专题04 旋转压轴题（期末真题汇编，天津专用）九年级数学上学期人教版

专题04 旋转压轴题 1．(24-25九上·天津滨海新区·期末)在平面直角坐标系中，O为原点，点，，，，连接，，点M，N分别是和的中点，连接．把绕点O逆时针旋转，得．点C，D，M旋转后的对应点分别为点，，，连接，旋转角记为． (1)如图①，若，则点的坐标为________，的长为________； (2)如图②，若，连接，求的长； (3)在绕点O旋转一周的过程中，求出的最大值和最小值．（直接写出结果即可） 【答案】(1)， (2) (3)的最大值为，最小值为 【分析】（1）根据旋转的性质求得，，利用中点坐标公式求得和，再利用两点之间的距离公式求解即可； （2）过点N作交的延长线于点P，利用斜边中线的性质求得和的长，，在和中，求解即可； （3）先判断点在以点为圆心，为半径的上运动，再连接交于点和，当点与点重合时，即有最大值；当点与点重合时，即有最小值；据此求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵把绕点O逆时针旋转，得， ∴，， ∴，， ∵点M是的中点， ∴点是的中点， ∴， ∵点N是的中点，且，， ∴， ∴， 故答案为：，； （2）解：如图，过点N作交的延长线于点P． 由已知可得，，点N是的中点， ∴，， 同理，，，， ． ∵绕点O逆时针旋转，得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， 在中，， ∴； （3）解：∵点始终是的中点，且是等腰直角三角形， ∴， ∴点在以点为圆心，为半径的上运动， 如图，连接交于点和， 当点与点重合时，即有最大值；当点与点重合时，即有最小值； ∵， ∴的最大值为，最小值为． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，坐标与图形，斜边中线的性质．正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 2．(24-25九上·天津西青区·期末)在等边中，，垂足为点，点为直线上一动点，连接，以点为旋转中心，把线段顺时针旋转，得到线段，连接． (1)如图①，当点在线段上时，求证：． (2)如图②，当点在线段的延长线上时，连接，，若，求的大小． (3)若等边的边长是6，连接，在点运动过程中，直接写出线段的最小值． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查旋转的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质； （1）由旋转得到，，再证明，得到； （2）先证明，得到，，由等边三角形的性质可得，得到，由，得到是等腰直角三角形，即可得到，得到； （3）过作，则，，由（1）（2）可得点在直线上运动，过作于，则长度即为的最小值，再根据直角三角形的性质求解即可． 【详解】（1）证明：∵等边， ∴，， 线段顺时针旋转，得到线段， ，， ， ，即， ， ； （2）解：同（1）可知，，， ，即， ， ，， 是等边三角形，， ，， ， ， ， ， ， ，即， ， 又， ， ； （3）解：过作，则， ∵， ∴，， 由（1）可得，当点在线段上时，，； 由（2）可得，当点在在线段的延长线上时，，； ∴点在直线上运动， 过作于，则长度即为的最小值，此时， ∵等边的边长是6， ∴， ∴， ∴中，，， ∴的最小值为． 3．(24-25九上·天津滨海新区经济技术开发区第一中学·期末)在平面直角坐标系中，已知O为坐标原点，点，以点A为旋转中心，把顺时针旋转，得． (1)如图①，当旋转后满足轴时，则点C的坐标______，点D的坐标______． (2)如图②，当旋转后点C恰好落在x轴正半轴上时，求点D的坐标。 (3)在（2）的条件下，边OB上的一点P旋转后的对应点为，当取得最小值时，求点P的坐标（直接写出结果即可） 【答案】(1)， (2)（） (3) 【分析】（1）作轴于H．只要证明四边形是矩形，利用矩形的性质即可解决问题； （2）作轴于M．在中，求出即可解决问题； （3）连接，，作点关于轴的对称点，连接交轴于，连接，由题意，推出，根据两点之间线段最短，可知当点P与点重合时，的值最小．只要求出直线的解析式即可解决问题． 【详解】（1）解：如图1，过点C作轴于H， ∵，， ∴，， 由旋转的性质，可得， ∴，，， 又∵轴， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴点C的坐标为，点D的坐标； 故答案为：，； （2）如图2，过点D作轴于M， 由面积知， 在中，由勾股定理得 AB， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴点D的坐标为（）； （3）如图3，连接，，作点关于轴的对称点，连接交轴于，连接， 当点在点位置时，、、在同一条直线上，取得最小值， 由题意可得， 根据轴对称的性质可得， ∴， ∵，D的坐标为（）， ∴设直线的解析式为， 则， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴点的坐标为． 【点睛】本题考查了轴对称−最短路线问题、勾股定理解直角三角形，两点之间线段最短等知识，解题的关键是会利用两点之间线段最短解决最短路径问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 4．(24-25九上·天津和平区·期末)已知抛物线（a，b，c为常数）． (1)若直线l：是抛物线的对称轴，且． ①求抛物线与x轴的交点坐标； ②在平面直角坐标系中，点，点，若动点P在直线下方的抛物线上，连结、，当面积最大时，求点P坐标； (2)若，抛物线过点，与y轴交于点C，将点B绕点顺时针旋转（旋转角小于）得到点，当点恰好落在抛物线上，且满足时，求n的值． 【答案】(1)①②当面积最大时，此时 (2) 【分析】（1）①由待定系数法求出抛物线解析式，再另即可求出抛物线与x轴的交点坐标；②连接并长，过P作轴，交丁点Q，设，求出的函数解析式，则，根据两点之间的距离公式求出，再根据，即可得出，利用二次函数的性质可得出当时，面积有最大值，进一步即可求出点P的坐标． （2）先用待定系数法求出抛物线解析式以及点C的坐标，过点N作交B'C于点F，过点N作交延长线于点G，则，进一步可得出，由选旋转的性质可得出，结合已知条件可得出，利用证明，由全等的性质可得出，由角平分线的性质定理可得出，即，再用待定系数法求出，进一步可求出的坐标，设，根据，列出关于n的方程求解即可． 【详解】（1）解：①∵是抛物线的对称轴，且 ∴， ∴， ∴抛物线为， ∵， ∴时， ∴抛物线与x轴的交点坐标为． ②连接并延长，过P作轴，交于点Q， 设， ∵点， ∴的解析式为：， ∴， ∴， ∴ ∵，， ∴当时，面积有最大值， 此时． （2）∵抛物线过点，得， 又∵， 解得：， ∴抛物线的解析式为， 当时，， ∴ 过点N作交B'C于点F，过点N作交延长线于点G， 则， ∴， 设与x轴交于K，由旋转可得， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分， ∵， ∴， ∴ ∵ ∴的解析式为， ∴， 解得，， ∴， 设， ∵， ∴ 解得：． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求抛物线解析式，一次函数解析式，二次函数综合面积问题，全等三角形的判定以及性质，旋转的性质，两点之间的距离公式等等知识点，作出正确的辅助线是解题的关键． 5．(24-25九上·天津河西区·期末)已知抛物线（，是常数）的顶点为P，与x轴相交于点A和点B，与y轴相交于点C． (1)若，A点坐标为，对称轴为直线， ①求点P的坐标： ②将直线BC沿y轴向下平移个单位长度，并且与抛物线总有公共点，求n的取值范围； (2)若，A点坐标为，对称轴为直线，在平面内有一个动点Q，当m为何值时，的最小值是？ 【答案】(1)①，② (2) 【分析】（1）①根据抛物线的对称性可得B点坐标为，即可得抛物线解析式为：，化为顶点式为：，可得顶点P的坐标为；②先求出点C的坐标为，再求出直线的解析式为：，根据将直线BC沿y轴向下平移个单位长度得到，可得设直线的解析式为：，联立：，可得关于x的一元二次方程：，根据与抛物线只有一个交点，可得，解得：，问题随之得解； （2）根据对称性求出B点坐标为，即可得抛物线解析式为：，则有C点坐标为，当时，连接、、，将绕点C逆时针旋转90度，得到，将绕点C逆时针旋转，使得与重合，得到，过E点作轴于F点，连接，先证明是等腰直角三角形，即有，则，当点A、Q、D、E四点共线时，最短为，证明，即可求出E点坐标为，即，可得，解得；当时，同理可求． 【详解】（1）①∵A点坐标为，对称轴为直线， ∴B点坐标为， ∵， ∴抛物线解析式为：， 化为一般式为：， 化为顶点式为：， ∴顶点P的坐标为； ②当时，， ∴点C的坐标为， 如图，设向下平移至时，与抛物线只有一个交点，    ∵点C的坐标为，B点坐标为， ∴设直线的解析式为：， ∴，解得：， ∴直线的解析式为：， ∵将直线BC沿y轴向下平移个单位长度得到， ∴设直线的解析式为：， 联立：， 可得关于x的一元二次方程：， ∴方程的， ∵与抛物线只有一个交点， ∴， 解得：， ∵与抛物线总有公共点， ∴， （2）∵A点坐标为，对称轴为直线，， ∴B点坐标为， ∵， ∴抛物线解析式为：， ∵当时，， ∴C点坐标为， 当时，连接、、，将绕点C逆时针旋转90度，得到，将绕点C逆时针旋转，使得与重合，得到，过E点作轴于F点，连接，如图，    根据旋转有：，，， ∴是等腰直角三角形，，， ∴， ∴， 显然，当点A、Q、D、E四点共线时，最短，最短为， 即最短为， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，轴， ∴， ∴结合，有， ∴，， ∵B点坐标为，C点坐标为， ∴，， ∴，， ∴， ∴E点坐标为， ∵A点坐标为， ∴， ∴， ∵最短为， ∴，解得； 当时，同理可求出， 综上所述，m的值为． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，一次函数的平移，一元二次方程的根与判别式的关系，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，以及勾股定理等知识，构造合理的辅助线，是解答本题的关键． 6．(24-25九上·天津南开区·期末)在平面直角坐标系中，点，点，其中，点在第一象限，且．将绕点逆时针旋转得到，点的对应点分别为，点恰在轴上． (1)如图1，当时，求点的坐标和的长； (2)如图2，当时，求点的坐标； (3)当点组成的凸多边形为四边形时，将此四边形的面积记为．用含有的式子表示，并写出的取值范围（此问直接写出结果即可）． 【答案】(1)， (2) (3)见解析 【分析】（1）根据旋转的性质，旋转前后对应线段长度不变且对应线段夹角为旋转角，通过设点的坐标，利用勾股定理和旋转性质来求解点的坐标和的长； （2）依据旋转的性质，可得，再根据边角关系可得，求出点的坐标； （3）根据四边形的面积公式，通过分析，，时四边形的组成部分来用含的式子表示面积． 【详解】（1）解：如图1，过点作轴于点， ∵是由逆时针旋转得到，且点在轴上， ∴， ∴， 且， ∴， ∴， 由勾股定理可知 解得； ∴点的坐标为； （2）解：如图2，由（1）可知，且， ∵是由旋转得到， ∴， ∴， ∴， ∴点的坐标为； （3）解：如图， 当时， 绕点逆时针旋转得到，且轴，，， 轴， ，， ； 如图，当时， 绕点逆时针旋转得到，，， ， ； 如图，当时， 绕点逆时针旋转得到，，， ，， ． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理，掌握旋转的性质的性质是解题的关键． 7．(23-24九上·天津南开区·期末)如图1，在平面直角坐标系中，为坐标原点，正方形的顶点坐标为，将正方形绕点逆时针旋转，旋转角为．的延长线交轴于点，与轴交于点． (1)如图2，当时，求点的坐标； (2)如图3，在旋转过程中，连接，，交于点，与轴交于点，连接．设，的面积为． ①求的度数； ②求关于的函数表达式，并直接写出的取值范围； (3)在（2）的情况下，设，的面积为，．请直接写出关于的函数表达式（无需写出的取值范围）． 【答案】(1) (2)①，② (3) 【分析】（1）根据题意，得到，故，在中，利用勾股定理，得到，由此得到答案． （2）①过点作交于点，通过证明，得到，又，故，即点为等腰直角斜边的中点，由此得到答案． ②通过证明，得到，，在中，由勾股定理得：，即，由此得到． （3）由（2）得到，，在等腰中，由勾股定理得：，又，，故，把代入得到答案． 【详解】（1）解：根据题意得： 点坐标为，将正方形绕点逆时针旋转，旋转角为， 得到如图正方形， 由旋转的性质得： ， 四边形是正方形， ，， 在中， ， 由勾股定理， 得：， ， 解得：，， 点的坐标为． （2）根据题意，由旋转的性质， 得：， 在和中， ， ， ，， 是等腰直角三角形， 在中，由勾股定理得： ， ， 如图，过点作交于点， 则，即， 四边形是正方形， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ，， 在和中， ， ， ， 又， ， 即点为等腰直角斜边的中点， 综上：①； ② （3）根据题意，如图所示， 由（2）得： ，， 在等腰中，由勾股定理得： ， 即， ， ， 又的面积为， ， ， ， 把代入得： ． 【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，熟练掌握相关性质和定理，利用已知条件，作正确的辅助线，构造全等的三角形，是解答本题的关键． 8．(24-25九上·天津新华圣功学校·期末)在平面直角坐标系中，矩形，为原点，，将绕点逆时针旋转，点旋转后的对应点为． (1)如图（1），当时，求的坐标； (2)如图（2），当点恰好落在轴上时，与交于点． ①此时与是否相等，说明理由； ②求点的坐标； (3)求面积的最大值．（直接写出答案即可） 【答案】(1) (2)①；② (3)14 【分析】（1）如图①中，过点作于点．解直角三角形求出，，可得结论； （2）①此时与相等，证明即可； ②设，再利用勾股定理构建方程求出即可； （3）如图③中，当点值的延长线上时，的面积最大． 【详解】（1）如图①中，过点作于点． 四边形是矩形，， ，， 在中，，， ，， ， ∴； （2）①结论：． 理由：，， ， ， ， ， ； ②，， ， 设， 在中，， ， ， ， ． （3）如图③中，当点值的延长线上时，此时点到的距离最大，即的面积最大． 的面积的最大值． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，解直角三角形，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题． 9．(23-24九上·天津部分区·期末)在平面直角坐标系中，为等腰三角形，，点，点，．点为轴正半轴上任意一点（与点不重合），点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接并延长交轴于点． (1)如图1，当，时，则点的坐标为______________，点的坐标为______________； (2)当时． ①如图2，请判断和的位置关系，并说明理由； ②过点作轴，垂足为，请直接写出的长（用含有的式子表示）． 【答案】(1)； (2)①垂直，理由见解析；②或或 【分析】（1）由题意，当，时，由等腰三角形性质、旋转性质即可得到点和点的坐标； （2）①由旋转的性质，结合三角形全等的判定与性质即可得到；②由等边三角形性质、含的直角三角形性质及旋转性质，分三种情况：当时；当时；当时讨论求解即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示： 为等腰三角形，，，， ， ； 点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接并延长交轴于点， 由旋转性质得到， ； 故答案为：；； （2）解：①垂直， 理由如下： 根据旋转可知，，， ∵， ∴，，即， ∵， ∴， ∴， ∴，和的位置关系是垂直； ②或或， ∵，， ∴为等边三角形， ∴，， 当时，连接，如图所示： 根据①可知，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ，即， 根据解析②可知，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 当时，与重合，如图所示： ∵，， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴此时点与点重合，； 当时，连接，如图所示： ∵， ∴； 综上分析可知，或或． 【点睛】本题考查图形与坐标，涉及等边三角形性质、旋转性质、三角形全等判定与性质和含的直角三角形性质等知识，熟练运用旋转性质求点的坐标是解决问题的关键． 10．(23-24九上·天津滨海新区·期末)在平面直角坐标系中，为原点，点，点，把绕点逆时针旋转，得．点，旋转后的对应点分别为点，，记旋转角为．        图①                  图②               备用图 (1)如图①，若，求的长； (2)如图②，若，求点的坐标； (3)边上有一点旋转后的对应点为，在（2）的条件下，当取得最小值时，写出点的坐标．（直接写出结果即可）． 【答案】(1) (2) (3)点的坐标为 【分析】（1）利用点、的坐标表示出线段、的长度，延长交轴于点，利用旋转的性质得到，，再利用勾股定理即可解答； （2）过点作于点，利用旋转的性质和等腰直角三角形的性质求出，的长度，即可求解； （3）作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，设点旋转后的对应点为，连接，，在线段上任取异于点的一点，设点旋转后的对应点为，连接，，，利用轴对称的性质和三角形的三边关系得到此时点使得取得最小值，利用待定系数法求出直线的解析式，令，即可求解． 【详解】（1）解：延长交轴于点，如图， 点，点， ，， ， 轴，轴， 四边形矩形， ，， 把绕点逆时针旋转得， ， ，， ，， ， ； （2）过点作于点，如图， 由（1）知：， ， ， ， 为等腰直角三角形， ， ， 点的坐标为； （3）作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，设点旋转后的对应点为，连接，，在线段上任取异于点的一点，设点旋转后的对应点为，连接，，，如图， 则， 由旋转的性质可得：， 点关于轴的对称点是， 轴是的垂直平分线， ，， ， ， 此时的点使得取得最小值，设直线的解析式为， 点的坐标为，， ， 解得：， 直线的解析式为：， 令，则， ， 点的坐标为． 【点睛】本题考查了几何变换的综合，旋转的性质，轴对称的性质，勾股定理，一次函数的图像与性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握旋转的性质和利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键． 11．(24-25九上·天津滨海新区大港第六中学·期末)如图，和都是等边三角形，直线，交于点F． (1)如图1，当A，C，D三点在同一直线上时，的度数为________，线段与的数量关系为________． (2)如图2，当绕点C顺时针旋转时，（1）中的结论是否还成立？若不成立，请说明理由；若成立，请就图2给予证明． (3)若，，当绕点C顺时针旋转一周时，请直接写出长的取值范围． 【答案】(1)， (2)成立，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了等边三角形性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，以及旋转的性质，解答时证明三角形全等是关键． （1）利用等边三角形的性质证明，结合三角形的外角就可以得出结论； （2）同（1）中方法证明，得出，，再根据三角形的内角和得出； （3）当B、C、D三点共线时得出的最大和最小值，即可得出结论． 【详解】（1）解：是等边三角形， ，， 是等边三角形， ，， ， 即， 在和中， ， ， ，， ，且， ； 故答案为：；； （2）解：（1）中结论仍成立，理由如下： 如图， 是等边三角形， ，， 是等边三角形， ，， ， 即， 在和中， ， ，， ，且， ； （3）解：是等边三角形， ， 当B、C、D三点共线，且D在的延长线上时，最大，此时， 当B、C、D三点共线，且D在线段上时，最小，此时； ∴． 12．(24-25九上·天津南开区·期末)在平面直角坐标系中，点，点，其中，点在第一象限，且．将绕点逆时针旋转得到，点，的对应点分别为，，点恰在轴上． (1)如图1，当时，求的大小和点的坐标； (2)如图2，当时，连接，求的长和点的坐标； (3)若将点，，，组成的四边形的面积记为．当时，用含有的式子表示（直接写出结果即可）． 【答案】(1)； (2)， (3) 【分析】本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理，掌握旋转的性质是解题的关键． （1）根据旋转的性质得出，确定，然后结合图形即可得出，过点A作，利用含30度角的直角三角形的性质及勾股定理求解即可确定点的坐标； （2）过点A作，根据旋转及平行线的性质得出，再由等腰三角形的判定和性质得出，得出四边形是平行四边形，即可得出的长，再由勾股定理求解即可确定点的坐标； （3）根据题意得出点B在点右侧，确定，，利用勾股定理得出，再由等腰三角形的性质及勾股定理得出，结合图形求面积即可． 【详解】（1）解：∵绕点逆时针旋转得到， ∴， ∴， ∵点，， ∴， ∴， 过点A作，如图所示： ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）过点A作，如图所示： ∵， ∴， ∵绕点逆时针旋转得到， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：（负值舍去）， ∴， ∴； （3）由（1）得， ∴， ∵， ∴点B在点右侧， 绕点逆时针旋转得到，，， ，， ∴， ∵绕点逆时针旋转得到， ∴，， ∴， ∴， ∴ ∴， ， ∴． 13．(24-25九上·天津和平区·期末)已知抛物线（a，b，c为常数，，）与轴交于点和点（点在点的左侧），与轴交于点，点在线段（点除外）上运动，将线段绕点逆时针旋转得到线段． (1)当时， ①若点的坐标为，求该抛物线顶点的坐标； ②若，且点在抛物线上，求抛物线的解析式； (2)当时，点为第一象限的动点，，连接．当取得最小值，且点在抛物线上时，求的值． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】（1）①由题意可得，，，代入抛物线，求解即可； ②根据可得，，可得，则为等腰直角三角形，分别过点，作的垂线，垂足分别为，，根据可得，得到，根据，得到，再将、、代入抛物线，求解即可； （2）由可得抛物线为，取点，连接，，根据题意可得，，得到，即在线段上运动，设；由，点为第一象限的动点可得点是在以为直径的半圆上运动，取，连接，，可得当取得最小值时，取得最小值，，由二次函数的性质可得当时，最小，此时点，代入抛物线，求解即可． 【详解】（1）解：①由题意可得，，， ∵， ∴，， 将，，代入抛物线可得 ，解得， 即抛物线为， 即顶点坐标为； ②由①得，，则，即为等腰直角三角形， 分别过点，作的垂线，垂足分别为，，如下图： 则为等腰直角三角形，设， 由可得，，解得（负值舍去）， ∴，， 由旋转的性质可得，，， ∴， ∴， ∴， ∴，，即 将、、代入抛物线可得， ，解得， 即抛物线为； （2）解：由可得抛物线为， 取点，连接，， 由题意可得，，，， ∴， ∴，即在线段上运动， 设直线为，将，代入可得， ，解得，即， 故设， 由，点为第一象限的动点，可得点是在以为直径的半圆上运动， 取，连接，，如下图： 则， 由三角形三边关系可得，，当、、共线时，取得等号， 则当取得最小值时，取得最小值，， ∵，开口向上，对称轴为， ∴当时，最小，即取得最小值，此时点， 将、代入抛物线可得， ，解得， 即． 【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，涉及到待定系数法求解析式，旋转，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质等内容，综合性比较强，解题的关键是熟练掌握性质的应用． 14．(24-25九上·天津南开区美达菲学校·月考)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，正方形的顶点A的坐标为，点B在第一象限，点C在y轴正半轴上． (1)如图①，点B的坐标为 ，点C的坐标为 ； (2)将正方形绕点O逆时针旋转，得到正方形，A，B，C的对应点分别为，，．旋转角为．的延长线交x轴于点D，与y轴交于点E． ①如图②，当时，点的坐标为 ，点E的坐标为 ； ②如图③，在旋转过程中，连接，设，的面积为S，求S关于m的函数表达式，并直接写出m的取值范围． 【答案】(1)， (2)①，；② 【分析】（1）根据题意和正方形的性质求解即可； （2）①过点作轴于点，由旋转可得：，，得到，，再根据勾股定理求出，，即可求解； ②由旋转的性质得：，证明，得到，推出是等腰直角三角形，根据勾股定理求出，进而得到，当点与重合时，， 结合，可得，结合旋转角为，得到，即可求解． 【详解】（1）解：正方形的顶点的坐标为，点在第一象限，点在轴正半轴上， ，， 故答案为：，； （2）解：①过点作轴于点， 由旋转可得：，， ，， ，，即， ， ，， 故答案为：，； ②根据题意，由旋转的性质得：， 在和中， ， ， ， 是等腰直角三角形， 在中，由勾股定理得：， ， 当点与重合时，， 又， , 旋转角为， ， ． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，旋转的性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理，解题的关键是掌握相关知识． 15．(23-24九上·天津河北区·期末)在平面直角坐标系中，为原点，点，点，把绕点逆时针旋转得到，点A、旋转后的对应点为、，记旋转角为． (1)如图①，若，求的长； (2)如图②，若，求点的坐标； (3)如图③，P为AB上一点，且，连接、，在绕点B逆时针旋转一周的过程中，求的面积的最大值和最小值（直接写出结果可）． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】（1）连接，过点作轴，由旋转的性质可求得和AD的值，再利用勾股定理即可求解． （2）过点作于点H，连接，由旋转的性质得是等边三角形，根据等边三角形的性质即可求解． （3）设P到的距离为h，则，由题意得O是在以B为圆心的圆上运动，当时，的面积最小；时，的面积最大利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：连接，过点作轴，如图所示： 把绕点逆时针旋转得到，且点，点， 得，， ∴，AD=OA-OD=4-3=1， ． （2）过点作于点H，连接，如图所示： 把绕点逆时针旋转得到，且旋转角α=60°， ∴是等边三角形， ∴， ∴，， ． （3）设P到的距离为h， ∴， ∵△ABO绕点B逆时针旋转， ∴O是在以B为圆心的圆上运动， 如图所示： 当时，的面积最小；时，的面积最大； ∵，， ①当时，， ∴， ②当时，， ∴， ∴的面积的最大值和最小值分别为和． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质，勾股定理，含30°的直角三角形，圆等知识．解题的关键在于熟练掌握旋转的性质． 16．(24-25九上·天津静海区·期末)在平面直角坐标系中，O为原点，点A(4，0)，点B(0，3)，把ABO绕点B逆时针旋转，得，点A，O旋转后的对应点为，，记旋转角为α． (1)如图①，若α＝90°，求的长； (2)如图②，若α＝120°，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，边OA上 的一点P旋转后的对应点为，当P+B取得最小值时，求点的坐标（直接写出结果即可） 【答案】(1)5 (2)(，) (3)(，) 【分析】（1）如图①，先利用勾股定理计算出AB＝5，再根据旋转的性质得BA＝BA′，∠ABA′＝90°，则可判定△ABA′为等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质求AA′的长； （2）作O′H⊥y轴于H，如图②，利用旋转的性质得BO＝BO′＝3，∠OBO′＝120°，则∠HBO′＝60°，再在Rt△BHO′中利用含30度的直角三角形三边的关系可计算出BH和O′H的长，然后利用坐标的表示方法写出O′点的坐标； （3）由旋转的性质得BP＝BP′，则O′P+BP′＝O′P+BP，作B点关于x轴的对称点C，连接O′C交x轴于P点，如图②，易得O′P+BP＝O′C，利用两点之间线段最短可判断此时O′P+BP的值最小，接着利用待定系数法求出直线O′C的解析式为y＝x﹣3，从而得到P（，0），则O′P′＝OP＝，作P′D⊥O′H于D，然后确定∠DP′O′＝30°后利用含30度的直角三角形三边的关系可计算出P′D和DO′的长，从而可得到P′点的坐标． 