专题5.1 导数的概念及其意义（五大题型）（题型专练+易错精练）-2024-2025学年高二数学《知识解读•题型专练》（人教A版2019选择性必修第二册）

专题5.1 导数的概念及其意义（五大题型） 【题型1平均变化率】 【题型2瞬时变化率的概念及辨析】 【题型3导数的定义】 【题型4利用定义求函数在一点处的导数(切线斜率/倾斜角) 】 【题型5求过一点的切线方程】 【题型1平均变化率】 1．若函数，则函数从到的平均变化率为（    ） A．6 B．3 C．2 D．1 2．已知函数，其中，此函数在区间上的平均变化率为3，则实数的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．下列函数中，在区间上的平均变化率最大的时（    ） A． B． C． D． 4．把某物体进行加热，如果该物体原来的温度为，经过t min后，该物体的温度为（单位：）且，记时该物体温度上升的瞬时速度为，时该物体温度上升的瞬时速度为，从到该物体温度上升的平均速度为，则（    ） A． B． C． D． 5．函数在区间上的平均变化率为 . 6．如图是某变量变化的折线图，则该变量在区间上的平均变化率为 ．    7．已知某物体运动的位移是时间的函数，且时，；时，.则该物体在时间段内的平均速度为 ；估计时的位移为 m． 【题型2瞬时变化率的概念及辨析】 8．某物体运动的位移随时间变化的函数是，已知时刻该物体的瞬时速度为，则的值为（    ） A． B． C． D． 9．有一机器人的运动方程为，是时间，是位移，则该机器人在时刻时的瞬时速度为（    ） A． B． C． D． 10．球的体积V（单位：）与半径R（单位：cm）的关系为，则时体积关于半径的瞬时变化率为（    ） A． B． C． D． 11．已知质点M在平面上作变速直线运动，且位移S（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系可用函数：表示，则该质点M在时的瞬时速度为（    ） A． B． C． D． 12．质点的运动规律为，则质点在时的瞬时速度为 ． 13．子弹在枪筒中的运动可以视为匀加速直线运动，运动方程为，如果它的加速度是，子弹在枪筒中的运动时间为，求子弹射出枪口时的瞬时速度． 【题型3导数的定义】 14．多选题函数在某一点的导数是（    ）． A．在该点的函数值的增量与自变量的增量的比 B． C．一个常数，不是变数 D．函数在这一点到它附近一点之间的平均变化率 15．已知函数的图象如图所示，且为的导函数，则（    ）    A． B． C． D． 16．若函数在处的瞬时变化率为，且，则（    ） A．2 B．4 C． D． 17．若函数的满足，则（    ） A．2 B．1 C．0 D． 18．若可导函数满足，则（    ） A． B． C． D． 19．设，则（    ） A． B． C．3 D．12 20．若，则函数在处可导是函数在可导的（    ）． A．充要条件 B．充分非必要条件 C．必要非充分条件 D．既非充分又非必要条件 21．已知函数，则（    ） A． B． C． D． 22．若，则（    ） A． B． C． D． 23．已知函数在处的导数为1，则 . 24．已知是定义在R上的可导函数，若，则 . 25．已知函数，则 ． 【题型4利用定义求函数在一点处的导数(切线斜率/倾斜角) 】 26．设存在导函数且满足，则曲线上的点处的切线的斜率为（    ） A． B． C．1 D．2 27．已知曲线y＝x3上一点P，则该曲线在P点处切线的斜率为（    ） A．4 B．2 C．－4 D．8 28．已知函数的导函数为，且，则（    ） A． B． C． D． 29．在抛物线上任取A、B两点，若过A、B点作抛物线的切线斜率分别为－2，4，则直线AB的斜率为（    ） A．1 B．3 C．－1 D．－3 30．曲线在点处的切线的倾斜角等于（　　） A． B． C． D． 31．若直线过原点，且与函数的图像相切，则该直线的斜率为（    ） A．1 B． C． D． 【题型5求过一点的切线方程】 32．过点且与曲线相切的直线方程是（   ） A． B． C． D． 33．过点且与曲线相切的直线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 34．过原点且与函数图像相切的直线方程是（    ） A． B． C． D． 35．过点作曲线C：的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为（    ） A．