专题06 一次函数（知识串讲+热考题型+真题训练）-2024-2025学年八年级数学上学期期中期末考点归纳满分攻略讲练（苏科版）

专题06 一次函数 【考点01变量与常量】 【考点02 函数的定义】 【考点03函数的自变量取值范围】 【考点04一次函数的定义】 【考点05一次函数图像的性质】 【考点06一次函数的图像】 【考点07一次函数的变换问题】 【考点08一次函数与方程（组）】 【考点09一次函数的实际应用】 【考点10一次函数与几何综合】 知识点1：变量与常量 定义：在一个变化过程中，我们称数值发生改变的量为变量，数值始终不变的量为常量． 一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x和 y，并且对于 的每一个确定的值， 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x 是自变量， y是因变量，y 是x 的函数．如果 当 x=a时，y=b ，b那么 a叫做当自变量 x的值为a 时的函数值． 知识点2：自变量取值范围 初中阶段，在一般的函数关系中自变量的取值范围主要考虑以下四种情况： （1） 函数关系式为整式形式：自变量取值范围为任意实数； （2） 函数关系式为分式形式：分母0 （3） 函数关系式含算术平方根：被开方数0； （4）函数关系式含0指数：底数0。 知识点3：函数定义 像这样，用关于自变量的数学式子表示 函数与自变量之间的关系，是描述函数的常用方法，这种式子叫做函数的解析式 知识点4：正比例函数的定义 一般地，形如y=kx(k≠0）函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数. 知识点5：正比例函数图像和性质 正比例函数图象与性质用表格概括下： k的符号 图像 经过象限 性质 k＞0 第一、三象限 y随x的增大而增大 k＜0 第二、四象限 y随x的增大而较少 知识点6：待定系数法求正比例函数解析式 1.正比例函数的表达式为y＝kx(k≠0)，只有一个待定系数k，所以只要知道除(0，0)外的自变量与函数的一对对应值或图象上一个点的坐标(原点除外)即可求出k的值，从而确定表达式． 2.确定正比例函数表达式的一般步骤： (1)设——函数表达式，如y＝kx(k≠0)；(2)代——； (3)求——k； (4)写—— 知识点7：一次函数的定义 如果 y=kx+b（k，b是常数，k ≠0 ）的函数，叫做一次函数，k叫比例系数。 注意：当b=0时，一次函数y=kx+b 变为y=kx，正比例函数是一种特殊的一次函数。 知识点8：一次函数图像和性质 一次函数图象与性质用表格概括下： 增减性 k＞0 k＜0 从左向右看图像呈上升趋势，y随x的增大而增大 从左向右看图像呈下降趋势，y随x的增大而较少 图像（草图） b＞0 b=0 b＜0 b＜0 b=0 b＜0 经过象限 一、二、三 一、三 一、三、四 一、二、四 二、四 二、三、四 与y轴的交点位置 b＞0，交点在y轴正半轴上；b=0,交点在原点；b＜0，交点在y轴负半轴上 【提分要点】： 1. 若两直线平行，则； 2. 若两直线垂直，则 知识点9：一次函数的平移 1、 一次函数图像在x轴上的左右平移。向左平移n个单位，解析式y=kx+b变化为y=k（x+n）+b；向右平移n个单位解析式y=kx+b变化为y=k（x-n）+b。 口诀：左加右减（对于y=kx+b来说，对括号内x符号的增减）（此处n为正整数）。 2、 一次函数图像在y轴上的上下平移。向上平移m个单位解析式y=kx+b变化为y=kx+b+m；向下平移m个单位解析式y=kx+b变化为y=kx+b-m。 口诀：上加下减（对于y=kx+b来说，只改变b）（此处m为正整数） 知识点10：求一次函数解析式 用待定系数法求一次函数解析式的步骤： 基本步骤：设、列、解、写 ⑴设：设一般式y=kx+b ⑵列：根据已知条件，列出关于k、b的方程（组） ⑶解：解出k、b； ⑷写：写出一次函数式 知识点11：一次函数与一元一次方程的关系 直线 y=kx+b（k≠0）与 x 轴交点的横坐标，就是一元一次方程 kx+b=0（k≠0）的解．求 直线 y=kx+b（k≠0）与 x 轴交点时, （1）可令 y=0，得到方程 kx+b=0（k≠0），解方程得 ______________ ， （2）直线 y=kx+b 交 x 轴于点_（0，）_______ , 就是直线 y=kx+b 与 x 轴交点的横坐标． 知识点12：一次函数与一元一次不等式 （1）由于任何一个一元一次不等式都可以转化为＞0或＜0或≥0或≤0（、为常数，≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数的值大于0（或小于0或大于等于0或小于等于0）时求相应的自变量的取值范围. （2）如何确定两个不等式的大小关系 （≠，且）的解集的函数值大于的函数值时的自变量取值范围直线在直线的上方对应的点的横坐标范围． 知识点8：一次函数与二元一次方程组 1.一次函数与二元一次方程组的关系 2.一次函数与二元一次方程的数形结合 【考点01变量与常量】 【典例1】在圆周长的计算公式中，变量有（　　） A．是常量 B．是变量 C．和都是变量 D．是常量 【答案】C 【分析】本题主要考查了常量，变量的定义，是需要识记的内容．常量就是在变化过程中不变的量，变量是指在变化过程中随时可以发生变化的量． 【详解】解：圆的周长计算公式是，和是变量，2、是常量， 故选：C 【变式1-1】刘师傅到加油站加油，如图是所用的加油机上的某一时刻数据显示牌，则其中的变量是（    ） A．金额 B．金额和数量 C．数量 D．单价 【答案】B 【分析】根据常量与变量的定义即可判断．本题考查常量与变量，解题的关键是正确理解常量与变量，本题属于基础题型． 【详解】解：常量是固定不变的量，变量是变化的量， 单价是不变的量，而金额和数量是随着数量的变化而变化， 故选：B． 【变式1-2】一支冰激凌的价格是5元，买支冰激凌共支付元，则5和分别是（    ） A．常量，常量 B．变量，变量 C．常量，变量 D．变量，常量 【答案】C 【分析】本题考查了常量和变量，熟知相关概念是解题的关键．根据常量和变量的定义：在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量，即可判断． 【详解】解：根据题意，可知5是常量，a是变量， 故选：C． 【变式1-3】已知高铁的速度是300千米/时，则高铁行驶的路程S（千米）和时间t（时）之间的关系是．在此变化过程中，变量是（    ） A．速度、时间 B．路程、时间 C．速度、路程 D．速度、路程、时间 【答案】B 【分析】本题考查了函数关系式，常量与变量，弄清变量概念是解题的关键．根据变量的定义判断即可． 【详解】解：已知高铁的速度是300千米/时，则高铁行驶的路程S（千米）和时间t（时）之间的关系是． 在此变化过程中，变量是路程、时间， 故答案为：B． 【考点02 函数的定义】 【典例2】下图表示y是x函数的图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了函数，熟记函数的定义（一般的，在一个变化过程中，假设有两个变量，，如果对于任意一个都有唯一确定的一个和它对应，那么就称是自变量，是的函数）是解题关键． 【详解】解：A、不是的函数的图象，此项不符题意； B、是的函数的图象，此项符合题意； C、不是的函数的图象，此项不符题意； D、不是的函数的图象，此项不符题意； 故选：B． 【变式2-1】下列各图象中，是的函数的是（   ） A．B．C．D． 【答案】A 【分析】本题考查了函数的概念，深刻理解函数的概念是解题的关键：函数的定义：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量与，并且对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说是自变量，是的函数．对函数概念的理解，主要抓住以下三点：（1）有两个变量；（2）一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而变化；（3）对于自变量每一个确定的值，函数有且只有一个值与之对应．注意事项：判断两个变量是否有函数关系，不仅看它们之间是否有关系式存在，更重要的是看对于的每一个确定的值，是否有唯一确定的值与其对应；函数不是数，它是指某一变化过程中两个变量之间的关系．