专题05 平面直角坐标系（知识串讲+热考题型+真题训练）-2024-2025学年八年级数学上学期期中期末考点归纳满分攻略讲练（苏科版）

专题05 平面直角坐标系 【考点01 坐标确定位置】 【考点02 点的坐标】 【考点03 坐标与图形性质】 【考点04点坐标规律】 【考点05 沿x轴、y轴平移后的坐标】 【考点06 坐标与图形变化﹣对称】 知识点 1：坐标确定位置 坐标：是以点O为原点，作为参考点，来定位平面内某一点的具体位置，表示方法为：A（X，Y)。 知识点2 平面直角坐标 1.平面直角坐标系有两个坐标轴，其中横轴为x轴(x-axis)，取向右方向为正方向；纵轴为y轴（y-axis)，取向上为正方向。坐标系所在平面叫做坐标平面，两坐标轴的公共原点叫做平面直角坐标系的原点。 2. x轴y轴将坐标平面分成了四个象限（quadrant），右上方的部分叫做第一象限，其他三个部分按逆时针方向依次叫做第二象限、第三象限和第四象限。 3. 点坐标 （1）x轴上的点的纵坐标为零；y轴上的点的横坐标为零。 （2）在任意的两点中，如果两点的横坐标相同，则两点的连线平行于纵轴（两点的横坐标不为零）；如果两点的纵坐标相同，则两点的连线平行于横轴（两点的纵坐标不为零）。 （3）点到轴及原点的距离： 点到x轴的距离为|y|； 点到y轴的距离为|x|；点到原点的距离为x的平方加y的平方的算术平方根。 4. 象限 第一、三象限角平分线上的点横、纵坐标相等；第二、四象限角平分线上的点横、纵坐标互为相反数 5.坐标与图形性质 （1） 一三象限角平分线上的点横纵坐标相等。 （2）二四象限角平分线上的点横纵坐标互为相反数。 （3）一点上下平移，横坐标不变，即平行于y轴的直线上的点横坐标相同。 （4）y轴上的点，横坐标都为0。 （5）x轴上的点，纵坐标都为0。 6.关于x、y轴、原点对称的点坐标 （1）与x轴做轴对称变换时，x不变，y变为相反数。 （2）与y轴做轴对称变换时，y不变，x变为相反数。 （3）与原点做轴对称变换时，y与x都变为相反数。 7.两点间公式 设两个点A、B以及坐标分别，为则A和B两点之间的距离为： 知识点3：坐标与图形变化 知识点4：图形在坐标系中的平移 在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度．（即：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．） 【考点01 坐标确定位置】 【典例1】根据下列表述，能确定准确位置的是（　　） A．学校报告厅3排 B．负一层停车场 C．南偏东 D．东经，北纬 【变式1-1】如图，已知，，平分，若点A表示为，点B表示为，则点D表示为（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】在仪仗队列中，共有八列，每列8人，若战士甲站在第二列从前面数第3个，可以表示为，则战士乙站在第七列从前面数第2个，应表示为 ． 【变式1-3】中国象棋棋盘中蕴含着平面直角坐标系，如图是中国象棋棋盘的一部分，如果“帅”的位置用坐标表示，“卒”的位置用表示，那么“马”的位置所表示的坐标为 ． 【考点02 点的坐标】 【典例2】在平面直角坐标系中，点P在第二象限，则点P的坐标可能是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】点在第四象限内，点到轴的距离是6，到轴的距离是2，那么点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】如图，如果“仕”所在位置的坐标为，“相”所在位置的坐标为，那么“炮”所在位置的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】若点在轴上，则 ． 【变式2-4】如图， 在一次“寻宝”游戏中， 寻宝人找到了两个标志点，， 则“宝藏”点B的坐标是 ． 【考点03 坐标与图形性质】 【典例3】如图1，直线分别与x轴、y轴交于A、B两点，平分交于点C，点D为线段上一点，过点D作交y轴于点E，已知，，且m、n满足． (1)求A、B两点的坐标； (2)若点D为中点，求的长； (3)如图2，若点为直线在x轴下方的一点，点E是y轴的正半轴上一动点，以E为直角顶点作等腰直角，使点F在第一象限，且F点的横、纵坐标始终相等，求点P的坐标． 【变式3-1】如图，在以点O为原点的平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，，点C在y轴上，且轴，a，b满足．点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的路线运动（点P首次回到点时停止）． (1)写出点A，B，C的坐标； (2)当点P运动4秒时，连接，，求出点P的坐标，写出，，之间满足的数量关系并给予证明 (3)在运动过程中，是否存在点P，使得的面积是9？若存在，求出点P运动的时间：若不存在，请说明理由 【变式3-2】如图，在平面直角坐标系中，已知点、分别为x轴和y轴上一点，且a，b满足，过点B作于点E，延长至点D，使得，连接、，平分． (1)A点的坐标为 ；的度数为 ． (2)如图1，若点C在第四象限，试判断与的数量关系与位置关系，并说明理由． (3)如图2，连接，平分，若点C的坐标为，连接交于点E，与交于点F． ①求D点的坐标； ②试判断与的数量关系，并说明理由． 