专题05 二次函数与几何图形的综合应用-【寒假分层作业】2025年九年级数学寒假培优练（人教版）

专题05 二次函数与几何图形的综合应用 内容早知道 ☛第一层 巩固提升练 题型一 线段或面积的最值问题 题型二 特殊三角形的存在性问题 题型三 平行四边形的存在性问题 题型四 角度问题 ☛第二层 能力培优练 ☛第三层 中考真题练 线段最值问题 ⭐技巧积累与运用 求线段的最值问题，一般建立二次函数模型表示线段的长度，然后将其化为顶点式求最值。 求基本线段（平行于y轴）最值的具体步骤： ①求出动点所在的两个函数表达式。即二次函数解析式与一次函数解析式； ②设其中一个函数图像（二次函数）上的动点坐标（）； ③过点作x轴的垂线交一次函数图像与一点，其坐标设为（）； ④得出线段长度表达式 ⑤将④l关于x的二次函数化为顶点式，求最值。 （1） 若所求线段不是基本线段，不平行于y轴，则借助一次函数与x的夹角得出所求线段与平行于y轴的线段之间的关系。 （2） 若求的是三角形的面积最值，两定点的坐标为和，则面积表达式表示为：，再求该二次函数的最值。 1．如图，二次函数的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点D．已知抛物线的对称轴为x＝2，点D的坐标为（0，5），点B的坐标为（5，0）． （1）求二次函数的解析式； （2）P是线段BD上的一个动点，过P点作x轴的垂线，交抛物线于点M，当点P在第一象限内时，求线段PM长度的最大值． 【分析】（1）可设抛物线解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0），利用待定系数法求解即可； （2）利用待定系数法可求得直线BD解析式，设出P点坐标，从而可表示出PM的长度，利用二次函数的性质可求得其最大值． 【解答】解：（1）二次函数的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点D．已知抛物线的对称轴为x＝2，点D的坐标为（0，5），点B的坐标为（5，0）．设抛物线解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0），代入得： ， 解得：， ∴抛物线解析式为y＝﹣x2+4x+5； （2）∴D点坐标为（0，5）， ∴设直线BD解析式为y＝kx+5，把B点坐标代入得： 5k+5＝0， 解得k＝﹣1， ∴直线BD解析式为y＝﹣x+5， 设P点横坐标为m（m＞0），则P（m，﹣m+5），M（m，﹣m2+4m+5）， ∴， ∴当，PM长度的最大值为． 2. 如图1，抛物线y＝ax2+bx+2与x轴交于A（﹣3，0）、B（1，0）两点，交y轴于点C．连接AC． （1）求抛物线的解析式； （2）若点D是抛物线上第二象限上一点，过D点作DE⊥AC于E，当DE有最大值时，求D点坐标； 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）由DE＝DH•cos∠HDE，故当DH最大时，DE最大，即可求解； 【解答】解：（1）由题意得：y＝a（x+3）（x﹣1）＝a（x2+2x﹣3）＝ax2+bx+2， 则a＝﹣， 则抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣x+2； （2）过点D作DN⊥x轴于点N，交AC于点H， 由抛物线的表达式知，点C（0，2）， 由点C、B的坐标得直线BC的表达式为：y＝x+2，tan∠CAB＝＝tan∠HDE， 则cos∠HDE＝， 则DE＝DH•cos∠HDE， 故当DH最大时，DE最大， 设点D（x，﹣x2﹣x+2），点H（x，x+2）， 则DH＝﹣x2﹣x+2﹣（x+2）＝﹣x2﹣2x， ∵， 故DH有最大值， 此时x＝﹣＝﹣， 则y＝﹣x2﹣x+2＝， 则点D（﹣，）； 特殊三角形的存在问题 ⭐技巧积累与运用 解决特殊三角形的存在性问题，一定先确定构成三角形的几个点，并且确定他们所在的函数的函数表达式。通常为两定点和一动点。若两定点的坐标为和，动点在二次函数图像上，则解决该题型的具体步骤为： （1） 求出相应的二次函数表达式； （2） 设动点坐标； （3） 根据两点之间的距离公式表示出三边的距离PA，PB以及AB。 ①若特殊三角形时等腰三角形：则有PA＝PB或PA＝AB，PB＝AB ②若特殊三角形时直角三角形：则有或或 解方程得出相应的坐标。 1．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过B（﹣3，0），C（0，3）两点，与x轴的另一个交点为A． （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线对称轴上找一点E，使得AE+CE的值最小，直接写出点E的坐标； （3）设点P为x轴上的一个动点，是否存在使△BPC为等腰三角形的点P，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由． 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）点A、B关于对称轴l对称，则BC与对称轴l的交点即为所求的点E，进而求解； （3）求得BC的长，分B为顶点、C为顶点、BC底边三种情况讨论，进而求解． 【解答】解：（1）已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过B（﹣3，0），C（0，3）两点，将点B，点C的坐标代入得： ， 解得， 故抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3； （2）∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4， ∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1， ∵点A、B关于直线l对称， ∴BC与对称轴l的交点即为点E，如图， 则此时AE+CE＝BE+CE＝BC为最小， 设直线BC的解析式为y＝mx+n，将点B，点C的坐标代入得： ， 解得， ∴直线BC的解析式为y＝x+3； 当x＝﹣1时，y＝x+3＝2， ∴点E（﹣1，2）； （3）∵B（﹣3，0），C（0，3）， ∴OB＝OC＝3， ∴， 当B为顶角的顶点时， 则， ∴点P的坐标为或； 当C为顶角的顶点时， 则PC＝BC， ∴点P与点B关于y轴对称， ∴点P的坐标为（3，0）； 当BC为底边时， 则PC＝PB，即点P在线段BC的垂直平分线上， ∴点P的坐标为（0，0）； 综上，点P的坐标为（0，0）或（3，0）或或． 