函数的意义反映在图象上一个简单的判断方法是：作垂直轴的直线在左右平移的过程中与函数图象只会有一个交点． 根据函数的概念逐项分析判断即可． 【详解】解：A、根据图象可知，给一个值，有且只有个值与其对应，满足函数的定义，故选项符合题意； B、根据图象可知，给一个值，有不止个值与其对应，不满足函数的定义，故选项不符合题意； C、根据图象可知，给一个值，有不止个值与其对应，不满足函数的定义，故选项不符合题意； D、根据图象可知，给一个值，有不止个值与其对应，不满足函数的定义，故选项不符合题意； 故选：． 【变式2-1】下列四个选项中，y不是x的函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了函数的概念，对于函数概念的理解：①有两个变量；②一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而发生变化；③对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应，即单对应． 【详解】解：．，y是x的函数，故该选项不符合题意； ．，y是x的函数，故该选项不符合题意； ．，y是x的函数，故该选项不符合题意； ．，给定一个自变量x的值，有两个函数值与之对应，y不是x的函数，故该选项符合题意； 故选：D． 【变式2-2】下列关系式中，y不是x的函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了函数概念； 对于自变量x的每一个取值，都有唯一y的值与之对应，此时称y是x的函数；据此逐一进行判断即可． 【详解】解：A.对于x的一个取值，y的取值不唯一，故y不是x的函数； B.对于任意x的每一个取值，都有唯一y的值与之对应，故y是x的函数； C.对于任意x的每一个取值，都有唯一y的值与之对应，故y是x的函数； D.对于任意x的每一个取值，都有唯一y的值与之对应，故y是x的函数； 故选：A． 【考点03函数的自变量取值范围】 【典例3】函数的自变量的取值范围是 【答案】 【分析】本题主要考查求函数自变量的取值范围，根据算术平方根的被开方数是非负数、分母不为零列出不等式组，解不等式组得到答案． 【详解】解：由题意得：且， 解得： 故答案为：. 【变式3-1】在函数中，自变量x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了自变量的取值范围，根据分母部位零列式计算即可． 【详解】根据题意，得， 解得， 故答案为：． 【变式3-2】函数的自变量的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．根据被开方数大于等于，分母不等于列式计算即可得解． 【详解】解：由题意得，且， 解得且． 故答案为：且． 【变式3-3】函数的定义域是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了求函数自变量的取值范围，根据分式有意义的条件与二次根式有意义的条件得出不等式组，解不等式组即可求解，掌握分式有意义的条件与二次根式有意义的条件是解题的关键． 【详解】解：由， ∴，解得：， 故答案为：． 【考点04一次函数的定义】 【典例4】下列关于x的函数是一次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的定义，根据形如的函数叫做一次函数进行逐项判断即可． 【详解】解：A、函数不是一次函数，该选项不符合题意； B、函数不是一次函数，该选项不符合题意； C、函数是一次函数，该选项符合题意； D、函数不是一次函数，该选项不符合题意； 故选：C． 【变式4-1】函数（1）；（2）；（3）；（4）；（5）中，一次函数有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数的定义等知识点，根据一般地，形如（，k、b是常数）的函数，叫做一次函数，对各函数进行判断即可，熟练掌握一次函数的定义是解决此题的关键． 【详解】解：函数（1）；（2）；（3）；（4）；（5）中，一次函数有；；，共3个， 故选：B． 【变式4-2】若函数是一次函数，则m的值为（   ） A．1 B． C． D．0 【答案】A 【分析】此题考查了一次函数的定义，熟练掌握一次函数定义是解题的关键．由一次函数的定义可知且，从而可求得m的值． 【详解】解： 是一次函数， 且， 解得且， 故选：A． 【考点05一次函数图像的性质】 【典例5】下列关于一次函数的结论： ①随的增大而减小． ②图象与直线平行． ③图象与轴的交点坐标是． ④图象经过第一、二、四象限，其中正确的有：（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【分析】本题考查一次函数的图象和性质，根据一次函数的图象和性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵，， ∴随的增大而减小，图象与直线平行，图象经过第一、二、四象限，当时，， ∴图象与轴的交点坐标是； 故①②③④均正确，符合题意； 故选A． 【变式5-1】点，在函数的图象上，则、的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的性质，由函数中，则随的增大而减小，由此进行判断即可，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵函数中， ∴随的增大而减小， ∵， ∴， 故选：． 【变式5-2】一次函数的图象经过（   ） A．第二、三、四象限 B．第一、三、四象限 C．第一、二、四象限 D．第一、二、三象限 【答案】D 【分析】本题考查判断一次函数图象经过的象限，根据，得出直线经过第一、二、三象限，即可． 【详解】解：∵，， ∴直线经过第一、二、三象限； 故选D． 【变式5-3】已知一次函数（、是常数），与的部分对应值如表： … 0 1 2 … … 2 4 6 … 下列说法中，正确的是（   ） A．图象经过第二、三、四象限 B．方程的解是 C．将的函数图象向左平移2个单位可得到该函数图象 D．该函数图象与轴的交点是 【答案】D 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与坐标轴的交点，一次函数的平移，掌握一次函数的图象和性质是解题关键．先求出一次函数解析式，得出经过的象限，可判断A 选项；求出时的值，可判断B、D选项；根据“上加下减、左加右减”的平移规律，可判断C选项． 【详解】解：将点、代入一次函数得： ，解得：， 一次函数解析式为， 图象经过第一、二、三象限， A 选项错误； 令，则，解得：，即该函数图象与轴的交点是 B选项错误，D选项正确； 将的函数图象向左平移2个单位可得到该函数的图象， C选项错误； 故选：D． 【变式5-4】对一次函数，下列说法正确的是（  ） A．图象经过第一、二、三象限 B．随的增大而增大 C．图象与的图象平行 D．图象必过点 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的性质及一次函数图象与系数的关系，逐一分析各选项的正误是解题的关键．根据图象与点的关系，一次函数的性质，图象的平移，一次函数图象分布解答即可． 【详解】解：∵，， ∴一次函数的图象经过第一、二、四象限，故A错误； ∵， ∴y随x的增大而减小，故B错误； ∵一次函数与的中相同， ∴一次函数的图象与的图象平行，故C正确； ∵时，， ∴一次函数的图象不过，故D错误； 故选：C． 【考点06一次函数的图像】 【典例6】两个一次函数与，它们在同一直角坐标系中的图象可能是（   ） A．B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的图象和性质， 观察题中所给选项，根据图象判断a、b的正负，如果通过两个一次函数图象所判断的a、b的正负一致，即为正确选项． 【详解】解：A．的图象过第一、三、四象限，所以，，的图象过第二、三、四象限，由此判断，，由两个图象判断出的a的取值矛盾，故本选项错误； B．的图象过第一、二、三象限，所以，，的图象过第一、二、四象限，由此判断，，由两个图象判断出的b的取值矛盾，故本选项错误； C．的图象过第一、三、四象限，所以，，的图象过第一、二、四象限，由此判断，，由两个图象判断出的a、b的正负一致，故本选项正确； D．