【变式3-3】如图1，点在x轴正半轴上，点A，D均在y轴正半轴上，把沿直线翻折，点A恰好落在x轴上的点B处． (1)若，求点B的坐标； (2)点E为上一点，且，如图2，求的长； (3)如图3，过D作于F点，点H为上一动点，点G为上一动点，当点H在上移动，点G在上移动时，始终满足，试判断，，这三者之间的数量关系，写出你的结论并加以证明． 【考点04点坐标规律】 【典例4】如图，在平面直角坐标系中，对进行循环往复地轴对称变换，若原来点的坐标是，则经过第次变换后点的对应点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【变式4-1】如图，在平面直角坐标系中，各坐标分别为，，，，，，，，，，，则依图中所示规律，的坐标为（　　） A． B． C． D． 【变式4-2】如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点…按这样的运动规律，经过第2024次运动后，动点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式4-3】如图，点在平面直角坐标系中，对其进行轴对称和平移运动：点A关于y轴的对称点为，点关于x轴的对称点为，点向右平移3个单位长度得到点，点向上平移3个单位长度得到点，点关于y轴的对称点为，点关于x轴的对称点为，点向右平移5个单位长度得到点，点向上平移5个单位长度得到点，…，以此规律，点的坐标为 ． 【考点05 沿x轴、y轴平移后的坐标】 【典例5】在平面直角坐标系中，将点向左平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度得到点的坐标是（ ） A． B． C． D． 【变式5-1】将点向右平移5个单位长度，得到点，再把点向上平移4个单位长度得到点，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】在平面直角坐标系中，将点向右平移6个单位后，得到对应点的坐标是 ． 【变式5-3】已知平面直角坐标系内的一点，将点A 先向右平移3个单位长度再向上平移2个单位长度，其对应点的坐标为 ． 【考点06 坐标与图形变化﹣对称】 【典例6】在平面直角坐标系中的位置如图所示．A、B、C三点在格点上． (1)如图，三个顶点的坐标分别是 A（   ,   ）；B（   ,   ）；C（   ,   ） (2)作出关于x轴对称的，并写出点的坐标：______． (3)求的面积． 【变式6-1】若点与点关于轴对称，则（   ） A．1 B． C．2024 D． 【变式6-2】如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，， (1)画出关于轴对称的，并写出点的坐标． (2)的面积为__________． (3)在轴上画一点，使得的值最小． 【变式6-3】在平面直角坐标系中的位置如图所示，且顶点坐标分别为，，． (1)画出关于x轴的对称图形，并写出三个顶点的坐标； (2)在x轴上找一点P，使，直接写出点P的坐标； (3)在第二象限找一点Q，使的面积等于的面积，直接写出点Q的坐标． 一、单选题 1．如图，小手盖住的点的坐标可能为（   ） A． B． C． D． 2．点A的坐标为，点A关于x轴对称的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．将点向左平移个单位长度得到点，则的坐标为（   ） A． B． C． D． 4．在平面直角坐标系中，已知点，点，在坐标轴上有一点P，且点P到A点和到B点的距离相等，则点P的坐标为（） A．或 B．或 C．或 D．或 5．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，把一根长为2019个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在A处，并按的规律紧绕在四边形的边上，则细线的另一端所在位置的点的坐标是 ． 6．如图，在的方格纸中，每个小正方形边长为1，点O，A，B 在方格线的交点（格点）上．在第四象限内的格点上找点 C，使三角形的面积为3，则这样的点 C 共有（     ） A．2个 B．3 个 C．4 个 D．5 个 二、填空题 7．若点在轴上，则点在第 象限． 8．直线l经过点，与坐标轴交于A、B两点，且P是的中点，O为坐标原点，则的面积为 ． 9．象棋在中国有着三千多年的历史，老少皆宜．其中棋盘、棋子都蕴含着中国文化，如图，已知“炮”所在位置的坐标为，“士”所在位置的坐标为，“相”所在位置的坐标为，则“马”所在位置的坐标为 ． 10．点关于直线对称的点的坐标是 ；关于直线对称的坐标是 ． 11．如图，在平面直角坐标系中，已知正六边形的顶点，在轴上，边长，坐标原点与正六边形的中心重合，则点的坐标为 ． 三、解答题 12．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上，点的坐标为． (1)画出关于轴对称的； (2)直接写出点关于轴的对称点的坐标为 ； (3)在轴上找到一点，使的和最小（标出点即可，不用求点的坐标） 13．已知点，请分别根据下列条件，求出点的坐标． (1)点在轴上． (2)点的纵坐标比横坐标大3． (3)点在过点且与轴平行的直线上． 14．在长方形中，，点P是边上的点，． 以点O为原点，以所在直线为x轴，所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，点Q从原点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的路线运动，点Q运动到点C停止运动．设运动时间为t． (1)点B坐标是 ； (2)若三角形的面积为6， ①求t的值； ②当点Q在边上时，过点Q作轴，交于点M，求出点M坐标． 15．如图所示，点的坐标为，点的坐标为，且，为轴上的一个动点，，且，连接交轴于点． (1)求，两点的坐标； (2)若点的坐标为，求点的坐标； (3)当点在轴上运动时，求证为定值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 平面直角坐标系 【考点01 坐标确定位置】 【考点02 点的坐标】 【考点03 坐标与图形性质】 【考点04点坐标规律】 【考点05 沿x轴、y轴平移后的坐标】 【考点06 坐标与图形变化﹣对称】 知识点 1：坐标确定位置 坐标：是以点O为原点，作为参考点，来定位平面内某一点的具体位置，表示方法为：A（X，Y)。 知识点2 平面直角坐标 1.平面直角坐标系有两个坐标轴，其中横轴为x轴(x-axis)，取向右方向为正方向；纵轴为y轴（y-axis)，取向上为正方向。坐标系所在平面叫做坐标平面，两坐标轴的公共原点叫做平面直角坐标系的原点。 2. x轴y轴将坐标平面分成了四个象限（quadrant），右上方的部分叫做第一象限，其他三个部分按逆时针方向依次叫做第二象限、第三象限和第四象限。 3. 点坐标 （1）x轴上的点的纵坐标为零；y轴上的点的横坐标为零。 （2）在任意的两点中，如果两点的横坐标相同，则两点的连线平行于纵轴（两点的横坐标不为零）；如果两点的纵坐标相同，则两点的连线平行于横轴（两点的纵坐标不为零）。 （3）点到轴及原点的距离： 点到x轴的距离为|y|； 点到y轴的距离为|x|；点到原点的距离为x的平方加y的平方的算术平方根。 4. 象限 第一、三象限角平分线上的点横、纵坐标相等；第二、四象限角平分线上的点横、纵坐标互为相反数 5.坐标与图形性质 （1） 一三象限角平分线上的点横纵坐标相等。 （2）二四象限角平分线上的点横纵坐标互为相反数。 （3）一点上下平移，横坐标不变，即平行于y轴的直线上的点横坐标相同。 （4）y轴上的点，横坐标都为0。 （5）x轴上的点，纵坐标都为0。 6.关于x、y轴、原点对称的点坐标 （1）与x轴做轴对称变换时，x不变，y变为相反数。 （2）与y轴做轴对称变换时，y不变，x变为相反数。 （3）与原点做轴对称变换时，y与x都变为相反数。 7.两点间公式 设两个点A、B以及坐标分别，为则A和B两点之间的距离为： 知识点3：坐标与图形变化 知识点4：图形在坐标系中的平移 在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度．（即：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．） 【考点01 坐标确定位置】 【典例1】根据下列表述，能确定准确位置的是（　　） A．学校报告厅3排 B．负一层停车场 C．南偏东 D．东经，北纬 【答案】D 【分析】本题考查了坐标确定位置，理解确定坐标的两个数是解题的关键．根据坐标的定义，确定位置需要两个数据对各选项分析判断利用排除法求解． 【详解】解：A．学校报告厅3排，不能确定具体位置，故本选项不符合题意； B．负一层停车场，不能确定具体位置，故本选项不符合题意； C．南偏东，不能确定具体位置，故本选项不符合题意； D．东经，北纬，能确定具体位置，故本选项符合题意． 故选：D． 【变式1-1】如图，已知，，平分，若点A表示为，点B表示为，则点D表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了坐标与图形性质，理解题中的点A和点B的表示方式是解题的关键． 根据点A和点B的表示方法，得出和的度数，再根据平分角及点D的位置即可解决问题． 【详解】解： ，， 平分， ， ， 又点D在从内向外的第5层圆上， 点D可表示为 故选：A． 【变式1-2】在仪仗队列中，共有八列，每列8人，若战士甲站在第二列从前面数第3个，可以表示为，则战士乙站在第七列从前面数第2个，应表示为 ． 【答案】 【分析】此题考查了用有序数对表示位置，根据战士甲站在第二列从前面数第3个，可以表示为即可得出战士乙的位置． 【详解】解：每列8人，第二列从前面数第3个，表示为， 战士乙应表示为， 故答案为： 【变式1-3】中国象棋棋盘中蕴含着平面直角坐标系，如图是中国象棋棋盘的一部分，如果“帅”的位置用坐标表示，“卒”的位置用表示，那么“马”的位置所表示的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查坐标确定位置，直接利用“帅”位于点，建立平面直角坐标系，进而得出答案．正确建立平面直角坐标系是解题关键． 【详解】解：建立平面直角坐标系如图； ∵“帅”的位置用坐标表示， ∴原点的位置如图所示， ∴“马”的位置所表示的坐标为． 故答案为：． 【考点02 点的坐标】 【典例2】在平面直角坐标系中，点P在第二象限，则点P的坐标可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查判断点所在的象限，根据第二象限内的点的符号特征，进行判断即可． 【详解】解：∵点P在第二象限， ∴点符号特征， 故满足题意的只有； 故选D． 