精品解析：黑龙江省齐齐哈尔市龙沙区等5地2024-2025学年八年级上学期11月期中数学试题

齐齐哈尔市龙沙等五地统考2024-2025学年度初中八年上数期中考试卷 考试时间：90分钟 第I卷（选择题） 一、单选题每题3分，共30分 1. 下列各组长度的三条线段能组成三角形的是（ ） A. 4，6，10 B. 6，6，7 C. 5，6，13 D. 12，4，7 2. 如图，四个图形中，线段是的高的图是（ ） A. B. C. D. 3. 列图形中，不是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 4. 如图，一扇窗户打开后，用窗钩AB可将其固定，这里所运用的几何原理是（ ） A. 三角形的内角和等于180° B. 两点之间，线段最短 C. 两点确定一条直线 D. 三角形具有稳定性 5. 如图，在中，边的垂直平分线分别交，于点D，E，，的周长为，则的周长是（ ） A. B. C. D. 6. 等腰三角形的一边长等于4，一边长等于9，则它的周长是（ ） A. 17 B. 22 C. 17或22 D. 13 7. 在中，分别平分，过点D作直线平行于，分别交于点E、F，若，则线段的长为（　　） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 8. 将一副三角板按图中方式叠放，则等于（　　） A. B. C. D. 9. 已知一个多边形的内角和为，则这个多边形为 （ ） A. 七边形 B. 八边形 C. 九边形 D. 十边形 10. 如图，已知与都是等边三角形，点B、C、D在同一条直线上，与相交于点G，与相交于点F，与相交于点H，连接．给出下列结论：①；②；③；④是等边三角形．其中正确结论的个数是（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 第II卷（非选择题） 二、填空题每题3分共21分 11. 如图，中，是上的中线，是中边上的中线，若的面积是，则的面积是_____． 12. 如图，，，垂足分别为E，F，，若要依据证明，则需添加的一个条件是______． 13. 已知正六边形的周长是，则这个多边形的边长等于___________． 14. 如图，中，，角平分线相交于，，，则______． 15. 如图，中，，已知平面内有一点，使得、、均为等腰三角形，则所有满足条件的点有______个． 16. 如图，在直角 中，，，点 为上一动点，连接．若，的面积为，则的最小值为_______． 17. 如图，在中，，，，，是的平分线，若，分别是和上的动点，则的最小值为__________ ． 三、解答题 18. 如图，点D、B、C在同一条直线上，∠A=60°，∠C=50°，∠D=25°．求∠1的度数． 19. 如图，已知，，，求证：． 20. 如图，在中，于点E，于点D．求证： （1）； （2） 21. 如图，已知和射线，用尺规作图法作（要求保留作图痕迹）． 22. 在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P． （1）如图①，若∠BPC＝α，则∠A＝　　　；（用α的代数式表示，请直接写出结论） （2）如图②，作△ABC外角∠MBC、∠NCB的角平分线交于点Q，试探究∠Q与∠BPC之间的数量关系，并说明理由； （3）如图③，延长线段CP、QB交于点E，△CQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，求∠A的度数． 23. 已知点C为线段上一点，分别以为边在线段同侧作和，且，直线与交于点F． （1）如图①，求证：； （2）如图①，若，则＝______°；如图②，若，则＝______°； 如图③，若，则＝______°； （3）如图④，若，则______°（用含的代数式表示）； （4）若A、B、C三点不在同一直线上，线段与线段交于点C（交点F至少在中的一条线段上），如图⑤，若，试判断与的数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 齐齐哈尔市龙沙等五地统考2024-2025学年度初中八年上数期中考试卷 考试时间：90分钟 第I卷（选择题） 一、单选题每题3分，共30分 1. 下列各组长度的三条线段能组成三角形的是（ ） A. 4，6，10 B. 6，6，7 C. 5，6，13 D. 12，4，7 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了三角形的三边关系．判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数．根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”进行分析． 【详解】解：根据三角形的三边关系， A、，不能组成三角形，故该选项不符合题意； B、，能够组成三角形，故该选项符合题意； C、，不能组成三角形，故该选项不符合题意； D、，不能组成三角形，故该选项不符合题意． 故选：B． 2. 如图，四个图形中，线段是的高的图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据高的画法知，过点B作边上的高，垂足为E，其中线段是△ABC的高． 