精品解析：福建省泉州市晋江市养正中学2024-2025学年八年级上学期第二次月考数学试卷

2024-2025学年福建省泉州市晋江市养正中学八年级（上）第二次月考数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各数为无理数的是（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了无理数的知识；解题的关键是熟练掌握无理数的定义：无限不循环小数是无理数．根据无理数的定义，对各个选项逐个分析，即可得到答案． 【详解】A、0是有理数，故选项A不符合题意， B、是无理数，故选项B符合题意， C、3.14为有理数，故选项C不符合题意， D、是有理数，故选项D符合题意， 故选：B． 2. 多项式8a3b2+12ab3c的公因式是（ ） A. abc B. 4ab2 C. ab2 D. 4ab2c 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用公因式的定义分析得出答案． 【详解】解：多项式8a3b2+12ab3c的公因式是：4ab2． 故选：B． 【点睛】此题考查的是公因式的定义，找公因式的要点是：（1）公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数；（2）字母取各项都含有的相同字母；（3）相同字母的指数取次数最低的． 3. 下列各式中，计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查整式的运算，包括幂的运算性质，如同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方等．需根据运算法则逐一判断． 【详解】解：∵选项A：不是同类项，不能合并，故错误； ∵选项B：，故正确； ∵选项C：，故错误； ∵ 选项D：，故错误． ∴故选B． 4. 工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法是：如图在的边上分别取，移动角尺，使角尺的两边相同的刻度分别与M、N重合，得到的平分线，做法中用到三角形全等的判定方法是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定．已知两三角形三边分别相等，可考虑证明三角形全等，从而证明角相等． 【详解】解：做法中用到的三角形全等的判定方法是． 证明如下： 由题意得，， 在和△中， ， ∴， ∴， 故为的平分线． 故选：A． 5. 下列命题的逆命题成立的是（ ） A. 如果两个实数相等，那么它们的平方相等 B. 全等三角形的对应边相等 C. 如果两个角是直角，那么它们相等 D. 等边三角形是锐角三角形 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了命题，分别写出原命题的逆命题，再进行判断真假即可求解，掌握相关知识点是解题的关键． 【详解】解：、原命题的逆命题是如果两个实数的平方相等，那么两个实数相等，是假命题； 、原命题的逆命题是对应边相等的两个三角形全等，是真命题； 、原命题的逆命题是如果两个角相等，那么两个角是直角，是假命题； 、原命题的逆命题是锐角三角形是等边三角形，是假命题； 故选：． 6. 已知等腰三角形的一个内角为，则这个等腰三角形的顶角为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的定义、三角形的内角和定理，分这个角是等腰三角形的顶角和这个角是等腰三角形的底角两种情况，再根据三角形的内角和定理即可得． 【详解】由题意，分以下两种情况： （1）当这个角是等腰三角形的顶角，则这个等腰三角形的顶角为； （2）当这个角是等腰三角形的底角，由三角形的内角和定理得：这个等腰三角形的顶角为； 综上，这个等腰三角形的顶角为或， 故选：D． 7. 下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义是解此题的关键， 根据因式分解的定义逐个判断即可． 【详解】A．从等式的左边到右边的变形属于整式乘法不属于因式分解，故本选项不符合题意； B．从等式的左边到右边的变形是错误，是因式分解错误，故本选项不符合题意； C．从左边到右边的变形属于因式分解，故本选项符合题意； D．从等式的左边到右边的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意； 故选：C． 8. 如图，在中，的角平分线与的角平分线交于点，过点作的平行线分别交、于点、，若与的周长分别、，则的长为(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的定义及平行线的性质，等角对等边；根据角平分线的定义及平行线的性质，得出，，据此得出，，进而得出的周长为，据此可解决问题． 【详解】解：平分， ． ， ， ， ． 同理可得，， ， 的周长为． 与的周长分别、， ， 即． 故选：D． 9. 如图，三角形纸片中，，，，沿和将纸片折叠，使点和点都落在边上的点处，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，掌握折叠的性质以及勾股定理是解题的关键． 根据题意可得，，，可得，继而设，则，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：∵沿纸片折叠，使点B落在边上的点P处， ∴，， ∵折叠纸片，使点C与点P重合， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中， 由勾股定理得 ∴， 解得，即， ∴， 故选：B． 10. 已知：如图，和都是等边三角形，D是延长线上一点，与相交于点P，相交于点M，相交于点N，则下列五个结论：（1）；（2）；（3）；（4）是等边三角形；（5）连接，则平分，其中，正确的是（ ） A. （1）（3）（4） B. （1）（2）（3） C. （1）（2）（4）（5） D. （1）（3）（4）（5） 【答案】D 【解析】 【分析】此题重点考查等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的性质等知识，证明是解题的关键．由等边三角形的性质得，，，则，，可证明，得，，可判断（1）正确；再证明，得，，所以，可判断（2）错误；因为，且，所以，可判断（3）正确；由，，证明是等边三角形，可判断（4）正确；作于点L，于点H，则，所以，则点C在的平分线上，所以平分，可判断（5）正确，于是得到问题的答案． 【详解】 解：和都是等边三角形，点D在延长线上， ，，， ，， ， 在和中， ， ， ，， 故（1）正确； 在和中， ， ， ，， ， 故（2）错误； ，且， ， 故（3）正确； ，， 是等边三角形， 故（4）正确； 作于点L，于点H， ， ， ， ， 点C在的平分线上， 平分， 故（5）正确， 故选：D． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. __________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根的知识，掌握算术平方根的概念是关键． 根据算术平方根的概念求解即可． 【详解】解： 故答案为： ． 12. 已知则=_______． 【答案】16 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘法，可得答案． 【详解】解：． 故答案为16． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，能逆用公式是解题的关键． 13. 如图，D，E是边上的两点，，现要直接用“”定理来证明，请你再添加一个条件：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，根据题意可知需要条件的条件是一边对应相等（使相等的角和两组相等的边的夹角），据此可得答案． 【详解】解：根据题意可知有一边和一角已经对应线段，则要直接用“”定理来证明需要条件的条件是一边对应相等（使相等的角和两组相等的边的夹角），即添加， 故答案为：． 14. 若二次三项式是一个完全平方式，那么的值是_________. 【答案】 【解析】 【详解】∵二次三项式是一个完全平方式， ∴=64， 解得：m=±8. 故答案为±8. 15. 如图，已知正方形ABCD的面积为4，正方形FHIJ的面积为3，点D、C、G、J、I在同一水平面上，则正方形BEFG的面积为__________． 【答案】7 【解析】 【分析】由正方形的性质及“一线三等角“得出条件，判定△BCG≌△GJF（AAS），则BC=GJ，根据正方形ABCD的面积为4，正方形FHIJ的面积为3，以及勾股定理可得答案． 【详解】解：∵∠BGC+∠FGJ=90°，∠GFJ+∠FGJ =90° ∴∠BGC =∠GFJ ∵∠BCG=∠GJF，BG=GF ∴△BCG≌△GJF ∴CG=FJ，BC=GJ， ∴BG2=BC2+CG2=BC2+FJ2 ∴正方形DEFG的面积=正方形ABCD的面积+正方形FHIJ的面积=4+3=7． 故答案为：7． 【点睛】本题主要考查了勾股定理在几何图形中的应用，数形结合并熟练掌握相关性质及定理是解题的关键． 16. 设实数满足，若，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是因式分解的应用，熟练掌握换元法是解题的关键．利用换元法，由已知可得，代入进行降次计算可得，进而可得：，，，，再代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ， 又∵， ∴ ， ，，， ， 故答案为：． 三、计算题：本大题共1小题，共10分． 17. 已知，，且与的3倍的差的值与的取值无关，求代数式的值． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意先计算，根据与的取值无关，求得的值，然后根据整式的乘法化简代数式，将的值代入进行计算即可求解． 【详解】解：∵ ， ∵与的取值无关， ∴， 解得； ； 当时， ． 【点睛】本题考查了整式的加减运算，整式的乘法运算，化简求值，正确的计算是解题的关键． 四、解答题：本题共8小题，共76分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 18. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算，同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方、合并同类项，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先根据算术平方根、立方根的定义计算，再根据有理数的加减法则计算即可； （2）先根据同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方法则计算，再合并同类项即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 19. 分解因式 （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】此题考查了分解因式．熟练掌握因式分解的方法并能根据式子灵活选用合适的方法是解题的关键． （1）先提取公因式，再用平方差公式继续分解因式； （2）先提取公因式，再用完全平方公式继续分解因式． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. 先化简，再求值： [（x+3y）（x﹣3y）﹣（x﹣3y）2]÷（6y），其中x＝6，y． 【答案】x﹣3y；7 【解析】 【分析】根据平方差公式、完全平方公式和多项式除以单项式可以化简题目中的式子，然后将x、y的值代入化简后的式子即可解答本题． 【详解】解：[（x+3y）（x﹣3y）﹣（x﹣3y）2]÷（6y） ＝（x2﹣9y2﹣x2+6xy﹣9y2）÷（6y） ＝（6xy﹣18y2）÷（6y） ＝x﹣3y， 当x＝6，y时， 原式＝6﹣3×（）＝6+1＝7． 【点睛】本题考查了整式的混合运算-化简求值，熟练掌握运算法则及公式是解本题的关键． 21. 如图，，，求证： 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质．首先根据同角的补角相等可证：，根据平行线的性质可证：，根据可证：，根据等三角形的对应边相等可证结论成立． 【详解】证明：，， ， ， ， 在和中， ，   22. 《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”可翻译为：有一根竹子高一丈，今在A处折断，竹梢落在地面的B处，B与竹根部C相距3尺，求AC (注：1丈＝10尺). 【答案】AC＝4.55． 【解析】 【分析】设AC＝x，可知AB＝10﹣x，再根据勾股定理即可得出结论． 【详解】解：设AC＝x， ∵AC+AB＝10， ∴AB＝10﹣x． ∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°， ∴AC2+BC2＝AB2，即x2+32＝(10﹣x)2． 解得：x＝4.55， 即AC＝4.55． 【点睛】考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用． 23. 如图，已知在中，点D在边上，且， （1）用尺规作图法，作的平分线，交于点P；保留作图痕迹，不要求写作法 （2）在（1）的条件下，连接求证：点D在线段的垂直平分线上． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查作图-基本作图，线段的垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． （1）根据要求作出图形； （2）证明，推出可得结论． 【小问1详解】 解：如图，射线即为所求； 【小问2详解】 证明：平分， ， ，， ∴， ， ，， ， ∴ 点D在线段的垂直平分线上． 24. 阅读理解：若满足，求的值． 解：设，，则，， ∴． 类比探究： （1）若满足，求的值； （2）若满足，求的值； （3）解决问题：如图，正方形和长方形重叠，重叠部分是长方形，其面积是，分别延长、交和于、两点，构成的四边形和都是正方形，四边形是长方形．设，，，，延长至，使，延长至，使，过点、作、垂线，两垂线交于点，求正方形的面积．（结果是一个具体的数值） 【答案】（1）； （2）； （3）正方形的面积为． 【解析】 【分析】（）根据题中的解题思路即可求解； （）先把转化为，设，，则，然后代入即可求解； （）由，，，，则，，又长方形面积是，即，由题意得，，则，通过，设，，最后利用完全平方公式即可求解； 本题考查了完全平方公式的几何背景，理解例题的解题思路是解题的关键． 【小问1详解】 解：设，，则，， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， 设，， ∴，， ∴ ， ∴； 【小问3详解】 解：∵，，，， ∴，， ∵长方形面积是， ∴， 由题意得，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，， ∴，， ∴， ∴正方形的面积为． 25. 如图，在等腰中，，，在边上取一点D，连接，点E为线段上一点，以为斜边作等腰，连接交于 （1）如图1，若垂直平分， ①求证：； ②判断与的关系，并说明理由； （2）如图2，M是线段CE上一点，若，求证： 【答案】（1） 证明：①如图，过作于点，则， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴，即， 同理：， ∵垂直平分， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； 解：② ，，理由如下： 如图，过作于点，则， ∴是等腰直角三角形， ∴， 由①得：，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2） 证明：过点作的垂线交延长线于点，连接， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（）①过作于点，则，由是等腰直角三角形，则，得到即，同理，由垂直平分线的性质得，，则，，再证明，又可证则，从而求解； ②过作于点，则，根据等腰直角三角形的性质得，通过角度和差得，则，从而证明，再证明，根据性质得出，，从而得出，最后由角度和差即可求出，从而证明； （）过点作的垂线交延长线于点，连接，通过角度和差得出，证明，则，，由，，则，，从而得出，再证明 ，然后根据性质即可求证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，垂直平分线的性质，平行线的判定，角度和差，等腰三角形的性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年福建省泉州市晋江市养正中学八年级（上）第二次月考数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各数为无理数的是（ ） A. 0 B. C. D. 2. 多项式8a3b2+12ab3c的公因式是（ ） A. abc B. 4ab2 C. ab2 D. 4ab2c 3. 下列各式中，计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法是：如图在的边上分别取，移动角尺，使角尺的两边相同的刻度分别与M、N重合，得到的平分线，做法中用到三角形全等的判定方法是（　　） A. B. C. D. 5. 下列命题的逆命题成立的是（ ） A. 如果两个实数相等，那么它们的平方相等 B. 全等三角形的对应边相等 C. 如果两个角是直角，那么它们相等 D. 等边三角形是锐角三角形 6. 已知等腰三角形的一个内角为，则这个等腰三角形的顶角为（ ） A. B. C. 或 D. 或 7. 下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（　　） A. B. C. D. 8. 如图，在中，的角平分线与的角平分线交于点，过点作的平行线分别交、于点、，若与的周长分别、，则的长为(　　) A. B. C. D. 9. 如图，三角形纸片中，，，，沿和将纸片折叠，使点和点都落在边上的点处，则的长是（ ） A. B. C. D. 10. 已知：如图，和都是等边三角形，D是延长线上一点，与相交于点P，相交于点M，相交于点N，则下列五个结论：（1）；（2）；（3）；（4）是等边三角形；（5）连接，则平分，其中，正确的是（ ） A. （1）（3）（4） B. （1）（2）（3） C. （1）（2）（4）（5） D. （1）（3）（4）（5） 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. __________． 12. 已知则=_______． 13. 如图，D，E是边上的两点，，现要直接用“”定理来证明，请你再添加一个条件：________． 14. 若二次三项式是一个完全平方式，那么的值是_________. 15. 如图，已知正方形ABCD的面积为4，正方形FHIJ的面积为3，点D、C、G、J、I在同一水平面上，则正方形BEFG的面积为__________． 16. 设实数满足，若，则的值是______． 三、计算题：本大题共1小题，共10分． 17. 已知，，且与的3倍的差的值与的取值无关，求代数式的值． 四、解答题：本题共8小题，共76分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 18. 计算： （1）； （2）． 19. 分解因式 （1）； （2）． 20. 先化简，再求值： [（x+3y）（x﹣3y）﹣（x﹣3y）2]÷（6y），其中x＝6，y． 21. 如图，，，求证： 22. 《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”可翻译为：有一根竹子高一丈，今在A处折断，竹梢落在地面的B处，B与竹根部C相距3尺，求AC (注：1丈＝10尺). 23. 如图，已知在中，点D在边上，且， （1）用尺规作图法，作的平分线，交于点P；保留作图痕迹，不要求写作法 （2）在（1）的条件下，连接求证：点D在线段的垂直平分线上． 24. 阅读理解：若满足，求的值． 解：设，，则，， ∴． 类比探究： （1）若满足，求的值； （2）若满足，求的值； （3）解决问题：如图，正方形和长方形重叠，重叠部分是长方形，其面积是，分别延长、交和于、两点，构成的四边形和都是正方形，四边形是长方形．设，，，，延长至，使，延长至，使，过点、作、垂线，两垂线交于点，求正方形的面积．（结果是一个具体的数值） 25. 如图，在等腰中，，，在边上取一点D，连接，点E为线段上一点，以为斜边作等腰，连接交于 （1）如图1，若垂直平分， ①求证：； ②判断与的关系，并说明理由； （2）如图2，M是线段CE上一点，若，求证： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $