小题限时卷02（题型必刷，ABC三组）-2025年高考数学二轮热点题型归纳与变式演练（上海专用）

小题限时卷02（A组+B组+C组） （模式：12+4 满分：72分 限时：50分钟） 一、填空题 1．方程的解集用列举法表示为 . 2．已知为实数，为虚数单位，若为纯虚数，则实数 ． 3．函数的定义域为 ． 4． ． 5．已知，，且，则= 6．某地市高三理科学生有15000名，在一次调研测试中，数学成绩服从正态分布N（100，2），已知P（80<<120）=0.70，若按成绩分层抽样的方式取100份试卷进行分析．则应从120分以上的试卷中抽取 份． 7．若，且，则tanα＝ ． 8．已知等比数列的前项和为，则的值为 ． 9．在正四棱柱中，，，则点A到平面的距离为 . 10．双曲线的左、右焦点分别为和，若以点为焦点的抛物线与在第一象限交于点P，且，则的离心率为 ． 11．，和的零点按从小到大顺序可以分别构成两个等差数列，则所构成的集合为 . 12．在维空间中，以单位长度为边长的“立方体”的顶点坐标可表示为维坐标，其中.定义：在维空间中两点与的曼哈顿距离为.在维“立方体”的顶点中任取两个不同的顶点，记随机变量为所取两点间的曼哈顿距离，则 . 二、单选题 13．已知，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 14．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中真命题是（    ） A．若,,则 ； B．若,,,则 ； C．若，，则 ； D．若，，，,则． 15．从商业化书店到公益性城市书房，再到“会呼吸的文化森林”--图书馆，建设高水平､现代化､开放式的图书馆一直以来是大众的共同心声，现有一块不规则的地，其平面图形如图1所示，（百米），建立如图2所示的平面直角坐标系，将曲线AB看成函数图象的一部分，为一次函数图象的一部分，若在此地块上建立一座图书馆，平面图为直角梯形（如图2），则图书馆占地面积（万平方米）的最大值为（    ）        A．2 B． C． D． 16．若，有限数列的前项和为，且对一切都成立．给出下列两个命题：①存在，使得是等差数列；②对于任意的，都不是等比数列．则（   ） A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题 C．①②都是真命题 D．①②都是假命题 一、填空题 1．已知集合，则 ． 2．已知抛物线，则抛物线的准线方程为 ． 3．各项为正的等比数列满足：，，则通项公式为 . 4．在一次为期30天的博览会上，主办方统计了每天的参观人数（单位：千人），并绘制了茎叶图（如图），其中“茎”表示十位，“叶”表示个位，则这组数据的第75百分位数是 . 5．已知随机变量，且，则 . 6．若函数为奇函数，则函数，的值域为 . 7．从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙至少一人入选的概率为 ． 8．在复平面内，为坐标原点，复数，对应的点分别为，其中为虚数单位，则的大小为 ． 9．如图，长方体的体积是120，E为的中点，则三棱锥E-BCD的体积是 . 10．平面点集所构成区域的面积为 . 11．某学校有如图所示的一块荒地，其中，，，，，经规划以AB为直径做一个半圆，在半圆外进行绿化，半圆内作为活动中心，在以AB为直径的半圆弧上取两点，现规划在区域安装健身器材，在区域设置乒乓球场，若，且使四边形的面积最大，则 ．    12．对开区间，定义，当实数集合为段（为正整数）互不相交的开区间的并集时，定义，若对任意上述形式的的子集，总存在，使得，其中，则的最大值为 . 二、单选题 13．“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 14．已知函数，则下列结论不正确的是（    ） A．的最大值为2 B．在上有4个零点 C．在上单调递增 D．把的图象向右平移个单位长度，得到的图象关于直线对称 15．在正方体中，点为底面的中心，点分别是的中点，则（    ） A． B．直线与平面所成的角是 C．平面 D．异面直线与所成的角是 16．平面上的向量、满足：，，.定义该平面上的向量集合.