2．如图，已知抛物线y＝ax2+bx﹣2（a≠0）经过点A（﹣3，2），与y轴交于点B，其对称轴为直线，为y轴上一点，直线AC与抛物线交于另一点D． （1）求抛物线的函数表达式； （2）试在线段AD下方的抛物线上求一点E，使得△ADE的面积最大，并求出最大面积； （3）在抛物线的对称轴上是否存在一点F，x轴上一点N，使得△DNF是等腰直角三角形？如果存在，求点F的坐标；如果不存在，请说明理由． 【分析】（1）根据对称轴可知b＝﹣5a，再将点A（﹣3，2）代入y＝ax2﹣5ax﹣2中，求出a的值即可确定函数的解析式； （2）过点E作EG∥y轴交AC于点G，设E（x，x2﹣x﹣2），则G（x，﹣x+），EG＝﹣x+﹣x2+x+2，则S△ADE＝×8（﹣x+﹣x2+x+2）＝﹣（x﹣1）2+，即可求解； （3）设N（x，0），分三种情况讨论：当∠FND＝90°，NF＝DN时，过点N作HI⊥x轴，过点F作FH⊥HI交于H点，过点D作DI⊥HI交于点I，证明△FHN≌△NID（AAS），得到|x﹣|＝2，求出x的值再求F点坐标即可；当∠FDN＝90°，DF＝DN时，过点K作KL∥x轴交对称轴于点K，过点N作NL⊥KL交于L点，同理可证△FKD≌△DLN（AAS），此情况不存在；当∠NFK＝90°，NF＝FD，过F点作TS∥x轴，过点N作TN⊥TS交于点T，过点D作DS⊥TS交于点S，同理可证△FNT≌△DFS（AAS），即可求解． 【解答】解：（1）由题意得：， 解得： ∴y＝x2﹣x﹣2； （2）由点A、C的坐标得，直线AC的表达式为：y＝﹣x+， 联立上式和抛物线的表达式得：﹣x+＝x2﹣x﹣2， 解得：x＝﹣3（舍去）或5， ∴D（5，﹣2）， 过点E作EG∥y轴交AC于点G， 设E（x，x2﹣x﹣2），则G（x，﹣x+）， ∴EG＝﹣x+﹣x2+x+2， ∴S△ADE＝×8（﹣x+﹣x2+x+2）＝﹣（x﹣1）2+， ∵﹣3＜x＜5， ∴当x＝1时，△ADE的面积最大为， 此时E（1，﹣）； （3）存在一点F，x轴上一点N使得△DNF是等腰直角三角形，理由如下： ∵抛物线对称轴为直线x＝， 设N（x，0）， 如图1：当∠FND＝90°，NF＝DN时，过点N作HI⊥x轴，过点F作FH⊥HI交于H点，过点D作DI⊥HI交于点I， ∵∠FND＝90°， ∴∠FNH+∠DNI＝90°， ∵∠FNH+∠HFN＝90°， ∴∠DNI＝∠HFN， ∴△FHN≌△NID（AAS）， ∴FH＝NI＝2，HN＝ID， ∴|x﹣|＝2， 解得x＝或x＝， 则DI＝5﹣＝或DI＝5﹣＝， 则F（，）或（，）； 如图2，当∠FDN＝90°，DF＝DN时，过点K作KL∥x轴交对称轴于点K，过点N作NL⊥KL交于L点， 同理可证△FKD≌△DLN（AAS）， ∴NL＝KD＝2，DL＝FK， ∵KD＝5﹣＝≠2， ∴此情况不存在； 如图3，当∠NFK＝90°，NF＝FD，过F点作TS∥x轴，过点N作TN⊥TS交于点T，过点D作DS⊥TS交于点S， 同理可证△FNT≌△DFS（AAS）， ∴NT＝SF，DS＝TF， ∴NT＝， ∴F（，﹣）； 综上所述：F点坐标为（，）或（，）或（，﹣）． 平行四边形的存在性问题 ⭐技巧积累与运用 解决平行四边形的存在性问题，一定先确定构成平行四边形的几个点以及确定他们所在的函数的函数表达式。通常为两定点和两动点。明确四个点的坐标，若四个点没有顺序要求，则两两作为对角线，利用中点坐标公式建立方程，得到的中点坐标是相等的从而解出点的坐标。 1．已知抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C． （1）求a，b的值； （2）直线l∥BC，且直线l与抛物线只有一个交点． ①求直线l的表达式； ②设直线l与抛物线的交点为D，在平面内是否存在点P，使以A，C，D，P为顶点的四边形是平行四边形？若不存在，说明理由；若存在，求出点P的坐标． 【分析】（1）根据待定系数法求解抛物线的解析式即可； （2）①先求出BC的斜率，根据平行线的斜率相同，假设直线l的表达式，再根据l与抛物线只有一个交点求解即可； ②求出点D的坐标，根据四边形的对角线情况进行分类讨论即可． 【解答】解：（1）将A，B的坐标代入抛物线解析式： ， 解得：a＝﹣1，b＝2； （2）由（1）知，抛物线解析式为：y＝﹣x2+2x+3， 令x＝0，则y＝3， ∴C（0，3）， ∴kBC＝﹣1， ∵l∥BC， ∴设l的表达式为：y＝﹣x+m， 联立直线l与抛物线： ， 整理得：x2﹣3x+m﹣3＝0 ∵直线l与抛物线只有一个交点， ∴Δ＝9﹣4（m﹣3）＝0， 解得：m＝， ∴直线l的表达式为：y＝﹣x+； ②存在， 由①可知，D（，）， ∵A（﹣1，0），C（0，3）， ∴直线AC的解析式为：y＝3x+3， ∴D不在直线AC上， ∴P一定存在， 设P（s，t）， i．当四边形ACDP为平行四边形时， 由平行四边形的性质可知，CP和AD互相平分， ∴＝，＝， ∴s＝，t＝， ∴P（，）， ii．当四边形CADP为平行四边形时，CD和AP互相平分， ∴＝，＝， ∴s＝，t＝， ∴P（，）， iii．当四边形ADCP为平行四边形时，AC和DP互相平分， ∴＝，＝， ∴s＝﹣，t＝﹣， ∴P（﹣，﹣）， 综上所述，P点坐标为（，）或（，）或（﹣，﹣）． 角度问题 ⭐技巧积累与运用 解决角度问题时，一般利用三角形全等，三角形相似，等腰三角形，直角三角形等的性质进行求解。 1．如图，抛物线 y＝﹣x2+bx+c经过A（4，0），C（﹣1，0）两点，与y轴交于点B，P为第一象限抛物线上的动点，连接AB，BC，PA，PC，PC与AB相交于点Q． （1）求抛物线的解析式： （2）设△APQ的面积为S1，△BCQ的面积为S2，当 S1﹣S2＝5 时，求点P的坐标； （3）是否存在点P，使∠PAB+∠CBO＝45°，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，说明理由． 【分析】（1）利用待定系数法确定函数解析式； （2）根据图形得到：S1+S△AQC＝S2+S△AQC+5，即S△APC＝S△ABC+5．