的图象过第一、二、四象限，所以，，的图象过第二、三、四象限，由此判断，，由两个图象判断出的b的取值矛盾，故本选项错误； 故选C． 【变式6-1】已知直线经过一、二、四象限，则直线只能是图中的（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，解题的关键是掌握一次函数的图象与性质．根据直线经过一、二、四象限，可得，，即可求解． 【详解】解：直线经过一、二、四象限， ，， 直线经过一、三、四象限， 故选：D． 【变式6-2】表示一次函数与正比例函数（、是常数且）的图象，在同一坐标系中只可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了一次函数的图象性质，熟知一次函数的图象与系数的关系是解答此题的关键．根据一次函数与正比例函数的性质对四个选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A、由一次函数的图象可知，，故； 由正比例函数的图象可知，两结论不一致，故本选项不合题意； B、由一次函数的图象可知，，故； 由正比例函数的图象可知，两结论不一致，故本选项不合题意； C、由一次函数的图象可知，，故； 由正比例函数的图象可知，两结论一致，故选项符合题意； D、由一次函数的图象可知，，故； 由正比例函数的图象可知，两结论不一致，故本选项不合题意； 故选：C． 【变式6-3】一次函数与，它们在同一坐标系内的图象可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数图象与性质，根据题中选项，由一次函数图象与性质得到符号，再判断另一条直线是否满足即可得到答案，熟记一次函数图象与性质是解决问题的关键． 【详解】解：A、由的图象得， ∴， ∴的图象过二、四象限，与选项中的图象相符合，故A符合题意; B、由的图象得， ∴， ∴的图象过二、四象限，与选项中的图象相矛盾，故B不符合题意; C、由的图象得， ∴， ∴的图象过二、四象限，与选项中的图象相矛盾，故C不符合题意; D、由的图象得， ∴， ∴的图象过一、三象限，与选项中的图象相矛盾，故D不符合题意; 故选：A． 【考点07一次函数的变换问题】 【典例7】将一次函数的图象沿x轴向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度后，得到的新图象对应的函数解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了一次函数图象的平移．根据左加右减，上加下减的平移规律进行解答即可． 【详解】解：将一次函数的图象沿x轴向左平移2个单位长度得到， 一次函数再向上平移3个单位长度后，得到的新图象对应的函数解析式为． 故选：B． 【变式7-1】一次函数的图象向上平移3个单位长度后，所得图象对应的表达式为 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数图象的平移，根据平移规则：上加下减，进行求解即可． 【详解】解：由题意，平移后的解析式为：； 故答案为：． 【变式7-2】已知一次函数的图像与直线关于x轴对称，则一次函数的表达式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一次函数与几何变换问题，求一次函数表达式，首先求出直线与y轴的交点为，与x轴的交点为，然后根据题意求出一次函数与y轴的交点为，与x轴的交点为，然后利用待定系数法求解即可． 【详解】解：，当时，， 当时，， ∴直线与y轴的交点为，与x轴的交点为， 一次函数的图像与直线关于x轴对称， 一次函数与y轴的交点为，与x轴的交点为， 设一次函数的解析式为， 把，代入得，， 解得：， 所以，一次函数的解析式为：． 故答案为：． 【变式7-3】将直线向右平移4个单位，平移后的直线经过点，则的值为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了一次函数图象的平移、一次函数图象上点的坐标特征．根据图象平移的规律“左加右减”得出平移后的解析式，再将坐标代入求解即可． 【详解】解：∵将直线向右平移个单位后的解析式为， ∴将点代入，得， 解得：， 故答案为：6． 【考点08一次函数与方程（组）】 【典例8】如图，直线与直线相交于点，则方程组的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组，根据两条直线的交点坐标即可得． 【详解】解：∵直线与直线相交于点， ∴方程组的解是， 故答案为：． 【变式8-1】一次函数图象如图，则关于x的方程的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查一次函数与一元一次方程的关系，从数与形两个方面理解两者的关系是解题的关键；因此此题可直接根据图象进行求解即可． 【详解】解：由图象可知：关于x的方程的解为； 故选A． 【变式8-2】如图，直线和相交于点，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查利用图象法解不等式，先由题意得到，关于的不等式的解集就是直线在直线上方的图象对应的自变量的取值范围，过作轴的垂线，如图所示，数形结合即可得到答案，理解图象法解一元一次不等式是解决问题的关键． 【详解】解：直线和相交于点， 将代入直线得到，解得， 关于的不等式的解集就是直线在直线上方的图象对应的自变量的取值范围， 过作轴的垂线，如图所示： 关于的不等式的解集为， 故选：B． 【变式8-3】如图，点在一次函数的图象上，则不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．观察函数图象即可求解． 【详解】解：由图象可得：当时，， 所以不等式的解集为， 故答案为：． 【考点09一次函数的实际应用】 【典例9】在2024年，国家出台政策减免新能源汽车的购置税与车船税，一系列优惠政策如同春风拂面．某新能源汽车经销商购进紧凑和中级两种型号的新能源汽车，据了解3辆中级型汽车、2辆紧凑型汽车的进价共计104万元；2辆紧凑型汽车比3辆中级型汽车的进价少40万元． (1)求中级型和紧凑型汽车两种型号汽车的进货单价； (2)由于新能源汽车需求不断增加，该店准备购进中级型和紧凑型汽车两种型号的新能源汽车100辆，已知中级型汽车的售价为26万元/辆，紧凑型汽车的售价为20万元/辆．根据销售经验，购中级型汽车的数量不低于25辆，设购进辆中级型汽车，100辆车全部售完获利万元，该经销商应购进中级型和紧凑型汽车各多少辆，才能使最大？最大为多少万元？ 【答案】(1)中级型汽车的进货单价为24万元，紧凑型汽车的进货单价为16万元 (2)该经销商应购进中级型25辆，紧凑型汽车75辆，才能使最大，最大为350万元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用； （1）设中级型汽车进货单价为万元，紧凑型汽车的进货单价为万元．根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解； （2）根据题意得出，，进而根据一次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：设中级型汽车的进货单价为万元，紧凑型汽车的进货单价为万元，由题意得， 解得： 答：中级型汽车的进货单价为24万元，紧凑型汽车的进货单价为16万元； （2）解：设购进中级型汽车辆，则购进紧凑型汽辆， 由题意得：， 获利， ∵， ∴随的增大而减小， ∴当，取最大值，最大值为， 此时，， 答：该经销商应购进中级型25辆，紧凑型汽车75辆，才能使最大，最大为350万元． 【变式9-1】一辆巡逻车从A地出发沿一条笔直的公路匀速驶向B地，小时后，一辆货车从A地出发，沿同一路线以80千米小时的速度匀速驶向B地，货车到达B地填装货物耗时15分钟，然后立即以低于来时的速度按原路匀速返回A地．巡逻车、货车离A地的距离y（千米）与货车出发时间x（小时）之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题： (1)A，B两地之间的距离是______千米，______；货车返回时的速度是______千米小时； (2)在整个运输途中，请适当说明巡逻车与货车在货车出发多久时相遇？ 