给出如下两个结论： ①对任意，存在该平面的向量，满足 ②对任意，存在该平面向量，满足 则下面判断正确的为（    ） A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①正确，②正确 D．①错误，②错误 一、填空题 1．已知全集，集合，；则 ．（结果用区间表示） 2．若（为虚数单位），则的共轭复数为 . 3．已知点，，则向量的单位向量为 . 4．已知一组成对数据的回归方程为，则该组数据的相关系数 （精确到0.001）． 5．已知，，，则的最小值为 6．已知 是定义在R上的奇函数，且当 时， ，则的解析式为 . 7．已知的三个角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则 . 8．学校组织同学参加社会调查，某小组共有5名男同学，4名女同学.现从该小组中选出3位同学分别到三地进行社会调查，若选出的同学中男女均有，则不同安排方法有 种. 9．在等比数列中，，且，则的值为 . 10．已知中，，，，则绕旋转一周形成的几何体的体积为 . 11．地震定位对地震救援具有重要意义，根据双台子台阵方法，在一次地震发生后，通过两个地震台站的位置和其接收到的信息，可以把震中的位置限制在双曲线的一支上，这两个地震台站的位置就是该双曲线的两个焦点.已知地震台站在公路上（为直线），且，相距28，地震局以的中点为原点，直线为轴，1为单位长度建立如图所示的平面直角坐标系.在一次地震发生后，根据两站收到的信息，并通过计算发现震中在双曲线的右支上，且，则到公路的距离为 . 12．已知a1，a2，a3与b1，b2，b3是6个不同的实数，若关于x的方程|x﹣a1|+|x﹣a2|+|x﹣a3|＝|x﹣b1|+|x﹣b2|+|x﹣b3|解集A是有限集，则集合A中，最多有 个元素． 二、单选题 13．已知，则“”是“”的（   ）条件． A．充要 B．充分非必要 C．必要非充分 D．既非充分又非必要 14．如果分别是的对立事件，下列选项中不能判断件与事件相互独立的是（    ） A． B． C． D． 15．已知函数，若，则下列结论正确的个数是（    ） （1）；     （2） （3）；   （4）当时， A．1 B．2 C．3 D．4 16．已知是圆柱下底面的一条半径，，，为该圆柱侧面上一动点，垂直下底面于点，若，则对于下述结论：①动点的轨迹为椭圆；②动点的轨迹长度为；以下说法正确的为（    ）． A．①②都正确 B．①正确，②错误 C．①错误，②正确 D．①②都错误 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 小题限时卷02（A组+B组+C组） （模式：12+4 满分：72分 限时：50分钟） 一、填空题 1．方程的解集用列举法表示为 . 【答案】 【分析】由方程组得解，即可由列举法求解. 【解析】由可得， 故用列举法表示为， 故答案为: 2．已知为实数，为虚数单位，若为纯虚数，则实数 ． 【答案】2 【解析】分析：先根据分母实数化将复数化为代数形式，再根据纯虚数概念求a. 详解：因为，为纯虚数 所以 点睛：首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如. 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭为 3．函数的定义域为 ． 【答案】 【解析】试题分析：由得，所以函数的定义域为． 考点：函数定义域的求法． 点评：求函数的定义域需要从以下几个方面入手：（1）分母不为零；（2）偶次根式的被开方数非负；（3）对数中的真数部分大于0；（4）指数、对数的底数大于0，且不等于1 ；（5）y=tanx中x≠kπ+π/2；y=cotx中x≠kπ等； ( 6 )中． 4． ． 【答案】 【分析】根据导数的定义，以及求导公式，即可求解. 【解析】设，， . 故答案为： 5．已知，，且，则= 【答案】5 【分析】由向量垂直可知，由，利用向量数量积的运算求解. 【解析】，， ， . 故答案为：5. 6．某地市高三理科学生有15000名，在一次调研测试中，数学成绩服从正态分布N（100，2），已知P（80<<120）=0.70，若按成绩分层抽样的方式取100份试卷进行分析．则应从120分以上的试卷中抽取 份． 【答案】15． 【分析】根据正态分布概率计算，可求出120分以上的概率；根据分层抽样，可求出120分以上抽取样本的数量． 