第5章 平面直角坐标系单元复习试卷 2024-2025学年苏科版八年级数学上册

苏科版八年级上学期《第5章 平面直角坐标系》单元复习试卷 一．选择题（共10小题） 1．在平面直角坐标系中，点A（1，2）在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．若实数m，n是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的两个根，且m＜n，则点（m，n）所在象限为（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．如图是中国象棋棋盘的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，已知“車”所在位置的坐标为（﹣2，2），则“炮”所在位置的坐标为（　　） A．（3，1） B．（1，3） C．（4，1） D．（3，2） 4．小李、小王、小张、小谢原有位置如图（横为排、竖为列），小李在第2排第4列，小王在第3排第3列，小张在第4排第2列，小谢在第5排第4列．撤走第一排，仍按照原有确定位置的方法确定新的位置，下列说法正确的是（　　） A．小李现在位置为第1排第2列 B．小张现在位置为第3排第2列 C．小王现在位置为第2排第2列 D．小谢现在位置为第4排第2列 5．如图，坐标平面上直线L的方程式为x＝﹣5，直线M的方程式为y＝﹣3，P点的坐标为（a，b）．根据图中P点位置判断，下列关系何者正确（　　） A． a＜﹣5，b＞﹣3 B．a＜﹣5，b＜﹣3 C．a＞﹣5，b＞﹣3 D．a＞﹣5，b＜﹣3 6．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，OA＝OB＝3，点C为平面内一动点，BC，连接AC，点M是线段AC上的一点，且满足CM：MA＝1：2．当线段OM取最大值时，点M的坐标是（　　） A．（，） B．（，） C．（，） D．（，） 7．对于直角坐标平面内的任意两点A（x1，y1），B（x2，y2），定义它们之间的一种“距离”： ||AB||＝|x2﹣x1|+|y2﹣y1|．给出下列三个命题： ①若点C在线段AB上，则||AC||+||CB||＝||AB||； ②在△ABC中，若∠C＝90°，则||AC||2+||CB||2＝||AB||2； ③在△ABC中，||AC||+||CB||＞||AB||．其中真命题的个数为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 8．某小区的圆形花园中间有两条互相垂直的小路，园丁在花园中栽种了8棵桂花，如图所示．若A，B两处桂花的位置关于小路对称，在分别以两条小路为x，y轴的平面直角坐标系内，若点A的坐标为（﹣6，2），则点B的坐标为（　　） A． （6，2） B．（﹣6，﹣2） C．（2，6） D．（2，﹣6） 9．在平面直角坐标系中，若点P的坐标为（2，1），则点P关于y轴对称的点的坐标为（　　） A．（﹣2，﹣1） B．（2，﹣1） C．（﹣2，1） D．（2，1） 10．如图，两盏灯笼的位置A，B的坐标分别是（﹣3，3），（1，2），将点B向右平移2个单位，再向上平移1个单位得到点B′，则关于点A，B′的位置描述正确的是（　　） A．关于x轴对称 B．关于y轴对称 C．关于原点O对称 D．关于直线y＝x对称 二．填空题（共5小题） 11．已知a为正整数，点P（4，2﹣a）在第一象限中，则a＝　 　． 12．如图，是贵阳市城市轨道交通运营部分示意图，以喷水池为原点，分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系，若贵阳北站的坐标是（﹣2，7），则龙洞堡机场的坐标是 　 　． 13．画一条水平数轴，以原点O为圆心，过数轴上的每一刻度点画同心圆，过原点O按逆时针方向依次画出与正半轴的角度分别为30°、60°、90°、120°、…、330°的射线，这样就建立了“圆”坐标系．如图，在建立的“圆”坐标系内，我们可以将点A、B、C的坐标分别表示为A（6，60°）、B（5，180°）、C（4，330°），则点D的坐标可以表示为 　 　． 14．点Q的横坐标为一元一次方程3x+7＝32﹣2x的解，纵坐标为a+b的值，其中a，b满足二元一次方程组，则点Q关于y轴对称点Q'的坐标为 　 　． 