12 全等三角形模型】 【题型13 角平分线的性质与判定】 【题型14 垂直平分线的性质与判定】 【题型15 尺规作图】 知识点 1 三角形的相关概念 由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形； 记作：△ABC，如图：其中：线段 AB，AC，CA 是三角形的边，A，B，C 是三角形的顶点，∠A，∠B， ∠C 是相邻两边组成的角，叫做三角形的内角，简称三角形的角． 三角形的分类： 三角形的三边关系： 三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边。 【拓展：三边关系的运用】 ①判断三条线段能否组成三角形； ②当已知三角形的两边长时，可求第三边的取值范围。 三角形的稳定性 ①三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性。三角形具有稳定性，而四 边形没有稳定性。 ②三角形的稳定性有广泛的运用：桥梁、起重机、人字形屋顶、桌椅等 三角形的重要线段 三角形的内角 ①三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于 180 度。 ②证明方法：剪拼成平角、通过做平行线构造平角、构造两平行线下的同旁内角。 测量法： 剪角拼角法 ： 三角形的外角 ①定义：三角形的一边与另一条边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。 如图，∠ACD 是 △ABC 的一个外角 ②结论：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和；三角形的一个外角大于与它不相 邻的任何一个角。 知识点2 命题、定理、证明 知识点 3： 全等三角形 全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形。 （一）全等形的形状相同，大小相等，与图形所在的位置无关。 （二）两个全等形的面积一定相等，但面积相等的两个图形不一定是全等形。 （三）一个图形经过平移、翻折、旋转后，形状、大小都没有改变，只是位置发生了变化，即平移、翻折、旋转前后的图形全等。 全等多边形 （1）定义：能够完全重合的两个多边形叫做全等多边形.相互重合的顶点叫做对应顶点，相互重合的边叫做对应边，相互重合的角叫做对应角. （2）性质：全等多边形的对应边相等，对应角相等. （3）判定：边、角分别对应相等的两个多边形全等. 全等三角形 （一）全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 （二）全等三角形中的对应元素 1、概念：把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。 对应顶点：点A与点D，点B与点E，点C与点F。 对应边：AB与DE，AC与DF，BC与EF。 对应角：∠A与∠D，∠B与∠E，∠C与∠F。 2、对应元素的确定方法 （1）字母顺序确定法∶根据书写规范，按照对应顶点确定对应边、对应角。 （2）图形位置确定法 ①公共边一定是对应边； ②公共角一定是对应角； ③对顶角一定是对应角; （3）图形大小确定法∶两个全等三角形的最大的边（角）是对应边（角），最小的边（角）是对应边（角）。 （三）全等三角形的表示：全等用符号“≌”表示，读作“全等于”。如三角形△ABC和△DEF全等，记作△ABC≌△DEF。记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。 知识点4：全等三角形的性质 （一）全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等。 （二）全等三角形对应边上的高、中线分别相等，对应角的平分线相等，面积相等，周长相等。 ∵△ABC≌△DEF ∴AB=DE，AC=DF，BC=EF（全等三角形的对应边相等）。 ∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F（全等三角形的对应角相等）。 判定全等三角形（边边边） 1、三边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS”）。 判定全等三角形（边角边） 1、用直尺和圆规作一个角等于已知角(已知角∠AOB，求作∠AOB=∠A'O'B') ①以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C、D。 ②画一条射线O'A'，以点O'为圆心，OC长为半径画弧，交O'A'于点C'。 ③以点C'为圆心，CD长为半径画弧，与第2步中所画的弧相交于点D'; ④过点D'画射线O'B'，则∠A'O'B'=∠AOB。 2、两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）。 判定全等三角形（角边角） 两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）。 知识点 判定全等三角形（角角边） 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（可以简写成"角角边"或"AAS"）。 