精品解析：福建省福州第十九中学2024-2025学年九年级上学期12月月考数学试卷

福州第十九中学2024-2025学年第一学期12月份校本练习 九年级数学试题 日期 2024.12.16 命题人 周韧 审核人 刘思怡 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 地铁标志作为城市地铁形象和符号，是城市文化的缩影，下列图案分别为北京，上海，深圳，福州四个城市的地铁标志，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列语句所描述的事件中，是不可能事件的是（　　） A. 黄河入海流 B. 大漠孤烟直 C. 手可摘星辰 D. 红豆生南国 3. 如图，是的内接三角形，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 4. 对于二次函数的图象的特征，下列描述正确的是（ ） A. 开口向上 B. 经过原点 C. 对称轴是y轴 D. 最小值是1 5. 如图，由图案（1）到图案（2）再到图案（3）变化过程中，不可能用作的图形变化是（　　） A. 轴对称 B. 旋转 C. 中心对称 D. 平移 6. 如图，若设从2019年到2021年我国海上风电新增装机容量的平均增长率为x，根据这个统计图可知，x应满足（ ） A. B. C. D. 7. 如图，边长为的正六边形螺帽，中心为点O，垂直平分边，垂足为B，，用扳手拧动螺帽旋转，则点A在该过程中所经过的路径长为（ ）． A. 7.5 B. C. 15 D. 8. 水平地面上一个小球被推开后向前滑行，滑行的距离与时间的函数关系如图所示（图为抛物线的一部分，其中是该抛物线的顶点），则下列说法正确的是（ ） A. 小球滑行6秒停止 B. 小球滑行12秒停止 C. 小球向前滑行的速度不变 D. 小球向前滑行的速度越来越大 9. 如图，正方形四个顶点分别位于两个反比例函数和的图象的四个分支上，则实数n的值为（ ） A. B. C. D. 3 10. 已知二次函数上有两点，当时，总有，则t取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 与点关于原点对称的点坐标是_______． 12. 已知四边形内接于，则图中一定与相等的角是_______． 13. 一个圆锥的母线长为，底面圆的半径长为，则将该圆锥沿一条母线展开后得到的扇形的圆心角的度数是_______． 14. 某种蓄电池的电压为定值，使用此电源时，电流与可变电阻之间的函数关系如图所示，当某种使用这种蓄电池的用电器的安全电流最大为时，原电路中已经有一个的定值电阻，则至少应再串联一个_______的电阻才可以保证电路安全（已知：串联电路的总电阻等于各电阻之和）． 15. 为了测试某种光刻机制作芯片电路图案的不良率，以此判断产生不良电路图案的原因，设计团队开展实验，如表记录了截至目前的实验数据： 累计不良电路图案数（单位：块） 1 4 6 8 10 12 14 累计试验芯片数（单位：千块） 8 10 12 14 16 如果需要30块不良电路图案，请根据如表数据，用频率估计概率的思想判断还要准备的试验芯片数（单位：千块）：_______（结果保留整数）． 16. 已知反比例函数与直线分别交于两点，连接，若，且，则的值为_______． 三、解答题（本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解方程： 18. 已知中，点D与点E分别在边与上，其中， （1）求证：； （2）若的面积为4，求四边形的面积． 19. 已知直线与双曲线相交于点， （1）求直线与双曲线的解析式； （2）直接写出的x的取值范围． 20. 漫步三坊七巷，可以看到很多具有福州特色的小玩偶，其中特别受到游客喜欢的是“爱心树玩偶T”，“佛跳墙玩偶F”，“鱼丸玩偶Y”，游客小森购买了几个玩偶准备送给朋友． （1）如果小森是这三种玩偶各买一个，从中随机选取一个，求选到的玩偶是“鱼丸玩偶Y”的概率； （2）如果小森是“爱心树玩偶T”，“佛跳墙玩偶F”各买两个，从中不放回地随机选取两个，求选到的玩偶都是“爱心树玩偶T”的概率． 21. 已知点O是的外心，连接，以点O为圆心，长作交延长线于点E，过点A作，交延长线于点F，若． （1）求证：与相切； （2）求证：平分． 22. 已知中，，平分交于点D，其中． （1）将绕点D逆时针旋转至，其中点B对应点E落在边上，请作出（要求：用无刻度直尺与圆规作图，保留作图痕迹）； （2）若，求的长． 23. 方程是我们将现实问题转化为数学问题的重要模型之一，利用方程的基本性质，我们可以解决一些较为复杂的代数证明问题．