【变式2-1】点在第四象限内，点到轴的距离是6，到轴的距离是2，那么点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查点的坐标含义，熟练掌握点的坐标含义是解题的关键；由题意易得点P的横坐标为，纵坐标为，然后问题可求解． 【详解】解：∵P在第四象限内，点P到x轴的距离是6，到y轴的距离是2， ∴点P的坐标为． 故选：D． 【变式2-2】如图，如果“仕”所在位置的坐标为，“相”所在位置的坐标为，那么“炮”所在位置的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了用坐标表示位置，解题的关键是根据已知条件确定平面直角坐标系．根据“仕”所在位置的坐标为，“相”所在位置的坐标为，确定平面直角坐标系，再得出炮的位置即可． 【详解】解：平面直角坐标系如图所示： 炮的位置， 故选：A． 【变式2-3】若点在轴上，则 ． 【答案】 【分析】本题考查特殊位置的点的坐标，根据轴上的点的横坐标为0，得到，求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴； 故答案为：． 【变式2-4】如图， 在一次“寻宝”游戏中， 寻宝人找到了两个标志点，， 则“宝藏”点B的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标确定位置，根据已知点的坐标确定出平面直角坐标系是解题的关键．根据点A、C的坐标可知平面直角坐标系，据此可得答案． 【详解】解：根据，建立直角坐标系为∶ 则“宝藏”点B的坐标是， 故答案为：． 【考点03 坐标与图形性质】 【典例3】如图1，直线分别与x轴、y轴交于A、B两点，平分交于点C，点D为线段上一点，过点D作交y轴于点E，已知，，且m、n满足． (1)求A、B两点的坐标； (2)若点D为中点，求的长； (3)如图2，若点为直线在x轴下方的一点，点E是y轴的正半轴上一动点，以E为直角顶点作等腰直角，使点F在第一象限，且F点的横、纵坐标始终相等，求点P的坐标． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题主要考查了非负数的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识点，作辅助线构造全等三角形、根据全等三角形的对应边相等进行计算求解是解答本题的关键． （1）根据非负数的性质可得方程，，求得，，即可得到A、B两点的坐标； （2）延长交x轴于点F，延长到点G，使得，连接，构造全等三角形，再设，根据列出关于x的方程求解即可； （3）分别过点F、P作轴于点M，轴于点N，设点E为，构造全等三角形，再根据F点的横坐标与纵坐标相等，得出方程，解得即可解答． 【详解】（1）解：∵，且，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴点A为，点B为； （2）如图，延长交x轴于点F，延长到点G，使得，连接， ， 设， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴； （3）分别过点F、P作轴于点M，轴于点N， 设点E为， ∵点P的坐标为， ∴，， ∵， ∴， ∵轴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴点F为， ∵F点的横坐标与纵坐标相等， ∴， 解得：， ∴点P为． 【变式3-1】如图，在以点O为原点的平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，，点C在y轴上，且轴，a，b满足．点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的路线运动（点P首次回到点时停止）． (1)写出点A，B，C的坐标； (2)当点P运动4秒时，连接，，求出点P的坐标，写出，，之间满足的数量关系并给予证明 (3)在运动过程中，是否存在点P，使得的面积是9？若存在，求出点P运动的时间：若不存在，请说明理由 【答案】(1)，， (2)点的坐标是， (3)或或或 【分析】本题考查了平行线的性质、绝对值与二次根式的非负性、坐标与图形的性质，解题的关键是掌握非负数的性质，坐标与图形的性质． （1）根据非负数的性质求得，的值，再结合图形即可写出坐标； （2）当运动4秒时，求出，即可得到，在根据平行线的性质可得； （3）分四种情况，当时，即点在上时，当时，即点在上时，当时，即点在上时，当时，即点在上时，根据面积建立方程即可求解． 【详解】（1）解：∵， ，， ，， 根据平面直角坐标系得：，，； （2）解：如图，当运动4秒时，点运动了8个单位长度， ， 点运动4秒时，点在线段上，且， 点的坐标是， ，证明如下： 过点作的平行线，交于点，则， ∴， ， ． （3）解：存在，理由如下： 设点的运动时间为， 当时，即点在上时，， 则，解得：； 当时，即点在上时，， 则，解得：； 当时，即点在上时，， 则，解得：； 当时，即点在上时，， 则，解得：； 综上，当点的运动时间为或或或时，使得的面积为9． 