专题4.3 等比数列（八大题型）（题型专练+易错精练）-2024-2025学年高二数学《知识解读•题型专练》（人教A版2019选择性必修第二册）

专题4.3 等比数列（八大题型） 【题型1等比数列前n项和的基本量计算】 【题型2利用等比中项运算】 【题型3等比数列的证明】 【题型4利用与关系求通项或项】 【题型5等比数列求和公式及其应用】 【题型6等比数列的性质及其应用】 【题型7等比数列通项公式、求和公式的综合应用】 【题型8等差数列、等比数列的基本计算】 【题型1等比数列前n项和的基本量计算】 1．已知等比数列满足，则其公比（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．已知等比数列中，，，则（    ） A．48 B．15 C．3 D．63 3．正项递增等比数列，前n项的和为，若，，则（   ） A．3 B． C．4 D． 4．在等比数列中，若，，，则公比等于（   ） A． B． C． D．或 5．在等比数列中，，则数列的公比q等于（   ） A．2 B．1 C．或1 D．或2 6．在等比数列中，各项均为正数，且，，则与的等比中项是（    ） A．2 B． C．1 D． 【题型2利用等比中项运算】 7．若数列是等比数列，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 8．已知等差数列的首项为1，若成等比数列，则（    ） A． B．4 C．8 D．或4 9．已知在等比数列中，，，则（    ） A． B． C． D． 10．在等比数列中，已知，，则公比（   ） A． B． C． D． 11．已知数列为等比数列，，，则（   ） A．4 B． C． D． 12．在等比数列中，，则与的等比中项为 . 【题型3等比数列的证明】 13．已知数列的前项和为，满足． (1)求证：数列是等比数列； (2)设数列，求数列的前项和 14．已知各项均为正数的数列满足，且． (1)若，求证是等比数列； (2)求的通项公式． 15．已知数列满足，． (1)求的值； (2)证明数列是等比数列，并求出数列的通项公式． 16．已知数列的首项为3，且满足. (1)求证：是等比数列； (2)求数列的通项公式，并判断数列是否是等比数列. 17．设为数列的前项和．已知． (1)证明：数列是等比数列； (2)设，求数列的前项和． 18．已知数列的前项和为，且.在数列中，，. (1)求的通项公式； (2)证明：是等比数列. 19．在数列中，已知，，记为的前n项和，，． (1)判断数列是否为等比数列，并写出其通项公式； (2)求数列的通项公式． 20．已知数列中，，且，其前项和为，且当时，． (1)求证：数列是等比数列； (2)求数列的通项公式； (3)若，令，求数列的前项和． 【题型4利用与关系求通项或项】 21．已知是各项均为正数的等比数列，，． (1)求的通项公式； (2)求数列前n项和． 22．已知等比数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，若数列满足，求数列的前项和. 23．已知数列为等比数列，数列满足，且. (1)求数列的通项公式； (2)数列满足，记数列的前项和为，求. 24．记为数列的前n项和，且． (1)证明：是等比数列，并求其通项公式； (2)求数列的前n项和． 25．设等比数列的前项和为，已知，. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【题型5等比数列求和公式及其应用】 26．设等比数列的前项和为，若，，则（   ） A．－120 B．－85 C．85 D．120 27．各项均为实数的等比数列{}的前n项和记为 ，若 则 （  ） A．30或 B． C．30 D．40 28．已知等比数列中，若前项的和是，前项的和是，则前项的和是 ． 29．设是等比数列的前项和，若，则 . 30．已知等比数列的前项和为，，，则 ． 31．设等比数列的前项和为，则 . 32．设是等比数列的前项和，若，，则 . 【题型6等比数列的性质及其应用】 33．已知是等比数列，若，则的值为（    ） A．9 B． C． D．81 34．等比数列的各项均为正数，若，则（   ） A．588 B．448 C．896 D．548 35．等比数列中，，，则的值为（    ） A．8 B．16 C．32 D．64 36．在等比数列中，，，则（    ） A． B． C．36 D．6 37．已知为等比数列，，则（    ） A．1 B． C．1或 D． 38．在等比数列中，若，，则（    ） A．4 B．2 C． D． 39．在等比数列中，，，则（    ） A． B． C．32 D．64 40．在等比数列中，，，则（    ） A．3 B．6 C．9 D．18 41．已知为等比数列， . 42．在正项等比数列中，，则 . 43．已知等比数列的各项均为正数，且，则 ． 44．