下面是两个关于x的一元二次方程：，，其中． （1）求证：这两个方程都有两个不相等的实数根； （2）若p和q分别是和的其中一个实数根，请求证：． 24. 已知四边形内接于，连接，其中 （1）求证：； （2）连接交于点E，已知，， ①求的半径； ②在边上找点G，使得点G在的外接圆上，连接，求出此时的长． 25. 请阅读下面关于演唱会有关的一次数学建模的材料． 小纳是一位数学功底扎实的歌迷，有同学问道：怎么才能买到高性价比的演唱会门票呢？ 小纳思索良久，决定建立数学模型来解决这个问题，为了简化模型，小纳在歌迷群中设置了一个调查问卷： 在“歌手相同，灯光舞美效果大致相同”，现场的舞台大小，票价对应的位置与舞台中心的直线距离这两个影响因子对歌迷的购票意向影响巨大． 小纳根据问卷进行了总结： ①将演唱会门票与通勤费等费用之和作为费用因素p（单位：元）； ②舞台面积s（单位：m）越大性价比越高； ③相同票价对应的位置与舞台中央的直线距离d越小性价比越高．小纳利用软件通过量化的方式建立了性价比函数． （1）若费用p为600元，舞台面积s为，请写出y与之间的函数解析式； （2）已知歌迷小曼与小彻准备要去的演唱会都是在形如图中的体育场进行的，即水平线为南北方向，竖直线为东西朝向的体育场，且所有演唱会座位都在舞台南侧． ①歌迷小曼利用小纳设计的性价比函数对这次在K体育场举行的演唱会中的两个座位进行了对比，为了方便计算，以舞台中央作为原点，分别以向南和向东分别为轴正方向，建立了平面直角坐标系，规定一个单位长度为，则可得点，若元，元，若，则a的最大值（a为正整数）． ②小彻想去的歌手的演唱会是在两个不同的城市举办的，其中在M城市的舞台预计为元，在N城市的舞台预计为元，在M城与N城小彻可选的座位都是一排水平并排列紧凑的座位，这排座位与舞台中央所在水平线的竖直距离为，只是N城的座位相比于M城的座位的平均水平距离少，且体育场的南北向距离都不超过，请判断小彻去M城听演唱会的性价比是否一定高于N城听演唱会的性价比，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 福州第十九中学2024-2025学年第一学期12月份校本练习 九年级数学试题 日期 2024.12.16 命题人 周韧 审核人 刘思怡 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 地铁标志作为城市地铁的形象和符号，是城市文化的缩影，下列图案分别为北京，上海，深圳，福州四个城市的地铁标志，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】绕着一点旋转180°后能够与原图形重合的图形即为中心对称图形，由此判断即可． 【详解】解：根据中心对称图形定义，C选项符合题意， 故选：C． 【点睛】本题考查中心对称图形的识别，掌握中心对称图形的定义是解题关键． 2. 下列语句所描述的事件中，是不可能事件的是（　　） A. 黄河入海流 B. 大漠孤烟直 C. 手可摘星辰 D. 红豆生南国 【答案】C 【解析】 【分析】根据必然事件、随机事件、不可能事件的意义结合具体问题情境进行判断即可． 【详解】解：A．“黄河入海流”是必然事件，因此选项A 不符合题意； B．“大漠孤烟直”是随机事件，因此选项B不符合题意； C．“手可摘星辰”是不可能事件，因此选项C 符合题意； D．“红豆生南国”是必然事件，因此选项D不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查必然事件、随机事件、不可能事件，理解必然事件、随机事件、不可能事件的意义是正确判断的前提． 3. 如图，是的内接三角形，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理．作直径，连接，由圆周角定理求得，再求得，再根据圆周角定理即可求解． 【详解】解：作直径，连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 4. 对于二次函数的图象的特征，下列描述正确的是（ ） A. 开口向上 B. 经过原点 C. 对称轴是y轴 D. 最小值是1 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数的顶点式，掌握二次函数图象与系数的关系．由二次函数解析式可得抛物线开口方向，顶点坐标及对称轴，进而求解． 【详解】解：， 抛物线开口向上，顶点为，对称轴为直线， 当时，函数有最小值0， 故选：A 5. 如图，由图案（1）到图案（2）再到图案（3）的变化过程中，不可能用作的图形变化是（　　） A. 轴对称 B. 旋转 C. 中心对称 D. 