【详解】解：由图可得，线段是△ABC的高的图是D选项． 3. 列图形中，不是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，熟知轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合是解题的关键． 根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A、图形是轴对称图形，不符合题意； B、图形是轴对称图形，不符合题意； C、图形不是轴对称图形，符合题意； D、图形是轴对称图形，不符合题意， 故选：C． 4. 如图，一扇窗户打开后，用窗钩AB可将其固定，这里所运用的几何原理是（ ） A. 三角形的内角和等于180° B. 两点之间，线段最短 C. 两点确定一条直线 D. 三角形具有稳定性 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形的稳定性，窗户打开后，用窗钩将其固定，这样就形成了一个三角形；由题意可知，形成的三角形可使打开后的窗户固定，至此，结合三角形的特征即可解答，掌握三角形的特征是解题的关键． 【详解】解：用窗钩将打开的窗户固定，这样就形成了一个三角形，所以所运用的几何原理是三角形的稳定性， 故选：D． 5. 如图，在中，边的垂直平分线分别交，于点D，E，，的周长为，则的周长是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质．先根据线段垂直平分线的性质“线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等”可得，，再根据三角形的周长公式即可得． 【详解】解：垂直平分，且， ，， 的周长为， ， ，即， 则的周长是， 故选：C． 6. 等腰三角形的一边长等于4，一边长等于9，则它的周长是（ ） A. 17 B. 22 C. 17或22 D. 13 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能组成三角形，这点非常重要，也是解题的关键． 题目给出等腰三角形有两条边长为4和9，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形． 【详解】解：分两种情况：当腰为4时，，不能组成三角形； 当腰为9时，，所以能构成三角形， 周长是：． 故选：B． 7. 在中，分别平分，过点D作直线平行于，分别交于点E、F，若，则线段的长为（　　） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，等边对等角，先由角平分线的定义得，再由，得出进行角的等量代换以及等角对等边，则，，即可作答． 【详解】解：∵分别平分， ∴， ∵， ∴ ∴ ∴，， ∴， 故选：D． 8. 将一副三角板按图中方式叠放，则等于（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角板中角度的计算，三角形的外角的定义及性质；由三角板可得，，再由三角形的外角的定义及性质得出，即可得解． 【详解】解：如图： ， 根据三角板可得，， 则， 故， 故选：B． 9. 已知一个多边形的内角和为，则这个多边形为 （ ） A. 七边形 B. 八边形 C. 九边形 D. 十边形 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查多边形的内角和，设这个多边形为边形，根据多边形的内角和为，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设这个多边形为边形，由题意，得： ， 解得：； ∴这个多边形为八边形； 故选B． 10. 如图，已知与都是等边三角形，点B、C、D在同一条直线上，与相交于点G，与相交于点F，与相交于点H，连接．给出下列结论：①；②；③；④是等边三角形．其中正确结论的个数是（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，利用等边三角形的性质得出条件，可证明：，可判断①正确；利用得出，利用8字形可得，可判断②正确；证明，得，可判断③正确；由和，根据“有一个角是的三角形是等边三角形可得是等边三角形，可判断④正确，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵和是等边三角形， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴，故①正确； ∵， ∴． ∵， ∴，故②正确； 在和中， ， ∴， ∴，；故③正确； ∵，， ∴是等边三角形；故④正确． 故选：D． 第II卷（非选择题） 二、填空题每题3分共21分 11. 如图，中，是上的中线，是中边上的中线，若的面积是，则的面积是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查三角形面积的求法，解题的关键是掌握：三角形的中线平分三角形的面积．据此求出面积比，即可解答． 【详解】解：∵是上的中线， ∴， ∵是中边上的中线， ∴， ∴， ∵的面积是， ∴， ∴的面积是． 