【变式3-2】如图，在平面直角坐标系中，已知点、分别为x轴和y轴上一点，且a，b满足，过点B作于点E，延长至点D，使得，连接、，平分． (1)A点的坐标为 ；的度数为 ． (2)如图1，若点C在第四象限，试判断与的数量关系与位置关系，并说明理由． (3)如图2，连接，平分，若点C的坐标为，连接交于点E，与交于点F． ①求D点的坐标； ②试判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)，； (2)，； (3)①；②． 【分析】（1）将已知式子化为，可得，再求解即可；（2）设与轴的交点为，与轴的交点为，证明，可得，，再求，可得；（3）①由（2）可知，，过点作轴交轴于，证明，即可求出；②延长交于点，证明，再证明，即可得． 【详解】（1）解：， ， ， ，， ， ， 故答案为：，； （2）解：设与轴的交点为，与轴的交点为， ， ， ， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：①由（2）可知，，过点作轴交轴于， ，， ， ， ， ，， 点的坐标为， ，， ； ②延长交于点， ， ， ，， ， ，， 平分， ， ，， ， ， ． 【点睛】本题考查三角形的综合应用，熟练掌握三角形全等的判定及性质，二次根式有意义的条件，数形结合是解题的关键． 【变式3-3】如图1，点在x轴正半轴上，点A，D均在y轴正半轴上，把沿直线翻折，点A恰好落在x轴上的点B处． (1)若，求点B的坐标； (2)点E为上一点，且，如图2，求的长； (3)如图3，过D作于F点，点H为上一动点，点G为上一动点，当点H在上移动，点G在上移动时，始终满足，试判断，，这三者之间的数量关系，写出你的结论并加以证明． 【答案】(1) (2)16 (3)，理由见解析 【分析】本题主要考查了坐标与图形，全等三角形的判定和性质，轴对称的性质，构造出全等三角形是解本题的关键． （1）根据轴对称的性质，得，可得，求出，即可得出结论； （2）过点D作于M，再证，得出，再证，得，即可得出结论； （3）在的延长线上取一点N，使，再判断出，进而判断出，得出，，再证，得出，即可得出结论． 【详解】（1）解： ， 由轴对称的性质，得 ， ∴， ， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图2，过点D作于M， ∵， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， 又， ， ，， ， ， 又， ， ∴， ∴； （3）解：； 证明：如图3，在的延长线上取一点N，使， ∵平分，，， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∵ ∴， 在和中 ， ∴， ∴ ∵ ∴ 【考点04点坐标规律】 【典例4】如图，在平面直角坐标系中，对进行循环往复地轴对称变换，若原来点的坐标是，则经过第次变换后点的对应点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了坐标与图形规律，读懂图形，找出规律是解答关键． 由题意知，每经过4次变换后点回到原来的位置，且经过第次变换与经过第4次变换后点的对应点相同，进而可得答案． 【详解】解：由题意知，每经过4次变换后点回到原来的位置，坐标是． ∵， ∴经过第次变换与经过第4次变换后点的对应点相同， ∴经过第次变换后点的对应点的坐标为． 故选：A． 【变式4-1】如图，在平面直角坐标系中，各坐标分别为，，，，，，，，，，，则依图中所示规律，的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了点坐标规律探索问题，旨在考查学生的抽象概括能力，由题意可得在横轴的正方向，且坐标为，在横轴的正方向，且坐标为，结合即可． 【详解】解：由图可知：每一个图形都是等腰直角三角形， ，，，，，，… ∴在横轴的正方向，且坐标为，在横轴的正方向，且坐标为， ∵， ∴点的坐标为． 故选：A． 【变式4-2】如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点…按这样的运动规律，经过第2024次运动后，动点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先确定横坐标的规律，等于序号数；再确定纵坐标的规律，第一次是1，第二次是0，第三次是2，第四次是0，第五次是1，第六次是0，第七次是2，第八次是0，按照1,0,2,0循环出现，解答即可． 本题考查了坐标系中坐标的规律，熟练掌握规律是解题的关键． 【详解】解：先确定横坐标的规律，第一次是1，第二次是2，第三次是3，第四次是4，第五次是5，第六次是6，第七次是7，第八次是8， 故第n次是n； 根据题意，得纵坐标变化为：第一次是1，第二次是0，第三次是2，第四次是0，第五次是1，第六次是0，第七次是2，第八次是0，按照1,0,2,0循环出现，偶数为0， 故第2024次运动后，动点的坐标是， 故选：B． 【变式4-3】如图，点在平面直角坐标系中，对其进行轴对称和平移运动：点A关于y轴的对称点为，点关于x轴的对称点为，点向右平移3个单位长度得到点，点向上平移3个单位长度得到点，点关于y轴的对称点为，点关于x轴的对称点为，点向右平移5个单位长度得到点，点向上平移5个单位长度得到点，…，以此规律，点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标系中点的规律变化，解答本题的关键是仔细观察图像规律，找到横纵坐标变化规律，从而得到点的规律． 根据图形，得到，每四次一个循环，每次循环的平移规则为向右，向上均平移个单位，进而求出点的坐标即可． 