专题5.2 一元一次方程的应用【十大题型】-【新教材】2024-2025学年七年级数学下册举一反三系列（华东师大版2024）

专题5.2 一元一次方程的应用【十大题型】 【华东师大版2024】 【题型1 行程问题】 2 【题型2 销售问题】 2 【题型3 工程问题】 3 【题型4 配套问题】 4 【题型5 比赛问题】 5 【题型6 数字问题】 6 【题型7 比例问题】 7 【题型8 古文问题】 7 【题型9 日历问题】 8 【题型10 方案问题】 10 知识点1：一元一次方程的应用 1. 列一元一次方程解应用题的常用步骤 （1）读题分析法：………… 多用于“和，差，倍，分问题” 仔细读题，找出表示相等关系的关键字，例如：“大，小，多，少，是，共，合，为，完成，增加，减少，配套-----”，利用这些关键字列出文字等式，并且据题意设出未知数，最后利用题目中的量与量的关系填入代数式，得到方程. （2）画图分析法: ………… 多用于“行程问题” 利用图形分析数学问题是数形结合思想在数学中的体现，仔细读题，依照题意画出有关图形，使图形各部分具有特定的含义，通过图形找相等关系是解决问题的关键，从而取得布列方程的依据，最后利用量与量之间的关系（可把未知数看做已知量），填入有关的代数式是获得方程的基础. 2. 列方程解应用题的常用公式 （1）行程问题：路程=速度·时间； （2）工程问题：工作量=工作效率·工作时间； 工程问题常用等量关系：先做的+后做的=完成量. （3）船在顺水、逆水中航行或者飞机在顺风、逆风中飞行的问题： ①船在顺水中航行的速度=船在静水中航行的速度+水流速度； ②船在顺水中航行的速度=船在静水中航行的速度-水流速度 ； ③飞机在顺风中飞行的速度=飞机在无风时飞行的速度+风的速度 ； ④飞机在顺风中飞行的速度=飞机在无风时飞行的速度-风的速度； ⑤顺水逆水问题常用等量关系：顺水路程=逆水路程. （4）商品利润问题：售价=定价· ，利润率= ； 利润问题常用等量关系：售价-进价=利润. 【题型1 行程问题】 【例1】（23-24七年级·四川成都·开学考试）甲、乙两辆汽车同时从 A , B 两个城市相对开出，经过8小时相遇后，甲车继续向前开到B城还要4小时．已知甲车每小时比乙车快35千米．A,B两个城市间的公路长多少千米？ 【变式1-1】（23-24七年级·广东梅州·期末）某学校七年级学生组织步行到郊外旅行，701班学生组成前队，速度为每小时4千米，702班同学组成后队，速度为每小时6千米，前队出发1小时后，后队才出发，同时，后队派出一名联络员骑自行车在两队之间不断地来回进行联络，骑车的速度是每小时12千米（队伍长度忽略不计）． (1)经过多少小时后队追上前队？ (2)联络员出发到他第一次追上前队的过程中，何时联络员离前队的距离与他离后队的距离相等？ 【变式1-2】（23-24七年级·云南·阶段练习）小王每天去体育场晨练，都见到一位田径队的叔叔也在锻炼．两人沿四百米跑道跑步，每次总是小王跑2圈的时间，叔叔跑3圈．一天，两人在同地反向而跑，小王看了一下记时表，发现隔了32秒钟两人第一次相遇．求两人的速度．第二天小王打算和叔叔在同地同向而跑，看叔叔隔多长时间与他首次相遇？ 【变式1-3】（2024·安徽池州·三模）春节燃放烟花给节日增添了喜庆，同时存在危险和污染，因此各地政府倡导“绿色春节”的同时，对烟花燃放的地点及企业的安全生产进行了严格的管理．检查发现某企业生产的一款烟花，使用的快引线燃尽时间仅为6秒，存在安全隐患．为了延长燃尽时间，给原快引线加长了一段慢引线，这样引线的总长达到了，从而燃尽时间延长了，已知每秒钟快引线燃烧的长度比慢引线多，求快引线燃烧的速度？ 【题型2 销售问题】 【例2】（23-24七年级·福建龙岩·期末）“龙年大吉，岁岁平安”，为了喜迎2024年新春，长汀某知名豆腐干店推出豆腐干新包装礼盒，新版A型礼盒和B型礼盒．已知A型礼盒的成本为每盒30元，B型礼盒的成本为每盒25元，A型礼盒的售价比B型礼盒的售价多20元，售卖1盒A型礼盒获得的利润和售卖2盒B型礼盒获得的利润一样多． (1)求每盒A型礼盒和B型礼盒的售价； (2)该豆腐干店第一批购进了200盒A型礼盒和100盒B型礼盒，为回馈客户该店计划将每盒A型礼盒打折出售，B型礼盒原价出售，售完这批A型礼盒和B型礼盒豆腐干店共盈利1500元，按此计划每盒A型礼盒包装应打几折出售？ 【变式2-1】（23-24七年级·江苏盐城·期末）某购物平台准备在春节期间举行年货节活动，此次年货节活动特别准备了A、B两种商品进行特价促销，已知购进了A、B两种商品，其中A种商品每件的进价比B种商品每件的进价多50元，购进A种商品3件与购进B种商品5件的进价相同． (1)求A、B两种商品每件的进价分别是多少元？ (2)该购物平台从厂家购进了A、B两种商品共70件，所用资金为6750元，出售时，A种商品在进价的基础上加价进行标价；B种商品按标价出售每件可获利25元．若按标价出售A、B两种商品，则全部售完共可获利多少元？ 【变式2-2】（23-24七年级·福建三明·期末）元旦期间，某商场开展促销活动，出售一种优惠购物卡注：（此卡只作为购物优惠凭证不能顶替货款），花300元买这种卡后，凭卡可在这家商场按标价的7.5折购物． (1)顾客购买多少元的商品时，买卡与不买卡花钱相等？ (2)小王要买一台标价为3400元的电视，如何购买合算？与另一种方式相比，小王能节省多少元钱？ (3)在（2）的基础上，小王按合算的方案把这台电视买下，若该商场还能盈利20％，则这台电视的进价是多少元？ 【变式2-3】（23-24七年级·湖北襄阳·期末）某工厂生产大小两种书包，每个小书包的成本比大书包的成本少10元，而它们的售后利润相同．其中，每个小书包的盈利率为，每个大书包的盈利率为． (1)求两种书包的售价； (2)工厂接到一批紧急订单，要按期生产大小两种书包共7万个，已知每6名工人能按期生产一万个小书包，每10名工人能按期生产一万个大书包．通过调度，安排50名工人按期完成了两种书包的生产任务． ①生产大小书包的工人各多少人？ ②由于该订单数量较大，工厂将大小书包的售价均打九折，请直接写出完成该订单后工厂获得的总利润是多少？ 【题型3 工程问题】 【例3】（23-24七年级·江苏扬州·阶段练习）一件工程，甲单独做需12天完成，乙单独做需8天完成，现先由甲、乙合作2天后，乙有其他任务，剩下的工程由甲单独完成，则甲还需要多少天才能完成该工程？ 【变式3-1】（23-24七年级·湖南株洲·期末）二十大新闻中心记者招待会上，生态环境部副部长谈到：我国将用全球历史上最短的时间实现“碳达峰”到“碳中和”的双碳目标，为尽快实现这一目标，各地加大清洁能源的开发与利用．某光伏发电站决定扩大电站规模，计划由甲、乙两工程队共同完成该项目，限期9周完成．已知甲，乙两工程队单独施工，分别需要15周和10周才能完成任务． (1)若甲、乙两工程队同时开工合作完成该项目，需要几周完成扩建任务？ (2)实际施工过程中，甲、乙两工程队同时开工，合作施工一段时间后，乙队撤离，剩下任务由甲队单独施工，刚好如期完成．已知甲队和乙队每周的劳务费分别为7万元和13万元．请问该工程完工后共支出劳务费多少万元？ 【变式3-2】（23-24七年级·陕西西安·期末）为推进我国“碳达峰、碳中和”双碳目标的实现，各地大力推广分布式光伏发电项目．某公司计划建设一座小型光伏发电站，若由甲工程队单独施工需要3周，每周耗资8万元，若由乙工程队单独施工需要6周，每周耗资3万元． (1)若甲、乙两工程队全程合作施工，需要几周完成？共需耗资多少万元？ (2)若由甲、乙两工程队先合作施工，剩下的由乙工程队单独完成，恰好用了4周完成建设任务，求甲工程队施工了几周？这样安排与两工程队全程合作相比，哪种方案更省钱？（时间按整周计算） 【变式3-3】（23-24七年级·黑龙江哈尔滨·阶段练习）列方程（组）解应用题： 有一批核桃要加工成罐头，甲工人每天能加工32公斤，乙工人每天能加工48公斤，且甲单独加工这批核桃要比乙多用10天． (1)这批核桃共多少公斤？ (2)为了尽快加工完成，先由甲、乙两工人按原速度合作一段时间后，甲工人停工，而乙工人每天的生产速度提高，乙工人单独完成剩余部分，且乙工人的全部工作时间是甲工人工作时间的3倍还多1天，求乙工人共加工多少天？ 【题型4 配套问题】 【例4】（23-24七年级·贵州黔南·期末）某口罩厂有87名工人，每人每天可以生产900个口罩面或1100个口罩耳绳，一个口罩面需要配两个耳绳． (1)为使每天生产的口罩面和口罩耳绳刚好配套，应安排多少名工人生产口罩面？ (2)若该工厂某天生产的口罩面与口罩耳绳刚好配套，设一个成品口罩成本价是a元，售价是b元，请用含a、b的式子表示该口罩厂该天生产口罩的利润． 【变式4-1】（23-24七年级·河南安阳·期末）在美术课上，老师组织七年级一班的学生做圆柱形笔筒．七年级一班共有学生44人，每名学生一节课能做筒身25个或筒底60个．若每个筒身需要匹配2个筒底，为了使本节课做的筒身和筒底刚好配套，应该分配多少名学生做筒身，多少名学生做筒底？ 【变式4-2】（23-24七年级·重庆九龙坡·期末）某车间有名工人，负责加工某轿车甲、乙两种零件的生产任务，每个工人每天能加工个甲种零件或加工个乙种零件，每辆轿车需要4个甲种零件和3个乙种零件． 该车间每天生产的零件正好满足轿车的配套需求． (1)每天应安排多少工人加工甲种零件？ (2)每天生产该轿车总加工费为元． 已知加工一件甲种零件的费用比加工一件乙种零件的费用少2元，求加工一件乙种零件的费用为多少元？ 【变式4-3】（2024·福建莆田·模拟预测）某车间有22名工人，每人每天可以生产1200个螺柱或2000个螺母，1个螺柱需要配2个螺母． (1)为使每天生产的螺柱和螺母刚好配套，应安排生产螺柱和螺母的工人各多少名？ (2)若车间现有24名工人，每人每天工作8个小时，工人根据需要可以转换生产螺柱或螺母的工作岗位．如何安排工人生产，使得螺柱和螺母尽可能多的配套，最多能生产多少套？ 【题型5 比赛问题】 【例5】（23-24七年级·广东广州·期末）某中学举行“我爱祖国”知识竞答比赛，规定每个选手共要答20道题，每答对一题得5分，不答或答错一题扣2分． (1)设选手小明答对x题，则小明不答或答错共___________题（用含x的代数式表示）； (2)若小明最终的成绩为65分，求小明答对了多少道题？ 【变式5-1】（23-24七年级·广东东莞·期中）东华初级中学七年级学生在第一次单元过关测试中数学成绩不达标人数东城校区和生态园校区共有600人，其中不达标人数中东城校区人数是生态园校区人数的3倍还多40人。辅差工作任重而道远，七年级领导组要求在第二单元过关测试中两区数学不及格人数必须共减少120人，减少后使得两区不合格人数中东城校区人数是生态园校区人数的3倍。 （1）求第一次单元过关测试中两个校区分别有多少数学不合格学生？ （2）求要完成年级任务第二次单元过关测试中两个校区应该分别减少多少个不合格学生？ 【变式5-2】（23-24七年级·广东中山·期中）中山市纪中三鑫双语学校积极开展各项活动.“学习强国知识竞赛”有20道必答题，每一题答对得10分，答错或不答都扣5分；3道抢答题，每一题抢答对得10分，抢答错扣20分，抢答不到不得分也不扣分.甲乙两队决赛，甲队必答题得了170分，乙队必答题只答错了1题． (1)甲队必答题答对了多少道?乙队必答题得了多少分? (2)抢答赛中，乙队抢答对了第1题，又抢到了第2题，但还没作答时，甲队啦啦队队员小黄说：“我们甲队输了!”小汪说：“小黄的话不一定对!”请你举一例说明“小黄的话”有何不对． 【变式5-3】（2024·山东菏泽·二模）为提升学生身体素质，落实教育部门“在校学生每天锻炼时间不少于1小时”的文件精神，某校利用课后服务时间，在七年级开展班级篮球赛，共16个班级参加． (1)比赛积分规定：每场比赛都要分出胜负，胜一场积3分，负一场积1分，某班在15场比赛中获得总积分为39分，求该班胜、负场数分别是多少场？ (2)投篮评分规则：在3分线外投篮，投中一球可得3分，在3分线内（含3分线）投篮，投中一球可得2分．某班在其中一场比赛中，共投中27个球，所得总分不少于58分，求该班这场比赛中至少投中了多少个3分球？ 【题型6 数字问题】 【例6】（23-24七年级·重庆沙坪坝·期中）幻方历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”．把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是三阶幻方，如图①所示．以下的三个幻方，都满足每行、每列、每条对角线上的三个数的之和都相等．只是图②和图③只出现了部分数字． (1)完成对图②幻方填写，直接填在图②中； (2)求图③中x的值，要求写出详细过程； (3)当图③中的时，完成图④的填写． 【变式6-1】（2024·江苏常州·模拟预测）一个六位数，其最左边一位数字是1．如果把这个数字移到最右边，那么所得的六位数就是原数的3倍，求原数． 【变式6-2】（23-24七年级·江苏徐州·阶段练习）一个两位数，个位数字比十位数字大1，交换两数位置得到新的两位数与原两位数之和等于33，求这个两位数． 【变式6-3】（23-24七年级·辽宁沈阳·期中）小明是个爱动脑筋的同学，在发现教材中的用方框在月历中移动的规律后，突发奇想，将连续的偶数2，4，6，8，…，排成如下表，并用一个十字形框架框住其中的五个数，请你仔细观察十字形框架中的数字的规律，并回答下列问题：    (1)十字形框中的五个数之和是中间数16的多少倍？ (2)将十字形上下左右移动，如果十字形框中的五个数之中最小数的是98，则最大的数是多少； (3)①设中间的数为x，写出十字框中的其余四个数，并求出这五个数的和（用含x的代数式表示）； ②十字形框中的五个数之和能否等于4010？若能，请求出中间的数；如不能，则说明理由． 【题型7 比例问题】 【例7】（23-24七年级·河南郑州·开学考试）【分数、比的应用】甲、乙两个仓库存化肥的质量比是12∶11，后来乙仓库又运来24吨，这时甲仓库存化肥比乙仓库少 ，乙仓库原来存化肥多少吨？ 【变式7-1】（23-24七年级·山东济宁·期末）甲、乙、丙三人共同出资做生意，甲投资了万元，乙投资了万元，丙投资了万元，年终时，共赚得利润万元，甲、乙、丙三人按比例进行分配，各可以分得多少利润？ 【变式7-2】（23-24七年级·重庆·期末）某公司生产一种饮料是由A，B两种原料液按一定比例配成，其中A原料液的原成本价为10元/千克，B原料液的原成本价为5元/千克，按原售价销售可以获得50%的利润率，由于物价上涨，现在A原料液每千克上涨20%，B原料液每千克上涨40%，配制后的饮料成本增加了，公司为了拓展市场，打算再投入现在成本的25%做广告宣传，如果要保证该种饮料的利润率不变，则这种饮料现在的售价应比原来的售价高 元/千克． 【变式7-3】（2024·安徽·一模）为提高销售业绩，安徽省某茶叶专卖店店长对店内销售额居于前三的六安瓜片、黄山毛峰、太平猴魁三种茶叶的销售额进行了分析，发现上月三种茶叶销售额的比值为4∶2∶3，本月六安瓜片销售额是上月销售额的a倍，黄山毛峰销售额是上月销售额的（a﹣3）倍，太平猴魁的销售额与上月的相同，同时这三种茶叶本月的总销售额恰好是上月总销售额的2倍，求本月六安瓜片销售额与上月销售额的比值． 【题型8 古文问题】 【例8】（23-24七年级·山东威海·期末）我国古代有很多著名的典型数学问题，请列一元一次方程解下列应用题． ①周瑜寿属：而立之年督东吴，早逝英年两位数；十比个位正小三，个位六倍与寿符；哪位同学算得快，多少年寿属周瑜？意思是：周瑜病逝时的年龄是一个大于30的两位数，其十位数上的数字比个位上的数字小3，个位上的数字的6倍正好等于这个两位数，求这个两位数． ②《孙子算经》是我国古代的重要数学著作，其中记载的“百鹿入城”问题很有趣．原文如下：今有百鹿入城，家取一鹿不尽，又三家共一鹿适尽，问城中家几何？其大意为：现在有100头鹿进城，每家领取一头后还有剩余，剩下的鹿每三家分一头，则恰好取完．问城中共有多少户人家？ 【变式8-1】（23-24七年级·江西南昌·期末）自西汉张骞出使西域以来，丝绸之路作为中国和国外进行商贸往来和文化交流的商道，繁荣发展了十几个世纪．中国古代数学也经由丝绸之路进行传播，其中刘徽所著《九章算术》中“盈不足术”有一题，原文如下：“今有羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三．问人数、羊价各几何？”题意是：若干人共同出资买羊，每人出5元，还差45元；每人出7元，则还差3元，求人数和羊价各是多少？ 【变式8-2】（23-24七年级·湖南衡阳·期中）在我国明代数学家吴敬所著的《九章算术比类大全》中，有一首数学名诗叫“宝塔装灯”．内容为“远望巍塔七层，红灯点点倍加增：共灯三百八十一，请问顶层几盏灯？”，大致意思是有一座七层高塔，从底层开始，每层安装的灯的数目都是上一层的2倍，共有381盏灯，请你算出塔的顶层有多少盏灯． 【变式8-3】（23-24七年级·福建南平·期末）我国明代数学著作《算法统宗》中有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客空一房．”诗的后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间房住9人，那么就空出一间房． (1)列方程解答下面问题：该店有客房多少间？到了多少房客？ (2)假设李三公将客房进行改造后，房间数大大增加，每间房收25钱，且每间房最多入住4人，一次性订房少于10间，不予优惠；不低于10间但低于20间，给予九折优惠；等于20间或是超过20间的，给予七折优惠．若诗中的“众客”再次一起入住，他们如何订房更合算？说明理由． 【题型9 日历问题】 【例9】（23-24七年级·湖北黄冈·期中）如图，小明自己制作了2023年11月的日历，其中有一个“”形框，提醒自己要“” （努力）学习，期中考试认真备考．框中包含7个数． (1)图中“”形框中的7个数的和与9有什么关系？ (2)将“”形框上下左右平移，但一定要框住2023年11月的月历中的7个数，若设“”形框框住的7个数中，从小到大排第4个数为a，用含a的式子表示“”形框框住的7个数字之和； (3)将“”形框上下左右平移，设“”形框框住的7个数字之和为n．①n能是119吗？如果能，请求出此时“”形框中的7个数中最大的数，如果不能，请说明理由．②某两次在不同位置框住的7数之和分别为，，且，求的最大值． 【变式9-1】（23-24七年级·浙江杭州·期中）如图是某年3月的日历，用一长方形框在表中任意框住4个数． (1)若记左上角的数为x，则另三个数用含x的代数式表示出来，从小到大依次是_____，_____，_____． (2)将日历中用长方形框框出的四个数之和的最小值记为，最大值记为，求的值． (3)能否用长方形框框出这样的4个数，它们的和等于？若能，则求出x的值，若不能，说明理由． 【变式9-2】（23-24七年级·广东深圳·期中）把正奇数，，，，排成如图所示的列，规定从上到下依次为第行，第行，第行，，从左到右依次为第列至第列．回答如下问题： (1)①图表中第列第行的数为_____； ②图表中第行第列的数可表示为_____．(用含有的代数式表示，要求化为最简形式) (2)按如图所示的方法用一个“”形框框住相邻的三个数，设被框的三个数中，最小的一个数为，是否存在这样的，使得被框的三个的数和等于？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． (3)若在(2)中“”形框框住的三个数的和记为“”，则的最大值与最小值的差等于_____． 【变式9-3】（23-24七年级·广东东莞·期中）下列8个图形，都是由相同的小正方形拼成的对称图形，分别将这8个图形放在某日历图片上，使每个图形的每个小正方形各圈住一个日期，如果某图形圈住的日期数字之和是这个图形的小正方形个数的整数倍数，那么这个图形叫做倍数图形． (1)将图形①放在图1中，使其圈住5个日期数字，设其圈住的中心数为n，判断图形①是不是倍数图形？如果，请证明一下，如果不是，请说明理由． (2)除图形①外，其余的7个图形中，是倍数图形的有_______（填写序号） (3)将图形④放在日历上，能否圈住三个数，使这三个数之和为33，如果能，请求出它的中心数，如果不能，请说明理由． 【题型10 方案问题】 【例10】（23-24七年级·吉林长春·阶段练习）为庆祝“五一”，学校统一组织合唱比赛，七、八年级共92人（其中七年级的人数超过46人但不足90人）准备统一购买服装参加比赛．若两个年级分别单独购买服装一共应付5000元，下表是某服装厂给出服装的价格表： 购买服装的套数 1套至45套 46套至90套 91套以上（含91套） 每套服装的价格 60元 50元 40元 (1)求七、八年级各有多少学生参加合唱比赛； (2)七年级参加合唱比赛的学生中，有10名同学抽调去参加绘画比赛，不能参加合唱比赛，请你为两个年级设计一种最省钱的购买服装方案． 【变式10-1】（23-24七年级·云南红河·期末）七年级某班因参加校园运动会为学生购置运动装．经了解，某服装店男款运动装每套100元，女款运动装每套120元，原价购买50套运动装共需5520元．为吸引顾客，该店推出两种优惠方案： 方案一：全部运动装八五折销售； 方案二：一次性购买40套运动装（男女运动装均可）及以上免费赠送10套男款运动装，其余的按原价销售． (1)该班购买的男款运动装和女款运动装各多少套？ (2)请通过计算说明该班购买50套运动装应选择哪种优惠方案更合算？ 【变式10-2】（23-24七年级·浙江温州·期中）为庆祝班级生日，七年级某班班主任陈老师准备去奶茶店购买奶茶．请结合以下素材，确定奶茶购买方案． 奶茶购买方案问题 素材1 “原味奶茶”和“珍珠奶茶”是某奶茶店最畅销的两款产品．原价购买一杯“原味奶茶”和一杯“珍珠奶茶”需要23元． 素材2 加3元购买一份珍珠，可将一杯“原味奶茶”制作成“珍珠奶茶”.因此一杯“珍珠奶茶”的原价比一杯“原味奶茶”的原价贵3元． 素材3    问题解决 任务1 请根据以上信息，分别求出“原味奶茶”和“珍珠奶茶”的原价． 任务2 陈老师计划用420元参加优惠活动（两个活动都参加），且钱恰好用完，求陈老师 最多拿到几杯“珍珠奶茶”？ 任务3 现在陈老师需要买15杯“原味奶茶”和35杯“珍珠奶茶”，则最省钱采购方案的总价为______元．（直接写出答案） 【变式10-3】（23-24七年级·四川宜宾·期中）某商城在周年庆期间举行促销活动，有以下两种优惠方案：购物金额每满元减元；购物金额打七五折． (1)若某人购物的金额为元，则他选择方案实际付的金额是______元，选择方案实际付的金额是______元． (2)若某人购物的金额超过元但不足元．通过计算发现，选择方案比方案便宜元，这人购物的金额是多少元？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题5.2 一元一次方程的应用【十大题型】 【华东师大版2024】 【题型1 行程问题】 2 【题型2 销售问题】 4 【题型3 工程问题】 8 【题型4 配套问题】 11 【题型5 比赛问题】 14 【题型6 数字问题】 18 【题型7 比例问题】 21 【题型8 古文问题】 23 【题型9 日历问题】 26 【题型10 方案问题】 33 知识点1：一元一次方程的应用 1. 列一元一次方程解应用题的常用步骤 （1）读题分析法：………… 多用于“和，差，倍，分问题” 仔细读题，找出表示相等关系的关键字，例如：“大，小，多，少，是，共，合，为，完成，增加，减少，配套-----”，利用这些关键字列出文字等式，并且据题意设出未知数，最后利用题目中的量与量的关系填入代数式，得到方程. （2）画图分析法: ………… 多用于“行程问题” 利用图形分析数学问题是数形结合思想在数学中的体现，仔细读题，依照题意画出有关图形，使图形各部分具有特定的含义，通过图形找相等关系是解决问题的关键，从而取得布列方程的依据，最后利用量与量之间的关系（可把未知数看做已知量），填入有关的代数式是获得方程的基础. 2. 列方程解应用题的常用公式 （1）行程问题：路程=速度·时间； （2）工程问题：工作量=工作效率·工作时间； 工程问题常用等量关系：先做的+后做的=完成量. （3）船在顺水、逆水中航行或者飞机在顺风、逆风中飞行的问题： ①船在顺水中航行的速度=船在静水中航行的速度+水流速度； ②船在顺水中航行的速度=船在静水中航行的速度-水流速度 ； ③飞机在顺风中飞行的速度=飞机在无风时飞行的速度+风的速度 ； ④飞机在顺风中飞行的速度=飞机在无风时飞行的速度-风的速度； ⑤顺水逆水问题常用等量关系：顺水路程=逆水路程. （4）商品利润问题：售价=定价· ，利润率= ； 利润问题常用等量关系：售价-进价=利润. 【题型1 行程问题】 【例1】（23-24七年级·四川成都·开学考试）甲、乙两辆汽车同时从 A , B 两个城市相对开出，经过8小时相遇后，甲车继续向前开到B城还要4小时．已知甲车每小时比乙车快35千米．A,B两个城市间的公路长多少千米？ 【答案】千米 【分析】此题考查了一元一次方程的应用，设乙车每小时行驶千米，则甲车每小时行驶千米，甲车行驶4小时的路程等于乙车8小时行驶的路程，据此列方程，解方程后进一步求出甲的行驶速度，即可得到答案． 【详解】解：设乙车每小时行驶千米，则甲车每小时行驶千米， ． 解得，， ∴， 即甲车每小时行驶千米， 则， 答：A,B两个城市间的公路长千米． 【变式1-1】（23-24七年级·广东梅州·期末）某学校七年级学生组织步行到郊外旅行，701班学生组成前队，速度为每小时4千米，702班同学组成后队，速度为每小时6千米，前队出发1小时后，后队才出发，同时，后队派出一名联络员骑自行车在两队之间不断地来回进行联络，骑车的速度是每小时12千米（队伍长度忽略不计）． (1)经过多少小时后队追上前队？ (2)联络员出发到他第一次追上前队的过程中，何时联络员离前队的距离与他离后队的距离相等？ 【答案】(1)后队出发后两小时可以追上前队 (2)联络员骑行小时后离前队的距离与他离后队的距离相等 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，读懂题意，找准等量关系，列出方程，是解题的关键． （1）设后队追上前队所用时间为小时，则前队被追上时所走时间为小时，根据后队追上前队所走路程一样可列方程． （2）设联络员出发后小时与前队和后队的距离相等为 ，用前面队伍所走的路程减去联络员所骑行的距离等于联络员骑行的距离减去后面队伍所走的路程，列方程求解即可． 【详解】（1）解：设后队追上前队所用时间为小时，则前队被追上时所走时间为小时， 根据“路程=时间速度”，两队伍追上时路程一样，可列方程为： 解得，， ∴后队出发后两小时可以追上前队． （2）设联络员出发后小时与前队和后队的距离相等为 ， 联络员出发后小时，前队所走的路程为：， 后队所走的路程为：， 联络员所走的路程为：， 联络员与前队距离为：， 联络员与后队距离为：， 根据联络员与前后队距离相等得到， 解得：， ∴联络员骑行小时后离前队的距离与他离后队的距离相等． 【变式1-2】（23-24七年级·云南·阶段练习）小王每天去体育场晨练，都见到一位田径队的叔叔也在锻炼．两人沿四百米跑道跑步，每次总是小王跑2圈的时间，叔叔跑3圈．一天，两人在同地反向而跑，小王看了一下记时表，发现隔了32秒钟两人第一次相遇．求两人的速度．第二天小王打算和叔叔在同地同向而跑，看叔叔隔多长时间与他首次相遇？ 【答案】 【分析】本题考查的是一个相遇和追及问题，关键是知道路程，速度，时间之间的关系． 第一两人在同地反向而跑，是个追及问题，根据路程=速度×时间，可求出两个人的速度，第二天小王打算和叔叔在同地同向而跑，可见是个追及问题，相遇时也就是叔叔比小王多跑一圈时．设叔叔的速度为，则小王的速度为，可列方程求解． 【详解】解：设叔叔的速度为，则小王的速度为． 根据题意，得， 解得， ， 即叔叔的速度为，小王的速度为， 第二天同地同向跑时，设首次相遇． 依题意，得， 解得， 即后首次相遇． 【变式1-3】（2024·安徽池州·三模）春节燃放烟花给节日增添了喜庆，同时存在危险和污染，因此各地政府倡导“绿色春节”的同时，对烟花燃放的地点及企业的安全生产进行了严格的管理．检查发现某企业生产的一款烟花，使用的快引线燃尽时间仅为6秒，存在安全隐患．为了延长燃尽时间，给原快引线加长了一段慢引线，这样引线的总长达到了，从而燃尽时间延长了，已知每秒钟快引线燃烧的长度比慢引线多，求快引线燃烧的速度？ 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的应用，设慢引线的速度为，则快引线的速度为，根据引线的总长达到了从而燃尽时间延长了，即可列方程，进而作答． 【详解】解：设慢引线的速度为，则快引线的速度为， 则有， 解得， 则． 答：快引线的速度为 【题型2 销售问题】 【例2】（23-24七年级·福建龙岩·期末）“龙年大吉，岁岁平安”，为了喜迎2024年新春，长汀某知名豆腐干店推出豆腐干新包装礼盒，新版A型礼盒和B型礼盒．