黄金卷01（上海专用）-【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷

【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷（上海专用） 黄金卷01 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，共24分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.） 题号 1 2 3 4 5 6 答案 B C C A B C 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，共48分.） 7． 8． 9． 10． 11． 12． 13． 14． 15．120 16． 17． 18． 或． 三、解答题：（本大题共7题，第19-22每题10分，第23-24每题12分，第25题14分，共78分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 19．12 20．(1) (2) 21．双子山的高度约为 22．[任务一]①B；②，；[任务二]超速；[任务三]限速： 23．(1)证明见解析； (2)证明见解析． 24．(1)1， (2)①当时，，；当时，，  ② 25．(1) (2) (3) 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷（上海专用） 黄金卷01 （考试时间：100分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。 4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．的相反数是（ ） A． B． C． D． 2．为了解某校初三学生的体重情况，从中随机抽取了80名初三学生的体重进行统计分析，在此问题中，样本是指（  ） A．80 B．被抽取的80名初三学生 C．被抽取的80名初三学生的体重 D．该校初三学生的体重 3．按照我国《生活垃圾管理条例》要求，到2025年底，我国地级及以上城市要基本建设垃圾类处理系统，下列垃圾分类指引标志图形中，是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 4．《九章算术》卷八方程第十题原文为∶“今有甲、乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十．问：甲、乙持钱各几何？”题目大意是：甲、乙两人各带了若干钱，如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱50；如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱50，问：甲、乙两人各带了多少钱？设甲、乙两人持钱的数量分别为，则可列方程组为（     ） A． B． C． D． 5．有依次排列的2个整式：x，，对任意相邻的两个整式，都用右边的整式减去左边的整式，所得之差写在这两个整式之间，可以产生一个新整式串：x，2，，这称为第一次操作；将第一次操作后的整式串按上述方式再做一次操作；以此类推．通过实际操作，四个同学分别得出一个结论： 小琴：第二次操作后整式串为：x，，2，x，； 小棋：第二次操作后，当时，所有整式的积为正数； 小书：第三次操作后整式串中共有8个整式； 小画：第2022次操作后，所有的整式的和为； 四个结论正确的有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 6．如图，已知长方形中，，圆B的半径为1，圆A与圆B内切，则点与圆A的位置关系是（    ） A．点C在圆A外，点D在圆A内 B．点C在圆A外，点D在圆A外 C．点C在圆A上，点D在圆A内 D．点C在圆A内，点D在圆A外 二、填空题（本大题共12小题，每小题4分，满分48分） 7．在实数范围内分解因式： ． 8．，，则 ． 9．一个口袋内装有编号分别为1，2，3，4，5，6，7的七个球（除编号外都相同），从中随机摸出一个球，那么摸出编号为素数的球的概率是 ． 10．已知两个相似三角形的相似比是，那么它们对应的角平分线之比是 ． 11．如图，点G是等边的重心，连接，如果，那么 ． 12．如图，在菱形中，，，为的中点，是上一点，为上点，且，，交于点，则的值为 ． 13．如图，在四边形中，，点分别在线段和上运动，并且满足，取的中点，点是线段上一点，连接和，则的最小值为 ． 14．如图，平行于轴的直线与反比例函数和的图象交于两点，点是轴上任意一点，且的面积为，则的值为 ． 15．在一次女子测试中，小静和小茜同时起跑，同时到达终点；所跑的路程与所用的时间之间的函数图象如图所示，则她们第一次相遇的时间是起跑后的第 s． 16．若关于的不等式组有解，关于的分式方程有非负数解，则符合条件的所有整数的和为 ． 17．已知是二次函数且当时y随的增大而增大，则的值为 ． 18．