【答案】(1)，， (2)巡逻车与货车在货车出发小时或小时时相遇 【分析】（1）根据货车从地到地花了小时结合“路程速度时间”即可求出，两地之间的距离；根据货车装货花了分钟即可求出的值；利用“速度路程时间”即可求出货车返回时的速度； （2）先求出巡逻车的速度，然后求出货车出发时巡逻车行驶的路程，于是可得点坐标，设巡逻车对应的函数表达式为，将，两点坐标代入，得二元一次方程组，解方程组即可求出与的值，进而可得巡逻车对应的函数表达式，同理可求得线段所在直线的函数表达式和线段所在直线的函数表达式，进而可得货车对应的函数表达式，将巡逻车对应的函数表达式与货车对应的函数表达式联立，通过解一元一次方程，即可求出巡逻车与货车的相遇时间． 【详解】（1）解：（千米）， ，两地之间的距离是千米， 货车到达地填装货物耗时分钟， ， （千米小时）， 故答案为：，，； （2）解：由题意可得，巡逻车的速度为： （千米小时）， 货车出发时，巡逻车行驶的路程为： （千米）， ，， 设巡逻车对应的函数表达式为， 将，两点坐标代入，得： ， 解得：， 巡逻车对应的函数表达式为， ，，，， 同理，可求得线段所在直线的函数表达式为，线段所在直线的函数表达式为， 货车对应的函数表达式为， 当时，根据题意可得：， 解得：， 当时，根据题意可得：， 解得：， 综上所述，巡逻车与货车在货车出发小时或小时时相遇． 【点睛】本题主要考查了一次函数的实际应用（行程问题），从函数的图象获取信息，求一次函数解析式，一元一次方程的实际应用（行程问题）等知识点，读懂函数图象并从中获取正确信息是解题的关键． 【变式9-2】八年级上学期举行了数学运算竞赛，为了奖励获奖的同学，需要购买我校文创手提袋和文创水性笔作为奖品．已知1个文创手提袋和3支文创水性笔共需24元；2个文创手提袋和2支文创水性笔共需36元． (1)求文创手提袋和文创水性笔的单价各为多少元？ (2)学校购买文创手提袋和文创水性笔两种奖品共150件，且文创手提袋的数量不少于文创水性笔的数量，应如何购买才能使总费用最少？并求出最少费用． 【答案】(1)文创手提袋的单价为15元，文创水性笔的单价为3元 (2)当购买文创手提袋75件，购买文创水性笔75件时，购买总费用最少，最少为1350元． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用： （1）设文创手提袋的单价为x元，文创水性笔的单价为y元，根据1个文创手提袋和3支文创水性笔共需24元；2个文创手提袋和2支文创水性笔共需36元列出方程组求解即可； （2）设购买文创手提袋m件，则购买文创水性笔件，根据文创手提袋的数量不少于文创水性笔的数量列出不等式求出m的范围，再列出w关于m的一次函数关系式，最后利用一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设文创手提袋的单价为x元，文创水性笔的单价为y元， 由题意得，， 解得， 答：文创手提袋的单价为15元，文创水性笔的单价为3元； （2）解：设购买文创手提袋m件，则购买文创水性笔件， 由题意得，， ∴， 设总费用为w元， 由题意得，， ∵， ∴w随m增大而增大， ∴当时，w最小，最小值为， ∴， 答：当购买文创手提袋75件，购买文创水性笔75件时，购买总费用最少，最少为1350元． 【变式9-3】某商店销售A，B两种型号智能手表，这两种手表的进价和售价如下表： 型号 A B 进价（元/只） 1200 2000 售价（元/只） 1800 2500 该商场购进A，B两种型号智能手表共60只． (1)若该商场计划用8.4万元购进A，B两种型号智能手表，求购进A，B两种型号智能手表各多少只？ (2)若该商店用于购进智能手表的资金不超过8.8万元，且A型号的智能手表不得超过44只．若这两种智能手表都按售价全部售完，那么该商店应如何进货，才能使得获利最大，最大利润是多少？ 【答案】(1)A型45只，B型15只． (2)A型44只，B型16只获利最大：最大利润是34400元 【分析】本题考查一元一次方程的运用，一元一次不等式的实际运用，一次函数的实际运用，解题的关键在于根据题意建立等量或不等关系求解． （1）设购进A种型号智能手表只，则购进B种型号智能手表只，根据“该商场计划用8.4万元购进A，B两种型号智能手表，”建立方程求解，即可解题； （2）设购进A种型号智能手表只，则购进B种型号智能手表只，根据题意建立不等式求解，得到的取值范围，再根据题意表示出利润，结合的取值范围求解，即可解题． 【详解】（1）解：设购进A种型号智能手表只，则购进B种型号智能手表只， 由题意可得：， 解得， （只）， 答：购进A种型号智能手表只，则购进B种型号智能手表只； （2）解：设购进A种型号智能手表只，则购进B种型号智能手表只， 该商店用于购进智能手表的资金不超过8.8万元， ， 解得， A型号的智能手表不得超过44只． ， ， 利润， ， 根据式子可知，当取值越大，利润越大， 当时，利润最大为（元）， （只） 答：该商店应进A型号的智能手表只，B种型号智能手表只，才能使得获利最大，最大利润是元． 【变式9-4】某水果店采用线上和线下相结合的方式销售一种水蜜桃，线上可以通过APP进行团购拼单购买，线下可以到实体店购买．具体费用标准如下： ①线上销售方式：一律七折销售； ②线下销售方式：不超过5千克，按原价销售；超过5千克时，超出的部分每千克优惠8元；若购买水蜜桃x千克，所需费用y元，y与x之间的函数关系如图所示． (1)水蜜桃标价为______元/千克；． (2)求出线下销售时所需费用y与x之间的函数关系式； (3)若想购买15千克水蜜桃，请问采用哪种方式购买更省钱？ 【答案】(1)20 (2)y＝ (3)线上购买更省钱 【分析】本题考查一次函数的应用，根据图象获取信息，解题的关键在于根据图象和题干获取正确的信息． （1）根据函数图象所给数据可知，水蜜桃标价为，然后计算即可； （2）根据“线下销售方式：不超过5千克，按原价销售；超过5千克时，超出的部分每千克优惠8元；”分别求出y与x之间的函数关系式即可； （3）分别算出线上和线下购买15千克水蜜桃所需费用，并进行比较，即可解题． 【详解】（1）解：由图可知，水蜜桃标价为（元/千克）， 故答案为：20； （2）解：∵不超过5千克，按原价销售； ∴， ∵超过5千克时，超出的部分每千克优惠8元； ∴， 综上所述，线下销售时所需费用y与x之间的函数关系式为； （3）解：线上购买15千克水蜜桃所需费用为：（元）， 线下购买15千克水蜜桃所需费用为：（元）， ∵， ∴线上购买更省钱． 【考点10一次函数与几何综合】 【典例10】如图1，直线分别交轴，轴于点，，点的坐标为，点的坐标为，点在直线上，且点的坐标为．    (1)求直线的函数表达式和点的坐标； (2)若点是轴上一动点，当时，求点的坐标； (3)如图2，点的坐标为，连接，点是直线上的一点，且，直接写出直线的函数关系式．（提示：两底角相等的三角形是等腰三角形） 【答案】(1)， (2)点的坐标为或 (3)或 【分析】（1）用待定系数法求直线的解析式即可； （2）由题意可得，根据即可求的坐标； （3）分两种情况讨论：①当点在射线上时，过点作交直线于点，过作轴垂线，分别过，作，，证明，即可得点坐标，用待定系数法求出直线的解析式为；②当点在射线上时，过点作交直线于点，过点作轴交于，过点作轴，过点作交于，证明，可求得H的坐标，用待定系数法即可求出直线的解析式． 【详解】（1）解：设直线的函数解析式为， 将，代入得： ， 解得：， ∴直线的函数解析式为； 将代入得： ， 解得：， ∴点的坐标为； （2）解：∵，， ∴， ∴， ， 解得：， ∵， ∴点的坐标为或； （3）解：①如图，当点在射线上时，过点作交直线于点，   ， ， 过作轴垂线，分别过，作，， ，， ， ， ， ， ∵，， ，， 即点坐标为， 设直线的解析式为， ， ， 直线的解析式为， ②当点在射线上时， 过点作交直线于点，过点作轴交于，过点作轴，过点作交于，   ， ， ， ， ， ， ， ，， ∵，， ，， ∴ ， ∴， 设直线的解析式为， ， ， ， 综上：直线的解析式为或． 【点睛】本题是一次函数的综合题，熟练掌握一次函数的图象及性质，三角形全等的判定及性质是解题的关键． 【变式10-1】如图，直线：交y轴交于点，交x轴于点B；直线：过点，且交x轴于点C，x轴有一动点，过P点作x轴垂线交直线于点N，交直线于点M． (1)求直线：解析式及B、C点坐标； (2)是否存在P点，使得？若存在，求出P点坐标．