专题04 二次函数-【寒假分层作业】2025年九年级数学寒假培优练（人教版）

专题04 二次函数 内容早知道 ☛第一层 巩固提升练 ☛第二层 能力培优练 ☛第三层 中考真题练 1．下列函数中，是二次函数的是（　　） A． B． C．y＝8x2+1 D．y＝x2﹣（x﹣3）2 2．二次函数中．二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　） A．3、﹣2、5 B． C．，5 D． 3．关于二次函数y＝﹣（x﹣3）2+2的图象，下列说法正确的是（　　） A．顶点坐标为（﹣3，2） B．顶点坐标为（﹣3，﹣2） C．顶点坐标为（3，2） D．顶点坐标为（3，﹣2） 4．已知抛物线y＝x2﹣4x+3，下列结论错误的是（　　） A．抛物线开口向上 B．抛物线的对称轴为直线x＝2 C．抛物线的顶点坐标为（2，﹣1） D．当x＜2时，y随x的增大而增大 5．将二次函数y＝2x2+8x﹣7化为y＝a（x+m）2+n的形式，正确的是（　　） A．y＝2（x+4）2﹣7 B．y＝（x+2）2﹣7 C．y＝（x+2）2﹣11 D．y＝2（x+2）2﹣15 6． 将二次函数y＝﹣x2﹣2x﹣3的图象向右移动1个单位，再向上移动2个单位得到图象的解析式应为（　　） A．y＝x2 B．y＝﹣x2 C．y＝﹣（x+2）2 D．y＝﹣（x+2）2﹣4 7．甲、乙两个二次函数分别为y＝（x+10）2+30、y＝﹣（x﹣20）2+30，判断下列叙述正确的是（　　） A．当x＝10时，甲有最大值 B．当x＝10时，甲有最小值 C．当x＝20时，乙有最大值 D．当x＝20时，乙有最小值 8．已知（﹣1，y1），（2，y2），（4，y3）是抛物线y＝﹣x2+4x+m（m为常数）上的点，则（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y3＜y1＜y2 D．y3＜y2＜y1 9．在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c与一次函数y＝ax+c的大致图象可能是（　　） A． B． C． D． 10．抛物线y＝ax2+bx+c上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如表： x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 … y … 0 4 6 6 4 … 从表中数据可知，下列说法正确的是（　　） A．抛物线的对称轴是直线x＝0 B．方程ax2+bx+c＝0的解为x1＝﹣2，x2＝3 C．函数y＝ax2+bx+c的最大值为6 D．在抛物线对称轴右侧，y随x的增大而增大 1．已知是二次函数，则m的值为（　　） A．﹣1 B．1 C．2 D．﹣1或1 2．如图为二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象，对称轴是直线x＝1，给出以下判断：①abc＜0；②2a+b＝0；③9a+3b+c＞0；④m（ma+b）＜a+b（常数m≠1）．其中正确的有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 3．已知函数y＝|x2﹣2x﹣3|的图象如图所示，若关于x的方程|x2﹣2x﹣3|＝t有4个不相等的实数根，则t的范围是（　　） A．0＜t＜4 B．1＜t＜4 C．t＞0 D．t＞4 4．在平面直角坐标系中，随着m取值的变化，一次函数y＝2x+m与函数的图象公共点的个数分别为（　　） A．0，1，2 B．0，1，2，3 C．0，1，2，3，4 D．1，2，3 5．如图，已知正方形ABCD的边长是1，正方形EFGH的顶点分别在AB，BC，CD，AD上，且AE＝BF．设正方形EFGH的面积是S，AE的长是x，则下列说法正确的是（　　） A．当时，S有最小值 B．当时，S有最大值 C．S随x的增大而减小 D．S随x的增大而增大 6．二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（﹣4，4），B（2，4），则关于x的一元二次方程a（x﹣3）2﹣4＝b（3﹣x）﹣c的解为 　 　． 7．如图，从某建筑物10m高的窗口A处用水管向外喷水，喷出的水成抛物线状（抛物线所在平面与墙面垂直）．如果抛物线的最高点M离墙1m，离地面m，则水流落地点B离墙的距离OB是　 　． 8．已知某商品的进价为每件40元，现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件． （1）设每件涨价x元，则每星期实际可卖出商品 　 　件，每星期售出商品的利润y与x之间的函数关系式为 　 　，x的取值范围是 　 　，每星期售出商品的最大利润是 　 　元； （2）涨价多少元时，每周售出商品的利润为2250元？ （3）设每件降价x元，每星期售出商品的利润为y元． ①请写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围； ②确定x的值，使每星期售出商品的利润最大，并求出最大利润． 9．已知二次函数y＝x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点A（﹣2，5），对称轴为直线． （1）求二次函数的表达式； （2）若点B（1，7）向上平移2个单位长度，向左平移m（m＞0）个单位长度后，恰好落在y＝x2+bx+c的图象上，求m的值； （3）当﹣2≤x≤n时，二次函数y＝x2+bx+c的最大值与最小值的差为，求n的取值范围． 10．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，3），点A在原点的左侧，点B的坐标为（3，0），点P是抛物线上一个动点，且在直线BC的上方． （1）直接写出二次函数的解析式　 　； （2）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC面积最大？请求出四边形ABPC面积的最大值，并求出此时点P的坐标； （3）连接PO，PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP1C，那么是否存在点P，使四边形POP1C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由． 1．