精品解析：山东省淄博市淄川区2024-2025学年上学期期中考试八年级数学试卷

初三数学试题 （时间120分 满分150分） 一、精心选一选（本题共12小题，在每小题所给出的四个选项中，只有一个是正确的，请选出你认为唯一正确的选项，涂到答题卡上，每小题4分，计48分）． 1. 下列分式中，取任意实数都有意义的是（ ） A. B. C. D. 2. 若x，y的值均扩大为原来的3倍，则下列分式的值保持不变的是（　　） A B. C. D. 3. 下列各式不能运用公式法进行因式分解的是（ ） A. B. C. D. 4. 若，则的值为（ ） A. 12 B. 6 C. 3 D. 5. 224﹣1可以被60和70之间某两个数整除，这两个数是（ ） A. 64，63 B. 61，65 C. 61，67 D. 63，65 6. 已知排球队名场上队员的身高（单位：）分别是：，，，，，．现用两名身高分别是，的队员换下场上身高为，的队员，与换人前相比，现在计算结果不受影响的是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 方差 D. 众数 7. 4月23日是世界读书日，学校举行“快乐阅读，健康成长”读书活动．小明随机调查了本校七年级30名同学近4个月内每人阅读课外书的数量，数据如下表所示： 人数 6 7 10 7 课外书数量（本） 6 7 9 12 则阅读课外书数量的中位数和众数分别是（　　） A. 8，9 B. 10，9 C. 7，12 D. 9，9 8. 在对一组样本数据进行分析时，小莹列出了方差的计算公式：，由公式提供的信息，判断下列关于样本的说法错误的是（ ） A. 平均数是9 B. 中位数是8.5 C. 方差是3.25 D. 样本容量是4 9. 照相机成像应用了一个重要原理，用公式表示，其中f表示照相机镜头的焦距，u表示物体到镜头的距离，v表示胶片（像）到镜头的距离．已知f，v，则u＝（ ） A. B. C. D. 10. 甲、乙两个工程队合做一项工程，需要16天完成，现在两队合做9天，甲队因有其他任务调走，乙队再做21天完成任务。求甲、乙两队独做各需几天才能完成任务？若设甲队独做需天才能完成任务，则可列方程（ ） A. B. C. D. 11. 若，，是直角三角形的三边长，且，则斜边上的高为（ ） A. B. C. D. 12. 某单位若干名职工参加普法知识竞赛，将成绩制成如图所示扇形统计图和条形统计图，根据图中提供的信息，这些职工成绩的中位数和平均数分别是（ ） A. 94分，96分 B. 96分，96分 C. 94分，96.4分 D. 96分，96.4分 二、细心填一填（本题共8小题，满分32分，只要求填写最后结果，每小题填对得4分）． 13. 小明和小亮做种子发芽试验，小明50粒种子的发芽率为，小亮30粒种子的发芽率为，则他们两人80粒种子的发芽率为__________． 14. 在一组数据21，30，8，5，20中插入一个数，恰好得中位数是19，则插入的数是_____． 15. 已知一个多项式因式分解的结果为，则这个多项式可以为________． 16. 若代数式与的值相等，则=___________． 17. 因式分解：=_____________． 18. 若实数a，b满足，设，，则M，N的大小关系为M_________N．（用“>”、“=”或“<”连接） 19. 《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间，设规定时间为x天，则可列出正确的方程为_____________． 20. 已知：①x+＝3可转化为x+＝1+2，解得x1＝1，x2＝2， ②x+＝5可转化为x+＝2+3，解得x1＝2，x2＝3， ③x+＝7可转化为x+＝3+4，解得x1＝3，x2＝4，…… 根据以上规律，关于x的方程x+＝2n+4的解为_____． 三、耐心做一做，相信你能写出正确的解答过程（共70分，注意审题要细心，书写要规范和解答要完整）． 21 （1）分解因式：，． （2）化简：，． （3）解方程：，． 22. （1）甲、乙、丙三个厂家生产的同一种产品中，各抽出8件产品，对其使用寿命进行跟踪调查（单位：年）： 甲：3，4，5，6，8，8，8，10； 乙：4，6，6，6，8，9，12，13； 丙：3，3，4，7，9，10，11，12． 三家广告中都称该种产品的使用寿命是8年，请你根据调查结果判断三个厂家在广告中分别运用了平均数、众数和中位数的哪一种数据作代表． （2）如图，某农场修建一座小型水库，需要一种空心混凝土管道，它的规格是内径，外径，长．计算浇制一节这样的管道约需要多少立方米的混凝土（取，结果精确到）． 23. 某单位将沿街的一部分房屋出租，每间房屋的租金相同．已知每间房屋的租金第二年比第一年多元，所有房屋出租的租金第一年为万元，第二年为万元．请根据上述情景，提出一个问题，并尝试用分式方程的知识加以解决． 