专题06 锐角三角函数（知识串讲+热考题型+真题训练）-2024-2025学年九年级数学上学期期中期末考点归纳满分攻略讲练（苏科版）

专题06 锐角三角函数 【考点01：锐角三角函数的定义】 【考点02：三角函数的有关运算】 【考点03：特殊角的三角函数值】 【考点04：解直角三角形】 【考点05：解直角三角形的实际应用】 优网 知识点1:锐角三角函数的概念 如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A所对的边BC记为a，叫做∠A的对边，也叫做∠B的邻边，∠B所对的边AC记为b，叫做∠B的对边，也是∠A的邻边，直角C所对的边AB记为c，叫做斜边． 　 锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即； 锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即； 锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即. 同理；；． 知识点2:特殊角的三角函数值 　利用三角函数的定义，可求出30°、45°、60°角的各三角函数值，归纳如下： 锐角 30° 45° 1 60° 知识点3:解直角三角形 　在直角三角形中，由已知元素(直角除外)求未知元素的过程，叫做解直角三角形. 　　在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即三条边和两个锐角. 　　设在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则有： 　　①三边之间的关系：a2+b2=c2(勾股定理). 　　②锐角之间的关系：∠A+∠B=90°. 　　③边角之间的关系： 　　　，，， 　　　，，. 　　④，h为斜边上的高. 知识点4：解直角三角形的常见类型及解法 已知条件 解法步骤 Rt△ABC 两 边 两直角边(a，b) 由求∠A， ∠B=90°－∠A， 斜边，一直角边(如c，a) 由求∠A， ∠B=90°－∠A， 一 边 一 角 一直角边 和一锐角 锐角、邻边 (如∠A，b) ∠B=90°－∠A， ， 锐角、对边 (如∠A，a) ∠B=90°－∠A， ， 斜边、锐角(如c，∠A) ∠B=90°－∠A， ， 知识点5：解直角三角形的应用 1.坡度坡角 　在用直角三角形知识解决实际问题时，经常会用到以下概念： 　(1)坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母表示. 　坡度(坡比)：坡面的铅直高度h和水平距离的比叫做坡度，用字母表示，则，如图，坡度通常写成=∶的形式. 2.仰角俯角问题 　仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线中水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角，如图. 　　　　　　　　　　 3.方位角问题 （1）方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图①中，目标方向PA，PB，PC的方位角分别为是40°，135°，245°. 　　　　　　　　 (2)方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如图②中的目标方向线OA，OB，OC，OD的方向角分别表示北偏东30°，南偏东45°，南偏西80°，北偏西60°.特别如：东南方向指的是南偏东45°，东北方向指的是北偏东45°，西南方向指的是南偏西45°，西北方向指的是北偏西45°. 【考点01：锐角三角函数的定义】 1．已知在中，，，则的值等于（    ） A． B．2 C． D． 2．一个钢球沿坡角的斜坡向上滚动了5米，此时钢球距地面的高度是（单位：米）（        ） A． B． C． D． 3．如图，在中，，为斜边的高，D为垂足，则下列结论中正确的是（　　） A． B． C． D． 4．在中，，，垂足为D，则下列式子中正确的是（    ） A． B． C． D． 【考点02：三角函数的有关运算】 5．如图，在中，，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 6．如图，在中，，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 7．如图，在中，，则（   ） A． B． C． D． 8．如图，的顶点是正方形网格的格点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【考点03：特殊角的三角函数值】 9．计算：． 10．计算：． 11．计算： 12．计算： 【考点04：解直角三角形】 13．如图，在中，，垂足为D，，求的值． 14．如图，在中，于点，，，． (1)求的长； (2)求的长． 15．