【解析】根据正态分布，，， 所以， 根据分层抽样中概率值， 可得120分以上抽取份数为. 故答案为：15 7．若，且，则tanα＝ ． 【答案】/ 【分析】由同角三角函数的关系，结合二倍角公式求解． 【解析】由， 可得， 又，则， 即， 解得， 则， 故． 故答案为：． 8．已知等比数列的前项和为，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据题意，分别求得，，，结合，列出方程，即可求解. 【解析】由等比数列的前项和为， 可得，，， 所以，解得，经检验符合题意. 故答案为：. 9．在正四棱柱中，，，则点A到平面的距离为 . 【答案】 【分析】三棱锥等体积法即可求得点A到平面的距离. 【解析】设点A到平面的距离为d， 由 ，即 可得 故答案为： 10．双曲线的左、右焦点分别为和，若以点为焦点的抛物线与在第一象限交于点P，且，则的离心率为 ． 【答案】 【分析】过P作抛物线准线的垂线，垂足为M，设，由是抛物线的焦点，可得，再由，可求得，在△中由余弦定理可得，再根据双曲线及离心率的定义可求出离心率． 【解析】如图过P作抛物线准线的垂线，垂足为M，设， 因为是抛物线的焦点，∴ ∵，∴， 在△中，由余弦定理得， ∴， 即，解得 又∵和是双曲线的左、右焦点， ∴， ∴. 故答案为：. 11．，和的零点按从小到大顺序可以分别构成两个等差数列，则所构成的集合为 . 【答案】或 【分析】求出的解，由等差数列的定义和定义域得到，再求出的解，分类讨论的氛围，验证是否满足方程得解能形成等差数列，然后得出取值范围. 【解析】①令，则，即， ∵当取时，的值为：满足等差数列，即，即即可. ②令，则，时，，当时， 若，即时，则的解与相同，满足题意； 若，即时，令，即，则， 则的解：，满足等差数列； 若，即时，因为时已存在至少三个解：， 由三角函数图像可知，在存在两个解，且成等差数列，即， 则，即， 综上所述：或. 故答案为：或 【点睛】方法点睛：因为三角函数有界，所以讨论是否大于1：大于1，则的解与相同；等于1，则求出和方程得根；小于1，结合三角函数图像的对称性和已有的解，得到成等差数列，得到方程的一个根，代回原方程求出的值. 12．在维空间中，以单位长度为边长的“立方体”的顶点坐标可表示为维坐标，其中.定义：在维空间中两点与的曼哈顿距离为.在维“立方体”的顶点中任取两个不同的顶点，记随机变量为所取两点间的曼哈顿距离，则 . 【答案】 【分析】先确定样本点总数，再得到的可能取值，求出概率，列出分布列，求出期望. 【解析】对于维坐标，其中.即有两种选择， 故共有种选择，即维“立方体”的顶点个数是个顶点； 当时，在坐标与中有个坐标值不同，即有个坐标值满足，剩下个坐标值满足， 则满足的个数为. 所以. 故分布列为： 则. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于确定当时，在坐标与中有个坐标值不同，即有个坐标值满足，剩下个坐标值满足，再由求出概率. 二、单选题 13．已知，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】通过举例的方法，以及基本不等式，结合充分，必要条件的定义，即可判断选项. 【解析】若，满足，但， 若，，则，即， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 14．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中真命题是（    ） A．若,,则 ； B．若,,,则 ； C．若，，则 ； D．若，，，,则． 【答案】C 【分析】由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系逐一分析四个选项得答案． 【解析】若，，则或与相交或与异面，故A错误； 若，，，则或与相交，故B错误； 若，，由直线与平面垂直的性质可得，故C正确； 若，，，，当与相交时，有，否则，与不一定平行，故D错误． 故选：C． 15．从商业化书店到公益性城市书房，再到“会呼吸的文化森林”--图书馆，建设高水平､现代化､开放式的图书馆一直以来是大众的共同心声，现有一块不规则的地，其平面图形如图1所示，（百米），建立如图2所示的平面直角坐标系，将曲线AB看成函数图象的一部分，为一次函数图象的一部分，若在此地块上建立一座图书馆，平面图为直角梯形（如图2），则图书馆占地面积（万平方米）的最大值为（    ）        A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据，求出，直线的方程，然后设后得到，点坐标进而得，再利用导数求最值. 【解析】因，故，由题意 直线的方程为：，即， 将代入得，得， 所以， 因在直线上，可设， 因在上，故，, 所以，，， 直角梯形的面积， 即， ， 令得，又，所以在区间上单调递增， 令得或，又，所以在区间上单调递减， 故当时，取得最大值为， 故选：D 16．若，有限数列的前项和为，且对一切都成立．给出下列两个命题：①存在，使得是等差数列；②对于任意的，都不是等比数列．则（   ） A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题 C．①②都是真命题 D．①②都是假命题 【答案】C 【分析】判断特称命题为真命题只需知道一个合适的值即可，判断全称命题为证明题就需要严格证明，本题因为数列公比不确定，通过讨论公比的值通过条件能否找到对应数列即可判断真假. 【解析】对于①：例如，则， 满足是等差数列，且对一切都成立，故①正确； 对于②：若是等比数列，设公比为，显然 1．当时，，不合题意； 2．当时，，不合题意； 3．当时，因为，则，即， （1）当时，则， 即，解得，不合题意； （2）当时，若为偶数，则， 即，解得，不合题意； （3）当时，若为偶数，则， 即，整理得，无解，不合题意， 综上所述：不存在满足题意，即不可能是等比数列，故②正确； 故选：C． 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键点是，熟练掌握等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，从而分析得解. 一、填空题 1．已知集合，则 ． 【答案】 【解析】因为，所以. 2．已知抛物线，则抛物线的准线方程为 ． 【答案】 【分析】根据抛物线的标准方程和几何性质来求解. 【解析】由题可得，则， 所以抛物线的准线方程为． 故答案为：. 3．各项为正的等比数列满足：，，则通项公式为 . 【答案】 【分析】利用给定条件，求出等比数列的公比，再写出通项公式. 【解析】设正项等比数列的公比为，由，，得， 则，解得， 所以. 故答案为： 4．在一次为期30天的博览会上，主办方统计了每天的参观人数（单位：千人），并绘制了茎叶图（如图），其中“茎”表示十位，“叶”表示个位，则这组数据的第75百分位数是 . 【答案】50 【分析】分析可知这组数据的第75百分位数是第23位数，结合茎叶图即可得结果. 【解析】因为，可知这组数据的第75百分位数是第23位数， 结合茎叶图可知第23位数是50，所以这组数据的第75百分位数是50. 故答案为：50. 5．已知随机变量，且，则 . 【答案】12 【分析】利用二项分布方差和期望的公式求解即可. 【解析】随机变量， ， ， 则. 故答案为：12 6．若函数为奇函数，则函数，的值域为 . 【答案】 【分析】由奇函数定义可得解析式，即可求得值域. 【解析】当时，，因为为奇函数，则，所以，所以，时值域为. 故答案为：. 7．从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙至少一人入选的概率为 ． 【答案】/0.9 【分析】把另3 编号，用列举法写出从5人中任选3人的所有基本事件，可得出甲、乙至少一人入选的基本事件，记数后由概率公式计算概率． 【解析】另三名同学记为1，2，3，由从5人中选3名同学基本事件有：甲乙1，甲乙2，甲乙3，甲12，甲13，甲23，乙12，乙13，乙23，123共10个， 其中甲、乙至少一人入选的基本事件有甲乙1，甲乙2，甲乙3，甲12，甲13，甲23，乙12，乙13，乙23共9个， 所以所求概率为． 故答案为：． 8．在复平面内，为坐标原点，复数，对应的点分别为，其中为虚数单位，则的大小为 ． 【答案】. 【分析】由复数乘法运算求得，进而得到，，利用向量数量积运算和模长公式求得，进而得到. 【解析】因为，， 所以，， 所以， 所以. 9．