平移 【答案】D 【解析】 【分析】考查图形的对称、平移、旋转等变换，对称有轴对称和中心对称，轴对称的特点是一个图形绕着一条直线对折，直线两旁的图形能够完全重合；中心对称的特点是一个图形绕着一点旋转180°后与另一个图形完全重合，它是旋转变换的一种特殊情况．平移是将一个图形沿某一直线方向移动，得到的新图形与原图形的形状、大小和方向完全相同．旋转是指将一个图形绕着一点转动一个角度的变换．观察时要紧扣图形变换特点，认真判断； 观察本题中图案的特点，根据对称、平移、旋转的特征进行判断作答； 【详解】由图案（1）到图案（2）再到图案（3）的变化过程中，可能用作的图形变化是旋转变换和中心对称、轴对称变换， 图（1）图形沿某一直线方向移动不能得到图（2）（3）中图形重合，故没有用到平移． 故选：D． 6. 如图，若设从2019年到2021年我国海上风电新增装机容量的平均增长率为x，根据这个统计图可知，x应满足（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，利用2021年我国海上风电新增装机容量2019年我国海上风电新增装机容量（平均增长率），即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：依题意得：． 故选：C． 7. 如图，边长为的正六边形螺帽，中心为点O，垂直平分边，垂足为B，，用扳手拧动螺帽旋转，则点A在该过程中所经过的路径长为（ ）． A. 7.5 B. C. 15 D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用正六边形的性质求出的长度，进而得到的长度，根据弧长公式进行计算即可． 【详解】解：连接． ∵， ∴等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点A在该过程中所经过的路径长． 故选：D． 【点睛】本题考查了正六边形的性质及计算，扇形弧长的计算，熟知以上计算是解题的关键． 8. 水平地面上一个小球被推开后向前滑行，滑行的距离与时间的函数关系如图所示（图为抛物线的一部分，其中是该抛物线的顶点），则下列说法正确的是（ ） A. 小球滑行6秒停止 B. 小球滑行12秒停止 C. 小球向前滑行的速度不变 D. 小球向前滑行的速度越来越大 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了从函数图象获取信息，二次函数的实际应用，正确读懂函数图象是解题的关键． 【详解】解：由函数图象可知，当时，滑行的距离最大， ∴小球滑行6秒停止，故A说法正确，B说法错误； 由函数图象可知，随着时间的推移，滑行的距离变化越来越平缓，即滑行的速度越来越小，故C、D说法错误， 故选A． 9. 如图，正方形四个顶点分别位于两个反比例函数和的图象的四个分支上，则实数n的值为（ ） A. B. C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，反比例函数的的几何意义，熟练掌握以上知识是解题的关键．如图所示，点在上，证明，根据的几何意义即可求解． 【详解】解：如图所示，连接正方形的对角线，过点分别作轴的垂线，垂足分别为，点在上， ∵，， ∴． ∴． ∴． ∵点在第二象限， ∴． 故选：A． 10. 已知二次函数上有两点，当时，总有，则t的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，根据解析式得到当时，随的增大而增大， 增大，再根据对称轴同侧和异侧分情况讨论即可． 【详解】解：∵二次函数， ∴函数图象开口向上，对称轴为直线，当时，随的增大而增大， ∴关于对称轴对称的点坐标为， ∵， ∴， ∵二次函数图象上存在两点，当，总有， ∴当都在对称轴同侧时，则必定都在对称轴右侧，即，此时， 当都在对称轴异侧时，则，都在对称轴右侧，且，解得， 综上所述，， 故选：B． 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 与点关于原点对称的点坐标是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标；根据关于原点对称的两点的横纵坐标互为相反数得出答案． 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是， 故答案为：． 12. 已知四边形内接于，则图中一定与相等的角是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质，根据圆内接四边形的性质得到，根据邻补角的性质、同角的补角相等计算即可． 