运用三角形的面积公式求得点P的纵坐标y＝6，然后由二次函数图象上点的坐标特征求得点P的横坐标即可； （3）在x轴的正半轴上取点E（1，0），连接BE，过点A作AP∥BE交抛物线于另一点P，易证△BOC≌△BOE，利用已知条件可求出B（0，4），E（1，0），进而求出直线BE，直线AP的解析式，求两条直线的交点即可． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（4，0），C（﹣1，0）两点， ∴． 解得． ∴抛物线的解析式是y＝﹣x2+3x+4； （2）设P（x，y），对于抛物线y＝﹣x2+3x+4．令x＝0，则y＝4， ∴B（0，4）． ∵S1﹣S2＝5， ∴S1＝S2+5． ∴S1+S△AQC＝S2+S△AQC+5，即S△APC＝S△ABC+5． ∴＝+5． ∴y＝6． ∴﹣x2+3x+4＝6． 解得x1＝1，x2＝2． ∴点P的坐标是（1，6）或（2，6）． （3）存在，使∠PAB+∠CBO＝45°，点P的坐标是（3，4）， 理由：在x轴的正半轴上取点E（1，0），连接BE，过点A作AP∥BE交抛物线于另一点P， ∵C﹣1，0），E（1，0）， ∴OC＝0E＝1， 在△BOC和△BOE中， ， ∴△BOC≌△BOE（SAS）， ∴∠CBO＝EBO， ∵AP∥BE， ∴∠ABE＝∠PAB， ∴∠PAB+∠CBO＝∠ABE+∠EBO＝∠ABO， ∵OA＝OB＝4，∠AOB＝90°， ∴∠ABO＝45°， ∴∠PAB+∠CBO＝45°， 设直线BE的解析式为y＝kx+d，把B（0，4），E（1，0）代入得， 解得：， ∴直线BE的解析式为y＝﹣4x+4， ∵AP∥BE， ∴设直线AP的解析式为y＝﹣4x+f， 将A（4，0）代入得0＝﹣16+f， 解得：f＝16， ∴直线AP的解析式为y＝﹣4x+16， 由﹣x2+3x+4＝﹣4x+16， 解得：x1＝3，x2＝4（不符合题意，舍去）， ∴P（3，4）． 1．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（3，0）与点C（0，3）． （1）求抛物线对应的函数解析式，并写出抛物线与x轴的交点B的坐标； （2）点P在线段AC上，过点P作x轴的垂线与抛物线交于点Q，直线PQ交x轴于点M，连接CQ，OP，如果S△CPQ＝2S△OPM，求PM的长； （3）探究抛物线的对称轴上是否存在一点E，使得以点E，B，C为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的点的坐标，若不存在，请说明理由． 【分析】（1）用待定系数法求函数解析式即可； （2）设点P的横坐标为m，则Q（m，﹣m2+2m+3），M（m，0），用待定系数法求出直线AC的解析式，从而得出点P坐标，根据S△CPQ＝2S△OPM，列出关于m的方程，解方程即可； （3）由y＝﹣x2+2x+3得抛物线的对称轴为x＝﹣＝1，设点E的坐标为（1，a），利用勾股定理得出BE，BC，CE的长，分三种情况根据等腰三角形的性质即可求解． 【解答】解：（1）将A（3，0），点C（0，3）代入抛物线y＝﹣x2+bx+c得： ， 解得， ∴抛物线对应的函数解析式为y＝﹣x2+2x+3， 令y＝0，则﹣x2+2x+3＝0， 解得x1＝﹣1，x2＝3， ∴抛物线与x轴的交点B的坐标为（﹣1，0）； （2）设点P的横坐标为m，则Q（m，﹣m2+2m+3），M（m，0）， 设直线AC的解析式为y＝kx+n， 将A（3，0），C（0，3）代入得， 解得， ∴直线AC的解析式为y＝﹣x+3， ∴P（m，﹣m+3）， ∴PQ＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m，PM＝﹣m+3， ∵S△CPQ＝2S△OPM， ∴PQ•OM＝2×OM•PM， ∴PQ＝2PM， 即﹣m2+3m＝2（﹣m+3）， 解得m＝2或3（舍去）， ∴PM＝﹣m+3＝1； （3）如图： ∵y＝﹣x2+2x+3， ∴抛物线的对称轴为x＝﹣＝1， 设点E的坐标为（1，a）， ∵B（﹣1，0），C（0，3）， ∴BC2＝12+32＝10， BE2＝22+a2＝4+a2， CE2＝12+（a﹣3）2＝a2﹣6a+10， 当BC＝BE时，4+a2＝10， 解得a＝±， ∴点E的坐标为（1，）或（1，﹣）； 当BC＝CE时，a2﹣6a+10＝10， 解得a＝0或6（此时，点B、C、E在同一直线上，舍去）， ∴点E的坐标为（1，0）； 当CE＝BE时，4+a2＝a2﹣6a+10， 解得a＝1， ∴点E的坐标为（1，1）； 综上，存在，点E的坐标为（1，）或（1，﹣）或（1，0）或（1，1）． 2．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（﹣2，0）、B（8，0）两点，与y轴交于点C（0，4），连接AC、BC． （1）求抛物线的表达式； （2）D为抛物线上第一象限内一点，求△DCB面积的最大值； （3）点P是抛物线上的一动点，当∠PCB＝∠ABC时，求点P的坐标． 【分析】（1）利用待定系数法解答即可； （2）过点D作DE∥y轴交BC于点E，利用三角形的面积公式即可求得结论； （3）利用分类讨论的思想方法分两种情况讨论解答：①当点P在BC上方时，利用平行线的判定与性质可得点C，P的纵坐标相等，利用抛物线的解析式即可求得结论；②当点P在BC下方时，设PC交x轴于点H，设HB＝HC＝m，利用等腰三角形的判定与性质和勾股定理求得m值，则点H坐标可求；利用待定系数法求得直线PC的解析式，与抛物线解析式联立即可求得点P坐标． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（﹣2，0）、B（8，0）两点，与y轴交于点C（0，4）， ∴， 解得：， ∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+x+4； （2）如图，过点D作DE∥y轴交BC于点E，交x轴于点F， ∵B（8，0），C（0，4）， ∴直线BC解析式为y＝﹣x+4， 设D（m，﹣m2+m+4）， 则E（m，﹣m+4）， ∵D为抛物线上第一象限内一点， ∴DE＝DF﹣EF＝（﹣m2+m+4）﹣（﹣m+4）＝﹣m2+2m， ∴△DCB面积＝8×DE＝4（﹣m2+2m）＝﹣m2+8m＝﹣（m﹣4）2+16， ∴当m＝4时，△DCB面积最大，最大值为16； （3）①当点P在BC上方时，如图， ∵∠PCB＝∠ABC， ∴PC∥AB， ∴点C，P的纵坐标相等， ∴点P的纵坐标为4， 令y＝4，则﹣x2+x+4＝4， 解得：x＝0或x＝6， ∴P（6，4）； ②当点P在BC下方时，如图， 设PC交x轴于点H， ∵∠PCB＝∠ABC， ∴HC＝HB． 