（2024•陕西）已知一个二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数y的几组对应值如下表： x … ﹣4 ﹣2 0 3 5 … y … ﹣24 ﹣8 0 ﹣3 ﹣15 … 则下列关于这个二次函数的结论正确的是（　　） A．图象的开口向上 B．当x＞0时，y的值随x值的增大而增大 C．图象经过第二、三、四象限 D．图象的对称轴是直线x＝1 2．（2024•泸州）已知二次函数y＝ax2+（2a﹣3）x+a﹣1（x是自变量）的图象经过第一、二、四象限，则实数a的取值范围为（　　） A．1≤a＜ B．0＜a＜ C．0＜a＜ D．1≤a＜ 3．（2024•凉山州）抛物线y＝（x﹣1）2+c经过（﹣2，y1），（0，y2），（，y3）三点，则y1，y2，y3的大小关系正确的是（　　） A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y3＞y1 C．y3＞y1＞y2 D．y1＞y3＞y2 4．（2024•陕西）关于x的二次函数y＝x2﹣2mx+m2﹣1（m＞1）的图象可能是（　　） A． B． C． D． 5．（2024•乐山）已知二次函数y＝x2﹣2x（﹣1≤x≤t﹣1），当x＝﹣1时，函数取得最大值；当x＝1时，函数取得最小值，则t的取值范围是（　　） A．0＜t≤2 B．0＜t≤4 C．2≤t≤4 D．t≥2 6．（2024•西宁）点A（x1，y1），B（x2，y2）是抛物线y＝ax2﹣4ax+1（a是常数，且a＞0）上的两个点．下列结论：①抛物线与y轴的交点是（0，1）；②抛物线的对称轴是直线x＝﹣2；③当y1＝y2＝1时，AB＝4；④当x1＞x2＞2时，y1＜y2；⑤当0≤x≤2时，y有最大值是1．其中正确结论的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 7．（2024•赤峰）如图，正方形ABCD的顶点A，C在抛物线y＝﹣x2+4上，点D在y轴上．若A，C两点的横坐标分别为m，n（m＞n＞0），下列结论正确的是（　　） A．m+n＝1 B．m﹣n＝1 C．m＝1 D．＝1 8．（2024•天津）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是h＝30t﹣5t2（0≤t≤6）．有下列结论： ①小球从抛出到落地需要6s； ②小球运动中的高度可以是30m； ③小球运动2s时的高度小于运动5s时的高度． 其中，正确结论的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 9．（2024•甘南州）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：①abc＜0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④2c＜3b；⑤a+b＜m（am+b），（m≠1的实数）．其中正确结论个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．（2024•泰安）如图所示是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象，该函数图象的对称轴是直线x＝1，图象与y轴交点的纵坐标是2．则下列结论：①2a+b＝0；②方程ax2+bx+c＝0一定有一个根在﹣2和﹣1之间；③方程ax2+bx+c﹣＝0一定有两个不相等的实数根；④b﹣a＜2．其中，正确结论的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 11．（2024•牡丹江）将抛物线y＝ax2+bx+3向下平移5个单位长度后，经过点（﹣2，4），则6a﹣3b﹣7＝ 　 　． 12．（2024•上海）对于一个二次函数y＝a（x﹣m）2+k（a≠0）中存在一点P（x′，y′），使得x′﹣m＝y′﹣k≠0，则称2|x′﹣m|为该抛物线的“开口大小”，那么抛物线“开口大小”为 　 　． 13．（2024•苏州）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象过点A（0，m），B（1，﹣m），C（2，n），D（3，﹣m），其中m，n为常数，则的值为 　 　． 14．（2024•广西）如图，壮壮同学投掷实心球，出手（点P处）的高度OP是m，出手后实心球沿一段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是5m，高度是4m．若实心球落地点为M，则OM＝　 　m． 15．（2024•安徽）已知抛物线y＝﹣x2+bx（b为常数）的顶点横坐标比抛物线y＝﹣x2+2x的顶点横坐标大1． （1）求b的值； （2）点A（x1，y1）在抛物线y＝﹣x2+2x上，点B（x1+t，y1+h）在抛物线y＝﹣x2+bx上． （ⅰ）若h＝3t，且x1≥0，t＞0，求h的值； （ⅱ）若x1＝t﹣1，求h的最大值． 16．（2024•上海）在平面直角坐标系中，已知平移抛物线后得到的新抛物线经过和B（5，0）． （1）求平移后新抛物线的表达式； （2）直线x＝m（m＞0）与新抛物线交于点P，与原抛物线交于点Q； ①如果PQ小于3，求m的取值范围； ②记点P在原抛物线上的对应点为P′，如果四边形P′BPQ有一组对边平行，求点P的坐标． 17．（2024•绵阳）如图，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（﹣3，0）和B（1，0），与y轴交于点C，连接AC和BC，点P在抛物线上运动，连接AP，BP和CP． （1）求抛物线的解析式，并写出其顶点坐标； （2）点P在抛物线上从点A运动到点C的过程中（点P与点A，C不重合），作点P关于x轴的对称点P1，连接AP1，CP1，记△ACP1的面积为S1，记△BCP的面积为S2，若满足S1＝3S2，求△ABP的面积； （3）在（2）的条件下，试探究在y轴上是否存在一点Q，使得∠CPQ＝45°？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 二次函数 内容早知道 ☛第一层 巩固提升练 ☛第二层 能力培优练 ☛第三层 中考真题练 1．下列函数中，是二次函数的是（　　） A． B． C．y＝8x2+1 D．y＝x2﹣（x﹣3）2 【分析】根据二次函数的定义“形如y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，且a≠0）的函数叫做二次函数”逐一判断即可． 