【详解】解：∵四边形内接于圆， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 13. 一个圆锥的母线长为，底面圆的半径长为，则将该圆锥沿一条母线展开后得到的扇形的圆心角的度数是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求圆锥侧面展开扇形的圆心角，设侧面展开扇形的圆心角为，根据底面圆的周长等于展开后扇形弧长列方程即可求解． 【详解】解：设侧面展开扇形的圆心角为，母线为，半径， 则， ∴． 故答案为：． 14. 某种蓄电池的电压为定值，使用此电源时，电流与可变电阻之间的函数关系如图所示，当某种使用这种蓄电池的用电器的安全电流最大为时，原电路中已经有一个的定值电阻，则至少应再串联一个_______的电阻才可以保证电路安全（已知：串联电路的总电阻等于各电阻之和）． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，由图可知电流与可变电阻之间符合反比例函数关系，可先设出，代入已知点求解系数，再求解电流为时用电器的电阻，从而可得答案． 【详解】解：由图可知电流与可变电阻之间符合反比例函数关系， 设，代入， ∴， ∴解析式为； 当时，， ∴原电路中已经有一个的定值电阻，则至少应再串联一个的电阻才可以保证电路安全； 故答案为：2 15. 为了测试某种光刻机制作芯片电路图案的不良率，以此判断产生不良电路图案的原因，设计团队开展实验，如表记录了截至目前的实验数据： 累计不良电路图案数（单位：块） 1 4 6 8 10 12 14 累计试验芯片数（单位：千块） 8 10 12 14 16 如果需要30块不良电路图案，请根据如表的数据，用频率估计概率的思想判断还要准备的试验芯片数（单位：千块）：_______（结果保留整数）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．根据表中数据算出每次实验的成功率，得出成功的概率，利用需要不良电路图案数量16块除以概率即可求解． 【详解】解：从表格信息可得，当实验数据越大时，每增加块试验芯片可得2块不良电路图案， ∴成功获得不良电路图案的概率为， 该团队共需要30块不良电路图案，已经成功14块， 还差16块，有（块）（千块）， 故答案为：16． 16. 已知反比例函数与直线分别交于两点，连接，若，且，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】如图，过作轴，交轴于，过作于，可得，证明，而，可得，，设，求解，可得，再进一步求解即可． 【详解】解：如图，过作轴，交轴于，过作于， ∴， ∵， ∴， ∴，而， ∴， ∴，， 设， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 整理得：， ∴， 解得：，（舍去）， ∵， ∴； 故答案为： 【点睛】本题考查的是反比例函数的应用，相似三角形的判定与性质，一元二次方程的解法，锐角三角函数的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键． 三、解答题（本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解方程： 【答案】，． 【解析】 【分析】本题考查的是利用配方法解方程，把方程化为可得，再进一步解方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得：，． 18. 已知中，点D与点E分别在边与上，其中， （1）求证：； （2）若的面积为4，求四边形的面积． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质等知识；熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由题意得，根据相似三角形的判定方法可得出结论； （2）由相似三角形的性质得出，求出三角形的面积，则可得出答案； 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵， ∴． 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵的面积为4， ∴的面积为16， ∴． 19. 已知直线与双曲线相交于点， （1）求直线与双曲线的解析式； （2）直接写出的x的取值范围． 【答案】（1）直线，双曲线 （2）或 【解析】 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题． （1）将代入反比例函数的解析式即可求出m的值，然后将代入反比例函数解析式即可求出n的值．