已知等比数列中，，则 ． 45．若等比数列满足，，则 ． 【题型7等比数列通项公式、求和公式的综合应用】 46．各项均为正数的等比数列{}满足 (1)求数列{}的通项公式以及数列的前5项和； (2)设=，  数列 的前n项和为 ， 求 . 47．已知等比数列的各项均为正数，且，. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的通项公式. 48．设等比数列的前项和为，且，. (1)求数列的通项公式. (2)求数列的前项和. 49．公比为的等比数列的前项和． (1)求与的值； (2)若，记数列的前项和为，求证：． 【题型8等差数列、等比数列的基本计算】 50．记为等比数列的前项和.已知，且成等差数列. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 51．已知为等比数列，其前项和为，且（）． (1)求的值及数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 52．已知是等比数列的前项和． (1)求及； (2)设，求的前项和． 53．已知等比数列的前n项和为（b为常数）． (1)求b的值和数列的通项公式； (2)记为在区间中的项的个数，求数列的前n项和． 54．已知等比数列的公比，前项和为．若，且是与的等差中项 (1)求； (2)设数列满足，数列的前项和为．求． 55．已知公比大于1的等比数列满足：，且是和的等差中项． (1)求数列的通项公式； (2)若，求的前项和． 56．递增等比数列​满足​， 且​是​和​的等差中项. (1)求数列​的通项公式； (2)若​，求数列​的前​项和​. 57．已知数列是公差不为0的等差数列，数列是等比数列，，，与的等差中项为. (1)求数列、的通项公式； (2)已知，求. 58．已知正项等比数列的前项和为，，是和的等差中项. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题4.3 等比数列（八大题型） 【题型1等比数列前n项和的基本量计算】 【题型2利用等比中项运算】 【题型3等比数列的证明】 【题型4利用与关系求通项或项】 【题型5等比数列求和公式及其应用】 【题型6等比数列的性质及其应用】 【题型7等比数列通项公式、求和公式的综合应用】 【题型8等差数列、等比数列的基本计算】 【题型1等比数列前n项和的基本量计算】 1．已知等比数列满足，则其公比（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】由题设结合等比数列通项公式即可直接计算得，从而得解. 【详解】设等比数列的公比为q，则由题得， 所以. 故选：B 2．已知等比数列中，，，则（    ） A．48 B．15 C．3 D．63 【答案】A 【分析】根据等比数列的定义及通项公式可得解. 【详解】由题意，， 所以. 故选：A 3．正项递增等比数列，前n项的和为，若，，则（   ） A．3 B． C．4 D． 【答案】A 【分析】由，结合求得求解. 【详解】解：正项递增等比数列中，， 又，，所以， 则，由，解得， 故选：A 4．在等比数列中，若，，，则公比等于（   ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】利用等比数列的性质可得，结合已知即可求出的值. 【详解】数列是等比数列， 故选：C. 5．在等比数列中，，则数列的公比q等于（   ） A．2 B．1 C．或1 D．或2 【答案】D 【分析】根据等比数列的通项公式结合已知条件，解方程，即可求得答案. 【详解】由题意知在等比数列中，，故， 而，所以，所以或． 故选：D 6．在等比数列中，各项均为正数，且，，则与的等比中项是（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】B 【分析】由已知结合等比数列的通项公式及性质即可求解. 【详解】等比数列中，各项均为正数，， 则， 所以与的等比中项为. 故选：B. 【题型2利用等比中项运算】 7．若数列是等比数列，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等比中项的性质计算可得. 【详解】因为数列是等比数列， 所以，解得或， 当时，不满足，故舍去； 当时，经检验符合题意，所以. 故选：B 8．已知等差数列的首项为1，若成等比数列，则（    ） A． B．4 C．8 D．或4 【答案】B 【分析】设等差数列的公差为，由成等比数列求出可得答案. 【详解】等差数列的公差为， 若成等比数列，则， 即，解得，， 当时，， 当时，，此时不能构成等比数列，故舍去， 所以, 故选：B. 9．已知在等比数列中，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由等比中项求出的值，再求公比，即可得到故的值. 