黄金卷02（上海专用）-【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷

【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷（上海专用） 黄金卷02 （考试时间：100分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。 4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．下列全国各地地铁标志图中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．实数a、b、c满足a＞b且ac＜bc，它们在数轴上的对应点的位置可以是（     ） A．   B．   C．   D．   3．《几何原本》是古希腊数学家欧几里得创作的一部数学经典著作《几何原本》曾记载形如x2＋ax＝b2的方程的图解法：画 ．使，，AC＝b，再在斜边AB上截取，则该方程的一个正根为AD的长，这种解法体现的数学思想是（    ） A．公理化思想 B．分类讨论思想 C．数形结合思想 D．函数思想 4．若数a使关于x的不等式组有解且所有解都是2x+6＞0的解，且使关于y的分式方程+3=有整数解，则满足条件的所有整数a的个数是（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 5．为响应“双减”政策，进一步落实“立德树人、五育并举”的思想主张，深圳某学校积极推进学生综合素质评价改革，小芳在本学期德、智、体、美、劳的评价得分如图所示，其各项的得分分别为9，8，10，8，7，则该同学这五项评价得分的众数，中位数，平均数分别为（　　） A．8，8，8 B．7，8，7.8 C．8，8，8.7 D．8，8，8.4 6．已知矩形ABCD的边AB=15，BC=20，以点B为圆心作圆，使A，C，D三点至少有一点在⊙B内，且至少有一点在⊙B外，则⊙B的半径r的取值范围是（    ） A．r＞15 B．15＜r＜20 C．15＜r＜25 D．20＜r＜25 二、填空题（本大题共12小题，每小题4分，满分48分） 7．因式分解= ． 8．方程的解为： ． 9．若式子有意义，则x的取值范围是 ． 10．我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，请人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？若设这批椽的数量为x株，则可列分式方程为 ． 11．《孙子算经》中记载：“凡大数之法，万万曰亿，万万亿曰兆．”说明了大数之间的关系：1亿＝1万×1万，1兆＝1万×1万×1亿，那么2兆＝ ．（用科学记数法表示） 12．将反比例函数的图象向左平移2个单位长度后，所得的图象与y轴的交点坐标为 ． 13．看了《田忌赛马》故事后，小杨用数学模型来分析齐王与田忌的上中下三个等级的三匹马记分如表，每匹马只赛一场，大数为胜，三场两胜则赢．已知齐王的三匹马出场顺序为10，8，6则田忌能赢得比赛的概率为 ． 马匹姓名 下等马 中等马 上等马 齐王 6 8 10 田忌 5 7 9 14．如图，在梯形中，，，过点作于，连接，若，且，那么的长是 ． 15．如果关于x的方程x2﹣4x+m=0有两个相等的实数根，那么m的值是 ． 16．一个滑轮起重装置如图所示，滑轮的半径是10cm，当滑轮的一条半径OA绕轴心O按逆时针方向旋转的角度为120°时，重物上升 cm（结果保留π）．    17．甲、乙两地相距300千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发向乙地．如图，线段OA表示货车离甲地距离y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系式；折线B﹣C﹣D﹣表示轿车离甲地距离y（千米）与x（小时）之间的函数关系，则货车出发 小时与轿车相遇． 18．已知在平行四边形中，，P是边上一点，将沿直线折叠，点C落在这个平行四边形的内部，那么长的范围是 ． 三、解答题：（本大题共7题，第19-22每题10分，第23-24每题12分，第25题14分，共78分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 19．计算：． 20．解方程组：． 21．某门市销售两种商品，甲种商品每件售价为300元，乙种商品每件售价为80元．该门市为促销制定了两种优惠方案： 方案一：买一件甲种商品就赠送一件乙种商品； 方案二：按购买金额打八折付款． 