如图，长方体的体积是120，E为的中点，则三棱锥E-BCD的体积是 . 【答案】10. 【分析】由题意结合几何体的特征和所给几何体的性质可得三棱锥的体积. 【解析】因为长方体的体积为120， 所以， 因为为的中点， 所以， 由长方体的性质知底面， 所以是三棱锥的底面上的高， 所以三棱锥的体积. 【点睛】本题蕴含“整体和局部”的对立统一规律.在几何体面积或体积的计算问题中，往往需要注意理清整体和局部的关系，灵活利用“割”与“补”的方法解题. 10．平面点集所构成区域的面积为 . 【答案】 【分析】先根据题目得到区域为一个圆环，进而求圆环的面积即可. 【解析】点集为以为圆心，为半径的圆上的点的集合， 又点在以为圆心，为半径的圆上， 所以平面点集所构成区域为图中阴影， 面积为. 故答案为：. 11．某学校有如图所示的一块荒地，其中，，，，，经规划以AB为直径做一个半圆，在半圆外进行绿化，半圆内作为活动中心，在以AB为直径的半圆弧上取两点，现规划在区域安装健身器材，在区域设置乒乓球场，若，且使四边形的面积最大，则 ．    【答案】 【分析】设，先求得四边形面积的表达式，然后利用导数求得当时，四边形的面积最大. 【解析】设，根据题意易知， ∵，为等腰三角形，且， 又∵，∴，∴， ∴四边形为梯形，则四边形面积： ，， 则，， 令，则， 解得（舍）或， 设为φ为所对应的角， ∵在上单调递减， ∴时，，，S单调递增， ∴时，，，S单调递减． ∴当时，面积最大，即． 故答案为：． 【点睛】方法点睛： 求解面积最大值或最小值有关问题，可先将面积的表达式求出，然后根据表达式选取合适的方法来求最值.可以考虑的方向有函数的单调性、二次函数的性质、基本不等式、三角函数值域、导数等知识. 12．对开区间，定义，当实数集合为段（为正整数）互不相交的开区间的并集时，定义，若对任意上述形式的的子集，总存在，使得，其中，则的最大值为 . 【答案】/0.25 【分析】利用三角函数的公式和性质解不等式，再结合任意和存在把不等式问题转化成最值问题，求出最值即可得解. 【解析】不等式平方可得 解得 设集合，发现对任意，， 根据题意知，当，恒成立； 当时，因为对任意的的子集不等式都成立，所以让大于等于的最大值，即，又因为总存在，使，所以让的最大值大于等于，即；正好取最大值时，也取得最大值，所以，解得； 综上所述，最大值为. 故答案为：. 【点睛】恒成立和存在问题的解题思路： ①恒成立，则；存在，则； ②恒成立，则；存在，则. 二、单选题 13．“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由得或，进而根据概念直接求解即可. 【解析】解：解不等式得：或， 因为是或的真子集， 所以，是或的充分不必要条件， 即“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 14．已知函数，则下列结论不正确的是（    ） A．的最大值为2 B．在上有4个零点 C．在上单调递增 D．把的图象向右平移个单位长度，得到的图象关于直线对称 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用诱导公式化简函数，再逐项分析判断作答. 【解析】依题意，， 对于A，函数的最大值为2，A正确； 对于B，当时，，由，得， 则有，因此函数在上有4个零点，B正确； 对于C，当时，，而函数在上不单调， 因此函数在上不单调，C错误； 对于D，把的图象向右平移个单位长度，得的图象， 而当时，，即函数的图象关于直线对称，D正确. 故选：C. 15．在正方体中，点为底面的中心，点分别是的中点，则（    ） A． B．直线与平面所成的角是 C．平面 D．异面直线与所成的角是 【答案】C 【分析】根据空间线线、线面的位置关系和所成角大小即可逐项判断. 【解析】    连接， 因为平面,平面,,, 由异面直线的定义可知，与异面，故A错误； 连接，则,可得直线与平面所成的角等于与平面所成的角，等于，故B错误； 平面,平面，平面,故C正确； 由平面,平面，可知异面直线与所成的角是，故D错误； 故选：C 16．平面上的向量、满足：，，.定义该平面上的向量集合.给出如下两个结论： ①对任意，存在该平面的向量，满足 ②对任意，存在该平面向量，满足 则下面判断正确的为（    ） A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①正确，②正确 D．