若不存在，请说明理由． (3)当时，直接写出P点坐标是______； (4)已知平面内有一点，当为直角三角形，直接写出Q点坐标是______． 【答案】(1)直线：，，； (2)P点坐标为或； (3)或 (4)或或或 【分析】（1）利用待定系数法即可求得直线的解析式，继而求得直线与x轴的交点坐标； （2）由题意得，，则，，由，列式计算即可求解； （3）由（2）得，，根据，得到，据此列式计算即可求解； （4）先求得，，，分三种情况讨论，利用勾股定理列式计算即可求解． 【详解】（1）解：∵直线：过点和， ∴， 解得， ∴直线：， 令，则， 解得， ∴， 同理； （2）解：由题意得，，， ∴，， ∵， ∴， 当时，， 解得； 当时，， 解得； ∴P点坐标为或； （3）解：由（2）得，， ∵， ∴， ∴， 同理，解得或； ∴P点坐标为或； 故答案为：或； （4）解：∵，，， ∴，，， 分情况讨论， 当时，则， ∴， 解得或， ∴Q点坐标是或； 当时，则， 解得， ∴Q点坐标是； 当时，则， 解得， ∴Q点坐标是； 综上，Q点坐标是或或或； 故答案为：或或或． 【点睛】本题考查了利用待定系数法求函数解析式，求两个函数的交点坐标，三角形的面积公式，线段的长度的表达式，勾股定理，掌握以上知识点是解题的关键． 【变式10-2】在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点，．直线交轴于点． (1)求直线的解折式； (2)如图，直线与直线交于点，点为坐标轴上一点，当是以为底边的等腰三角形时，求的长； (3)如图2，点是点下方轴上的一点，且满足，求点坐标． 【答案】(1)； (2)或； (3)． 【分析】（1）根据待定系数法求解即可得解； （2）求出点的坐标是，进而分在轴上和在轴上两种情况讨论，根据题意可得，据此利用勾股定理建立方程求解即可； （3）当点在点的下方，由得到，过点作交直线于点，过点作于点，过点作于点，证明，进一步求出，求出直线的解析式为，从而即可求解． 【详解】（1）解；在中，令时，，解得 ∴ 设直线：， 把 代入得， ， 解得， ∴直线的解折式为：； （2）解：联立，解得 ∴点的坐标是， 当在轴上时，设点的坐标为，则， ∵是以为底边的等腰三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴， 当在轴上时，设点的坐标为，则， ∵是以为底边的等腰三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴， 综上所述，的长为或； （3）解：当点在点的下方， 在中，当时， ∴ ∵ ∴轴， ∴， ， ； 如图所示，过点作交直线于点，过点作于点，过点作于点， 为等腰直角三角形， ， ，， ， 又， ， ，， ∴， ， 设直线的解析式为， ∴， 解得：， 直线的解析式为， 当时，， ∴． 【点睛】本题主要考查了一次函数的综合应用，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，等腰三角形的定义，全等三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 【变式10-3】【问题背景】 我国传统的计重工具——秤的应用，方便了人们的生活，可以用秤砣到秤纽的水平距离，来得出秤钩上所挂物物体的质量（如图①）．称重时，若秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为个（厘米）时，秤钩所挂物重为（千克），则是的一次函数． 【记录数据】 表中为若干次称重时，某数学兴趣小组所记录的一些数据． /厘米 0 1 2 4 7 11 12 /千克 0.5 0.75 1.00 1.50 2.75 3.25 3.50 【探索发现】 （1）在上表的数据中，发现有一对数据记录错误．在图②中，通过描点的方法，观察判断哪一对数据是错误的． （2）求出与之间的函数关系式． 【结论应用】 （3）当秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为16厘米时，秤钩所挂物重是多少？ 【答案】（1）图见解析，，这组数据错误；（2）；（3）秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为16厘米时，秤钩所挂物重是4.5千克． 【分析】本题考查一次函数的应用，待定系数法等知识，会用描点法画出函数图象，利用数形结合的思想是解题的关键． （1）利用描点法画出图形即可判断． （2）设函数关系式为，利用待定系数法解决问题即可； （3）将代入计算即可求解． 【详解】解：（1）作出图象如图， 观察图象可知：，这组数据错误． （2）设，把，，，代入可得： ， 解得， ； （3）当时， ， 答：秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为16厘米时，秤钩所挂物重是4.5千克． 【变式10-4】如图，在平面直角坐标系中，放置一平面镜，其中点，的坐标分别为，，从点发射光线，其图象对应的函数表达式为（，）． (1)点为平面镜的中点，若光线恰好经过点，求所在直线的表达式； (2)若入射光线（，）与平面镜有公共点，求的取值范围； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，线段中点坐标，一次函数图象及性质，利用待定系数法求出一次函数解析式是解题的关键． （1）先求出线段中点的坐标，再利用待定系数法解答即可求解； （2）先求出直线解析式，再求出直线解析式，即可求解． 【详解】（1）解：∵点，的坐标分别为，，点为平面镜的中点， ∴， 将点，坐标分别代入中， 得， 解得， ∴所在直线的表达式为． （2）解：当入射光线经过，时， 得， 解得， 当入射光线经过，时， 得， 解得， ∵入射光线（，）与平面镜有公共点， ∴． 1．直线经过点，则该直线的解析式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是利用待定系数法求解一次函数的解析式，把点代入即可得到答案． 【详解】解：∵直线经过点， ∴， 解得：， ∴直线为：； 故选：C 2．若一次函数与的图象交轴于同一点，则的值为（   ） A．2 B． C． D．6 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，以及一次函数图象上点的坐标特征，掌握一次函数的性质是解题关键．先求出一次函数与轴的交点，再根据题意，将点代入一次函数，求出的值即可． 【详解】解：在一次函数中， 当时，，解得：， 一次函数与轴的交点为， 一次函数与的图象交轴于同一点， 点也在一次函数的图象上， ， 解得：， 故选：B． 3．若将直线向下平移3个单位长度后得到直线，则下列关于直线说法正确的是（　　） A．经过第一、二、四象限 B．与轴交于 C．与轴交于 D．随的增大而减小 【答案】D 【分析】此题主要考查了一次函数图象的平移以及一次函数的性质，正利用一次函数图象的平移规律，左加右减，上加下减，得出即可． 【详解】解：将直线向下平移3个单位长度后得到直线， A、直线经过第二、三、四象限，故本选项错误； B、直线与轴交于，故本选项错误； C、直线与轴交于，故本选项错误； D、直线，随的增大而减小，故本选项正确． 故选：D． 4．二元一次方程组的解为，则一次函数与的图象的交点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是一次函数与二元一次方程（组）的关系，方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标． 由于函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解，结合本题，那么两个一次函数的图象交点的坐标就是方程组的解，据此即可解答． 【详解】解：∵二元一次方程组的解为， ∴一次函数与的交点坐标为． 故选：A． 5．函数的图象在第一、二、四象限，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质及解一元一次不等式组，根据函数与系数的关系得到，解不等式组即可得出答案 【详解】函数的图象在第一、二、四象限， ， 解得， 故答案为：C． 6．直线向下平移1个单位长度得到的直线的解析式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是一次函数的图像的平移变换，熟知“上加下减，左加右减”的平移规律是解答本题的关键． 