专题06 旋转-【寒假分层作业】2025年九年级数学寒假培优练（人教版）

专题06 旋转 内容早知道 ☛第一层 巩固提升练 ☛第二层 能力培优练 ☛第三层 中考真题练 1．下列运动形式属于旋转的是（　　） A．荡秋千 B．飞驰的火车 C．传送带移动 D．电梯的运行 2．下列四幅图案中，是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 3．如图，△ABC与△A1B1C1关于点O成中心对称，下列结论不正确的是（　　） A．OB＝OB1 B．AC＝A1C1 C．∠AOC＝∠A1OB1 D．∠BAC＝∠B1A1C1 4．如图，把△ABC以点A为中心逆时针旋转得到△ADE，且点E在BC的延长线上，连接BD，则下列结论一定正确的是（　　） A．∠ACE＝∠ADE B．AB＝AE C．∠CAE＝∠BAD D．CE＝BD 5．正三角形绕其中心旋转一定角度后，与自身重合，旋转角至少为（　　） A．30° B．60° C．120° D．180° 6．已知点A（x﹣1，3）与点B（1，y﹣5）关于原点对称，则x+y的值是（　　） A．2 B．4 C．8 D．10 7．在下列方格中有五个同样大小的正方形如图摆放，请你添加一个正方形到空白方格中，使它与其余五个正方形组成的新图形是一个轴对称图形，这样的添法共有（　　） A．3种 B．5种 C．4种 D．6种 8．如图，把△ABC绕点C顺时针旋转至△A′B′C，A′B′交AC于点D，若∠A＝55°，∠A′DC＝90°，则旋转角的度数是（　　） A．35° B．75° C．55° D．65° 9．如图，在等腰△AOB中，OA＝AB，∠OAB＝120°，OA边在x轴上，将△AOB绕原点O逆时针旋转120°得到△A′OB′，若，则点A的对应点A′的坐标为（　　） A．（﹣1，﹣1） B． C．（﹣1，2） D． 10．如图，在正方形ABCD中，将边BC绕点B逆时针旋转至BC′，连接CC′，DC′，若∠CC'D＝90°，C′D＝3，则线段BC′的长度为（　　） A．6 B． C． D． 1．在平面直角坐标系中，点P（m2+1，2）关于原点对称的点在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．如图，正方形AEFG与正方形ABCD的边长都为3，正方形AEFG绕顶点A旋转一周，在此旋转过程中，线段DF的长的取值范围是（　　） A． B． C．3≤DF≤6 D． 3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝2，P是BC边上一动点，连接AP，把线段AP绕点A逆时针旋转60°到线段AQ，连接CQ，则线段CQ的最小值为（　　） A．1 B．2 C．3 D． 4．如图，在⊙O中，A，B为⊙O上两点，且∠AOB＝120°，分别以点A，B为圆心，OA长为半径画圆，将两圆相交的公共部分依次绕点O顺时针旋转72°得到如图所示的“五叶花瓣”（阴影图案）．若OA＝1，则图中“五叶花瓣”的面积为（　　） A． B． C． D． 5．如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点A、C分别在x、y轴上，且AO＝1．将正方形OABC绕原点O顺时针旋转90°，并放大为原来的2倍，使A1O＝2AO，得到正方形OA1B1C1，再将正方形OA1B1C1绕原点O顺时针旋转90°，并放大为原来的2倍，使A2O＝2A1O，得到正方形OA2B2C2，…以此规律，得到正方形OA2025B2025C2025，则点B2025的坐标为（　　） A．（22025，﹣22025） B．（﹣22024，﹣22024） C．（22024，22024） D．（﹣22022，﹣22022） 6．如图，O是等边△ABC内一点，OA＝3，OB＝4，OC＝5，将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO′，下列结论：①△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到；②点O与O′的距离为4；③∠AOB＝150°；④；⑤．其中正确的结论是（　　） A．①②③⑤ B．①②③④ C．①②③④⑤ D．①②③ 7．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，点P、M、N分别在边AB、AD、BC上运动，且线段MN始终经过矩形的对称中心，则PM+PN的最小值为 　 　． 8．如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，将CO绕点C顺时针方向旋转60°得到CD，连接AD，OD． （1）当α＝150°时，求证：△AOD为直角三角形； （2）求∠DAO的度数； （3）请你探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形？ 9．如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，点E，F分别在边AB和BC上，△DCM是由△ADE逆时针旋转得到的图形． （Ⅰ）旋转中心是点 　 　． （Ⅱ）旋转角是 　 　度，∠EDM＝　 　度． （Ⅲ）若∠EDF＝45°，求证△EDF≌△MDF，并求此时△BEF的周长． 10．如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠AOC＝60°．将一把直角三角尺的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方，其中∠OMN＝30°． （1）将图1中的三角尺绕点O顺时针旋转至图2，使一边OM在∠BOC的内部，且恰好平分∠BOC，求∠CON的度数； （2）将图1中的三角尺绕点O按每秒10°的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，在第 　 　秒时，边MN恰好与射线OC平行；在第 　 　秒时，直线ON恰好平分锐角∠AOC．