专题4.2 等差数列（七大题型）（题型专练+易错精练）-2024-2025学年高二数学《知识解读•题型专练》（人教A版2019选择性必修第二册）

专题4.2 等差数列（七大题型） 【题型1等差数列前n项和的基本量计算】 【题型2利用等差中项运算】 【题型3等差数列的证明】 【题型4由等差数列的前n项和求通项公式】 【题型5等差数例前n项和的性质】 【题型6求等差数列的前n项和】 【题型7等差数列前n项和的最值】 【题型1等差数列前n项和的基本量计算】 1．已知等差数列，，，则（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 2．已知数列为等差数列，且，，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 3．在等差数列中，，，则（   ） A．10 B．17 C．21 D．35 4．等差数列满足，，则（    ） A． B． C． D． 5．已知等差数列满足，则（    ） A．3 B．4 C．8 D．10 6．已知数列是等差数列，是方程的两个实数根，则的值为（   ） A．7 B． C．4 D． 【题型2利用等差中项运算】 7．已知和的等差中项是4，和的等差中项是5，则和的等差中项是（    ） A．8 B．6 C．4.5 D．3 8．在等差数列中，，，则（   ） A．1 B．0 C． D． 9．在等差数列中，，则（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 10．是等差数列，，则（   ） A． B． C． D． 【题型3等差数列的证明】 11．已知数列满足：，. (1)若，求证：为等差数列. (2)求数列的前项和. 12．已知非零数列满足：，． (1)求证：是等差数列； (2)求数列的前项和. 13．设数列的前项和为，已知，且． (1)证明：数列是等差数列； (2)求数列的通项公式． 14．已知数列，，且满足，． (1)证明：数列是等差数列并求出的通项公式； (2)若是数列的前n项和，求数列的通项公式. 15．已知数列的前n项和为，且．证明：数列是等差数列； 16．已知数列满足．证明：数列是等差数列； 【题型4由等差数列的前n项和求通项公式】 17．等差数列的前项和． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 18．设是数列的前n项和，. (1)求的通项公式，并求的最小值； (2)设，求数列的前n项和. 19．已知数列的前项和为. (1)求数列的通项公式； (2)记，求数列的前项和. 20．已知数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 21．已知数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 22．已知数列的前项和为，若． (1)求数列通项公式； (2)若，求数列的前项和． 23．已知数列的前项和为，且. (1)求的通项公式 (2)若，求的前项和. 24．数列各项均为正数，的前n项和记作，已知，． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前2023项和． 【题型5等差数例前n项和的性质】 25．已知数列的前项和，则等于（   ） A．12 B．15 C．18 D．21 26．数列是等差数列，，，记是的前9项和，则（    ） A．， B．， C．， D．， 27．设等差数列的前项和为若是方程的两根，则（ ） A． B． C． D． 28．已知等差数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C． D． 29．已知等差数列的项数为奇数，且奇数项的和为40，偶数项的和为32，则（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 30．已知两个等差数列1，5，9，…，和1，6，11，…，将这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，且的前n项和为，则（    ） A．910 B．900 C．890 D．880 31．在等差数列中，若，则 . 32．已知为等差数列的前项和，若，则 . 【题型6求等差数列的前n项和】 33．记等差数列的前项和为，若，则（    ） A．13 B．45 C．65 D．130 34．已知等差数列，前项和为，则（    ） A．20 B．25 C．30 D．35 35．已知等差数列的前项和为，若，则（    ） A．36 B．45 C．72 D．90 36．等差数列前项和为，则（   ） A．44 B．48 C．52 D．56 37．记为等差数列的前项和，若，则 . 38．一个有限项的等差数列，前4项之和为40，最后4项之和是80，所有项之和是300，则此数列的项数为 ． 39．已知等差数列前n项和为，，则 ． 40．设等差数列的前n项和为，若，则 ． 41．已知等差数列满足，，则前7项之和为 ． 42．等差数列满足，则 ． 43．记等差数列的前项和为，若，则 . 【题型7等差数列前n项和的最值】 44．已知数列的前项和为 (1)求数列的通项公式 (2)判断数列是否是等差数列，若是，加以证明；若不是请说明理由； (3)求的最小值，并求取最小值时的值． 45．为等差数列的前项和，已知， (1)求数列的通项公式； (2)当取什么值时，数列的前项和有最小值，最小值是多少? 46．已知等差数列的前n项和为，，. (1)求数列的通项公式； (2)当n为多少时取得最大值，并求的最大值； (3)若，求数列的前n项和. 47．设为等差数列的前项和，已知. (1)求数列的通项公式； (2)当为何值时，最大，并求出的最大值. 48．已知在等差数列中，． (1)求数列的通项公式； (2)若数列的前项和，则当为何值时取得最大，并求出此最大值． 49．设是等差数列的前项和，，. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和的最值. 50．记为等差数列的前n项和，已知． (1)求的通项公式； (2)求，并求的最大值． 51．在等差数列中，为数列的前n项和，且，. (1)求数列的通项公式； (2)求的最小值及对应n的值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题4.2 等差数列（七大题型） 【题型1等差数列前n项和的基本量计算】 【题型2利用等差中项运算】 【题型3等差数列的证明】 【题型4由等差数列的前n项和求通项公式】 【题型5等差数例前n项和的性质】 【题型6求等差数列的前n项和】 【题型7等差数列前n项和的最值】 【题型1等差数列前n项和的基本量计算】 1．已知等差数列，，，则（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【分析】根据等差数列的性质即可求解. 【详解】由，可得公差， 故， 故选：B 2．已知数列为等差数列，且，，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【分析】先利用等差数列的性质可得，进而可得公差，再利用和公差求出. 【详解】由等差数列的下角标性质可知 ，得， ，得， 设等差数列的公差为，则， 所以. 故选：D. 3．在等差数列中，，，则（   ） A．10 B．17 C．21 D．35 【答案】B 【分析】首先求出公差，再应用等差数列通项公式即可求出. 【详解】设等差数列的公差为，则， 所以. 故选：B 4．等差数列满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等差数列通项公式可得与，进而可得解. 【详解】设等差数列的公差为，则， 则， 解得， 则， 所以， 故选：A. 5．已知等差数列满足，则（    ） A．3 B．4 C．8 D．10 【答案】B 【分析】根据题意，将式子化为与，代入计算，即可得到结果. 【详解】设等差数列的公差为， 则 . 故选：B. 6．已知数列是等差数列，是方程的两个实数根，则的值为（   ） A．7 B． C．4 D． 【答案】A 【分析】先根据根与系数之间的关系得到两根的和，再根据等差中项的概念可得到结果. 【详解】∵是方程的两个实数根， ∴， ∵是的等差中项， ∴， 故选：A. 【题型2利用等差中项运算】 7．已知和的等差中项是4，和的等差中项是5，则和的等差中项是（    ） A．8 B．6 C．4.5 D．3 【答案】D 【分析】运用等差中项概念及性质可解. 【详解】，， ，， 和的等差中项是. 故选：D. 8．在等差数列中，，，则（   ） A．1 B．0 C． D． 【答案】A 【分析】利用等差数列的中项求解. 【详解】解：由等差数列的性质可知， 所以． 故选：A． 9．在等差数列中，，则（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】根据等差中项的性质，建立方程求解即可. 【详解】因为是等差数列，所以，则. 故选：C. 10．是等差数列，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用等差中项即可求解. 【详解】， 故选：D 【题型3等差数列的证明】 11．已知数列满足：，. (1)若，求证：为等差数列. (2)求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）将两边取倒数，即可得到，从而得证； （2）由（1）可得，从而得到，利用裂项相消法计算可得. 【详解】（1）因为，所以， 即，，又， 所以是以为首项，为公差的等差数列； （2）由（1）可得，则， 所以， 所以 . 12．已知非零数列满足：，． (1)求证：是等差数列； (2)求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）由题设有，且，即可证结论； （2）由（1）得即可求，再应用裂项相消求和即可. 【详解】（1）由题设，不为0， 则，且， 所以是首项为1、公差为2的等差数列. （2）由（1）知：，所以， 所以， 数列的前n项和为 ， 所以. 13．设数列的前项和为，已知，且． (1)证明：数列是等差数列； (2)求数列的通项公式． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用可得，再次作差后可得，故可得是等差数列． （2）求出可得的通项公式. 【详解】（1）证明：由，得， ∴， 两式相减得，，则有， 两式相减得，， ∴数列是等差数列． （2）当时，，∴，又，∴， ∴． 14．已知数列，，且满足，． (1)证明：数列是等差数列并求出的通项公式； (2)若是数列的前n项和，求数列的通项公式. 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）定义法证明等差数列，再求出首项与公差由等差数列通项公式可得所求； （2）由与关系分类求通项公式即可得. 【详解】（1）由， 则 ， 故数列是等差数列，且首项为，公差为. 则， 即的通项公式为. （2）由，则 由（1）知，所以， 当时， . 当时，时，也适合. 综上所述，数列的通项公式为. 15．已知数列的前n项和为，且．证明：数列是等差数列； 【答案】证明见解析 【分析】当求出，然后将代入已知等式化简可得结论. 【详解】证明：当时，，得， 当时，由，得， 所以，所以（常数）， 故数列是以为首项，2为公差的等差数列． 16．已知数列满足．证明：数列是等差数列； 【答案】证明见解析 【分析】令，然后根据已知条件结合等差数列的定义证明即可. 【详解】证明：令，又，则有 ， 因为，所以， 所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列 【题型4由等差数列的前n项和求通项公式】 17．等差数列的前项和． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由，利用数列的通项和前n项和的关系求解； （2）由时，；当时，求解. 【详解】（1）解：当时，； 当时，． 当时，也符合的形式， 所以数列的通项公式为． （2）令，又，解得. 当时，； 当时，， ， 所以. 18．设是数列的前n项和，. (1)求的通项公式，并求的最小值； (2)设，求数列的前n项和. 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）代入计算，当时，令，计算结果即可求出的通项公式； （2）写出数列与数列的关系，结合数列的前n项和公式即可求出数列的前n项和. 【详解】（1）由数列的前n项和， 当时，； 当时， ；   令时，，满足题意， 所以数列的通项公式，   由得， ∴时，时， ∴的最小值为. （2）由（1）知，当时，； 时，，， 当时，.   当时，，   ∴. 19．已知数列的前项和为. (1)求数列的通项公式； (2)记，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据作差即可得解； （2）由（1）可得，利用裂项相消法计算可得. 【详解】（1）数列的前项和为， 当时， 当时， 所以， 又当时，也成立， 数列的通项公式为. （2）由（1）可得， 设数列的前项和为， 则 . 20．已知数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由的关系即可得解. （2）由裂项相消法即可得解. 【详解】（1）由题意，当时， 所以， 又， 所以的通项公式为. （2）由题意， 所以. 所以数列的前项和. 21．已知数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用的关系式即可求得的通项公式为； （2）由（1）可得，利用裂项相消求和可得. 【详解】（1）当时，， 当时，. 符合， 所以的通项公式为. （2）由（1）可得， 则， 所以数列的前项和. 22．已知数列的前项和为，若． (1)求数列通项公式； (2)若，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用与之间的关系，可求出的通项公式. （2）先通过通项公式判断前5项小于0，第6项以后都是大于0，可以分，和，两部分进行求和，即可得出答案. 【详解】（1）因为， 当时，， 所以时，， 由①②相减可得，，， 当时，不相符， 故的通项公式为：． （2）因为， 所以， 当时，；当时，， 由（1）中结论可知，当时，； 当时，， 从而． 23．已知数列的前项和为，且. (1)求的通项公式 (2)若，求的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）当时，可得，再由，进而得到数列的通项公式； （2）由，得到，结合等差数列的求和公式，分别求得时，可得；时，可得，进而求得的前项和. 【详解】（1）由， 当时，可得， 当时，，适合上式， 所以数列的通项公式为. （2）由，可得，则， 令，可得， 当时，可得， 当时，可得 ， 因为，所以， 所以. 24．数列各项均为正数，的前n项和记作，已知，． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前2023项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）当时，有相减得,结合各项均为正数，并因式分解即可求解. （2）由（1）得，结合可知，由裂项相消法即可求解. 