24. 学校为了让同学们走向操场、积极参加体育锻炼，启动了“学生阳光体育运动”，张明和李亮在体育运动中报名参加了百米训练小组．在近几次百米训练中，教练对他们两人的测试成绩进行了统计和分析，请根据图表中的信息解答以下问题： 平均数 中位数 方差 张明 13.3 0.004 李亮 13.3 002 （1）张明第2次的成绩为：　　　　秒； （2）张明成绩的平均数为：　　　　；李亮成绩的中位数为：　　　　； （3）现在从张明和李亮中选择一名成绩优秀的去参加比赛，若你是他们的教练，应该选择谁？请说明理由． 25. 某商店以固定进价一次性购进一种商品，3月份按一定售价销售，销售额为2400元，为扩大销量，减少库存，4月份在3月份售价基础上打9折销售，结果销售量增加30件，销售额增加840元． （1）求该商店3月份这种商品的售价是多少元？ （2）如果该商店3月份销售这种商品利润为900元，那么该商店4月份销售这种商品的利润是多少元？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 初三数学试题 （时间120分 满分150分） 一、精心选一选（本题共12小题，在每小题所给出的四个选项中，只有一个是正确的，请选出你认为唯一正确的选项，涂到答题卡上，每小题4分，计48分）． 1. 下列分式中，取任意实数都有意义的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件．根据分式有意义的条件是分母不等于零即可判断． 【详解】解：A、时，分母，分式没有意义，本选项不符合题意； B、时，分母，分式没有意义，本选项不符合题意； C、取任意实数总有意义，本选项符合题意； D、时，分母，分式没有意义，本选项不符合题意； 故选：C． 2. 若x，y的值均扩大为原来的3倍，则下列分式的值保持不变的是（　　） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据分式的基本性质，x，y的值均扩大为原来的3倍，求出每个式子的结果，看结果等于原式的即是答案． 【详解】根据分式的基本性质，可知若x，y的值均扩大为原来的3倍， A、，错误； B、，错误； C、，错误； D、，正确； 故选：D． 【点睛】本题考查的是分式的基本性质，熟记分式的基本性质是解题的关键. 3. 下列各式不能运用公式法进行因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平 方差公式，完全平方公式的特点，对各选项分析判断后利用排除法求解． 详解】解：A、，能运用平方差公式分解，故选项A不符合题意； B、，能运用平方差公式分解，故选项B不符合题意； C. 首尾虽为平方形式，但加上的不是他们乘积的2倍，不能分解，本选项C符合题意； D、可用完全平方公式分解，故选项D不符合题意； 故选C 【点睛】能否用公式法进行因式分解关键看是否符合相关公式的特点：能用平方差公式进行因式分解的式子的特点是：两项平方项；符号相反；能用完全平方公式法进行因式分解的式子的特点是：两项平方项的符号相同；另一项是两底数积的2倍． 4. 若，则的值为（ ） A. 12 B. 6 C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查代数式求值，关键是利用完全平方公式对原式进行变形． 把原式利用完全平方公式进行变形，再整体代入即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 故选A 5. 224﹣1可以被60和70之间某两个数整除，这两个数是（ ） A. 64，63 B. 61，65 C. 61，67 D. 63，65 【答案】D 【解析】 【分析】利用平方差因式分解即可求解． 【详解】解：， ∵， ∴224﹣1可以被60和70之间某两个数整除，这两个数是63，65， 故选：D． 【点睛】本题考查了平方差公式，解题关键是熟练运用平方差公式进行计算． 6. 已知排球队名场上队员的身高（单位：）分别是：，，，，，．现用两名身高分别是，的队员换下场上身高为，的队员，与换人前相比，现在计算结果不受影响的是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 方差 D. 众数 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平均数、中位数、方差、众数的定义，利用平均数、中位数、方差、众数的意义判断即可． 【详解】解：∵， ∴替换前后的平均数发生变化， ∴方差也发生变化，故A、C、不符合题意， ∵替换数据后中间的数据没有变化， ∴中位数不变． 原来的众数是：，，，，， 替换后的众数是：，，，，，． ∴众数也发生变化 故选：B． 7. 4月23日是世界读书日，学校举行“快乐阅读，健康成长”读书活动．小明随机调查了本校七年级30名同学近4个月内每人阅读课外书的数量，数据如下表所示： 人数 6 7 10 7 课外书数量（本） 6 7 9 12 则阅读课外书数量的中位数和众数分别是（　　） A. 8，9 B. 10，9 C. 7，12 D. 9，9 【答案】D 【解析】 【分析】利用中位数，众数的定义即可解决问题．中位数：把一组数据按从小到大的顺序排列，在中间的一个数字（或者两个数字的平均值）叫做这组数据的中位数．众数：在一组数据中出现次数最多的数． 【详解】解：中位数为第15个和第16个的平均数为：，众数为9． 故选：D． 【点睛】本题考查了中位数和众数，解题的关键是掌握平均数、中位数和众数的概念． 8. 在对一组样本数据进行分析时，小莹列出了方差的计算公式：，由公式提供的信息，判断下列关于样本的说法错误的是（ ） A. 平均数是9 B. 中位数是8.5 C. 方差是3.25 D. 样本容量是4 【答案】A 【解析】 【分析】根据计算方差的公式可以知道，这组数据一共有4个分别是：8，6，9，11，然后据此求解判断即可得到答案. 【详解】解：∵， ∴这组数据一共有4个分别是：8，6，9，11，故D正确； ∴这组数据的中位数，故B正确； ∴这组数据的平均数，故A错误； ∴这组数据的方差为故C正确； 故选A. 【点睛】本题主要考查了中位数，平均数，方差和样本容量，解题的关键在于能够根据方差公式得出相应的信息求解. 9. 照相机成像应用了一个重要原理，用公式表示，其中f表示照相机镜头的焦距，u表示物体到镜头的距离，v表示胶片（像）到镜头的距离．已知f，v，则u＝（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用分式的基本性质，把等式恒等变形，用含f、v的代数式表示u． 【详解】解：∵， ∴ ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查分式的加、减法运算，关键是异分母通分，掌握通分法则． 10. 甲、乙两个工程队合做一项工程，需要16天完成，现在两队合做9天，甲队因有其他任务调走，乙队再做21天完成任务。求甲、乙两队独做各需几天才能完成任务？若设甲队独做需天才能完成任务，则可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求的是工效，工时，一般根据工作总量来列等量关系，等量关系为：乙21完成的工作量=1-甲9天的工作量． 【详解】设甲队独做需天才能完成任务，依题意得： 故选：C． 【点睛】考查分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．涉及到的公式：工作总量=工作效率×工作时间．工作总量通常可以看成“1”． 11. 若，，是直角三角形的三边长，且，则斜边上的高为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查因式分解的应用，非负数的性质，勾股定理的逆定理的应用；先利用完全平方式进行变形求a，b，c的值，再证明进而根据等面积法，即可求解． 【详解】解：∵． ∴． ∴． ∴，，． ∴，，． ∴斜边上的高为 12. 某单位若干名职工参加普法知识竞赛，将成绩制成如图所示的扇形统计图和条形统计图，根据图中提供的信息，这些职工成绩的中位数和平均数分别是（ ） A. 94分，96分 B. 96分，96分 C. 94分，96.4分 D. 96分，96.4分 【答案】D 【解析】 【详解】解：总人数为6÷10%=60（人）， 则94分的有60×20%=12（人）， 98分的有60-6-12-15-9=18（人）， 第30与31个数据都是96分，这些职工成绩的中位数是（96+96）÷2=96； 这些职工成绩的平均数是（92×6+94×12+96×15+98×18+100×9）÷60 =（552+1128+1440+1764+900）÷60 =5784÷60 =96.4． 故选D． 【点睛】本题考查1.中位数；2.扇形统计图；3.条形统计图；4.算术平均数，掌握概念正确计算是关键． 二、细心填一填（本题共8小题，满分32分，只要求填写最后结果，每小题填对得4分）． 13. 小明和小亮做种子发芽试验，小明50粒种子的发芽率为，小亮30粒种子的发芽率为，则他们两人80粒种子的发芽率为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平均数，平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．用80粒种子中发芽的种子粒数除以80即可． 【详解】解：由题意可得，他俩80粒种子的发芽率是． 故答案为：． 14. 在一组数据21，30，8，5，20中插入一个数，恰好得中位数是19，则插入的数是_____． 