最后将M、N的坐标代入一次函数的解析式即可求出一次函数的解析式． （2）实际就是求x为何值时一次函数值大于反比例函数值．可以由图象得知． 【小问1详解】 解：∵点在双曲线上， ∴， ∴反比例函数解析式为：， ∵点在上， ∴， ∴， 将点，代入， 得， ∴， ∴直线的解析式为：； 【小问2详解】 解：如图，不等式的解集为：或． 20. 漫步三坊七巷，可以看到很多具有福州特色的小玩偶，其中特别受到游客喜欢的是“爱心树玩偶T”，“佛跳墙玩偶F”，“鱼丸玩偶Y”，游客小森购买了几个玩偶准备送给朋友． （1）如果小森是这三种玩偶各买一个，从中随机选取一个，求选到的玩偶是“鱼丸玩偶Y”的概率； （2）如果小森是“爱心树玩偶T”，“佛跳墙玩偶F”各买两个，从中不放回地随机选取两个，求选到的玩偶都是“爱心树玩偶T”的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了列表法与树状图法，概率公式． （1）根据概率公式即可求得； （2）首先画出树状图，展示所有12种等可能的结果数，再找出两个玩偶都是“爱心树玩偶”的结果数，再根据概率公式计算． 【小问1详解】 解：∵三种玩偶各买一个，每个玩偶被选取的概率相同， ∴从中随机选取一个，选到的玩偶是“鱼丸玩偶Y”的概率是； 【小问2详解】 解：“爱心树玩偶”记为，“佛跳墙玩偶”记为，画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中所选两个玩偶都是“爱心树玩偶”的结果有2种， ∴所选两个玩偶都是“爱心树玩偶T”的概率为． 21. 已知点O是的外心，连接，以点O为圆心，长作交延长线于点E，过点A作，交延长线于点F，若． （1）求证：与相切； （2）求证：平分． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】本题考查的是切线的判定，线段的垂直平分线的判定与性质，等腰三角形的性质； （1）先证明，可得，结合，可得，结合，再进一步可得结论； （2）由，，可得，可得是的垂直平分线，结合，可得，从而可得结论． 【小问1详解】 证明：如图，延长交于， 是的直径， ． ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵为半径， ∴是的切线． 【小问2详解】 证明：∵，， ∴， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴平分． 22. 已知中，，平分交于点D，其中． （1）将绕点D逆时针旋转至，其中点B的对应点E落在边上，请作出（要求：用无刻度直尺与圆规作图，保留作图痕迹）； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先分别以、为圆心，长为半径画弧，交于点，，连接交于，则垂直平分，此时，得到，再分别以、为圆心，长为半径画弧，交点即为，此时，连接，，即得到； （2）由，，平分可得，，即可得到，得到，求出的长，最后由（1）作图可得，即可求解． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴，， ∴， 设， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， 整理得， 解得（负值已舍去）， 由（1）作图可得， ∴． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定与性质，尺规作图，图形的旋转，相似三角形的判定与性质，解一元二次方程． 23. 方程是我们将现实问题转化为数学问题的重要模型之一，利用方程的基本性质，我们可以解决一些较为复杂的代数证明问题．下面是两个关于x的一元二次方程：，，其中． （1）求证：这两个方程都有两个不相等的实数根； （2）若p和q分别是和的其中一个实数根，请求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解，根的判别式； （1）分别求出两个方程的，证明即可； （2）由方程的根得到，，再把展开后代入计算即可． 【小问1详解】 证明：， ， ∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实根； ， ， ∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实根； 【小问2详解】 证明：∵若p和q分别是和的其中一个实数根， ∴，， ∴，， ∴ ． 24. 