专题7.2 平行线的判定【八大题型】-【新教材】2024-2025学年七年级数学下册举一反三系列（人教版2024）

专题7.2 平行线的判定【八大题型】 【人教版2024】 【题型1 平行线】 1 【题型2 平行公理及其推论】 2 【题型3 添加条件使两直线平行】 3 【题型4 补充过程使两直线平行】 4 【题型5 直接证明两直线平行】 6 【题型6 旋转使两直线平行】 7 【题型7 平行线的判定的应用】 9 【题型8 作辅助线证平行】 10 知识点1：平行线 在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线，直线a与直线b互相平行，记作“a∥b” 【题型1 平行线】 【例1】（23-24七年级·吉林延边·期中）如图，在的方格纸中，每个小正方形的边长为1，、、均为小正方形的顶点，请仅用无刻度的直尺完成以下操作． (1)过点作的平行线． (2)过点作的平行线，与（1）中的平行线交于点． 【变式1-1】（2023七年级·浙江·专题练习）用数学的眼光看世界，常州地图上太湖东路和龙锦路的一段可以抽象成两条 直线． 【变式1-2】（23-24七年级·广东深圳·期末）在同一平面内有三条不同的直线，若，则a与b的位置关系为（   ） A．相交但不垂直 B．垂直 C．平行 D．无法确定 【变式1-3】（23-24七年级·陕西咸阳·期末）在平面上有9条直线，无任何3条交于一点，则这9条直线的位置关系如何？才能使它们的交点恰好是26个，画出所有可能的情况（要求用直尺画正确）． 知识点2：平行公理及其推论 平行公理：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行. 平行公理的推论：如果两条直线平行于第三条直线,那么这两条直线也平行 【题型2 平行公理及其推论】 【方法技巧】（1）平行公理体现了平行线的存在性和唯一性,平行公理的推论体现了平行线的传递性,它们都可以作为以后推理的依据.（2）平行公理中强调“经过直线外一点”,而垂线性质中只要求“经过一点”,不限定点是否在直线上. 【例2】（23-24七年级·山东临沂·期末）按下列要求画图，只能画出一条直线的是（    ） 过点P画与直线l垂直的直线    过点P画与直线l相交的直线     过点P画与l平行的直线 ①                                   ②                               ③ A．①②③ B．②③ C．①② D．①③ 【变式2-1】（23-24七年级·全国·阶段练习）下列说法正确的是(   ) A．在同一平面内，a，b，c是直线，且，则 B．在同一平面内，a，b，c是直线，且，则 C．在同一平面内，a，b，c是直线，且，则 D．在同一平面内，a，b，c是直线，且，则 【变式2-2】（23-24七年级·浙江·课后作业）如图，在同一平面内，经过直线m外一点O的四条直线中，与直线m相交的直线最少有（ ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【变式2-3】（23-24七年级·广东深圳·期末）如图1，杆秤是中国最古老也是现今人们仍然在使用的衡量工具，它利用杠杆原理来称物体的质量，由木制的带有秤星的秤杆、金属秤砣、提绳等组成．如图2，是杆秤的示意图，，，经测量发现，则的度数是 度． 知识点3：平行线的判定 ①两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.（同位角相等，两直线平行）. ②两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行. （内错角相等，两直线平行. ③两直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，则这两条直线平行.（同旁内角互补，两直线平行.） 【题型3 添加条件使两直线平行】 【例3】（23-24七年级·山东威海·期末）如图，已知，下列条件：①；②；③；④．其中能判断的有（     ）个        A．1 B．2 C．3 D．4 【变式3-1】（23-24七年级·陕西咸阳·期末）如图，在四边形中，点是延长线上一点，请添加一个条件，使，那么可以添加的条件是 （写出一个即可）． 【变式3-2】（23-24七年级·四川阿坝·期末）如图，下列条件中，能判断直线的是（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】（23-24七年级·河北廊坊·期末）如图，下列条件．①；②；③；④中，能判断直线 的有 ．