5.2 导数的运算（知识解题+达标测试）-2024-2025学年高二数学《知识解读•题型专练》（人教A版2019选择性必修第二册）

5.2 导数的运算 【考点1：基本初等函数的导数公式的简单应用】 【考点2：解析式中含，求】 【考点3：在点处，求切线方程】 【考点4：过点处，求切线方程】 【考点5：四则运算法则的简单应用】 【考点6：根据复合函数求导法则求导】 【考点7：与相关的计算问题】 知识点1：基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 (为常数) 知识点2：切线问题 （1）已知函数，在点的切线方程； ① ② （2）已知函数，过点的切线方程 ①设切点 ②求斜率 ③利用两点求斜率 ④利用求出切点，再回带求出斜率，进而利用点斜式求切线。 【考点1：基本初等函数的导数公式的简单应用】 【典例1】求下列函数的导数： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式1-1】下列求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】下列求导运算结果错误的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】已知函数，则等于（    ） A． B． C． D． 【考点2：解析式中含，求】 【典例2】已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】已知函数，则（   ） A． B． C．1 D．2 【变式2-2】已知函数，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2-3】已知，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【考点3：在点处，求切线方程】 【典例3】已知函数，则函数的图象在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】曲线在点处的切线的方程是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】曲线在点处的切线方程是（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】函数的图象在点处的切线方程为 . 【考点4：过点处，求切线方程】 【典例4】求抛物线过点的切线方程． 【变式4-1】曲线过点的切线方程为 . 【变式4-2】已知函数，过点作曲线的切线，则其切线方程为 . 知识点3：导数的四则混合运算法则 1、两个函数和的和（或差）的导数法则： . 2、对于两个函数和的乘积（或商）的导数，有如下法则： ； . 3、由函数的乘积的导数法则可以得出， 也就是说，常数与函数的积的导数，等于常数与函数的导数的积，即. 【考点5：四则运算法则的简单应用】 【典例5】求下列函数的导数： (1)； (2)； (3)； 【变式5-1】求下列函数的导数. (1) ； (2) ； (3)； (4)； 【变式5-2】求下列函数的导数． (1) ； (2)； (2) ； (4)； (5)（，且）； 【变式5-3】求下列函数的导数. (1) ； (2)； (3)； (4)； (5). 知识点4：复合函数 1.复合函数的概念 一般地，对于两个函数和，如果通过中间变量，可以表示成的函数，那么称这个函数为函数和的复合函数，记作. 2．复合函数的求导法则 复合函数的导数和函数，的导数间的关系 为,即对的导数等于对的导数与对的导数的乘积 3．复合函数求导的步骤（分解→求导→回代） 分解：选定中间变量，正确分解复合关系 ↓ 求导：步骤求导(弄清每一步求导是哪个变量对哪个变量求导),要特别注意中间变量对自变量求导,即先求，再求. ↓ 回代：计算，并把中间变量转化为自变量的函数 【考点6：根据复合函数求导法则求导】 【典例6】求下列函数的导数：； 【变式6】求下列函数的导数. (1)： (2) 【考点7：与相关的计算问题】 【典例7】已知函数，则（    ） A．0 B．2 C．3 D．4 【变式7-1】设是的导函数，已知，则（    ） A． B．1 C． D．2 【变式7-2】已知函数的导函数为，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】已知函数满足，则 . 1．若，则等于（    ） A． B． C． D． 2．若，则（    ） A． B． C． D． 3．曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 4．若，，则的值等于（    ） A． B． C． D． 5．已知函数，则（    ） A． B．1 C．4 D．2 6．已知函数的导函数为，且，则（   ） A． B． C． D． 7．已知，，若m满足，则m的值为（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 8．多选题下列求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 9．（多选）下列函数是复合函数的是（    ） A． B． C． D． 10．函数的图象在点处的切线方程为 . 11．已知函数，则 . 12．已知函数，点在曲线上. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求曲线过点的切线方程. 13．设函数，曲线过，且在P点处的切线斜率为2. (1)求a，b的值； (2)求该切线方程. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 5.2 导数的运算 【考点1：基本初等函数的导数公式的简单应用】 【考点2：解析式中含，求】 【考点3：在点处，求切线方程】 【考点4：过点处，求切线方程】 【考点5：四则运算法则的简单应用】 【考点6：根据复合函数求导法则求导】 【考点7：与相关的计算问题】 知识点1：基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 (为常数) 知识点2：切线问题 （1）已知函数，在点的切线方程； ① ② （2）已知函数，过点的切线方程 ①设切点 ②求斜率 ③利用两点求斜率 ④利用求出切点，再回带求出斜率，进而利用点斜式求切线。 