15．如图，点P（﹣2，1）与点Q（a，b）关于直线l（y＝﹣1）对称，则a+b＝　 　． 三．解答题（共5小题） 16．在平面直角坐标系中，一蚂蚁从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位．其行走路线如图所示． （1）填写下列各点的坐标： A1（　 　，　 　）， A3（　 　，　 　）， A12（　 　，　 　）； （2）写出点A4n的坐标（n是正整数）； （3）指出蚂蚁从点A100到A101的移动方向． 17．常用的确定物体位置的方法有两种．如图，在4×4个边长为1的正方形组成的方格中，标有A，B两点．请你用两种不同方法表述点B相对点A的位置． 18．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（1，m+1），B（a，m+1），C（3，m+3），D（1，m+a），m＞0，1＜a＜3，点P（n﹣m，n）是四边形ABCD内的一点，且△PAD与△PBC的面积相等，求n﹣m的值． 19．根据题意，解答下列问题： （1）如图①，已知直线y＝2x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，求线段AB的长； （2）如图②，类比（1）的求解过程，请你通过构造直角三角形的方法，求出两点M（3，4），N（﹣2，﹣1）之间的距离； （3）如图③，P1（x1，y1），P2（x1，y2）是平面直角坐标系内的两点．求证：． 20．已知点P（a+1，2a﹣1）关于x轴的对称点在第一象限，求a的取值范围． 参考答案与试题解析 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B A B A D B A C B 一．选择题（共10小题） 1．在平面直角坐标系中，点A（1，2）在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【分析】根据点A（1，2）横坐标和纵坐标的符号即可判断点A所在的象限． 【解答】解：∵点A（1，2）的横坐标和纵坐标均为正数， ∴点A（1，2）在第一象限． 故选：A． 【点评】此题主要考查了点的坐标，熟练掌握平面直角坐标系中，点的坐标的特征是解答此题的关键． 2．若实数m，n是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的两个根，且m＜n，则点（m，n）所在象限为（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【分析】依据题意，由m，n是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的两个根，故m+n＝2＞0，mn＝﹣3＜0，从而判断m，n的符号可以得解． 【解答】解：由题意，∵m，n是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的两个根， ∴m+n＝2＞0，mn＝﹣3＜0． ∴m，n异号，且m，n中绝对值较大的为正． 又m＜n， ∴m＜0，n＞0． ∴（m，n）在第二象限． 故选：B． 【点评】本题主要考查了点的坐标特征，解题时要熟练掌握并灵活运用是关键． 3．如图是中国象棋棋盘的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，已知“車”所在位置的坐标为（﹣2，2），则“炮”所在位置的坐标为（　　） A．（3，1） B．（1，3） C．（4，1） D．（3，2） 【分析】直接利用“車”位于点（﹣2，2），得出原点的位置，进而得出答案． 【解答】解：如图所示：“炮”所在位置的坐标为：（3，1）． 故选：A． 【点评】此题主要考查了坐标确定位置，正确得出原点的位置是解题关键． 4．小李、小王、小张、小谢原有位置如图（横为排、竖为列），小李在第2排第4列，小王在第3排第3列，小张在第4排第2列，小谢在第5排第4列．撤走第一排，仍按照原有确定位置的方法确定新的位置，下列说法正确的是（　　） A．小李现在位置为第1排第2列 B．小张现在位置为第3排第2列 C．小王现在位置为第2排第2列 D．小谢现在位置为第4排第2列 【分析】根据坐标确定位置，从有序数对的两个数的实际意义考虑解答． 