（填序号即可） 【题型4 补充过程使两直线平行】 【例4】（23-24七年级·广东清远·期末）把下列的推理过程补充完整，并在括号里填上推理的依据： 如图，，，平分，试说明：． 解：因为平分， 所以　　　　　　 （             ）       又因为（ 已 知 ） ， 所以（等量代换） ． 所以　　　　　 （                         ）， 所以（                             ）． 又因为（ 已 知 ） ， 所以　　　　　　　　（             ）， 所以（                ） 【变式4-1】（23-24七年级·四川泸州·期末）已知：如图，，和互余，于点．求证： 请将下面的推理过程补充完整． 证明：∵（已知）， ∴（ ）， ∴ ， 又∵和互余（已知）， ∴ ， ∴ （ ）， ∵（已知）， ∴， ∴（ ，两直线平行）． 【变式4-2】（23-24七年级·河北石家庄·阶段练习）把下面的说理过程补充完整： 已知，如图，直线AB，CD被直线EF所截，点H为CD与EF的交点，GH⊥CD于点H，∠2＝30°，∠1＝60°．试说明：． 解：∵GH⊥CD（ ）， ∴∠CHG＝90°（ ）． 又∵∠2＝30°（ ）， ∴∠3＝（ ）． ∴∠4＝60°（ ）． 又∵∠1＝60°（ ）， ∴∠1＝∠4（ ）． ∴（ ）． 【变式4-3】（23-24七年级·重庆九龙坡·阶段练习）如图，，平分，平分，． 求证：． 证明：平分，平分（已知） __________，__________．（    ） 又，（已知） ____________________．（等量代换） 又，（已知） ____________________．（等量代换） ∴．（__________） 【题型5 直接证明两直线平行】 【方法技巧】（1）已知角相等导角证平行.（2）通过角的数量关系证平行.（3）通过同角(等角)的余角相等,对顶角相等,角平分线得等角,再证平行. 【例5】（23-24七年级·陕西延安·期末）如图，已知，交于点D，平分，，求证：．    【变式5-1】（23-24七年级·全国·期末）如图，已知，，，试确定直线与的位置关系，并说明理由． 【变式5-2】（23-24七年级·江苏常州·期末）已知：如图，，求证：． 【变式5-3】（23-24七年级·甘肃武威·期末）如图，点O在直线上，平分，平分，F是上一点，连接． (1)求证：； (2)若与互余，求证：． 【题型6 旋转使两直线平行】 【例6】（24-25七年级·全国·课后作业）如图，三根木棒钉在一起，交点分别为．现将木棒分别绕点顺时针旋转，同时开始，速度分别为和，当两根木棒都转满了一周时，它们同时停止转动．转动 s时，木棒平行．    【变式6-1】（23-24七年级·山西运城·期末）如图，木棒AB、CD与EF分别在G、H处用可旋转的螺丝铆住，，，将木棒AB绕点G逆时针旋转到与木棒CD平行的位置，则至少要旋转（    ）． A．10° B．20° C．30° D．40° 【变式6-2】（2024·河北秦皇岛·一模）如图，直线，a与c交于点P．若，则 ．将直线a能点P逆时针旋转 °（旋转角度小于）后可使直线． 【变式6-3】（23-24七年级·安徽六安·期末）两块不同的三角板按如图1所示摆放，边与边重合，，接着如图2保持三角板不动，将三角板绕着点（点不动）按顺时针（如图标示方向）旋转，在旋转的过程中，逐渐增大，当第一次等于时，停止旋转，在此旋转过程中， 时，三角板有一条边与三角板的一条边恰好平行．    【题型7 平行线的判定的应用】 【例7】（2024七年级·全国·专题练习）光线从空气中射入水中会产生折射现象，同时光线从水中射入空气中也会产生折射现象，如图，光线a从空气中射入水中，再从水中射入空气中，形成光线b，根据光学知识有，，请判断光线a与光线b是否平行，并说明理由． 【变式7-1】（23-24七年级·全国·课后作业）在铺设铁轨时，两条直轨必须是互相平行的．如图，已经知道是直角，那么再度量图中已标出的哪个角，就可以判断两条直轨是否平行？为什么？ 【变式7-2】（23-24七年级·福建三明·期末）如图，为判断一段纸带的两边a，b是否平行，小亮在纸带两边a，b上分别取点A，B，并连接．下列条件中能判断的是（     ） A． B． C． D． 【变式7-3】（23-24七年级·山西太原·期中）在后稷故里稷山县，有个流传三千多年的独特年俗，就是除夕日农民在自家院子地面上绘“麦囤”图案，以期风调雨顺，四时平安，五谷丰登．如图1是“麦囤”示意图，乐乐为了验证“麦囤”图案中一组线段是否平行，测量了其中一些角的度数，如图2，其中能说明的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【题型8 作辅助线证平行】 【方法技巧】有些平行线的证明,无法直接导出相等角,此时考虑连线或作平行线转化角. 【例8】（23-24七年级·湖北武汉·期中）如图、已知，，且线段的延长线平分的邻补角．    (1)求证：； (2)若射线绕点D以每秒的速度逆时针方向旋转得，同时，射线绕点B以每秒的速度逆时针方向旋转得，和交于点G，设旋转时间为t秒． ①当，且时，求t的值； ②当，，则t的值是___________． 【变式8-1】（23-24七年级·重庆北碚·期中）如图，在四边形中，点在上，平分，，． (1)求证：； (2)若平分交的延长线于点，交于点，交于点，，，求的度数． 【变式8-2】（23-24七年级·浙江温州·期中）已知：，E、G是上的点，F、H是上的点, (1)如图1，求证：； (2)如图2，过F点作交延长线于点M，作的角平分线交于点N，求的度数； (3)如图3，在（2）的条件下，作的角平分线交于点Q，若，则 ． 【变式8-3】（23-24七年级·广东韶关·期中）如图直线与直线分别交于E，F，且与互补，O为线段上一点．    (1)求证：． (2)如图1，已知平分，平分，求的大小． (3)将图1中的射线绕O点顺时针转一个角度α（）至与交于，其它图线保持不变，如图2所示，作的平分线与的平分线交于，求的大小（用含α的代数式表示）． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题7.2 平行线的判定【八大题型】 【人教版2024】 【题型1 平行线】 1 【题型2 平行公理及其推论】 3 【题型3 添加条件使两直线平行】 6 【题型4 补充过程使两直线平行】 8 【题型5 直接证明两直线平行】 12 【题型6 旋转使两直线平行】 14 【题型7 平行线的判定的应用】 17 【题型8 作辅助线证平行】 20 知识点1：平行线 在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线，直线a与直线b互相平行，记作“a∥b” 【题型1 平行线】 【例1】（23-24七年级·吉林延边·期中）如图，在的方格纸中，每个小正方形的边长为1，、、均为小正方形的顶点，请仅用无刻度的直尺完成以下操作． (1)过点作的平行线． (2)过点作的平行线，与（1）中的平行线交于点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了作平行线．熟练掌握作平行线是解题的关键． （1）过作水平线即可； （2）格点向上2个格点，向左2个格点为，连接即可． 【详解】（1）解：过作水平线，如图1，，即为所作；              图1 （2）解：如图2，格点向上2个格点，向左2个格点为，连接，，点即为所作；              图2 【变式1-1】（2023七年级·浙江·专题练习）用数学的眼光看世界，常州地图上太湖东路和龙锦路的一段可以抽象成两条 直线． 【答案】平行 【分析】根据平行线的定义，进行判断即可． 【详解】解：由平行线的定义可知，常州地图上太湖东路和龙锦路的一段可以抽象成两条平行直线， 故答案为：平行． 【点睛】本题考查平面内两条直线的位置关系．熟练掌握同一平面内，不相交的两条直线是平行线，是解题的关键． 【变式1-2】（23-24七年级·广东深圳·期末）在同一平面内有三条不同的直线，若，则a与b的位置关系为（   ） A．相交但不垂直 B．垂直 C．平行 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题主要考查垂直的定义，熟练掌握垂直的定义是解题关键．根据在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，即可得出结果． 【详解】在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行． ， 故选：C． 【变式1-3】（23-24七年级·陕西咸阳·期末）在平面上有9条直线，无任何3条交于一点，则这9条直线的位置关系如何？才能使它们的交点恰好是26个，画出所有可能的情况（要求用直尺画正确）． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了平行线和相交线．从平行线的角度考虑，先考虑二条直线都平行，再考虑三条、四条、五条平行， 【详解】解∶这9条直线的位置关系为∶两两相交或平行， 有两种情况，分别如下∶ 知识点2：平行公理及其推论 平行公理：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行. 