【详解】解：由图可知：，， ， ∴， 从到的平移为：向上平移3个单位长度， 从到的平移为：向上平移5个单位长度， 依次类推， 从到的平移为：向上平移个单位长度， ∵， ∴的坐标为， ∴向上平移个单位长度，得到， ∴，即：； 故答案为：． 【考点05 沿x轴、y轴平移后的坐标】 【典例5】在平面直角坐标系中，将点向左平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度得到点的坐标是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了坐标与图形变化——平移．熟练掌握点的平移的变化规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减，是解题的关键． 根据点的平移规律：左减右加，上加下减解答，即可判断． 【详解】∵点向左平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度得到点， ∴，， ∴． 故选：B． 【变式5-1】将点向右平移5个单位长度，得到点，再把点向上平移4个单位长度得到点，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是坐标与图形变化平移．根据横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减解答． 【详解】解：将点向右平移5个单位长度，得到点，即， 再把点向上平移4个单位长度得到点，则点 的坐标为，即． 故选：B． 【变式5-2】在平面直角坐标系中，将点向右平移6个单位后，得到对应点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查点的平移规律：左减右加，上加下减． 根据点的平移规律左减右加，上加下减直接求解即可得到答案； 【详解】解：∵点向右平移6个单位后， ∴平移后的点坐标是， 故答案为：． 【变式5-3】已知平面直角坐标系内的一点，将点A 先向右平移3个单位长度再向上平移2个单位长度，其对应点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的平移，横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减；依此即可求解． 【详解】解： 点A 先向右平移3个单位长度， 横坐标变为， 点A再向上平移2个单位长度， 纵坐标变为， 点的坐标为． 故答案为：． 【考点06 坐标与图形变化﹣对称】 【典例6】在平面直角坐标系中的位置如图所示．A、B、C三点在格点上． (1)如图，三个顶点的坐标分别是 A（   ,   ）；B（   ,   ）；C（   ,   ） (2)作出关于x轴对称的，并写出点的坐标：______． (3)求的面积． 【答案】(1)；； (2)图见解析； (3) 【分析】本题考查了利用轴对称的性质作图，割补法求三角形面积，解题的关键是熟练掌握轴对称的性质． （1）利用点的坐标表示方法写出、、三点的坐标； （2）根据轴对称的性质求解即可； （3）利用割补法可得三角形的面积等于矩形的面积减去周围个直角三角形的面积，求解即可． 【详解】（1）解：；； （2）解：如图， （3）解： 【变式6-1】若点与点关于轴对称，则（   ） A．1 B． C．2024 D． 【答案】A 【分析】本题考查了点的坐标的对称，求代数式的值，根据关于轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标不变即可得出，，代入代数式计算即可得解． 【详解】解：∵点与点关于轴对称， ∴，， ∴， 故选：A． 【变式6-2】如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，， (1)画出关于轴对称的，并写出点的坐标． (2)的面积为__________． (3)在轴上画一点，使得的值最小． 【答案】(1)见解析， (2)5.5 (3)见解析 【分析】本题主要考查作图—轴对称变换． （1）分别作出三个顶点关于x轴的对称点，再首尾顺次连接即可； （2）用长方形的面积减去四周三个三角形的面积； （3）连接，与x轴的交点即为所求． 【详解】（1）解：如图所示，； （2）解：， 故答案为：5.5； （3）解：如图，连接与x轴交于P，则此时的值最小，点P即为所求． 【变式6-3】在平面直角坐标系中的位置如图所示，且顶点坐标分别为，，． (1)画出关于x轴的对称图形，并写出三个顶点的坐标； (2)在x轴上找一点P，使，直接写出点P的坐标； (3)在第二象限找一点Q，使的面积等于的面积，直接写出点Q的坐标． 【答案】(1)图见解析，，， ； (2)图见解析，； (3)图见解析，点的坐标为或． 【分析】本题考查作图-轴对称变换、线段垂直平分线的性质、平行线的性质，熟练掌握轴对称的性质、线段垂直平分线的性质、平行线的性质是解答本题的关键． （1）根据轴对称的性质作图，即可得出答案． （2）作线段的垂直平分线，交轴于点，则点 即为所求，即可得出答案． （3）过点作的平行线，在第二象限中交网格于点，，，与同底等高，所以它们的面积相等，则点，均满足题意，即可得出答案． 【详解】（1）解：分别作点，，关于轴的对称点，，，依次连接，，，则即为所求，如图： 由图可知，点的坐标为：； （2）解：， 作线段的垂直平分线，交轴于点，此时，则点即为所求，如图： （3）解：作的平行线，在第二象限中交网格于点，，，的面积与的面积相等，则点，即为所求的点，如图： 由网格可知，点的坐标为或． 