①错误，②错误 【答案】C 【分析】根据给定条件，令，，设，利用向量模及数量积的坐标表示探求的关系，再借助平行线间距离分析判断得解. 【解析】由，，，不妨令，，设， ，得，而，， 则，整理得，由，得， 平行直线和间的距离为， 到直线和直线距离相等的点到这两条直线的距离为， 如图，阴影部分表示的区域为集合，因此无论是否属于，都有， 所以命题①②都正确. 故选：C 【点睛】思路点睛：已知几个向量的模，探求向量问题，可以在平面直角坐标系中，借助向量的坐标表示，利用代数方法解决. 一、填空题 1．已知全集，集合，；则 ．（结果用区间表示） 【答案】 【分析】根据集合的运算可求得结果. 【解析】由题可得， 则， 故答案为：. 2．若（为虚数单位），则的共轭复数为 . 【答案】 【分析】根据题意，利用复数的运算法则，求得，结合共轭复数的概念，即可求解. 【解析】由复数，可得， 则的共轭复数为. 故答案为：. 3．已知点，，则向量的单位向量为 . 【答案】 【分析】首先求出，，即可求出向量的单位向量. 【解析】因为，， 所以，所以， 所以向量的单位向量为. 故答案为： 4．已知一组成对数据的回归方程为，则该组数据的相关系数 （精确到0.001）． 【答案】 【分析】一组成对数据的平均值一定在回归方程上，可求得，再利用相关系数的计算公式算出即可. 【解析】由条件可得， ， ， 一定在回归方程上，代入解得， ， ， ， ， 故答案为： 5．已知，，，则的最小值为 【答案】9 【分析】将转化为，再由展开后利用基本不等式，即可求出的最小值. 【解析】因为，，，则， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为9. 故答案为：9. 6．已知 是定义在R上的奇函数，且当 时， ，则的解析式为 . 【答案】 【分析】根据奇函数的定义和性质可得，继而求得当时 ， 的表达式，写为分段函数形式可得答案. 【解析】因为 是定义在R上的奇函数，所以 ，适合, 当 时， ，所以, 所以， 故答案为： 7．已知的三个角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则 . 【答案】 【分析】在中，利用余弦定理求出，即可求得. 【解析】在中，，由余弦定理， ， 因为，所以， 又在中，， 所以. 故答案为：. 8．学校组织同学参加社会调查，某小组共有5名男同学，4名女同学.现从该小组中选出3位同学分别到三地进行社会调查，若选出的同学中男女均有，则不同安排方法有 种. 【答案】420 【分析】分步相乘计数，第一步求男女均有的选法，第二步求到三地的分法. 【解析】满足条件的事件是选出的3位同学中男女都有， 包括两种情况，一是一男两女，二是一女两男，共有， 分别到三地进行社会调查，有， 故共有种． 故答案为：420 9．在等比数列中，，且，则的值为 . 【答案】 【分析】根据等比数列的性质即可得解. 【解析】由已知数列为等比数列， 则， 即， 所以， 又，所以， 故答案为：. 10．已知中，，，，则绕旋转一周形成的几何体的体积为 . 【答案】 【分析】根据题意可得旋转体为一个圆锥，利用圆锥的体积公式可求体积. 【解析】因为，，，由勾股定理可得， 绕旋转一周形成的几何体为圆锥，且底面圆的半径为，高为， 所以该圆锥的体积为. 故答案为： 11．地震定位对地震救援具有重要意义，根据双台子台阵方法，在一次地震发生后，通过两个地震台站的位置和其接收到的信息，可以把震中的位置限制在双曲线的一支上，这两个地震台站的位置就是该双曲线的两个焦点.已知地震台站在公路上（为直线），且，相距28，地震局以的中点为原点，直线为轴，1为单位长度建立如图所示的平面直角坐标系.在一次地震发生后，根据两站收到的信息，并通过计算发现震中在双曲线的右支上，且，则到公路的距离为 . 【答案】 【分析】先利用双曲线的性质计算焦距与，然后计算该焦点三角形的面积，利用等面积法计算到公路的距离即可. 【解析】设双曲线的焦距为， 由题意得，，则，解得， 由双曲线的定义得， 又， 即， 三角形的面积， 设到公路的距离为，则，得， 即到公路的距离为. 故答案为： 12．已知a1，a2，a3与b1，b2，b3是6个不同的实数，若关于x的方程|x﹣a1|+|x﹣a2|+|x﹣a3|＝|x﹣b1|+|x﹣b2|+|x﹣b3|解集A是有限集，则集合A中，最多有 个元素． 