平行公理的推论：如果两条直线平行于第三条直线,那么这两条直线也平行 【题型2 平行公理及其推论】 【方法技巧】（1）平行公理体现了平行线的存在性和唯一性,平行公理的推论体现了平行线的传递性,它们都可以作为以后推理的依据.（2）平行公理中强调“经过直线外一点”,而垂线性质中只要求“经过一点”,不限定点是否在直线上. 【例2】（23-24七年级·山东临沂·期末）按下列要求画图，只能画出一条直线的是（    ） 过点P画与直线l垂直的直线    过点P画与直线l相交的直线     过点P画与l平行的直线 ①                                   ②                               ③ A．①②③ B．②③ C．①② D．①③ 【答案】D 【分析】本题考查平行公理和垂直，根据“在同一平面内，过直线外一点只能作一条直线与已知直线垂直”和“在同一平面内，过直线外一点只能作一条直线与已知直线平行”即可解答． 【详解】在同一平面内，过直线外一点只能作一条直线与已知直线垂直，故①只能画出一条直线； 在同一平面内，过直线外一点能作无数条直线与已知直线相交，故②能画出无数条直线； 在同一平面内，过直线外一点只能作一条直线与已知直线平行，故③只能画出一条直线； 故选：D． 【变式2-1】（23-24七年级·全国·阶段练习）下列说法正确的是(   ) A．在同一平面内，a，b，c是直线，且，则 B．在同一平面内，a，b，c是直线，且，则 C．在同一平面内，a，b，c是直线，且，则 D．在同一平面内，a，b，c是直线，且，则 【答案】A 【分析】根据每个选项的描述，画出图形，进行判断即可． 【详解】解：根据每个选项的描述，画出图形，图形如下图所示： 根据所画图形可知A选项正确，符合题意，B、C、D选项错误，不符合题意． 故选A． 【点睛】本题考查平行线的判定．熟练掌握同一平面内，平行于同一条直线的两直线平行，垂直于同一条直线的两直线平行，是解题的关键．采用数形结合的思想可以快速解题. 【变式2-2】（23-24七年级·浙江·课后作业）如图，在同一平面内，经过直线m外一点O的四条直线中，与直线m相交的直线最少有（ ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】C 【分析】本题考查了平行公理及推论，注意：经过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行． 根据经过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行得出即可． 【详解】解：根据经过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行，得出如果有和直线m平行的，只能是一条， 图中共计4条直线，则与直线m相交的直线至少有3条． 故选：C． 【变式2-3】（23-24七年级·广东深圳·期末）如图1，杆秤是中国最古老也是现今人们仍然在使用的衡量工具，它利用杠杆原理来称物体的质量，由木制的带有秤星的秤杆、金属秤砣、提绳等组成．如图2，是杆秤的示意图，，，经测量发现，则的度数是 度． 【答案】74 【分析】本题考查邻补角的定义，平行公理的推论，平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．先根据邻补角的定义求出，再根据平行公理的推论得出，最后平行线的性质得到，即可求解． 【详解】解：∵， ∴ ∵，， ∴ ∴ 故答案为：74． 知识点3：平行线的判定 ①两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.（同位角相等，两直线平行）. ②两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行. （内错角相等，两直线平行. ③两直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，则这两条直线平行.（同旁内角互补，两直线平行.） 【题型3 添加条件使两直线平行】 【例3】（23-24七年级·山东威海·期末）如图，已知，下列条件：①；②；③；④．其中能判断的有（     ）个        A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的判定及性质，根据平行线的判定方法逐项分析即可．正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键，不能遇到相等或互补关系的角就误认为具有平行关系，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行． 