设HB＝HC＝m， ∴OH＝OB﹣HB＝8﹣m， 在Rt△COH中， ∵OC2+OH2＝CH2， ∴42+（8﹣m）2＝m2， 解得：m＝5， ∴OH＝3， ∴H（3，0）． 设直线PC的解析式为y＝kx+n， ∴， 解得：， ∴y＝﹣x+4， ∴， 解得：，， ∴P（，﹣）． 综上所述，点P的坐标为（6，4）或（，﹣）． 3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，OA＝OC＝3． （1）求抛物线的解析式； （2）点D在抛物线的对称轴上，若BD+CD的值最小，求点D的坐标； （3）若点P是抛物线上的一点，当点P在直线AC上方的抛物线上运动时，△APC的面积是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值，并写出此时P点的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）点B关于抛物线的对称点为点A，则AC交抛物线对称轴于点D，则此时，BD+CD的值最小，进而求解； （3）过点P作PH∥y轴交AC于点H，由题意可设点P（x，﹣x2﹣2x+3），则点H（x，x+3），由铅垂法可得△APC 面积＝，然后问题可求解． 【解答】解：（1）∵OA＝OC＝3，则点A、C的坐标分别为：（﹣3，0）、（0，3），将A，C的坐标代入抛物线y＝﹣x2+bx+c得： ， 解得：， ∴抛物线的表达式为y＝﹣x2﹣2x+3； （2）点B关于抛物线的对称点为点A，则AC交抛物线对称轴于点D，则此时，BD+CD的值最小； 如图1，BD+CD＝AD+CD＝AC为最小； 设直线AC的表达式为：y＝kx+b，将点A、C的坐标代入得： ， 解得：， ∴直线AC的表达式为y＝x+3，抛物线的对称轴为直线， 当x＝﹣1时，y＝2，即点D的坐标为（﹣1，2）； （3）△APC的面积存在最大值；理由如下： 过点P作PH∥y轴交AC于点H，如图2， 由（2）可得直线AC的表达式为y＝x+3， 设点P（x，﹣x2﹣2x+3），则点H（x，x+3）， ∴PH＝﹣x2﹣2x+3﹣x﹣3＝﹣x2﹣3x，△APC的水平宽为3， ∴△APC面积＝， ∴当时，△APC的面积最大，最大值为， 此时点． 4．如图，直线y＝x+2与x轴，y轴分别交于点A，C，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A，C两点，与x轴的另一交点为B，点D是抛物线上一动点． （1）求抛物线的解析式； （2）当点D在直线AC上方时，连接BC，CD，BD，BD交AC于点E，令△CDE的面积为S1，△BCE的面积为S2，求的最大值； （3）点F是该抛物线对称轴上一动点，是否存在以点B，C，D，F为顶点的平行四边形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）根据一次函数得到A（﹣4，0），C（0，2）代入y＝﹣x2+bx+c，于是得到结论； （2）令y＝0，解方程得到x1＝﹣4，x2＝1，求得B（1，0），过D作DM⊥x轴于M，过B作BN⊥x轴交于AC于N，根据相似三角形的性质即可得到结论； （3）根据BC为边和BC为对角线，由平行四边形的性质即可得到点D的坐标． 【解答】解：（1）令y＝x+2＝0，得x＝﹣4， 令x＝0，得y＝2， ∴A（﹣4，0），C（0，2）， ∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A．C两点， ∴， 解得：， ∴y＝﹣x2﹣x+2； （2）如图1，过D作DM⊥x轴交AC于M，过B作BN⊥x轴交AC于N， 令y＝﹣x2﹣x+2＝0， 解得：x1＝﹣4，x2＝1， ∴B（1，0）， ∴DM∥BN， ∴△DME∽△BNE， ∴S1：S2＝DE：BE＝DM：BN， 设D（a，﹣a2﹣a+2）， ∴M（a，a+2）， ∵B（1，0）， ∴N（1，）， ∴＝DM：BN＝（﹣a2﹣2a）：＝﹣（a+2）2+； ∴当a＝﹣2时，的最大值是； （3）∵y＝﹣x2﹣x+2， ∴对称轴为直线x＝＝， 设D（t，﹣t2﹣t+2），F（，s）， ①若四边形为平行四边形BCDF， 则， ∴， 解得：t＝﹣，﹣t2﹣t+2＝， ∴D的坐标为（﹣，）； ②若四边形为平行四边形BCFD， 则， ∴， 解得：t＝﹣，﹣t2﹣t+2＝， ∴D的坐标为（﹣，）； ③若四边形为平行四边形BDCF， 则， ∴， 解得：t＝，﹣t2﹣t+2＝， ∴D的坐标为（，）； 综上，D的坐标为（﹣，）或（﹣，）或（，）． 5．如图①，已知抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C． （1）求该抛物线的表达式； （2）若点D是抛物线上第一象限内的一个动点，连接CD，BD，BC，AC．当△BCD的面积等于△AOC面积的2倍时，求点D的坐标； （3）抛物线上是否存在点P，使得∠CBP+∠ACO＝∠ABC？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）用待定系数法即可求解； （2）由△BCD的面积＝DE×BO＝，即可求解； （3）分点P在BC左侧和点P在BC由此两种情况，利用正方形得判定及性质以及二次函数得图象及性质，进而求解． 【解答】解：（1）把A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝ax2+bx+3（a≠0）中，得： ， 解得：， ∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3； （2）过点D作y轴平行线交x轴于E，交BC于点F，作CG⊥DE于点G，如图1， 把x＝0代入y＝﹣x2+2x+3中，得：y＝3， ∴C点坐标是（0，3）， 设直线BC：y＝kx+q， 把B（3，0），C（0，3）代入y＝kx+q，代入得： ， 解得：， ∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3； 设D（m，﹣m2+2m+3），则F（m，﹣m+3）， ∴DF＝（﹣m2+2m+3）﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m， 由S△BCD＝2S△AOC得：， ∴， 整理得：m2﹣3m+2＝0， 解得：m1＝1，m2＝2， ∵0＜m＜3， ∴m的值为1或2， 当m＝1时，﹣m2+2m+3＝﹣12+2+3＝4， 当m＝2时，﹣m2+2m+3＝﹣4+4+3＝3， ∴点D的坐标为（1，4）或（2，3）； （3）抛物线上是否存在点P，使得∠CBP+∠ACO＝∠ABC；理由如下： 由C（0，3），B（3，0）得OB＝OC， ∴∠OBC＝45°， ①当点P在BC左侧时．如图2， 在y轴上取点M（0，1），延长BM交抛物线于点P． 在△AOC和△BOM中， ， ∴△AOC≌△BOM（SAS）， ∴∠ACO＝∠ABM， ∴∠CBP+∠ACO＝∠CBM+∠OBM＝∠ABC， 设直线BM的解析式为y＝kx+b， 将B（3，0），M（0，1）代入，得： ， 解得：， ∴设直线BM的解析式为y＝x+1， 由得：或， ∴； ②当点P在BC右侧时，如图2， 作△BOC关于BC的对称△CBN，CN交二次函数y＝﹣x2+2x+3于点P2，则∠CBN＝∠CBO＝45°，∠N＝∠BOC＝90°，∠BCO＝∠BCN＝45°， ∴∠OCN＝∠N＝∠OBN＝90°， ∵OC＝OB， ∴四边形OCNB是正方形， ∴BN＝3， 令y＝﹣x2+2x+3中，y＝3，则﹣x2+2x+0， 解得x＝0或x＝2， ∴P2（2，3），P2N＝3﹣2＝1＝OM， ∵OB＝NB，∠BOM＝∠BNP2＝90°， 在△BOM和△BNP2中， ， ∴△BOM≌△BNP2（SAS）， ∴∠OBM＝∠NBP2， ∴∠CBP2+∠ACO＝∠CBP2+∠BOM＝∠CBP2+∠NBP2＝45°＝∠ABC， ∴在点P2抛物线上，即点P2满足条件∠CBP+∠ACO＝∠ABC． 故存在满足条件的点P有两个，分别是P1（，），P2（2，3）． 1．（2024•绵阳）如图，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（﹣3，0）和B（1，0），与y轴交于点C，连接AC和BC，点P在抛物线上运动，连接AP，BP和CP． （1）求抛物线的解析式，并写出其顶点坐标； （2）点P在抛物线上从点A运动到点C的过程中（点P与点A，C不重合），作点P关于x轴的对称点P1，连接AP1，CP1，记△ACP1的面积为S1，记△BCP的面积为S2，若满足S1＝3S2，求△ABP的面积； （3）在（2）的条件下，试探究在y轴上是否存在一点Q，使得∠CPQ＝45°？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）由待定系数法求出函数表达式，进而求解； （2）由S1＝P1E×OA＝3×（m+3﹣m2﹣2m+3）＝（﹣m2﹣m+6），同理可得：S2＝CD×（xB﹣xP）＝（3﹣m﹣3）×（1﹣m）＝S1＝（﹣m2﹣m+6），求出点P的坐标，进而求解； （3）当点Q在点C的上方时，则∠CPQ＝45°，用解直角三角形的方法求出CQ，即可求解；点Q（Q′）在点C下方时，同理可解． 【解答】解：（1）由题意得：y＝a（x+3）（x﹣1）＝a（x2+2x﹣3）＝ax2+2ax﹣3a＝ax2+bx+3， 则﹣3a＝3，则a＝﹣1， 则抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣2x+3， 该抛物线的对称轴为直线x＝﹣1， 当x＝﹣1时，y＝4，即顶点坐标为：（﹣1，4）； （2）由抛物线的表达式知，点C（0，3）， 设点P（m，﹣m2﹣2m+3），则点P1（m，m2+2m﹣3）， 由点A、C的坐标得，直线AC的表达式为：y＝x+3，则点E（m，m+3）， 同理由点B、P的坐标得，直线PB的表达式为：y＝（﹣m﹣3）x+m+3， 连接PP1交AC于点E，设直线PB交y轴于点D，则点D（0，m+3）， 则S1＝P1E×OA＝3×（m+3﹣m2﹣2m+3）＝（﹣m2﹣m+6）， 同理可得：S2＝CD×（xB﹣xP）＝（3﹣m﹣3）×（1﹣m）＝S1＝（﹣m2﹣m+6）， 解得：m＝（舍去）或﹣， 即点P（﹣，2）； 则△ABP的面积＝AB×yP＝（1+3）×2＝4； （3）存在，理由： 由（2）知，P（﹣，2）； 由点C、P的坐标得，PC＝3﹣； 当点Q在点C的上方时，则∠CPQ＝45°， 由点C、P的坐标得，tan∠PCQ＝2﹣， 过点Q作QH⊥PC于点H， 设CH＝（2﹣）x，则PH＝QH＝x， 则PC＝3﹣＝（2﹣）x+x， 解得：x＝， 则QH＝x＝，CH＝（2﹣）， 则CQ＝＝2﹣2， 则OQ＝3+2﹣2＝2+1， 即点Q（0，2+1）； 当点Q（Q′）在点C下方时， 同理可得：CQ′＝6﹣2， 则点Q′（0，2﹣3）； 综上，Q（0，2+1）或（0，2﹣3）． 2．（2024•西宁）如图，二次函数的图象与x轴交于点A（﹣3，0），与y轴交于点B，顶点C的坐标为（﹣2，﹣1）． （1）求二次函数的解析式． （2）判断△ABC的形状，并说明理由． （3）在直线AB上方的抛物线上是否存在一点P，使S△PAB＝2S△ABC？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）设二次函数解析式为y＝a（x﹣h）2+k（a≠0），将顶点C（﹣2，﹣1）代入解析式得y＝a（x+2）2﹣1，进而可以解决问题； （2）过点C作CD⊥y轴于点D，过点A作AE⊥CD于点E，然后根据勾股定理的逆定理即可解决问题； （3）设点P的坐标为（m，m2+4m+3），过点P作PH⊥AB，垂足为H，过点P作PQ∥y轴交直线AB于点Q，求出直线AB的解析式为y＝x+3，得点Q的坐标为（m，m+3），得PQ＝m2+4m+3﹣（m+3）＝m2+3m＝4，得m1＝1，m2＝﹣4，进而解决问题． 