（直接写出结果）； （3）将图1中的三角尺绕点O顺时针旋转至图3，使ON在∠AOC的内部，请探究∠AOM与∠NOC之间的数量关系，并说明理由． 1．（2024•牡丹江）下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．（2024•广州）下列图案中，点O为正方形的中心，阴影部分的两个三角形全等，则阴影部分的两个三角形关于点O对称的是（　　） A． B． C． D． 3．（2024•成都）在平面直角坐标系xOy中，点P（1，﹣4）关于原点对称的点的坐标是（　　） A．（﹣1，﹣4） B．（﹣1，4） C．（1，4） D．（1，﹣4） 4．（2024•天津）如图，△ABC中，∠B＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC，点A，B的对应点分别为D，E，延长BA交DE于点F，下列结论一定正确的是（　　） A．∠ACB＝∠ACD B．AC∥DE C．AB＝EF D．BF⊥CE 5．（2024•无锡）如图，在△ABC中，∠B＝80°，∠C＝65°，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB′C′．当AB′落在AC上时，∠BAC′的度数为（　　） A．65° B．70° C．80° D．85° 6．（2024•凉山州）点P（a，﹣3）关于原点对称的点是P′（2，b），则a+b的值是（　　） A．1 B．﹣1 C．﹣5 D．5 7．（2024•广元）如图，将△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△ADE，点B，C的对应点分别为点D，E，连接CE，点D恰好落在线段CE上，若CD＝3，BC＝1，则AD的长为（　　） A． B． C．2 D． 8．（2024•陕西）一个正比例函数的图象经过点A（2，m）和点B（n，﹣6）．若点A与点B关于原点对称，则这个正比例函数的表达式为（　　） A．y＝3x B．y＝﹣3x C．y＝x D．y＝﹣x 9．（2024•大庆）如图，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝6，点M是AB边的中点，点N是AD边上任意一点，将线段MN绕点M顺时针旋转90°，点N旋转到点N′，则△MBN′周长的最小值为（　　） A．15 B．5+5 C．10+5 D．18 10．（2024•北京）如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，O为对角线的交点．将菱形ABCD绕点O逆时针旋转90°得到菱形A′B′C′D′，两个菱形的公共点为E，F，G，H．对八边形BFB′GDHD′E给出下面四个结论： ①该八边形各边长都相等； ②该八边形各内角都相等； ③点O到该八边形各顶点的距离都相等； ④点O到该八边形各边所在直线的距离都相等． 上述结论中，所有正确结论的序号是（　　） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 11．（2024•潍坊）如图，在直角坐标系中，等边三角形ABC的顶点A的坐标为（0，4），点B，C均在x轴上．将△ABC绕顶点A逆时针旋转30°得到△AB′C′，则点C′的坐标为 　 　． 12．（2024•泸州）定义：在平面直角坐标系中，将一个图形先向上平移a（a＞0）个单位，再绕原点按逆时针方向旋转θ角度，这样的图形运动叫做图形的ρ（a，θ）变换．如：点A（2，0）按照ρ（1，90°）变换后得到点A'的坐标为（﹣1，2），则点B（，﹣1）按照ρ（2，105°）变换后得到点B'的坐标为 　 　． 13．（2024•安徽）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系xOy，格点（网格线的交点）A，B，C，D的坐标分别为（7，8），（2，8），（10，4），（5，4）． （1）以点D为旋转中心，将△ABC旋转180°得到△A1B1C1，画出△A1B1C1； （2）直接写出以B，C1，B1，C为顶点的四边形的面积； （3）在所给的网格图中确定一个格点E，使得射线AE平分∠BAC，写出点E的坐标． 14．（2024•北京）已知∠MAN＝α（0°＜α＜45°），点B，C分别在射线AN，AM上，将线段BC绕点B顺时针旋转180°﹣2α得到线段BD，过点D作AN的垂线交射线AM于点E． （1）如图1，当点D在射线AN上时，求证：C是AE的中点； （2）如图2，当点D在∠MAN内部时，作DF∥AN，交射线AM于点F，用等式表示线段EF与AC的数量关系，并证明． 15．（2024•绵阳）如图，在正方形ABCD中，AB＝2，对角线AC与BD相交于点O，点E在线段AO上（与端点不重合），线段EB绕点E逆时针旋转90°到EF的位置，点F恰好落在线段CD上，FH⊥AC，垂足为H． （1）求证：△OBE≌△HEF； （2）设OE＝x，求OE2﹣CF的最小值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 旋转 内容早知道 ☛第一层 巩固提升练 ☛第二层 能力培优练 ☛第三层 中考真题练 1．下列运动形式属于旋转的是（　　） A．荡秋千 B．飞驰的火车 C．传送带移动 D．电梯的运行 【分析】根据旋转的定义逐项判断即可得． 【解答】解：A、荡秋千，属于旋转，符合题意； B、飞驰的火车，不属于旋转，不符合题意； C、传送带移动，不属于旋转，不符合题意； D、电梯的运行，不属于旋转，不符合题意， 故选：A． 2．下列四幅图案中，是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 【解答】解：选项A、C、D都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形； 选项B能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形． 故选：B． 3．如图，△ABC与△A1B1C1关于点O成中心对称，下列结论不正确的是（　　） A．OB＝OB1 B．AC＝A1C1 C．∠AOC＝∠A1OB1 D．∠BAC＝∠B1A1C1 【分析】根据中心对称图形的性质对各选项分析判断后，利用排除法求解即可． 【解答】解：根据中心对称图形的性质可得：OB＝OB1，AC＝A1C1，∠BAC＝∠B1A1C1，∠AOC与∠A1OB1不一定相等， 故选项A、B、D结论正确，不符合题意，选项C结论错误，符合题意， 故选：C． 4．如图，把△ABC以点A为中心逆时针旋转得到△ADE，且点E在BC的延长线上，连接BD，则下列结论一定正确的是（　　） A．∠ACE＝∠ADE B．AB＝AE C．∠CAE＝∠BAD D．CE＝BD 【分析】根据旋转的性质即可解答． 【解答】解：由旋转的性质得：∠ABC＝∠ADE， ∵∠ACE＝∠ABC+∠BAC， ∴∠ACE＝∠ADE+∠BAC，故A选项不符合题意； 由旋转的性质可得：AB＝AD，AC＝AE，BC＝DE， 无法证明AB＝AE，CE＝BD，故B选项和D选项不符合题意； 由旋转的性质得：∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，即∠CAE＝∠BAD，故C选项符合题意； 故选：C． 5．正三角形绕其中心旋转一定角度后，与自身重合，旋转角至少为（　　） A．30° B．60° C．120° D．180° 【分析】求出正三角形的中心角即可得解 【解答】解：正三角形绕其中心旋转一定角度后，与自身重合，旋转角至少为120°， 故选：C． 6．已知点A（x﹣1，3）与点B（1，y﹣5）关于原点对称，则x+y的值是（　　） A．2 B．4 C．8 D．10 【分析】根据关于原点对称的点横坐标与纵坐标互为相反数计算即可． 【解答】解：∵点A（x﹣1，3）与点B（1，y﹣5）关于原点对称， ∴x﹣1+1＝0，3+y﹣5＝0， 解得：x＝0，y＝2， ∴x+y＝0+2＝2． 故选：A． 7．在下列方格中有五个同样大小的正方形如图摆放，请你添加一个正方形到空白方格中，使它与其余五个正方形组成的新图形是一个轴对称图形，这样的添法共有（　　） A．3种 B．5种 C．4种 D．6种 【分析】因为中间4个小正方形组成一个大的正方形，正方形有四条对称轴，试着利用这四条对称轴添加图形得出答案即可． 【解答】解：如图所示． 这样的添法共有4种． 故选：C． 8．如图，把△ABC绕点C顺时针旋转至△A′B′C，A′B′交AC于点D，若∠A＝55°，∠A′DC＝90°，则旋转角的度数是（　　） A．35° B．75° C．55° D．65° 【分析】由利用旋转的性质得出∠A＝∠A′＝55°，然后利用三角形内角和定理求解即可． 【解答】解：∵把△ABC绕点C顺时针旋转至△A′B′C，A′B′交AC于点D， ∴∠A＝∠A′＝55°， ∵∠A′DC＝90°， ∴∠A′CD＝180°﹣∠A′DC﹣∠A′＝180°﹣90°﹣55°＝35°， ∴旋转角为35°， 故选：A． 9．如图，在等腰△AOB中，OA＝AB，∠OAB＝120°，OA边在x轴上，将△AOB绕原点O逆时针旋转120°得到△A′OB′，若，则点A的对应点A′的坐标为（　　） A．（﹣1，﹣1） B． C．（﹣1，2） D． 【分析】过点B作BE⊥x轴于点E，点A′作A′F⊥y轴于点F，设OA＝x，根据等边对等角可得∠AOB＝∠ABO＝30°，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半可得，再根据勾股定理可得AB2＝AE2+BE2，得到OA＝2，根据旋转的性质可得OA′＝OA＝2，∠A′OA＝120°，然后在Rt△A′FO中，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半和根据勾股定理可得OF＝1，，据此即可求解． 【解答】解：过点B作BE⊥x轴于点E，点A′作A′F⊥y轴于点F，设OA＝x， ∴∠OEB＝∠AFO＝90°， ∵OA＝AB，∠OAB＝120°， ∴∠AOB＝∠ABO＝×（180°﹣∠OAB）＝30°， ∴∠BAE＝∠AOB+∠ABO＝30°+30°＝60°， ∴∠ABE＝90°﹣∠BAE＝90°﹣60°＝30°， ∵， ∴， ∴， ∵AB2＝AE2+BE2， ∴， ∴x＝2， ∴OA＝2， 由旋转的性质得OA′＝OA＝2，∠A′OA＝120°， ∴∠A′OF＝180°﹣∠A′OA＝180°﹣120°＝60°， ∵∠A′FO＝90°， ∴∠OA′F＝90°﹣∠A′OF＝90°﹣60°＝30°， ∴， ∴A′F＝＝， ∴点A′的坐标为， 故选：B． 10．如图，在正方形ABCD中，将边BC绕点B逆时针旋转至BC′，连接CC′，DC′，若∠CC'D＝90°，C′D＝3，则线段BC′的长度为（　　） A．6 B． C． D． 【分析】过点B作BE⊥CC'于点E，证明△BCE≌△CDC'（AAS），由全等三角形的性质得出CE＝C'D，由旋转的性质及等腰三角形的性质求出CC'＝6，由勾股定理可得出答案． 【解答】解：过点B作BE⊥CC'于点E， ∵四边形ABCD是正方形， ∴BC＝CD，∠BCD＝90°， ∴∠BCE+∠C'CD＝90°， ∵∠BCE+∠CBE＝90°， ∴∠C'CD＝∠CBE， 又∵∠BEC＝∠CC'D， ∴△BCE≌△CDC'（AAS）， ∴CE＝C'D， ∵将边BC绕点B逆时针旋转至BC'， ∴BC＝BC'， 又∵BE⊥CC'， ∴CE＝C'E＝C'D＝3， ∴CC'＝6， ∴CD＝＝3， ∴BC＝3． 故选：D． 1．在平面直角坐标系中，点P（m2+1，2）关于原点对称的点在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（﹣x，﹣y），进而得出答案． 【解答】解：∵m2≥0， ∴m2+1＞0， ∴点P（m2+1，2）在第一象限， ∴点P（m2+1，2）关于原点对称的点在第三象限， 故选：C． 2．如图，正方形AEFG与正方形ABCD的边长都为3，正方形AEFG绕顶点A旋转一周，在此旋转过程中，线段DF的长的取值范围是（　　） A． B． C．3≤DF≤6 D． 【分析】由题意可求AF＝3，且点F是以A为圆心，3为半径的圆上一点，即可求DF的取值范围． 【解答】解：∵正方形AEFG与正方形ABCD的边长都为3， ∴AF＝3， ∴点F是以A为圆心，3为半径的圆上一点， ∴当F，D，A三点共线且D在线段AF之间时，DF最短为3﹣3， 当F，D，A三点共线且A在线段DF之间时，DF最长为3+3， ∴3﹣3≤DF≤3+3， 故选：A． 3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝2，P是BC边上一动点，连接AP，把线段AP绕点A逆时针旋转60°到线段AQ，连接CQ，则线段CQ的最小值为（　　） A．1 B．2 C．3 D． 【分析】在AB上取一点E，使AE＝AC＝2，连接PE，过点E作EF⊥BC于F，由旋转的性质得出AQ＝AP，∠PAQ＝60°，证明△CAQ≌△EAP（SAS），由全等三角形的性质得出CQ＝EP，当EF⊥BC（点P和点F重合）时，EP最小，由直角三角形的性质即可得出结论． 【解答】解：如图，在AB上取一点E，使AE＝AC＝2，连接PE，过点E作EF⊥BC于F， 由旋转知，AQ＝AP，∠PAQ＝60°， ∵∠ABC＝30°， ∴∠EAC＝60°， ∴∠PAQ＝∠EAC， ∴∠CAQ＝∠EAP， ∴△CAQ≌△EAP（SAS）， ∴CQ＝EP， 要使CQ最小，则有EP最小，而点E是定点，点P是BC上的动点， ∴当EF⊥BC（点P和点F重合）时，EP最小， 即：点P与点F重合，CQ最小，最小值为EP， 在Rt△ACB中，∠ACB＝30°，AC＝2， ∴AB＝4， ∵AE＝AC＝2， ∴BE＝AB﹣AE＝2， 在Rt△BFE中，∠EBF＝30°，BE＝2， ∴EF＝BE＝， 故线段CQ长度最小值是， 故选：D． 4．如图，在⊙O中，A，B为⊙O上两点，且∠AOB＝120°，分别以点A，B为圆心，OA长为半径画圆，将两圆相交的公共部分依次绕点O顺时针旋转72°得到如图所示的“五叶花瓣”（阴影图案）．若OA＝1，则图中“五叶花瓣”的面积为（　　） A． B． C． D． 【分析】连接AC，OC，BC，作AD⊥OC，由题意可知，OA＝1，圆A，B均以OA长为半径长，四边形AOBC为菱形，即AC∥OB，可知扇形的面积为⊙O的＝，即＝，由勾股定理求解即可． 【解答】解：连接AC，OC，BC，作AD⊥OC， 由题意可知，OA＝1，圆A，B均以OA长为半径长， 故AC＝BC＝OA＝OB＝1， ∴四边形AOBC为菱形， 即AC∥OB， ∴∠CAO＝180°﹣∠AOB＝60°， 可知扇形的面积为⊙O的＝， 即＝， ∵AC＝OA， ∴△ACO为等边三角形， ∴OC＝OA＝1， ∵AD⊥OC， ∴AD为△ACO在OC上的垂直平分线， ∴OD＝＝， 在Rt△AOD中，由勾股定理得： AD＝＝， ∴S△ACO＝•OC•AD＝， 故圆A，B相交部分面积为： （﹣）×2， 则图中“五叶花瓣”的面积为： （﹣）×2×5＝． 故选：A． 5．如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点A、C分别在x、y轴上，且AO＝1．将正方形OABC绕原点O顺时针旋转90°，并放大为原来的2倍，使A1O＝2AO，得到正方形OA1B1C1，再将正方形OA1B1C1绕原点O顺时针旋转90°，并放大为原来的2倍，使A2O＝2A1O，得到正方形OA2B2C2，…以此规律，得到正方形OA2025B2025C2025，则点B2025的坐标为（　　） A．（22025，﹣22025） B．（﹣22024，﹣22024） C．（22024，22024） D．（﹣22022，﹣22022） 【分析】根据正方形的旋转方式，得出正方形边长的变化规律即可解决问题． 【解答】解：由题知， 因为360°÷90°＝4， 所以每旋转四次，点B对应点的位置所在象限循环出现， 又因为2025÷4＝506余1， 所以点B2025与点B1所在象限相同， 即点B2025在第四象限． 因为每次旋转后，正方形的边长扩大为原来的2倍，且正方形OABC的边长为1， 所以正方形OA2025B2025C2025的边长：1×22025＝22025， 所以点B2025的坐标为（22025，﹣22025）． 故选：A． 6．如图，O是等边△ABC内一点，OA＝3，OB＝4，OC＝5，将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO′，下列结论：①△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到；②点O与O′的距离为4；③∠AOB＝150°；④；⑤．其中正确的结论是（　　） A．①②③⑤ B．①②③④ C．①②③④⑤ D．①②③ 【分析】连接OO′，过点O作OD⊥BO′，垂足为D，由旋转的性质可得∠OBO′＝60°，BO＝BO′，根据等边三角形的性质可得∠2+∠3＝∠1+∠2＝60°，从而证明△O′BA≌△OBC，即可判断①正确，证明△BOO′是等边三角形，即可判断②正确；根据等边三角形的性质可得∠BOO′＝60°，根据全等三角形的性质及勾股定理逆定理可证△AOO′是直角三角形，即可判断③正确；在Rt△BOD中，求出OD的长，然后根据S四边形AOBO′＝S△BOO′+S△AOO′进行计算即可判断④不正确；将△AOB绕点A逆时针旋转60°，使得AB与AC重合，点O旋转至点的位置，连接OE，过点A作AF⊥OE，垂足为F，仿照④的解题思路，即可判断⑤正确． 