【详解】解：直线向下平移1个单位长度得到的直线的解析式是， 故选B． 7．如图，点从的顶点出发，沿匀速运动到点，图是点运动时，线段的长度随时间变化的关系图象，其中为曲线部分的最低点，则的面积是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查动点问题的函数图象，勾股定理，根据图象可知点在BC上运动时，此时不断增大，而从向运动时，先变小后变大，从而可求出线段长度解答，读懂图象，从函数图象中获取信息是解题的关键． 【详解】根据题意观察图象可得， 当点在上运动时，时，有最小值， 观察图象可得，的最小值为， 即时，， 又∵， 因点从点运动到点，根据函数的对称性可得， ∴的面积是， 故选：． 8．一条直线过点且平行于直线，则此函数的解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的性质，待定系数法求一次函数的解析式；设函数解析式，将，代入即可求解． 【详解】解：由题意设函数解析式为， ∵过， ∴， 解得：． ∴． 9．一次函数的图像与两坐标轴所围成的三角形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴围成的三角形的面积，熟悉掌握一次函数的图象性质是解题的关键． 求出一次函数与坐标轴交点的坐标，再利用三角形面积公式运算求解即可． 【详解】解：根据作出简图得： 把代入可得：， ∴， 把代入可得：， 解得：，即， ∴， 故答案为：． 10．如图，直线与直线交于点，则关于的不等式的解集是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了一次函数图象与不等式的解集，合理分析图象是解题的关键． 根据图象分析解答即可． 【详解】解：∵根据图象进行对比可得：， ∴把，代入可得：， 解得：， ∴， 故答案为：． 11．如图，点在一次函数的图象上，则不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．观察函数图象即可求解． 【详解】解：由图象可得：当时，， 所以不等式的解集为， 故答案为：． 12．端午节期间，甲、乙两商场出售同种小香囊的方案如图，要使乙商场销售小香囊的营业额不低于甲商场，则乙商场至少应销售 件小香囊． 【答案】40 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的知识，解题的关键是从实际问题中整理出一次函数的模型，根据“乙商场销售小香囊的营业额不低于甲商场”反映到图象上就是甲商场的图象在乙商场的图象的下方，根据图象交点直接回答即可． 【详解】解：乙商场销售小香囊的营业额不低于甲商场， ， 乙商场至少应销售40件小香囊． 故答案为：． 13．如图1，在长方形中，E为边上一点，点P是长方形中边上的动点，点P从点B出发沿着B→C→D→E的路线向点E匀速运动．若P点的运动速度为，则随着时间t的变化，的面积也随之变化，变化情况如图2所示，当 s时，的面积为． 【答案】或 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，动点问题，解题的关键是读懂函数图像与动点之间的关系．由函数图象可知P在上运动了，在上运动了，在上运动了，即可求出它们的长，再结合长方形性质和的面积即可求出在边上的高，从而可求出的值． 【详解】解：由图可知：当点P在上运动时面积逐渐增加，在上运动时面积不变，在上运动时面积逐渐减小， P在上运动了，在上运动了，在上运动了， P点的运动速度为， ，，， 四边形是长方形， ，， ， 的边上的高为：， 当是，， 当时，则， ， ， 故答案为：或． 14．如图，已知点、点． (1)求直线所对应的函数表达式； (2)在轴上找一点P，使其满足，求P点的坐标． (3)在（2）的条件下，求的面积 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征以及两点间的距离， （1）根据点的坐标，利用待定系数法可求出直线的表达式； （2）设点P的坐标为，结合点A，B的坐标可得出，的长，结合可得出关于m的方程，解之即可得出m的值，进而可得出点P的坐标． （3）根据求解即可． 【详解】（1）解：设直线所对应的函数表达式为， 将A、B代入，得，解得， ∴直线AB所对应的函数表达式为； （2）解：设点P的坐标为．因为点A的坐标为，点B的坐标为， ∴ 又∵， ∴ ∴， ∴点P的坐标为 （3）解：． 15．某商场购进了一批瓦的灯泡和普通白炽灯泡进行销售，其进价与标价如下表： 灯泡 普通白炽灯泡 进价（元/个） 标价（元/个） (1)该商场购进了灯泡与普通白炽灯泡共个，灯泡按标价进行销售，普通白炽灯泡打八折销售，若销售完这批灯泡后可以获利元，求该商场购进灯泡与普通白炽灯泡各多少个？ (2)由于节日期间热销，两种灯泡很快售完，该商场计划再次购进两种灯泡共个，普通白炽灯泡不再打折销售，设购进灯泡个，销售完这个灯泡所获利润为元． 直接写出与的关系式； 若该商场想要获得元的销售利润，则两种灯泡各需购进多少个？ 【答案】(1)该商场购进灯泡个，普通白炽灯泡个 (2)   商场需购进灯泡个，普通白炽灯泡个 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一次函数的应用以及代入求值等知识点，解答本题的关键是找到等量关系列出二元一次方程组． （1）设该商场购进灯泡个，普通白炽灯泡个，根据灯泡普通白炽灯泡 个，以及销售完这批灯泡后可以获利元，列出二元一次方程组求解即可； （2）根据总利润（标价进价）件数，写出与的关系式即可解答； 令，求出即可解答． 【详解】（1）解：设该商场购进灯泡个，普通白炽灯泡个， 由题意可得， 解得， 答：该商场购进灯泡个，普通白炽灯泡个； （2） ； 当时，，解得：， ， 答：商场需购进灯泡个,普通白炽灯泡个． 16．如图，直线与轴、轴分别交于点A、B，且与直线相交于点，已知直线经过点，且与轴交于点． (1)求点A、B的坐标以及直线的解析式； (2)若为直线上一动点，，求点的坐标； (3)点是直线AB上方第一象限内的动点，当为等腰直角三角形时，直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】(1)、，直线的解析式为 (2)或 (3)所有符合条件的点的坐标为，， 【分析】本题考查一次函数的图象与性质，一次函数面积问题，一次函数与全等综合； （1）分别令和求出点A、B的坐标，设直线的解析式为，代入，计算即可求出解析式； （2）过作轴交于，利用铅锤法表示面积，根据列方程求解即可； （3）根据直角顶点不同分情况讨论，画出图形构造一线三垂直全等模型求解即可． 【详解】（1）解：令则； 令则，解得， ∴直线与轴、轴分别交于点、； 设直线的解析式为，代入，得 ，解得， ∴直线的解析式为； （2）解：∵直线经过点，且与轴交于点． ∴， ∴，， ∵为直线上一动点， ∴设， 过作轴交于，则，， ∴ ∵， ∴， 整理得， 解得或， ∴或； （3）解：∵、， ∴，， ∵为等腰直角三角形， ∴当，时，如图中点，过作轴于， ∴，， ∴， ∴，， ∴； 同理当，时，如图中点，此时； 当，时，如图中点，此时为中点，则, 综上所述，当为等腰直角三角形时，所有符合条件的点的坐标为，，． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 一次函数 【考点01变量与常量】 【考点02 函数的定义】 【考点03函数的自变量取值范围】 【考点04一次函数的定义】 【考点05一次函数图像的性质】 【考点06一次函数的图像】 【考点07一次函数的变换问题】 【考点08一次函数与方程（组）】 【考点09一次函数的实际应用】 【考点10一次函数与几何综合】 知识点1：变量与常量 定义：在一个变化过程中，我们称数值发生改变的量为变量，数值始终不变的量为常量． 一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x和 y，并且对于 的每一个确定的值， 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x 是自变量， y是因变量，y 是x 的函数．如果 当 x=a时，y=b ，b那么 a叫做当自变量 x的值为a 时的函数值． 