【解答】解：（1）设二次函数解析式为y＝a（x﹣h）2+k（a≠0）， 将顶点C（﹣2，﹣1）代入解析式得y＝a（x+2）2﹣1， ∵二次函数的图象与x轴交于点A（﹣3，0）， ∴0＝a（﹣3+2）2﹣1， 解得a＝1， ∴二次函数解析式为y＝（x+2）2﹣1； （2）△ABC是直角三角形，理由如下： 抛物线y＝（x+2）2﹣1与y轴的交点， 当x＝0时，y＝3， ∴B（0，3）， 如图1，过点C作CD⊥y轴于点D， ∴D（0，﹣1）， 过点A作AE⊥CD于点E， ∴E（﹣3，﹣1）， ∵A（﹣3，0），C（﹣2，﹣1）， ∴AB2＝OB2+OA2＝32+32＝18，AC2＝AE2+CE2＝12+12＝2，BC2＝CD2+BD2＝22+42＝20， ∴AB2+AC2＝20， ∴AB2+AC2＝BC2， ∴△ABC是直角三角形； （3）存在，理由如下： y＝（x+2）2﹣1＝x2+4x+3， 设点P的坐标为（m，m2+4m+3）， 过点P作PH⊥AB，垂足为H，过点P作PQ∥y轴交直线AB于点Q， 设直线AB的解析式为y＝kx+b（k≠O），将A（﹣3.0），B（0，3）代入得， ， 解得， ∴直线AB的解析式为y＝x+3， ∴点Q的坐标为（m，m+3）， ∵S△PAB＝2S△ABC， ∴AB•PH＝2×AB•AC， ∴PH＝2AC＝2， 在Rt△AOB中，OA＝OB， ∴∠ABO＝∠BAO＝45°， ∵PQ∥y轴， ∴∠PQH＝∠ABO＝45°， 在Rt△PQH中， ∵sin45°＝， ∴PQ＝＝4， ∴PQ＝m2+4m+3﹣（m+3）＝m2+3m＝4， 解得m1＝1，m2＝﹣4， 当m＝1时，m2+4m+3＝8， ∴P（1，8）， 当m＝﹣4时，m2+4m+3＝3， ∴P2（﹣4，3）， ∴所有符合条件的点P的坐标是（1，8），（﹣4，3）． 3．（2024•泸州）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（3，0），与y轴交于点B，且关于直线x＝1对称． （1）求该抛物线的解析式； （2）当﹣1≤x≤t时，y的取值范围是0≤y≤2t﹣1，求t的值； （3）点C是抛物线上位于第一象限的一个动点，过点C作x轴的垂线交直线AB于点D，在y轴上是否存在点E，使得以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形？若存在，求出该菱形的边长；若不存在，说明理由． 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）当﹣1≤x≤t时，x＝﹣1时，y取得最小值，则x＝t时，y取得最大值，即可求解； （3）由抛物线的表达式知，点B（0，3），如图，B，C，D，E为顶点的四边形是菱形时，存在点E在点B上方和下方两种情况，分别求解即可． 【解答】解：（1）A（3，0），抛物线的对称轴为直线x＝1，则抛物线和x轴的另外一个交点为：（﹣1，0）， 则抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣3）＝ax2+bx+3， 解得：a＝﹣1， 则抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3； （2）由题意得﹣1≤x≤t， 当﹣1＜t＜1时，则﹣1≤x≤t， x＝﹣1时，y＝﹣x2+2x+3＝0，取得最小值， 则x＝t时，2t﹣1＝﹣t2+2t+3， 解得：t＝﹣2或2，均不符合题意； 当1≤t＜3时， 则抛物线的顶点处取得最大值， 抛物线的顶点坐标为：（1，4）， 即2t﹣1＝4， 解得：t＝2.5； （3）存在，理由： 由抛物线的表达式知，点B（0，3）， ①当BC为菱形对角线时，对应菱形为BDCE′， 则BD＝CD， 由点A、B的坐标得，直线AB的表达式为：y＝﹣x+3， 设点C（x，﹣x2+2x+3），点D（x，﹣x+3）， 则CD＝﹣x2+2x+3﹣（﹣x+3）＝﹣x2+3x，BD＝x，BC＝， ∴﹣x2+3x＝x， 解得：x＝3﹣或x＝0（舍去）， 则BD＝x＝3﹣2， 即菱形的边长为：3﹣2． ②当BD为菱形的对角线时对应菱形为菱形BCDE， 则CD＝BC， ∴﹣x2+3x＝， 解得：x＝2或x＝0（舍去）， 则CD＝﹣x2+3x＝﹣22+3×2＝2， 即菱形的边长为：2． 综上，菱形的边长为：3﹣2或2． 4．（2024•甘南州）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣5（a≠0）交x轴于A，C两点，交y轴于点B，5OA＝OB＝OC． （1）求此抛物线的表达式； （2）已知抛物线的对称轴上存在一点M，使得△ABM的周长最小，请求出点M的坐标； （3）连接BC，点P是线段BC上一点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，求当四边形OBQP为平行四边形时点P的坐标． 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）点A关于抛物线对称轴得对称点为点C，则BC交抛物线的对称轴于点M，此时△ABM的周长最小，即可求解； （3）由PQ＝OB，即可求解． 【解答】解：（1）由抛物线的表达式知，c＝﹣5＝yB， 则OB＝5＝OA＝OC， 则点A、C、B的坐标分别为：（1，0）、（﹣5，0）、（0，﹣5）， 设抛物线的表达式为：y＝a（x﹣1）（x+5）＝a（x2+4x﹣5）＝ax2+bx﹣5， 则a＝1， 故抛物线的表达式为：y＝x2+4x﹣5； （2）点A关于抛物线对称轴得对称点为点C，则BC交抛物线的对称轴于点M，此时△ABM的周长最小，理由： △ABM的周长＝AB+AM+BM＝AB+CM+BM＝AB+BC为最小， 由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为：y＝﹣x﹣5， 由抛物线的表达式知，其对称轴为直线x＝﹣2， 当x＝﹣2时，y＝﹣x﹣5＝﹣3， 则点M（﹣2，﹣3）； （3）设点P（x，﹣x﹣5），则点Q（x，x2+4x﹣5）， 则PQ＝（﹣x﹣5）﹣（x2+4x﹣5）＝﹣x2﹣5x， ∵PQ∥OB， 故当PQ＝OB时，满足题设条件， 即PQ＝﹣x2﹣5x＝OB＝5， 解得：x＝， 则点P的坐标为：（，）或（，）． 5．（2024•资阳）已知平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴的正半轴交于C点，且B（4，0），BC＝4． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，点P是抛物线在第一象限内的一点，连接PB，PC，过点P作PD⊥x轴于点D，交BC于点K．记△PBC，△BDK的面积分别为S1，S2，求S1﹣S2的最大值； （3）如图2，连接AC，点E为线段AC的中点，过点E作EF⊥AC交x轴于点F．抛物线上是否存在点Q，使∠QFE＝2∠OCA？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由． 