【详解】解：∵， ∴， ①∵，则， ∴，故符合题意； ②，无法判断，故不符合题意； ③∵，， ∴， ∴，故符合题意； ④，无法判断，故不符合题意； 综上，①③都能判定， 故选：B． 【变式3-1】（23-24七年级·陕西咸阳·期末）如图，在四边形中，点是延长线上一点，请添加一个条件，使，那么可以添加的条件是 （写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了平行线的判定：内错角相等，两直线平行，根据内错角相等，两直线平行，即可求解． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：（答案不唯一）． 【变式3-2】（23-24七年级·四川阿坝·期末）如图，下列条件中，能判断直线的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了平行线的判定定理，根据平行线的判定定理依次分析并判断． 【详解】解：∵，∴，故A选项不符合题意； ∵，∴，故B选项符合题意； 由，不能证明哪两条直线平行，故C选项不符合题意； 由不能证明哪两条直线平行，故D选项不符合题意； 故选：B． 【变式3-3】（23-24七年级·河北廊坊·期末）如图，下列条件．①；②；③；④中，能判断直线 的有 ．（填序号即可） 【答案】①③④ 【分析】此题考查了平行线的判定，根据平行线的判定进行判断即可． 【详解】①∵， ∴（内错角相等，两直线平行）， ②不能判断； ③∵， ∴（同位角相等，两直线平行）， ④∵， ∴（同旁内角互补，两直线平行）， 故答案为：①③④ 【题型4 补充过程使两直线平行】 【例4】（23-24七年级·广东清远·期末）把下列的推理过程补充完整，并在括号里填上推理的依据： 如图，，，平分，试说明：． 解：因为平分， 所以　　　　　　 （             ）       又因为（ 已 知 ） ， 所以（等量代换） ． 所以　　　　　 （                         ）， 所以（                             ）． 又因为（ 已 知 ） ， 所以　　　　　　　　（             ）， 所以（                ） 【答案】，角平分线的定义；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；；同角的补角相等；同位角相等，两直线平行 【分析】本题考查的是平行线的判定和性质，根据题意、结合图形，根据平行线的判定定理和性质定理解答即可． 【详解】解：因为平分， 所以∠1=∠2（角平分线的定义），       又因为（ 已 知 ） ， 所以（等量代换） ． 所以（内错角相等，两直线平行）， 所以（ 两直线平行，同旁内角互补）． 又因为（ 已 知 ） ， 所以（同角的补角相等）， 所以（ 同位角相等，两直线平行）， 故答案为：，角平分线的定义；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；；同角的补角相等；同位角相等，两直线平行． 【变式4-1】（23-24七年级·四川泸州·期末）已知：如图，，和互余，于点．求证： 请将下面的推理过程补充完整． 证明：∵（已知）， ∴（ ）， ∴ ， 又∵和互余（已知）， ∴ ， ∴ （ ）， ∵（已知）， ∴， ∴（ ，两直线平行）． 【答案】垂直的定义；；；；同角的余角相等；内错角相等 【分析】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解本题的关键．两条直线被第三条所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简单说成：内错角相等，两直线平行．由，和互余，利用垂直的定义和同角的余角相等得到，再由，可得，利用内错角相等两直线平行即可得证． 【详解】证明：∵（已知）， ∴（垂直的定义）， ∴， 又∵和互余（已知）， ∴， ∴（同角的余角相等）， ∵（已知）， ∴， ∴（内错角相等，两直线平行）． 故答案为：垂直的定义；；；；同角的余角相等；内错角相等． 【变式4-2】（23-24七年级·河北石家庄·阶段练习）把下面的说理过程补充完整： 已知，如图，直线AB，CD被直线EF所截，点H为CD与EF的交点，GH⊥CD于点H，∠2＝30°，∠1＝60°．试说明：． 解：∵GH⊥CD（ ）， ∴∠CHG＝90°（ ）． 又∵∠2＝30°（ ）， ∴∠3＝（ ）． ∴∠4＝60°（ ）． 又∵∠1＝60°（ ）， ∴∠1＝∠4（ ）． ∴（ ）． 【答案】已知；垂直定义；已知；60°；对顶角相等；已知；等量代换；同位角相等，两直线平行． 【分析】要证AB∥CD，只需证∠1＝∠4，由已知条件结合垂线定义和对顶角性质，易得∠4＝60°，故本题得证． 【详解】解：∵GH⊥CD（已知）， ∴∠CHG＝90°（垂直定义）． 又∵∠2＝30°（已知）， ∴∠3＝60°． ∴∠4＝60°（对顶角相等）． 又∵∠1＝60°（已知）， ∴∠1＝∠4（等量代换）． ∴（同位角相等，两直线平行）． 【点睛】此题考查了平行线的判定，熟记“同位角相等，两直线平行”是解题的关键． 【变式4-3】（23-24七年级·重庆九龙坡·阶段练习）如图，，平分，平分，． 求证：． 证明：平分，平分（已知） __________，__________．（    ） 又，（已知） ____________________．（等量代换） 又，（已知） ____________________．（等量代换） ∴．（__________） 【答案】；；角平分线的定义；；；；；同位角相等，两直线平行 【分析】本题考查了角平分线的定义及平行线的判定，根据角平分线的定义得，，进而可证，再根据平行线的判定即可求证结论，熟练掌握相关判定及性质是解题的关键． 【详解】证明：平分，平分， ，（角平分线的定义）， 又∵， （等量代换）， 又， （等量代换）， ∴（同位角相等，两直线平行）． 故答案为： ；；角平分线的定义；；；；；同位角相等，两直线平行． 【题型5 直接证明两直线平行】 【方法技巧】（1）已知角相等导角证平行.（2）通过角的数量关系证平行.（3）通过同角(等角)的余角相等,对顶角相等,角平分线得等角,再证平行. 【例5】（23-24七年级·陕西延安·期末）如图，已知，交于点D，平分，，求证：．    【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了平行线的判定，角平分线的定义，先由角平分线的定义得到，再由平角的定义得到，则可由同位角相等，两直线平行证明． 【详解】证明：∵平分，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式5-1】（23-24七年级·全国·期末）如图，已知，，，试确定直线与的位置关系，并说明理由． 【答案】，理由见解析 【分析】本题考查垂直的定义、平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键．先通过垂直和已知条件得到，即可判定得出两直线平行． 【详解】解：，理由如下： ∵，， ∴， ∵， ∴， 即， ∴． 【变式5-2】（23-24七年级·江苏常州·期末）已知：如图，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，先根据已知得，从而利用平行线的性质可得，然后利用等量代换可得，从而利用同旁内角互补，两直线平行可得，即可解答． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式5-3】（23-24七年级·甘肃武威·期末）如图，点O在直线上，平分，平分，F是上一点，连接． (1)求证：； (2)若与互余，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查与角平分线有关的计算，互余，平行线的判定： （1）根据角平分线的定义和平角的定义，即可得证； （2）根据同角的余角相等，得到，即可得证． 【详解】（1）证明：∵平分，平分， ∴， ∵， ∴， 即：， ∴； （2）证明：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【题型6 旋转使两直线平行】 【例6】（24-25七年级·全国·课后作业）如图，三根木棒钉在一起，交点分别为．现将木棒分别绕点顺时针旋转，同时开始，速度分别为和，当两根木棒都转满了一周时，它们同时停止转动．转动 s时，木棒平行．    【答案】或或或 【分析】本题主要考查了平行线的判定，一元一次方程的应用，利用分类讨论的思想，准确找出角度之间的数量关系是解题关键． 设经过t秒时木棒a，b平行，分情况讨论：当秒时；当秒时；当时；当时，利用同位角相等两直线平行，列方程求解即可得到答案 【详解】解：设经过t秒时木棒a，b平行，根据题意得： 当秒时，，解得：； 当秒时，，解得：； 当秒时，木棒a停止运动， 当时，，解得：，不符合题意； 当时，，解得：； ，解得：， 当时，木棒b停止运动， 综上所述，经过3或21或75或165秒时木棒a，b平行， 故答案为：或或或． 【变式6-1】（23-24七年级·山西运城·期末）如图，木棒AB、CD与EF分别在G、H处用可旋转的螺丝铆住，，，将木棒AB绕点G逆时针旋转到与木棒CD平行的位置，则至少要旋转（    ）． A．