专题07 圆-【寒假分层作业】2025年九年级数学寒假培优练（人教版）

专题07 圆 内容早知道 ☛第一层 巩固提升练 ☛第二层 能力培优练 ☛第三层 中考真题练 1．已知⊙O的半径为6，则⊙O中弦AB的长度不可能是（　　） A．6 B．8 C．12 D．13 2．如图，在⊙O中，AB是直径，，∠AOE＝60°，则∠BOC的度数为（　　） A．40° B．45° C．50° D．60° 3．AB是⊙O的直径，过点D作DE⊥AB于点E，延长DE交⊙O于点F，若AE＝2，⊙O的直径为10，则DF长为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 4．如图，AB是⊙O的直径，点C，D，E在⊙O上，若∠AED＝18°，则∠BCD的度数为（　　） A．70° B．36° C．54° D．72° 5．如图，⊙O的内接四边形ABCD的边AB是⊙O的直径，已知AD＝6，∠C＝120°，则⊙O的半径为（　　） A．6 B．9 C．10 D．6 6．已知⊙O的半径是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的一个根，圆心O到直线l的距离d＝2，则直线l与⊙O的位置关系是（　　） A．相切 B．相交 C．相离 D．平行 7．如图，四边形ABCD外切于⊙O，且AB＝10，CD＝15，则四边形ABCD的周长为（　　） A．60 B．55 C．45 D．50 8．如图，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心．若∠ADB＝20°，则这个正多边形的边数为（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 9．如图，⊙A，⊙B，⊙C两两不相交，且半径都是0.5cm，则图中三个阴影扇形的弧长之和为（　　）cm． A．π B． C． D． 10．如图，在△ABC中，AB＝6cm，∠CAB＝45°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转45°后得到△A′BC′，则阴影部分的面积为（　　） A． B． C．12 D． 1．如图，筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，已知圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得的弦AB长为16米，⊙O的半径长为10米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦AB所在直线的距离是（　　） A．4米 B．6米 C．8米 D．10米 2．如图，直线AB、BC、CD分别与⊙O相切于点E、F、G且AB∥CD，若OB＝8cm，OC＝6cm，则⊙O的半径等于（　　） A．3cm B．4cm C． D．5cm 3．如图，已知直线PA交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，且AC平分∠PAE，过C作CD⊥PA，垂足为D，且DC+DA＝12，⊙O的直径为20，则AB的长等于（　　） A．8 B．12 C．16 D．18 4．如图，等边△ABC内接于⊙O，BC＝4，点D在上，∠ABD＝45°，AE⊥CD于点E，则BD+DE的值是（　　） 第4题 第5题 A． B． C． D． 5．如图，⊙M的半径为4，圆心M的坐标为（6，8），点P是⊙M上的任意一点，PA⊥PB，且PA、PB与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则AB的最大值为（　　） A．13 B．14 C．12 D．28 6．如图，已知⊙O的内接正五边形ABCDE，点I是△ABC的内心，则∠AIC﹣∠AOB＝　 　． 7．如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠CDA＝90°，AB＝1，CD＝2，过A，B，D三点的⊙O分别交BC，CD于点E，M，下列结论：①DM＝CM；②；③⊙O的直径为2；④AE＝AD．其中正确的结论有 　 　（填序号）． 8．如图，四边形ABCD是正方形，曲线DA1B1C1D1A2B2⋅⋅⋅叫做“正方形的渐开线”，其中的圆心为点A，半径为AD；的圆心为点B，半径为BA1；的圆心为点C，半径为CB1；的圆心为点D，半径为DC1；…，，，，，…的圆心依次按A，B，C，D循环，当AB＝1时，则的长是 　 　． 9．已知BC是⊙O的直径，点D是BC延长线上一点，AB＝AD，AE是⊙O的弦，∠AEC＝30°． （1）求∠BAC的度数； （2）求证：直线AD是⊙O的切线； （3）若AE⊥BC，垂足为点M，⊙O的半径为4，求AE的长． 10．如图，AB是⊙O的直径，点C，D是⊙O上位于直线AB异侧的两点，DE⊥BC，交CB的延长线于点E，且BD平分∠ABE． （1）求证：DE为⊙O的切线； （2）若∠ABC＝60°，AB＝4， ①求DE的长； ②图中阴影部分的面积为 　 　． 1．（2024•长沙）如图，在⊙O中，弦AB的长为8，圆心O到AB的距离OE＝4，则⊙O的半径长为（　　） A．4 B． C．5 D． 2．（2024•凉山州）数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点A，B，连接AB，作AB的垂直平分线CD交AB于点D，交于点C，测出AB＝40cm，CD＝10cm，则圆形工件的半径为（　　） A．50cm B．35cm C．25cm D．20cm 3．（2024•广州）如图，⊙O中，弦AB的长为4，点C在⊙O上，OC⊥AB，∠ABC＝30°．⊙O所在的平面内有一点P，若OP＝5，则点P与⊙O的位置关系是（　　） A．点P在⊙O上 B．点P在⊙O内 C．点P在⊙O外 D．无法确定 4．（2024•甘南州）如图，AB是⊙O的直径，DB，DE分别切⊙O于点B、C，若∠ACE＝18°，则∠D的度数是（　　） A．18° B．36° C．48° D．72° 5．（2024•牡丹江）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB是⊙O的直径，若∠BEC＝20°，则∠ADC的度数为（　　） A．100° B．110° C．120° D．130° 6．（2024•泸州）如图，EA，ED是⊙O的切线，切点为A，D，点B，C在⊙O上，若∠BAE+∠BCD＝236°，则∠E＝（　　） A．56° B．60° C．68° D．70° 7．（2024•绵阳）如图，在边长为2的正六边形ABCDEF中，连接BE，点H在BE上运动，点G为EF的中点，当△AGH的周长最小时，AH+GH＝（　　） A． B． C．12 D．13 8．（2024•滨州）刘徽（今山东滨州人）是魏晋时期我国伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基者之一，被誉为“世界古代数学泰斗”．刘徽在注释《九章算术》时十分重视一题多解，其中最典型的是勾股容方和勾股容圆公式的推导，他给出了内切圆直径的多种表达形式．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB，BC，CA的长分别为c，a，b．则可以用含c，a，b的式子表示出△ABC的内切圆直径d，下列表达式错误的是（　　） A．d＝a+b﹣c B． C． D．d＝|（a﹣b）（c﹣b）| 9．（2024•日照）如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠B＝120°，点O是对角线AC的中点，以点O为圆心，OA长为半径作圆心角为60°的扇形OEF，点D在扇形OEF内，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D．无法确定 10．（2024•陕西）如图，AB为⊙O的直径，＝，∠A＝53°，则∠B的度数是 　 　． 11．（2024•凉山州）如图，⊙M的圆心为M（4，0），半径为2，P是直线y＝x+4上的一个动点，过点P作⊙M的切线，切点为Q，则PQ的最小值为 　2　． 12．（2024•包头）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，点O在四边形ABCD内部，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点P，连接OA，OB．若∠AOB＝140°，∠BCP＝35°，则∠ADC的度数为 　 　． 13．（2024•通辽）如图，△ABC中．∠ACB＝90°，点O为AC边上一点，以点O为圆心，OC为半径作圆与AB相切于点D，连接CD． （1）求证：∠ABC＝2∠ACD； （2）若AC＝8，BC＝6，求⊙O的半径． 14．（2024•天津）已知△AOB中，∠ABO＝30°，AB为⊙O的弦，直线MN与⊙O相切于点C． （Ⅰ）如图①，若AB∥MN，直径CE与AB相交于点D，求∠AOB和∠BCE的大小； （Ⅱ）如图②，若OB∥MN，CG⊥AB，垂足为G，CG与OB相交于点F，OA＝3，求线段OF的长． 15．（2024•遂宁）如图，AB是⊙O的直径，AC是一条弦，点D是的中点，DN⊥AB于点E，交AC于点F，连结DB交AC于点G． （1）求证：AF＝DF； （2）延长GD至点M，使DM＝DG，连结AM． ①求证：AM是⊙O的切线； ②若DG＝6，DF＝5，求⊙O的半径． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 圆 内容早知道 ☛第一层 巩固提升练 ☛第二层 能力培优练 ☛第三层 中考真题练 1．已知⊙O的半径为6，则⊙O中弦AB的长度不可能是（　　） A．6 B．8 C．12 D．13 【分析】根据直径是圆的最大的弦解答即可． 【解答】解：∵⊙O的半径为6， ∴⊙O的直径为12， ∴⊙O中弦AB的长度≤12， 故选：D． 2．如图，在⊙O中，AB是直径，，∠AOE＝60°，则∠BOC的度数为（　　） A．40° B．45° C．50° D．60° 【分析】由在同圆中等弧对的圆心角相等得，即可求解，解题的关键是熟练掌握圆心角、弧、弦的关系． 【解答】解：由题意可得：∠AOE+∠BOE＝180°，∠AOE＝60°， ∴∠BOE＝120°， ∵， ∴， 故选：A． 3．AB是⊙O的直径，过点D作DE⊥AB于点E，延长DE交⊙O于点F，若AE＝2，⊙O的直径为10，则DF长为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【分析】连接OD，根据题意易得DE＝EF，AO＝OD＝5，进而求出OE的长度，再利用勾股定理求出DE的长度即可求解． 【解答】解：连接OD，如下图： ∵⊙O的直径为10， ∴． ∵AE＝2， ∴OE＝OA﹣AE＝5﹣2＝3． 在Rt△ODE中 ， ∵DE⊥AB于点E， ∴DF＝2DE＝2×4＝8． 故选：D． 4．如图，AB是⊙O的直径，点C，D，E在⊙O上，若∠AED＝18°，则∠BCD的度数为（　　） A．70° B．36° C．54° D．72° 【分析】连接AC，得出∠ACD＝∠AED＝18°，∠ACB＝90°，进而可得出答案． 【解答】解：连接AC， ∵∠AED＝18°， ∴∠ACD＝∠AED＝18°， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠BCD＝∠ACB﹣∠ACD＝90°﹣18°＝72°， 故选：D． 5．如图，⊙O的内接四边形ABCD的边AB是⊙O的直径，已知AD＝6，∠C＝120°，则⊙O的半径为（　　） A．6 B．9 C．10 D．6 【分析】根据圆的内接四边形求得∠A，连接BD，得∠ADB＝90°，则AB＝2AD，即可求得⊙O的半径． 【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠C＝120°， ∴∠A＝180°﹣∠C＝180°﹣120°＝60°， 连接BD，如图， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∴∠ABD＝90°﹣∠A＝90°﹣60°＝30°， ∵AD＝6， ∴AB＝2AD＝12， ∴⊙O的半径为6， 故选：A． 6．已知⊙O的半径是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的一个根，圆心O到直线l的距离d＝2，则直线l与⊙O的位置关系是（　　） A．相切 B．相交 C．相离 D．平行 【分析】解方程x2﹣2x﹣3＝0，得x1＝3，x2＝﹣1，则⊙O的半径等于3，由圆心O到直线l的距离d＝2，⊙O的半径等于3，且2＜3，可知直线l与⊙O相交，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵x2﹣2x﹣3＝0， ∴（x﹣3）（x+1）＝0， ∴x﹣3＝0或x+1＝0， ∴x1＝3，x2＝﹣1（不符合题意，舍去）， ∴⊙O的半径等于3， ∵圆心O到直线l的距离d＝2，⊙O的半径等于3，且2＜3， ∴直线l与⊙O相交， 故选：B． 7．如图，四边形ABCD外切于⊙O，且AB＝10，CD＝15，则四边形ABCD的周长为（　　） A．60 B．55 C．45 D．50 【分析】根据切线长定理得到AE＝AF，BE＝BG，CG＝CH，DH＝DF，进而求出AD+BC，再根据四边形的周长公式计算，得到答案． 【解答】解：∵四边形ABCD外切于⊙O，切点分别为E、G、H、F， ∴AE＝AF，BE＝BG，CG＝CH，DH＝DF， ∴AD+BC＝AF+DF+BG+CG＝AE+DH+BE+CG＝AB+CD＝10+15＝25， ∴四边形ABCD的周长为：AD+BC+AB+CD＝25+25＝50， 故选：D． 8．如图，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心．若∠ADB＝20°，则这个正多边形的边数为（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 【分析】连接OA，OB，根据圆周角定理得到∠AOB＝2∠ADB＝40°，即可得到结论． 【解答】解：连接OA，OB， ∵A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心， ∴点A、B、C、D在以点O为圆心，OA为半径的同一个圆上， ∵∠ADB＝20°， ∴∠AOB＝2∠ADB＝40°， ∴这个正多边形的边数＝＝9． 故选：C． 9．如图，⊙A，⊙B，⊙C两两不相交，且半径都是0.5cm，则图中三个阴影扇形的弧长之和为（　　）cm． A．π B． C． D． 【分析】三个扇形的半径都是0.5cm，根据扇形的弧长公式l＝，因而三个扇形的弧长的和就是：三个圆心角的和×，而三个圆心角的和是180°，故弧长之和即为圆心角为180°，半径为0.5cm半圆的弧长． 【解答】解：图中的三个扇形弧长的和为＝πr＝cm． 故选：B． 10．如图，在△ABC中，AB＝6cm，∠CAB＝45°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转45°后得到△A′BC′，则阴影部分的面积为（　　） A． B． C．12 D． 【分析】根据旋转的性质得∠ABA′＝45°，BA′＝BA，△ABC≌△A′BC′，则S△ABC＝S△A′BC′，再利用面积的和差可得S阴影部分＝S△ABA′，接着证明△ADB为等腰直角三角形，得到∠ADB＝90°，进而得到AD的长，然后利用三角形面积公式计算S△ABA′，从而得到S阴影部分． 【解答】解：如图所示，设AC与BA′相交于D， 由条件可知∠ABA′＝45°，BA′＝BA＝6，△ABC≌△A′BC′， ∴S△ABC＝S△A′BC′， ∵S四边形AA′C′B＝S△ABC+S阴影部分＝S△A′BC′+S△ABA′， ∴S阴影部分＝S△ABA′， ∴△ADB为等腰直角三角形， ∴∠ADB＝90°，， ∴， ∴S阴影＝． 故选：B． 1．如图，筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，已知圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得的弦AB长为16米，⊙O的半径长为10米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦AB所在直线的距离是（　　） A．4米 B．6米 C．8米 D．10米 【分析】连接OA、OC，OC交AB于D，OA＝OC＝10米，OC⊥AB，知AD＝BD＝AB＝8（米），∠ADO＝90°，再根据勾股定理求出OD的长，继而可得答案． 【解答】解：连接OA、OC，OC交AB于D，如图所示， 由题意得：OA＝OC＝10米，OC⊥AB， ∴AD＝BD＝AB＝8（米），∠ADO＝90°， ∴OD＝＝＝6（米）， ∴CD＝OC﹣OD＝4米， 即点C到弦AB所在直线的距离是4米， 故选：A． 2．如图，直线AB、BC、CD分别与⊙O相切于点E、F、G且AB∥CD，若OB＝8cm，OC＝6cm，则⊙O的半径等于（　　） A．3cm B．4cm C． D．5cm 【分析】根据平行线的性质以及切线长定理，即可证明∠BOC＝90°，再根据勾股定理即可求得BC的长，进而根据等面积法，即可求解． 【解答】解：连接OF， 根据切线长定理得：BE＝BF，CF＝CG，∠OBF＝∠OBE，∠OCF＝∠OCG， ∵AB∥CD， ∴∠ABC+∠BCD＝180°， ∴∠OBF+∠OCF＝90°， ∴∠BOC＝90°， ∵OB＝8cm，OC＝6cm， ∴BC＝＝＝10（cm）， ∵OF⊥BC， ∴S△BOC＝OB•OC＝OF•BC， ∴OF＝＝＝（cm）． 故选：C． 3．如图，已知直线PA交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，且AC平分∠PAE，过C作CD⊥PA，垂足为D，且DC+DA＝12，⊙O的直径为20，则AB的长等于（　　） A．8 B．12 C．16 D．18 【分析】连接OC，根据题意可证得∠CAD+∠DCA＝90°，再根据角平分线的性质，得∠DCO＝90°，过O作OF⊥AB，则∠OCD＝∠CDA＝∠OFD＝90°，得四边形OCDF为矩形，设AD＝x，在Rt△AOF中，由勾股定理得（10﹣x）2+（12﹣x）2＝102，从而求得x的值，由勾股定理得出AB的长． 【解答】解：连接OC，过O作OF⊥AB，垂足为F， ∵OA＝OC， ∴∠OCA＝∠OAC， ∵AC平分∠PAE， ∴∠DAC＝∠CAO， ∴∠DAC＝∠OCA， ∴PB∥OC， ∵CD⊥PA， ∴∠OCD＝∠CDA＝∠OFD＝90°， ∴四边形DCOF为矩形， ∴OC＝FD，OF＝CD． ∵DC+DA＝12， 设AD＝x，则OF＝CD＝12﹣x， ∵⊙O的直径为20， ∴DF＝OC＝10， ∴AF＝10﹣x， 在Rt△AOF中，由勾股定理得AF2+OF2＝OA2． 即（10﹣x）2+（12﹣x）2＝102， 解得x1＝4，x2＝18． ∵CD＝12﹣x大于0，故x＝18舍去， ∴x＝4， ∴AD＝4，AF＝10﹣4＝6， ∵OF⊥AB，由垂径定理知，F为AB的中点， ∴AB＝2AF＝12． 故选：B． 4．如图，等边△ABC内接于⊙O，BC＝4，点D在上，∠ABD＝45°，AE⊥CD于点E，则BD+DE的值是（　　） A． B． C． D． 【分析】在CD上取一点F，使CF＝BD，连接AF，AD，证明△ACF和△ABD全等得AF＝AD，则DE＝EF，进而得BD+DE＝CF+EF＝CE，再证明△ACE是等腰直角三角形，则AE＝CE，然后利用勾股定理求出CE的长即可得出答案． 【解答】解：在CD上取一点F，使CF＝BD，连接AF，AD，如图所示： ∵△ABC是等边三角形，BC＝4， ∴AC＝AB＝BC＝4，∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°， ∵点D在弧AB上，∠ABD＝45°， ∴∠ACF＝∠ABD＝45°， 在△ACF和△ABD中， ， ∴△ACF≌△ABD（SAS）， ∴AF＝AD， ∵AE⊥CD， ∴DE＝EF， ∴BD+DE＝CF+EF＝CE， ∵∠ACF＝45°，AE⊥CD， ∴△ACE是等腰直角三角形， ∴AE＝CE， 由勾股定理得：AC＝＝CE， ∴CE＝AC＝＝， ∴BD+DE＝． 故选：D． 5．如图，⊙M的半径为4，圆心M的坐标为（6，8），点P是⊙M上的任意一点，PA⊥PB，且PA、PB与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则AB的最大值为（　　） A．13 B．14 C．12 D．28 【分析】由Rt△APB中AB＝2OP知要使AB取得最大值，则PO需取得最大值，连接OM，并延长交⊙M于点P'，当点P位于P'位置时，OP'取得最大值，据此求解可得． 【解答】解：连接PO， ∵PA⊥PB， ∴∠APB＝90°， ∵点A、点B关于原点O对称， ∴AO＝BO， ∴AB＝2PO， 若要使AB取得最大值，则PO需取得最大值， 连接OM，并延长交⊙M于点P'，当点P位于P'位置时，OP'取得最大值， 过点M作MQ⊥x轴于点Q， 则OQ＝6、MQ＝8， ∴OM＝10， 又∵MP'＝r＝4， ∴OP'＝MO+MP'＝10+4＝14， ∴AB＝2OP'＝2×14＝28； 故选：D． 6．如图，已知⊙O的内接正五边形ABCDE，点I是△ABC的内心，则∠AIC﹣∠AOB＝　72°　． 【分析】根据题意得∠AOB＝360°÷5＝72°，多边形内角和定理得到∠ABC＝108°，根据三角形内角和定理得到∠CAB＝∠ACB＝36°，因为点I为三角形的内心，所以∠CAI＝∠ACI＝18°，∠AIC＝144°，所以∠AIC﹣∠AOB＝144°﹣72°＝72°． 【解答】解：∵⊙O的内接正五边形ABCDE， ∴∠AOB＝360°÷5＝72°， ∵正五边形ABCDE的内角和为（5﹣2）×180°＝3×180°＝540°， ∴， ∵AB＝AC， ∴， ∵点I为△ABC的内心， ∴AI平分∠CAB，CI平分∠ACB， ∴∠CAI＝∠ACI＝18°， ∴∠AIC＝180°﹣∠CAI﹣∠ACI＝180°﹣18°﹣18°＝144°， ∴∠AIC﹣∠AOB＝144°﹣72°＝72°， 故答案为：72°． 7．如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠CDA＝90°，AB＝1，CD＝2，过A，B，D三点的⊙O分别交BC，CD于点E，M，下列结论：①DM＝CM；②；③⊙O的直径为2；④AE＝AD．其中正确的结论有 　①②④　（填序号）． 【分析】（1）由四边形ADMB为矩形，知①DM＝CM，正确； （2）四边形ABMC为平行四边形，∴∠AEB＝∠MAE，＝，故②正确； （3）由题设条件求不出直径的大小，故③⊙O的直径为2，错误； （4）∠DAM＝∠EAM，OG⊥AM，OH⊥AM推出弦心距相等，故④AE＝AD正确． 【解答】解：如图，连接AM，连接MB， ∵∠BAD＝∠CDA＝90°， ∴AM过圆心O， 而A、D、M、B四点共圆， ∴四边形ADMB为矩形，而AB＝1，CD＝2， ∴CM＝2﹣1＝1＝AB＝DM，即：①DM＝CM，正确； 又AB∥CD， ∴四边形ABMC为平行四边形， ∴∠AEB＝∠MAE，＝，故②正确； ∵四边形ADMB为矩形， ∴AB＝DM， ∴＝， ∴∠DAM＝∠AMB， 过点O作OG⊥AD于G，OH⊥AE于H， ∴OG＝OH， ∴AD＝AE， ∴④正确； 由题设条件求不出直径的大小， 故③⊙O的直径为2，错误； 故答案为①②④． 8．如图，四边形ABCD是正方形，曲线DA1B1C1D1A2B2⋅⋅⋅叫做“正方形的渐开线”，其中的圆心为点A，半径为AD；的圆心为点B，半径为BA1；的圆心为点C，半径为CB1；的圆心为点D，半径为DC1；…，，，，，…的圆心依次按A，B，C，D循环，当AB＝1时，则的长是 　4047π　． 【分析】曲线DA1B1C1D1A2B2⋅⋅⋅是由一段段90°的弧组成的，半径每次比前一段弧半径加1，求出BA2024，再根据弧长公式计算即可． 【解答】解：由图可知，曲线DA1B1C1D1A2B2⋅⋅⋅是由一段段90°的弧组成的， AD＝AA1＝1，BA1＝BB1＝1+1＝2，CC1＝CB+BB1＝1+2＝3，DD1＝DC+CC1＝1+3＝4，AD1＝AD+DD1＝AA2＝5， ……， 以此类推，半径每次比前一段弧半径加1， ADn﹣1＝AAn＝4（n﹣1）+1，BAn＝4（n﹣1）+2， ∴BA2024＝4×（2024﹣1）+2＝8094， ∴， 故答案为：4047π． 9．已知BC是⊙O的直径，点D是BC延长线上一点，AB＝AD，AE是⊙O的弦，∠AEC＝30°． （1）求∠BAC的度数； （2）求证：直线AD是⊙O的切线； （3）若AE⊥BC，垂足为点M，⊙O的半径为4，求AE的长． 【分析】（1）根据直径所对圆周角等于90°求解即可； （2））先求出∠ABC＝30°，进而求出∠BAD＝120°，即可求出∠OAB＝∠ABC＝30°，从而求得∠OAD＝∠BAD﹣∠OAB＝90°，即可得出结论； （3）先求出∠AOC＝60°，再用垂径定理得到AE＝2AM，∠OMA＝90°．从而得出∠OAM＝30°，则，然后由勾股定理求解即可． 【解答】（1）解：∵BC是⊙O的直径， ∴∠BAC＝90°． （2）证明：连接OA， 由条件可知∠ABC＝∠AEC＝30°． ∵AB＝AD， ∴∠D＝∠ABC＝30°． ∴∠BAD＝120°． ∴∠OAB＝∠ABC＝30°． ∴∠OAD＝∠BAD﹣∠OAB＝90°． ∴OA⊥AD． ∵点A在⊙O上，即OA是⊙O的半径， ∴直线AD是⊙O的切线． （3）解：∵∠AEC＝30°， ∴∠AOC＝60°． ∵BC⊥AE于点M， ∴AE＝2AM，∠OMA＝90°． ∴∠OAM＝30° ∴， 在Rt△AOM中，OM＝2，OA＝4， ∴AM＝＝2， ∴． 10．如图，AB是⊙O的直径，点C，D是⊙O上位于直线AB异侧的两点，DE⊥BC，交CB的延长线于点E，且BD平分∠ABE． （1）求证：DE为⊙O的切线； （2）若∠ABC＝60°，AB＝4， ①求DE的长； ②图中阴影部分的面积为 　　． 【分析】（1）连接OD，根据垂直定义可得∠E＝90°，再根据角平分线的定义和等腰三角形的性质可得OD∥BE，然后利用平行线的性质可得∠ODE＝90°，即可解答； （2）①如图，过点O作OF⊥BC，垂足为F，根据直角三角形的性质得到，求得，根据勾股定理得到，由（1）得OD∥DE，DE⊥BC，求得∠ODE＝∠E＝∠OFE＝90°，根据矩形的性质得到； ②连接OC，过点O作OF⊥BC，垂足为F，根据已知易得△OBC是等边三角形，从而利用等边三角形的性质可得OB＝OC＝BC＝2，∠BOC＝60°，然后在Rt△OBF中，利用锐角三角函数的定义求出OF的长，最后根据图中阴影部分的面积＝扇形BOC的面积﹣△BOC的面积，进行计算即可解答． 【解答】（1）证明：连接OD． ∵BD平分∠ABE， ∴∠ABD＝∠DBE， ∵OD＝OB， ∴∠ODB＝∠ABD， ∴∠ODB＝∠DBE， ∴OD∥BC， ∵DE⊥BC， ∴OD⊥DE， ∵点D在⊙O上， ∴DE为⊙O的切线； （2）解：①如图，过点O作OF⊥BC，垂足为F， ∵AB＝4， ∴， ∵∠ABC＝60°， ∴∠BOF＝30°， ∴， 在Rt△OBF中，， 由（1）得OD∥DE，DE⊥BC， ∴∠ODE＝∠E＝∠OFE＝90°， ∴四边形OFED为矩形， ∴， ②连接OC，过点O作OF⊥BC，垂足为F， ∵∠ABC＝60°，OB＝OC， ∴△OBC是等边三角形， ∴OB＝OC＝BC＝AB＝2，∠BOC＝60°， 在Rt△OBF中，OF＝OB•sin60°＝2×＝， ∴图中阴影部分的面积＝扇形BOC的面积﹣△BOC的面积 ＝﹣BC•OF ＝ ＝， ∴图中阴影部分的面积为， 故答案为：． 1．