某公司为奖励员工，购买了甲种商品20件，乙种商品x()件． (1)分别直接写出优惠方案一购买费用(元)、优惠方案二购买费用(元)与所买乙种商品x(件)之间的函数关系式； (2)若该公司共需要甲种商品20件，乙种商品40件．设按照方案一的优惠办法购买了m件甲种商品，其余按方案二的优惠办法购买．请你写出总费用w与m之间的关系式；利用w与m之间的关系式说明怎样购买最实惠． 22．某工程队购进几台新型挖掘机（如图1），该挖掘机是由基座、主臂和伸展臂构成，图2是其侧面结构示意图：是基座（基座高度忽略不计），是主臂，是伸展臂，若主臂长为米，主臂伸展角的范围是：，伸展臂伸展角的范围是：，当主臂伸展角最小，伸展臂伸展角最大时，伸展臂恰好能接触水平地面（点C、Q、A、P在一直线上）．（参考数据：） (1)当挖掘机在A处时，能否挖到距A水平正前方6米远的土石？（请通过计算说明） (2)该工程队承担了新农村景观河的建设任务，计划用该型号的挖掘机进行施工．已知景观河全长1200米，实际开工后每天比原计划多挖20米，因此提前3天完成任务，求工程队原计划每天挖多少米？ 23．已知：如图，在等腰梯形中，，E是下底延长线上一点，且． (1)求证：是等腰三角形； (2)如果P是线段上的点，连接，，求证：． 24．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，且． (1)求点A、B的坐标以及该抛物线的表达式； (2)如图，如果点D是抛物线的顶点，过点D作y轴的平行线，交于点E，连接，求的面积； (3)如果、在抛物线上，我们将称为P、Q两点的函数值的平均变化率，并记为，即．当时，求的取值范围． 25．如图，在，，，，点在上，过点，，所作的弧为优弧，交于点，作交弧于点，与，分别交于点，，连接． (1)求证：点是的中点． (2)当，，中的两段相等时，求的长． (3)记的面积为，的面积为，若，求所在圆的半径． 试卷第6页，共6页 试卷第5页，共6页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷（上海专用） 黄金卷02 （考试时间：100分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。 4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．下列全国各地地铁标志图中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】试题解析：选项A既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故该该选项错误； 选项B既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故该选项错误； 选项C 既是轴对称图形，也是中心对称图形，故该选项正确； 选项D是轴对称图形，但不是中心对称图形，故该选项错误. 故选C. 【详解】请在此输入详解！ 2．实数a、b、c满足a＞b且ac＜bc，它们在数轴上的对应点的位置可以是（     ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】根据不等式的性质，先判断c的正负．再确定符合条件的对应点的大致位置． 【详解】解：因为a＞b且ac＜bc， 所以c＜0． 选项A符合a＞b，c＜0条件，故满足条件的对应点位置可以是A． 选项B不满足a＞b，选项C、D不满足c＜0，故满足条件的对应点位置不可以是B、C、D． 故选A． 【点睛】本题考查了数轴上点的位置和不等式的性质．解决本题的关键是根据不等式的性质判断c的正负． 3．《几何原本》是古希腊数学家欧几里得创作的一部数学经典著作《几何原本》曾记载形如x2＋ax＝b2的方程的图解法：画 ．使，，AC＝b，再在斜边AB上截取，则该方程的一个正根为AD的长，这种解法体现的数学思想是（    ） A．公理化思想 B．分类讨论思想 C．数形结合思想 D．函数思想 【答案】C 【分析】在中，由勾股定理可得，结合，，，即可得出，进而得出AD的长是方程的一个正根． 【详解】由题意可知：设，根据勾股定理得： ， 整理得：， 则该方程的一个正根是AD的长， 通过画直角三角形借助于勾股定理求得一元二次方程的根，所以这种解法体现的数学思想是数形结合思想． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根、勾股定理，数形结合是解题的关键． 4．若数a使关于x的不等式组有解且所有解都是2x+6＞0的解，且使关于y的分式方程+3=有整数解，则满足条件的所有整数a的个数是（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】D 【分析】由不等式组有解且满足已知不等式，以及分式方程有整数解，确定出满足题意整数a的值即可． 