【分析】（1）根据题意得出B（4，0），C（0，4），代入函数解析式得：，得出； （2）设，则K（m，﹣m+4），D（m，0），则，，得出＝＝，故当时，S1﹣S2的最大值为； （3）①取点E关于x轴的对称点E1，连接FE1交抛物线于点Q1，FE1的解析式为：，联立，解得：（舍去）或，得出；取E关于CF的对称点E2，连接EE2交CF于点G，连接FE2交抛物线于点Q2，E2F的解析式为：，联立，解得：（舍去）或，得出． 【解答】解：（1）∵B（4，0）， ∴OB＝4， ∵∠BOC＝90°，， ∴， ∴C（0，4）， 把B（4，0），C（0，4），代入函数解析式得： ， 解得：， ∴； （2）∵B（4，0），C（0，4）， ∴设直线BC的解析式为：y＝kx+4（k≠0），把B（4，0）代入，得：k＝﹣1， ∴y＝﹣x+4， 设，则K（m，﹣m+4），D（m，0）， ∴，DK＝﹣m+4，DB＝4﹣m， ∴，， ∴ ＝ ＝， ∴当时，S1﹣S2的最大值为； （3）令，解得：x1＝﹣2，x2＝4， ∴A（﹣2，0）， ∵C（0，4），点E为AC的中点， ∴E（﹣1，2）， ∵FE⊥AC，， ∴AF＝CF， ∴∠AFE＝∠CFE， 设OF＝a，则CF＝AF＝a+2， 在Rt△COF中，由勾股定理，得：a2+42＝（a+2）2， ∴a＝3， ∴F（3，0），CF＝5， ∵FE⊥AC，∠AOC＝90°， ∴∠AFE＝∠OCA＝90°﹣∠CAF， ∴∠AFE＝∠OCA＝∠CFE， ①取点E关于x轴的对称点E1，连接FE1交抛物线于点Q1，则：∠Q1FE＝2∠EFA＝2∠OCA，E1（﹣1，﹣2）， 设FE1的解析式为：y＝k1x+b， 则：，解得：， ∴， 联立，解得：（舍去）或， ∴； ②取E关于CF的对称点E2，连接EE2交CF于点G，连接FE2交抛物线于点Q2，则：∠Q2FE＝2∠CFE＝2∠OCA，EG⊥CF， ∵CE＝，CF＝5， ∴， ∵， ∴， ∴EG＝2， ∴， 过点G作GH⊥x轴，则：，， ∴， ∴， ∵E（﹣1，2）， ∴，， ∴，， ∴，设直线E2F的解析式为：y＝k2x+b1，则：， 解得：， ∴， 联立， 解得：（舍去）或， ∴； 综上：或． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！40 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 二次函数与几何图形的综合应用 内容早知道 ☛第一层 巩固提升练 题型一 线段或面积的最值问题 题型二 特殊三角形的存在性问题 题型三 平行四边形的存在性问题 题型四 角度问题 ☛第二层 能力培优练 ☛第三层 中考真题练 线段最值问题 ⭐技巧积累与运用 求线段的最值问题，一般建立二次函数模型表示线段的长度，然后将其化为顶点式求最值。 求基本线段（平行于y轴）最值的具体步骤： ①求出动点所在的两个函数表达式。即二次函数解析式与一次函数解析式； ②设其中一个函数图像（二次函数）上的动点坐标（）； ③过点作x轴的垂线交一次函数图像与一点，其坐标设为（）； ④得出线段长度表达式 ⑤将④l关于x的二次函数化为顶点式，求最值。 （1） 若所求线段不是基本线段，不平行于y轴，则借助一次函数与x的夹角得出所求线段与平行于y轴的线段之间的关系。 （2） 若求的是三角形的面积最值，两定点的坐标为和，则面积表达式表示为：，再求该二次函数的最值。 1．如图，二次函数的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点D．已知抛物线的对称轴为x＝2，点D的坐标为（0，5），点B的坐标为（5，0）． （1）求二次函数的解析式； （2）P是线段BD上的一个动点，过P点作x轴的垂线，交抛物线于点M，当点P在第一象限内时，求线段PM长度的最大值． 2. 如图1，抛物线y＝ax2+bx+2与x轴交于A（﹣3，0）、B（1，0）两点，交y轴于点C．连接AC． （1）求抛物线的解析式； （2）若点D是抛物线上第二象限上一点，过D点作DE⊥AC于E，当DE有最大值时，求D点坐标； 特殊三角形的存在问题 ⭐技巧积累与运用 解决特殊三角形的存在性问题，一定先确定构成三角形的几个点，并且确定他们所在的函数的函数表达式。通常为两定点和一动点。若两定点的坐标为和，动点在二次函数图像上，则解决该题型的具体步骤为： （1） 求出相应的二次函数表达式； （2） 设动点坐标； （3） 根据两点之间的距离公式表示出三边的距离PA，PB以及AB。 ①若特殊三角形时等腰三角形：则有PA＝PB或PA＝AB，PB＝AB ②若特殊三角形时直角三角形：则有或或 解方程得出相应的坐标。 1．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过B（﹣3，0），C（0，3）两点，与x轴的另一个交点为A． （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线对称轴上找一点E，使得AE+CE的值最小，直接写出点E的坐标； （3）设点P为x轴上的一个动点，是否存在使△BPC为等腰三角形的点P，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由． 2．如图，已知抛物线y＝ax2+bx﹣2（a≠0）经过点A（﹣3，2），与y轴交于点B，其对称轴为直线，为y轴上一点，直线AC与抛物线交于另一点D． （1）求抛物线的函数表达式； （2）试在线段AD下方的抛物线上求一点E，使得△ADE的面积最大，并求出最大面积； （3）在抛物线的对称轴上是否存在一点F，x轴上一点N，使得△DNF是等腰直角三角形？如果存在，求点F的坐标；如果不存在，请说明理由． 平行四边形的存在性问题 ⭐技巧积累与运用 解决平行四边形的存在性问题，一定先确定构成平行四边形的几个点以及确定他们所在的函数的函数表达式。通常为两定点和两动点。明确四个点的坐标，若四个点没有顺序要求，则两两作为对角线，利用中点坐标公式建立方程，得到的中点坐标是相等的从而解出点的坐标。 1．已知抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C． （1）求a，b的值； （2）直线l∥BC，且直线l与抛物线只有一个交点． ①求直线l的表达式； ②设直线l与抛物线的交点为D，在平面内是否存在点P，使以A，C，D，P为顶点的四边形是平行四边形？若不存在，说明理由；若存在，求出点P的坐标． 角度问题 ⭐技巧积累与运用 解决角度问题时，一般利用三角形全等，三角形相似，等腰三角形，直角三角形等的性质进行求解。 1．