知识点2：自变量取值范围 初中阶段，在一般的函数关系中自变量的取值范围主要考虑以下四种情况： （1） 函数关系式为整式形式：自变量取值范围为任意实数； （2） 函数关系式为分式形式：分母0 （3） 函数关系式含算术平方根：被开方数0； （4）函数关系式含0指数：底数0。 知识点3：函数定义 像这样，用关于自变量的数学式子表示 函数与自变量之间的关系，是描述函数的常用方法，这种式子叫做函数的解析式 知识点4：正比例函数的定义 一般地，形如y=kx(k≠0）函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数. 知识点5：正比例函数图像和性质 正比例函数图象与性质用表格概括下： k的符号 图像 经过象限 性质 k＞0 第一、三象限 y随x的增大而增大 k＜0 第二、四象限 y随x的增大而较少 知识点6：待定系数法求正比例函数解析式 1.正比例函数的表达式为y＝kx(k≠0)，只有一个待定系数k，所以只要知道除(0，0)外的自变量与函数的一对对应值或图象上一个点的坐标(原点除外)即可求出k的值，从而确定表达式． 2.确定正比例函数表达式的一般步骤： (1)设——函数表达式，如y＝kx(k≠0)；(2)代——； (3)求——k； (4)写—— 知识点7：一次函数的定义 如果 y=kx+b（k，b是常数，k ≠0 ）的函数，叫做一次函数，k叫比例系数。 注意：当b=0时，一次函数y=kx+b 变为y=kx，正比例函数是一种特殊的一次函数。 知识点8：一次函数图像和性质 一次函数图象与性质用表格概括下： 增减性 k＞0 k＜0 从左向右看图像呈上升趋势，y随x的增大而增大 从左向右看图像呈下降趋势，y随x的增大而较少 图像（草图） b＞0 b=0 b＜0 b＜0 b=0 b＜0 经过象限 一、二、三 一、三 一、三、四 一、二、四 二、四 二、三、四 与y轴的交点位置 b＞0，交点在y轴正半轴上；b=0,交点在原点；b＜0，交点在y轴负半轴上 【提分要点】： 1. 若两直线平行，则； 2. 若两直线垂直，则 知识点9：一次函数的平移 1、 一次函数图像在x轴上的左右平移。向左平移n个单位，解析式y=kx+b变化为y=k（x+n）+b；向右平移n个单位解析式y=kx+b变化为y=k（x-n）+b。 口诀：左加右减（对于y=kx+b来说，对括号内x符号的增减）（此处n为正整数）。 2、 一次函数图像在y轴上的上下平移。向上平移m个单位解析式y=kx+b变化为y=kx+b+m；向下平移m个单位解析式y=kx+b变化为y=kx+b-m。 口诀：上加下减（对于y=kx+b来说，只改变b）（此处m为正整数） 知识点10：求一次函数解析式 用待定系数法求一次函数解析式的步骤： 基本步骤：设、列、解、写 ⑴设：设一般式y=kx+b ⑵列：根据已知条件，列出关于k、b的方程（组） ⑶解：解出k、b； ⑷写：写出一次函数式 知识点11：一次函数与一元一次方程的关系 直线 y=kx+b（k≠0）与 x 轴交点的横坐标，就是一元一次方程 kx+b=0（k≠0）的解．求 直线 y=kx+b（k≠0）与 x 轴交点时, （1）可令 y=0，得到方程 kx+b=0（k≠0），解方程得 ______________ ， （2）直线 y=kx+b 交 x 轴于点_（0，）_______ , 就是直线 y=kx+b 与 x 轴交点的横坐标． 知识点12：一次函数与一元一次不等式 （1）由于任何一个一元一次不等式都可以转化为＞0或＜0或≥0或≤0（、为常数，≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数的值大于0（或小于0或大于等于0或小于等于0）时求相应的自变量的取值范围. （2）如何确定两个不等式的大小关系 （≠，且）的解集的函数值大于的函数值时的自变量取值范围直线在直线的上方对应的点的横坐标范围． 知识点8：一次函数与二元一次方程组 1.一次函数与二元一次方程组的关系 2.一次函数与二元一次方程的数形结合 【考点01变量与常量】 【典例1】在圆周长的计算公式中，变量有（　　） A．是常量 B．是变量 C．和都是变量 D．是常量 【变式1-1】刘师傅到加油站加油，如图是所用的加油机上的某一时刻数据显示牌，则其中的变量是（    ） A．金额 B．金额和数量 C．数量 D．单价 【变式1-2】一支冰激凌的价格是5元，买支冰激凌共支付元，则5和分别是（    ） A．常量，常量 B．变量，变量 C．常量，变量 D．变量，常量 【变式1-3】已知高铁的速度是300千米/时，则高铁行驶的路程S（千米）和时间t（时）之间的关系是．在此变化过程中，变量是（    ） A．速度、时间 B．路程、时间 C．速度、路程 D．速度、路程、时间 【考点02 函数的定义】 【典例2】下图表示y是x函数的图象是（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】下列各图象中，是的函数的是（   ） A．B．C．D． 【变式2-1】下列四个选项中，y不是x的函数的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】下列关系式中，y不是x的函数的是（    ） A． B． C． D． 【考点03函数的自变量取值范围】 【典例3】函数的自变量的取值范围是 【变式3-1】在函数中，自变量x的取值范围是 ． 【变式3-2】函数的自变量的取值范围是 ． 【变式3-3】函数的定义域是 ． 【考点04一次函数的定义】 【典例4】下列关于x的函数是一次函数的是（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】函数（1）；（2）；（3）；（4）；（5）中，一次函数有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【变式4-2】若函数是一次函数，则m的值为（   ） A．1 B． C． D．0 【考点05一次函数图像的性质】 【典例5】下列关于一次函数的结论： ①随的增大而减小． ②图象与直线平行． ③图象与轴的交点坐标是． ④图象经过第一、二、四象限，其中正确的有：（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【变式5-1】点，在函数的图象上，则、的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】一次函数的图象经过（   ） A．第二、三、四象限 B．第一、三、四象限 C．第一、二、四象限 D．第一、二、三象限 【变式5-3】已知一次函数（、是常数），与的部分对应值如表： … 0 1 2 … … 2 4 6 … 下列说法中，正确的是（   ） A．图象经过第二、三、四象限 B．方程的解是 C．将的函数图象向左平移2个单位可得到该函数图象 D．该函数图象与轴的交点是 【变式5-4】对一次函数，下列说法正确的是（  ） A．图象经过第一、二、三象限 B．随的增大而增大 C．图象与的图象平行 D．图象必过点 【考点06一次函数的图像】 【典例6】两个一次函数与，它们在同一直角坐标系中的图象可能是（   ） A．B． C． D． 【变式6-1】已知直线经过一、二、四象限，则直线只能是图中的（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】表示一次函数与正比例函数（、是常数且）的图象，在同一坐标系中只可能是（   ） A． B． C． D． 【变式6-3】一次函数与，它们在同一坐标系内的图象可能为（   ） A． B． C． D． 【考点07一次函数的变换问题】 【典例7】将一次函数的图象沿x轴向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度后，得到的新图象对应的函数解析式为（   ） A． B． C． D． 【变式7-1】一次函数的图象向上平移3个单位长度后，所得图象对应的表达式为 ． 【变式7-2】已知一次函数的图像与直线关于x轴对称，则一次函数的表达式为 ． 【变式7-3】将直线向右平移4个单位，平移后的直线经过点，则的值为 ． 【考点08一次函数与方程（组）】 【典例8】如图，直线与直线相交于点，则方程组的解是 ． 