判定全等三角形（直角边、斜边） 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简写成"斜边、直角边"或"HL"）。 注意：用“HL”证明两个直角三角形全等，书写时两个三角形符号前面要加上“Rt”。 知识点5 全等三角形的性质 对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等． 寻找对应边和对应角，常用到以下方法： (1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边． (2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角． (3)有公共边的，公共边常是对应边． (4)有公共角的，公共角常是对应角． (5)有对顶角的，对顶角常是对应角． (6)两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角)，一对最短边(或最小角)是对应边(或对应角)． 要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的元素是关键． 知识点6：全等三角形的应用 运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线． 拓展关键点：能通过判定两个三角形全等进而证明两条线段间的位置关系和大小关系．而证明两条线段或两个角的和、差、倍、分相等是几何证明的基础． 知识点7 角的平分线的性质与判定 （一）作已知角的平分线（已知：∠AOB。求作：∠AOB的平分线） 1、以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N。 2、分别以M,N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C。 3、画射线OC，射线OC即为所求。 （二）角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。 几何表示：∵OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E。∴PD=PE。 角的平分线的判定 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。 几何表示： ∵点P是∠AOB内的一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，且PD=PE， ∴点P在∠AOB的平分线OC上。 重要拓展： 1、三角形的三条角平分线相交于三角形内一点，且该点到三角形三边的距离相等。反之，三角形内部到三边距离相等的点是该三角形三条角平分线的交点。 2、三角形的角平分线与三角形一边交于一点，这条角平分线把三角形分成两个小三角形，它们的面积比等于另外两边的长度的比。 ∵AD是∠BAC的角平分线； ∴DF=DE； ∵；； ∴ = ； 知识点8：线段垂直平分线的性质与判定 1.定义 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线。2.线段垂直平分线的作图 1. 分别以点 A、B 为圆心，以大于AB 的长为半径作弧，两弧相交于 C、D 两点； 2. 作直线 CD，CD 为所求直线 线段垂直平分线性质 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. 线段的垂直平分线的判定 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 题型归纳 【题型1 三角形的相关概念】 1．（24-25八年级上·浙江温州·期中）若一个三角形三个内角度数的比为，那么这个三角形是（    ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 2．（24-25八年级上·山东济宁·阶段练习）具备下列条件的中，不是直角三角形的是（） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·浙江湖州·阶段练习）已知的三个内角度数比为，则这个三角形是 三角形． 4．（23-24八年级上·浙江台州·阶段练习）在中，若，则此三角形是 （填“锐角”、“直角”或“钝角”）三角形． 5．（24-25八年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，我们知道要使四边形木架不变形，至少要钉一根木条，那么要使五边形木架不变形，至少要钉几根木条？要使七边形木架不变形，至少要钉几根木条？要使n边形木架不变形，又至少要钉多少根木条？请带着这些问题开始探究活动．    多边形木架的边数 至少要钉木条的根数 … ▲ 根据以上信息，解答下列问题． （1）要使十二边形的木架不变形，应至少要钉______根木条． （2）表格中的“▲”处填_____．（用含n的代数式表示） （3）有一个多边形，至少要钉上18根木条，才能使它不变形．则这个多边形的边数是_____． 【题型2 三角形的三边关系】 1．