已知A型礼盒的成本为每盒30元，B型礼盒的成本为每盒25元，A型礼盒的售价比B型礼盒的售价多20元，售卖1盒A型礼盒获得的利润和售卖2盒B型礼盒获得的利润一样多． (1)求每盒A型礼盒和B型礼盒的售价； (2)该豆腐干店第一批购进了200盒A型礼盒和100盒B型礼盒，为回馈客户该店计划将每盒A型礼盒打折出售，B型礼盒原价出售，售完这批A型礼盒和B型礼盒豆腐干店共盈利1500元，按此计划每盒A型礼盒包装应打几折出售？ 【答案】(1)每盒A型礼盒和B型礼盒的售价分别为元，元 (2)计划每盒A型礼盒包装应打折出售 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意、找到等量关系并正确列出方程是关键. （1）设每盒A型礼盒的售价为元， 根据等量关系“售卖1盒A型礼盒获得的利润和售卖2盒B型礼盒获得的利润一样多”即可列出方程，解方程即可； （2）设计划每盒A型礼盒包装应打折出售，列出方程，即可得出答案； 【详解】（1）解：设每盒A型礼盒的售价为元， 列方程得：， 解得：， ∴B型礼盒的售价为：元， 答：每盒A型礼盒和B型礼盒的售价分别为元，元． （2）设计划每盒A型礼盒包装应打折出售，依题意得: ， 解得: ， 答：计划每盒A型礼盒包装应打折出售． 【变式2-1】（23-24七年级·江苏盐城·期末）某购物平台准备在春节期间举行年货节活动，此次年货节活动特别准备了A、B两种商品进行特价促销，已知购进了A、B两种商品，其中A种商品每件的进价比B种商品每件的进价多50元，购进A种商品3件与购进B种商品5件的进价相同． (1)求A、B两种商品每件的进价分别是多少元？ (2)该购物平台从厂家购进了A、B两种商品共70件，所用资金为6750元，出售时，A种商品在进价的基础上加价进行标价；B种商品按标价出售每件可获利25元．若按标价出售A、B两种商品，则全部售完共可获利多少元？ 【答案】(1)A种商品每件的进价是125元，B种商品每件的进价是75元 (2)1750元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程可求解． （1）设B种商品每件的进价是x元，则A种商品每件的进价是元，根据题意列出方程求解即可； （2）设购买A种商品y件，则购买B商品件，根据题意列出方程求解即可． 【详解】（1）设B种商品每件的进价是x元，则A种商品每件的进价是元， 由题意得：， 解得：，所以， 答：A种商品每件的进价是125元，B种商品每件的进价是75元； （2）设购买A种商品y件，则购买B商品件， 由题意得：， 解得：， 所以， 所以（元）， 答：全部售完共可获利1750元． 【变式2-2】（23-24七年级·福建三明·期末）元旦期间，某商场开展促销活动，出售一种优惠购物卡注：（此卡只作为购物优惠凭证不能顶替货款），花300元买这种卡后，凭卡可在这家商场按标价的7.5折购物． (1)顾客购买多少元的商品时，买卡与不买卡花钱相等？ (2)小王要买一台标价为3400元的电视，如何购买合算？与另一种方式相比，小王能节省多少元钱？ (3)在（2）的基础上，小王按合算的方案把这台电视买下，若该商场还能盈利20％，则这台电视的进价是多少元？ 【答案】(1)1200元 (2)小王买卡合算，能节省550元钱； (3)这台电视的进价是2375元． 【分析】（1）根据花300元买这种卡后，凭卡可在这家商场按标价的7.5折购物，得出等式进而求出即可； （2）根据（1）中所求即可得出怎样购买合算； （3）首先假设进价为y，则可得出300+3400×0.75-y=20%y进而求出即可． 【详解】（1）解：设顾客购买x元金额的商品时，买卡与不买卡花钱相等． 根据题意，得300+0.75x=x， 解得x=1200， 所以，当顾客消费少于1200元时不买卡合算； 当顾客消费等于1200元时买卡与不买卡花钱相等； 当顾客消费大于1200元时买卡合算； （2）解：小王买卡合算， 3400-（300+3400×0.75）=550， 所以，小王买卡合算，能节省550元钱； （3）解：设进价为y元，根据题意，得 300+3400×0.75-y=20%y， 解得  y=2375， 答：这台电视的进价是2375元． 【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用，正确得出买卡后付费式子是解题关键． 【变式2-3】（23-24七年级·湖北襄阳·期末）某工厂生产大小两种书包，每个小书包的成本比大书包的成本少10元，而它们的售后利润相同．其中，每个小书包的盈利率为，每个大书包的盈利率为． (1)求两种书包的售价； (2)工厂接到一批紧急订单，要按期生产大小两种书包共7万个，已知每6名工人能按期生产一万个小书包，每10名工人能按期生产一万个大书包．通过调度，安排50名工人按期完成了两种书包的生产任务． ①生产大小书包的工人各多少人？ ②由于该订单数量较大，工厂将大小书包的售价均打九折，请直接写出完成该订单后工厂获得的总利润是多少？ 【答案】(1)每个小书包的售价是26元，每个大书包的售价是36元 (2)①生产小书包的有30人，生产大书包的有20人；②21.8万元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）设每个小书包的成本为x元，则每个大书包的成本为元，根据利润＝进价×盈利率结合两种书包的售后利润额相同，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． （2）①设y个人生产小书包，则个人生产大书包，根据按期完成了两种书包的生产任务列方程求解即可； ②先计算出生产大小书包的数量，再按销售方案计算即可． 【详解】（1）设每个小书包的成本为x元，则每个大书包的成本为元， 依题意得：， 解得：， 则元． 元， 元． 答：每个小书包的售价为26元，每个大书包的售价为36元． （2）①设y个人生产小书包，则个人生产大书包，由题意，得 解得， 人． 所以生产小书包的工人为30人，生产大书包的工人为20人； ②个， 个， 元万元． 所以获得的总利润是21.8万元． 【题型3 工程问题】 【例3】（23-24七年级·江苏扬州·阶段练习）一件工程，甲单独做需12天完成，乙单独做需8天完成，现先由甲、乙合作2天后，乙有其他任务，剩下的工程由甲单独完成，则甲还需要多少天才能完成该工程？ 【答案】7天 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，熟练掌握工程问题求解的基本思路是解题的关键． 【详解】设甲单独完成还需要x天，根据题意，得 ， 解得， 答：甲单独完成还需要7天完成． 【变式3-1】（23-24七年级·湖南株洲·期末）二十大新闻中心记者招待会上，生态环境部副部长谈到：我国将用全球历史上最短的时间实现“碳达峰”到“碳中和”的双碳目标，为尽快实现这一目标，各地加大清洁能源的开发与利用．某光伏发电站决定扩大电站规模，计划由甲、乙两工程队共同完成该项目，限期9周完成．已知甲，乙两工程队单独施工，分别需要15周和10周才能完成任务． (1)若甲、乙两工程队同时开工合作完成该项目，需要几周完成扩建任务？ (2)实际施工过程中，甲、乙两工程队同时开工，合作施工一段时间后，乙队撤离，剩下任务由甲队单独施工，刚好如期完成．已知甲队和乙队每周的劳务费分别为7万元和13万元．请问该工程完工后共支出劳务费多少万元？ 【答案】(1)6周 (2)115万元 【分析】（1）设需要x周完成任务，根据总工程量为1列出方程，解之即可； （2）设乙队施工了y周，根据如期完成列出方程，解之可得两队施工周数，再根据单周劳务费计算可得总费用． 【详解】（1）解：设需要x周完成任务， 由题意可得：， 解得：， ∴需要6周完成扩建任务； （2）设乙队施工了y周， 由题意可得：， 解得：， ∴甲队施工9周，乙队施工4周， ∴共需劳务费(万元)． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是掌握工程问题中的工作效率的求法以及总工程量通常用“1”表示． 【变式3-2】（23-24七年级·陕西西安·期末）为推进我国“碳达峰、碳中和”双碳目标的实现，各地大力推广分布式光伏发电项目．某公司计划建设一座小型光伏发电站，若由甲工程队单独施工需要3周，每周耗资8万元，若由乙工程队单独施工需要6周，每周耗资3万元． (1)若甲、乙两工程队全程合作施工，需要几周完成？共需耗资多少万元？ (2)若由甲、乙两工程队先合作施工，剩下的由乙工程队单独完成，恰好用了4周完成建设任务，求甲工程队施工了几周？这样安排与两工程队全程合作相比，哪种方案更省钱？（时间按整周计算） 【答案】(1)甲、乙两工程队合作施工，需要2周完成，共耗资22万元； (2)甲施工队施工了1周，由甲和乙两工程队合作施工1周，剩下的由乙单独施工3周更省钱． 【分析】（1）设甲、乙两工程队合作施工，需要x周完成，根据“甲工程队单独施工需要3周”、“由乙工程队单独施工需要6周”可列方程求解； （2）设先由甲和乙两工程队合作施工y周，剩下的由乙单独完成，根据“甲的工作量乙的工作量1”列出方程并解答；然后计算总耗资即可求解． 【详解】（1）解：设甲、乙两工程队合作施工，需要x周完成． 根据题意，得． 解得． ∴（万元）． 答：甲、乙两工程队合作施工，需要2周完成，共耗资22万元； （2）解：设先由甲和乙两工程队合作施工y周，剩下的由乙单独完成． 根据题意，得， 解得， 即甲施工队施工了1周， （周） ∴（万元）． ∵， 所以由甲和乙两工程队合作施工1周，剩下的由乙单独施工3周更省钱． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用，关键是根据工作量工作时间工作效率列方程求解． 【变式3-3】（23-24七年级·黑龙江哈尔滨·阶段练习）列方程（组）解应用题： 有一批核桃要加工成罐头，甲工人每天能加工32公斤，乙工人每天能加工48公斤，且甲单独加工这批核桃要比乙多用10天． (1)这批核桃共多少公斤？ (2)为了尽快加工完成，先由甲、乙两工人按原速度合作一段时间后，甲工人停工，而乙工人每天的生产速度提高，乙工人单独完成剩余部分，且乙工人的全部工作时间是甲工人工作时间的3倍还多1天，求乙工人共加工多少天？ 【答案】(1)这批核桃共公斤 (2)乙工人共加工了天 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意找出数量关系列方程是解题关键． （1）设这批核桃共公斤，根据题意列一元一次方程求解，即可得到答案； （2）设甲工人共加工天，则乙工人共加工了天，根据题意列一元一次方程求解，即可得到答案． 【详解】（1）解：设这批核桃共公斤， 由题意得：， 解得：， 答：这批核桃共公斤； （2）解：设甲工人共加工天，则乙工人共加工了天， 由题意得：， 解得：， （天）， 答：乙工人共加工了天 【题型4 配套问题】 【例4】（23-24七年级·贵州黔南·期末）某口罩厂有87名工人，每人每天可以生产900个口罩面或1100个口罩耳绳，一个口罩面需要配两个耳绳． (1)为使每天生产的口罩面和口罩耳绳刚好配套，应安排多少名工人生产口罩面？ (2)若该工厂某天生产的口罩面与口罩耳绳刚好配套，设一个成品口罩成本价是a元，售价是b元，请用含a、b的式子表示该口罩厂该天生产口罩的利润． 【答案】(1)33名； (2)元． 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用、列代数式，根据题意找准等量关系，列出方程和代数式是解题关键． （1）设安排名工人生产口罩面，则有名工人生产口罩耳绳，根据每天生产的口罩面和口罩耳绳刚好配套列出方程，解出方程即可得到答案； （2）由（1）可算出该天生产成品口罩的数量，再根据利润单个售价单个成本数量列出代数式即可得到答案． 【详解】（1）设安排名工人生产口罩面，则有名工人生产口罩耳绳， 根据题意得：， 解得：， 应安排名工人生产口罩面； （2）由（1）可得，该天生产成品口罩的数量为：个， 则该口罩厂该天生产口罩的利润为：元． 【变式4-1】（23-24七年级·河南安阳·期末）在美术课上，老师组织七年级一班的学生做圆柱形笔筒．七年级一班共有学生44人，每名学生一节课能做筒身25个或筒底60个．若每个筒身需要匹配2个筒底，为了使本节课做的筒身和筒底刚好配套，应该分配多少名学生做筒身，多少名学生做筒底？ 【答案】应该分配24名学生做筒身，20名学生做筒底 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用．设应该分配名学生做筒身，根据每个筒身需要匹配2个筒底，得到筒底的数量是筒身数量的2倍，列出方程进行求解即可．找准等量关系，正确的列出方程，是解题的关键． 【详解】解：设应该分配名学生做筒身，则：名学生做筒底， 由题意得： 解得：； ． 答：应该分配24名学生做筒身，20名学生做筒底． 【变式4-2】（23-24七年级·重庆九龙坡·期末）某车间有名工人，负责加工某轿车甲、乙两种零件的生产任务，每个工人每天能加工个甲种零件或加工个乙种零件，每辆轿车需要4个甲种零件和3个乙种零件． 该车间每天生产的零件正好满足轿车的配套需求． (1)每天应安排多少工人加工甲种零件？ (2)每天生产该轿车总加工费为元． 已知加工一件甲种零件的费用比加工一件乙种零件的费用少2元，求加工一件乙种零件的费用为多少元？ 【答案】(1)人 (2)元 【分析】本题主要考查一元一次方程解决生产配套问题，找准数量间的等量关系是解题关键． （1）设有x个工人加工甲种零件，则有个人加工乙种零件，根据配套数量列方程求解即可得到答案； （2）设加工一件乙种零件的费用为元，则加工一件甲种零件的费用为元，根据每天生产该轿车总加工费为元列方程计算求解． 【详解】（1）解：设有x人加工甲种零件，则有人加工乙种零件，由题意可得， ， 解得：， 答：应安排人加工甲种零件； （2）解：由（1）可得每天安排人加工甲种零件，人生产乙种零件， 设加工一件乙种零件的费用为元，则加工一件甲种零件的费用为元， 由题意可得，， 解得：， 答：一件乙种零件的费用为元． 【变式4-3】（2024·福建莆田·模拟预测）某车间有22名工人，每人每天可以生产1200个螺柱或2000个螺母，1个螺柱需要配2个螺母． (1)为使每天生产的螺柱和螺母刚好配套，应安排生产螺柱和螺母的工人各多少名？ (2)若车间现有24名工人，每人每天工作8个小时，工人根据需要可以转换生产螺柱或螺母的工作岗位．如何安排工人生产，使得螺柱和螺母尽可能多的配套，最多能生产多少套？ 【答案】(1)应安排10名工人生产螺柱，12名工人生产螺母 (2)安排10名工人生产12000个螺柱，13名工人生产26000个螺母，1名工人用小时生产1090个螺柱，用小时生产183个螺母，最多生产螺柱和螺母13090套 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用． （1）设应安排x名工人生产螺柱，名工人生产螺母．然后根据题意列出关于x的一元一次方程，求解即可得出答案． （2）设安排y小时生产螺柱，根据每人每时生产的螺柱和螺母列出关于y的一元一次方程，并求得生产螺柱所用的时间和产量，结合实际可知最多可生产13090个螺柱，则10名工人生产螺柱，13名工人生产螺母，另外一名工人按1090个螺柱生产，剩余时间生产螺母即可． 【详解】（1）解：设应安排x名工人生产螺柱，名工人生产螺母． 解得 答：应安排10名工人生产螺柱，12名工人生产螺母． （2）设安排y小时生产螺柱． 解得． ． 根据实际意义取13090． 根据实际意义螺柱取， 则首先安排10名工人生产12000个螺柱，13名工人生产26000个螺母， 另外1名工人用个小时生产1090个螺柱，剩余个小时生产个螺母．但最多生产螺柱和螺母13090套． 【题型5 比赛问题】 【例5】（23-24七年级·广东广州·期末）某中学举行“我爱祖国”知识竞答比赛，规定每个选手共要答20道题，每答对一题得5分，不答或答错一题扣2分． (1)设选手小明答对x题，则小明不答或答错共___________题（用含x的代数式表示）； (2)若小明最终的成绩为65分，求小明答对了多少道题？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）小明不答或答错题目数等于共要答20道题减去小明答对x题； （2）小明最终的成绩为65分等于答对题目数减去答错题目数，列一元一次方程即可求解． 【详解】（1）共要答20道题，选手小明答对x题，则小明不答或答错共题 （2）由题意得： 答：小明答对了道题． 【点睛】本题考查用代数式的表示及一元一次方程解决实际问题，解题的关键是读懂题意，列出方程． 【变式5-1】（23-24七年级·广东东莞·期中）东华初级中学七年级学生在第一次单元过关测试中数学成绩不达标人数东城校区和生态园校区共有600人，其中不达标人数中东城校区人数是生态园校区人数的3倍还多40人。辅差工作任重而道远，七年级领导组要求在第二单元过关测试中两区数学不及格人数必须共减少120人，减少后使得两区不合格人数中东城校区人数是生态园校区人数的3倍。 （1）求第一次单元过关测试中两个校区分别有多少数学不合格学生？ （2）求要完成年级任务第二次单元过关测试中两个校区应该分别减少多少个不合格学生？ 【答案】（1）生态园校区数学不及格的有140人，东城校区数学不及格的有460人；（2）生态园校区减少了20名不合格的学生，东城校区减少了100名不合格的学生 【分析】（1）根据题意，可以列出相应的一元一次方程，即可求得第一次单元过关测试中两个校区分别有多少数学不合格学生； （2）根据题意和题目中的数据了，可以列出相应的方程，即可求得要完成年级任务第二次单元过关测试中两个校区应该分别减少多少个不合格学生． 【详解】解：（1）设第一次单元过关测试中生态园校区数学不及格的有x人， 根据题意，得x+（3x+40）=600， 解得x=140， 则3x+40=460， 答：第一次单元过关测试中生态园校区数学不及格的有140人，东城校区数学不及格的有460人； （2）设要完成年级任务第二次单元过关测试中生态园校区减少了a名不合格的学生，则东城校区减少了（120-a）名不合格的学生， 根据题意，得3（140-a）=460-（120-a）， 解得a=20， 则120-a=100， 答：要完成年级任务第二次单元过关测试中生态园校区减少了20名不合格的学生，东城校区减少了100名不合格的学生． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，求出相应的不及格的学生． 【变式5-2】（23-24七年级·广东中山·期中）中山市纪中三鑫双语学校积极开展各项活动.“学习强国知识竞赛”有20道必答题，每一题答对得10分，答错或不答都扣5分；3道抢答题，每一题抢答对得10分，抢答错扣20分，抢答不到不得分也不扣分.甲乙两队决赛，甲队必答题得了170分，乙队必答题只答错了1题． (1)甲队必答题答对了多少道?乙队必答题得了多少分? (2)抢答赛中，乙队抢答对了第1题，又抢到了第2题，但还没作答时，甲队啦啦队队员小黄说：“我们甲队输了!”小汪说：“小黄的话不一定对!”请你举一例说明“小黄的话”有何不对． 【答案】(1)甲队必答题答对18道，乙队必答题的得分为185分 (2)见解析 【分析】（1）设甲队必答题答对了x道，则答错了道，根据甲队得分170列方程求解即可； （2）“小黄的话”不一定对，理由为：根据规则：每一题抢答对得10分，抢答错扣20分，抢答不到不得分也不扣分． 