【详解】（1）当时，有相减得，即，各项均为正数， 所以， 又当时，， 解得或(舍)， 所以对任意正整数n，均有， 故是以首项为1，公差以1的等差数列， 所以． （2）由于， 故， 由（1）得， 记前n项和为，则 ， 所以. 【题型5等差数例前n项和的性质】 25．已知数列的前项和，则等于（   ） A．12 B．15 C．18 D．21 【答案】B 【分析】根据前项和的性质即可求解. 【详解】因为， 则． 故选：B． 26．数列是等差数列，，，记是的前9项和，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】利用等差数列的性质与求和公式的性质计算即可. 【详解】设该等差数列的公差为d，则， 则，. 故选：D 27．设等差数列的前项和为若是方程的两根，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由根与系数的关系求出，再根据等差数列的性质即可求出． 【详解】由题可得，，所以，即． 故选：A． 28．已知等差数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据等差数列前n项和公式及性质，可求得的值，利用性质即可求得答案. 【详解】根据等差数列公式及性质可得， 所以， 所以. 故选：D 29．已知等差数列的项数为奇数，且奇数项的和为40，偶数项的和为32，则（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】A 【分析】设等差数列有，项．公差为．由于奇数项和为40，偶数项和为32，可得，，分别相加相减即可得出． 【详解】解：设等差数列有奇数项，．公差为． 奇数项和为40，偶数项和为32， ， ， ，， ，即等差数列共项，且 故选：． 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式性质及其前项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 30．已知两个等差数列1，5，9，…，和1，6，11，…，将这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，且的前n项和为，则（    ） A．910 B．900 C．890 D．880 【答案】A 【分析】先确定新数列的首项，再根据两个等差数列的公共项构成的数列依然是等差数列，且公差是原来两个等差数列公差的最小公倍数确定公差，可求前10项和. 【详解】因为两个等差数列的首项均为1，公差分别为4，5， 所以是首项为1，公差为的等差数列，则． 故选：A 31．在等差数列中，若，则 . 【答案】15 【分析】利用等差数列的通项公式的基本运算求解. 【详解】在等差数列中，因为， 所以，解得， 所以， 故答案为：15 32．已知为等差数列的前项和，若，则 . 【答案】 【分析】由等差数列前项和的性质以及基本量的运算转化，再用表示，借助于两者之间的关系计算结果. 【详解】解：由数列前项和的性质可知：，即， 则. 故答案为： 【题型6求等差数列的前n项和】 33．记等差数列的前项和为，若，则（    ） A．13 B．45 C．65 D．130 【答案】C 【分析】由等差数列的求和公式及等差数列的性质求解． 【详解】解：， 故选：C 34．已知等差数列，前项和为，则（    ） A．20 B．25 C．30 D．35 【答案】C 【分析】由已知结合等差数列的求和公式即可求解. 【详解】设等差数列的首项为，公差为，则， 化简得， 故选：C. 35．已知等差数列的前项和为，若，则（    ） A．36 B．45 C．72 D．90 【答案】C 【分析】先由求得公差d，再由等差数列前n项和公式求解. 【详解】解：因为数列是等差数列，且， 所以，解得 ， 所以， 故选：C 36．等差数列前项和为，则（   ） A．44 B．48 C．52 D．56 【答案】C 【分析】根据等差数列前n项和公式结合等差数列项的性质计算即可 【详解】. 故选：C. 37．记为等差数列的前项和，若，则 . 【答案】10 【分析】根据等差数列的性质化简求值即可. 【详解】由，得. 又， 所以， 则，故. 故答案为：10 38．一个有限项的等差数列，前4项之和为40，最后4项之和是80，所有项之和是300，则此数列的项数为 ． 【答案】20 【分析】由题意可得，，两式相加，且由等差数列的性质可求的值，代入等差数列的前项和公式，结合已知条件可求的值． 【详解】由题意可得： 前4项之和为①， 后4项之和为②， 根据等差数列的性质①②可得： ， 由等差数列的前项和公式可得：， 所以． 故答案为：20. 39．已知等差数列前n项和为，，则 ． 【答案】20 【分析】根据等差数列的性质，推得也成等差数列，再结合已知数据，即可求解． 【详解】等差数列前n项和为，则也成等差数列， 则，由，有，解得． 又，即，解得． 故答案为：20 40．设等差数列的前n项和为，若，则 ． 【答案】20 【分析】根据等差数列下标和的性质计算. 【详解】由题意得，故. 故答案为：20. 41．已知等差数列满足，，则前7项之和为 ． 【答案】104 【分析】根据条件，求出等差数列通项公式，写出，利用等差数列求和公式求前5项与后2项的和，相加即可. 【详解】因为为等差数列，设公差为d，，所以. 所以，所以前7项之和为. 故答案为：104. 42．等差数列满足，则 ． 【答案】 【分析】根据等差数列下标和性质求出，再由等差数列求和公式及下标和性质计算可得. 【详解】等差数列满足，又，， 所以，所以， 所以. 故答案为： 43．记等差数列的前项和为，若，则 . 【答案】 【分析】根据下标和的性质及等差数列求和公式计算可得. 【详解】因为，又， 所以，所以. 故答案为： 【题型7等差数列前n项和的最值】 44．已知数列的前项和为 (1)求数列的通项公式 (2)判断数列是否是等差数列，若是，加以证明；若不是请说明理由； (3)求的最小值，并求取最小值时的值． 【答案】(1) (2)是等差数列，证明见详解； (3)；或5 【分析】（1）根据与的关系求出通项公式； （2）根据等差数列的定义判断； （3）结合二次函数性质求解最小值及取得最小值时n的值. 【详解】（1）当时，， 当时，， 又， 所以时，也成立， 所以数列的通项公式为，. （2）数列为等差数列，证明如下： 因为， 所以数列是等差数列. （3）因为，又， 所以当或时，最小，最小值为. 45．为等差数列的前项和，已知， (1)求数列的通项公式； (2)当取什么值时，数列的前项和有最小值，最小值是多少? 【答案】(1) (2)，最小值为. 【分析】（1）根据等差数列的公式，建立首项和公差的方程组，即可求解； （2）根据（1）的结果，求等差数列的前项和，再利用二次函数求最小值. 【详解】（1）设的公差为，首项为， 由， 得，解得， 所以. （2） ， 所以当时，有最小值，最小值为. 46．已知等差数列的前n项和为，，. (1)求数列的通项公式； (2)当n为多少时取得最大值，并求的最大值； (3)若，求数列的前n项和. 【答案】(1)； (2)，取得最大值； (3). 【分析】（1）根据等差数列基本量的计算，转化已知条件求得首项和公差，即可写出通项公式； （2）求得，根据二次函数的性质，即可求得结果； （3）对分类讨论，在不同情况下，借助，即可求得结果. 【详解】（1）设等差数列的公差为d，因为等差数列的前n项和为，，， 可得，，解得，，所以. （2）根据（1）中所求，， 是关于的二次函数，其对称轴； 又，所以当n为6时取得最大值，的最大值为36. （3）因为，所以，， 当时， ； 当时， ， 综上. 47．设为等差数列的前项和，已知. (1)求数列的通项公式； (2)当为何值时，最大，并求出的最大值. 【答案】(1) (2)，最大值 【分析】（1）直接根据等差数列的通项公式和求和公式列方程组求解； （2）求出，然后利用二次函数的性质求最值. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 则，解得， 所以数列的通项公式为， 即； （2）由（1）得， 由二次函数的性质可得， 当时，最大，且最大值为. 48．已知在等差数列中，． (1)求数列的通项公式； (2)若数列的前项和，则当为何值时取得最大，并求出此最大值． 【答案】(1)； (2)时取得最大值为. 【分析】（1）根据已知及等差数列通项公式求基本量，进而写出通项公式； （2）写出等差数列前n项和，应用其二次函数性质求最大值和对应n. 【详解】（1）设等差数列的公差为，则， 故， 所以. （2）由，且， 所以， 故时取得最大，最大值为. 49．设是等差数列的前项和，，. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和的最值. 【答案】(1) (2)有最小值，没有最大值. 【分析】（1）由等差数列及其前项和基本量的计算可得，由此即可得解. （2）由等差数列前项和公式的二次函数特性即可得解. 【详解】（1）不妨设等差数列的首项、公差分别为， 由题意，， 解得， 所以， 即数列的通项公式为. （2）由（1）可知，所以，对称轴为， 所以当时，有最小值，没有最大值. 50．记为等差数列的前n项和，已知． (1)求的通项公式； (2)求，并求的最大值． 【答案】(1) (2)，21 【分析】（1）根据等差数列的前项和公式可求出公差，从而利用等差数列的通项公式即可求出答案； （2）根据等差数列的前项和公式和二次函数的性质，即可直接求出答案. 【详解】（1）设数列的公差为，由得， 即，由，得． 所以的通项公式为． （2）由（1）得． 因为， 所以当或时，取得最大值，最大值为21． 51．在等差数列中，为数列的前n项和，且，. (1)求数列的通项公式； (2)求的最小值及对应n的值. 【答案】(1)； (2)，或6． 【分析】(1)根据等差数列通项公式和前n项和公式结合已知条件求出和公差d即可求其通项公式； (2)求的表达式，根据二次函数的单调性即可求其最小值． 【详解】（1）设等差数列的公差为d， ，， ，解得，． ． （2）由(1)知，， 设，则二次函数在上单调递减，在上单调递增， 当或6时，取得最小值，且最小值为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$