（24-25八年级上·安徽马鞍山·期中）三角形的三边长分别为，，，则第三边长的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·浙江宁波·开学考试）已知一个三角形的三边长均为整数，若其中仅有一条边长为6，且它不是最短边，也不是最长边，则满足条件的三角形共有（   ） A．12个 B．10个 C．8个 D．6个 3．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）已知三角形的三边长分别为3，5，x，若x是整数，则x的值可取 （只填一个）． 4．（23-24八年级上·浙江宁波·期中）线段，，首尾顺次相接组成三角形，若，，则的长度可以是 ．（写出一个符合题意的答案即可） 5．（24-25八年级上·安徽马鞍山·期中）已知三角形三边长分别为a，b，c，其中a，b满足，这个三角形的最长边为． (1)求的取值范围： (2)若此三角形的周长为偶数，求此三角形的周长． 【题型3 与三角形高有关的计算】 1．（24-25八年级上·辽宁大连·期中）如图，在中，，，的高与的比是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·浙江衢州·期末）如图，和分别是的角平分线和高线，已知，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，在中，，，点在边上，作于、于，若，的面积为，则的长为 ． 4．（23-24七年级上·浙江杭州·期末）如图，三角形中，，，，则能表示点 C 到直线 的距离的是线段 的长，点 C 到直线的距离为 ． 5．（23-24八年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，，是的两条高，已知，，． (1)求的面积； (2)求的长． 【题型4 与三角形中线有关的计算】 1．（23-24八年级上·四川德阳·阶段练习）如图所示，中，点、、分别在三边上，是的中点，、、交于一点，，，，则的面积是（   ） A．25 B．30 C．35 D．40 2．（24-25八年级上·浙江金华·阶段练习）如图，已知点，，分别为，，的中点，若的面积为20，则四边形的面积为（   ） A．10 B．9 C．8.5 D．7.5 3．（23-24八年级上·浙江温州·阶段练习）如图，是的中线，若的周长比的周长大，，那么的长为 ．    4．（2024八年级上·浙江·专题练习）如图，是的边上的中线，是的边上的中线，是的边上的中线，若的面积是32，则阴影部分的面积是 ．    5．（23-24八年级上·浙江温州·阶段练习）如图，是的高，是的角平分线，是中点，，． (1)求的度数； (2)若与的周长差为3，，能否求出的值？若能，请写出理由和结果；若不能，请你补充条件并解答． 【题型5 与三角形内角和有关的计算】 1．（2022八年级上·浙江·专题练习）如图，在中，平分，交于点．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（2024·浙江台州·二模）将一个含角的直角三角板和一把等宽的直尺按如图所示的位置摆放，其中，若，则的度数是(    ) A．1 B． C． D． 3．（23-24八年级上·浙江宁波·期中）如图，在中，是一条角平分线，是边上的高线，相交于点F，若，则 ． 4．（23-24八年级上·浙江温州·阶段练习）如图所示，在中，内角和外角的平分线交于点，则 ． 5．（23-24七年级下·江苏扬州·期中）如图，在在中，是边上的高，． (1)求的度数： (2)若是的角平分线，交于点F，求的度数． 【题型6 三角形折叠中的角度问题】 1．（24-25八年级上·浙江台州·阶段练习）如图，将沿、、翻折，三个顶点均落在点O处，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·陕西榆林·阶段练习）如图，将长方形纸片沿对角线折叠，点C的对应点为点E，交于点O．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·江西萍乡·期末）如图，中，，，将其折叠，使点A落在边上处，折痕为，则的度数为 ． 4．（23-24八年级上·湖北咸宁·期中）如图所示，中，边上有一点D，使得，将沿翻折得，此时，则 度． 5．（2023八年级下·浙江·专题练习）探索归纳： (1)如图1，已知为直角三角形，，若沿图中虚线剪去，则　　． A．  90°  B．  315°  C．  135°  D. 270° (2)如图2，已知中，，剪去后形成四边形，则　　度． (3)如图2，根据上面的求解过程，猜想与的关系是　　． (4)如图3，若没有剪掉，而是把它折成如图3的形状，请猜想与的关系是　　． 【题型7 三角形外角问题】 1．（23-24八年级上·广西贵港·期末）如图，是中的平分线，是的外角的平分线，若，则（　　） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·浙江·期中）将一副直角三角板按如图所示方式摆放，含角的三角板的斜边经过含角的三角板的直角顶点，短的直角边与含角的三角板的斜边重合，则为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）中，，点在边边上，点在边上，，若，则的度数为 ． 4．（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）如图，，则的度数为 ． 