【答案】18 【解析】 【分析】本题考查了中位数：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数． 根据中位数定义得到数据5，8，20，21，30中插入一个数x，共有6个数，最中间的数只能为x和20，然后根据计算它们的中位数为19，求出x． 【详解】解：∵5，8，20，21，30中插入一个数x， ∴数据共有6个数，20为中间的一个数， ∵该组数据的中位数是19， ∴， 解得． 故答案为：18． 15. 已知一个多项式因式分解的结果为，则这个多项式可以为________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查因式分解，根据因式分解是整式乘法的逆运算，即可求解 【详解】解：， 故答案为： 16. 若代数式与的值相等，则=___________． 【答案】16 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，解题关键在于根据题意列出方程，解方程时注意按步骤进行，并且需要验根． 根据代数式与的值相等，列出等式，解方程即可． 【详解】解：根据题意得：， 去分母得：， 解得：． 经检验，是原方程的解， 故答案为：16． 17. 因式分解：=_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了提取公因式和平方差因式分解，熟练掌握知识点是解题的关键．先利用平方差公式进行因式分解，再提取公因式分解即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 18. 若实数a，b满足，设，，则M，N的大小关系为M_________N．（用“>”、“=”或“<”连接） 【答案】= 【解析】 【分析】本题考查了分式的混合运算，在解题时要注意先对分式进行化简，再代入求值即可． 本题只需要先对M、N分别进行化简，再把代入即可比较M、N的大小． 【详解】解：， ， ∵， ∴ ， ∴ 故答案为：＝． 19. 《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间，设规定时间为x天，则可列出正确的方程为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式方程解决应用题，根据速度关系列方程求解即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， ， 故答案为：． 20. 已知：①x+＝3可转化为x+＝1+2，解得x1＝1，x2＝2， ②x+＝5可转化为x+＝2+3，解得x1＝2，x2＝3， ③x+＝7可转化为x+＝3+4，解得x1＝3，x2＝4，…… 根据以上规律，关于x的方程x+＝2n+4的解为_____． 【答案】x1＝n+3，x2＝n+4 【解析】 【分析】仿照已知方程与解的特征，归纳总结得到一般性规律，确定出所求方程的解即可． 【详解】根据题意将方程变形得：x﹣3+＝n+n+1， 可得x﹣3＝n或x﹣3＝n+1， 则方程的解为x1＝n+3，x2＝n+4， 故答案为x1＝n+3，x2＝n+4 【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验． 三、耐心做一做，相信你能写出正确的解答过程（共70分，注意审题要细心，书写要规范和解答要完整）． 21. （1）分解因式：，． （2）化简：，． （3）解方程：，． 【答案】（1）；；（2）；；（3）方程无解； 【解析】 【分析】本题考查分解因式，分式的混合运算，解分式方程； （1）先提取公因式再利用完全平方公式分解因式；利用平方差公式分解因式； （2）先算括号内分式加法，再算除法即可；先求出每个分式的乘方，再算乘除法即可求解； （3）先去分母化为整式方程求解，再进行检验即可；先去分母化为整式方程求解，再进行检验即可 【详解】（1）解： ； ； （2） ； ； （3） ， 解得：， 经检验：是增根，舍去， ∴原方程无解； 解得：， 经检验：是方程的解 22. （1）甲、乙、丙三个厂家生产的同一种产品中，各抽出8件产品，对其使用寿命进行跟踪调查（单位：年）： 甲：3，4，5，6，8，8，8，10； 乙：4，6，6，6，8，9，12，13； 丙：3，3，4，7，9，10，11，12． 三家广告中都称该种产品的使用寿命是8年，请你根据调查结果判断三个厂家在广告中分别运用了平均数、众数和中位数的哪一种数据作代表． （2）如图，某农场修建一座小型水库，需要一种空心混凝土管道，它的规格是内径，外径，长．计算浇制一节这样的管道约需要多少立方米的混凝土（取，结果精确到）． 【答案】（1）见解析；（2）浇制一节这样的管道约需要的混凝土． 【解析】 【分析】（1）平均数的求法：用所有数据相加的和除以数据的个数；中位数的求法：将数据按大小顺序排列，如果数据个数是奇数，则处于最中间位置的数就是这组数据的中位数；如果数据个数是偶数，则中间两个数据的平均数是这组数据的中位数；据此分别求出每组数据的平均数和中位数即可判断； （2）利用圆柱的体积公式，浇制一节这样的管道需要的混凝土为，然后分解因式，把，，代入计算，把结果精确到即可． 【详解】（1）解：对甲分析：出现的次数最多，故运用了众数； 对乙分析：既不是众数，也不是中位数， 平均数，故运用了平均数； 对丙分析：共个数据，最中间的是与，故其中位数是，即运用了中位数． （2）解：由题意得： ， 当，，时， 原式 ． 答：浇制一节这样的管道约需要的混凝土． 【点睛】此题考查圆柱体体积，分解因式以及统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数的意义． 23. 某单位将沿街的一部分房屋出租，每间房屋的租金相同．已知每间房屋的租金第二年比第一年多元，所有房屋出租的租金第一年为万元，第二年为万元．请根据上述情景，提出一个问题，并尝试用分式方程的知识加以解决． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，提出问题：该单位共有出租房屋多少间？设该单位共出租房屋间，根据单价总价数量结合每间房屋的租金第二年比第一年多元，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论． 【详解】解：提出问题：该单位共有出租房屋多少间？ 设该单位共出租房屋间， 根据题意得： 解得：， 经检验，是所列方程的根． 答：该单位共出租房屋间． 24. 学校为了让同学们走向操场、积极参加体育锻炼，启动了“学生阳光体育运动”，张明和李亮在体育运动中报名参加了百米训练小组．在近几次百米训练中，教练对他们两人的测试成绩进行了统计和分析，请根据图表中的信息解答以下问题： 平均数 中位数 方差 张明 13.3 0.004 李亮 13.3 0.02 （1）张明第2次的成绩为：　　　　秒； （2）张明成绩的平均数为：　　　　；李亮成绩的中位数为：　　　　； （3）现在从张明和李亮中选择一名成绩优秀的去参加比赛，若你是他们的教练，应该选择谁？请说明理由． 【答案】（1）13.4；（2）13.3秒，13.3秒；（3）选择张明，理由见解析． 【解析】 【分析】（1）根据统计图给出的数据可直接得出答案； （2）利用平均数的计算公式可得出张明成绩的平均数；先将李亮的成绩按照从小到大排列，然后即可得到这组数据的中位数； （3）在平均数、中位数相同的情况下，再根据方差越小数据越稳定，即可得出答案． 【详解】解：（1）根据统计图可知，张明第2次的成绩为13.4秒， 故答案为：13.4； （2）张明成绩的平均数为：=13.3（秒）； 李亮的成绩是：13.2，13.4，13.1，13.5，13.3， 把这些数从小到大排列为：13.1，13.2，13.3，13.4，13.5， 则李亮成绩的中位数是：13.3秒； 故答案为：13.3秒，13.3秒； （3）选择张明参加比赛，因为张明和李亮成绩的平均数、中位数都相同，但张明成绩的方差小于李亮成绩的方差，张明成绩比李亮成绩稳定． 【点睛】本题考查了平均数，中位数，方差的意义．平均数表示一组数据的平均程度；中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）；方差是用来衡量一组数据波动大小的量． 25. 某商店以固定进价一次性购进一种商品，3月份按一定售价销售，销售额2400元，为扩大销量，减少库存，4月份在3月份售价基础上打9折销售，结果销售量增加30件，销售额增加840元． （1）求该商店3月份这种商品的售价是多少元？ （2）如果该商店3月份销售这种商品的利润为900元，那么该商店4月份销售这种商品的利润是多少元？ 【答案】（1）该商店3月份这种商品的售价是40元；（2）该商店4月份销售这种商品的利润是990元． 【解析】 【分析】（1）设该商店3月份这种商品的售价为x元，则4月份这种商品的售价为元，根据数量=总价÷单价结合4月份比3月份多销售30件，即可得出关于x的分式方程，解之经检验即可得出结论； （2）设该商品的进价为y元，根据销售利润=每件的利润×销售数量，即可得出关于y的一元一次方程，解之即可得出该商品的进价，再利用4月份的利润=每件的利润×销售数量，即可求出结论． 【详解】（1）设该商店3月份这种商品的售价为元，则4月份这种商品的售价为元， 根据题意得： ， 解得：， 经检验，是原分式方程的解． 答：该商店3月份这种商品的售价是40元． （2）设该商品的进价为元， 根据题意得：， 解得：， （元）． 答：该商店4月份销售这种商品的利润是990元． 【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$