10° B．20° C．30° D．40° 【答案】B 【分析】由平行线的判定“同位角相等，两直线平行”可知，∠EGB＝∠EHD时，AB∥CD，即∠EGB需要变小20°，即将木棒AB绕点G逆时针旋转20°即可． 【详解】解：当∠EGB＝∠EHD时，AB∥CD， ∵∠EGB＝100°，∠EHD＝80°， ∴∠EGB需要变小20°，即将木棒AB绕点G逆时针旋转20°． 故选：B． 【点睛】本题主要考查平行线的性质与判定，熟知相关定理是解题基础． 【变式6-2】（2024·河北秦皇岛·一模）如图，直线，a与c交于点P．若，则 ．将直线a能点P逆时针旋转 °（旋转角度小于）后可使直线． 【答案】 90 【分析】本题考查了平行线的性质，垂直的定义；根据两直线平行，同位角相等可得的度数，再根据垂直的定义即可解决问题． 【详解】解：∵ ∴； ∵ ∴直线a能点P逆时针旋转后可使直线 故答案为：，90． 【变式6-3】（23-24七年级·安徽六安·期末）两块不同的三角板按如图1所示摆放，边与边重合，，接着如图2保持三角板不动，将三角板绕着点（点不动）按顺时针（如图标示方向）旋转，在旋转的过程中，逐渐增大，当第一次等于时，停止旋转，在此旋转过程中， 时，三角板有一条边与三角板的一条边恰好平行．    【答案】或 【分析】分和两种情况求解． 【详解】当时， ∵， ∴， ∵， ； 当时， ∵， ； 故答案为：或． 【点睛】本题考查了平行线的性质，三角板中的计算，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 【题型7 平行线的判定的应用】 【例7】（2024七年级·全国·专题练习）光线从空气中射入水中会产生折射现象，同时光线从水中射入空气中也会产生折射现象，如图，光线a从空气中射入水中，再从水中射入空气中，形成光线b，根据光学知识有，，请判断光线a与光线b是否平行，并说明理由． 【答案】平行，理由见解析 【分析】根据等角的补角相等求出与的补角相等，再根据，结合内错角相等，两直线平行即可判定． 【详解】解：平行，理由如下： 如图，， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了平行线的判定，解决本题的关键是掌握平行线的判定． 【变式7-1】（23-24七年级·全国·课后作业）在铺设铁轨时，两条直轨必须是互相平行的．如图，已经知道是直角，那么再度量图中已标出的哪个角，就可以判断两条直轨是否平行？为什么？ 【答案】或或；理由见解析 【分析】因为是直角，只要找出与互为同位角、内错角、同旁内角的其他角，根据判定定理判定即可得到正确答案． 【详解】因为是直角，和是同位角，如果度量出，根据“同位角相等，两直线平行”，就可以判断两条直轨平行．类似地，和是内错角，和是同旁内角，如果度量出它们是直角，也可以判断两条直轨平行． 【点睛】本题考查两直线平行的判定定理，根据定理内容解题是关键． 【变式7-2】（23-24七年级·福建三明·期末）如图，为判断一段纸带的两边a，b是否平行，小亮在纸带两边a，b上分别取点A，B，并连接．下列条件中能判断的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的判定定理，熟知：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；是解本题的关键．根据平行线的判定定理进行判断即可． 【详解】解：A、，和邻补角，不能证明； B、，和是同旁内角，同旁内角相等不能证明； C、，根据同旁内角互补，能证明； D、，与邻补角，不能证明． 故选：C． 【变式7-3】（23-24七年级·山西太原·期中）在后稷故里稷山县，有个流传三千多年的独特年俗，就是除夕日农民在自家院子地面上绘“麦囤”图案，以期风调雨顺，四时平安，五谷丰登．如图1是“麦囤”示意图，乐乐为了验证“麦囤”图案中一组线段是否平行，测量了其中一些角的度数，如图2，其中能说明的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的判定，根据同位角相等或内错角相等或同旁内角互补等方式，都能判定两直线平行，据此逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、∵，且与不是同位角、内错角、同旁内角这类关系，∴不能说明，故该选项是错误的； B、∵，，∴（同旁内角互补，两直线平行），说明，故该选项是正确的； C、∵，，且与是内错角，但不相等，∴不能说明，故该选项是错误的； D、∵，，且与是同旁内角，但不互补，∴不能说明，故该选项是错误的； 故选：B． 【题型8 作辅助线证平行】 【方法技巧】有些平行线的证明,无法直接导出相等角,此时考虑连线或作平行线转化角. 