5．（23-24七年级下·辽宁葫芦岛·期末）如图，点在直线上，，平分交于，． (1)求证：； (2)若平分，：，求的度数． 【题型8 定义、命题与证明】 1．（24-25八年级上·浙江温州·阶段练习）下列选项中，可以用来说明命题“若，则”是假命题的反例是（ ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）若证明命题：“对于任意实数恒成立”是假命题，只需要举一个反例，则这个反例可以是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）要说明命题“若，则，”是假命题，则 ， ． 4．（23-24八年级上·浙江衢州·开学考试）给出下列语句：①延长线段到点；②垂线段最短；③过点画直线；④在中，若，则，其中是命题的有（只填序号） ． 5．（23-24七年级下·河北邯郸·阶段练习）已知命题“两直线平行，同旁内角互补”． (1)写出该命题的题设和结论，并将其改写成“如果……那么……”的形式； (2)嘉淇想证明该命题，下面是她的解题过程，请将其补全，并在括号内填上推理的根据． 如图，已知直线，直线截，于点M，N． 求证　　． 证明：∵（已知）， ∴（ 　　）． ∵　　（平角的定义）， ∴　　（ 　　）． 【题型9 全等三角形的性质】 1．（24-25八年级上·河北廊坊·阶段练习）如图，点，在上，且．若，，则的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（2023八年级上·全国·专题练习）如图，在中，于点D、E是上一点，若，，，则的周长为（    ） A．22 B．23 C．24 D．26 3．（24-25八年级上·浙江·期中）一个三角形的三条边的长分别是5，7，10，另一个三角形的三条边的长分别是5，，，若这两个三角形全等，则的值是 ． 4．（23-24七年级下·河南驻马店·期末）如图，在长方形中 ，，，，，延长至点E，使，连接．动 点P 从 点A  出发，以每秒2个单位长度的速度沿运动，回到点A 停止运动，运动时间为：t秒，当t 的值为 时，和全等． 5．（23-24八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，已知中，，，点为的中点．如果点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动． (1)若点的运动速度与点的运动速度相等，经过1后，与是否全等？说明理由； (2)若点的运动速度与点的运动速度不相等，当时间为何值时，与全等？求出此时点的运动速度． 【题型10 全等三角形的判定】 1．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，是一个任意角，在边，上分别取，移动角尺使角尺两边相同的刻度分别与，重合，过角尺顶点的射线便是的平分线，这一做法用到三角形全等的判定定方法是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·江苏苏州·期中）如图，已知的面积为12，平分，且于点D，则的面积是（    ） A．10 B．8 C．6 D．4 3．（24-25八年级上·浙江温州·期中）如图，，，若添加一个条件可得，则添加的条件可以是 ．（写出一个满足条件的答案） 4．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，，，垂足分别为、，、交于点，已知，，则 ． 5．（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）如图，已知，是上两点，且． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【题型11 全等三角形的综合】 1．（23-24八年级上·江苏南通·阶段练习）如图，，，，于H，的延长线交于G，下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论为（    ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 2．（23-24八年级上·黑龙江牡丹江·期末）如图，，，，点、、三点在一条直线上，，，则度数为（    ）． A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·浙江温州·期中）如图，平分，，的延长线交于点，若，则的度数为 度． 4．（24-25八年级上·浙江金华·阶段练习）如图，中，，，，点从点出发沿路径向终点运动，终点为点，点从点出发沿路径向终点运动，终点为点，点和分别以和的运动速度同时开始运动，两点都要到达相应的终点时才能停止运动，分别过和作于，于．设点运动时间为秒，要使以点，，为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形全等，求的值． 5．（24-25八年级上·浙江金华·阶段练习）如图，在中，，高相交于点，且． (1)求线段的长； (2)动点从点出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动，动点从点出发沿射线以每秒4个单位长度的速度运动，两点同时出发，当点到达点时，两点同时停止运动．