【解答】解：如图所示： ∵△ABC为正三角形， ∴∠ABC＝60°，AB＝BC， ∵线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO′， ∴∠OBO′＝60°，BO＝BO′， ∴∠2+∠3＝∠1+∠2＝60°， ∴∠1＝∠3， 又∵AB＝BC，BO＝BO′， ∴△BO′A≌△BOC， 又∵∠OBO′＝60°， ∴△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到，故结论①正确； 连接OO′， ∵BO＝BO′，∠OBO′＝60°， ∴△O′BO是等边三角形， ∴OO′＝OB＝4，故结论②正确； ∵△BO′A≌△BOC， ∴O′A＝OC＝5， 在△AOO′中，AO′2＝25，AO2+OO′2＝16+9＝25， ∴AO′2＝AO2+OO′2， ∴△AOO′是直角三角形，∠AOO′＝90°， ∴∠AOB＝∠AOO′+∠BOO′＝90°+60°＝150°，故结论③正确； 四边形AOBO′的面积为：S△AOO′+S△OBO′， 过点O作OD⊥BO′， ∵△O′BO是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ， ∴四边形AOBO′的面积为，故结论④不正确； 如图所示：将△AOB绕点A逆时针旋转60°，使得AB与AC重合，点O旋转至O″，连接OO″， ∴AO＝AO″＝3，∠OAO″＝60°，CO″＝BO＝4， ∴△AOO″是等边三角形， ∴OO″＝3， ∵CO2＝25，OO″2+CO″2＝9+16＝25， ∴OC2＝CO″2+OO″2， ∴△COO″是直角三角形，且∠CO″O＝90°， 同结论④证明过程可求得：，， ∴，故结论⑤正确； 综上所述：结论①②③⑤正确，故A正确． 故选：A． 7．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，点P、M、N分别在边AB、AD、BC上运动，且线段MN始终经过矩形的对称中心，则PM+PN的最小值为 　2　． 【分析】作M关于AB的对称点M'，连接M'N，延长CB，使BE＝AM'，得到PM+PN＝PM'+PN，证明四边形ABEM'是矩形，得到∠E＝90°，EM'＝AB＝4，根据四边形ABNM的面积，求出AM+BN＝6，利用勾股定理求出M'N＝10，再根据PM+PN＝PM'+PN≥M'N可得结果． 【解答】解：作M关于AB的对称点M'，连接M'N，延长CB，使BE＝AM'， ∴PM＝PM'，∠BAM'＝90°， ∴PM+PN＝PM'+PN， 在矩形ABCD中，∠BAD＝∠ABC＝90°， ∴AM∥BE， ∴四边形ABEM'是平行四边形， 又∠BAM'＝90°， ∴四边形ABEM'是矩形， ∴∠E＝90°，EM'＝AB＝4， ∵线段MN始终经过矩形的对称中心， ∴AM+BN＝6， ∴AM'+BN＝BE+BN＝EN＝6， ∴2， ∴PM+PN＝PM'+PN≥M'N，即PM+PN的最小值为2， 故答案为：2． 8．如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，将CO绕点C顺时针方向旋转60°得到CD，连接AD，OD． （1）当α＝150°时，求证：△AOD为直角三角形； （2）求∠DAO的度数； （3）请你探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形？ 【分析】（1）由旋转的性质可以证明△BOC≌△ADC，得出∠ADC＝∠BOC＝150°，由等边三角形的性质得出∠ODC＝60°，求出∠ADO＝90°即可； （2）先根据周角的定义表示∠AOD的度数，由三角形全等表示∠ADO的度数，最后由三角形内角和可得结论； （3）分三种情况：①AO＝AD时；②OA＝OD时；③OD＝AD时；由等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求出结果． 【解答】（1）证明：由旋转的性质得：OC＝CD，∠DCO＝60°， ∴△COD是等边三角形， ∴∠CDO＝60°， ∵△ABC是等边三角形， ∴AC＝BC，∠ACB＝60°， ∴∠ACD＝∠BCO， ∴△BOC≌△ADC（SAS）， ∴∠ADC＝∠BOC＝150°， ∴∠ADO＝90°， 即△AOD是直角三角形； （2）解：∵△COD是等边三角形， ∴∠COD＝60°， ∵∠AOB＝110°，∠BOC＝α， ∴∠AOD＝360°﹣110°﹣60°﹣α＝190°﹣α， 由（1）知：△ADC≌△BOC， ∴∠ADC＝∠BOC＝α， ∴∠ADO＝α﹣60°， △ADO中，∠DAO＝180°﹣∠ADO﹣∠AOD＝180°﹣（α﹣60°）﹣（190°﹣α）＝50°； （3）解：分三种情况： ①当AO＝AD时，∠AOD＝∠ADO． ∵∠AOD＝360°﹣∠AOB﹣∠COD﹣α＝360°﹣110°﹣60°﹣α＝190°﹣α，∠ADO＝α﹣60°， ∴190°﹣α＝α﹣60°， ∴α＝125°； ②当OA＝OD时，∠OAD＝∠ADO． ∵∠AOD＝190°﹣α，∠ADO＝α﹣60°， ∴∠OAD＝180°﹣（∠AOD+∠ADO）＝50°， ∴α﹣60°＝50°， ∴α＝110°； ③当OD＝AD时，∠OAD＝∠AOD． ∵190°﹣α＝50°， ∴α＝140°， 综上所述：当α的度数为125°或110°或140°时，△AOD是等腰三角形． 9．如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，点E，F分别在边AB和BC上，△DCM是由△ADE逆时针旋转得到的图形． （Ⅰ）旋转中心是点 　D　． （Ⅱ）旋转角是 　90　度，∠EDM＝　90　度． （Ⅲ）若∠EDF＝45°，求证△EDF≌△MDF，并求此时△BEF的周长． 【分析】（Ⅰ）根据旋转的定义可得旋转中心是点D； （Ⅱ）根据旋转的定义以及正方形的性质可得旋转角是90度，∠EDM＝90度； （Ⅲ）利用SAS证明△EDF≌△MDF，得出EF＝MF＝MC+CF，进而求出△BEF的周长． 【解答】解：（Ⅰ）∵△DCM是由△ADE逆时针旋转得到的图形， ∴旋转中心是点D． 故答案为D； （Ⅱ）∵△DCM是由△ADE逆时针旋转得到的图形， ∴∠ADC＝∠EDM＝90° ∴旋转角是90度，∠EDM＝90度． 故答案为90，90； （Ⅲ）∵∠EDF＝45°，∠EDM＝90°， ∴∠MDF＝45°． ∵△DCM是由△ADE逆时针旋转得到的图形， ∴△DCM≌△DAE， ∴DM＝DE，CM＝AE． 在△EDF与△MDF中， ， ∴△EDF≌△MDF， ∴EF＝MF＝MC+CF， ∴△BEF的周长＝BE+EF+BF ＝BE+MC+CF+BF ＝（BE+AE）+（CF+BF） ＝AB+BC ＝2． 10．如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠AOC＝60°．将一把直角三角尺的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方，其中∠OMN＝30°． （1）将图1中的三角尺绕点O顺时针旋转至图2，使一边OM在∠BOC的内部，且恰好平分∠BOC，求∠CON的度数； （2）将图1中的三角尺绕点O按每秒10°的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，在第 　9或27　秒时，边MN恰好与射线OC平行；在第 　12或30　秒时，直线ON恰好平分锐角∠AOC．（直接写出结果）； （3）将图1中的三角尺绕点O顺时针旋转至图3，使ON在∠AOC的内部，请探究∠AOM与∠NOC之间的数量关系，并说明理由． 【分析】（1）根据邻补角的定义求出∠BOC＝120°，再根据角平分线的定义求出∠COM，然后根据∠CON＝∠COM+90°解答； （2）分别分两种情况根据平行线的性质和旋转的性质求出旋转角，然后除以旋转速度即可得解； （3）用∠AOM和∠CON表示出∠AON，然后列出方程整理即可得解． 【解答】解：（1）∵∠AOC＝60°， ∴∠BOC＝120°， 又∵OM平分∠BOC， ∴∠COM＝∠BOC＝60°， ∴∠CON＝∠COM+90°＝150°； （2）∵∠OMN＝30°， ∴∠N＝90°﹣30°＝60°， ∵∠AOC＝60°， ∴当ON在直线AB上时，MN∥OC， 旋转角为90°或270°， ∵每秒顺时针旋转10°， ∴时间为9或27， 直线ON恰好平分锐角∠AOC时， 旋转角为90°+30°＝120°或270°+30°＝300°， ∵每秒顺时针旋转10°， ∴时间为12或30； 故答案为：9或27；12或30． （3）∵∠MON＝90°，∠AOC＝60°， ∴∠AON＝90°﹣∠AOM， ∠AON＝60°﹣∠NOC， ∴90°﹣∠AOM＝60°﹣∠NOC， ∴∠AOM﹣∠NOC＝30°， 故∠AOM与∠NOC之间的数量关系为：∠AOM﹣∠NOC＝30°． 1．（2024•牡丹江）下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重台，这样的图形叫做轴对称图形．根据定义依次对各个选项进行判断即可． 【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选：C． 2．（2024•广州）下列图案中，点O为正方形的中心，阴影部分的两个三角形全等，则阴影部分的两个三角形关于点O对称的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据中心对称的性质解答即可． 【解答】解：由题可知，A、B、D不是中心对称图形，C是中心对称图形图形． 故选：C． 3．（2024•成都）在平面直角坐标系xOy中，点P（1，﹣4）关于原点对称的点的坐标是（　　） A．（﹣1，﹣4） B．（﹣1，4） C．（1，4） D．（1，﹣4） 【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得答案． 【解答】解：在平面直角坐标系xOy中，点P（1，﹣4）关于原点对称的点的坐标是（﹣1，4）． 故选：B． 4．（2024•天津）如图，△ABC中，∠B＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC，点A，B的对应点分别为D，E，延长BA交DE于点F，下列结论一定正确的是（　　） A．∠ACB＝∠ACD B．AC∥DE C．AB＝EF D．BF⊥CE 【分析】先根据旋转性质得∠BCE＝∠ACD＝60°，结合∠B＝30°，即可得证BF⊥CE，再根据同旁内角互补证明两直线平行，来分析AC∥DE不一定成立；根据图形性质以及角的运算或线段的运算得出A和C选项是错误的． 【解答】解：设BF与CE相交于点H，如图所示： ∵△ABC中，将△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC， ∴∠BCE＝∠ACD＝60°， ∵∠B＝30°， ∴在△BHC中，∠BHC＝180°﹣∠BCE﹣∠B＝90°， ∴BF⊥CE，故D选项正确； 设∠ACH＝x°， ∴∠ACB＝60°﹣x°， ∵∠B＝30°， ∴∠EDC＝∠BAC＝180°﹣30°﹣（60°﹣x°）＝90°+x°， ∴∠EDC+∠ACD＝90°+x°+60°＝150°+x°， ∵x°不一定等于30°， ∴∠EDC+∠ACD不一定等于180°， ∴AC∥DE不一定成立，故B选项不正确； ∵∠ACB＝60°﹣x°，∠ACD＝60°，x°不一定等于0°， ∴∠ACB＝∠ACD不一定成立，故A选项不正确； ∵将△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC， ∴AB＝ED＝EF+FD， ∴BA＞EF，故C选项不正确； 故选：D． 5．（2024•无锡）如图，在△ABC中，∠B＝80°，∠C＝65°，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB′C′．当AB′落在AC上时，∠BAC′的度数为（　　） A．