【详解】不等式组整理得：， 由不等式组有解且都是2x+6＞0，即x＞-3的解，得到-3＜a-1≤3， 即-2＜a≤4，即a=-1，0，1，2，3，4， 分式方程去分母得：5-y+3y-3=a，即y=， 由分式方程有整数解，得到a=0，2，共2个， 故选D． 【点睛】本题考查了分式方程的解，解一元一次不等式，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 5．为响应“双减”政策，进一步落实“立德树人、五育并举”的思想主张，深圳某学校积极推进学生综合素质评价改革，小芳在本学期德、智、体、美、劳的评价得分如图所示，其各项的得分分别为9，8，10，8，7，则该同学这五项评价得分的众数，中位数，平均数分别为（　　） A．8，8，8 B．7，8，7.8 C．8，8，8.7 D．8，8，8.4 【答案】D 【分析】利用众数、中位数及平均数的定义即可得． 【详解】解：该同学这五项评价得分从小到大排列分别为7，8，8，9，10， 则其中位数为8， 因为出现次数最多的数是8， 所以众数为8， 平均数为， 故选：D． 【点睛】本题考查了众数、中位数及平均数，熟记定义是解题关键． 6．已知矩形ABCD的边AB=15，BC=20，以点B为圆心作圆，使A，C，D三点至少有一点在⊙B内，且至少有一点在⊙B外，则⊙B的半径r的取值范围是（    ） A．r＞15 B．15＜r＜20 C．15＜r＜25 D．20＜r＜25 【答案】C 【分析】要确定点与圆的位置关系，主要根据点与圆心的距离与半径的大小关系来进行判断．当d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内． 【详解】在直角△BCD中CD=AB=15，BC=20，则BD===25． 由图可知15＜r＜25， 故选：C． 二、填空题（本大题共12小题，每小题4分，满分48分） 7．因式分解= ． 【答案】． 【详解】解： = =， 故答案为． 8．方程的解为： ． 【答案】． 【分析】将方程两边同时平方，化成一元二次方程求出解，然后检验即可． 【详解】解：原方程可化为：， 即：， ， 解得：，， 经检验，当时，方程左右两边不相等，舍去， 所以是原方程的解， 故答案为：． 【点睛】本题考查了无理方程的解法，把方程两边同时平方是解题的关键，要注意解答后一定要检验． 9．若式子有意义，则x的取值范围是 ． 【答案】且 【详解】∵式子在实数范围内有意义， ∴x+1≥0，且x≠0， 解得：x≥-1且x≠0， 故答案为x≥-1且x≠0． 10．我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，请人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？若设这批椽的数量为x株，则可列分式方程为 ． 【答案】 【分析】根据题意可知：x株需要6210文，株的运费一株椽的价钱，从而可以列出相应的方程． 【详解】解：设这批椽的数量为x株， 由题意可得：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了从实际问题中抽象出分式方程，正确理解题意找到等量关系是解题的关键． 11．《孙子算经》中记载：“凡大数之法，万万曰亿，万万亿曰兆．”说明了大数之间的关系：1亿＝1万×1万，1兆＝1万×1万×1亿，那么2兆＝ ．（用科学记数法表示） 【答案】 【分析】2兆＝2×1万×1万×1亿＝2×1万×1万×1万×1万，根据同底数幂的乘法法则计算，结果表示成的形式即可． 【详解】解：2兆＝2×1万×1万×1亿＝2×1万×1万×1万×1万， 故答案为：． 【点睛】本题考查科学记数法、同底数幂的乘法，解题的关键是掌握同底数幂的乘法法则，以及科学记数法的表示方法． 12．将反比例函数的图象向左平移2个单位长度后，所得的图象与y轴的交点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象．根据题意可得点在反比例函数的图象上，即可求解． 【详解】解：当时，， 即点在反比例函数的图象上， ∴将反比例函数的图象向左平移2个单位长度后，所得图象过点， 即所得的图象与y轴的交点坐标为． 故答案为：． 13．看了《田忌赛马》故事后，小杨用数学模型来分析齐王与田忌的上中下三个等级的三匹马记分如表，每匹马只赛一场，大数为胜，三场两胜则赢．已知齐王的三匹马出场顺序为10，8，6则田忌能赢得比赛的概率为 ． 马匹姓名 下等马 中等马 上等马 齐王 6 8 10 田忌 5 7 9 【答案】 【分析】利用列举法求概率，列举出所有情况，看所求的情况占总情况的多少即可． 【详解】解：齐王的三匹马出场顺序为10，8，6； 而田忌的三匹马出场顺序为5，7，9；5，9，7；7，5，9；7，9，5；9，5，7；9，7，5；共6种，田忌能赢得比赛的有5，9，7；一种 ∴田忌能赢得比赛的概率为 故答案为： 【点睛】本题考查概率的求法，解题的关键是要注意列举法需要做到不重不漏．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 14．如图，在梯形中，，，过点作于，连接，若，且，那么的长是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了解直角三角形，平行四边形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握相关性质定理，正确画出辅助线，构造直角三角形． 过点A作，交于点G，交于点F，过点F作，易证四边形是平行四边形，推出，进而得出，则，最后根据，即可解答． 【详解】解：过点A作，交于点G，交于点F，过点F作， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， 设， 根据勾股定理可得：， 即， 解得：， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：2． 15．如果关于x的方程x2﹣4x+m=0有两个相等的实数根，那么m的值是 ． 【答案】4． 【分析】一元二次方程有两个相等的实根，即根的判别式△=b2-4ac=0，即可求m值． 【详解】依题意． ∵方程x2﹣4x+m=0有两个相等的实数根， ∴△=b2﹣4ac=(﹣4)2﹣4m=0， 解得：m=4． 故答案为：4． 【点睛】此题主要考查的是一元二次方程的根判别式，当△=b2-4ac=0时，方程有两个相等的实根，当△=b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实根，当△=b2-4ac＜0时，方程无实数根． 16．一个滑轮起重装置如图所示，滑轮的半径是10cm，当滑轮的一条半径OA绕轴心O按逆时针方向旋转的角度为120°时，重物上升 cm（结果保留π）．    【答案】π 【详解】分析：求得半径为10cm，圆心角为120°的弧长，即可得出答案． 详解：观察图象，可知重物上升的高度就是旋转的角度为所对应的弧长, 故答案为:. 点睛：考查弧长的计算，旋转的性质，熟记弧长公式是解题的关键. 17．甲、乙两地相距300千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发向乙地．如图，线段OA表示货车离甲地距离y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系式；折线B﹣C﹣D﹣表示轿车离甲地距离y（千米）与x（小时）之间的函数关系，则货车出发 小时与轿车相遇． 【答案】3.9 【分析】根据函数图象中的数据，可以分别求得OA段和CD对应的函数解析式，然后令它们相等，求得x的值，即可得到货车出发几小时与轿车相遇． 【详解】解：设OA段对应的函数解析式为y＝kx， 将（5，300）代入，得：5k＝300， 解得k＝60， 即OA段对应的函数解析式为y＝60x， 设CD段对应的函数解析式为y＝ax+b， 将C（2.5，80），D(4.5，300)代入得 ， 解得， 即CD段对应的函数解析式为y＝110x﹣195， 令110x﹣195＝60x，得x＝3.9， 即货车出发3.9小时与轿车相遇， 故答案为：3.9． 【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 18．已知在平行四边形中，，P是边上一点，将沿直线折叠，点C落在这个平行四边形的内部，那么长的范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，平行四边形的性质，等边三角形的性质与判定等等，如图所示，当点C的对应点E切换在上时，如图所示，在上取一点H使得，连接，先由平行四边形的性质得到，，；再证明是等边三角形，得到，由折叠的性质可得，设，则，则，证明，得到，求出，则，解方程即可得到答案． 【详解】解：如图所示，当点C的对应点E在上时，如图所示，在上取一点H使得，连接， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， 同理可得， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， ∴； 设，则， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴，即， ∴， ∴解得或（舍去）， 经检验，是原方程的解， ∴将沿直线折叠，点C落在这个平行四边形的内部，那么长的范围是， 故答案为：． 三、解答题：（本大题共7题，第19-22每题10分，第23-24每题12分，第25题14分，共78分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 19．计算：． 【答案】 【分析】分别根据零指数幂的运算法则、负指数幂法则、立方根定义、特殊角的三角函数值以及绝对值的化简分别计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可. 【详解】解：原式＝． 【点睛】本题考查实数的混合运算，需熟练掌握各运算法则. 20．解方程组：． 【答案】， 【分析】方程组中第一个方程可因式分解为两个二元一次方程，这两个方程与组中的另一个方程组成两个二元一次方程组，解这两个二元一次方程组即可求得原方程组的解． 【详解】解：， 由①得：(x﹣4y)(x+y)＝0，∴x﹣4y＝0或x+y＝0． 原方程组可化为，． 解，得；解，得，． ∴原方程组的解为， 【点睛】本题考查了二元二次方程组的解法，熟练掌握解法是求解的关键. 21．某门市销售两种商品，甲种商品每件售价为300元，乙种商品每件售价为80元．该门市为促销制定了两种优惠方案： 方案一：买一件甲种商品就赠送一件乙种商品； 方案二：按购买金额打八折付款． 某公司为奖励员工，购买了甲种商品20件，乙种商品x()件． (1)分别直接写出优惠方案一购买费用(元)、优惠方案二购买费用(元)与所买乙种商品x(件)之间的函数关系式； (2)若该公司共需要甲种商品20件，乙种商品40件．设按照方案一的优惠办法购买了m件甲种商品，其余按方案二的优惠办法购买．请你写出总费用w与m之间的关系式；利用w与m之间的关系式说明怎样购买最实惠． 【答案】（1）y1=80x+4400；y2=64x+4800；（2）当m=20时，w取得最小值，即按照方案一购买20件甲种商品、按照方案二购买20件乙种商品时，总费用最低． 【详解】（1）根据方案即可列出函数关系式； （2）根据题意建立w与m之间的关系式，再根据一次函数的增减性即可得出答案. 解：（1） 得：； 得：； （2） , 因为w是m的一次函数，k=-4<0,                        所以w随的增加而减小，m当m=20时，w取得最小值. 即按照方案一购买20件甲种商品；按照方案二购买20件乙种商品. 22．某工程队购进几台新型挖掘机（如图1），该挖掘机是由基座、主臂和伸展臂构成，图2是其侧面结构示意图：是基座（基座高度忽略不计），是主臂，是伸展臂，若主臂长为米，主臂伸展角的范围是：，伸展臂伸展角的范围是：，当主臂伸展角最小，伸展臂伸展角最大时，伸展臂恰好能接触水平地面（点C、Q、A、P在一直线上）．（参考数据：） (1)当挖掘机在A处时，能否挖到距A水平正前方6米远的土石？（请通过计算说明） (2)该工程队承担了新农村景观河的建设任务，计划用该型号的挖掘机进行施工．已知景观河全长1200米，实际开工后每天比原计划多挖20米，因此提前3天完成任务，求工程队原计划每天挖多少米？ 【答案】(1)能挖到距A水平正前方6米远的土石 (2)工程队原计划每天挖80米 【分析】本题主要考查解直角三角形和分式方程的应用， （1）过点B作于点D，可求得，，进一步求得，则，有，即可求得判断能否挖到； （2）设工程队原计划每天挖x米，则实际开工后每天挖米，列出分式方程求解即可． 【详解】（1）过点B作于点D，如图， 由题意可知：，，米， 则，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 则， 故能挖到距A水平正前方6米远的土石； （2）设工程队原计划每天挖x米，则实际开工后每天挖米，则 ，解得，（舍去）， 经检验是原方程的解， 故工程队原计划每天挖80米． 23．已知：如图，在等腰梯形中，，E是下底延长线上一点，且． (1)求证：是等腰三角形； (2)如果P是线段上的点，连接，，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）利用平行线的性质得到，进而得到，由等腰梯形的性质得到，证明，得到，即可证明结论； （2）根据结合得到，由，证明，得到，根据，推出，即可证明结论． 【详解】（1）证明：在等腰梯形中， ∵， ∴． 又∵， ∴． ∵， ∴， ∴，即是等腰三角形； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查等腰梯形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是证明三角形全等，三角形相似． 24．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，且． (1)求点A、B的坐标以及该抛物线的表达式； (2)如图，如果点D是抛物线的顶点，过点D作y轴的平行线，交于点E，连接，求的面积； (3)如果、在抛物线上，我们将称为P、Q两点的函数值的平均变化率，并记为，即．当时，求的取值范围． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式以及一次函数解析式，二次函数综合问题知识． （1）依据题意，抛物线的对称轴为直线，又，依据抛物线的对称性，从而可得、，将代入，求出，即可得解； (2)依据题意，由可得，设直线的表达式为，将、代入，可得直线的表达式为，又由抛物线可得顶点坐标标为，又与y轴平行，从而可得，进而求出的面积； （3）依据题意，由、在抛物线上，从而结合所给信息求出，再结合，即可判断得解． 【详解】（1）解：抛物线的对称轴为直线．     又，依据抛物线的对称性， ∴或， ∴、．      将代入，可得． 故该抛物线的表达式为． （2）由题意可得 ，设直线的表达式为． 将、代入， 得，解得． 即直线的表达式为．     抛物线的顶点坐标为．     ∵与轴平行， ∴点横坐标与点的横坐标相等， 将代入， 可得． 故．    ∴的面积为 （3）∵ 、在抛物线上， ∴ ．   又∵， ∴． 25．如图，在，，，，点在上，过点，，所作的弧为优弧，交于点，作交弧于点，与，分别交于点，，连接． (1)求证：点是的中点． (2)当，，中的两段相等时，求的长． (3)记的面积为，的面积为，若，求所在圆的半径． 【答案】(1)见解析 (2)或或 (3) 【分析】（1）根据两直线平行内错角相等，圆周角定理推论，得到，，根据等角的余角相等，得到，，即可求解， （2）分三种情况讨论，根据，，列出关于的比例关系式，即可求解， （3）由，，，得到，，，当点在点上方时，，， 则，，，代入，即可求出的长，进而求出则，的长，在中，应用勾股定理，求出的长，即可求解， 本题考查了，圆周角定理，的圆周角所对弦是直径，相似三角形的性质与判定，勾股定理解直角三角形，解题的关键是：根据点的位置，分情况讨论． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴，点是的中点， （2）解：∵，， ∴是所在圆的直径， ∴， ∴， 当，点在点上方时，， ∵， ∴，即，即：，解得：， 当，点在点下方时，点， ∴，即：， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即：，即：，解得：， 当，点在点上方时，， ∵， ∴，即：， ∴， ∵， ∴，即：，即：，解得：， 故答案为：或或， （3）解：过点作，交于点， ∴， ∴，即：， ∵， ∴，即：， ∵， ∴，即：， 当点在点上方时，，， 则，，， ∴，整理得：，解得：，或（舍）， 则，， 在中，， ∵为直径， ∴半径为， 当点在点下方时，，， 则，，， ∴， 整理得：， 解得：（舍），或（舍）， 故答案为：． 试卷第8页，共22页 试卷第7页，共22页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷（上海专用） 黄金卷02 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，共24分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.） 题号 1 2 3 4 5 6 答案 C A C D D C 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，共48分.） 7．． 8．． 9．且 10． 11． 12． 13． 14．2 15．4． 16．π 17．3.9 18．三、解答题：（本大题共7题，第19-22每题10分，第23-24每题12分，第25题14分，共78分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 19． 20．， 21．（1）y1=80x+4400；y2=64x+4800；（2）当m=20时，w取得最小值，即按照方案一购买20件甲种商品、按照方案二购买20件乙种商品时，总费用最低． 22．(1)能挖到距A水平正前方6米远的土石 (2)工程队原计划每天挖80米 23．(1)见解析 (2)见解析 24．(1)； (2) (3) 25．(1)见解析 (2)或或 (3) 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$