【详解】（1）设甲队必答题答对了x道，则答错了道， 根据题意，得 ， 解得： 故甲队必答题答对18道， 乙队必答题只答错了1道， 乙队必答题的得分为 （分） （2）甲队目前的得分为170分， 乙队得分为（分） ①若乙队第2题抢答题答错，则乙得分为（分），第3题甲队抢答正确，则甲队得分为（分），甲队获胜； ②若乙队第2题抢答题答错，则乙队得分为（分），第3题乙队抢答错误，则乙队得分为（分），甲队的得分为170（分），甲队获胜； 故“小黄的话”不一定对． 【点睛】此题考查一元一次方程的应用，找出题中的等量关系是解答本题的关键． 【变式5-3】（2024·山东菏泽·二模）为提升学生身体素质，落实教育部门“在校学生每天锻炼时间不少于1小时”的文件精神，某校利用课后服务时间，在七年级开展班级篮球赛，共16个班级参加． (1)比赛积分规定：每场比赛都要分出胜负，胜一场积3分，负一场积1分，某班在15场比赛中获得总积分为39分，求该班胜、负场数分别是多少场？ (2)投篮评分规则：在3分线外投篮，投中一球可得3分，在3分线内（含3分线）投篮，投中一球可得2分．某班在其中一场比赛中，共投中27个球，所得总分不少于58分，求该班这场比赛中至少投中了多少个3分球？ 【答案】(1)胜12场，负3场 (2)4个 【分析】此题考查了一元一次方程和一元一次不等式的应用，找到等量关系列方程和找到不等关系列不等式是解题的关键． （1）设该班胜场，则负场，根据在15场比赛中获得总积分为39分列出方程，解方程即可得到答案； （2）设该班这场比赛中投中了x个3分球，则投中了个2分球，根据共投中27个球，所得总分不少于58分，列出不等式，解不等式即可得到答案． 【详解】（1）解：设该班胜场，则负场，根据题意，得 . 解这个方程，得 ∴(场) ∴该班胜12场，负3场 （2）设该班这场比赛中投中了x个3分球，则投中了个2分球， 根据题意，得 解这个不等式，得 ∴该班这场比赛中至少投中了4个3分球 【题型6 数字问题】 【例6】（23-24七年级·重庆沙坪坝·期中）幻方历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”．把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是三阶幻方，如图①所示．以下的三个幻方，都满足每行、每列、每条对角线上的三个数的之和都相等．只是图②和图③只出现了部分数字． (1)完成对图②幻方填写，直接填在图②中； (2)求图③中x的值，要求写出详细过程； (3)当图③中的时，完成图④的填写． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是掌握每行、每列、每条对角线上的三个数的之和都相等． （1）设第三行第三列的数为，则其它格用含有的式子表示，根据题意列方程，求出即可求解； （2）根据给出的部分数字表示出空格的数，再进一步列方程即可求解； （3）设第二行第三列的数为，则其它格用含有的式子表示出了，再列方程即可求解． 【详解】（1）解：设第三行第三列的数为，则其它格用表示如下图： 根据题意可得：， 解得：， （2）空格表示如下： 根据题意得：， 解得：； （3）设第二行第三列的数为，则其它格用表示如下： 根据题意得：， 解得：， 【变式6-1】（2024·江苏常州·模拟预测）一个六位数，其最左边一位数字是1．如果把这个数字移到最右边，那么所得的六位数就是原数的3倍，求原数． 【答案】142857 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．设原数的1后五位数是x，那么根据“六位数左端的数字是1，”可表示这个六位数是：；根据“把左端的数字1移到右端，”可表示这个新六位数是：；再根据“新数=原数×3”可列方程为：，据此即可解答． 【详解】解：设原数的1后五位数是x，则这个六位数是，则新的六位数可表示为，由此可得方程： ， 解得． 答：原数是142857． 【变式6-2】（23-24七年级·江苏徐州·阶段练习）一个两位数，个位数字比十位数字大1，交换两数位置得到新的两位数与原两位数之和等于33，求这个两位数． 【答案】原来的两位数是12 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设原来的两位数十位数数字是x，则个位是， 列出方程求解即可． 【详解】设原来的两位数十位数数字是x，则个位是， 根据题意，得, 解之得, 故， 答：原来的两位数是12． 【变式6-3】（23-24七年级·辽宁沈阳·期中）小明是个爱动脑筋的同学，在发现教材中的用方框在月历中移动的规律后，突发奇想，将连续的偶数2，4，6，8，…，排成如下表，并用一个十字形框架框住其中的五个数，请你仔细观察十字形框架中的数字的规律，并回答下列问题：    (1)十字形框中的五个数之和是中间数16的多少倍？ (2)将十字形上下左右移动，如果十字形框中的五个数之中最小数的是98，则最大的数是多少； (3)①设中间的数为x，写出十字框中的其余四个数，并求出这五个数的和（用含x的代数式表示）； ②十字形框中的五个数之和能否等于4010？若能，请求出中间的数；如不能，则说明理由． 【答案】(1)十字框中的五个数的和是16的5倍 (2)最大的数为118 (3)①其余四个数分别为，，，，十字框中的五个数的和为：；②不能，理由见解析 【分析】本题主要考查了数字的变化规律，一元一次方程的应用， （1）将框中的五个数相加，即可得出答案； （2）十字形框中的五个数中最小数是98，可得98是最上边一行的数，再根据同一列的数中下一行比上一行多10可得出答案； （3）①设中间的数为x，则其余四个数分别为，，，，然后将这五个数相加即可；②先假设十字形框中的五个数之和能等于4010，设十字形框中的五个数，中间的一个数为x，根据（1）中所求五个数之和列出方程，解方程即可得出答案； 准确理解题意，找出数字的变化规律，并能熟练运用一元一次方程求解是解题的关键。 【详解】（1）十字框中的五个数的和为， ∴80÷16＝5， ∴十字框中的五个数的和是16的5倍； （2）∵十字形框中的五个数中最小数是98， ∴98是最上边一行的数， ∴十字形框中的五个数中最大数是， ∴最大的数为118； （3）①设中间的数为x，则其余四个数分别为，，，， 十字框中的五个数的和为：； ②由题意得：， 解得x＝802． 但802在第一列，所以不能框住五个数，使它们的和等于4010． 【题型7 比例问题】 【例7】（23-24七年级·河南郑州·开学考试）【分数、比的应用】甲、乙两个仓库存化肥的质量比是12∶11，后来乙仓库又运来24吨，这时甲仓库存化肥比乙仓库少 ，乙仓库原来存化肥多少吨？ 【答案】吨 【分析】本题考查了一元一次房产的应用，根据比例设未知数，由乙仓库又运来24吨，这时甲仓库存化肥比乙仓库少 ，列方程即可求解. 【详解】解：设甲仓库存化肥的质量为吨；乙仓库存化肥的质量为吨；依题意得： ， 解得：， 乙仓库存化肥的质量为吨， 答：乙仓库原来存化肥吨 【变式7-1】（23-24七年级·山东济宁·期末）甲、乙、丙三人共同出资做生意，甲投资了万元，乙投资了万元，丙投资了万元，年终时，共赚得利润万元，甲、乙、丙三人按比例进行分配，各可以分得多少利润？ 【答案】万元；万元；万元 【分析】根据题意，设甲可以获得万元，乙可以获得万元，丙可以获得万元，列出方程求解． 【详解】解:， 设甲可以获得万元，乙可以获得万元，丙可以获得万元， 解得， ， 答:甲可以分得万元，乙可以分得万元，丙可以分得万元． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是根据比例关系列出方程进行求解． 【变式7-2】（23-24七年级·重庆·期末）某公司生产一种饮料是由A，B两种原料液按一定比例配成，其中A原料液的原成本价为10元/千克，B原料液的原成本价为5元/千克，按原售价销售可以获得50%的利润率，由于物价上涨，现在A原料液每千克上涨20%，B原料液每千克上涨40%，配制后的饮料成本增加了，公司为了拓展市场，打算再投入现在成本的25%做广告宣传，如果要保证该种饮料的利润率不变，则这种饮料现在的售价应比原来的售价高 元/千克． 【答案】6 【分析】设配制比例为1：x，则A原液上涨后的成本是10（1+20%）元，B原液上涨后的成本是5（1+40%）x元，配制后的总成本是（10+5x）（1+），根据题意可得方程10（1+20%）+5（1+40%）x＝（10+5x）（1+），解可得配制比例，然后计算出原来每千克的成本和售价，然后表示出此时每千克成本和售价，即可算出此时售价与原售价之差． 【详解】解：设配制比例为1：x，由题意得： 10（1+20%）+5（1+40%）x＝（10+5x）（1+）， 解得x＝4， 则原来每千克成本为：＝6（元）， 原来每千克售价为：6×（1+50%）＝9（元）， 此时每千克成本为：6×（1+）（1+25%）＝10（元）， 此时每千克售价为：10×（1+50%）＝15（元）， 则此时售价与原售价之差为：15﹣9＝6（元）． 故答案为：6． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，仔细阅读题目，找到关系式是解题的关键． 【变式7-3】（2024·安徽·一模）为提高销售业绩，安徽省某茶叶专卖店店长对店内销售额居于前三的六安瓜片、黄山毛峰、太平猴魁三种茶叶的销售额进行了分析，发现上月三种茶叶销售额的比值为4∶2∶3，本月六安瓜片销售额是上月销售额的a倍，黄山毛峰销售额是上月销售额的（a﹣3）倍，太平猴魁的销售额与上月的相同，同时这三种茶叶本月的总销售额恰好是上月总销售额的2倍，求本月六安瓜片销售额与上月销售额的比值． 【答案】 【分析】设上个月六安瓜片、黄山毛峰、太平猴魁三种茶叶的销售额分别为4x，2x，3x，根据这三种茶叶本月的总销售额恰好是上月总销售额的2倍，列出方程，求出方程的解即可得到结果． 