【详解】因为，又，， 所以，解得， 则公比， 故， 故选：B． 10．在等比数列中，已知，，则公比（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由等比数列的性质得到，即可求出公比. 【详解】由已知有，所以，从而. 故选：D． 11．已知数列为等比数列，，，则（   ） A．4 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等比中项的性质求解即可. 【详解】设的公比为，则，又，故. 故选：A 12．在等比数列中，，则与的等比中项为 . 【答案】 【分析】运用等比中项公式直接进行求解即可. 【详解】因为， 所以与的等比中项为. 故答案为： 【题型3等比数列的证明】 13．已知数列的前项和为，满足． (1)求证：数列是等比数列； (2)设数列，求数列的前项和 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）由与的关系，利用等比数列的定义证明即可； （2）由（1）求出，再利用等差数列的求和公式求解即可. 【详解】（1） 当时，，． 当时，，， ，又， 数列是以为首项，为公比的等比数列． （2）由（1）得，，即， . 当时，（常数），则是首项为2，公差为1的等差数列. 则. 14．已知各项均为正数的数列满足，且． (1)若，求证是等比数列； (2)求的通项公式． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由题意可得出，即可证明是以为首项，为等比数列； （2）由（1）可得，再由累乘法结合等差数列的前项和公式求解即可. 【详解】（1）因为， 又因为，所以是以为首项，为等比数列； （2）由（1）可得：，即， 所以，，……，， 所以 . 15．已知数列满足，． (1)求的值； (2)证明数列是等比数列，并求出数列的通项公式． 【答案】(1)； (2)证明见解析，. 【分析】（1）利用给定的递推公式求出的值. （2）变形给定的递推公式，利用等比数列定义判断，再求出通项公式. 【详解】（1）数列满足， 所以，. （2）由，得，即， 而， 所以数列是首项为，公比为3的等比数列，， 所以. 16．已知数列的首项为3，且满足. (1)求证：是等比数列； (2)求数列的通项公式，并判断数列是否是等比数列. 【答案】(1)证明见解析 (2)，数列不是等比数列 【分析】（1）化简变形为，结合定义即可证明； （2）由即可判断. 【详解】（1）由，， 得，又， 所以是以为首项，为公比的等比数列. （2）由（1）得，， 所以 所以数列不是等比数列. 17．设为数列的前项和．已知． (1)证明：数列是等比数列； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】 （1）当时，求出的值，当时，由可得出，两式作差可得出，结合等比数列的定义可证得结论成立； （2）由（1）中的结论可求出数列的通项公式，可求得的表达式，再利用裂项相消法可求得. 【详解】（1） 证明：已知①， 当时，②， ①②得：，即， 所以，， 当时，则，则， 所以，数列是首项为，公比为的等比数列． （2） 解：由（1）可知，，则， 所以，， 所以，， . 18．已知数列的前项和为，且.在数列中，，. (1)求的通项公式； (2)证明：是等比数列. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由可求得数列的通项公式； （2）推导出，结合等比数列的定义可证得结论成立. 【详解】（1）解：因为数列的前项和为，且. 当时，， 当时，， 也满足，故对任意的，. （2）解：当时，，可得，所以，， 且，则，，， 以此类推可知，对任意的，，所以，， 因此，数列是公比为的等比数列. 19．在数列中，已知，，记为的前n项和，，． (1)判断数列是否为等比数列，并写出其通项公式； (2)求数列的通项公式． 【答案】(1)是等比数列， (2) 【分析】（1）先求得，然后结合等比数列的定义证得是等比数列，从而求出其通项公式； （2）根据求得数列的通项公式. 【详解】（1）因为，所以， 所以， 又，所以， 因为， 所以， 所以是以为首项，公比为的等比数列， 所以. （2）由（1）知，所以是以为首项，为公比的等比数列； 是以为首项，公比为的等比数列， 所以. 20．已知数列中，，且，其前项和为，且当时，． (1)求证：数列是等比数列； (2)求数列的通项公式； (3)若，令，求数列的前项和． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据将用表示，再根据等比数列的定义或等比中项法即可得证； （2）先求出，再根据即可得解； （3）利用裂项相消法求解即可. 【详解】（1）由， 得， 即， 化简得， 所以数列是等比数列； （2）由（1）得数列得公比为，首项为， 所以， 当时，， 所以； （3）若，则， 当时，，， 当时， ， ， 综上所述，. 