2x＋y－8＝0 B．x＋2y－8＝0 C．2x＋y－4＝0 D．x＋2y－4＝0 36．多选题过点作曲线的切线，则切线方程可能是（    ） A． B． C． D． 37．过点与曲线相切的切线方程为 ． 38．过点且与曲线相切的直线方程为 . 39．过点且与相切的直线方程为 . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题5.1 导数的概念及其意义（五大题型） 【题型1平均变化率】 【题型2瞬时变化率的概念及辨析】 【题型3导数的定义】 【题型4利用定义求函数在一点处的导数(切线斜率/倾斜角) 】 【题型5求过一点的切线方程】 【题型1平均变化率】 1．若函数，则函数从到的平均变化率为（    ） A．6 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】利用平均变化率的定义可得答案. 【详解】因为，所以，， 故函数从到的平均变化率为. 故选：B. 2．已知函数，其中，此函数在区间上的平均变化率为3，则实数的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据题意，求出函数在区间上的平均变化率，进而可得，解出方程可得的值，即可得答案. 【详解】根据题意，函数在区间上的平均变化率为： ， 所以 . 故选：B. 3．下列函数中，在区间上的平均变化率最大的时（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平均变化率的计算即可比较大小求解. 【详解】对于A，在上的平均变化率为， 对于B，在上的平均变化率为， 对于C, 在上的平均变化率为， 对于D，在上的平均变化率为， 故在上的平均变化率最大， 故选：B 4．把某物体进行加热，如果该物体原来的温度为，经过t min后，该物体的温度为（单位：）且，记时该物体温度上升的瞬时速度为，时该物体温度上升的瞬时速度为，从到该物体温度上升的平均速度为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据瞬时速度与导数的关系结合导数运算公式求，根据平均速度的定义求，再比较它们的大小即可 【详解】 由，得，所以， ，所以， 故选：A． 5．函数在区间上的平均变化率为 . 【答案】3 【分析】根据平均变化率的定义，函数的平均变化率为，分别计算出的值代入计算即可. 【详解】由题意得，函数在区间上的平均变化率为， 故答案为：3. 6．如图是某变量变化的折线图，则该变量在区间上的平均变化率为 ．    【答案】/0.75 【分析】根据图象求解函数表达式，即可由平均变化率的计算公式求解. 【详解】由图可知在上的函数表达式为，即可， 故当时，， 在上的函数表达式为，即可， 当 在区间上的平均变化率为， 故答案为： 7．已知某物体运动的位移是时间的函数，且时，；时，.则该物体在时间段内的平均速度为 ；估计时的位移为 m． 【答案】 1.94 【分析】根据平均速度的公式直接计算即可；先求出位移的直线方程，再将代入即可求解． 【详解】由题意得，， 经过点的直线方程为， 当时，， 故答案为：15.6，1.94． 【题型2瞬时变化率的概念及辨析】 8．某物体运动的位移随时间变化的函数是，已知时刻该物体的瞬时速度为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据瞬时速度的定义结合导数的定义直接求解即可. 【详解】因为时刻该物体的瞬时速度为， 所以. 故选：C 9．有一机器人的运动方程为，是时间，是位移，则该机器人在时刻时的瞬时速度为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 利用瞬时速度定义即可求得该机器人在时刻时的瞬时速度. 【详解】 该机器人在时刻时的瞬时速度为 故选：A 10．球的体积V（单位：）与半径R（单位：cm）的关系为，则时体积关于半径的瞬时变化率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据导数的物理定义，对函数求导代入即可求解； 【详解】由，得：，所以时体积关于半径的瞬时变化率为; 故选：D. 11．已知质点M在平面上作变速直线运动，且位移S（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系可用函数：表示，则该质点M在时的瞬时速度为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先对函数求导，然后把代入即可求解． 【详解】因为， 所以， 令，得瞬时速度为． 故选：A. 12．质点的运动规律为，则质点在时的瞬时速度为 ． 【答案】 【分析】求函数的导数，根据导数的物理意义进行求解即可． 【详解】解：函数的导数， 当时，， 即质点在时的速度为， 故答案为：． 13．子弹在枪筒中的运动可以视为匀加速直线运动，运动方程为，如果它的加速度是，子弹在枪筒中的运动时间为，求子弹射出枪口时的瞬时速度． 【答案】 【分析】利用瞬时变化率的定义求解瞬时速度即可. 【详解】由已知得运动方程为． 因为， 所以，当时，． 由题意知，， 所以，即子弹射出枪口时的瞬时速度为． 【题型3导数的定义】 14．多选题函数在某一点的导数是（    ）． A．在该点的函数值的增量与自变量的增量的比 B． C．一个常数，不是变数 D．函数在这一点到它附近一点之间的平均变化率 【答案】BC 【分析】由导数的定义得到结论. 【详解】A选项，由导数定义可知，应为在该点的函数值的增量与自变量的增量之比的极限，A错误； BC选项，在某一点的导数是，是一个常数，不是变数，BC正确； D选项，由导数定义可知，应为函数在这一点到它附近一点之间的瞬时变化率，D错误. 故选：BC 15．已知函数的图象如图所示，且为的导函数，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别作出函数在的切线，进而得到的大小关系. 【详解】分别作出函数在的切线， 则 则有.    故选：B 16．若函数在处的瞬时变化率为，且，则（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】B 【分析】 根据导数的定义，直接代入求值. 【详解】根据导数的定义可知， . 故选：B 17．若函数的满足，则（    ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】D 【分析】由极限的定义化简即可求出答案. 【详解】因为， 所以 故选：D 18．若可导函数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据导数定义可直接得到结果. 【详解】由导数的定义知：. 故选：C. 19．设，则（    ） A． B． C．3 D．12 【答案】B 【分析】根据导数的定义进行转化即可. 【详解】，. 故选：B 20．若，则函数在处可导是函数在可导的（    ）． A．充要条件 B．充分非必要条件 C．必要非充分条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】C 【分析】利用定义法直接判断. 【详解】充分性：函数在处可导不能推出函数在可导.故充分性不满足； 必要性：因为函数在可导，，所以函数在可导.必要性满足. 故函数在处可导是函数在可导的必要非充分条件. 故选：C 21．已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据导数的定义可求. 【详解】由导数的定义得: ． 故选：D. 22．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据导数的概念转化求解即可. 【详解】因为， 所以. 故选：C. 23．已知函数在处的导数为1，则 . 【答案】1 【分析】根据导数的定义可得答案． 【详解】根据题意，由极限的性质可得 ， 又由函数在处的导数为，即， 故. 故答案为：1. 24．已知是定义在R上的可导函数，若，则 . 【答案】/ 【分析】根据导数的定义计算可得结果. 【详解】由导数的定义，可得. 故答案为： 25．已知函数，则 ． 【答案】12 【分析】由导数的定义计算即可. 【详解】 故答案为：12 【题型4利用定义求函数在一点处的导数(切线斜率/倾斜角) 】 26．设存在导函数且满足，则曲线上的点处的切线的斜率为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】由导数的定义及几何意义即可求解. 【详解】解：因为存在导函数且满足， 所以，即曲线上的点处的切线的斜率为， 故选：A. 27．已知曲线y＝x3上一点P，则该曲线在P点处切线的斜率为（    ） A．4 B．2 C．－4 D．8 【答案】A 【分析】由导数的定义求出该曲线在P点处切线的斜率. 