【考点1：基本初等函数的导数公式的简单应用】 【典例1】求下列函数的导数： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】利用求导公式逐个求解即可. 【详解】（1）因为， 所以． （2）因为， 所以． （3）因为， 所以． （4）因为， 所以． 【变式1-1】下列求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由基本初等函数求导法则即可得解. 【详解】由题意，，，. 故选：C. 【变式1-2】下列求导运算结果错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据初等函数的导数公式逐项判定，可得答案. 【详解】对于A，，故A错误；     对于B，，故B正确； 对于C，，故C正确；     对于D，，故D正确. 故选：A. 【变式1-3】已知函数，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用导数的概念计算即可. 【详解】由题意可知. 故选：D 【考点2：解析式中含，求】 【典例2】已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出函数的导数，再代入求出导数值. 【详解】函数，求导得， 所以. 故选：D. 【变式2-1】已知函数，则（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】求出函数的导数，再代入求值即可. 【详解】函数，求导得，所以. 故选：A 【变式2-2】已知函数，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】求出函数的导函数，再代入计算可得. 【详解】因为，所以，则. 故选：C 【变式2-3】已知，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，求得，得出方程，即可求解. 【详解】由函数，可得，则， 因为，可得，解得. 故选：C. 【考点3：在点处，求切线方程】 【典例3】已知函数，则函数的图象在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出函数的导数，再利用导数的几何意义求出切线方程. 【详解】函数，求导得，则，而， 所以所求切线方程为，即. 故选：D 【变式3-1】曲线在点处的切线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用导数公式及导数的几何意义，结合直线的点斜式方程即可求解. 【详解】 所以曲线在点处的切线的斜率为， 所以曲线在点处的切线的方程是，即. 故选：A. 【变式3-2】曲线在点处的切线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据导数的几何意义求出切线斜率即可得解. 【详解】由可得， 所以, 故切线方程为，即. 故选：D 【变式3-3】函数的图象在点处的切线方程为 . 【答案】 【分析】 求出函数的导数，利用导数的几何意义求出切线方程. 【详解】函数，求导得，则，而， 所以所求切线方程为，即. 故答案为： 【考点4：过点处，求切线方程】 【典例4】求抛物线过点的切线方程． 【答案】或 【分析】先设出切点，再根据导数求出切线的斜率，再根据切点和求出切线斜率，利用斜率相等求出切点，最后根据切点和斜率利用点斜式即可求出切线的方程. 【详解】解：设过点的切线与抛物线相切于点， ， ， ， 即， 解得或， 即切点坐标为，， 故切线方程为或， 即所求的切线方程为或． 【变式4-1】曲线过点的切线方程为 . 【答案】 【分析】求出导函数，设切点为 ，表示出切线方程，由切线过点，代入求出，再代入即可. 【详解】因为，所以，设切点为 ，则， 所以切线方程为，又切线过点， 所以，解得， 所以切线方程为即. 故答案为： 【变式4-2】已知函数，过点作曲线的切线，则其切线方程为 . 【答案】 【分析】设切点为，利用导数的几何意义求出切线方程，再由切线过点，代入求出，即可求出切线方程. 【详解】设切点为，由，则， 则， 所以切线方程为， 又切线过点，所以，解得， 所以切线方程为，即. 故答案为： 知识点3：导数的四则混合运算法则 1、两个函数和的和（或差）的导数法则： . 2、对于两个函数和的乘积（或商）的导数，有如下法则： ； . 3、由函数的乘积的导数法则可以得出， 也就是说，常数与函数的积的导数，等于常数与函数的导数的积，即. 【考点5：四则运算法则的简单应用】 【典例5】求下列函数的导数： (1)； (2)； (3)； 【答案】(1) (2) (3) 【分析】根据基本初等函数、积的导数、商的导数的求导公式逐项求导即可． 【详解】（1） （2） （3） 【变式5-1】求下列函数的导数. (1)； (2) ； (3)； (4)； 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】利用基本初等函数求导公式和求导法则计算出答案. 【详解】（1）； （2）； （3）； （4）. 【变式5-2】求下列函数的导数． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)（，且）； 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】直接根据导数的运算法则计算即可． 【详解】（1），. （2），. （3），. （4），. （5），. 【变式5-3】求下列函数的导数. (1)； (2)； (3)； (4)； (5). 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】利用导数的求导法则与初等函数的导数公式可求解. 【详解】（1）由，可得； （2）由，可得， （3）由，可得， （4）由，可得； （5）由，可得. 知识点4：复合函数 1.复合函数的概念 一般地，对于两个函数和，如果通过中间变量，可以表示成的函数，那么称这个函数为函数和的复合函数，记作. 2．复合函数的求导法则 复合函数的导数和函数，的导数间的关系 为,即对的导数等于对的导数与对的导数的乘积 3．复合函数求导的步骤（分解→求导→回代） 分解：选定中间变量，正确分解复合关系 ↓ 求导：步骤求导(弄清每一步求导是哪个变量对哪个变量求导),要特别注意中间变量对自变量求导,即先求，再求. ↓ 回代：计算，并把中间变量转化为自变量的函数 【考点6：根据复合函数求导法则求导】 【典例6】求下列函数的导数：； 【答案】 、【详解】. 【变式6】求下列函数的导数. (1)： (2) 【答案】 (1) (2) 【详解】 （1）若，则. （2）若，则. 【考点7：与相关的计算问题】 【典例7】已知函数，则（    ） A．0 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】对函数求导，再令，得，即可求解． 【详解】， 令，得，得， 则，得， 故选：C 【变式7-1】设是的导函数，已知，则（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】D 【分析】根据导数求导法则求出函数导数，再进行赋值求出，即可求解. 【详解】，当时，， 所以，. 故选：D. 【变式7-2】已知函数的导函数为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对求导，再令即可求解. 【详解】因为， 所以. 令，则，解得. 故选：. 【变式7-3已知函数满足，则 . 【答案】 【分析】根据给定等式，两边求导并赋值求出，再代入计算即得. 【详解】函数，求导得， 由，解得，于是 所以. 故答案为： 1．若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】按照导数四则运算法则求导即可． 【详解】． 故选：C． 2．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据导数的运算法则计算可得. 【详解】因为， 所以. 故选：B 3．曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据导数几何意义，该点处的导数值为切线的斜率，求出切线斜率，再利用点斜式即可得出所求切线方程. 【详解】由，得， 所以曲线在点处的切线斜率为， 所以所求切线方程为，即. 故选：B. 4．若，，则的值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由幂函数导数公式可求，由条件列方程求. 【详解】因为，所以， 又， 所以， 所以. 故选：A. 5．已知函数，则（    ） A． B．1 C．4 D．2 【答案】C 【分析】求导可求得. 【详解】由，可得，则. 故选：C. 6．已知函数的导函数为，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求导可得，令，求解即可. 【详解】由，可得， 所以，解得. 故选：B. 7．已知，，若m满足，则m的值为（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】A 【分析】根据题意求导即可列方程求解. 【详解】，，解得． 故选：A. 8．多选题下列求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据常见函数的导数及复合函数的导数判断即可. 【详解】对于A，常数的导数为0，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D错误. 故选：BC. 9．（多选）下列函数是复合函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据复合函数的定义判断即可. 【详解】根据复合函数的定义可知 对于A,为两个基本初等函数相乘，不是复合函数； 对于B，可以看成和两个函数复合而成； 对于C，可以看成和两个函数复合而成； 对于D，可以看成和两个函数复合而成， 所以选项A不是复合函数，BCD都是复合函数. 故选：BCD. 10．函数的图象在点处的切线方程为 . 【答案】 【分析】利用导数的几何意义求得切线方程. 【详解】依题意，， 所以函数在点处的切线方程为. 故答案为： 11．已知函数，则 . 【答案】 【分析】根据题意，求得，结合，即可求解. 【详解】由函数，可得， 又由. 故答案为：. 12．已知函数，点在曲线上. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求曲线过点的切线方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）由已知条件求出的值，求出的值，利用导数的几何意义可得出所求切线的方程； （2）设切点坐标为，利用导数的几何意义写出切线方程，将点的坐标代入切线方程，求出的值，即可得出所求切线的方程. 【详解】（1）解：因为函数，点在曲线上，则，所以，， 所以，，则， 因此，曲线在点处的切线方程为，即. （2）解：设切点坐标为，则， 所以，曲线在点处的切线方程为，即， 将点的坐标代入切线方程可得，解得或， 当时，所求切线方程为； 当时，所求切线方程为. 综上所述，曲线过点的切线方程为或. 13．设函数，曲线过，且在P点处的切线斜率为2. (1)求a，b的值； (2)求该切线方程. 【答案】(1)， (2) 【分析】 （1）求出导函数，利用曲线过，且在点处的切线斜率为2．列出方程组，即可求，的值； （2）根据导数几何意义确定切点坐标与斜率，即可得切线方程. 【详解】（1） ， 又过点，且在点处的切线斜率为2， ，则，解得，． （2）由题得切点坐标为，曲线在P点处的切线斜率为2， 则该切线方程为：，即. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$