【详解】解：设上个月六安瓜片、黄山毛峰、太平猴魁三种茶叶的销售额分别为4x，2x，3x， 根据题意得：4x•a＋2x•（a﹣3）＋3x＝2（4x＋2x＋3x）， 解得：a， 则本月六安瓜片销售额与上月销售额的比值为． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用按比例分配问题，解题关键巧设参数，找出题中等量关系列出方程． 【题型8 古文问题】 【例8】（23-24七年级·山东威海·期末）我国古代有很多著名的典型数学问题，请列一元一次方程解下列应用题． ①周瑜寿属：而立之年督东吴，早逝英年两位数；十比个位正小三，个位六倍与寿符；哪位同学算得快，多少年寿属周瑜？意思是：周瑜病逝时的年龄是一个大于30的两位数，其十位数上的数字比个位上的数字小3，个位上的数字的6倍正好等于这个两位数，求这个两位数． ②《孙子算经》是我国古代的重要数学著作，其中记载的“百鹿入城”问题很有趣．原文如下：今有百鹿入城，家取一鹿不尽，又三家共一鹿适尽，问城中家几何？其大意为：现在有100头鹿进城，每家领取一头后还有剩余，剩下的鹿每三家分一头，则恰好取完．问城中共有多少户人家？ 【答案】①这个两位数为36；②75户 【分析】本题考查了一元一次方程的应用； ①解：设十位上的数字为，则个位上的数字为，根据“个位上的数字的6倍正好等于这个两位数”列方程求出x即可； ②设城中共有户人家，根据“100头鹿，每家领取一头后，剩下的鹿每三家分一头，恰好取完”列方程求解即可． 【详解】①解：设十位上的数字为，则个位上的数字为， 根据题意得：， 解得， 则， 答：这个两位数为36； ②解：设城中共有户人家， 根据题意得：， 解得， 答：城中共有75户人家． 【变式8-1】（23-24七年级·江西南昌·期末）自西汉张骞出使西域以来，丝绸之路作为中国和国外进行商贸往来和文化交流的商道，繁荣发展了十几个世纪．中国古代数学也经由丝绸之路进行传播，其中刘徽所著《九章算术》中“盈不足术”有一题，原文如下：“今有羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三．问人数、羊价各几何？”题意是：若干人共同出资买羊，每人出5元，还差45元；每人出7元，则还差3元，求人数和羊价各是多少？ 【答案】一共有21人，羊价为150元 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，设一共有x人，根据每人出5元，还差45元可知羊价为元，根据每人出7元，则还差3元可知羊价为元，据此列出方程求解即可． 【详解】解：设一共有x人， 由题意得，， 解得， ∴， 答：一共有21人，羊价为150元． 【变式8-2】（23-24七年级·湖南衡阳·期中）在我国明代数学家吴敬所著的《九章算术比类大全》中，有一首数学名诗叫“宝塔装灯”．内容为“远望巍塔七层，红灯点点倍加增：共灯三百八十一，请问顶层几盏灯？”，大致意思是有一座七层高塔，从底层开始，每层安装的灯的数目都是上一层的2倍，共有381盏灯，请你算出塔的顶层有多少盏灯． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设塔的顶层有盏灯，根据“从底层开始，每层安装的灯的数目都是上一层的2倍，共有381盏灯”，列出一元一次方程，解方程即可得出答案，理解题意，正确列出方程是解此题的关键． 【详解】解：设塔的顶层有盏灯， 由题意得：， 解得：， 塔的顶层有盏灯． 【变式8-3】（23-24七年级·福建南平·期末）我国明代数学著作《算法统宗》中有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客空一房．”诗的后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间房住9人，那么就空出一间房． (1)列方程解答下面问题：该店有客房多少间？到了多少房客？ (2)假设李三公将客房进行改造后，房间数大大增加，每间房收25钱，且每间房最多入住4人，一次性订房少于10间，不予优惠；不低于10间但低于20间，给予九折优惠；等于20间或是超过20间的，给予七折优惠．若诗中的“众客”再次一起入住，他们如何订房更合算？说明理由． 【答案】(1)该店有客房8间，房客63人 (2)选择一次性订房20间更合算；理由见解析 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，有理数乘法的实际应用，正确理解题意找到等量关系列出方程是解题的关键． （1）设该店有客房x间；根据题意得出方程，解方程即可； （2）根据题意计算：若每间客房住4人，则63名客人至少需客房16间，求出所需付费；若一次性定客房20间，求出所需付费，进行比较，即可得出结论． 【详解】（1）解：设该店有客房x间， 由题意得，， 解得：， （人）， 答：该店有客房8间，房客63人． （2）解：若每间客房住4人，则63名房客至少需要16间房，至少需要付： （元）， 若一次性订客房20间以上（含20间），则至少需要付： （元）， ∵， ∴诗中“众客”再次一起入住，他们应选择一次性订房20间更合算． 【题型9 日历问题】 【例9】（23-24七年级·湖北黄冈·期中）如图，小明自己制作了2023年11月的日历，其中有一个“”形框，提醒自己要“” （努力）学习，期中考试认真备考．框中包含7个数． (1)图中“”形框中的7个数的和与9有什么关系？ (2)将“”形框上下左右平移，但一定要框住2023年11月的月历中的7个数，若设“”形框框住的7个数中，从小到大排第4个数为a，用含a的式子表示“”形框框住的7个数字之和； (3)将“”形框上下左右平移，设“”形框框住的7个数字之和为n．①n能是119吗？如果能，请求出此时“”形框中的7个数中最大的数，如果不能，请说明理由．②某两次在不同位置框住的7数之和分别为，，且，求的最大值． 【答案】(1)这7个数的和是9的7倍 (2) (3)①n能是119，此时最大的数为25；② 【分析】（1）根据有理数的加法计算法则求出这7个数的和即可； （2）分别表示出其余6个数，然后根据整式的加法计算法则求解即可； （3）①设“”形框框住的7个数中，从小到大排第4个数为a，由（2）可建立方程，解方程即可得到答案；②设7数之和分别为时，从小到大排第4个数为，设7数之和分别为时，从小到大排第4个数为，根据题意得到，再由可知当有最大值时，则有最大值，则只需要满足最大，最小时即可，据此求解即可． 【详解】（1）解： ， ∴这7个数的和是9的7倍； （2）解：由题意得，其他6个数分别为， ∴这7个数的和为 （3）解：①设“”形框框住的7个数中，从小到大排第4个数为a， 由题意得，， 解得， 当时，，满足题意， ∴n能是119，此时最大的数为25； ②设7数之和为时，从小到大排第4个数为，设7数之和为时，从小到大排第4个数为， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴当有最大值时，则有最大值， ∴只需要满足最大，最小时即可， ∵，即， ∴当最大时，最小， ∵， ∴， ∴最大为22，最小为10， ∴的最大值为． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，整式的加法计算，有理数的加法计算，正确理解题意列出式子和方程是解题的关键． 【变式9-1】（23-24七年级·浙江杭州·期中）如图是某年3月的日历，用一长方形框在表中任意框住4个数． (1)若记左上角的数为x，则另三个数用含x的代数式表示出来，从小到大依次是_____，_____，_____． (2)将日历中用长方形框框出的四个数之和的最小值记为，最大值记为，求的值． (3)能否用长方形框框出这样的4个数，它们的和等于？若能，则求出x的值，若不能，说明理由． 【答案】(1)，， (2) (3)不能用长方形框框出这样的4个数，它们的和等于92，理由见解析 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、列代数式以及代数式求值； （1）观察图形，根据各数之间的关系，用含的代数式表示出另外三个数； （2）由（1），可得出四个数之和为，结合图形，可求出，的值，再将其相加，即可得出结论； （3）不能用长方形框框出这样的4个数，它们的和等于92，假设能用长方形框框出这样的4个数，它们的和等于92，根据四个数之和为92，可列出关于的一元一次方程，解之可得出的值，结合19在第七列，可得出假设不成立，即不能用长方形框框出这样的4个数，它们的和等于92． 【详解】（1）解：若记左上角的数为，则另外三个数分别为，，． 故答案为：，，； （2）由（1）可知：四个数之和为， ，， ； （3）不能用长方形框框出这样的4个数，它们的和等于92，理由如下： 假设能用长方形框框出这样的4个数，它们的和等于92， 根据题意得：， 解得：， 在第七列，不符合题意， 假设不成立，即不能用长方形框框出这样的4个数，它们的和等于92． 【变式9-2】（23-24七年级·广东深圳·期中）把正奇数，，，，排成如图所示的列，规定从上到下依次为第行，第行，第行，，从左到右依次为第列至第列．回答如下问题： (1)①图表中第列第行的数为_____； ②图表中第行第列的数可表示为_____．(用含有的代数式表示，要求化为最简形式) (2)按如图所示的方法用一个“”形框框住相邻的三个数，设被框的三个数中，最小的一个数为，是否存在这样的，使得被框的三个的数和等于？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． (3)若在(2)中“”形框框住的三个数的和记为“”，则的最大值与最小值的差等于_____． 