阅读理解：如图，为计算角的正切值，我们可以构建，使得，，延长至点，使，连接，可得到，所以，． 类比迁移：请根据阅读理解中的方法，计算的值． 16．如图，在中，于点D，于点E，AD与BE相交于点F． (1)求证：； (2)当，时，求BF的长． 【考点05：解直角三角形的实际应用】 17．如图，小明为了测量小河对岸大树的高度，他在点测得大树顶端的仰角是，沿斜坡走米到达斜坡上点，在此处测得树顶端点的仰角为，且斜坡的坡比为（参考数据：，，） (1)求小明从点走到点的过程中，他上升的高度； (2)大树的高度约为多少米？ 18．为保护青少年视力，某企业研发了可升降夹书阅读架（如图1），将其放置在水平桌面上的侧面示意图（如图2），测得底座高为，，支架为，面板长为，为．（厚度忽略不计） (1)求支点C离桌面的高度；（结果保留根号） (2)当面板绕点C转动时，面板与桌面的夹角满足时，保护视力的效果较好．当从变化到的过程中，面板上端E离桌面的高度增加还是减少？面板上端E离桌面的高度增加或减少了多少？（结果精确到，参考数据：，，） 19．世博公园是魔都的一处宝藏之地，而双子山，就像是世博公园的璀璨明珠．这座人工打造的山体别具一格，充满了独特的魅力．某数学兴趣小组用无人机垂直上升至距水平地面140米的P点，测得双子山顶端A的俯角是，再将无人机沿水平方向飞行200米到达点Q，测得双子山底端的俯角是，求双子山的高度．（结果精确到1米） 参考数据：，，． 20．实验是培养学生的创新能力的重要途径之一．如图是小红同学安装的化学实验装置，安装要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一处．已知试管， ，试管倾斜角为．（参考数据：） (1)求酒精灯与铁架台的水平距离的长度（结果精确到）； (2)实验时，当导气管紧贴水槽，延长交的延长线于点F，且（点C，D，N，F在一条直线上），经测得：，求线段的长度（结果精确到）． 1．如图，在中，是斜边上的中线，已知，，则的值是（    ）．    A． B． C． D． 2．如图，一山坡的坡度．小明从山脚出发，沿山坡到达点，已知，的水平距离米，则小明上升的高度是（   ）    A．100米 B．200米 C．米 D．米 3．如图，已知的终边，直线的方程为，则（    ） A． B． C． D． 4．如图，矩形的对角线与交于点O，过点O作的垂线交，于E、F两点，若，，则的长为（   ） A．1 B．2 C． D． 二、填空题 5．在中，，则的值为 ． 6．如图，在中，，则的长度为 ． 7．在中，，，则的值是 ． 8．某盏灯照射的空间可以看成如图所示的圆锥，它的高，母线与底面半径的夹角为，，则圆锥的底面积是 （结果保留）． 9．如图，小强从热气球上的A点测量一栋高楼顶部的仰角，测量这栋高楼底部的俯角，热气球与高楼的水平距离为米，则这栋高楼的高BC为 米． 10．如图，在矩形中，，点在上，将矩形沿折叠，点恰好落在边上的点处，那么 ． 11．如图，疫情期间在家学习网课时，小李将笔记本电脑水平放置在桌子上，显示屏与底板所在水平线的夹角为，此时感觉最舒适（如图1），侧面示意图为图2．使用时为了散热，他在底板下垫入散热架后，使电脑变化至位置（如图3），侧面示意图为图4．已知，于点C，． （1） ； （2）显示屏的顶部比原来升高了 ．（结果保留到，参考数据：） 三、解答题 12．如图，在中，，，于，，试求： (1)的值； (2)的值； (3)的值． 13．解答下列各题： (1)计算： (2)化简： 13．为了维护海洋权益，新组建的国家海洋局加大了在南海的巡逻力度．一天，我两艘海监船刚好在我某岛东西海岸线上的、两处巡逻，同时发现一艘不明国籍的船只停在处海域．如图所示，海里，在处测得在北偏东的方向上，处测得在北偏西的方向上，在海岸线上有一灯塔，测得海里． (1)求出A与C距离（结果保留根号）． (2)已知在灯塔周围100海里范围内有暗礁群，我在处海监船沿前往处盘查，途中有无触礁的危险（参考数据：，，． 14．如图，一座古塔坐落在小山上(塔顶记作点A，其正下方水平面上的点记作点B)，小李站在附近的水平地面上，他想知道自己到古塔的水平距离，便利用无人机进行测量，但由于某些原因，无人机无法直接飞到塔顶进行测量，因此他先控制无人机从脚底(记为点C)出发向右上方(与地面成，点A，B，C，O在同一平面)的方向匀速飞行4秒到达空中O点处，再调整飞行方向，继续匀速飞行8秒到达塔顶，已知无人机的速度为5米/秒，，求小李到古塔的水平距离即的长． 15．已知：是的内接三角形，为的切线，B为切点，P为直线上一点，过点P作的平行线交直线于点E，交直线于点F． (1)当点P在线段上时（如图），求证： (2)当点P为线段延长线上一点时，第（1）题中的结论还成立吗？如果成立请给予证明，如果不成立请说明理由； (3)若，，求的半径． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 锐角三角函数 【考点01：锐角三角函数的定义】 【考点02：三角函数的有关运算】 【考点03：特殊角的三角函数值】 【考点04：解直角三角形】 【考点05：解直角三角形的实际应用】 优网 知识点1:锐角三角函数的概念 如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A所对的边BC记为a，叫做∠A的对边，也叫做∠B的邻边，∠B所对的边AC记为b，叫做∠B的对边，也是∠A的邻边，直角C所对的边AB记为c，叫做斜边． 　 锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即； 锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即； 锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即. 同理；；． 知识点2:特殊角的三角函数值 　利用三角函数的定义，可求出30°、45°、60°角的各三角函数值，归纳如下： 锐角 30° 45° 1 60° 知识点3:解直角三角形 　在直角三角形中，由已知元素(直角除外)求未知元素的过程，叫做解直角三角形. 　　在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即三条边和两个锐角. 　　设在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则有： 　　①三边之间的关系：a2+b2=c2(勾股定理). 　　②锐角之间的关系：∠A+∠B=90°. 　　③边角之间的关系： 　　　，，， 　　　，，. 　　④，h为斜边上的高. 知识点4：解直角三角形的常见类型及解法 已知条件 解法步骤 Rt△ABC 两 边 两直角边(a，b) 由求∠A， ∠B=90°－∠A， 斜边，一直角边(如c，a) 由求∠A， ∠B=90°－∠A， 一 边 一 角 一直角边 和一锐角 锐角、邻边 (如∠A，b) ∠B=90°－∠A， ， 锐角、对边 (如∠A，a) ∠B=90°－∠A， ， 斜边、锐角(如c，∠A) ∠B=90°－∠A， ， 知识点5：解直角三角形的应用 1.坡度坡角 　在用直角三角形知识解决实际问题时，经常会用到以下概念： 　(1)坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母表示. 　坡度(坡比)：坡面的铅直高度h和水平距离的比叫做坡度，用字母表示，则，如图，坡度通常写成=∶的形式. 2.仰角俯角问题 　仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线中水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角，如图. 　　　　　　　　　　 3.方位角问题 （1）方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图①中，目标方向PA，PB，PC的方位角分别为是40°，135°，245°. 　　　　　　　　 (2)方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如图②中的目标方向线OA，OB，OC，OD的方向角分别表示北偏东30°，南偏东45°，南偏西80°，北偏西60°.特别如：东南方向指的是南偏东45°，东北方向指的是北偏东45°，西南方向指的是南偏西45°，西北方向指的是北偏西45°. 【考点01：锐角三角函数的定义】 1．已知在中，，，则的值等于（    ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】由三角函数的定义可知，可设，由勾股定理求出，然后根据正切的定义代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴可设， 则， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了三角函数的定义，熟练掌握正弦定义：对边与斜边的比值；正切的定义：对边与邻边的比值；是解本题的关键． 2．一个钢球沿坡角的斜坡向上滚动了5米，此时钢球距地面的高度是（单位：米）（        ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】铁球上滚的距离，铁球距地面的高度，可看作直角三角形的斜边与已知角的对边，可利用正弦函数求解． 【详解】铁球上滚的距离 铁球距地面的高度， 铁球距地面的高度 ． 故选：B． 【点睛】本题考查了一个角的正弦等于这个角的对边比斜边，熟知三角形的正弦函数是解题的关键． 3．如图，在中，，为斜边的高，D为垂足，则下列结论中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角函数的定义计算判断即可． 【详解】解：A、由，故该项错误，不符合题意； B、由，故该项错误，不符合题意； C、由，故该项错误，不符合题意； D、由，故该项正确，符合题意； 故选D． 【点睛】本题考查了三角函数，熟练掌握三角函数的基本定义是解题的关键． 4．