【解答】解：根据题意画出图形可得： A、小李现在位置为第1排第4列，此选项说法错误； B、小张现在位置为第3排第2列，此选项说法正确； C、小王现在位置为第2排第3列，此选项说法错误； D、小谢现在位置为第4排第4列，此选项说法错误； 故选：B． 【点评】本题考查了确定位置，理解有序数对的两个数的实际意义是解题的关键． 5．如图，坐标平面上直线L的方程式为x＝﹣5，直线M的方程式为y＝﹣3，P点的坐标为（a，b）．根据图中P点位置判断，下列关系何者正确（　　） A．a＜﹣5，b＞﹣3 B．a＜﹣5，b＜﹣3 C．a＞﹣5，b＞﹣3 D．a＞﹣5，b＜﹣3 【分析】利用直角坐标系中点的坐标的特点，图形的性质解答． 【解答】解：∵坐标平面上直线L的方程式为x＝﹣5，直线M的方程式为y＝﹣3， ∴直线L与直线M交点的坐标为（﹣5，﹣3）， ∵P点的坐标为（a，b）， ∴根据图中P点位置得a＜﹣5，b＞﹣3． 故选：A． 【点评】本题考查了坐标与图形性质，解题的关键是熟练掌握直角坐标系中点的坐标的特点． 6．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，OA＝OB＝3，点C为平面内一动点，BC，连接AC，点M是线段AC上的一点，且满足CM：MA＝1：2．当线段OM取最大值时，点M的坐标是（　　） A．（，） B．（，） C．（，） D．（，） 【分析】由题意可得点C在以点B为圆心，为半径的⊙B上，在x轴的负半轴上取点D（，0），连接BD，分别过C和M作CF⊥OA，ME⊥OA，垂足为F、E，先证△OAM∽△DAC，得，从而当CD取得最大值时，OM取得最大值，结合图形可知当D，B，C三点共线，且点B在线段DC上时，CD取得最大值，然后分别证△BDO∽△CDF，△AEM∽△AFC，利用相似三角形的性质即可求解． 【解答】解：∵点C为平面内一动点，BD， ∴点C在以点B为圆心，为半径的⊙B上， 在x轴的负半轴上取点D（，0）， 连接BD，分别过C、M作CF⊥OA，ME⊥OA，垂足为F、E， ∵OA＝OB， ∴AD＝OD+OA， ∴， ∵CM：MA＝1：2， ∴， ∵∠OAM＝∠DAC， ∴△OAM∽△DAC， ∴， ∴当CD取得最大值时，OM取得最大值，结合图形可知当D，B，C三点共线，且点B在线段DC上时，CD取得最大值， ∵OA＝OB，OD， ∴BD， ∴CD＝BC+BD＝9， ∵， ∴OM＝6， ∵y轴⊥x轴，CF⊥OA， ∴∠DOB＝∠DFC＝90°， ∵∠BDO＝∠CDF， ∴△BDO∽△CDF， ∴，即， 解得CF， 同理可得，△AEM∽△AFC， ∴，即， 解得ME， ∴OE， ∴当线段OM取最大值时，点M的坐标是（，）， 故选D． 【点评】本题主要考查了勾股定理、相似三角形的判定及性质、圆的一般概念以及坐标与图形，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键． 7．对于直角坐标平面内的任意两点A（x1，y1），B（x2，y2），定义它们之间的一种“距离”： ||AB||＝|x2﹣x1|+|y2﹣y1|．给出下列三个命题： ①若点C在线段AB上，则||AC||+||CB||＝||AB||； ②在△ABC中，若∠C＝90°，则||AC||2+||CB||2＝||AB||2； ③在△ABC中，||AC||+||CB||＞||AB||．其中真命题的个数为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【分析】对于①若点C在线段AB上，设C点坐标为（x0，y0）然后代入验证显然||AC||+||CB||＝||AB||成立．成立故正确． 对于②平方后不能消除x0，y0，命题不成立； 对于③在△ABC中，用坐标表示||AC||+||CB||然后根据绝对值不等式可得到大于|AB|不成立，故可得到答案． 【解答】解：对于直角坐标平面内的任意两点A（x1，y1），B（x2，y2）， 定义它们之间的一种“距离”：||AB||＝|x2﹣x1|+|y2﹣y1|． 对于①若点C在线段AB上，设C点坐标为（x0，y0），x0在x1、x2之间，y0在y1、y2之间， 则||AC||+||CB||＝|x0﹣x1|+|y0﹣y1|+|x2﹣x0|+|y2﹣y0|＝|x2﹣x1|+|y2﹣y1|＝||AB||成立，故①正确． 