【答案】(1)①；② (2)不存在这样的使得被框的三个数的和等于； (3) 【分析】本题考查一元一次方程的应用，数字的变化规律； （1）①根据第列数据的特征为，即可求解； ②根据第列的数可用，即可求解． （2）被框的三个数的和为：，解得值，从而可作出判断； （3），分别求出的最大值和最小值，再相减即可． 【详解】（1）①第是正整数行第列是数分别为 当，则， 故答案为：． ②图表中第是正整数行第列的数可用表示为， 故答案为：． （2）按如图所示的方法用一个“”形框框住相邻的三个数，设被框的三个数中，最小的一个数为不存在这样的使得被框的三个数的和等于，理由如下： 若存在，则有：， 解得，， 而由（1）②可知：，即在第行的第列， 不存在这样的使得被框的三个数的和等于； （3）∵ ∴数阵中共有个数， ∵， ∴在第1列， 则“”形框框住的三个数的最大数字为； 若在（2）中“”形框框住的三个数的和记为“”，则的最大值为：， 的最小值为：， 而， 的最大值与最小值的差等于， 故答案为：． 【变式9-3】（23-24七年级·广东东莞·期中）下列8个图形，都是由相同的小正方形拼成的对称图形，分别将这8个图形放在某日历图片上，使每个图形的每个小正方形各圈住一个日期，如果某图形圈住的日期数字之和是这个图形的小正方形个数的整数倍数，那么这个图形叫做倍数图形． (1)将图形①放在图1中，使其圈住5个日期数字，设其圈住的中心数为n，判断图形①是不是倍数图形？如果，请证明一下，如果不是，请说明理由． (2)除图形①外，其余的7个图形中，是倍数图形的有_______（填写序号） (3)将图形④放在日历上，能否圈住三个数，使这三个数之和为33，如果能，请求出它的中心数，如果不能，请说明理由． 【答案】(1)图形①是倍数图形，理由见解析 (2)②③④⑤⑥ (3)不能，理由见解析 【分析】此题考查了一元一次方程的应用，列代数式，整式的加减，解题的关键是正确表示出每个位置上的数， （1）根据题意表示出5个数，然后相加求解判断即可； （2）分别表示出每个位置上的数，然后相加求解判断即可； （3）根据（2）中的结果得到，解得，然后根据11在日历上的位置求解即可． 【详解】（1）∵设其圈住的中心数为n， ∴其他的数分别为，，，， ∴ ∴是5的倍数， ∴图形①是倍数图形； （2）图形②：设中间数为a，则其他的数分别为，，，，，，， ∴ ∵是9的整数倍， ∴图形②是倍数图形； 图形③：设第一个数为b，则其他的数分别为，， ∴ ∵是4的整数倍， ∴图形③是倍数图形； 图形④：设中间数为c，则其他的数分别为，， ∴ ∵是3的整数倍， ∴图形④是倍数图形； 图形⑤：设中间数为d，则其他的数分别为，， ∴ ∵是3的整数倍， ∴图形⑤是倍数图形； 图形⑥：设中间数为e，则其他的数分别为，，， ∴ ∵是5的整数倍， ∴图形⑥是倍数图形； 图形⑦：设第二个数为f，则其他的数分别为，，，， ∴ ∵不是6的整数倍， ∴图形⑦不是倍数图形； 图形⑧：设第一个数为g，则其他的数分别为， ∴ ∵不是3的整数倍， ∴图形⑧不是倍数图形； 综上所述，除图形①外，其余的7个图形中，是倍数图形的有②③④⑤⑥． （3）由（2）得， 解得 ∵c是中间的数，而11在日历上是最左边的数， ∴不符合题意，应舍去 ∴不能圈住三个数，使这三个数之和为33． 【题型10 方案问题】 【例10】（23-24七年级·吉林长春·阶段练习）为庆祝“五一”，学校统一组织合唱比赛，七、八年级共92人（其中七年级的人数超过46人但不足90人）准备统一购买服装参加比赛．若两个年级分别单独购买服装一共应付5000元，下表是某服装厂给出服装的价格表： 购买服装的套数 1套至45套 46套至90套 91套以上（含91套） 每套服装的价格 60元 50元 40元 (1)求七、八年级各有多少学生参加合唱比赛； (2)七年级参加合唱比赛的学生中，有10名同学抽调去参加绘画比赛，不能参加合唱比赛，请你为两个年级设计一种最省钱的购买服装方案． 【答案】(1)七年级52人，八年级40人 (2)两个年级一起买91套时最省钱 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，利用分类讨论的思维是解题关键． （1）设七年级有x人，根据七年级的人数多于八年级的人数，且七年级的人数不足90人，得出七年级，八年级的人数范围，从而确定服装价格；再根据两个年级分别单独购买服装一共应付5000元，列方程求解即可； （2）分别计算：①两个年级单独买、②两个年级一起买82套、③两个年级一起买91套的总花费，即可判断； 【详解】（1）解：设七年级有x人，则八年级有人， ∵七年级人数超过46但不足90人， （2）∴八年级人数不足46人， ∴七年级每套服装50元，八年级每套服装60元， ∵两个年级分别单独购买服装一共应付5000元， ∴， 解得：， ∴， ∴七年级52人，八年级40人； 解：由题意得：七年级参加合唱比赛的人为（人）， 八年级参加合唱比赛的人为40人，设总花费为y，则： ①两个年级单独买时：（元）， ②两个年级一起买82套时：（元）， ③两个年级一起买91套时：（元）， ∵， ∴两个年级一起买91套时最省钱． 【变式10-1】（23-24七年级·云南红河·期末）七年级某班因参加校园运动会为学生购置运动装．经了解，某服装店男款运动装每套100元，女款运动装每套120元，原价购买50套运动装共需5520元．为吸引顾客，该店推出两种优惠方案： 方案一：全部运动装八五折销售； 方案二：一次性购买40套运动装（男女运动装均可）及以上免费赠送10套男款运动装，其余的按原价销售． (1)该班购买的男款运动装和女款运动装各多少套？ (2)请通过计算说明该班购买50套运动装应选择哪种优惠方案更合算？ 【答案】(1)该班购买的男款运动装套． (2)按方案二购买更合算 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据已知的等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）设该班购买的男款运动装套，由总共需要5520元列方程，解出即可． （2）按方案一购买需：（元）；按方案二可以购买14套男运动装和26套女运动装加赠送10套男款运动装，费用为：（元），比较大小即可． 【详解】（1）解：设该班购买的男款运动装套，则购买的女款运动装各多少套为套，根据题意得 答：该班购买的男款运动装套． （2）按方案一购买需：（元） 按方案二购买需：按原价购买14套男运动装和26套女运动装加赠送10套男款运动装 （元） ∵ ∴按方案二购买更合算． 【变式10-2】（23-24七年级·浙江温州·期中）为庆祝班级生日，七年级某班班主任陈老师准备去奶茶店购买奶茶．请结合以下素材，确定奶茶购买方案． 奶茶购买方案问题 素材1 “原味奶茶”和“珍珠奶茶”是某奶茶店最畅销的两款产品．原价购买一杯“原味奶茶”和一杯“珍珠奶茶”需要23元． 素材2 加3元购买一份珍珠，可将一杯“原味奶茶”制作成“珍珠奶茶”.因此一杯“珍珠奶茶”的原价比一杯“原味奶茶”的原价贵3元． 素材3    问题解决 任务1 请根据以上信息，分别求出“原味奶茶”和“珍珠奶茶”的原价． 任务2 陈老师计划用420元参加优惠活动（两个活动都参加），且钱恰好用完，求陈老师 最多拿到几杯“珍珠奶茶”？ 任务3 现在陈老师需要买15杯“原味奶茶”和35杯“珍珠奶茶”，则最省钱采购方案的总价为______元．（直接写出答案） 【答案】任务1：“原味奶茶”的原价为每杯元，则“珍珠奶茶” 每杯元；任务2：陈老师最多拿到杯“珍珠奶茶”；任务3：最小费用为：元； 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，有理数的混合运算的应用，理解题意是关键； 任务1：设“原味奶茶”的原价为每杯元，则“珍珠奶茶” 每杯元，根据原价购买一杯“原味奶茶”和一杯“珍珠奶茶”需要23元．再建立方程求解即可； 任务2：两个活动相当于“珍珠奶茶” 每杯元，每买2杯“珍珠奶茶”送一杯“原味奶茶”，再列式计算即可； 任务3：由陈老师需要买15杯“原味奶茶”和35杯“珍珠奶茶”，可得陈老师先按照活动二购买15套，再按照活动一购买5杯“珍珠奶茶”，费用最小，再列式计算即可. 【详解】解：任务1：设“原味奶茶”的原价为每杯元，则“珍珠奶茶” 每杯元，则 ， 解得：； ∴， ∴“原味奶茶”的原价为每杯元，则“珍珠奶茶” 每杯元； 任务2：两个活动相当于“珍珠奶茶” 每杯元，每买2杯“珍珠奶茶”送一杯“原味奶茶” ∴（杯）， ∴陈老师最多拿到杯“珍珠奶茶”； 任务3：∵陈老师需要买15杯“原味奶茶”和35杯“珍珠奶茶”， ∴陈老师先按照活动二购买15套，再按照活动一购买5杯“珍珠奶茶”，费用最小， ∴最小费用为：（元）. 【变式10-3】（23-24七年级·四川宜宾·期中）某商城在周年庆期间举行促销活动，有以下两种优惠方案：购物金额每满元减元；购物金额打七五折． (1)若某人购物的金额为元，则他选择方案实际付的金额是______元，选择方案实际付的金额是______元． (2)若某人购物的金额超过元但不足元．通过计算发现，选择方案比方案便宜元，这人购物的金额是多少元？ 【答案】(1)，； (2)这人购物的金额是元或元． 【分析】（）根据两种优惠方案列式计算即可； （）设这人购物的金额是元，根据选择方案比方案便宜元，列方程及解方程即可； 本题主要考查了实际问题与一元一次方程，解题关键是理解题意，找准数量关系并正确列出方程． 【详解】（1）他选择方案花费的金额是（元）， 选择方案花费的金额是（元）， 故答案为：，； （2）设这人购物的金额是元， 由题意，得或， 解得或． 答：这人购物的金额是元或元． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$