在等腰△中，，，是平面内任意一点，连接，当时，将绕点顺时针旋转90°得到，连接，取的中点，连接．当三点共线时，的长度为 ． 三、解答题：（本大题共7题，第19-22每题10分，第23-24每题12分，第25题14分，共78分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 19．计算：． 20．如图，已知中，点、分别在边和上，，且经过的重心． (1)设，____________（用向量表示）； (2)如果，，求边的长． 21．世博公园是魔都的一处宝藏之地，而双子山，就像是世博公园的璀璨明珠．这座人工打造的山体别具一格，充满了独特的魅力．某数学兴趣小组用无人机垂直上升至距水平地面140米的P点，测得双子山顶端A的俯角是，再将无人机沿水平方向飞行200米到达点Q，测得双子山底端的俯角是，求双子山的高度．（结果精确到1米） 参考数据：，，． 22． “道路千万条，安全第一条” 刹车系统是车辆行驶安全重要保障，某学习小组研究了刹车距离的影响因素 材料一 反应距离：驾驶员从开始意识危险到踩下刹车的这段时间内，机动车所行驶的距离． 制动距离：驾驶员从踩下刹车开始到汽车完全停止的这段时间内，机动车所行驶的距离． 材料二 汽车急刹车的停车距离为反应距离与制动距离之和，即．而反应距离、制动距离均与汽车行驶的速度有关．如图是学习小组利用电脑软件模拟出的相关实验数据． 材料三 经学习小组信息收集得知，汽车的急刹车距离还与汽车本身刹车系数有关，且满足，其中、、意义同材料二．并且不同类型汽车的刹车系数满足． 【任务一】 ①利用材料二判断最适合描述、分别与x的函数关系的是（    ） A．、  B．、 C．、 ②请你利用当，时的两组数据，计算、分别与x的函数关系式． 【任务二】在某条限速为的道路上，一辆轿车为避险采取急刹车．通过交警判断该车此次急刹车过程的制动距离为．请你利用任务一中的函数关系式，判断该车是否超速？ 【任务三】某条新建道路要求所有类型的汽车在急刹车时的停车距离至多，试问汽车在该条道路的行驶速度应该限速多少？（精确到） 23．如图，已知在四边形中，，对角线平分，点是上一点，以为半径的过两点． (1)求证：四边形是菱形； (2)设与交于点，连接并延长，交的延长线于点，若，求证：． 24．如图①，二次函数的图象与直线交于、两点．点是轴上的一个动点，过点作轴的垂线交直线于点，交该二次函数的图象于点，设点的横坐标为． (1) ， ； (2)将直线向上平移4个单位长度，分别与轴、轴交于点、（如图②）． ①记的面积为，的面积为，如点在直线的上方，且满足，求：及相应的、的值． ②当时，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接、、，若，求：点F的坐标． 25．如图，在中，，是斜边上的中线，点E在边上，点F在边上，且，设． (1)当点F为中点时，求的长； (2)求y关于x的函数关系式，并直接写出x的取值范围； (3)连接，与交于点G，当与相似时，直接写出x的值． 第 2 页 共 30 页 第 1 页 共 30 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷（上海专用） 黄金卷01 （考试时间：100分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。 4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．的相反数是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查相反数的定义，熟练掌握相反数的定义是解题的关键； 求一个数的相反数就是在这个数前面添上一个负号即可． 【详解】解：的相反数是； 故选：B． 2．为了解某校初三学生的体重情况，从中随机抽取了80名初三学生的体重进行统计分析，在此问题中，样本是指（  ） A．80 B．被抽取的80名初三学生 C．被抽取的80名初三学生的体重 D．该校初三学生的体重 【答案】C 【分析】总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．我们在区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，首先找出考查的对象．从而找出总体、个体．再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量． 【详解】样本是被抽取的80名初三学生的体重， 故选C． 【点睛】此题考查了总体、个体、样本、样本容量，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象．总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小．样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位． 3．按照我国《生活垃圾管理条例》要求，到2025年底，我国地级及以上城市要基本建设垃圾类处理系统，下列垃圾分类指引标志图形中，是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解即可． 