（2024•长沙）如图，在⊙O中，弦AB的长为8，圆心O到AB的距离OE＝4，则⊙O的半径长为（　　） A．4 B． C．5 D． 【分析】利用垂径定理，勾股定理求解即可． 【解答】解：∵OE⊥AB， ∴AE＝EB＝4， ∴OA＝＝＝4． 故选：B． 2．（2024•凉山州）数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点A，B，连接AB，作AB的垂直平分线CD交AB于点D，交于点C，测出AB＝40cm，CD＝10cm，则圆形工件的半径为（　　） A．50cm B．35cm C．25cm D．20cm 【分析】根据垂径定理可以得到BD的长，再根据勾股定理，即可求得圆形工件的半径． 【解答】解：设圆心为O，连接OB，如图所示， ∵CD垂直平分AB，AB＝40cm， ∴BD＝20cm， ∵CD＝10cm，OC＝OB， ∴OD＝OB﹣10， ∵∠ODB＝90°， ∴OD2+BD2＝OB2， ∴（OB﹣10）2+202＝OB2， 解得OB＝25， 即圆形工件的半径为25cm， 故选：C． 3．（2024•广州）如图，⊙O中，弦AB的长为4，点C在⊙O上，OC⊥AB，∠ABC＝30°．⊙O所在的平面内有一点P，若OP＝5，则点P与⊙O的位置关系是（　　） A．点P在⊙O上 B．点P在⊙O内 C．点P在⊙O外 D．无法确定 【分析】先根据垂径定理得出AD＝BD＝AB，再由∠ABC＝30°得出∠AOD＝2∠B＝60°，故∠A＝30°，可知OA＝2OD，设OD＝x，则OA＝2x，利用勾股定理求出x的值，进而可得出OA的长，根据点与圆的位置关系即可得出结论． 【解答】解：设AB与OC交于点D， ∵弦AB的长为4，OC⊥AB， ∴AD＝BD＝AB＝2， ∵∠ABC＝30°， ∴∠AOD＝2∠B＝60°， ∴∠A＝90°﹣60°＝30°， ∴OA＝2OD， 设OD＝x，则OA＝2x， 在Rt△AOD中，OD2+AD2＝OA2，即x2+（2）2＝（2x）2， 解得x＝±2（负值舍去）， ∴OA＝2x＝4， ∵OP＝5， ∴OP＞OA， ∴点P在圆外． 故选：C． 4．（2024•甘南州）如图，AB是⊙O的直径，DB，DE分别切⊙O于点B、C，若∠ACE＝18°，则∠D的度数是（　　） A．18° B．36° C．48° D．72° 【分析】连接BC，由圆周角定理的推论得∠ACB＝90°，再由切线长定理得BD＝DC，从而得∠DBC＝∠DCB＝90°−18°＝72°，进而即可求解． 【解答】解：连接BC， ∵DB、DE分别切⊙O于点B、C， ∴BD＝DC， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠DBC＝∠DCB＝90°−18°＝72°， ∴∠D＝180°﹣72°×2＝36°． 故选：B． 5．（2024•牡丹江）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB是⊙O的直径，若∠BEC＝20°，则∠ADC的度数为（　　） A．100° B．110° C．120° D．130° 【分析】连接AC，由AB是⊙O的直径得到∠ACB＝90°，根据圆周角定理得到∠CAB＝∠BEC＝20°，得到∠ABC＝90°﹣∠BAC＝70°，再由圆内接四边形对角互补得到答案． 【解答】解：如图，连接AC， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∵∠BEC＝20°， ∴∠CAB＝∠BEC＝20°， ∴∠ABC＝90°﹣∠BAC＝70°， ∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴∠ADC＝180°﹣∠ABC＝110°， 故选：B． 6．（2024•泸州）如图，EA，ED是⊙O的切线，切点为A，D，点B，C在⊙O上，若∠BAE+∠BCD＝236°，则∠E＝（　　） A．56° B．60° C．68° D．70° 【分析】连接AD，则∠BAD+∠BCD＝180°，而∠BAE+∠BCD＝236°，所以∠EAD+∠BAD+∠BCD＝∠EAD+180°＝236°，求得∠EAD＝56°，由切线长定理得EA＝ED，则∠EDA＝∠EAD＝56°，所以∠E＝180°﹣∠EDA﹣∠EAD＝68°，于是得到问题的答案． 【解答】解：连接AD， ∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴∠BAD+∠BCD＝180°， ∵∠BAE+∠BCD＝236°， ∴∠EAD+∠BAD+∠BCD＝∠EAD+180°＝236°， ∴∠EAD＝56°， ∵EA，ED是⊙O的切线，切点为A，D， ∴EA＝ED， ∴∠EDA＝∠EAD＝56°， ∴∠E＝180°﹣∠EDA﹣∠EAD＝180°﹣56°﹣56°＝68°， 故选：C． 7．（2024•绵阳）如图，在边长为2的正六边形ABCDEF中，连接BE，点H在BE上运动，点G为EF的中点，当△AGH的周长最小时，AH+GH＝（　　） A． B． C．12 D．13 【分析】要使△AGH的周长最小时，AH+GH最小，利用正六边形的性质可得点G关于BE的对称点为点G′，连接AG′交BE于点H'，连接AE，H′G，那么有H'G＝H'G′，AH'+GH'＝AG′最小，再根据正六边形的性质和勾股定理计算即可． 【解答】解：如图， 要使△AGH的周长的最小，即AH+HG最小， 利用正六边形的性质可得点G关于BE的对称点为点G′，连接AG′交BE于点H'，连接AE，H′G， 那么有H'G＝H'G′，AH'+GH'＝AG′最小， ∵∠F＝120°，AF＝EF＝2， ∴AE＝2， ∵∠AEG′＝90°，EG′＝DE＝1， ∴AG′＝＝， 故当△AGH的周长最小时，AH+GH＝． 故选：B． 8．（2024•滨州）刘徽（今山东滨州人）是魏晋时期我国伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基者之一，被誉为“世界古代数学泰斗”．刘徽在注释《九章算术》时十分重视一题多解，其中最典型的是勾股容方和勾股容圆公式的推导，他给出了内切圆直径的多种表达形式．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB，BC，CA的长分别为c，a，b．则可以用含c，a，b的式子表示出△ABC的内切圆直径d，下列表达式错误的是（　　） A．d＝a+b﹣c B． C． D．d＝|（a﹣b）（c﹣b）| 【分析】这是直角三角形内切圆的常考形式，直角三角形内切圆半径的常用形式有两个，分别是r＝和r＝，所以很快定位出选项A和选项B正确，而对于我们不熟悉的选项C和选项D可直接用特殊值法定位答案． 【解答】方法一：本题作为选择题，用特殊值法则可快速定位答案． ∵三角形ABC为直角三角形，∴令a＝3，b＝4，c＝5． 选项A：d＝a+b﹣c＝2， 选项B：d＝＝2， 选项C：d＝＝2， 选项D：d＝|（a﹣b）（c﹣b）|＝1， 很明显，只有D选项跟其他选项不一致，所以表达式错误的应是D选项． 故答案选：D． 方法二：如图，作OE⊥AC于点E，OD⊥BC于点D，OF⊥AB于点F． 易证四边形OECD是正方形，设OE＝OD＝OF＝r， 则EC＝CD＝r， ∴AE＝AF＝b﹣r，BD＝BF＝a﹣r， ∵AF+BF＝AB， ∴b﹣r+a﹣r＝c， ∴r＝， ∴d＝a+b﹣c．故选项A正确． ∵S△ABC＝S△AOC+S△BOC+S△AOB， ∴ab＝ar+br+cr， ∴ab＝r（a+b+c）， ∴r＝，即d＝．故选项B正确． ∵由前面可知d＝a+b﹣c， ∴d2＝（a+b﹣c）2＝（a+b）2﹣2c（a+b）+c2＝a2+2ab+b2﹣2ac﹣2bc+c2， ∵a2+b2＝c2， ∴上述式子＝2c2+2ab﹣2ac﹣2bc＝2（c2+ab﹣ac﹣bc）＝2[（c2﹣ac）+b（a﹣c）]＝2（c﹣a）（c﹣b）， ∴d＝，故选项C正确． 排除法可知选项D错误． 故答案选：D． 9．（2024•日照）如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠B＝120°，点O是对角线AC的中点，以点O为圆心，OA长为半径作圆心角为60°的扇形OEF，点D在扇形OEF内，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D．无法确定 【分析】过O作ON⊥AD，OM⊥CD，证明△ONH≌△OMG，故四边形HOGD面积＝2△OMD面积，再计算即可． 【解答】解：过O作ON⊥AD，OM⊥CD，连接OD． ∵∠ADC+∠HOG＝180°， ∴∠NHO+∠DGO＝180°， ∵∠DGO+∠MGO＝180°， ∴∠NHO＝∠MGO． ∵菱形ABCD， ∴DO平分∠ADC， ∴OM＝ON． 在△ONH和△OMG中， ， ∴△ONH≌△OMG（AAS）， ∴△ONH面积＝△OMG面积， ∴四边形HOGD面积＝四边形NOMD面积＝2△OMD面积， ∵∠ODC＝60°， ∴OD＝CD＝1，OC＝OD＝． ∴DM＝OD＝， ∴OM＝DM＝， ∴四边形HOGD面积＝2△OMD面积＝2×××＝， ∴阴影部分的面积＝扇形面积﹣四边形HOGD面积＝×π×（）2﹣＝﹣， 故选：A． 10．（2024•陕西）如图，AB为⊙O的直径，＝，∠A＝53°，则∠B的度数是 　37°　． 【分析】连接BC，根据直径所对的圆周角是直角得∠ACB＝90°，进而可求出∠ABC＝37°，然后再根据在同圆中，等弧所对的圆周角相等可得出∠ABC的度数． 【解答】解：连接BC，如图所示： ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， 在Rt△ABC中，∠A＝53°， ∴∠ABC＝90°﹣∠A＝37°， ∵， ∴∠ABD＝∠ABC＝37°， 故答案为：37°． 11．（2024•凉山州）如图，⊙M的圆心为M（4，0），半径为2，P是直线y＝x+4上的一个动点，过点P作⊙M的切线，切点为Q，则PQ的最小值为 　2　． 【分析】连接MP、MQ，根据切线的性质得到MQ⊥PQ，根据勾股定理得到PQ＝，根据一次函数解析式求出点A、点B的坐标，再根据垂线段最短计算即可． 【解答】解：如图，连接MP、MQ， ∵PQ是⊙M的切线， ∴MQ⊥PQ， ∴PQ＝＝， 当PM最小时，PQ最小， 当MP⊥AB时，MP最小， 直线y＝x+4与x轴的交点A的坐标为（﹣4，0），与y轴的交点B的坐标为（0，4）， ∴OA＝OB＝4， ∴∠BAO＝45°，AM＝8， 当MP⊥AB时，MP＝AM•sin∠BAO＝8×＝4， ∴PQ的最小值为：＝＝2， 故答案为：2． 12．（2024•包头）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，点O在四边形ABCD内部，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点P，连接OA，OB．若∠AOB＝140°，∠BCP＝35°，则∠ADC的度数为 　105°　． 【分析】连接OC，先求出∠OCB的度数，再求出∠BOC，接着求出∠AOC的度数，紧接着求出∠ABC的度数，最后求出∠ADC的度数． 【解答】解：连接OC， ∵点C为切点， ∴OC⊥PC， ∴∠OCP＝90°， ∵∠BCP＝35°， ∴∠OCB＝90°﹣∠BCP＝55°， ∵OC＝OB， ∴∠OBC＝∠OCB＝55°， ∴∠BOC＝180°﹣∠OCB﹣∠OBC＝70°， ∵∠AOB＝140°， ∴∠AOC＝360°﹣∠AOB﹣∠BOC＝150°， ∴∠ABC＝∠AOC＝75°， ∴∠ADC＝180°﹣∠ABC＝105°． 故答案为：105°． 13．（2024•通辽）如图，△ABC中．∠ACB＝90°，点O为AC边上一点，以点O为圆心，OC为半径作圆与AB相切于点D，连接CD． （1）求证：∠ABC＝2∠ACD； （2）若AC＝8，BC＝6，求⊙O的半径． 【分析】（1）连接OD，如图，先根据切线的性质得到∠ODA＝∠ODB＝90°，再根据四边形的内角和与等角的补角相等得到∠ABC＝∠AOD，接着根据圆周角定理得到∠AOD＝2∠ACD，从而得到结论； （2）设⊙O的半径为r，则OD＝OC＝r，OA＝8﹣r，先利用勾股定理计算出AB＝10，再证明△AOD∽△ABC，则利用相似比得到＝，然后解方程即可． 【解答】（1）证明：连接OD，如图， ∵AB为⊙O的切线， ∴OD⊥AB， ∴∠ODA＝∠ODB＝90°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠ABC+∠COD＝180°， ∵∠AOD+∠COD＝180°， ∴∠ABC＝∠AOD， ∵∠AOD＝2∠ACD， ∴∠ABC＝2∠ACD； （2）解：设⊙O的半径为r，则OD＝OC＝r，OA＝8﹣r， 在Rt△ACB中， ∵∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6， ∴AB＝＝10， ∵∠OAD＝∠BAC，∠ADO＝∠ACB， ∴△AOD∽△ABC， ∴＝，即＝， 解得r＝3， 即⊙O的半径为3． 14．（2024•天津）已知△AOB中，∠ABO＝30°，AB为⊙O的弦，直线MN与⊙O相切于点C． （Ⅰ）如图①，若AB∥MN，直径CE与AB相交于点D，求∠AOB和∠BCE的大小； （Ⅱ）如图②，若OB∥MN，CG⊥AB，垂足为G，CG与OB相交于点F，OA＝3，求线段OF的长． 【分析】（I）根据等腰三角形的性质得到∠A＝∠ABO，求得∠AOB＝180°﹣2∠ABO＝120°，根据切线的性质得到∠ECM＝90°，根据平行线的性质得到∠CDB＝∠ECM＝90°，根据圆周角定理得到结论； （II）如图，连接OC，同（I），得∠COB＝90°，根据垂直的定义得到∠FGB＝90°，求得∠BFG＝90°﹣∠ABO＝60°，根据三角函数的定义即可得到结论． 【解答】解：（I）∵OA＝OB， ∴∠A＝∠ABO， ∵∠A+∠ABO+∠AOB＝180°，∠ABO＝30°， ∴∠AOB＝180°﹣2∠ABO＝120°， ∵直线MN与⊙O相切于点C，CE为⊙O的直径， ∴∠ECM＝90°， ∵AB∥MN， ∴∠CDB＝∠ECM＝90°， ∴∠BOE＝90°﹣∠ABO＝60°， ∵， ∴∠BCE＝30°； （II）如图，连接OC． 同（I），得∠COB＝90°， ∵CG⊥AB， ∴∠FGB＝90°， ∵∠ABO＝30°， ∴∠BFG＝90°﹣∠ABO＝60°， ∴∠CFO＝∠BFG＝60°， 在Rt△COF中，， ∴． 15．（2024•遂宁）如图，AB是⊙O的直径，AC是一条弦，点D是的中点，DN⊥AB于点E，交AC于点F，连结DB交AC于点G． （1）求证：AF＝DF； （2）延长GD至点M，使DM＝DG，连结AM． ①求证：AM是⊙O的切线； ②若DG＝6，DF＝5，求⊙O的半径． 【分析】（1）连接AD，设OD交AC于点I，由OD＝OA，得∠ODA＝∠OAD，由点D是的中点，得OD⊥AC于点I，可证明∠ODF＝∠OAF＝90°﹣∠AOD，进而推导出∠FDA＝∠FAD，则AF＝DF； （2）①先证明AD垂直平分GM，则AM＝AG，所以∠MAD＝∠CAD＝∠B，则∠OAM＝∠BAD+∠MAD＝∠BAD+∠B＝90°，即可证明AM是⊙O的切线； ②可证明∠FDG＝∠FGD，则GF＝DF＝AF＝5，所以AG＝2AF＝10，求得AD＝＝8，＝＝cos∠DAG，求得AI＝＝，则DI＝，由勾股定理得（OA﹣）2+（）2＝OA2，求得OA＝，则⊙O的半径长为． 【解答】（1）证明：连接AD，设OD交AC于点I， ∵OD＝OA， ∴∠ODA＝∠OAD， ∵点D是的中点， ∴OD⊥AC于点I， ∵DN⊥AB于点E， ∴∠OED＝∠OIA＝90°， ∴∠ODF＝∠OAF＝90°﹣∠AOD， ∴∠ODA﹣∠ODF＝∠OAD﹣∠OAF， ∴∠FDA＝∠FAD， ∴AF＝DF． （2）①证明：∵AB是⊙O的直径，DM＝DG， ∴∠ADB＝90°， ∴AD垂直平分GM， ∴AM＝AG， ∴∠MAD＝∠CAD， ∵＝， ∴∠B＝∠CAD， ∴∠MAD＝∠B， ∴∠OAM＝∠BAD+∠MAD＝∠BAD+∠B＝90°， ∵OA是⊙O的半径，且AM⊥OA， ∴AM是⊙O的切线． ②解：∵∠FDG+∠FDA＝90°，∠FGD+∠FAD＝90°，且∠FDA＝∠FAD， ∴∠FDG＝∠FGD， ∴GF＝DF＝AF＝5， ∴AG＝2AF＝10， ∵DG＝6， ∴AD＝＝＝8， ∵∠AID＝∠ADG＝90°， ∴＝＝cos∠DAG， ∴AI＝＝＝， ∴DI＝＝＝， ∵∠OIA＝90°，OI＝OD﹣＝OA﹣， ∴OI2+AI2＝OA2， ∴（OA﹣）2+（）2＝OA2， 解得OA＝， ∴⊙O的半径长为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$