【详解】 故y′＝x2，y′|x＝2＝22＝4， 结合导数的几何意义知，曲线在P点处切线的斜率为4. 故选：A 28．已知函数的导函数为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】直接由导数定义可得答案. 【详解】由导数定义和，得. 故选：D. 29．在抛物线上任取A、B两点，若过A、B点作抛物线的切线斜率分别为－2，4，则直线AB的斜率为（    ） A．1 B．3 C．－1 D．－3 【答案】A 【分析】借助导数，运用导数几何意义，结合在某点处的切线可解. 【详解】求导，得到,设，， 则，， 由于， 两式子相加得到,则. 故. 故选：A. 30．曲线在点处的切线的倾斜角等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用导函数定义求得导函数，根据切线的几何意义以及倾斜角的定义，可得答案. 【详解】 ， 所以.又切线的倾斜角的范围为，所以所求倾斜角为. 故选：C 31．若直线过原点，且与函数的图像相切，则该直线的斜率为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】 求导，由切点坐标可得切线斜率，由点斜式即可得切线方程，代入坐标原点即可求解，进而可求斜率. 【详解】因为，所以，设切点为，所以 ， 所以切线方程为， 又切线过坐标原点，所以，解得， 所以切线方程的斜率为. 故选：B 【题型5求过一点的切线方程】 32．过点且与曲线相切的直线方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据导数几何意义以及斜率公式，计算可得切点坐标，即可求得切线方程. 【详解】，点不在曲线上， 设切点为，则， 解得：，得切点，则 切线方程为：， 故选：． 33．过点且与曲线相切的直线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】先设过点的切线，再根据点在曲线上及切线斜率等于导数值解方程即可求值进而求出切线. 【详解】设过点的曲线的切线为： ， 有, 解得或, 代入可得或. 故选： 34．过原点且与函数图像相切的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先设出切点，再利用导数的几何意义建立方程求出切线的斜率即可得到结果. 【详解】因为，所以， 设所求切线的切点为，则， 由题知，，解得，所以切线斜率为， 故所求切线方程为. 故选：C. 35．过点作曲线C：的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为（    ） A．2x＋y－8＝0 B．x＋2y－8＝0 C．2x＋y－4＝0 D．x＋2y－4＝0 【答案】A 【分析】先求得A，B两点的坐标，再去求直线AB的方程即可. 【详解】设切点坐标为，由，则切线斜率为 切线方程为，又切线过点 则，即，解之得或 则可令 则 则直线AB的方程为，即2x＋y－8＝0 故选：A 36．多选题过点作曲线的切线，则切线方程可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】结合导数的几何意义，根据点是不是切点进行分类讨论即可. 【详解】. 当点是切点时，此时切线的斜率为：， 所以切线方程为：； 当点是不切点时，设切点为，即， 此时切线的斜率为：， 所以切线方程为：，把点代入得： ， ，解得：，或舍去， 所以切线方程为：， 故选：BC 37．过点与曲线相切的切线方程为 ． 【答案】 【分析】根据求曲线过某点的切线方程的步骤，先设出切点坐标，再根据两点求斜率即可求解. 【详解】设切点为，则， 得，则切点为， 切线方程为，即． 故答案为：. 38．过点且与曲线相切的直线方程为 . 【答案】或 【分析】设切点的横坐标为，利用导数构建关于的方程后求出，从而可求切线方程. 【详解】设切点为的横坐标为， 因为，故， 故，整理得到：， 故或，故切线的斜率为或， 故切线方程为或， 即或， 故答案为：或， 39．过点且与相切的直线方程为 . 【答案】 【分析】设切点为，利用导数可得出切线方程，将点的坐标代入切线方程，求出的值，即可得出所求切线的方程. 【详解】设切点为，对函数求导得， 所以，曲线在点处的切线方程为，即， 将点的坐标代入切线方程可得，可得，解得， 故所求切线方程为. 故答案为：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$