一、单选题 1．如图，小手盖住的点的坐标可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据各象限内点的坐标特征进行作答即可，四个象限的符号特征为：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限 ．本题考查了根据点所在的象限求参数，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 【详解】解：依题意，小手盖住的是第四象限的点，其点坐标特征为：横坐标为正数，纵坐标为负数， ∴小手盖住的点的坐标可能为． 故选：D． 2．点A的坐标为，点A关于x轴对称的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了关于轴对称的点的坐标，在平面直角坐标系中，点关于轴对称时，横坐标不变，纵坐标为相反数，据此即可解答本题． 【详解】解：∵在平面直角坐标系中，点关于轴对称时，横坐标不变，纵坐标为相反数， ∴点A关于轴对称的点的坐标是． 故选：B． 3．将点向左平移个单位长度得到点，则的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平面直角坐标系点的平移，熟悉掌握平移的方法是解题的关键． 根据坐标点平移的特征解答即可． 【详解】解：∵把点向左平移个单位长度得到点，即 ， ∴， 故选：A． 4．在平面直角坐标系中，已知点，点，在坐标轴上有一点P，且点P到A点和到B点的距离相等，则点P的坐标为（） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【分析】本题考查了坐标与图形及用勾股定理求两点间距离，熟练掌握坐标与图形及用勾股定理求两点间距离是解题的关键．若点P在轴上，设，可得，，再根据，列出方程，再求解，若点P在轴上，设，再同理求解即可． 【详解】解：若点P在轴上，设， ，， ，， ，即， ， ， ， 若点P在轴上，设， ，点， ，， ，即， ， ， ， 即或， 故选：A． 5．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，把一根长为2019个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在A处，并按的规律紧绕在四边形的边上，则细线的另一端所在位置的点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题为规律题，考查了平面直角坐标系点的特征，坐标点之间的距离，合理找出运动规律是解题的关键． 根据运动的方式求出运动路线的长度，找出规律即可解答． 【详解】解：∵，，，， ∴，，，， ∴从点出发回到点所需要的线长为：， ∴， ∴绕四边形 圈之后余个单位，即向一个单位， ∴细线的另一端所在位置的点的坐标是， 故答案为：． 6．如图，在的方格纸中，每个小正方形边长为1，点O，A，B 在方格线的交点（格点）上．在第四象限内的格点上找点 C，使三角形的面积为3，则这样的点 C 共有（     ） A．2个 B．3 个 C．4 个 D．5 个 【答案】B 【分析】本题考查了坐标与图形，三角形的面积，确定点 C所在的直线是解题关键． 求得的长，根据三角形的面积公式即可确定点 C所在直线，从而确定点 C的位置． 【详解】解：由，使三角形的面积为3， 则边上的高为2， 即此点到 所在直线的距离是2， 位置要在第四象限，且在格点上，这样的点可以是，共有3个． 故选： B． 二、填空题 7．若点在轴上，则点在第 象限． 【答案】三 【分析】本题考查了平面直角坐标系中的点的坐标特征．先求出m的值，再利用B点的横纵坐标的符号直接判断即可． 【详解】解：因为点在x轴上， 所以， ∴B点坐标为， 因此B点在第三象限， 故答案为：三． 8．直线l经过点，与坐标轴交于A、B两点，且P是的中点，O为坐标原点，则的面积为 ． 【答案】12 【分析】本题考查了坐标与图形及坐标中点公式，解决本题的关键是熟练掌握坐标与图形及坐标中点公式，先求出，再根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：直线l经过点，与坐标轴交于A、B两点，且P是的中点， ， ， 的面积， 故答案为：12， 9．象棋在中国有着三千多年的历史，老少皆宜．其中棋盘、棋子都蕴含着中国文化，如图，已知“炮”所在位置的坐标为，“士”所在位置的坐标为，“相”所在位置的坐标为，则“马”所在位置的坐标为 ． 【答案】 【分析】此题考查用坐标确定位置．根据题意建立平面直角坐标系，根据坐标系中点的位置，即可求解． 【详解】解：依题意，建立平面直角坐标如图所示， ∴“马”所在位置的坐标为， 故答案为：． 10．点关于直线对称的点的坐标是 ；关于直线对称的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查平面直角坐标系的知识，解题的关键是掌握平面直角坐标系中，点关于直线对称的性质，进行解答，即可． 【详解】解：如图所示： 关于直线对称的点的坐标，关于直线对称的坐标． 故答案为：；． 11．