【例8】（23-24七年级·湖北武汉·期中）如图、已知，，且线段的延长线平分的邻补角．    (1)求证：； (2)若射线绕点D以每秒的速度逆时针方向旋转得，同时，射线绕点B以每秒的速度逆时针方向旋转得，和交于点G，设旋转时间为t秒． ①当，且时，求t的值； ②当，，则t的值是___________． 【答案】(1)见解析 (2)①；②32或50 【分析】（1）先求出，再由角平分线的定义得到，则，由此即可证明； （2）①如图所示，过点G作，则，由平行线的性质得到，，则，再由 ， 得到，解方程即可；②分图2-1和图2-2，过点G作，则，利用平行线的性质求出，的度数，然后根据建立方程求解即可． 【详解】（1）证明：∵是的邻补角，， ∴， 又∵平分． ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：①∵ ∴， 如图所示，过点G作， 又∵     ∴， ∴，， ∴    又∵， ∴， ∴； ②如图2-1所示，当时，过点G作， 又∵     ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， 解得；    如图2-2所示， 由（2）①， ∴， ∵， ∴ 解得； 综上所述，t的值为或50．    【点睛】本题主要考查了平行线的性质，角平分线定义，利用分类讨论的思想是解题的关键． 【变式8-1】（23-24七年级·重庆北碚·期中）如图，在四边形中，点在上，平分，，． (1)求证：； (2)若平分交的延长线于点，交于点，交于点，，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了角平分线，平行线的判定与性质．熟练掌握角平分线，平行线的判定与性质是解题的关键． （1）由，可得，由平分，可得，则，，进而可证； （2）由（1）知，则，由平分，可得，由，，可得，，如图，过作，则，，根据，计算求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：由（1）知， ∴， ∵平分， ∴， ∵，， ∴，， 如图，过作， ∴，， ∴， ∴的度数为． 【变式8-2】（23-24七年级·浙江温州·期中）已知：，E、G是上的点，F、H是上的点, (1)如图1，求证：； (2)如图2，过F点作交延长线于点M，作的角平分线交于点N，求的度数； (3)如图3，在（2）的条件下，作的角平分线交于点Q，若，则 ． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质、垂直的定义、角平分线定义等知识． （1）由平行线的性质得，再由内错角相等得出； （2）过点N作，设角度，由平行线的性质和角平分线的性质即可得出结论； （3）由结合前面（2）的结论，求出角度可得． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：如图2，过点N作， ∴， ∴， 设， ∵分别平分， ∴， 又∵， ∴ 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， （3）解：， ∵，即 ∴ ∴， ∴， 又∵和是角平分线， ∴， ∴， 又∵， ∴． 故答案为：． 【变式8-3】（23-24七年级·广东韶关·期中）如图直线与直线分别交于E，F，且与互补，O为线段上一点．    (1)求证：． (2)如图1，已知平分，平分，求的大小． (3)将图1中的射线绕O点顺时针转一个角度α（）至与交于，其它图线保持不变，如图2所示，作的平分线与的平分线交于，求的大小（用含α的代数式表示）． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）与互补，则，而，可得，进而判定． （2）由得，由平分，平分得，，由三角形内角和定理可得结果． （3）过点O作，过点作，得到，，又由平分，平分，得到，从而得到结果． 【详解】（1）∵与互补， ∴， 又∵， ∴， ∴． （2）由（1）得，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴； （3）如图，过点O作，过点作，    ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∵平分，平分， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，余角和补角，正确添加平行线，熟练运用平行线的判定与性质是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$