已知四边形内接于，连接，其中 （1）求证：； （2）连接交于点E，已知，， ①求的半径； ②在边上找点G，使得点G在的外接圆上，连接，求出此时的长． 【答案】（1）见解析 （2）①；② 【解析】 【分析】（1）由圆内接四边形得到，再结合即可得到，由圆周角相等得到对应的弧相等； （2）①连接，过作于，先得到，，即可得到是等边三角形，再由垂径定理和勾股定理得到，然后在中求出，，再在中求出，最后根据，即可得到的半径； ②连接，过作于，由，得到的外接圆直径为，即可得到，，然后在中求出，再在中求出，，最后在中，根据列方程求解即可． 【小问1详解】 证明：∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：①连接，过作于， ∵，， ∴， ∴，， ∵，连接交于点E， ∴垂直平分， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 即的半径为； ②连接，过作于， ∵， ∴外接圆直径为， ∵点G在的外接圆上， ∴，， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 解得或， ∵，，且在边上找点G， ∴， ∴． 【点睛】本题考查圆的综合，涉及到圆内接四边形的性质，圆周角定理，弧与圆周角的关系，勾股定理，解一元二次方程等知识点． 25. 请阅读下面关于演唱会有关一次数学建模的材料． 小纳是一位数学功底扎实的歌迷，有同学问道：怎么才能买到高性价比的演唱会门票呢？ 小纳思索良久，决定建立数学模型来解决这个问题，为了简化模型，小纳在歌迷群中设置了一个调查问卷： 在“歌手相同，灯光舞美效果大致相同”，现场的舞台大小，票价对应的位置与舞台中心的直线距离这两个影响因子对歌迷的购票意向影响巨大． 小纳根据问卷进行了总结： ①将演唱会门票与通勤费等费用之和作为费用因素p（单位：元）； ②舞台面积s（单位：m）越大性价比越高； ③相同票价对应的位置与舞台中央的直线距离d越小性价比越高．小纳利用软件通过量化的方式建立了性价比函数． （1）若费用p为600元，舞台面积s为，请写出y与之间的函数解析式； （2）已知歌迷小曼与小彻准备要去的演唱会都是在形如图中的体育场进行的，即水平线为南北方向，竖直线为东西朝向的体育场，且所有演唱会座位都在舞台南侧． ①歌迷小曼利用小纳设计的性价比函数对这次在K体育场举行的演唱会中的两个座位进行了对比，为了方便计算，以舞台中央作为原点，分别以向南和向东分别为轴正方向，建立了平面直角坐标系，规定一个单位长度为，则可得点，若元，元，若，则a的最大值（a为正整数）． ②小彻想去的歌手的演唱会是在两个不同的城市举办的，其中在M城市的舞台预计为元，在N城市的舞台预计为元，在M城与N城小彻可选的座位都是一排水平并排列紧凑的座位，这排座位与舞台中央所在水平线的竖直距离为，只是N城的座位相比于M城的座位的平均水平距离少，且体育场的南北向距离都不超过，请判断小彻去M城听演唱会的性价比是否一定高于N城听演唱会的性价比，并说明理由． 【答案】（1） （2）①；②小彻去M城听演唱会的性价比一定低于N城听演唱会的性价比，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查用表达式表示函数关系，分式的混合运算的实际应用，不等式的实际应用； （1）把，代入计算即可； （2）①先求出，，再求出，，最后根据，列不等式求解即可； ②先建立直角坐标系，根据题意设，，则，则，，即可求出，，再计算，最后判断正负即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴p为600元，舞台面积s为时，， 即y与之间的函数解析式为：； 【小问2详解】 解：①∵， ∴，， ∵元，元， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得， ∵a为正整数， ∴a的最大值为； ②小彻去M城听演唱会的性价比一定低于N城听演唱会的性价比，理由如下： 为了方便计算，以舞台中央作为原点，以与舞台中央所在水平线为轴，向右为正方向，以与舞台中央所在竖直方向为轴，向上正方向，建立了平面直角坐标系，规定一个单位长度为， ∵在M城与N城小彻可选的座位都是一排水平并排列紧凑的座位，这排座位与舞台中央所在水平线的竖直距离为，只是N城的座位相比于M城的座位的平均水平距离少，且体育场的南北向距离都不超过， ∴设，，则， ∴，， ∵在M城市的舞台预计为元，在N城市的舞台预计为元， ∴，， ∴ ， ∵， ∴当时，最小，当时，最大， ∴， ∵，， ∴，即， ∴小彻去M城听演唱会的性价比一定低于N城听演唱会的性价比． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$