设点的运动时间为秒，当为何值时，； (3)在（2）的条件下，点是直线上的一点且．是否存在值，使以点为顶点的三角形与以点为顶点的三角形全等？若存在，请直接写出符合条件的值，若不存在，请说明理由． 【题型12 全等三角形模型】 1．（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在长方形中，是中点，在边上，若，则（    ） A．3 B．2 C．1.5 D． 2．（2024·内蒙古鄂尔多斯·三模）生命中总有些节点，如同一条线段的中点，它既是过去与未来的交汇，也是静默与喧嚣的界碑．如图，点D是的边上的中线，，，则的取值范围为（    ）．    A． B． C． D． 3．（2024八年级·浙江杭州·专题练习）（2016育才周测）如图，正三角形和，A，C，E在同一直线上，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60°．成立的结论有 ．并写出3对全等三角形 ．    4．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在中，，过点作，且，连接，若，则的长为 ． 5．（24-25八年级上·浙江嘉兴·阶段练习）（1）阅读理解：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：在中，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）： 　　 ①延长到，使得； ②再连接，把集中在中； 请完成任务1：在图1中找出与的数量关系并证明．； ③利用三角形三边关系可得． 任务2：的取值范围是_________． （2）感语：解题时，条件中若出现“中点”“中线”等条件，可以考虑倍长中线，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中． （3）思考：如图2，是的中线，． 任务3：探究线段与的数量关系并加以证明． 【题型13 角平分线的性质与判定】 1．（24-25七年级上·山东烟台·期中）如图，已知的周长是30，，分别平分、，于点D，且，则的面积为（    ） A．30 B．35 C．40 D．45 2．（24-25八年级上·云南昭通·期中）如图，，和分别平分和，过点且与垂直．若，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·浙江绍兴·阶段练习）点在的角平分线上，点到边的距离等于10，点是边上的任意一点，则的取值范围是 4．（23-24八年级上·北京西城·期中）如图，在四边形中，，对角线平分，则的面积为 ． 5．（24-25八年级上·全国·单元测试）如图，在中，点在边上，连接，有，的平分线交于点，过点作交的延长线于点，且，，连接．求的度数． 【题型14 垂直平分线的性质与判定】 1．（24-25八年级上·湖南长沙·期中）如图，有，，三个居民小区，它们的位置可连接成一个三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（ ） A．三条中线的交点处 B．三条角平分线的交点处 C．三条高线的交点处 D．三条边的垂直平分线的交点处 2．（23-24八年级上·广西玉林·期中）如图，在中，的垂直平分线交于点，边的垂直平分线交于点．已知的周长为，则的长为（　　） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·浙江金华·阶段练习）如图，已知平分，，在上，结论：①；②；③平分；④所在的直线是的垂直平分线．其中正确的是 （填序号） 4．（23-24八年级上·浙江温州·期中）如图，中，，，的垂直平分线与相交于点，则的周长为 ． 5．（23-24八年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，在中，是的垂直平分线． (1)若，的周长是13，求的周长 (2)若中，，求的度数． 【题型15 尺规作图】 1．（24-25八年级上·浙江温州·期中）在中，，以A为圆心，适当长为半径画弧，交于D，E两点，再分别以D，E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点作射线交于点F，若，，则点F到的距离为（     ） A．3 B．4 C． D．5 2．（24-25八年级上·浙江温州·期中）如图， 在中，， 使． 再分别以点 D、E为圆心， 大于 ，两弧在内交于点F， 作射线交边于点 G， 若，， 则的面积为（   ） A．12 B．16 C．24 D．32 3．（23-24八年级上·浙江·阶段练习）如图，，以点为圆心，小于长为半径作圆弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于长为半径作圆弧，两弧交于点，作射线交于点．若，则的大小为 度． 4．（24-25八年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，在中，分别以A，C为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别相交于M，N两点，作直线，分别交线段，于点D，E，若，的周长为，则的周长为 cm．    