【解答】解：A、不是二次函数，故该选项错误，不符合题意； B、不是二次函数，故该选项错误，不符合题意； C、y＝8x2+1是二次函数，故该选项正确，符合题意； D、可整理为y＝6x﹣9，是一次函数，不是二次函数，故该选项错误，不符合题意． 故选：C． 2．二次函数中．二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　） A．3、﹣2、5 B． C．，5 D． 【分析】依据题意，根据二次函数的解析式为，进而可以判断得解． 【解答】解：由题意，∵二次函数为， ∴二次项系数为3，一次项系数为﹣2、常数项为5． 故选：C． 3．关于二次函数y＝﹣（x﹣3）2+2的图象，下列说法正确的是（　　） A．顶点坐标为（﹣3，2） B．顶点坐标为（﹣3，﹣2） C．顶点坐标为（3，2） D．顶点坐标为（3，﹣2） 【分析】根据二次函数的顶点式确定抛物线的顶点坐标，即可求解． 【解答】解：二次函数y＝﹣（x﹣3）2+2的顶点坐标为（3，2）， 故选：C． 4．已知抛物线y＝x2﹣4x+3，下列结论错误的是（　　） A．抛物线开口向上 B．抛物线的对称轴为直线x＝2 C．抛物线的顶点坐标为（2，﹣1） D．当x＜2时，y随x的增大而增大 【分析】先将解析式化为顶点式，再根据二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标以及增减性对各选项分析判断即可得解． 【解答】解：A、抛物线中a＝1＞0，抛物线开口向上，因此A选项正确，不符合题意； B、由解析式得，对称轴为直线x＝2，因此B选项正确，不符合题意； C、由解析式得，当x＝2时，y取最小值，最小值为﹣1，所以抛物线的顶点坐标为（2，﹣1），因此C选项正确，不符合题意； D、因为抛物线开口向上，对称轴为直线x＝2，因此当x＜2时，y随x的增大而减小，因此D选项错误，符合题意； 故选：D． 5．将二次函数y＝2x2+8x﹣7化为y＝a（x+m）2+n的形式，正确的是（　　） A．y＝2（x+4）2﹣7 B．y＝（x+2）2﹣7 C．y＝（x+2）2﹣11 D．y＝2（x+2）2﹣15 【分析】利用配方法把二次函数的一般式化为顶点式． 【解答】解：y＝2x2+8x﹣7 ＝2（x2+4x）﹣7 ＝2（x2+4x+4）﹣8﹣7 ＝2（x+2）2﹣15， 故选：D． 6． 将二次函数y＝﹣x2﹣2x﹣3的图象向右移动1个单位，再向上移动2个单位得到图象的解析式应为（　　） A．y＝x2 B．y＝﹣x2 C．y＝﹣（x+2）2 D．y＝﹣（x+2）2﹣4 【分析】先将二次函数化为顶点式，再根据平移规律“左加右减（横轴），上加下减（纵轴）”求出新图象的解析式，由此得解． 【解答】解：y＝﹣x2﹣2x﹣3＝﹣（x+1）2﹣2， ∴二次函数y＝﹣x2﹣2x﹣3的图象向右移动1个单位，再向上移动2个单位，再向上移动2个单位得到图象的解析式为y＝﹣（x+1﹣1）2﹣2+2＝﹣x2， 故选：B． 7．甲、乙两个二次函数分别为y＝（x+10）2+30、y＝﹣（x﹣20）2+30，判断下列叙述正确的是（　　） A．当x＝10时，甲有最大值 B．当x＝10时，甲有最小值 C．当x＝20时，乙有最大值 D．当x＝20时，乙有最小值 【分析】根据二次函数的最值问题解答即可． 【解答】解：∵二次函数y＝（x+10）2+30中，a＝1＞0， ∴当x＝﹣10时，甲有最小值， ∴A、B错误； ∵二次函数y＝﹣（x﹣20）2+30中，a＝﹣1＜0， ∴当x＝20时，乙有最大值， ∴C正确、D错误， 故选：C． 8．已知（﹣1，y1），（2，y2），（4，y3）是抛物线y＝﹣x2+4x+m（m为常数）上的点，则（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y3＜y1＜y2 D．y3＜y2＜y1 【分析】求出抛物线的对称轴为直线x＝2，然后根据二次函数的增减性解答即可． 【解答】解：将抛物线解析式配方得：y＝﹣（x﹣2）2+m+4， ∴抛物线的对称轴为直线x＝2， ∵a＝﹣1＜0， ∴抛物线开口向下， ∴当x＞2时，y随x的增大而减小，当x＝2时，函数有最大值， ∵（﹣1，y1）关于x＝2对称点为（5，y1），2＜4＜5， ∴y2＞y3＞y1． 故选：B． 9．在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c与一次函数y＝ax+c的大致图象可能是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据二次函数的开口方向，与y轴的交点；一次函数经过的象限，与y轴的交点可得相关图象． 【解答】解：∵一次函数和二次函数都经过y轴上的（0，c）， ∴两个函数图象交于y轴上的同一点，排除A； 当a＞0时，二次函数开口向上，一次函数经过一、三象限，排除D； 当a＜0时，二次函数开口向下，一次函数经过二、四象限，排除B； 故选：C． 10．抛物线y＝ax2+bx+c上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如表： x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 … y … 0 4 6 6 4 … 从表中数据可知，下列说法正确的是（　　） A．抛物线的对称轴是直线x＝0 B．方程ax2+bx+c＝0的解为x1＝﹣2，x2＝3 C．函数y＝ax2+bx+c的最大值为6 D．在抛物线对称轴右侧，y随x的增大而增大 【分析】根据表格信息结合二次函数性质，逐项判断即可． 【解答】解：A、由表格可知函数经过（0，6），（1，6）， 所以对称轴，故选项不符合题意； B、根据图表，当x＝﹣2时，y＝0，根据抛物线的对称性，当x＝3时，y＝0， ∴抛物线与x轴的交点为（﹣2，0）和（3，0）， ∴方程ax2+bx+c＝0的解为x1＝﹣2，x2＝3，故选项正确，符合题意； C、根据表中数据得到抛物线的开口向下， ∴当时，函数有最大值，而不是x＝0，或1对应的函数值6，故选项错误，不符合题意； D、根据表中数据得到抛物线的开口向下，并且在直线的右侧，y随x增大而减小，故选项错误，不符合题意； 故选：B． 1．已知是二次函数，则m的值为（　　） A．﹣1 B．1 C．2 D．﹣1或1 【分析】根据二次函数的定义列出不等式求解即可． 【解答】解：∵是二次函数， ∴， 解得m＝1， 故选：B． 