对于②平方后不能消除x0，y0，命题不成立； 对于③在△ABC中，||AC||+||CB||＝|x0﹣x1|+|y0﹣y1|+|x2﹣x0|+|y2﹣y0|≥|（x0﹣x1）+（x2﹣x0）|+|（y0﹣y1）+（y2﹣y0）|＝|x2﹣x1|+|y2﹣y1|＝||AB||．③不一定成立 ∴命题①成立， 故选：B． 【点评】此题主要考查新定义的问题，对于此类型的题目需要认真分析题目的定义再求解，切记不可脱离题目要求．属于中档题目．本题的易错点在于不等式：|a|+|b|≥|a+b|忘记等号也可以成立． 8．某小区的圆形花园中间有两条互相垂直的小路，园丁在花园中栽种了8棵桂花，如图所示．若A，B两处桂花的位置关于小路对称，在分别以两条小路为x，y轴的平面直角坐标系内，若点A的坐标为（﹣6，2），则点B的坐标为（　　） A．（6，2） B．（﹣6，﹣2） C．（2，6） D．（2，﹣6） 【分析】关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，据此可得答案． 【解答】解：若A，B两处桂花的位置关于小路对称，在分别以两条小路为x，y轴的平面直角坐标系内，若点A的坐标为（﹣6，2），则点B的坐标为（6，2）． 故选：A． 【点评】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数． 9．在平面直角坐标系中，若点P的坐标为（2，1），则点P关于y轴对称的点的坐标为（　　） A．（﹣2，﹣1） B．（2，﹣1） C．（﹣2，1） D．（2，1） 【分析】根据关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，可得答案． 【解答】解：点P的坐标是（2，1），则点P关于y轴对称的点的坐标是（﹣2，1）， 故选：C． 【点评】本题考查了关于y轴的对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数． 10．如图，两盏灯笼的位置A，B的坐标分别是（﹣3，3），（1，2），将点B向右平移2个单位，再向上平移1个单位得到点B′，则关于点A，B′的位置描述正确的是（　　） A．关于x轴对称 B．关于y轴对称 C．关于原点O对称 D．关于直线y＝x对称 【分析】根据平移规律确定B′的坐标即可得出结论． 【解答】解：∵点B′由点B（1，2）向右平移2个单位，再向上平移1个单位得到 ∴此时B′坐标为（3，3）． ∴A与B′关于y轴对称． 故选：B． 【点评】本题考查了点的平移规律以及点的对称性，掌握规律轻松解答，属于基础题型． 二．填空题（共5小题） 11．已知a为正整数，点P（4，2﹣a）在第一象限中，则a＝　1　． 【分析】根据平面直角坐标系中第一象限内的点的横、纵坐标都为正数，得到2﹣a＞0，即可求出a的取值范围，再根据a为正整数即可得到a的值． 【解答】解：∵点P（4，2﹣a）在第一象限， ∴2﹣a＞0， ∴a＜2， 又a为正整数， ∴a＝1． 故答案为：1． 【点评】本题主要考查了平面直角坐标系中点的坐标特征，熟知：第一象限内的点的坐标特征是（+，+），第二象限内的点的坐标特征是（﹣，+），第三象限内的点的坐标特征是（﹣，﹣），第四象限内的点的坐标特征是（+，﹣）． 12．如图，是贵阳市城市轨道交通运营部分示意图，以喷水池为原点，分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系，若贵阳北站的坐标是（﹣2，7），则龙洞堡机场的坐标是 　（9，﹣4）　． 【分析】确定平面直角坐标系，即可确定龙洞堡机场的坐标． 【解答】解：由题中条件确定点O即为平面直角坐标系原点， 龙洞堡机场的坐标为（9，﹣4）； 故答案为：（9，﹣4）． 【点评】本题考查根据已知条件确定平面直角坐标系，解题的关键是明确平面直角坐标系x轴、y轴的正方向以及确定点的坐标． 13．画一条水平数轴，以原点O为圆心，过数轴上的每一刻度点画同心圆，过原点O按逆时针方向依次画出与正半轴的角度分别为30°、60°、90°、120°、…、330°的射线，这样就建立了“圆”坐标系．如图，在建立的“圆”坐标系内，我们可以将点A、B、C的坐标分别表示为A（6，60°）、B（5，180°）、C（4，330°），则点D的坐标可以表示为 　（3，150°）　． 【分析】根据题目中给出的方法确定点D的坐标即可． 【解答】解：点D的坐标为（3，150°）． 