【详解】A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意； D、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合． 4．《九章算术》卷八方程第十题原文为∶“今有甲、乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十．问：甲、乙持钱各几何？”题目大意是：甲、乙两人各带了若干钱，如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱50；如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱50，问：甲、乙两人各带了多少钱？设甲、乙两人持钱的数量分别为，则可列方程组为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可得，甲的钱乙所有钱的一半，乙的钱甲所有钱的，据此列方程组可得． 【详解】解：根据题意得：． 故选：A． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程组． 5．有依次排列的2个整式：x，，对任意相邻的两个整式，都用右边的整式减去左边的整式，所得之差写在这两个整式之间，可以产生一个新整式串：x，2，，这称为第一次操作；将第一次操作后的整式串按上述方式再做一次操作；以此类推．通过实际操作，四个同学分别得出一个结论： 小琴：第二次操作后整式串为：x，，2，x，； 小棋：第二次操作后，当时，所有整式的积为正数； 小书：第三次操作后整式串中共有8个整式； 小画：第2022次操作后，所有的整式的和为； 四个结论正确的有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了整式的加减运算法则和整式的乘法运算法则，掌握整式的加减运算法则是解题的关键．根据整式的加减运算法则和整式的乘法运算法则进行计算即可解答． 【详解】解：∵第一次操作后的整式串：，，， ∴第二次操作后的整式串：，，，，，故小琴的结论正确； 第二次操作后整式的积为：， ∵， ∴， ∴， ∴， 即第二次操作后整式的积为非负数，故小棋的结论错误； 第三次操作后整式串为：，，，，，，，，，共个式子，故小书结论错误； ∵第一次操作后的整式的和为：； 第二次操作后的整式的和为：； 第三次操作后的整式的和为：， 第n次操作后的整式的和为：， ∴第2022次操作后，所有的整式的和为：，故小画的结论正确； ∴正确的结论有个； 故选：． 6．如图，已知长方形中，，圆B的半径为1，圆A与圆B内切，则点与圆A的位置关系是（    ） A．点C在圆A外，点D在圆A内 B．点C在圆A外，点D在圆A外 C．点C在圆A上，点D在圆A内 D．点C在圆A内，点D在圆A外 【答案】C 【分析】根据内切得出圆A的半径，再判断点D、点E到圆心的距离即可 【详解】 ∵圆A与圆B内切，，圆B的半径为1 ∴圆A的半径为5 ∵<5 ∴点D在圆A内 在Rt△ABC中， ∴点C在圆A上 故选：C 【点睛】本题考查点与圆的位置关系、圆与圆的位置关系、勾股定理，熟练掌握点与圆的位置关系是关键 二、填空题（本大题共12小题，每小题4分，满分48分） 7．在实数范围内分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查了在实数范围内因式分解．根据平方差公式进行因式分解即可求解． 【详解】解：． 故答案为：． 8．，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据所给出的新定义运算法则进行运算即可求解． 【详解】解：由题意得 ， 故答案为：． 9．一个口袋内装有编号分别为1，2，3，4，5，6，7的七个球（除编号外都相同），从中随机摸出一个球，那么摸出编号为素数的球的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查了根据概率公式求概率，先得出素数的个数，再根据概率等于所求情况数和总情况数之比，即可解答． 【详解】解：根据题意可得：素数由2，3，5，7共4个，一共有7个数， ∴摸出编号为素数的球的概率， 故答案为： ． 10．已知两个相似三角形的相似比是，那么它们对应的角平分线之比是 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的性质，根据相似三角形对应线段的比等于相似比，即可求解． 【详解】解：∵两个相似三角形的相似比是， ∴它们对应的角平分线之比是． 故答案为：． 11．如图，点G是等边的重心，连接，如果，那么 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形重心的性质，全等三角形和相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握三角形的重心是三角形三条中线的交点．延长交于点E，连接并延长，交于点F，由等腰三角形三线合一证明，，，进而可得，在求出，即可解答． 【详解】解：延长交于点E，连接并延长，交于点F， ∵点G是等边的重心， ∴，是中线，,， ∴，， ∴，， ∴， ∴ 故答案为：． 12．如图，在菱形中，，，为的中点，是上一点，为上点，且，，交于点，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，相似三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，先证明，根据性质得，从而求出，再证明是等边三角形，通过性质和线段和差得出，由，，则，掌握相关知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵菱形中，，， ∴，， ∴， ∴， 又∵，为的中点， ∴， ∴，解得：， ∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 13．如图，在四边形中，，点分别在线段和上运动，并且满足，取的中点，点是线段上一点，连接和，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】作点B过关于直线的对称点，连接，可知，即，根据两点之间线段最短，可知当点C，G，P，四点共线时，最小，连接，，再根据勾股定理及直角三角形的性质得出答案． 【详解】如图所示，作点B过关于直线的对称点，连接，可知， 即，根据两点之间线段最短，可知当点C，G，P，四点共线时，最小，连接，． ∵，， ∴， 根据勾股定理，得， 解得． ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴． 再根据勾股定理，得， ∴的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质和判定，两点之间线段最短，勾股定理，直角三角形的性质，根据性质确定最小值是解题的关键． 14．如图，平行于轴的直线与反比例函数和的图象交于两点，点是轴上任意一点，且的面积为，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，的几何意义，由的几何意义得出，即有，求出的值即可，理解反比例函数的几何意义是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵轴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 15．在一次女子测试中，小静和小茜同时起跑，同时到达终点；所跑的路程与所用的时间之间的函数图象如图所示，则她们第一次相遇的时间是起跑后的第 s． 【答案】120 【分析】本题主要考查了相遇问题，根据折线统计图可以发现，小茜的速度一直不变，小静的速度先快后慢，分别计算出小茜的速度和小静前两段的速度，设相遇时间为x秒，根据两人相遇时路程相等列出方程即可． 【详解】解：小茜的速度为：（米/秒） 小静第一段速度为：（米/秒） 第二段速度为： （米/秒） 设相遇时间为x秒， 即，她们第一次相遇的时间是起跑后的第120秒． 故答案为：120． 16．若关于的不等式组有解，关于的分式方程有非负数解，则符合条件的所有整数的和为 ． 【答案】 【分析】此题考查了不等式组的解和分式方程的解，利用给出的不等式组，可得的范围，进而得出的范围，再利用分式方程的解的特征，得到的取值范围，再求出符合条件的所有整数，然后相加即可得出答案，解题的关键是掌握解不等式组的步骤，把分式方程化为整式方程． 【详解】解：， 解不等式得：， ∵关于的不等式组有解， ∴，解得， 由，解得：， ∵关于的分式方程有非负数解， ∴且， 解得：且， ∴的取值范围为且， ∴所有整数为，，，， ∴符合条件的所有整数的和为， 故答案为：． 17．已知是二次函数且当时y随的增大而增大，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的定义，解一元二次方程，二次函数的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据题意可得，求出，再根据的性质进行取舍即可． 【详解】解：∵是二次函数， ∴， 解得：或， ∵当时y随的增大而增大， ∴，则， ∴， 故答案为：． 18．在等腰△中，，，是平面内任意一点，连接，当时，将绕点顺时针旋转90°得到，连接，取的中点，连接．当三点共线时，的长度为 ． 【答案】 或． 【分析】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、三角形中位线定理、勾股定理、分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握旋转的性质和三角形中位线定理，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型． 当点、在的下方时，取的中点为，的中点为，的中点为，连接、、、，由三角形中位线定理得，，，，再由旋转的性质得，，然后证，得，，则，再求出，即可得出结果．当点、在AB的上方时，同理可求． 【详解】解：∵三点共线，三点共线， ∴，四点共线， 当点、在的下方时，取的中点为，的中点为，的中点为，连接、、、， ∵的中点， ∴是的中位线，是的中位线， ∴，，，， ∵绕点顺时针旋转得到， ∴，， ∴，， ∴， ∵是等腰三角形，， ∴，，， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵的中点为， ∴， ∵，， ∴， ∵的中点为， ∴，， ∴在中，， ∴， ∴； 如图，当点、在的上方时，取的中点为，的中点为，的中点为，连接、、、、， 同理可得：， ，， ∴， ∴； 综上所述，当三点共线时，的长度为或， 故答案为或． 三、解答题：（本大题共7题，第19-22每题10分，第23-24每题12分，第25题14分，共78分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 19．计算：． 【答案】12 【分析】本题主要考查实数的混合运算，分别根据立方根，分母有理化，负整数指数幂以及绝对值的代数意义化简各项后，再进行加减运算即可． 【详解】解： ． 20．如图，已知中，点、分别在边和上，，且经过的重心． (1)设，____________（用向量表示）； (2)如果，，求边的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，三角形重心的性质，以及向量的线性运算，综合运用各知识点是解答本题的关键． （1）连接并延长交于点，由，可得，由重心的性质可得，进而可求出； （2）利用（1）求出的长，再根据即可求出的长． 【详解】（1）解：连接并延长交于点． ∵， ∴，， ∴，， ∴． ∵是的重心， ∴， ∴， ∵， ． 故答案为：． （2）解：∵，， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 21．世博公园是魔都的一处宝藏之地，而双子山，就像是世博公园的璀璨明珠．这座人工打造的山体别具一格，充满了独特的魅力．某数学兴趣小组用无人机垂直上升至距水平地面140米的P点，测得双子山顶端A的俯角是，再将无人机沿水平方向飞行200米到达点Q，测得双子山底端的俯角是，求双子山的高度．（结果精确到1米） 参考数据：，，． 【答案】双子山的高度约为 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，延长交的延长线于点C，用三角函数解和即可． 【详解】解：延长交的延长线于点C，则，． 在中，， 则， ， 在中，，， ， ， 答：双子山的高度约为． 22． “道路千万条，安全第一条” 刹车系统是车辆行驶安全重要保障，某学习小组研究了刹车距离的影响因素 材料一 反应距离：驾驶员从开始意识危险到踩下刹车的这段时间内，机动车所行驶的距离． 制动距离：驾驶员从踩下刹车开始到汽车完全停止的这段时间内，机动车所行驶的距离． 材料二 汽车急刹车的停车距离为反应距离与制动距离之和，即．而反应距离、制动距离均与汽车行驶的速度有关．如图是学习小组利用电脑软件模拟出的相关实验数据． 材料三 经学习小组信息收集得知，汽车的急刹车距离还与汽车本身刹车系数有关，且满足，其中、、意义同材料二．并且不同类型汽车的刹车系数满足． 【任务一】 ①利用材料二判断最适合描述、分别与x的函数关系的是（    ） A．、  B．、 C．、 ②请你利用当，时的两组数据，计算、分别与x的函数关系式． 【任务二】在某条限速为的道路上，一辆轿车为避险采取急刹车．通过交警判断该车此次急刹车过程的制动距离为．请你利用任务一中的函数关系式，判断该车是否超速？ 【任务三】某条新建道路要求所有类型的汽车在急刹车时的停车距离至多，试问汽车在该条道路的行驶速度应该限速多少？（精确到） 【答案】[任务一]①B；②，；[任务二]超速；[任务三]限速： 【分析】本题考查一次函数与二次函数的应用，解题的关键是求函数的解析式； [任务一]①根据材料二分析判定即可；②，将，代入可求，将，代入可求； [任务二]，代入与作比即可； [任务三]如果想所有类型的车停车距离均小于，则制动距离应取相同速度下的最高值，故刹车系数取，列式得，计算即可． 【详解】解：[任务一]①根据材料二发现，随着速度的增大，有减少趋势，越来越大，且非线性变化，B选项合适； 故选：B． ②设，将，代入得：， 解得：， ∴， 设，将，代入得， 解得：， 故； [任务二]超速，理由： ， 当时， ∴超速； [任务三]要求所有类型汽车急刹车停车距离至多，取最大刹车系数为， ∴， 列式得， 解得， 故应限速． 23．如图，已知在四边形中，，对角线平分，点是上一点，以为半径的过两点． (1)求证：四边形是菱形； (2)设与交于点，连接并延长，交的延长线于点，若，求证：． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析． 【分析】（）设与的交点为点，连接，由圆周角定理可得，进而证明，得到，又由角平分线和平行线的性质可得，得到，证明四边形是平行四边形，即可求证； （）证明，得到，可得，得到，进而可得，即可求证； 本题考查了圆周角定理，角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定，菱形的判定进和性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形外角性质，三角形内角和定理，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）证明：设与的交点为点，连接， ∵为的直径， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （2）证明：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 24．如图①，二次函数的图象与直线交于、两点．点是轴上的一个动点，过点作轴的垂线交直线于点，交该二次函数的图象于点，设点的横坐标为． (1) ， ； (2)将直线向上平移4个单位长度，分别与轴、轴交于点、（如图②）． ①记的面积为，的面积为，如点在直线的上方，且满足，求：及相应的、的值． ②当时，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接、、，若，求：点F的坐标． 【答案】(1)1， (2)①当时，，；当时，，  ② 【分析】（1）把、代入即可得到答案； （2）①先求出的解析式，的解析式，再表示，，结合，列出方程，即可求解；②当旋转后点F在点C左侧时，过点B作轴于点Q，过点M作轴，作于点G，作于点H，交x轴于点K，推出，即可求解；当旋转后点F在点C右侧时满足的点F不存在 【详解】（1）解：∵二次函数的图象与直线交于、两点， ∴，解得：， ∴， 把代入，得， 故答案为：1，； （2）①由（1）知， 设直线的解析式为：， 则：，解得：， ∴， 把直线向上平移个单位，得到：， 当时，，当时，， ∴， 设直线交于点，过点作轴，交于点，设， 同法可得：的解析式为， 则：， 的解析式为， 当时，， ∴点E， ∴，， ∴， ， ∵=， ∴，解得： ∵点在直线的上方 ∴令=，解得： ∴ ∴存在，，满足= 当时，，  ； 当时，，； ②当旋转后点F在点C左侧时 过点B作轴于点Q，过点M作轴，作于点G，作于点H，交x轴于点K，如图3， ∵直线的解析式为， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵将线段绕点顺时针旋转得到线段， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵M， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴点F的坐标是， 当旋转后点F在点C右侧时 满足的点F不存在； 综上所述，点F的坐标是． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法求函数解析式，一次函数图象的平移，等腰三角线的判定和性质，解直角三角形等知识点，综合性强，难度大，属于压轴题，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 25．如图，在中，，是斜边上的中线，点E在边上，点F在边上，且，设． (1)当点F为中点时，求的长； (2)求y关于x的函数关系式，并直接写出x的取值范围； (3)连接，与交于点G，当与相似时，直接写出x的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）过点E作于点H，根据勾股定理可求，结合三角形中位线定理和直角三角形的性质可得，，，再证明，即可求解； （2）过点E作于点M，于点N，证明，得出，，代入数据可求出，，，，从而可求出，．再证明，得出，代入数据即可解答； （3）分类讨论：①当时，即时和②当时，即时，结合三角形相似的判定和性质分别求解即可． 【详解】（1）解：如图，过点E作于点H． ∵， ∴． ∵是斜边上的中线，点F为中点， ∴，，， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴． 又∵， ∴， ∴，即， 解得：； （2）解：如图，过点E作于点M，于点N， ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴，，，， ∴，． ∵，， ∴， ∴，即， 整理，得：． ∵， ∴， 解得：； （3）解：如图， ∵， ∴分类讨论：①当时，即， ∴，即， ∴， ∴，即， ∴，代入，得：， ∴（舍去）； ②当时，即，如图，过点C作于点P， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴，即． ∵， ∴， ∴，即， ∴，代入， 得：， 解得：， 综上可知x的值为． 【点睛】本题考查三角形中位线定理，直角三角形的性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质等知识，正确作出辅助线构造相似三角形是解题关键，为压轴题，困难题型． 第 2 页 共 30 页 第 1 页 共 30 页 学科网（北京）股份有限公司 $$