如图，在平面直角坐标系中，已知正六边形的顶点，在轴上，边长，坐标原点与正六边形的中心重合，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】过点A作轴交x轴于点G，连接，首先求出，得到，然后求出，进而得到，勾股定理求出，然后证明出是等边三角形，求出，进而求解即可． 【详解】如图所示，过点A作轴交x轴于点G，连接 ∵多边形是正六边形 ∴ ∴ ∵轴 ∴ ∴ ∴ ∵点O是正六边形的中心 ∴ ∵ ∴是等边三角形 ∴ ∴ ∴点的坐标为． 故答案为：． 【点睛】此题考查了正多边形的性质，勾股定理，含角直角三角形的性质，等边三角形的性质和判定，解题的关键是掌握以上知识点． 三、解答题 12．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上，点的坐标为． (1)画出关于轴对称的； (2)直接写出点关于轴的对称点的坐标为 ； (3)在轴上找到一点，使的和最小（标出点即可，不用求点的坐标） 【答案】(1)见解析； (2)； (3)见解析 【分析】本题考查了图形的轴对称变换、两点之间线段最短、线段垂直平分线的性质，解决本题的关键根据轴对称的定义正确的作出图形． 别作点、、关于轴的对称点、、，连接点、、，得到即为所求； 根据关于轴对称的点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，可得：点关于轴的对称点坐标为； 根据两点之间线段最短可知：作点关于轴的对称点，连接交轴于点，点即为所求； 【详解】（1）解：如图所示，分别作点、、关于轴的对称点、、， 连接点、、，得到即为所求； （2）解：关于轴对称的点的横坐标相等，纵坐标互为相反数， 可得：点关于轴的对称点坐标为， 故答案为：； （3）解：如图所示， 作点关于轴的对称点， 连接交轴于点，点即为所求， 点与点关于轴对称， ， ， 根据两点之间线段最短可知：当点、、三点共线时的和最小． ． 13．已知点，请分别根据下列条件，求出点的坐标． (1)点在轴上． (2)点的纵坐标比横坐标大3． (3)点在过点且与轴平行的直线上． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了点的坐标，熟练掌握坐标轴上点的坐标特征以及平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征是解题的关键． （1）根据轴上点的纵坐标为0列方程求出的值，再求解即可； （2）根据纵坐标与横坐标的关系列方程求出的值，再求解即可； （3）根据平行于轴的直线上的点的横坐标相同列方程求出的值，再求解即可． 【详解】（1）解：点在轴上， ， 解得， ， ， 所以，点的坐标为； （2）解：点的纵坐标比横坐标大3， ， 解得， ， ， 点的坐标为； （3）解：点在过点且与轴平行的直线上， ， 解得， ， 点的坐标为． 14．在长方形中，，点P是边上的点，． 以点O为原点，以所在直线为x轴，所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，点Q从原点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的路线运动，点Q运动到点C停止运动．设运动时间为t． (1)点B坐标是 ； (2)若三角形的面积为6， ①求t的值； ②当点Q在边上时，过点Q作轴，交于点M，求出点M坐标． 【答案】(1) (2)①或或6秒；② 【分析】（1）求出、的长即可解决问题． （2）①分三种情形讨论即可、如图1中，当点在上时．如图2中，当点在上时．如图3中，当点在上时分别列出方程即可解决问题．②求出点坐标，以及结合等面积法列式计算即可解决问题． 本题考查几何问题(一元一次方程的应用)、三角形的面积，坐标与图形等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，学会利用方程去思考问题． 【详解】（1）解： 四边形是长方形， ，， ，， ， 点坐标． 故答案为． （2）解：①如图1中，当点在上时， 由题意， 解得． 如图2中，当点在上时， 由题意， 解得， 如图3中，当点在上时， 由题意， 解得． 综上所述或或6秒时，的面积为6． ②∵当点在上时，则由①知道， 则， ∴， 即， ∵的面积为6． ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 15．如图所示，点的坐标为，点的坐标为，且，为轴上的一个动点，，且，连接交轴于点． (1)求，两点的坐标； (2)若点的坐标为，求点的坐标； (3)当点在轴上运动时，求证为定值． 【答案】(1)，； (2)； (3)证明见解析． 【分析】（）根据非负性得出，的值，进而解答即可； （）过点作轴于，证明可得结论； （）证明可得为的中点，证明可得结论； 本题考查了绝对值非负性，算术平方根非负性，全等三角形的判定和性质，坐标与图形的性质等知识，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， ∴，； （2）解：如图，过点作轴于， ∵，，， ∴，，， ∵，轴， ∴， ∴，， ∴， 又， ∴， ∴，， ∴， ∴； （3）证明: ∵， ∴， ∵， ∴， ∵轴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴是定值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$