【变式8-1】一次函数图象如图，则关于x的方程的解为（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】如图，直线和相交于点，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【变式8-3】如图，点在一次函数的图象上，则不等式的解集是 ． 【考点09一次函数的实际应用】 【典例9】在2024年，国家出台政策减免新能源汽车的购置税与车船税，一系列优惠政策如同春风拂面．某新能源汽车经销商购进紧凑和中级两种型号的新能源汽车，据了解3辆中级型汽车、2辆紧凑型汽车的进价共计104万元；2辆紧凑型汽车比3辆中级型汽车的进价少40万元． (1)求中级型和紧凑型汽车两种型号汽车的进货单价； (2)由于新能源汽车需求不断增加，该店准备购进中级型和紧凑型汽车两种型号的新能源汽车100辆，已知中级型汽车的售价为26万元/辆，紧凑型汽车的售价为20万元/辆．根据销售经验，购中级型汽车的数量不低于25辆，设购进辆中级型汽车，100辆车全部售完获利万元，该经销商应购进中级型和紧凑型汽车各多少辆，才能使最大？最大为多少万元？ 【变式9-1】一辆巡逻车从A地出发沿一条笔直的公路匀速驶向B地，小时后，一辆货车从A地出发，沿同一路线以80千米小时的速度匀速驶向B地，货车到达B地填装货物耗时15分钟，然后立即以低于来时的速度按原路匀速返回A地．巡逻车、货车离A地的距离y（千米）与货车出发时间x（小时）之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题： (1)A，B两地之间的距离是______千米，______；货车返回时的速度是______千米小时； (2)在整个运输途中，请适当说明巡逻车与货车在货车出发多久时相遇？ 【变式9-2】八年级上学期举行了数学运算竞赛，为了奖励获奖的同学，需要购买我校文创手提袋和文创水性笔作为奖品．已知1个文创手提袋和3支文创水性笔共需24元；2个文创手提袋和2支文创水性笔共需36元． (1)求文创手提袋和文创水性笔的单价各为多少元？ (2)学校购买文创手提袋和文创水性笔两种奖品共150件，且文创手提袋的数量不少于文创水性笔的数量，应如何购买才能使总费用最少？并求出最少费用． 【变式9-3】某商店销售A，B两种型号智能手表，这两种手表的进价和售价如下表： 型号 A B 进价（元/只） 1200 2000 售价（元/只） 1800 2500 该商场购进A，B两种型号智能手表共60只． (1)若该商场计划用8.4万元购进A，B两种型号智能手表，求购进A，B两种型号智能手表各多少只？ (2)若该商店用于购进智能手表的资金不超过8.8万元，且A型号的智能手表不得超过44只．若这两种智能手表都按售价全部售完，那么该商店应如何进货，才能使得获利最大，最大利润是多少？ 【变式9-4】某水果店采用线上和线下相结合的方式销售一种水蜜桃，线上可以通过APP进行团购拼单购买，线下可以到实体店购买．具体费用标准如下： ①线上销售方式：一律七折销售； ②线下销售方式：不超过5千克，按原价销售；超过5千克时，超出的部分每千克优惠8元；若购买水蜜桃x千克，所需费用y元，y与x之间的函数关系如图所示． (1)水蜜桃标价为______元/千克；． (2)求出线下销售时所需费用y与x之间的函数关系式； (3)若想购买15千克水蜜桃，请问采用哪种方式购买更省钱？ 【考点10一次函数与几何综合】 【典例10】如图1，直线分别交轴，轴于点，，点的坐标为，点的坐标为，点在直线上，且点的坐标为．    (1)求直线的函数表达式和点的坐标； (2)若点是轴上一动点，当时，求点的坐标； (3)如图2，点的坐标为，连接，点是直线上的一点，且，直接写出直线的函数关系式．（提示：两底角相等的三角形是等腰三角形） 【变式10-1】如图，直线：交y轴交于点，交x轴于点B；直线：过点，且交x轴于点C，x轴有一动点，过P点作x轴垂线交直线于点N，交直线于点M． (1)求直线：解析式及B、C点坐标； (2)是否存在P点，使得？若存在，求出P点坐标．若不存在，请说明理由． (3)当时，直接写出P点坐标是______； (4)已知平面内有一点，当为直角三角形，直接写出Q点坐标是______． 【变式10-2】在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点，．直线交轴于点． (1)求直线的解折式； (2)如图，直线与直线交于点，点为坐标轴上一点，当是以为底边的等腰三角形时，求的长； (3)如图2，点是点下方轴上的一点，且满足，求点坐标． 【变式10-3】【问题背景】 我国传统的计重工具——秤的应用，方便了人们的生活，可以用秤砣到秤纽的水平距离，来得出秤钩上所挂物物体的质量（如图①）．称重时，若秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为个（厘米）时，秤钩所挂物重为（千克），则是的一次函数． 【记录数据】 表中为若干次称重时，某数学兴趣小组所记录的一些数据． /厘米 0 1 2 4 7 11 12 /千克 0.5 0.75 1.00 1.50 2.75 3.25 3.50 【探索发现】 （1）在上表的数据中，发现有一对数据记录错误．在图②中，通过描点的方法，观察判断哪一对数据是错误的． （2）求出与之间的函数关系式． 【结论应用】 （3）当秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为16厘米时，秤钩所挂物重是多少？ 【变式10-4】如图，在平面直角坐标系中，放置一平面镜，其中点，的坐标分别为，，从点发射光线，其图象对应的函数表达式为（，）． (1)点为平面镜的中点，若光线恰好经过点，求所在直线的表达式； (2)若入射光线（，）与平面镜有公共点，求的取值范围； 1．直线经过点，则该直线的解析式是（    ） A． B． C． D． 2．若一次函数与的图象交轴于同一点，则的值为（   ） A．2 B． C． D．6 3．若将直线向下平移3个单位长度后得到直线，则下列关于直线说法正确的是（　　） A．经过第一、二、四象限 B．与轴交于 C．与轴交于 D．随的增大而减小 4．二元一次方程组的解为，则一次函数与的图象的交点坐标为（   ） A． B． C． D． 5．函数的图象在第一、二、四象限，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．直线向下平移1个单位长度得到的直线的解析式是（   ） A． B． C． D． 7．如图，点从的顶点出发，沿匀速运动到点，图是点运动时，线段的长度随时间变化的关系图象，其中为曲线部分的最低点，则的面积是（  ） A． B． C． D． 8．一条直线过点且平行于直线，则此函数的解析式为 ． 9．一次函数的图像与两坐标轴所围成的三角形的面积为 ． 10．如图，直线与直线交于点，则关于的不等式的解集是 ． 11．如图，点在一次函数的图象上，则不等式的解集是 ． 12．端午节期间，甲、乙两商场出售同种小香囊的方案如图，要使乙商场销售小香囊的营业额不低于甲商场，则乙商场至少应销售 件小香囊． 13．如图1，在长方形中，E为边上一点，点P是长方形中边上的动点，点P从点B出发沿着B→C→D→E的路线向点E匀速运动．若P点的运动速度为，则随着时间t的变化，的面积也随之变化，变化情况如图2所示，当 s时，的面积为． 14．如图，已知点、点． (1)求直线所对应的函数表达式； (2)在轴上找一点P，使其满足，求P点的坐标． (3)在（2）的条件下，求的面积 15．某商场购进了一批瓦的灯泡和普通白炽灯泡进行销售，其进价与标价如下表： 灯泡 普通白炽灯泡 进价（元/个） 标价（元/个） (1)该商场购进了灯泡与普通白炽灯泡共个，灯泡按标价进行销售，普通白炽灯泡打八折销售，若销售完这批灯泡后可以获利元，求该商场购进灯泡与普通白炽灯泡各多少个？ (2)由于节日期间热销，两种灯泡很快售完，该商场计划再次购进两种灯泡共个，普通白炽灯泡不再打折销售，设购进灯泡个，销售完这个灯泡所获利润为元． 直接写出与的关系式； 若该商场想要获得元的销售利润，则两种灯泡各需购进多少个？ 16．如图，直线与轴、轴分别交于点A、B，且与直线相交于点，已知直线经过点，且与轴交于点． (1)求点A、B的坐标以及直线的解析式； (2)若为直线上一动点，，求点的坐标； (3)点是直线AB上方第一象限内的动点，当为等腰直角三角形时，直接写出所有符合条件的点的坐标． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$