故答案为：（3，150°）． 【点评】本题考查坐标与图形性质、实数与数轴，掌握“圆”坐标系中坐标的表示方法是解题的关键． 14．点Q的横坐标为一元一次方程3x+7＝32﹣2x的解，纵坐标为a+b的值，其中a，b满足二元一次方程组，则点Q关于y轴对称点Q'的坐标为 　（﹣5，﹣4）　． 【分析】结合已知条件分别求得x，a+b的值，然后根据关于y轴对称的点的坐标性质即可求得答案． 【解答】解：3x+7＝32﹣2x， 移项，合并同类项得：5x＝25， 系数化为1得：x＝5； ①+②得：a+b＝﹣4； 则Q（5，﹣4）， 那么点Q关于y轴对称点Q'的坐标为（﹣5，﹣4）， 故答案为：（﹣5，﹣4）． 【点评】本题考查解一元一次方程及二元一次方程组和关于y轴对称的点的坐标性质，结合已知条件求得x，a+b的值是解题的关键． 15．如图，点P（﹣2，1）与点Q（a，b）关于直线l（y＝﹣1）对称，则a+b＝　﹣5　． 【分析】利用轴对称的性质求出点Q的坐标即可． 【解答】解：∵点P（﹣2，1）与点Q（a，b）关于直线l（y＝﹣1）对称， ∴a＝﹣2，b＝﹣3， ∴a+b＝﹣2﹣3＝﹣5， 故答案为﹣5． 【点评】本题考查坐标与图形变化﹣对称，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 三．解答题（共5小题） 16．在平面直角坐标系中，一蚂蚁从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位．其行走路线如图所示． （1）填写下列各点的坐标： A1（　0　，　1　）， A3（　1　，　0　）， A12（　6　，　0　）； （2）写出点A4n的坐标（n是正整数）； （3）指出蚂蚁从点A100到A101的移动方向． 【分析】（1）在平面直角坐标系中可以直接找出答案； （2）根据求出的各点坐标，得出规律； （3）点A100中的n正好是4的倍数，根据第二问的答案可以分别得出点A100和A101的坐标，所以可以得到蚂蚁从点A100到A101的移动方向． 【解答】解：（1）A1（0，1），A3（1，0），A12（6，0）； （2）当n＝1时，A4（2，0）， 当n＝2时，A8（4，0）， 当n＝3时，A12（6，0）， 所以A4n（2n，0）； （3）点A100中的n正好是4的倍数，所以点A100和A101的坐标分别是A100（50，0），A101（50，1），所以蚂蚁从点A100到A101的移动方向是从下向上． 【点评】本题主要考查的是在平面直角坐标系中确定点的坐标和点的坐标的规律性． 17．常用的确定物体位置的方法有两种．如图，在4×4个边长为1的正方形组成的方格中，标有A，B两点．请你用两种不同方法表述点B相对点A的位置． 【分析】方法1：用有序实数对（a，b）表示；方法2：用方向和距离表示． 【解答】解：方法1：用有序实数对（a，b）表示． 比如：以点A为原点，水平方向为x轴，建立直角坐标系，则B（3，3）． 方法2：用方向和距离表示． 比如：B点位于A点的东北方向（北偏东45°等均可），距离A点3处． 【点评】本题考查了确定物体位置的两种方法．无论运用哪种方法表示一个点在平面中的位置，都要用两个数据才能表示． 18．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（1，m+1），B（a，m+1），C（3，m+3），D（1，m+a），m＞0，1＜a＜3，点P（n﹣m，n）是四边形ABCD内的一点，且△PAD与△PBC的面积相等，求n﹣m的值． 【分析】（方法一）过点P作EF平行于x轴，交AD于点E、BC于点F，由点A、B、C、D、P的坐标可得出AB∥x轴、AD∥y轴、E（1，n），进而可得出AD、PE的长度，根据三角形的面积公式可求出S△PAD（a﹣1）（n﹣m﹣1）、S△PBC＝PF，由点B、C的坐标，利用待定系数法可求出直线BC的解析式，进而可得出点F的坐标以及PF的长度，再根据△PAD与△PBC的面积相等可得出关于n﹣m的一元一次方程，解之即可得出结论． （方法二）根据点A、C的坐标利用待定系数法可求出直线AC的解析式，代入点P的坐标可得出点A、P、C共线，延长AB到点E，作CE丄AE于点E，延长AD到点F，作CF丄AF于点F，根据点A、B、C、D的坐标可得出CF＝CE、AD＝AB，进而可得出四边形AECF是正方形，由AD＝AB结合点P在正方形对角线上可得出S△PAD＝S△PAB，结合△PAD与△PBC的面积相等可得出S△PAB＝S△PBC，再由△PAB与△PBC等高可得出AP＝CP，结合点A、C的坐标即可找出点P的横坐标，此题得解． 