在中，，，垂足为D，则下列式子中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角函数的定义直接逐个判断即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， ∵在中，，， ∴，故A正确，符合题意， ，故B错误，不符合题意， ，故C错误，不符合题意， ，故D错误，不符合题意， 故选A． 【点睛】本题考查三角函数的定义，解题的关键是判断不同直角三角形中的直角边与斜边． 【考点02：三角函数的有关运算】 5．如图，在中，，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是锐角三角函数的定义，锐角A的邻边b与斜边c的比叫做角A的余弦．根据余弦函数的定义计算即可． 【详解】解：∵中，，，， ∴， 在中，， 故选：B． 6．如图，在中，，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】： 本题考查了解直角三角形中三角函数的应用，要熟练掌握好边角之间的关系． 根据三角函数的定义求解． 【详解】解∶ 在中， 为斜边， ． 故选：B． 7．如图，在中，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了求角的正切值，勾股定理，先利用勾股定理求出的长，再根据正切的定义求解即可． 【详解】解：在中，由勾股定理得， ∴， 故选：A． 8．如图，的顶点是正方形网格的格点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要查了解直角三角形，勾股定理的逆定理．取格点D，连接，根据勾股定理的逆定理可证得，进而根据正弦的定义，即可求解． 【详解】解：如图，取格点D，连接，    根据题意得：，，， ∴， ∴， ∴． 故选：B 【考点03：特殊角的三角函数值】 9．计算：． 【答案】 【分析】本题考查特殊角的三角函数值的混合运算，将特殊角的三角函数值代入，进行计算即可． 【详解】解：原式． 10．计算：． 【答案】 【分析】本题考查特殊角的三角函数值的混合运算，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．把特殊角的三角函数值代入计算即可． 【详解】解： ． 11．计算： 【答案】 【分析】根据特殊角三角函数值，零指数幂，可得有理数的运算，根据有理数的运算法则计算，可得答案． 【详解】解： ． 12．计算： 【答案】3 【分析】本题考查了零指数幂与负整数指数幂、正弦、绝对值，熟练掌握各运算法则是解题关键．先计算零指数幂与负整数指数幂、正弦、化简绝对值，再计算二次根式的乘法与加减法即可得． 【详解】解： ． 【考点04：解直角三角形】 13．如图，在中，，垂足为D，，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，三角函数的定义．证明得，设，求出，然后根据正切的定义求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ， 设， 则， ， ． 14．如图，在中，于点，，，． (1)求的长； (2)求的长． 【答案】(1)的长为； (2)的长为． 【分析】（）由，则，通过，则，求出即可； （）由，则，通过，则，求出，然后由勾股定理得，最后用线段和差即可求解； 本题考查了解直角三角形的应用，勾股定理，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴的长为； （2）解：∵， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴由勾股定理得：， 由（）得：， ∴， ∴的长为． 15．阅读理解：如图，为计算角的正切值，我们可以构建，使得，，延长至点，使，连接，可得到，所以，． 类比迁移：请根据阅读理解中的方法，计算的值． 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形．解题的关键是根据阅读材料构造含的直角三角形，再作辅助线得到的直角三角形．作，使，延长到点，使，连接，根据构造的直角三角形，设，再用x表示出，即可求出的值． 【详解】解：在中，， 延长到点，使，连接． ， ， ， 在中，令， 则， ， ． 在中， ， 即． 16．如图，在中，于点D，于点E，AD与BE相交于点F． (1)求证：； (2)当，时，求BF的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了锐角三角函数的应用，相似三角形的性质和判定． （1）由垂直定义得到，再证明，即可证明； （2）由得到，由三角形相似得到，即可解决问题． 【详解】（1）证明：， ， ，， ， ∴； （2）∵ ∴， ∵， ， ． 【考点05：解直角三角形的实际应用】 17．如图，小明为了测量小河对岸大树的高度，他在点测得大树顶端的仰角是，沿斜坡走米到达斜坡上点，在此处测得树顶端点的仰角为，且斜坡的坡比为（参考数据：，，） (1)求小明从点走到点的过程中，他上升的高度； (2)大树的高度约为多少米？ 