故答案为：． 12. 如图，，，垂足分别为E，F，，若要依据证明，则需添加的一个条件是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定．利用“”证明三角形全等的方法即可． 【详解】解∶∵，， ∴和均为直角三角形， ∵ 若用“”证明，则需要添加的条件是． 故答案为：． 13. 已知正六边形的周长是，则这个多边形的边长等于___________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查正多边形的定义，根据每条边都相等，每个内角都相等的多边形叫正多边形求解即可得到答案，熟知在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形是解题的关键． 【详解】解：∵正六边形的周长是， ∴这个多边形的边长为， 故答案为：6． 14. 如图，中，，角平分线相交于，，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，角平分线的性质，正确的作出辅助线，利用三角形面积关系和底边的关系的相互转化是解题的关键；在线段上截取，，连接， ，过M作于H，于J，利用双角平分线证明，，，利用角平分线的性质证明，进而求出，，再根据面积关系，求出，即可求出． 【详解】解：在线段上截取，，连接， ，过M作于H，于J，如图； 平分， ， ，， ， ，， 平分， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 又， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 15. 如图，中，，已知平面内有一点，使得、、均为等腰三角形，则所有满足条件的点有______个． 【答案】无数个 【解析】 【分析】作线段、的垂直平分线，分别以、、为圆心长为半径画圆，即可找到符合条件的点． 【详解】解：如图，作线段、的垂直平分线，分别以、、为圆心长为半径画圆， 据图可知，在的垂直平分线上，，，，，符合要求； 在的垂直平分线上，，，，符合要求； 在的垂直平分线上，，，符合要求； 在以为圆心，长为半径作的圆上，除、，，，，外，有无数个点符合要求． 综上，符合要求的点有无数个． 16. 如图，在直角 中，，，点 为上一动点，连接．若，的面积为，则的最小值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形与轴对称的性质的综合应用，能够巧妙的构造辅助线求线段最小值是本题的关键． 先利用轴对称的性质构造三角形，并根据‘垂线段最短’作出最短距离的线段，利用三角形的性质求解即可． 【详解】解：延长到点，使，连接BE． 过点作于点． ，即． 垂直平分． ． ． 在中， ． 的值最小值即为的值最小值． 当、、三点共线时，的值最小值． 故过点作于点， 即为的值最小值． ， 即， 解得：． ，． 是等边三角形． ． ． 故答案为：． 17. 如图，在中，，，，，是的平分线，若，分别是和上的动点，则的最小值为__________ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查利用轴对称求最短距离，能够利用轴对称将线段和的最小值转化为线段长求解是关键．在上截取，连接，，可证，根据全等三角形的性质可知点和点关于对称，再根据轴对称的性质及最短路径结合面积法即可得出答案． 【详解】解：如图，在上截取，连接，，     是的平分线， 在与中 点和点关于对称，连接，与交于点，连接，此时， 是动点， 也是动点，当与垂直时，最小，即最小． 此时，由面积法得． 故答案为：． 三、解答题 18. 如图，点D、B、C在同一条直线上，∠A=60°，∠C=50°，∠D=25°．求∠1的度数． 【答案】45° 【解析】 【分析】由三角形内角和定理求出∠ABC的度数，再根据三角形的外角性质求出∠1的度数即可. 【详解】解：在△ABC中， ∵∠A=60°，∠C=50°， ∴∠ABC=180°-60°-50°=70°， 又∵∠1+∠D=∠ABC， ∴∠1=∠ABC-∠D=70°-25°=45°. 【点睛】本题考查了三角形内角和定理、三角形的外角性质，熟练掌握三角形内角和定理，并能进行推理计算是解决此题的关键. 19. 如图，已知，，，求证：． 【答案】 证明：∵， ∴， 即 在和中， ， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，解题关键是掌握全等三角形的判定方法：（直角三角形）．由已知条件可得，再利用“”证明全等即可． 【详解】略 20. 如图，在中，于点E，于点D．求证： （1）； （2） 【答案】（1） 证明∶∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴． 在与中， ， ∴．． （2） 解：∵， ∴， ∴，即． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，灵活运用证明三角形全等是解题的关键． （1）根据已知条件可得、以及，运用即可证明结论； （2）由全等三角形的性质可得，然后运用等量代换即可证明结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 如图，已知和射线，用尺规作图法作（要求保留作图痕迹）． 