【解答】解：（方法一）过点P作EF平行于x轴，交AD于点E、交BC于点F，如图所示． ∵A（1，m+1），B（a，m+1），C（3，m+3），D（1，m+a），P（n﹣m，n）， ∴AB∥x轴，AD∥y轴，E（1，n）， ∴PE＝n﹣m﹣1，AD＝a﹣1，PE⊥AD， ∴S△PADAD•PE（a﹣1）（n﹣m﹣1）． 设△PFC的高为h1，△PFB的高为h2， S△PBC＝S△PFC+S△PFBPF•h1PF•h2PF•（h1+h2）． ∵h1+h2＝m+3﹣（m+1）＝2， ∴S△PBCPF•（h1+h2）＝PF． 设直线BC的解析式为y＝kx+b， 将B（a，m+1）、C（3，m+3）代入y＝kx+b， ，解得：， ∴直线BC的解析式为yx+m+3． 当yx+m+3n时，x3， ∴点F（3，n）， ∴PF3﹣（n﹣m）． ∵S△PAD＝S△PBC， ∴（a﹣1）（n﹣m﹣1）． ∵1＜a＜3， ∴a﹣1≠0， ∴﹣（n﹣m﹣3）＝n﹣m﹣1， 解得：n﹣m＝2． 故答案为：2． （方法二）设直线AC的解析式为y＝kx+b， 将点A（1，m+1）、C（3，m+3）代入y＝kx+b， ，解得：， ∴直线AC的解析式为y＝x+m． 当x＝n﹣m时，y＝x+m＝n， ∴点P（n﹣m，n）在直线AC上，即点A、P、C共线． 延长AB到点E，作CE丄AE于点E，延长AD到点F，作CF丄AF于点F，如图所示． ∵点A（1，m+1），B（a，m+1），C（3，m+3），D（1，m+a）， ∴AD∥y轴，AB∥x轴，CF＝CE＝2，AD＝AB， ∴四边形AECF是正方形， ∴S△PAD＝S△PAB． ∵△PAD与△PBC的面积相等， ∴S△PAB＝S△PBC， ∴AP＝CP， ∴xP＝n﹣m2． 故答案为：2． 【点评】本题考查了坐标与图形的性质、三角形的面积、待定系数法求一次函数解析式以及一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（方法一）根据△PAD与△PBC的面积相等找出关于n﹣m的一元一次方程；（方法二）利用正方形的性质及三角形的面积公式找出点P为线段AC的中点． 19．根据题意，解答下列问题： （1）如图①，已知直线y＝2x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，求线段AB的长； （2）如图②，类比（1）的求解过程，请你通过构造直角三角形的方法，求出两点M（3，4），N（﹣2，﹣1）之间的距离； （3）如图③，P1（x1，y1），P2（x1，y2）是平面直角坐标系内的两点．求证：． 【分析】（1）根据直线y＝2x+4与x轴、y轴交点的特点：与x轴相交时，y＝0，求得x的值；与y轴相交时，x＝0，求得y的值； （2）、（3）通过构造直角三角形的方法，解得MN与P1P2的值． 【解答】（1）解：由y＝0，得x＝﹣2，所以点A的坐标为（﹣2，0），故OA＝2． 同理可得OB＝4． 所以在Rt△AOB中，AB； （2）解：作MP⊥x轴，NP⊥y轴，MP交NP于点P． 则MP⊥NP，P点坐标为（3，﹣1）． 故PM＝4﹣（﹣1）＝5，PN＝3﹣（﹣2）＝5． 所以在Rt△MPN中，MN； （注：若直接运用了（3）的结论不得分．） （3）证明：作P2P⊥x轴，P1P⊥y轴，P2P交P1P于点P． 则P2P⊥P1P，点P的坐标为（x2，y1）． 故P2P＝y2﹣y1，P1P＝x2﹣x1．（不加绝对值符号此处不扣分） 所以在Rt△P2P1P中，． 【点评】本题主要考查一次函数图象与x轴、y轴交点的特点与解直角三角形，同时考查了数形结合思想，综合性很强，值得学生去思考． 20．已知点P（a+1，2a﹣1）关于x轴的对称点在第一象限，求a的取值范围． 【分析】点P（a+1，2a﹣1）关于x轴的对称点在第一象限，则点P（a+1，2a﹣1）在第四象限，符号为（+，﹣）． 【解答】解：依题意得p点在第四象限， ∴， 解得：﹣1＜a， 即a的取值范围是﹣1＜a． 【点评】考查了第一象限的点关于x轴对称的点在第四象限，要学会发散性思考，可以由此题联想到更多的点关于某一坐标轴对称的性质． 学科网（北京）股份有限公司 $$