【答案】(1)他上升的高度为米； (2)大树的高度约为米． 【分析】（）作于，由斜坡的坡比为，则，在中，由勾股定理即可求出； （）过点作于点，设，由题意得，，，则，在中，，然后代入列出方程并检验即可； 本题考查了解直角三角形的应用——坡度，仰角俯角，勾股定理，解分式方程，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：作于，如图， 在中，斜坡的坡比为， ∴， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴他上升的高度为米； （2）解：如图，过点作于点，设， 由题意得，，，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴ ， 在中， ， ∴， 解得， 经检验，是原方程的解， 答：大树的高度约为米． 18．为保护青少年视力，某企业研发了可升降夹书阅读架（如图1），将其放置在水平桌面上的侧面示意图（如图2），测得底座高为，，支架为，面板长为，为．（厚度忽略不计） (1)求支点C离桌面的高度；（结果保留根号） (2)当面板绕点C转动时，面板与桌面的夹角满足时，保护视力的效果较好．当从变化到的过程中，面板上端E离桌面的高度增加还是减少？面板上端E离桌面的高度增加或减少了多少？（结果精确到，参考数据：，，） 【答案】(1) (2)高度是增加了，增加了约 【分析】本题考查了解直角三角形的应用、矩形的判定与性质，添加适当的辅助线构造直角三角形是解此题的关键． （1）过点C作于点F，过点B作于点M，则四边形为矩形，可得，．求出，解直角三角形求出的长，即可得解； （2）过点C作，过点E作于点H，分别求出从变化到的过程中的值，即可得解． 【详解】（1）解：过点C作于点F，过点B作于点M， ∴． 由题意得，， ∴四边形为矩形， ∴，． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． 答：支点C离桌面的高度为． （2）解：过点C作，过点E作于点H， ∴． ∵，， ∴． 当时，； 当时，； ∴ ∴当从变化到的过程中，面板上端E离桌面的高度是增加了，增加了约． 19．世博公园是魔都的一处宝藏之地，而双子山，就像是世博公园的璀璨明珠．这座人工打造的山体别具一格，充满了独特的魅力．某数学兴趣小组用无人机垂直上升至距水平地面140米的P点，测得双子山顶端A的俯角是，再将无人机沿水平方向飞行200米到达点Q，测得双子山底端的俯角是，求双子山的高度．（结果精确到1米） 参考数据：，，． 【答案】双子山的高度约为 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，延长交的延长线于点C，用三角函数解和即可． 【详解】解：延长交的延长线于点C，则，． 在中，， 则， ， 在中，，， ， ， 答：双子山的高度约为． 20．实验是培养学生的创新能力的重要途径之一．如图是小红同学安装的化学实验装置，安装要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一处．已知试管， ，试管倾斜角为．（参考数据：） (1)求酒精灯与铁架台的水平距离的长度（结果精确到）； (2)实验时，当导气管紧贴水槽，延长交的延长线于点F，且（点C，D，N，F在一条直线上），经测得：，求线段的长度（结果精确到）． 【答案】(1)． (2)的长度约为 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，作垂线构造直角三角形是解题关键． （1）过点E作于点G．可得四边形为矩形，推出．根据题意得，．结合，即可求解； （2）过点B分别作于点H，于点P．可推出四边形是矩形，得∴．在中，根据，，即可求解； 【详解】（1）解：如图，过点E作于点G． ∵， ∴四边形为矩形， ∴． ∵， ， ∴， ∴． 在中，， ∴． （2）解：如图，过点B分别作于点H，于点P． ∵， ∴四边形是矩形， ∴． 易知， 在中， ， ， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴（）． 答：的长度约为． 1．如图，在中，是斜边上的中线，已知，，则的值是（    ）．    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了直角三角形的性质、锐角三角函数定义的应用，解此题的关键是求出的长．根据直角三角形斜边上中线性质求出，根据锐角三角函数的定义得出，代入求出即可． 【详解】解：∵在中，是斜边上的中线，， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 2．如图，一山坡的坡度．小明从山脚出发，沿山坡到达点，已知，的水平距离米，则小明上升的高度是（   ）    A．100米 B．200米 C．米 D．米 【答案】A 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，掌握坡度的概念是解答本题的关键． 根据山坡的坡度比，即可作答． 【详解】解：∵山坡的坡度为，米． ∴解得：(米)， 则小明上升的高度是100米， 故选：A． 3．如图，已知的终边，直线的方程为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角函数的定义，一次函数的图象和性质等知识．根据一次函数的性质，求出、的坐标，得到、、的长度，根据三角函数的定义即可求出的值,再证明即可得到答案． 【详解】解：根据题意：直线的方程为， 令，则，令，则， ∴点坐标为，点坐标为， 故，； ∴，， ∵， ∴ ∴，， ∴， ∴． 故选：C． 4．如图，矩形的对角线与交于点O，过点O作的垂线交，于E、F两点，若，，则的长为（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了矩形的性质以及解直角三角形的运用，解决问题的关键是掌握：矩形的对角线相等且互相平分．先根据矩形的性质，推理得到，再根据求得的长，即可得到的长． 【详解】解：，， ，， 四边形是矩形， ，， ， ， 又中，， ， ， 故选：D 二、填空题 5．在中，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求角的正弦值，勾股定理，先由勾股定理求出，再根据正弦的定义求解即可． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∴， 故答案为：． 6．如图，在中，，则的长度为 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查了解直角三角形，根据余弦的定义可得据此计算求解即可． 【详解】解：∵在中，， ∴， 故答案为：6． 7．在中，，，则的值是 ． 【答案】/ 【分析】此题考查了锐角三角函数的定义．根据余弦值，求出三角形的各边，再根据锐角的正切等于对边比邻边列式即可． 【详解】解：如图示： ∵在中，，， ∴， 设，则， ∴， ∴， 故答案是：． 8．某盏灯照射的空间可以看成如图所示的圆锥，它的高，母线与底面半径的夹角为，，则圆锥的底面积是 （结果保留）． 【答案】 【分析】本题主要考查求圆锥的底面积，解直角三角形，掌握锐角三角函数的正切公式是解题的关键．利用锐角三角函数的正切公式求出底面半径，再圆锥的底面积公式求值即可． 【详解】解： ， 且， 即， 解得， 圆锥的底面积为， 故答案为：． 9．如图，小强从热气球上的A点测量一栋高楼顶部的仰角，测量这栋高楼底部的俯角，热气球与高楼的水平距离为米，则这栋高楼的高BC为 米． 【答案】60 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用．利用锐角三角函数的定义，求出的长，进一步求出的长即可． 【详解】解：在中，． ， （米）， 在中，． ， （米）， （米）． 故答案为． 10．如图，在矩形中，，点在上，将矩形沿折叠，点恰好落在边上的点处，那么 ． 【答案】 【分析】先根据矩形的性质得，再根据折叠的性质得，，在中，利用勾股定理计算出，则，设，则，然后在中根据勾股定理得到，解方程即可得到x，进一步得到的长，再根据正切函数的定义即可求解． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴， ∵矩形沿直线折叠，顶点D恰好落在边上的F处， ∴， ∴在中，， ∴， 设，则， ∵在中，， ∴， 解得，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了矩形的性质和勾股定理，正切的定义． 11．如图，疫情期间在家学习网课时，小李将笔记本电脑水平放置在桌子上，显示屏与底板所在水平线的夹角为，此时感觉最舒适（如图1），侧面示意图为图2．使用时为了散热，他在底板下垫入散热架后，使电脑变化至位置（如图3），侧面示意图为图4．已知，于点C，． （1） ； （2）显示屏的顶部比原来升高了 ．（结果保留到，参考数据：） 【答案】 /30度 15.2 【分析】本题考查解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数定义是解题关键． （1）先利用锐角三角函数求出三角函数值，再求角即可； （2）如图，过点B作交的延长线于D，先求出，据三角函数求，可证，，在同一直线上，计算和差即可． 【详解】解：（1）于C，， ， ． 故答案为：； （2）如图，过点B作交的延长线于D， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ，，在同一直线上， ， ∴显示屏的顶部比原来升高了． 故答案为：． 三、解答题 12．如图，在中，，，于，，试求： (1)的值； (2)的值； (3)的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】题目主要考查正弦函数及余弦函数，熟练掌握二者的定义是解题关键． （1）根据勾股定理得出，再由正弦函数求解即可； （2）根据同角的余角得出，再求余弦值即可； （3）根据正弦函数求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ， ∴， ∴； （2）解：∵于，， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵，， ∴， ∴． 13．解答下列各题： (1)计算： (2)化简： 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的化简，实数的运算，熟练掌握分式混合运算法则，特殊角的三角函数值，准确进行计算是解题的关键． （1）根据二次根式的性质，负整数指数幂，特殊角三角函数值，绝对值的性质，计算求值即可； （2）根据分式的混合运算法则，利用因式分解，约分化简； 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 13．为了维护海洋权益，新组建的国家海洋局加大了在南海的巡逻力度．一天，我两艘海监船刚好在我某岛东西海岸线上的、两处巡逻，同时发现一艘不明国籍的船只停在处海域．如图所示，海里，在处测得在北偏东的方向上，处测得在北偏西的方向上，在海岸线上有一灯塔，测得海里． (1)求出A与C距离（结果保留根号）． (2)已知在灯塔周围100海里范围内有暗礁群，我在处海监船沿前往处盘查，途中有无触礁的危险（参考数据：，，． 【答案】(1)与的距离为海里 (2)海监船沿前往处盘查，无触礁的危险 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据题目中所给方向角构造直角三角形，然后利用三角函数的知识求解，难度适中． （1）如图所示，过点作于点，可求得，，设，在与中，分别表示出、的长度，然后根据海里，代入、的式子，求出的值，继而可求出的长度； （2）如图所示，过点作于点，在中，根据的值，利用三角函数的知识求出的长度，然后与100比较，进行判断． 【详解】（1）解：如图所示，过点作于点， 可得，， 设， 在中，， 在中，， 海里， ， 解得：， 则， 答：与的距离为海里； （2）解：如图所示，过点作于点， 在中， ，， ， 故海监船沿前往处盘查，无触礁的危险． 14．如图，一座古塔坐落在小山上(塔顶记作点A，其正下方水平面上的点记作点B)，小李站在附近的水平地面上，他想知道自己到古塔的水平距离，便利用无人机进行测量，但由于某些原因，无人机无法直接飞到塔顶进行测量，因此他先控制无人机从脚底(记为点C)出发向右上方(与地面成，点A，B，C，O在同一平面)的方向匀速飞行4秒到达空中O点处，再调整飞行方向，继续匀速飞行8秒到达塔顶，已知无人机的速度为5米/秒，，求小李到古塔的水平距离即的长． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，过点作，交的延长线于点，过点作，垂足为，根据题意可得：米，米，，，从而可得，进而可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 【详解】解：过点作，交的延长线于点，过点作，垂足为，如图所示： 由题意得：米，米，，， ， ， ， 在中，米， 在中，米， 米， 米， 小李到古塔的水平距离即的长为米． 15．已知：是的内接三角形，为的切线，B为切点，P为直线上一点，过点P作的平行线交直线于点E，交直线于点F． (1)当点P在线段上时（如图），求证： (2)当点P为线段延长线上一点时，第（1）题中的结论还成立吗？如果成立请给予证明，如果不成立请说明理由； (3)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)成立，见解析 (3)3 【分析】（1）连接，由等腰三角形的性质、圆周角定理及切线的性质得；由平行线的性质进而得，从而可证明，由相似三角形的性质即可证得结论； （2）连接，由等腰三角形的性质、圆周角定理及切线的性质得；由平行线的性质进而得，从而可证明，由相似三角形的性质即可证得结论； （3）作直径连结，则，在中，由正弦函数关系即可求得直径的长，从而得半径． 【详解】（1）证明：连接，如图， 则， ∴； ∵ , ∴， ∴； ∵切于点B， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴ 又， ∴， ∴，即； （2）解：当P为延长线上一点时，（1）题的结论仍成立； 连接，如图， 则， ∴； ∵ , ∴， ∴； ∵切于点B， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴． （3）解：如图，作直径连结， 则，； ∵切于B点， 由（1）知， ∴， 在中，，， ∴， ∴的半径为3． 【点睛】本题是圆的综合问题，考查了圆周角定理，直径对的圆周角相等，切线的性质，相似三角形的判定与性质，正弦函数等知识，构造适当辅助线是关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$