2．如图为二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象，对称轴是直线x＝1，给出以下判断：①abc＜0；②2a+b＝0；③9a+3b+c＞0；④m（ma+b）＜a+b（常数m≠1）．其中正确的有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【分析】根据抛物线开口方向判断a的符号，根据抛物线与y轴的交点位置判断c的符号，再结合对称轴判断a与b的关系，可判断①②；根据取特殊值，以及抛物线最值，可判断③④． 【解答】解：①由图象可知a＜0，c＞0， ∵对称轴是直线x＝1， ∴b＞0， ∴abc＜0， 故①正确； ②， 整理得2a+b＝0， 故②正确； ③由图知，∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于（﹣1，0），（3，0）两点， ∴当x＝3时，9a+3b+c＝0， 故③错误； ④∵二次函数在x＝1时取得最大值为a+b+c， 3a+b＜0（常数m≠1）， ∴am2+bm＜a+b， 即m（ma+b）＜a+b， 故④正确； 综上所述，正确的有3个， 故选：B． 3．已知函数y＝|x2﹣2x﹣3|的图象如图所示，若关于x的方程|x2﹣2x﹣3|＝t有4个不相等的实数根，则t的范围是（　　） A．0＜t＜4 B．1＜t＜4 C．t＞0 D．t＞4 【分析】根据抛物线y1＝x2﹣2x﹣3的顶点坐标为（1，﹣4），得到y＝|x2﹣2x﹣3|的顶点坐标为（1，4），再根据函数图象，即可写出方程|x2﹣2x﹣3|＝t有4个不相等的实数根时，t的取值范围． 【解答】解：设y1＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4， ∴抛物线y1＝x2﹣2x﹣3的顶点坐标为（1，﹣4）， ∴y＝|x2﹣2x﹣3|的顶点坐标为（1，4）， 由图象可得，关于x的方程|x2﹣2x﹣3|＝t有4个不相等的实数根，则t的范围是0＜t＜4， 故选：A． 4．在平面直角坐标系中，随着m取值的变化，一次函数y＝2x+m与函数的图象公共点的个数分别为（　　） A．0，1，2 B．0，1，2，3 C．0，1，2，3，4 D．1，2，3 【分析】根据题意，作出图象，得出直线y＝2x+m与二次函数y＝（x﹣2）2﹣3（x≤3）以及y＝（x﹣4）2﹣3（x＞3）的交点，即可求解． 【解答】解：由题意，①当x≤3时， ∴（x﹣2）2﹣3＝2x+m． ∴x2﹣6x+1﹣m＝0． ∴b2﹣4ac＝32+4m． ∴当32+4m＝0时，即m＝﹣8时，有一个交点； ②当x＞3时， ∴（x﹣4）2﹣3＝2x+m． ∴x2﹣10x+13﹣m＝0． ∴b2﹣4ac＝48+4m． ∴当48+4m＝0时，即m＝﹣12时，有一个交点． 由题意，作出y＝2x，y＝（x﹣2）2﹣3（x≤3），y＝（x﹣4）2﹣3（x＞3），y＝2x﹣8，y＝2x﹣12的图象，如下图所示， ∴当m＜﹣12时，无交点；当﹣12＜m≤﹣8时，有两个交点；当m＞﹣8时，有一个交点， ∴交点个数有：0，1，2． 故选：A． 5．如图，已知正方形ABCD的边长是1，正方形EFGH的顶点分别在AB，BC，CD，AD上，且AE＝BF．设正方形EFGH的面积是S，AE的长是x，则下列说法正确的是（　　） A．当时，S有最小值 B．当时，S有最大值 C．S随x的增大而减小 D．S随x的增大而增大 【分析】根据全等三角形的判定定理得到△AEH≌△BFE，根据全等三角形的性质得到BF＝AE＝x，利用勾股定理，在Rt△BFE中，EF2＝BF2+BE2＝x2+（1﹣x）2，所以S＝EF2＝x2+（1﹣x）2＝2x2﹣2x+1． 【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，四边形EFGH也是正方形， ∴∠A＝∠B＝∠HEF＝90°，EH＝FE， ∴∠AEH+∠AHE＝90°，∠AEH+∠BEF＝90°， ∴∠AHE＝∠BEF， 在△AEH和△BFE中， ， ∴△AEH≌△BFE（AAS）， ∴BF＝AE＝x，（0＜x＜1）， 在Rt△BFE中，EF2＝BF2+BE2＝x2+（1﹣x）2， ∴面积S＝EF2＝x2+（1﹣x）2＝2x2﹣2x+1＝2（x﹣）2+，（0＜x＜1）， ∵2＞0， ∴当时，S有最小值， 故选：A． 6．二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（﹣4，4），B（2，4），则关于x的一元二次方程a（x﹣3）2﹣4＝b（3﹣x）﹣c的解为 　x3＝﹣1，x4＝5　． 【分析】根据二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（﹣4，4），B（2，4），可以得到方程4＝ax2+bx+c解为x1＝﹣4，x2＝2，然后将所求方程变形，即可求得所求方程的解． 【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（﹣4，4），B（2，4）， ∴当y＝4时，可以得到方程4＝ax2+bx+c解为x1＝﹣4，x2＝2， ∵方程a（x﹣3）2﹣4＝b（3﹣x）﹣c可以转化为方程a（x﹣3）2+b（x﹣3）+c＝4， ∴x﹣3＝﹣4或x﹣3＝2， 解得x3＝﹣1，x4＝5， 故答案为：x3＝﹣1，x4＝5． 17．如图，从某建筑物10m高的窗口A处用水管向外喷水，喷出的水成抛物线状（抛物线所在平面与墙面垂直）．如果抛物线的最高点M离墙1m，离地面m，则水流落地点B离墙的距离OB是　3m　． 【分析】由题意可以知道M（1，），A（0，10）用待定系数法就可以求出抛物线的解析式，当y＝0时就可以求出x的值，这样就可以求出OB的值． 【解答】解：设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2+，由题意，得10＝a+， 解得：a＝﹣． ∴抛物线的解析式为：y＝（x﹣1）2+， 当y＝0时，， 解得：x1＝﹣1（舍去），x2＝3． OB＝3m． 故答案为：3m． 18．已知某商品的进价为每件40元，现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件． （1）设每件涨价x元，则每星期实际可卖出商品 　（300﹣10x）　件，每星期售出商品的利润y与x之间的函数关系式为 　﹣10x2+100x+6000　，x的取值范围是 　0≤x≤30　，每星期售出商品的最大利润是 　6250　元； （2）涨价多少元时，每周售出商品的利润为2250元？ （3）设每件降价x元，每星期售出商品的利润为y元． ①请写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围； ②确定x的值，使每星期售出商品的利润最大，并求出最大利润． 【分析】（1）根据涨价时，每涨价1元，每星期要少卖出10件，可列出销售量的代数式，根据总利润＝单件利润×销售量列出函数表达式即可； （2）根据总利润＝单件利润×销售量列出方程求解即可； （3）根据涨价的函数表达式，利用二次函数的性质解答． 【解答】解：（1）∵商品的进价为每件40元，现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，每涨价1元，每星期要少卖出10件，设每件涨价x元， 依据题意得：每星期实际可卖出（300﹣10x）件， ∴y＝（60﹣40+x）（300﹣10x）＝﹣10x2+100x+6000， ∵， ∴0≤x≤30； ∵y＝﹣10x2+100x+6000＝﹣10（x﹣5）2+6250． ∴当x＝5时，y最大＝6250， ∴在涨价的情况下，每星期售出商品的最大利润是元6250． 故答案为：（300﹣10x），﹣10x2+100x+6000，0≤x≤30，6250； （2）当每周售出商品的利润为2250元时， 依题意得：﹣10（x﹣5）2+6250＝2250， 解得：x1＝25，x2＝﹣15（不合题意，舍去）； 答：涨价25元时，每周售出商品的利润为2250元； （3）①y＝（60﹣40﹣x）（300+20x） ＝（20﹣x）（300+20x） ＝﹣20x2+100x+6000（0≤x≤20）； ②y＝﹣20x2+100x+6000＝﹣20（x﹣2.5）2+6125（0≤x≤20）， 当x＝2.5时，y最大＝6125， 当x＝2.5时，每星期售出商品的利润最大，最大利润为6125元． 19．已知二次函数y＝x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点A（﹣2，5），对称轴为直线． （1）求二次函数的表达式； （2）若点B（1，7）向上平移2个单位长度，向左平移m（m＞0）个单位长度后，恰好落在y＝x2+bx+c的图象上，求m的值； （3）当﹣2≤x≤n时，二次函数y＝x2+bx+c的最大值与最小值的差为，求n的取值范围． 【分析】（1）依据题意，由二次函数为y＝x2+bx+c，可得抛物线为直线x＝﹣＝﹣，可得b的值，再由图象经过点A（﹣2，5），求出c的值，进而可以得解； （2）依据题意，由点B（1，7）向上平移2个单位长度，向左平移m个单位长度（m＞0），进而可得平移后的点为（1﹣m，9），结合（1﹣m，9）在y＝x2+x+3图象上，可得9＝（1﹣m）2+（1﹣m）+3，进而计算可以得解； （3）依据题意，由y＝x2+x+3＝（x+）2+，可得当x＝﹣时，y取最小值，最小值为，再根据n＜﹣、﹣≤n≤1和n＞1进行分类讨论，即可计算得解． 【解答】解：（1）由题意，∵二次函数为y＝x2+bx+c， ∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣． ∴b＝1． ∴抛物线为y＝x2+x+c． 又图象经过点A（﹣2，5）， ∴4﹣2+c＝5． ∴c＝3． ∴抛物线为y＝x2+x+3． （2）由题意，∵点B（1，7）向上平移2个单位长度，向左平移m个单位长度（m＞0）， ∴平移后的点为（1﹣m，9）． 又（1﹣m，9）在y＝x2+x+3， ∴9＝（1﹣m）2+（1﹣m）+3． ∴m＝4或m＝﹣1（舍去）． ∴m＝4． （3）由题意，当 时， ∴最大值与最小值的差为． ∴，不符合题意，舍去． 当﹣≤n≤1 时， ∴最大值与最小值的差为，符合题意． 当n＞1时，最大值与最小值的差为 ，解得 n1＝1 或 n2＝﹣2，不符合题意． 综上所述，n的取值范围为﹣≤n≤1． 20．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，3），点A在原点的左侧，点B的坐标为（3，0），点P是抛物线上一个动点，且在直线BC的上方． （1）直接写出二次函数的解析式　y＝﹣x2+2x+3　； （2）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC面积最大？请求出四边形ABPC面积的最大值，并求出此时点P的坐标； （3）连接PO，PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP1C，那么是否存在点P，使四边形POP1C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）过点P作y轴的平行线与BC交于点Q，设P（x′，﹣x2+2x+3），先求出直线BC的解析式为y＝﹣x+3，再利用S四边形ABPC＝S△CPQ+S△BPQ+S△ABC求解即可； （3）设点P（x′，﹣x2+2x+3），PP″交CO于点E，若四边形POP′C是菱形，则OP＝PC，连接PP′，则PE⊥OC，，可得，进而求解． 【解答】解：（1）在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，3），点A在原点的左侧，点B的坐标为（3，0），将B，C两点的坐标代入得： ， 解得． 所以二次函数的表达式为y＝﹣x2+2x+3， 故答案为：y＝﹣x2+2x+3； （2）当点P运动到时，四边形ABPC的面积最大值；理由如下： 如图1，过点P作y轴的平行线与BC交于点Q， 设P（x′，﹣x2+2x+3），直线BC的解析式为y＝mx+n， 则， 解得 ∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3， 则Q（x′，﹣x+3）， ∴S四边形ABPC＝S△CPQ+S△BPQ+S△ABC， ＝， ＝， 当时，四边形ABPC的面积最大， 此时，点P的坐标为时，四边形ABPC的面积最大值为； （3）存在点P，使四边形POP1C为菱形；理由如下： 如图，设点P（x′，﹣x2+2x+3），PP1交CO于点E， 若四边形POP1C是菱形，则OP＝PC， 连接PP1，则PE⊥OC，， ∴， 解得，（不合题意，舍去）， ∴． 1．（2024•陕西）已知一个二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数y的几组对应值如下表： x … ﹣4 ﹣2 0 3 5 … y … ﹣24 ﹣8 0 ﹣3 ﹣15 … 则下列关于这个二次函数的结论正确的是（　　） A．图象的开口向上 B．当x＞0时，y的值随x值的增大而增大 C．图象经过第二、三、四象限 D．图象的对称轴是直线x＝1 【分析】根据表格中所给数据，可求出抛物线的解析式，再对所给选项依次进行判断即可解决问题． 【解答】解：由题知， ， 解得， 所以二次函数的解析式为y＝﹣x2+2x． 因为a＝﹣1＜0， 所以抛物线的开口向下． 故A选项不符合题意． 因为y＝﹣x2+2x＝﹣（x﹣1）2+1， 所以当x＞1时，y随x的增大而减小． 故B选项不符合题意． 令y＝0得， ﹣x2+2x＝0， 解得x1＝0，x2＝2， 所以抛物线与x轴的交点坐标为（0，0）和（2，0）． 又因为抛物线的顶点坐标为（1，1）， 所以抛物线经过第一、三、四象限． 故C选项不符合题意． 因为二次函数解析式为y＝﹣（x﹣1）2+1， 所以抛物线的对称轴为直线x＝1． 故D选项符合题意． 故选：D． 2．（2024•泸州）已知二次函数y＝ax2+（2a﹣3）x+a﹣1（x是自变量）的图象经过第一、二、四象限，则实数a的取值范围为（　　） A．1≤a＜ B．0＜a＜ C．0＜a＜ D．1≤a＜ 【分析】由a的正负可确定出抛物线的开口方向，结合函数的性质逐项判断即可． 【解答】解：∵图象经过第一、二、四象限， ∴﹣， ∴， ∴a﹣1≥0，Δ＝（2a﹣3）2﹣4a（a﹣1）＞0， 解得1≤a＜， ∴a的取值范围为1≤a＜． 故选：A． 3．（2024•凉山州）抛物线y＝（x﹣1）2+c经过（﹣2，y1），（0，y2），（，y3）三点，则y1，y2，y3的大小关系正确的是（　　） A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y3＞y1 C．y3＞y1＞y2 D．y1＞y3＞y2 【分析】由题意可知抛物线开口向上，对称轴是直线x＝1，求出（，y3）关于直线x＝1的对称点，然后根据二次函数的增减性可以判断y1，y2，y3的大小关系，从而可以解答本题． 【解答】解：∵y＝（x﹣1）2+c， ∴抛物线开口向上，对称轴是直线x＝1， ∴当x＜1时，y随x的增大而减小， ∵（，y3）关于直线x＝1的对称点是（﹣，y3）， ∵﹣2＜﹣＜0＜1， ∴y1＞y3＞y2， 故选：D． 4．（2024•陕西）关于x的二次函数y＝x2﹣2mx+m2﹣1（m＞1）的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【分析】当x＝0时，y＝m2﹣1，因为m＞1，所以y＝m2﹣1＞0，函数图象与y轴的交点应在x轴的上边，选项D错误；y＝x2﹣2mx+m2﹣1＝（x﹣m）2﹣1，函数图象的对称轴为x＝m，对应的函数值为﹣1，因此选项A、B错误，选项C正确． 【解答】解：当x＝0时，y＝m2﹣1，因为m＞1，所以y＝m2﹣1＞0， 函数图象与y轴的交点应在x轴的上边，故选项D错误； y＝x2﹣2mx+m2﹣1＝（x﹣m）2﹣1， 函数图象的对称轴为x＝m，因为m＞1，所以选项A错误； 当x＝m时，函数值为y＝﹣1，因此选项B错误，选项C正确． 故选：C． 5．（2024•乐山）已知二次函数y＝x2﹣2x（﹣1≤x≤t﹣1），当x＝﹣1时，函数取得最大值；当x＝1时，函数取得最小值，则t的取值范围是（　　） A．0＜t≤2 B．0＜t≤4 C．2≤t≤4 D．t≥2 【分析】根据题意，结合二次函数的对称性和增减性建立关于t的不等式组即可解决问题． 【解答】解：因为y＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1， 所以抛物线的对称轴为直线x＝1，且顶点坐标为（1，﹣1）． 因为1﹣（﹣1）＝3﹣1， 所以x＝﹣1和x＝3时的函数值相等． 因为﹣1≤x≤t﹣1，当x＝﹣1时，函数取得最大值， 所以t﹣1≤3， 又因为当x＝1时，函数取得最小值， 所以t﹣1≥1， 所以1≤t﹣1≤3， 解得2≤t≤4． 故选：C． 6．（2024•西宁）点A（x1，y1），B（x2，y2）是抛物线y＝ax2﹣4ax+1（a是常数，且a＞0）上的两个点．下列结论：①抛物线与y轴的交点是（0，1）；②抛物线的对称轴是直线x＝﹣2；③当y1＝y2＝1时，AB＝4；④当x1＞x2＞2时，y1＜y2；⑤当0≤x≤2时，y有最大值是1．其中正确结论的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】根据二次函数开口方向，与x轴的交点，与y轴的交点，对称轴，以及函数图象逐一判断各选项，即可得到结果． 【解答】解：∵抛物线y＝ax2﹣4ax+1（a是常数，且a＞0）， 当x＝0时，y＝1， ∴抛物线与y轴的交点是（0，1）， 故结论①正确，此结论符合题意； ∵抛物线的对称轴为x＝＝2， 故结论②错误，此结论不符合题意； ∵点A（x1，y1），B（x2，y2）是抛物线上的两个点，y1＝y2＝1， ∴A、B两点关于对称轴对称， ∴||＝2， ∴|x1+x2|＝4， ∴AB＝4， 故结论③正确，此结论符合题意； ∵抛物线y＝ax2﹣4ax+1（a是常数，且a＞0）， ∴抛物线的开口向上， ∴在对称轴的右侧的函数图象，y随x的增大而增大， ∵x1＞x2＞2， ∴A，B两点位于对称轴的右侧， ∴y1＞y2， 故结论④错误，此结论不符合题意； ∵当0≤x≤2时，y随x的增大而减小， ∴当x＝0时，y有最大值，最大值为1， 故结论⑤正确，此结论符合题意； 综上所述，正确的结论为①③⑤， 故选：C． 7．（2024•赤峰）如图，正方形ABCD的顶点A，C在抛物线y＝﹣x2+4上，点D在y轴上．若A，C两点的横坐标分别为m，n（m＞n＞0），下列结论正确的是（　　） A．m+n＝1 B．m﹣n＝1 C．m＝1 D．＝1 【分析】分别过A，C两点作y轴的垂线，进而得出全等三角形，根据全等三角形的性质即可解决问题． 【解答】解：分别过点A和点C作y轴的垂线，垂足分别为M和N， 将A，C两点的横坐标代入函数解析式得， 点A坐标为（m，﹣m2+4），点C坐标为（n，﹣n2+4）， 所以AM＝m，MO＝﹣m2+4，CN＝n，NO＝﹣n2+4． 因为四边形ABCD是正方形， 所以AD＝CD，∠ADC＝90°， 所以∠CDN+∠ADM＝∠ADM+∠DAM＝90°， 所以∠CDN＝∠DAM． 在△CDN和△DAM中， ， 所以△CDN≌△DAM（AAS）， 所以DM＝CN＝n，DN＝AM＝m， 所以MN＝DM+DN＝m+n， 又因为MN＝NO﹣MO＝m2﹣n2， 所以m2﹣n2＝m+n， 即（m+n）（m﹣n）＝m+n， 因为m＞n＞0， 所以m+n≠0， 所以m﹣n＝1． 故选：B． 8．（2024•天津）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是h＝30t﹣5t2（0≤t≤6）．有下列结论： ①小球从抛出到落地需要6s； ②小球运动中的高度可以是30m； ③小球运动2s时的高度小于运动5s时的高度． 其中，正确结论的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【分析】令h＝0，解方程求出t的值，即可判断①；求出h的最大值，即可判断②；分别求出t＝2和t＝5时h的值是，即可判断③． 【解答】解：①令h＝0，则30t﹣5t2＝0， 解得t1＝0，t2＝6， ∴小球从抛出到落地需要6s， 故①正确； ②h＝30t﹣5t2＝﹣5（t2﹣6t）＝﹣5（t﹣3）2+45， ∵﹣5＜0， ∴当t＝3时，h有最大值，最大值为45， ∴小球运动中的高度可以是30m， 故②正确； ③t＝2时，h＝30×2﹣5×4＝40（m）， t＝5时，h＝30×5﹣5×25＝25（m）， ∴小球运动2s时的高度大于运动5s时的高度， 故③错误． 故选：C． 9．（2024•甘南州）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：①abc＜0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④2c＜3b；⑤a+b＜m（am+b），（m≠1的实数）．其中正确结论个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、与y轴的交点判定系数符号，及运用一些特殊点解答问题． 【解答】解：①开口向下，a＜0； 对称轴在y轴的右侧，a、b异号，则b＞0； 抛物线与y轴的交点在x轴的上方，c＞0， ∴abc＜0， 所以①正确，符合题意； ②当x＝﹣1时图象在x轴下方，则y＝a﹣b+c＜0， 即a+c＜b， 所以②不正确，不符合题意； ③对称轴为直线x＝1，则x＝2时图象在x轴上方， 则y＝4a+2b+c＞0， 所以③正确，符合题意； ④，则，而a﹣b+c＜0， 则，2c＜3b， 所以④正确，符合题意； ⑤开口向下，当x＝1，y有最大值a+b+c； 当x＝m（m≠1）时，y＝am2+bm+c， 则a+b+c＞am2+bm+c， 即a+b＞m（am+b）（m≠1）， 所以⑤错误，不符合题意． 故①③④正确， 故选：C． 10．（2024•泰安）如图所示是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象，该函数图象的对称轴是直线x＝1，图象与y轴交点的纵坐标是2．则下列结论：①2a+b＝0；②方程ax2+bx+c＝0一定有一个根在﹣2和﹣1之间；③方程ax2+bx+c﹣＝0一定有两个不相等的实数根；④b﹣a＜2．其中，正确结论的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据抛物线与坐标轴的交点情况、二次函数与方程的关系、二次函数的性质判断即可． 【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x＝1， ∴﹣＝1， ∴b＝﹣2a， ∴2a+b＝0，故①正确； ∵抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点在2，3之间， ∴与x轴的另一个交点在﹣1，0之间， ∴方程ax2+bx+c＝0一定有一个根在﹣1和0之间，故②错误； ∵抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝有两个交点， ∴方程ax2+bx+c﹣＝0一定有两个不相等的实数根，故③正确； ∵抛物线与x轴的另一个交点在﹣1，0之间， ∴a﹣b+c＜0， ∵图象与y轴交点的纵坐标是2， ∴c＝2， ∴a﹣b+2＜0， ∴b﹣a＞2．故④错误． 故选：B． 11．（2024•牡丹江）将抛物线y＝ax2+bx+3向下平移5个单位长度后，经过点（﹣2，4），则6a﹣3b﹣7＝ 　2　． 【分析】根据平移规律得到函数解析式，把点的坐标代入得到2a﹣b＝3，再整体代入变形后代数式即可． 【解答】解：抛物线y＝ax2+bx+3向下平移5个单位长度后得到y＝ax2+bx+3﹣5＝ax2+bx﹣2， 把点（﹣2，4）代入得到，4＝a×（﹣2）2﹣2b﹣2， 得到2a﹣b＝3， ∴6a﹣3b﹣7＝3（2a﹣b）﹣7＝3×3﹣7＝2， 故答案为：2． 12．（2024•上海）对于一个二次函数y＝a（x﹣m）2+k（a≠0）中存在一点P（x′，y′），使得x′﹣m＝y′﹣k≠0，则称2|x′﹣m|为该抛物线的“开口大小”，那么抛物线“开口大小”为 　4　． 【分析】先将抛物线化为顶点式，再根据题意即可求得抛物线“开口大小”． 【解答】解：∵抛物线＝﹣（x﹣）2+， ∴x′﹣＝﹣（x′﹣）2+﹣≠0， 解得x′﹣＝﹣2， ∴抛物线“开口大小”为2|x′﹣|＝2×|﹣2|＝4， 故答案为：4． 13．（2024•苏州）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象过点A（0，m），B（1，﹣m），C（2，n），D（3，﹣m），其中m，n为常数，则的值为 　　． 【分析】将A、B、D的坐标代入y＝ax2+bx+c（a≠0），求出a、b、c，然后把C的坐标代入可得出m、n的关系，即可求解． 【解答】解：将A（0，m），B（1，﹣m），D（3，﹣m）代入y＝ax2+bx+c（a≠0）， 得：， ∴ ∴y＝mx2﹣mx+m， 把C（2，n）代入， 得：， ∴， ∴， 故答案为：． 14．（2024•广西）如图，壮壮同学投掷实心球，出手（点P处）的高度OP是m，出手后实心球沿一段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是5m，高度是4m．若实心球落地点为M，则OM＝　　m． 【分析】以O为坐标原点，OM为x轴正半轴，OP为y轴正半轴，建立直角坐标系，由题意可知，P（0，），B（5，4），其中B点为抛物线顶点， 设抛物线顶点式为：y＝a（x﹣5）2+4，将P（0，）代入上式，求出a的值，进而求出抛物线表达式，最后将y＝0代入表达式中即可得出答案． 【解答】解：如图，以O为坐标原点，OM为x轴正半轴，OP为y轴正半轴，建立直角坐标系， 由题意可知，P（0，），B（5，4），其中B点为抛物线顶点， 设抛物线顶点式为：y＝a（x﹣5）2+4， 将P（0，）代入上式， 解得：a＝﹣， 即抛物线的解析式为：y＝﹣（x﹣5）2+4， M为抛物线与x轴的交点， 即y＝﹣（x﹣5）2+4＝0， 解得：x1＝，x2＝﹣（舍）， ∴OM＝m． 故答案为：． 15．（2024•安徽）已知抛物线y＝﹣x2+bx（b为常数）的顶点横坐标比抛物线y＝﹣x2+2x的顶点横坐标大1． （1）求b的值； （2）点A（x1，y1）在抛物线y＝﹣x2+2x上，点B（x1+t，y1+h）在抛物线y＝﹣x2+bx上． （ⅰ）若h＝3t，且x1≥0，t＞0，求h的值； （ⅱ）若x1＝t﹣1，求h的最大值． 【分析】（1）求出抛物线y＝﹣x2+bx的顶点横坐标为，y＝﹣x2+2x的顶点横坐标为1，根据题意列方程，即可求出b的值； （2）先求出h＝﹣t2﹣2x1t+2x1+4t，（i）列方程即可求出h的值；（ii）求出h关于t的方程，配顶点式求出h最大值． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx的顶点横坐标为，y＝﹣x2+2x的顶点横坐标为1， ∴， ∴b＝4； （2）∵点A（x1，y1）在抛物线y＝﹣x2+2x上， ∴， ∵B（x1+t，y1+h）在抛物线y＝﹣x2+4x上， ∴， t）， ∴h＝﹣t2﹣2x1t+2x1+4t， （i）∵h＝3t， ∴3t＝﹣t2﹣2x1t+2x1+4t， ∴t（t+2x1）＝t+2x1， ∵x1≥0，t＞0， ∴t+2x1＞0， ∴t＝1， ∴h＝3； （ii）将x1＝t﹣1代入h＝﹣t2﹣2x1t+2x1+4t， ∴h＝﹣3t2+8t﹣2， ， ∵﹣3＜0， ∴当，即时，h取最大值． 16．（2024•上海）在平面直角坐标系中，已知平移抛物线后得到的新抛物线经过和B（5，0）． （1）求平移后新抛物线的表达式； （2）直线x＝m（m＞0）与新抛物线交于点P，与原抛物线交于点Q； ①如果PQ小于3，求m的取值范围； ②记点P在原抛物线上的对应点为P′，如果四边形P′BPQ有一组对边平行，求点P的坐标． 【分析】（1）设平移抛物线后得到的新抛物线为，把和B（5，0）代入，可得答案； （2）①如图，设，则，，结合PQ小于3，可得，结合x＝m（m＞0），从而可得答案； ②先确定平移方式为：向右平移2个单位，向下平移3个单位，由题意可得：P在B的右边，当BP′∥PQ时，可得，结合平移的性质可得答案如图，当P′Q∥BP时，则∠P′QT＝∠BPT，过P'作P′S⊥QP于S，证明△P'SQ∽△BTP，可得，设，则，，，再建立方程求解即可． 【解答】解：（1）设平移抛物线后得到的新抛物线为， 把和B（3，0）代入， 可得：，解得：， ∴新抛物线为； （2）①如图，设，则， ∴， ∵PQ小于3， ∴， ∴x＜1， ∵x＝m（m＞0）， ∴0＜m＜1； ②， ∴平移方式为：向右平移2个单位，向下平移3个单位， 由题意可得：P在B的右边，当BP′∥PQ时， ∴BP′⊥x轴， ∴xP′＝xB＝5， ∴， 由平移的性质可得：，即； 如图，当P′Q∥BP时，则∠P′QT＝∠BPT，过P′作P′S⊥QP于S， ∴∠P'SQ＝∠BTP＝90°， ∴△P'SQ∽△BTP， ∴， 设，则，，， ∴， 解得：x＝1或3（不符合题意舍去）； 综上：． 17．（2024•绵阳）如图，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（﹣3，0）和B（1，0），与y轴交于点C，连接AC和BC，点P在抛物线上运动，连接AP，BP和CP． （1）求抛物线的解析式，并写出其顶点坐标； （2）点P在抛物线上从点A运动到点C的过程中（点P与点A，C不重合），作点P关于x轴的对称点P1，连接AP1，CP1，记△ACP1的面积为S1，记△BCP的面积为S2，若满足S1＝3S2，求△ABP的面积； （3）在（2）的条件下，试探究在y轴上是否存在一点Q，使得∠CPQ＝45°？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）由待定系数法求出函数表达式，进而求解； （2）由S1＝P1E×OA＝3×（m+3﹣m2﹣2m+3）＝（﹣m2﹣m+6），同理可得：S2＝CD×（xB﹣xP）＝（3﹣m﹣3）×（1﹣m）＝S1＝（﹣m2﹣m+6），求出点P的坐标，进而求解； （3）当点Q在点C的上方时，则∠CPQ＝45°，用解直角三角形的方法求出CQ，即可求解；点Q（Q′）在点C下方时，同理可解． 【解答】解：（1）由题意得：y＝a（x+3）（x﹣1）＝a（x2+2x﹣3）＝ax2+2ax﹣3a＝ax2+bx+3， 则﹣3a＝3，则a＝﹣1， 则抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣2x+3， 该抛物线的对称轴为直线x＝﹣1， 当x＝﹣1时，y＝4，即顶点坐标为：（﹣1，4）； （2）由抛物线的表达式知，点C（0，3）， 设点P（m，﹣m2﹣2m+3），则点P1（m，m2+2m﹣3）， 由点A、C的坐标得，直线AC的表达式为：y＝x+3，则点E（m，m+3）， 同理由点B、P的坐标得，直线PB的表达式为：y＝（﹣m﹣3）x+m+3， 连接PP1交AC于点E，设直线PB交y轴于点D，则点D（0，m+3）， 则S1＝P1E×OA＝3×（m+3﹣m2﹣2m+3）＝（﹣m2﹣m+6）， 同理可得：S2＝CD×（xB﹣xP）＝（3﹣m﹣3）×（1﹣m）＝S1＝（﹣m2﹣m+6）， 解得：m＝（舍去）或﹣， 即点P（﹣，2）； 则△ABP的面积＝AB×yP＝（1+3）×2＝4； （3）存在，理由： 由（2）知，P（﹣，2）； 由点C、P的坐标得，PC＝3﹣； 当点Q在点C的上方时，则∠CPQ＝45°， 由点C、P的坐标得，tan∠PCQ＝2﹣， 过点Q作QH⊥PC于点H， 设CH＝（2﹣）x，则PH＝QH＝x， 则PC＝3﹣＝（2﹣）x+x， 解得：x＝， 则QH＝x＝，CH＝（2﹣）， 则CQ＝＝2﹣2， 则OQ＝3+2﹣2＝2+1， 即点Q（0，2+1）； 当点Q（Q′）在点C下方时， 同理可得：CQ′＝6﹣2， 则点Q′（0，2﹣3）； 综上，Q（0，2+1）或（0，2﹣3）． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$