5．（24-25八年级上·浙江杭州·阶段练习）已知，用直尺和圆规作下列图形： (1)边上的中线（原图上画，只要保留痕迹，下结论）； (2)的角平分线（原图上画，只要保留痕迹，下结论）； (3)作一个角，使它等于（另画图，只要保留痕迹，下结论）． 过关检测 1．（24-25八年级上·浙江温州·期中）如图，已知点在一条直线上，，为了使则下列添加的条件不正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·浙江温州·期中）如图，是的中线，，，E，F分别是垂足．已知，，则的长度为（     ） A．3 B．4 C．6 D．8 3．（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）对于命题“若，则．”能说明它属于假命题的反例是（  ） A．， B．， C．， D．， 4．（24-25八年级上·浙江温州·期中）如图，在中，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别交于点，，直线分别交与于点和，连结，若，的周长为，则的周长是（　　）    A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·浙江·期中）在直角三角形中，，的平分线交于点，的平分线交于点，、相交于点，过点作，过点作于点，有以下结论：①；②；③平分；④，其中正确的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）要说明命题“若，则，”是假命题，则 ， ． 7．（24-25八年级上·浙江台州·期中）如图，在中，边的垂直平分线l与交于点D，垂足为点E．试比较与的大小： ．（填“”“”或“”） 8．（24-25八年级上·浙江金华·期中）当三角形中一个内角是另一个内角的时，我们称此三角形为“希望三角形”，其中角称为“希望角”．如果一个“希望三角形”中有一个内角为，那么这个“希望三角形”的“希望角”度数为 ． 9．（24-25八年级上·浙江金华·阶段练习）已知如图：，且，于，于，，．连接，．则图中阴影部分的面积为 ． 10．（24-25八年级上·浙江金华·阶段练习）如图，已知平分，，在上，结论：①；②；③平分；④所在的直线是的垂直平分线．其中正确的是 （填序号） 三、解答题 11．（24-25八年级上·浙江温州·期中）如图，点，，，在同一条直线上，，，．    (1)求证：； (2)若，求的度数． 12．（24-25八年级上·浙江温州·期中）已知：如图，点，在线段上，，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 13．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）如图，在中，平分，； (1)试判断与的位置关系，并说明理由． (2)若，且，求的度数． 14．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）已知的三边长是． (1)若，，且三角形的周长是小于22的偶数，求的值； (2)化简：． 15．（23-24七年级下·河南南阳·期末）【概念认识】 如图，在中，若，则，叫做的“三分线”其中，是“邻三分线”，“邻三分线”． 【问题解决】 （1）如图，，，是的“三分线”，则 ； （2）如图，在中，，，若的“邻三分线”交于点，则 ； （3）如图，在中，分别是“邻三分线”和“邻三分线”，且，求的度数． 16．（24-25八年级上·浙江衢州·期中）在中，，点D是直线上一点（不与B，C重合），以为一边在的右侧作，使，，连接． (1)如图1，当点D在线段上时，如果，则　　°． (2)设． ①如图2，当点D在线段上移动时，α、β之间有怎样的数量关系？请说明理由． ②当点D在直线上移动时，α、β之间有怎样的数量关系？请你在备用图上画出图形，并直接写出结论． 17．（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）如图，在长方形中，，，点从点出发，以秒的速度沿向点运动，设点的运动时间为秒： (1)________．（用t的代数式表示） (2)当t为何值时，？ (3)当点从点开始运动，同时，点从点出发，以秒的速度沿向点运动，是否存在这样的值，使得与全等？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 18．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）（1）如图1，在中，，，是边上的中线，延长到点使，连接，把，，集中在中，利用三角形三边关系可得的取值范围．请写出的取值范围，并说明理由． （2）如图2，在中，是边上的中线，点，分别在，上，且，求证：．小艾同学受到（1）的启发，在解决（2）的问题时，延长到点，使…，请你帮她完成证明过程． （3）如图3，在四边形中，为钝角，为锐角，，，，点，分别在，上，且，连接，试探索线段，，之间的数量关系，并加以证明． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 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