【详解】（1）如图①， ∵点A（4，0），点B（0，3）， ∴OA＝4，OB＝3， ∴AB＝＝5， ∵△ABO绕点B逆时针旋转90°，得△A′BO′， ∴BA＝BA′，∠ABA′＝90°， ∴△ABA′为等腰直角三角形， ∴AA′＝BA＝5； （2）作O′H⊥y轴于H，如图②， ∵△ABO绕点B逆时针旋转120°，得△A′BO′， ∴BO＝BO′＝3，∠OBO′＝120°， ∴∠HBO′＝60°， 在Rt△BHO′中，∵∠BO′H＝90°﹣∠HBO′＝30°， ∴BH＝BO′＝，O′H＝BH＝， ∴OH＝OB+BH＝3+＝， ∴O′点的坐标为(，)； （3）∵△ABO绕点B逆时针旋转120°，得△A′BO′，点P的对应点为P′， ∴BP＝BP′， ∴O′P+BP′＝O′P+BP， 作B点关于x轴的对称点C，连接O′C交x轴于P点，如图②， 则O′P+BP＝O′P+PC＝O′C，此时O′P+BP的值最小， ∵点C与点B关于x轴对称， ∴C（0，﹣3）， 设直线O′C的解析式为y＝kx+b， 把O′（，），C（0，﹣3）代入得，解得， ∴直线O′C的解析式为y＝x﹣3， 当y＝0时，x﹣3＝0，解得x＝，则P（，0）， ∴OP＝， ∴O′P′＝OP＝， 作P′D⊥O′H于D， ∵∠BO′A′＝∠BOA＝90°，∠BO′H＝30°， ∴∠DP′O′＝30°， ∴O′D＝O′P′＝，P′D＝O′D＝， ∴DH＝O′H﹣O′D＝﹣＝， ∴P′点的坐标为(，)． 【点睛】本题考查了几何变换综合题，解题的关键是，熟练掌握旋转的性质；理解坐标与图形性质；会利用两点之间线段最短解决最短路径问题；记住含30度的直角三角形三边的关系． 17．(24-25九上·天津和平区·期末)已知，，将绕点B旋转得到，点A的对应点为，点C的对应点为，连接． (1)如图，将绕点B逆时针旋转，求的长； (2)当点落直线上时，求的长； (3)连接，直线与直线相交于点D，在旋转过程中，线段的最大值为_____（直接写出结果即可）﹒ 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题考查了旋转的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定； （1）由勾股定理得，再由旋转的性质得，，再由等腰直角三角形的性质即可得的长； （2）当点落线段上时，由旋转的性质可得，进而可得，，再由勾股定理即可得的长，当点落线段的延长线上时，同理可得； （3）过作交延长线于，取中点，连接，，由斜边中线可得，再由平行和旋转性质可得得到，即可证明，得到，即为中点，则是中位线，最后根据，可得当，，三点共线时最大，最大值为﹒ 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵将绕点B逆时针旋转得到， ∴，， ∴； （2）解：如图，当点落线段上时， 由旋转的性质可得， ∴，，，， ∵，，， ∴，，， ∴， ∴； 如图，当点落线段的延长线上时， 由旋转的性质可得， ∴，，，， ∵，，， ∴，，， ∴， ∴； 即的长为或； （3）解：过作交延长线于，取中点，连接，， ∵将绕点B旋转得到， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即为中点 ∴是中位线， ∴， ∵， ∴当，，三点共线时最大，最大值为， 故答案为：﹒ 18．(24-25九上·天津河北区第二中学·期末)在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点，点，点．以点A为中心，顺时针旋转矩形，得到矩形，点O，B，C的对应点分别为D，E，F，记旋转角为． (1)如图1，当时，求点D的坐标； (2)如图2，当点E落在的延长线上时，求点D的坐标； (3)当点D落在线段上时，直接写出点E的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）过点作轴于，由旋转的性质得出，，，由直角三角形的性质得出，，得出，即可得出点的坐标为； （2）过点作轴于，，于，则则，，由勾股定理得出AE=10，由面积法求出DH=，得出，由勾股定理得出，即可得出点的坐标为； （3）连接，作轴于，由旋转的性质得：，， 由等腰三角形的性质得出，得出，证出，由平行线的性质的，证出，证明，得出，，得出，即可得出答案． 【详解】（1）解：过点作轴于，如图所示： ∵点，点， ∴，， ∵以点为中心，顺时针旋转矩形，得到矩形， ∴，，， 在Rt中，，， ∴， ∴点的坐标为； （2）过点作轴于，，于，如图所示： 则，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴点的坐标为； （3）连接，作轴于，如图所示： 由旋转的性质得：，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴，， ∴， ∴点的坐标为． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质、坐标与图形性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、旋转变换的性质、含角的直角三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，正确作出辅助线，属于中考压轴题． 19．(24-25九上·天津河北区·期末)如图，在平面直角坐标系中，的顶点为原点，点，分别在轴，轴上，且，将绕点逆时针旋转得到，旋转角记为，点为中点，点，，的对应点分别为点，，，点的坐标为． (1)如图①，点的坐标为___________，若，点位于第二象限时，点的坐标为___________； (2)如图②，若，点位于第二象限时，求点的坐标； (3)在旋转过程中，点，的距离取到最大值时，求点，的距离及点的坐标（直接写出结果即可） 【答案】(1)，； (2) (3)点，的距离为，点的坐标为． 【分析】本题考查了勾股定理解三角形，解含有的直角三角形，平行线的判定与性质，等腰三角形的性质，解决本题的关键是得到点M的运动轨迹，以及得到点，，三点共线时距离最大． （1）根据点B的坐标以及，可求解的长度，由此可求解点A的坐标；再根据旋转角度可求解点C与点D的坐标，根据点M为的中点即可求解； （2）作辅助线，根据旋转角度可得，再根据含有的直角三角形的特征以及中点，可得，以及，再根据平行线的判定，即“内错角相等，两直线平行”可得轴，由此可得，从而可计算点M的横纵坐标； （3）先得到点M的运动轨迹，根据点，，三点共线可求解点，的距离；再根据三点共线可得，由此可得，构造等腰三角形，设未知数，利用勾股定理求解x的值，即可求解点C的坐标． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴在中，， ∴点的坐标为； 当时，则绕点逆时针旋转得到， ∴可得点的坐标为，点的坐标为； ∴点的坐标为； 故答案为：，； （2）解：记与x轴的交点为点E，连接，如图， ∵，则绕点逆时针旋转得到， ∴，且， ∴， ∵，， ∴在中，， 又∵点为中点， ∴， 同理可得， ∴， ∴， ∴轴， ∴， ∴可得点M的纵坐标为，点M的横坐标为， ∴点的坐标为； （3）解：根据题意可知，点M的轨迹是半径为1的圆，即， 当点，，三点共线时，点，的距离取到最大值， ∵点的坐标， ∴， ∴点，的距离， 过点C作轴交y轴于点H，在取点，使，如图， 由点的坐标可知，， 当点，，三点共线时，， 由（2）可知，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， 在中，，， 即， ∴， 又∵， 在中，， 即， 即， 整理可得，， 可得， ∴解得， ∴， 即， ∴点的横坐标为，点的纵坐标为， ∴点的坐标为． 20．(24-25九上·天津红桥区·期末)在平面直角坐标系中，点，，．将正方形绕点逆时针旋转，得正方形，点，，的对应点分别为，，．记旋转角为，且． (1)如图①，当时，求点和点的坐标； (2)如图②，当时，分别与轴，相交于点，，求点和点的坐标； (3)若直线与相交于点F，求的大小（直接写出结果即可）． 【答案】(1)， (2)， (3)或 【分析】（1）先根据，．得，结合旋转的性质，得，运用勾股定理得，，即可得出，； （2）结合旋转的性质，正方形的性质，得，根据30度的直角三角形的性质得，结合勾股定理得出，解得，即点的坐标为，再把数值代入进行计算，得，即可得； （3）当点在点左侧时，则，连接，直线与相交于点F，设交轴于点，先证明，故，推出，进而得到，利用三角形外角的性质，三角形内角和性质以及对顶角相等即可解答，当点在点右侧时，则，同理解答即可． 【详解】（1）解：如图，分别过点作轴，轴，垂足分别为， ∵轴， ∴轴， ∴， ∵，． ∴， ∵将正方形绕点逆时针旋转，得正方形，点，，的对应点分别为，，．记旋转角为，且， ∴， 由旋转性质得， ∴， 在中，， 在中，， ∴，； （2）解：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵将正方形绕点逆时针旋转，得正方形， ∴四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 则， 在中，， ∵，， ∴， 则， ∴点的坐标为， 则， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：当点在点左侧时，则，连接，直线与相交于点F，设交轴于点， 由旋转的性质得， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 当点在点右侧时，则，如图， 同理得， ∴； 综上，或． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，旋转的性质，勾股定理，30度的直角三角形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 2 / 63 1 / 63 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 旋转压轴题 1．(24-25九上·天津滨海新区·期末)在平面直角坐标系中，O为原点，点，，，，连接，，点M，N分别是和的中点，连接．把绕点O逆时针旋转，得．点C，D，M旋转后的对应点分别为点，，，连接，旋转角记为． (1)如图①，若，则点的坐标为________，的长为________； (2)如图②，若，连接，求的长； (3)在绕点O旋转一周的过程中，求出的最大值和最小值．（直接写出结果即可） 2．(24-25九上·天津西青区·期末)在等边中，，垂足为点，点为直线上一动点，连接，以点为旋转中心，把线段顺时针旋转，得到线段，连接． (1)如图①，当点在线段上时，求证：． (2)如图②，当点在线段的延长线上时，连接，，若，求的大小． (3)若等边的边长是6，连接，在点运动过程中，直接写出线段的最小值． 3．(24-25九上·天津滨海新区经济技术开发区第一中学·期末)在平面直角坐标系中，已知O为坐标原点，点，以点A为旋转中心，把顺时针旋转，得． (1)如图①，当旋转后满足轴时，则点C的坐标______，点D的坐标______． (2)如图②，当旋转后点C恰好落在x轴正半轴上时，求点D的坐标。 (3)在（2）的条件下，边OB上的一点P旋转后的对应点为，当取得最小值时，求点P的坐标（直接写出结果即可） 4．(24-25九上·天津和平区·期末)已知抛物线（a，b，c为常数）． (1)若直线l：是抛物线的对称轴，且． ①求抛物线与x轴的交点坐标； ②在平面直角坐标系中，点，点，若动点P在直线下方的抛物线上，连结、，当面积最大时，求点P坐标； (2)若，抛物线过点，与y轴交于点C，将点B绕点顺时针旋转（旋转角小于）得到点，当点恰好落在抛物线上，且满足时，求n的值． 5．(24-25九上·天津河西区·期末)已知抛物线（，是常数）的顶点为P，与x轴相交于点A和点B，与y轴相交于点C． (1)若，A点坐标为，对称轴为直线， ①求点P的坐标： ②将直线BC沿y轴向下平移个单位长度，并且与抛物线总有公共点，求n的取值范围； (2)若，A点坐标为，对称轴为直线，在平面内有一个动点Q，当m为何值时，的最小值是？ 6．(24-25九上·天津南开区·期末)在平面直角坐标系中，点，点，其中，点在第一象限，且．将绕点逆时针旋转得到，点的对应点分别为，点恰在轴上． (1)如图1，当时，求点的坐标和的长； (2)如图2，当时，求点的坐标； (3)当点组成的凸多边形为四边形时，将此四边形的面积记为．用含有的式子表示，并写出的取值范围（此问直接写出结果即可）． 7．(23-24九上·天津南开区·期末)如图1，在平面直角坐标系中，为坐标原点，正方形的顶点坐标为，将正方形绕点逆时针旋转，旋转角为．的延长线交轴于点，与轴交于点． (1)如图2，当时，求点的坐标； (2)如图3，在旋转过程中，连接，，交于点，与轴交于点，连接．设，的面积为． ①求的度数； ②求关于的函数表达式，并直接写出的取值范围； (3)在（2）的情况下，设，的面积为，．请直接写出关于的函数表达式（无需写出的取值范围）． 8．(24-25九上·天津新华圣功学校·期末)在平面直角坐标系中，矩形，为原点，，将绕点逆时针旋转，点旋转后的对应点为． (1)如图（1），当时，求的坐标； (2)如图（2），当点恰好落在轴上时，与交于点． ①此时与是否相等，说明理由； ②求点的坐标； (3)求面积的最大值．（直接写出答案即可） 9．(23-24九上·天津部分区·期末)在平面直角坐标系中，为等腰三角形，，点，点，．点为轴正半轴上任意一点（与点不重合），点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接并延长交轴于点． (1)如图1，当，时，则点的坐标为______________，点的坐标为______________； (2)当时． ①如图2，请判断和的位置关系，并说明理由； ②过点作轴，垂足为，请直接写出的长（用含有的式子表示）． 10．(23-24九上·天津滨海新区·期末)在平面直角坐标系中，为原点，点，点，把绕点逆时针旋转，得．点，旋转后的对应点分别为点，，记旋转角为．        图①                  图②               备用图 (1)如图①，若，求的长； (2)如图②，若，求点的坐标； (3)边上有一点旋转后的对应点为，在（2）的条件下，当取得最小值时，写出点的坐标．（直接写出结果即可）． 11．(24-25九上·天津滨海新区大港第六中学·期末)如图，和都是等边三角形，直线，交于点F． (1)如图1，当A，C，D三点在同一直线上时，的度数为________，线段与的数量关系为________． (2)如图2，当绕点C顺时针旋转时，（1）中的结论是否还成立？若不成立，请说明理由；若成立，请就图2给予证明． (3)若，，当绕点C顺时针旋转一周时，请直接写出长的取值范围． 12．(24-25九上·天津南开区·期末)在平面直角坐标系中，点，点，其中，点在第一象限，且．将绕点逆时针旋转得到，点，的对应点分别为，，点恰在轴上． (1)如图1，当时，求的大小和点的坐标； (2)如图2，当时，连接，求的长和点的坐标； (3)若将点，，，组成的四边形的面积记为．当时，用含有的式子表示（直接写出结果即可）． 13．(24-25九上·天津和平区·期末)已知抛物线（a，b，c为常数，，）与轴交于点和点（点在点的左侧），与轴交于点，点在线段（点除外）上运动，将线段绕点逆时针旋转得到线段． (1)当时， ①若点的坐标为，求该抛物线顶点的坐标； ②若，且点在抛物线上，求抛物线的解析式； (2)当时，点为第一象限的动点，，连接．当取得最小值，且点在抛物线上时，求的值． 14．(24-25九上·天津南开区美达菲学校·月考)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，正方形的顶点A的坐标为，点B在第一象限，点C在y轴正半轴上． (1)如图①，点B的坐标为 ，点C的坐标为 ； (2)将正方形绕点O逆时针旋转，得到正方形，A，B，C的对应点分别为，，．旋转角为．的延长线交x轴于点D，与y轴交于点E． ①如图②，当时，点的坐标为 ，点E的坐标为 ； ②如图③，在旋转过程中，连接，设，的面积为S，求S关于m的函数表达式，并直接写出m的取值范围． 15．(23-24九上·天津河北区·期末)在平面直角坐标系中，为原点，点，点，把绕点逆时针旋转得到，点A、旋转后的对应点为、，记旋转角为． (1)如图①，若，求的长； (2)如图②，若，求点的坐标； (3)如图③，P为AB上一点，且，连接、，在绕点B逆时针旋转一周的过程中，求的面积的最大值和最小值（直接写出结果可）． 16．(24-25九上·天津静海区·期末)在平面直角坐标系中，O为原点，点A(4，0)，点B(0，3)，把ABO绕点B逆时针旋转，得，点A，O旋转后的对应点为，，记旋转角为α． (1)如图①，若α＝90°，求的长； (2)如图②，若α＝120°，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，边OA上 的一点P旋转后的对应点为，当P+B取得最小值时，求点的坐标（直接写出结果即可） 17．(24-25九上·天津和平区·期末)已知，，将绕点B旋转得到，点A的对应点为，点C的对应点为，连接． (1)如图，将绕点B逆时针旋转，求的长； (2)当点落直线上时，求的长； (3)连接，直线与直线相交于点D，在旋转过程中，线段的最大值为_____（直接写出结果即可）﹒ 18．(24-25九上·天津河北区第二中学·期末)在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点，点，点．以点A为中心，顺时针旋转矩形，得到矩形，点O，B，C的对应点分别为D，E，F，记旋转角为． (1)如图1，当时，求点D的坐标； (2)如图2，当点E落在的延长线上时，求点D的坐标； (3)当点D落在线段上时，直接写出点E的坐标． 19．(24-25九上·天津河北区·期末)如图，在平面直角坐标系中，的顶点为原点，点，分别在轴，轴上，且，将绕点逆时针旋转得到，旋转角记为，点为中点，点，，的对应点分别为点，，，点的坐标为． (1)如图①，点的坐标为___________，若，点位于第二象限时，点的坐标为___________； (2)如图②，若，点位于第二象限时，求点的坐标； (3)在旋转过程中，点，的距离取到最大值时，求点，的距离及点的坐标（直接写出结果即可） 20．(24-25九上·天津红桥区·期末)在平面直角坐标系中，点，，．将正方形绕点逆时针旋转，得正方形，点，，的对应点分别为，，．记旋转角为，且． (1)如图①，当时，求点和点的坐标； (2)如图②，当时，分别与轴，相交于点，，求点和点的坐标； (3)若直线与相交于点F，求的大小（直接写出结果即可）． 2 / 63 1 / 63 学科网（北京）股份有限公司 $