如图，抛物线 y＝﹣x2+bx+c经过A（4，0），C（﹣1，0）两点，与y轴交于点B，P为第一象限抛物线上的动点，连接AB，BC，PA，PC，PC与AB相交于点Q． （1）求抛物线的解析式： （2）设△APQ的面积为S1，△BCQ的面积为S2，当 S1﹣S2＝5 时，求点P的坐标； （3）是否存在点P，使∠PAB+∠CBO＝45°，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，说明理由． 1．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（3，0）与点C（0，3）． （1）求抛物线对应的函数解析式，并写出抛物线与x轴的交点B的坐标； （2）点P在线段AC上，过点P作x轴的垂线与抛物线交于点Q，直线PQ交x轴于点M，连接CQ，OP，如果S△CPQ＝2S△OPM，求PM的长； （3）探究抛物线的对称轴上是否存在一点E，使得以点E，B，C为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的点的坐标，若不存在，请说明理由． 2．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（﹣2，0）、B（8，0）两点，与y轴交于点C（0，4），连接AC、BC． （1）求抛物线的表达式； （2）D为抛物线上第一象限内一点，求△DCB面积的最大值； （3）点P是抛物线上的一动点，当∠PCB＝∠ABC时，求点P的坐标． 3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，OA＝OC＝3． （1）求抛物线的解析式； （2）点D在抛物线的对称轴上，若BD+CD的值最小，求点D的坐标； （3）若点P是抛物线上的一点，当点P在直线AC上方的抛物线上运动时，△APC的面积是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值，并写出此时P点的坐标；若不存在，请说明理由． 4．如图，直线y＝x+2与x轴，y轴分别交于点A，C，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A，C两点，与x轴的另一交点为B，点D是抛物线上一动点． （1）求抛物线的解析式； （2）当点D在直线AC上方时，连接BC，CD，BD，BD交AC于点E，令△CDE的面积为S1，△BCE的面积为S2，求的最大值； （3）点F是该抛物线对称轴上一动点，是否存在以点B，C，D，F为顶点的平行四边形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 5．如图①，已知抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C． （1）求该抛物线的表达式； （2）若点D是抛物线上第一象限内的一个动点，连接CD，BD，BC，AC．当△BCD的面积等于△AOC面积的2倍时，求点D的坐标； （3）抛物线上是否存在点P，使得∠CBP+∠ACO＝∠ABC？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 1．（2024•绵阳）如图，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（﹣3，0）和B（1，0），与y轴交于点C，连接AC和BC，点P在抛物线上运动，连接AP，BP和CP． （1）求抛物线的解析式，并写出其顶点坐标； （2）点P在抛物线上从点A运动到点C的过程中（点P与点A，C不重合），作点P关于x轴的对称点P1，连接AP1，CP1，记△ACP1的面积为S1，记△BCP的面积为S2，若满足S1＝3S2，求△ABP的面积； （3）在（2）的条件下，试探究在y轴上是否存在一点Q，使得∠CPQ＝45°？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 2．（2024•西宁）如图，二次函数的图象与x轴交于点A（﹣3，0），与y轴交于点B，顶点C的坐标为（﹣2，﹣1）． （1）求二次函数的解析式． （2）判断△ABC的形状，并说明理由． （3）在直线AB上方的抛物线上是否存在一点P，使S△PAB＝2S△ABC？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 3．（2024•泸州）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（3，0），与y轴交于点B，且关于直线x＝1对称． （1）求该抛物线的解析式； （2）当﹣1≤x≤t时，y的取值范围是0≤y≤2t﹣1，求t的值； （3）点C是抛物线上位于第一象限的一个动点，过点C作x轴的垂线交直线AB于点D，在y轴上是否存在点E，使得以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形？若存在，求出该菱形的边长；若不存在，说明理由． 4．（2024•甘南州）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣5（a≠0）交x轴于A，C两点，交y轴于点B，5OA＝OB＝OC． （1）求此抛物线的表达式； （2）已知抛物线的对称轴上存在一点M，使得△ABM的周长最小，请求出点M的坐标； （3）连接BC，点P是线段BC上一点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，求当四边形OBQP为平行四边形时点P的坐标． 5．（2024•资阳）已知平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴的正半轴交于C点，且B（4，0），BC＝4． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，点P是抛物线在第一象限内的一点，连接PB，PC，过点P作PD⊥x轴于点D，交BC于点K．记△PBC，△BDK的面积分别为S1，S2，求S1﹣S2的最大值； （3）如图2，连接AC，点E为线段AC的中点，过点E作EF⊥AC交x轴于点F．抛物线上是否存在点Q，使∠QFE＝2∠OCA？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$