65° B．70° C．80° D．85° 【分析】由三角形内角和定理可得出∠B′AC′＝∠BAC＝35°，最后根据角的和差关系即可得出答案． 【解答】解：由旋转的性质可得出∠B′AC′＝∠BAC， ∵∠BAC+∠B+∠C＝180°， ∴∠BAC＝180°﹣80°﹣65°＝35°， ∴∠B′AC′＝∠BAC＝35°， ∴∠BAC′＝∠BAC+∠B′AC′＝70°， 故选：B． 6．（2024•凉山州）点P（a，﹣3）关于原点对称的点是P′（2，b），则a+b的值是（　　） A．1 B．﹣1 C．﹣5 D．5 【分析】关于原点对称的点，横纵坐标都为相反数． 【解答】解：∵点P（a，﹣3）关于原点对称的点是P′（2，b）， ∴a＝﹣2，b＝3， ∴a+b＝1， 故选：A． 7．（2024•广元）如图，将△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△ADE，点B，C的对应点分别为点D，E，连接CE，点D恰好落在线段CE上，若CD＝3，BC＝1，则AD的长为（　　） A． B． C．2 D． 【分析】连接BD，根据旋转的性质得出∠BCD＝90°，AB＝AD，∠BAD＝90°，再根据勾股定理求出BD的长，最后在等腰直角三角形ABD中解直角三角形求出AD的长即可． 【解答】解：如图，连接BD， ∵将△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△ADE，点B，C的对应点分别为点D，E，连接CE，点D恰好落在线段CE上， ∴∠BCD＝90°，AB＝AD，∠BAD＝90°， 又CD＝3，BC＝1， ∴BD＝， ∴AD＝， 故选：A． 8．（2024•陕西）一个正比例函数的图象经过点A（2，m）和点B（n，﹣6）．若点A与点B关于原点对称，则这个正比例函数的表达式为（　　） A．y＝3x B．y＝﹣3x C．y＝x D．y＝﹣x 【分析】由点A，B关于原点对称，可求出m的值，进而可得出点A的坐标，再利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出正比例函数的表达式． 【解答】解：∵点A（2，m）和点B（n，﹣6）关于原点对称， ∴m＝6， ∴点A的坐标为（2，6）． 设正比例函数的表达式为y＝kx（k≠0）， ∵点A（2，6）在正比例函数y＝kx的图象上， ∴6＝2k， 解得：k＝3， ∴正比例函数的表达式为y＝3x． 故选：A． 9．（2024•大庆）如图，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝6，点M是AB边的中点，点N是AD边上任意一点，将线段MN绕点M顺时针旋转90°，点N旋转到点N′，则△MBN′周长的最小值为（　　） A．15 B．5+5 C．10+5 D．18 【分析】因为BM＝5，要求△MBN′周长最小，实际是求BN'+MN'最小，转化成“将军饮马”模型，先找出N'运动轨迹，由线段旋转90°，可得三垂直全等，进而推出点N′在平行于AB，且与AB的距离为5的直线上运动，再作对称求解即可． 【解答】解：过点N′作EF∥AB，交AD、BC于E、F，过点M作MG⊥EF于点G， ∵矩形ABCD， ∴AB∥CD， ∴AB∥EF∥CD， ∴四边形AMGE和BMGF都是矩形， ∴∠A＝∠MGN'＝90°， 由旋转的性质得∠NMN'＝90°，MN＝MN′， ∴∠AMN＝90°﹣∠NMG＝∠GMN′， ∴△AMN≌△GMN′（AAS）， ∴MG＝AM， ∴点N'在平行于AB，且与AB的距离为5的直线上运动， 作点M关于直线EF的对称点M'，连接MB交直线EF于点N′，此时△MBN′周长取得最小值， 最小值为BM+BM′， ∵BM＝AB＝5，MM′＝5+5＝10， ∴， 故选：B． 10．（2024•北京）如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，O为对角线的交点．将菱形ABCD绕点O逆时针旋转90°得到菱形A′B′C′D′，两个菱形的公共点为E，F，G，H．对八边形BFB′GDHD′E给出下面四个结论： ①该八边形各边长都相等； ②该八边形各内角都相等； ③点O到该八边形各顶点的距离都相等； ④点O到该八边形各边所在直线的距离都相等． 上述结论中，所有正确结论的序号是（　　） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【分析】通过△AD'H≌△C'DH和△A'BE≌△C'DH可判断①；根据角平分线的性质定理判断④；通过角度计算判断②；通过长度计算判断③． 【解答】解：延长BD和DB，连接OH， ∵菱形ABCD，∠BAD＝60°， ∴∠BAO＝∠DAO＝30°，∠AOD＝∠AOB＝90°， ∵菱形ABCD绕点O逆时针旋转 90° 得到菱形 A'B'C'D'， ∴点A′，D′，B′，C′一定在对角线AC，BD上，且 OD＝OD'＝OB＝OB'，OA＝OA'＝OC＝OC'， ∴AD'＝C'D，∠D'AH＝∠DC'H＝30°， ∵∠D′HA＝∠DHC′， ∴△AD'H≌△C'DH（AAS）， ∴D′H＝DH，C′H＝AH， 同理可证 D'E＝BE，BF＝B'F，B'G＝DG， ∵∠EA'B＝∠HC'D＝30°，A′B＝C′D，∠A'BE＝∠C'DH＝120°， ∴△A'BE≌△C'DH（ASA）， ∴DH＝BE， ∴DH＝BE＝D′H＝D′E＝BF＝FB′＝B′G＝DG， ∴该八边形各边长都相等，故①正确； 根据角的平分线的性质定理，得点O到该八边形各边所在直线的距离都相等，故④正确； 根据题意，得∠ED'H＝120°， ∵∠D'OD＝90°，∠OD'H＝∠ODH＝60°， ∴∠D'HD＝150°， ∴该八边形各内角不相等，故②错误； ∵OD＝OD′，D′H＝DH，OH＝OH， ∴△D'OH≌△DOH（SSS）， ∴∠D'OH＝∠DOH＝45°，∠D'HO＝∠DHO＝75°， ∴OD≠OH， ∴点O到该八边形各顶点的距离不相等，故③错误； 故选：B． 11．（2024•潍坊）如图，在直角坐标系中，等边三角形ABC的顶点A的坐标为（0，4），点B，C均在x轴上．将△ABC绕顶点A逆时针旋转30°得到△AB′C′，则点C′的坐标为 　　． 【分析】作C′F⊥AO，求出OF，C'F的值即可得到答案． 【解答】解：作C′F⊥AO，交y轴于点F， 由题可得：OA＝4， ∵△ABC是等边三角形，AO⊥BC， ∴AO是∠BAC的角平分线， ∴∠OAC＝30°， ∴， 在Rt△AOC中，AO2+OC2＝AC2， 即， 解得， ∴， ， ， ∴， 故答案为：． 12．（2024•泸州）定义：在平面直角坐标系中，将一个图形先向上平移a（a＞0）个单位，再绕原点按逆时针方向旋转θ角度，这样的图形运动叫做图形的ρ（a，θ）变换．如：点A（2，0）按照ρ（1，90°）变换后得到点A'的坐标为（﹣1，2），则点B（，﹣1）按照ρ（2，105°）变换后得到点B'的坐标为 　（）　． 【分析】根据题中的定义，画出示意图，结合图形旋转及平移的性质即可解决问题． 【解答】解：由题知， 将点B（）向上平移2个单位所得点M的坐标为（）． 如图所示， 过点M作x轴的垂线，垂足为F， 则OF＝，MF＝1． 在Rt△MOF中， tan∠MOF＝，OM＝， 所以∠MOF＝30°． 由旋转可知， B′O＝MO＝2，∠MOB′＝105°， 所以∠B′OF＝135°． 过点B′作y轴的垂线，垂足为E， 则∠B′OE＝135°﹣90°＝45°， 所以△B′OE是等腰直角三角形． 又因为B′O＝2， 所以B′E＝OE＝， 所以点B′的坐标为（）． 故答案为：（）． 13．（2024•安徽）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系xOy，格点（网格线的交点）A，B，C，D的坐标分别为（7，8），（2，8），（10，4），（5，4）． （1）以点D为旋转中心，将△ABC旋转180°得到△A1B1C1，画出△A1B1C1； （2）直接写出以B，C1，B1，C为顶点的四边形的面积； （3）在所给的网格图中确定一个格点E，使得射线AE平分∠BAC，写出点E的坐标． 【分析】（1）利用旋转变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可； （2）把四边形的面积看成矩形的面积减去周围的四个三角形面积即可； （3）根据AB＝AC＝5，利用等腰三角形的性质解决问题（答案不唯一）． 【解答】解：（1）如图，画出△A1B1C1； （2）以B，C1，B1，C为顶点的四边形的面积＝10×8﹣2××2×4﹣2××4×8＝40； （3）如图，点E即为所求（答案不唯一），点E的坐标（6，6）． 14．（2024•北京）已知∠MAN＝α（0°＜α＜45°），点B，C分别在射线AN，AM上，将线段BC绕点B顺时针旋转180°﹣2α得到线段BD，过点D作AN的垂线交射线AM于点E． （1）如图1，当点D在射线AN上时，求证：C是AE的中点； （2）如图2，当点D在∠MAN内部时，作DF∥AN，交射线AM于点F，用等式表示线段EF与AC的数量关系，并证明． 【分析】（1）证明CA＝CD＝CE即可证明点C是AE的中点； （2）先证明△ABC≌△HBD，得到AC＝DH，再根据角度计算得到DG＝AC，从而得出EF和AC的数量关系． 【解答】（1）证明：连接CD， 由题意得：BC＝BD，∠CBD＝180°﹣2α， ∴∠BDC＝∠BCD， ∵∠BDC+∠BCD+∠CBD＝180°， ∴， ∴∠BDC＝∠A， ∴CA＝CD， ∵DE⊥AN， ∴∠1+∠A＝∠2+∠BDC＝90°， ∴∠1＝∠2， ∴CD＝CE， ∴CA＝CE， ∴点C是AE的中点； （2）解：EF＝2AC， 在射线AM上取点H，使得BH＝BA，取EF的中点G，连接DG， ∵BH＝BA， ∴∠BAH＝∠BHA＝α， ∴∠ABH＝180°﹣2α＝∠CBD， ∴∠ABC＝∠HBD， ∵BC＝BD， ∴△ABC≌△HBD（SAS）， ∴AC＝DH，∠BHD＝∠A＝α， ∴∠FHD＝∠BHA+∠BHD＝2α， ∵DF∥AN， ∴∠EFD＝∠A＝α，∠EDF＝∠3＝90°， ∵G是EF的中点， ∴GF＝GD，EF＝2GD， ∴∠GFD＝∠GDF＝α， ∴∠HGD＝2α， ∴∠HGD＝∠FHD， ∴DG＝DH， ∵AC＝DH， ∴DG＝AC， ∴EF＝2AC． 15．（2024•绵阳）如图，在正方形ABCD中，AB＝2，对角线AC与BD相交于点O，点E在线段AO上（与端点不重合），线段EB绕点E逆时针旋转90°到EF的位置，点F恰好落在线段CD上，FH⊥AC，垂足为H． （1）求证：△OBE≌△HEF； （2）设OE＝x，求OE2﹣CF的最小值． 【分析】（1）根据AAS证明△OBE≌△HEF即可； （2）根据△OBE≌△HEF，得OE＝FH＝x，EH＝OB＝，根据△CHF是等腰直角三角形得：CF＝FH＝x，最后计算OE2﹣CF＝x2﹣x，配方后可解答． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AC⊥BD， ∴∠BOE＝90°， ∵FH⊥AC， ∴∠EHF＝90°＝∠BOE， ∴∠BEO+∠OBE＝90°， 由旋转得：BE＝EF，∠BEF＝90°， ∴∠BEO+∠FEH＝90°， ∴∠OBE＝∠FEH， 在△OBE和△HEF中， ， ∴△OBE≌△HEF（AAS）； （2）解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC＝2，OB＝OC＝，∠ACD＝45°， ∵△OBE≌△HEF， ∴OE＝FH＝x，EH＝OB＝， ∴FH＝CH＝x， ∴CF＝FH＝x， ∴OE2﹣CF＝x2﹣x＝（x﹣）2﹣， ∵点E在线段AO上（与端点不重合）， ∴0＜x＜， ∴当x＝时，OE2﹣CF的最小值是﹣． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$