【答案】1 【分析】由题意，可将关于x的方程|x﹣a1|+|x﹣a2|+|x﹣a3|＝|x﹣b1|+|x﹣b2|+|x﹣b3|解的个数问题转化为f(x)＝|x﹣a1|+|x﹣a2|+|x﹣a3|，g(x)＝|x﹣b1|+|x﹣b2|+|x﹣b3|两个函数图象交点个数问题，将两个函数改写为分段函数，由于两个函数都是折线，分别讨论折线端点处的函数值，作出符合题意的图象，即可得出图象交点个数，从而得出方程解的个数 【解析】令f(x)＝|x﹣a1|+|x﹣a2|+|x﹣a3|，g(x)＝|＝|x﹣b1|+|x﹣b2|+|x﹣b3|， 将关于x的方程|x﹣a1|+|x﹣a2|+|x﹣a3|＝|x﹣b1|+|x﹣b2|+|x﹣b3|解的个数的问题转化为两个函数图象交点个数的问题 不妨令a1＜a2＜a3，b1＜b2＜b3， 由于f(x)＝|x﹣a1|+|x﹣a2|+|x﹣a3|＝， g(x)＝|x﹣b1|+|x﹣b2|+|x﹣b3|＝， 考查两个函数，可以看到每个函数都是由两条射线与两段折线所组成的，且两条射线的斜率对应相等，两条线段的斜率对应相等． 当a1，a2，a3的和与b1，b2，b3的和相等时，此时两个函数射线部分完全重合，这与题设中方程的解集是有限集矛盾 不妨令a1，a2，a3的和小于b1，b2，b3的和即a1+a2+a3＜b1+b2+b3，﹣a1﹣a2﹣a3＞﹣b1﹣b2﹣b3， 两个函数图象射线部分端点上下位置不同，即若左边f(x)＝|x﹣a1|+|x﹣a2|+|x﹣a3|的射线端点在上，右边射线端点一定在下，反之亦有可能． 不妨认为左边f(x)＝|x﹣a1|+|x﹣a2|+|x﹣a3|的射线端点在上，右边射线端点一定在下，且射线互相平行，中间线段也对应平行，图象只能如图： 故两函数图象只能有一个交点，即方程的解集是有限集时，最多有一个元素， 故答案为：1． 二、单选题 13．已知，则“”是“”的（   ）条件． A．充要 B．充分非必要 C．必要非充分 D．既非充分又非必要 【答案】C 【分析】结合诱导公式及特殊角的三角函数值求出两个条件的的值，进而结合充分、必要条件的定义判断即可. 【解析】由题意，， 由，即，则或， 由，则， 所以“”是“”的必要非充分条件． 故选：C. 14．如果分别是的对立事件，下列选项中不能判断件与事件相互独立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据相互独立事件的乘法公式和条件概率公式结合相互独立事件的定义逐一判断即可. 【解析】对于A，因为，所以相互独立，故A正确； 对于B，因为， 所以， 所以相互独立，所以相互独立，故B正确； 对于C，， 所以，所以无法判断相互独立，故C错误； 对于D，， 因为，所以相互独立，故D正确. 故选：C. 15．已知函数，若，则下列结论正确的个数是（    ） （1）；     （2） （3）；   （4）当时， A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】构造函数，即可根据单调性求解（1），根据，即可求导求解（2），根据求导即可判定（3），结合（1）的结论以及的单调性即可求解（4）. 【解析】（1）正确;因为令在上是增函数， 当时，，，即. （2）错误；因为令 时，单调递增，时，单调递减.与无法比较大小. （3）错误；因为， 时，单调递增，时，单调递减.所以无法确定的大小，故（3）错误， （4）正确;因为时，，单调递增， 又（1）正确， ， 故选：B. 16．已知是圆柱下底面的一条半径，，，为该圆柱侧面上一动点，垂直下底面于点，若，则对于下述结论：①动点的轨迹为椭圆；②动点的轨迹长度为；以下说法正确的为（    ）． A．①②都正确 B．①正确，②错误 C．①错误，②正确 D．①②都错误 【答案】C 【分析】把侧面展开，建立坐标系，可得的轨迹. 【解析】以A为原点将圆柱侧面和底面展开如下图， 设，所以,, 由题意，， 所以当时，同理时， 所以点的轨迹在展开图中为两条互相垂直的线段，在圆柱面上不是椭圆， 两条线段的长度均为，故轨迹长为. 故选:C. 【点睛】关键点点睛：关键是通过展开把几何体内的动点转化成平面中的动点问题，然后找动点横纵坐标的关系. 2 / 25 学科网（北京）股份有限公司 $$