【题型4利用与关系求通项或项】 21．已知是各项均为正数的等比数列，，． (1)求的通项公式； (2)求数列前n项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件求等比数列的公比，再写出通项公式； （2）代入等比数列前项和公式，即可求解. 【详解】（1）因为数列是各项均为正数的等比数列，，， 所以令数列的公比为q，，， 所以，解得（舍去）或4， 所以数列是首项为2、公比为4的等比数列，． （2）因为， 求和可得：． 22．已知等比数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，若数列满足，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）解法一：设等比数列的公比为，代入求得的关系求解即可； 解法二：根据递推公式可得，进而可得通项公式； （2）由题意可得，再根据错位相减法求解即可. 【详解】（1）解法一：设等比数列的公比为， ∵， ∴时，， 时，. ∴，∴， ∴，∴， ∴. 解法二：∵， ∴， 两式相减得： 即. ∵为等比数列，设公比为，则. ∵， ∴时，，即， ∴ ∴. ∴. （2）由（1）得，由题得， ∴. ∴， ， 两式相减得 . 所以. 23．已知数列为等比数列，数列满足，且. (1)求数列的通项公式； (2)数列满足，记数列的前项和为，求. 【答案】(1) (2)135 【分析】（1）数列为等比数列，则，分别求出代入，求得，然后代入即可得解. （2）求出通项公式，在求出第1项到第9项的每一个值，然后直接相加即可得到. 【详解】（1）因为，所以， 又， 所以， 因为为等比数列，所以， 即，化简得. 因为，得. 因此，易知为等比数列； 所以， （2）由（1）知，. ， 24．记为数列的前n项和，且． (1)证明：是等比数列，并求其通项公式； (2)求数列的前n项和． 【答案】(1)证明见解析， (2) 【分析】（1），时，，相减可得：．利用等比数列的通项公式可得； （2）由于，利用错位相减法即可得出． 【详解】（1）证明：， 时，，相减可得：，可得． 时，，解得． 数列为等比数列，首项，公比为． ． （2）由（1）可得，， 数列的前项和， ， 相减可得， 化为得． 25．设等比数列的前项和为，已知，. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设等比数列的公比为，根据，作差求出公比，即可得出答案； （2）由（1）得，可得，利用分组求和法计算可得． 【详解】（1）设等比数列的公比为， ①，， 当时，有， 当时，②， 由①②得，即， ，， ， ； （2）由（1）得，则， ，， ， ． 【题型5等比数列求和公式及其应用】 26．设等比数列的前项和为，若，，则（   ） A．－120 B．－85 C．85 D．120 【答案】B 【分析】根据构成等比数列求解即可. 【详解】因为为等比数列，所以构成等比数列， 所以构成等比数列， 所以，即，解得或. 因为，所以，即，. 所以， 即，解得. 故选：B 27．各项均为实数的等比数列{}的前n项和记为 ，若 则 （  ） A．30或 B． C．30 D．40 【答案】A 【分析】设等比数列的公比为，由题意易知，则成等比数列，代入求解即可. 【详解】设等比数列的公比为，由题意易知，则成等比数列， 所以， 所以或. 故选：A 28．已知等比数列中，若前项的和是，前项的和是，则前项的和是 ． 【答案】 【分析】利用等比数列的片断和性质，列式计算即得. 【详解】等比数列的前项和为，而，则成等比数列， 因此，即，所以. 故答案为： 29．设是等比数列的前项和，若，则 . 【答案】60 【分析】由等比数列前项和的性质构成等比数列，建立等式求解可得. 【详解】由题意， 因为成等比数列， 故 ， 即，解得， 则， 所以，. 所以. 故答案为：. 30．已知等比数列的前项和为，，，则 ． 【答案】 【分析】利用等比数列前项和的性质以及等比数列的定义即可求解. 【详解】由于，故. 从而，即，故. 所以. 故答案为：. 31．设等比数列的前项和为，则 . 【答案】1 【分析】利用等比数列的通项公式和性质可知为等比数列，由此列式求解即可. 【详解】设等比数列的公比为， 由可知， 因为，， 所以，且，解得， 故答案为：1 32．设是等比数列的前项和，若，，则 . 【答案】5 【分析】根据题意，由等比数列前项和的片段和性质，代入计算，即可得到结果. 【详解】由题意得，， 因为，，，，成等比数列， 故，即，解得， 则，所以，，故. 故答案为： 【题型6等比数列的性质及其应用】 33．已知是等比数列，若，则的值为（    ） A．9 B． C． D．81 【答案】A 【分析】利用等比数列性质，列式计算得解. 【详解】等比数列的公比为，则，又， 所以. 故选：A 34．等比数列的各项均为正数，若，则（   ） A．588 B．448 C．896 D．548 【答案】B 【分析】由已知等式结合等比数列下标的性质解出，再利用下标的性质求解即可； 【详解】由，可得， 因为等比数列的各项均为正数， 则（舍）或2，， 故选：B. 35．等比数列中，，，则的值为（    ） A．8 B．16 C．32 D．64 【答案】C 【分析】利用等比数列的性质有，结合已知即可求. 【详解】由等比数列的性质知. 故选：C 36．在等比数列中，，，则（    ） A． B． C．36 D．6 【答案】D 【分析】根据等比数列的性质即可得解. 【详解】因为为等比数列，故，故，故， 所以，故（负值舍去）， 故选：D. 37．已知为等比数列，，则（    ） A．1 B． C．1或 D． 【答案】C 【分析】根据等比性质得，然后解方程求得，，然后利用等比数列的基本量运算求解即可. 【详解】在等比数列中，， 因此解得或 显然，，则当时，， 当时，， 所以的值是1或. 故选：C 38．在等比数列中，若，，则（    ） A．4 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】根据等比数列下标和性质运算求解即可. 【详解】因为数列为等比数列，且，， 则，所以. 故选：D. 39．在等比数列中，，，则（    ） A． B． C．32 D．64 【答案】C 【分析】利用等比数列的性质求解即可. 【详解】设等比数列的公比为， 则， 即，解得， 所以． 故选：C． 40．在等比数列中，，，则（    ） A．3 B．6 C．9 D．18 【答案】B 【分析】已知条件作商可求得，然后根据等比数列性质可得. 【详解】因为，，所以，解得，则． 故选：B 41．已知为等比数列， . 【答案】 【分析】利用等比数列的性质即可得出结果. 【详解】设等比数列的公比为， 则， 因为所以，即， 所以. 故答案为：. 42．在正项等比数列中，，则 . 【答案】10 【分析】根据等比数列的性质来求得正确答案. 【详解】依题意，， ， 所以. 故答案为：10 43．已知等比数列的各项均为正数，且，则 ． 【答案】 【分析】利用等比数列的性质结合对数运算来求值. 【详解】由等比数列的性质可得：， 因为，所以， 则， 故答案为:10. 44．已知等比数列中，，则 ． 【答案】或 【分析】根据等比数列的性质可求的值. 【详解】因为，所以， 因为，所以，解得或． 当时，，所以； 当时，，所以． 故答案为：或. 45．若等比数列满足，，则 ． 【答案】112 【分析】由等比数列的性质计算即可. 【详解】，故，解得， 故． 故答案为：112 【题型7等比数列通项公式、求和公式的综合应用】 46．各项均为正数的等比数列{}满足 (1)求数列{}的通项公式以及数列的前5项和； (2)设=，  数列 的前n项和为 ， 求 . 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）将题干转化为和的方程组，解方程组即可； （2），然后利用裂项相消求和. 【详解】（1）设数列的公比为， 由题意可知：，， 解得：， 所以，. （2）因为， 所以. 47．已知等比数列的各项均为正数，且，. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的通项公式. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用等比数列定义可求得，可得其通项公式； （2）利用错位相减法以及等比数列前项和公式计算可得. 【详解】（1）设等比数列的公比为， 由题意得， 解得（舍去）， 所以. 即数列的通项公式为. （2）由（1）知①， 所以②. ①－②得 所以. 48．设等比数列的前项和为，且，. (1)求数列的通项公式. (2)求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题设的递归关系可得，故可得公比，从而可求通项； （2）利用错位相减法可求. 【详解】（1）因为，所以， 所以，而为等比数列，故公比，故. （2）， 故， 所以， 所以 ， 故. 49．公比为的等比数列的前项和． (1)求与的值； (2)若，记数列的前项和为，求证：． 【答案】(1)， (2)证明见解析 【分析】（1）根据作差求出，即可求出公比与参数的值； （2）由（1）可得，则，利用等差数列求和公式求出，从而得到 ，利用裂项相消法计算可得. 【详解】（1） ， 当时，； 当时，， 所以， 所以， ，， 又数列为等比数列，则， 又， ，解得； （2）由（1）可得， 所以， ， 当时，， ． 【题型8等差数列、等比数列的基本计算】 50．记为等比数列的前项和.已知，且成等差数列. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1) (2)（或） 【分析】（1）由题意可得与，从而可得公比，进而得到的通项公式； （2）奇偶项讨论去掉绝对值，利用等比数列前项和公式可得结果. 【详解】（1）设的公比为，因为， 所以， 又因为成等差数列，所以， 所以，解得. 由，解得. 所以. （2）当为奇数时，， 当为偶数时，， 所以， 化简得， 所以（或）. 51．已知为等比数列，其前项和为，且（）． (1)求的值及数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 【答案】(1)（） (2) 【分析】（1）利用 可得答案； （2）利用错位相减求和可得答案． 【详解】（1）当时，，当时，， ∵是等比数列，∴，即，． ∴数列的通项公式为（）． （2）由（1）得，设数列的前项和为， 则，① ．② ①－②得 ． ∴． 52．已知是等比数列的前项和． (1)求及； (2)设，求的前项和． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由与关系求通项公式，再由等比数列的定义求解 （2）由分组求和法求解 【详解】（1）①当时，， ②当时，， 由题意得，故， （2）， 则， 得 53．已知等比数列的前n项和为（b为常数）． (1)求b的值和数列的通项公式； (2)记为在区间中的项的个数，求数列的前n项和． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）依题意等比数列的公比不为1，再根据等比数列前项和公式得到，即可得到且，从而求出、，即可得解； （2）首先令，，即可求出的取值范围，从而求出，即可得到，再利用错位相减法求和即可； 【详解】（1）解：由题设，显然等比数列的公比不为1， 若的首项、公比分别为、，则， ∴且，所以， 故的通项公式为． 当时，； （2）解：令，，解得，所以 数列在中的项的个数为，则，所以， ∵，① ∵②         两式相减得∴． ∴ 54．已知等比数列的公比，前项和为．若，且是与的等差中项 (1)求； (2)设数列满足，数列的前项和为．求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，利用等比数列的通项公式列出方程求得的值，进而求得数列的通项公式； （2）根据题意，利用，求得，得到，结合等比数列的求和公式，即可求解. 【详解】（1）由，得， 又由是的等差中项，可得，即， 则，即， 可得，解得或， 因为，所以， 将代入，可得， 所以，即． （2）因为数列满足，可得 ， ， 所以当时，， 又因为也满足上式，所以， 则， 所以 ． 55．已知公比大于1的等比数列满足：，且是和的等差中项． (1)求数列的通项公式； (2)若，求的前项和． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）设等比数列的公比为q，由求解； （2）由（1）得到，利用错位相减法求得. 【详解】（1）设等比数列的公比为， 因为是和的等差中项， 所以，又， 代入得，即， 所以，即， 解得或， 又因为数列是的等比数列， 所以． （2）由（1）知, ①， ②， 得, . 56．递增等比数列​满足​， 且​是​和​的等差中项. (1)求数列​的通项公式； (2)若​，求数列​的前​项和​. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用等比数列的通项公式与等差中项公式列出方程组，求得基本量即可求得​的通项公式； （2）结合（1）中结论，利用分组求和法即可求得. 【详解】（1）设等比数列的公比为​， 则由得​， 解得​或​(舍去)， 所以​. （2）由（1）得​， 所以 . 57．已知数列是公差不为0的等差数列，数列是等比数列，，，与的等差中项为. (1)求数列、的通项公式； (2)已知，求. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用等差数列的通项公式与等比数列的通项公式得到关于的方程组，解之即可求得、的通项公式； （2）由（1）得，从而利用错位相减法即可求得. 【详解】（1）设数列的公差为，数列的公比为， 因为，与的等差中项为， 所以，则，即①， 因为，所以，得， 将上式代入①式得，解得或， 当时，，矛盾舍去， 当时，，则，， 所以，. （2）由（1）得，， 所以 ， 则， 两式相减得： ， 所以. 58．已知正项等比数列的前项和为，，是和的等差中项. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等差中项定义，结合等比数列的通项公式列出关于的方程，求出后可得通项公式； （2）求出，然后由裂项相消法求和． 【详解】（1）设等比数列的公比为，由于，则有. 由题意可知，又，则有， 解得（舍）或，. （2）由（1）得，， ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$