【答案】 解：如图，即为所求作． 【解析】 【分析】本题考查尺规作图-作一个角等于已知角，熟练掌握尺规作图“作一个角等于已知角”的方法步骤是解答的关键． 根据尺规作图-作一个角等于已知角的作图步骤即可求解． 【详解】作法：以为圆心，任意长为半径作弧交于，交于， 以为圆心，以同样长长为半径作弧，交于， 以为圆心，长为半径作弧交前弧于， 过作射线． 故即为所求作． 22. 在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P． （1）如图①，若∠BPC＝α，则∠A＝　　　；（用α的代数式表示，请直接写出结论） （2）如图②，作△ABC外角∠MBC、∠NCB的角平分线交于点Q，试探究∠Q与∠BPC之间的数量关系，并说明理由； （3）如图③，延长线段CP、QB交于点E，△CQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，求∠A的度数． 【答案】（1）2α﹣180°； （2）∠BPC+∠BQC＝180°．理由：如图②中， ∵外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q， ∴∠QBC+∠QCB（∠MBC+∠NCB） （360°﹣∠ABC﹣∠ACB） （180°+∠A） =90°∠A， ∴∠Q=180°﹣（90°∠A）=90°∠A， ∵∠BPC=90°∠A， ∴∠BPC+∠BQC=180°． （3）∠A的度数是90°或60°或120°． 【解析】 【分析】（1）利用角平分线的定义以及三角形的内角和定理求解即可． （2）证明∠Q=90°-∠A，∠BPC=90°+∠A，可得结论． （3）首先证明∠A=2∠E，∠ECQ=90°，再分四种情形分别求解即可解决问题． 【详解】（1）如图①中， ∵∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P， ∴∠BPC=180°﹣（∠PBC+∠PCB） =180°（∠ABC+∠ACB） =180°（180°﹣∠A）， =90°∠A， ∵∠BPC=α， ∴∠A=2α﹣180°． 故答案为2α﹣180°． （2） 略 （3）延长CB至F， ∵BQ为△ABC的外角∠MBC的角平分线， ∴BE是△ABC的外角∠ABF的角平分线， ∴∠ABF=2∠EBF， ∵CE平分∠ACB， ∴∠ACB=2∠ECB， ∵∠EBF=∠ECB+∠E， ∴2∠EBF=2∠ECB+2∠E， 即∠ABF=∠ACB+2∠E， 又∵∠ABF=∠ACB+∠A， ∴∠A=2∠E， ∵∠ECQ=∠ECB+∠BCQ ∠ACB∠NCB =90°， 如果△CQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，那么分四种情况： ①∠ECQ=2∠E=90°，则∠E=45°，∠A=2∠E=90°； ②∠ECQ=2∠Q=90°，则∠Q=45°，∠E=45°，∠A=2∠E=90°； ③∠Q=2∠E，∵∠Q+∠E=90°，∴∠E=30°，则∠A=2∠E=60°； ④∠E=2∠Q，∵∠Q+∠E=90°，∴∠E=60°，则∠A=2∠E=120°． 综上所述，∠A的度数是90°或60°或120°． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，三角形内角和定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题． 23. 已知点C为线段上一点，分别以为边在线段同侧作和，且，直线与交于点F． （1）如图①，求证：； （2）如图①，若，则＝______°；如图②，若，则＝______°； 如图③，若，则＝______°； （3）如图④，若，则______°（用含的代数式表示）； （4）若A、B、C三点不在同一直线上，线段与线段交于点C（交点F至少在中的一条线段上），如图⑤，若，试判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1） 证明：， ， ， 在和中， ， ， （2） （3） （4） 解：， 理由如下：， ， ， 在和中， ， ， ， 即． 【解析】 【分析】（1）求出，根据证出两三角形全等即可； （2）根据全等三角形性质得出，求出，代入求出即可； （3）根据全等三角形的性质、三角形的内角和与三角形的外角性质求出即可． （4）知道，得到，证明即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 当时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 同理：时 故答案为： 【小问3详解】 由（1）可知， ， 故答案为： 【小问4详解】 略 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的外角性质，三角形的内角和定理，解此题的关键是找出已知量和未知量之间的关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $