精品解析：上海市大同中学2024-2025学年高二上学期12月学情调研数学试题

（上海市大同中学）2024学年第一学期12月学情调研高二数学 90分钟 满分100分 上海市大同中学 班级_______姓名_______学号_______ 一、填空题 1. 数列为等差数列，若，，则公差_______. 2. 某果园种植了240棵苹果树，现从中随机抽取了20棵苹果树，算得这20棵苹果树平均每棵产量为28kg，则预估该果园的苹果产量为_______kg. 3. 球的表面积扩大为原来的倍，则它的体积扩大为原来的___________倍 4. 若平面，直线，直线，则点与的位置关系为________． 5. 总体由编号为00，01，…，59的60个个体组成，利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从随机数表第1行的第6个数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第6个个体的编号为______． 5044664421 6606580562 6165543502 4235489632 1452415248 2266221586 2663754199 5842367224 5837521851 0337183911 6. 母线长为3、底面半径为1的圆锥的侧面展开图的圆心角的弧度数为_____. 7. 某校共有400名学生参加了趣味知识竞赛（满分：150分），且每位学生的竞赛成绩均不低于90分．将这400名学生的竞赛成绩分组如下：，得到的频率分布直方图如图所示，则这400名学生中竞赛成绩不低于120分的人数为__________． 8. 四名男生和两名女生排成一排，若有且只有两位男生相邻，则不同排法的种数是________ 9. 现有5人参加抽奖活动，每人依次从装有5张奖票（其中3张为中奖票）的箱子中不放回地随机抽取一张，直到3张中奖票都被抽出时活动结束，则活动恰好在第4人抽完后结束的概率为_________. 10. 无穷数列满足：只要，必有，则称为“和谐递进数列”.已知为“和谐递进数列”，且前四项成等比数列，，，则________. 11. 在正方体中，E，F分别为CD，的中点，则以EF为直径的球面与正方体每条棱的交点总数为____________. 12. “布朗运动”是指微小颗粒永不停息的无规则随机运动，在如图所示的试验容器中，容器由三个仓组成，某粒子作布朗运动时每次会从所在仓的通道口中随机选择一个到达相邻仓或者容器外，一旦粒子到达容器外就会被外部捕获装置所捕获，此时试验结束．已知该粒子初始位置在1号仓，则试验结束时该粒子是从1号仓到达容器外的概率为__________． 二、选择题 13. 甲､乙两地四月7日至14日的最高气温如图所示，下列说法中正确的是（ ） A. 乙地在这8日内最高气温的极差为 B. 甲､乙两地12日温差最大 C. 甲地这8日平均气温为 D. 甲地的75百分位数是 14. 如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，平面ABCD，平面ABCD，且，点G为MC的中点.则下列结论中不正确的是（ ） A. B. 平面平面ABN C. 直线GB与AM是异面直线 D. 直线GB与平面AMD无公共点 15. 如图1，小同同学在一张矩形卡片上绘制了函数的部分图象，A，B分别是图象的一个最高点和最低点，M是图象与y轴的交点，，现将该卡片沿x轴折成如图2所示的直二面角，在图2中，则下列结果不正确的是（ ） A. B. 点到平面的距离为 C. 点到平面的距离为 D. 平面与平面所成锐二面角为 16. 《九章算术·商功》中有这样一段话：“斜解立方，得两壍堵．斜解壍堵，其一为阳马，一为鳖臑．阳马居二，鳖臑居一，不易之率也．”意思是：如图，沿正方体对角面截正方体可得两个壍堵，再沿平面截壍堵可得一个阳马（四棱锥），一个鳖臑（三个棱锥），若为线段上一动点，平面过点，平面，设正方体棱长为，，与图中鳖臑截面面积为，则点从点移动到点的过程中，关于的函数图象大致是（ ） A. B. C. D. 三、解答题 17. 已知空间直角坐标系中四个点的坐标分别为：，，，. （1）若，求x的值； （2）若点在平面上，求x的值. 18. 在三棱锥P﹣ABC中，已知PA，PB，PC两两垂直，PB＝3，PC＝4，且三棱锥P﹣ABC的体积为10. （1）求点A到直线BC的距离； （2）若D是棱BC的中点，求异面直线PB，AD所成角的大小（结果用反三角函数值表示）. 19. 如图所示，四棱锥中，底面为菱形，且直线又棱为的中点， (Ⅰ) 求证：直线； (Ⅱ) 求直线与平面的正切值. 20. 2023年9月23日至10月8日，第19届亚运会在杭州成功举办，杭州亚运会的志愿者被称为“小青荷”．某运动场馆内共有小青荷36名，其中男生12名，女生24名，这些小青荷中会说日语和会说韩语的人数统计如下： 男生小青荷 女生小青荷 会说日语 8 12 会说韩语 m n 其中m、n均为正整数，． （1）从这36名小青荷中随机抽取两名作为某活动主持人，求抽取的两名小青荷中至少有一名会说日语的概率； （2）从这些小青荷中随机抽取一名去接待外宾，用A表示事件“抽到的小青荷是男生”，用B表示事件“抽到的小青荷会说韩语”．试给出一组m、n的值，使得事件A与B相互独立，并说明理由． 21. 对于数列，若从第二项起的每一项均大于该项之前的所有项的和，则称为数列. （1）若的前项和，试判断是否是数列，并说明理由； （2）设数列是首项为、公差为的等差数列，若该数列是数列，求的取值范围； （3）设无穷数列是首项为、公比为的等比数列，有穷数列，是从中取出部分项按原来的顺序所组成的不同数列，其所有项和分别为，，求是数列时与所满足的条件，并证明命题“若且，则不是数列”. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ （上海市大同中学）2024学年第一学期12月学情调研高二数学 90分钟 满分100分 上海市大同中学 班级_______姓名_______学号_______ 一、填空题 1. 数列为等差数列，若，，则公差_______. 【答案】 【解析】 【分析】根据已知有即可求公差. 【详解】由题设. 故答案为： 2. 某果园种植了240棵苹果树，现从中随机抽取了20棵苹果树，算得这20棵苹果树平均每棵产量为28kg，则预估该果园的苹果产量为_______kg. 【答案】6720 【解析】 【分析】将样本均值视为总体均值，即可估计果园的苹果产量. 【详解】将样本均值视为总体均值，故预估该果园的苹果产量为kg. 故答案为： 3. 球的表面积扩大为原来的倍，则它的体积扩大为原来的___________倍 【答案】 【解析】 【分析】利用球体的表面积和体积公式计算可得结果. 【详解】设球的半径为，扩大后球半径为，则，则， 于是扩大后体积为， 所以它的体积扩大为原来的倍. 故答案为：. 4. 若平面，直线，直线，则点与的位置关系为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据基本事实3（公理2）求解即可. 【详解】因为， 所以直线，直线， 因为直线，直线， 所以平面，平面， 又平面， 所以. 故答案为：. 5. 总体由编号为00，01，…，59的60个个体组成，利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从随机数表第1行的第6个数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第6个个体的编号为______． 5044664421 6606580562 6165543502 4235489632 1452415248 2266221586 2663754199 5842367224 5837521851 0337183911 【答案】55 【解析】 【分析】由随机数表依次得出样本编号即可. 【详解】由题可得选出来的样本编号依次为42，16，56，26，16，55，…，所以选出来的第6个个体的编号为55. 故答案为：55. 6. 母线长为3、底面半径为1的圆锥的侧面展开图的圆心角的弧度数为_____. 【答案】， 【解析】 【分析】 根据圆锥的母线和半径可得展开图的弧长与半径，从而可得圆心角的弧度数. 【详解】因为圆锥的母线长为3、底面半径为1，所以圆锥的侧面展开图中半径为3，弧长为， 所以圆心角的弧度数为. 故答案为：. 【点睛】本题主要考查圆锥的侧面展开图，明确展开图中的量与圆锥的关系是求解的关键.侧重考查数学运算的核心素养. 7. 某校共有400名学生参加了趣味知识竞赛（满分：150分），且每位学生的竞赛成绩均不低于90分．将这400名学生的竞赛成绩分组如下：，得到的频率分布直方图如图所示，则这400名学生中竞赛成绩不低于120分的人数为__________． 【答案】 【解析】 【分析】由频率分布直方图的面积和为求出，再计算出结果即可. 【详解】由频率分布直方图可知，解得， 这400名学生中竞赛成绩不低于120分的人数为， 故答案为： 8. 四名男生和两名女生排成一排，若有且只有两位男生相邻，则不同排法的种数是________ 【答案】 【解析】 【分析】先选出相邻的两个男生，看作1个整体与剩余名男生组成的3个元素,利用插空法插入到名女生所形成的3个空隙中即可. 【详解】分两步进行： ①、将名女生全排列，有种情况，排好后有个空位； ②、从名男生中选名，看成一个整体，考虑其顺序，有种情况，再将这个整体与剩余的名男生全排列，安排在女生的个空位中，有种情况,则一共有种情况. 故答案为： 9. 现有5人参加抽奖活动，每人依次从装有5张奖票（其中3张为中奖票）的箱子中不放回地随机抽取一张，直到3张中奖票都被抽出时活动结束，则活动恰好在第4人抽完后结束的概率为_________. 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：由题活动恰好在第4人抽完后结束，包含的情况有；（不中）中中中，中（不中）中中，中中（不中）中．则概率为； 考点：相互独立事件及互斥事件概率算法． 10. 无穷数列满足：只要，必有，则称为“和谐递进数列”.已知为“和谐递进数列”，且前四项成等比数列，，，则________. 【答案】 【解析】 【分析】根据定义可得推断为周期数列，且周期为4，即可求解. 【详解】已知的前四项成等比数列，，，故， 由于为“和谐递进数列”，故，则 故为周期数列，且周期为4， 故， 故答案为： 11. 在正方体中，E，F分别为CD，的中点，则以EF为直径的球面与正方体每条棱的交点总数为____________. 【答案】12 【解析】 【分析】根据正方体的对称性，可知球心到各棱距离相等且等于球体半径，故可得解. 【详解】不妨设正方体棱长为2，中点为，取，中点，侧面的中心为，连接，如图， 由题意可知，为球心，在正方体中，， 即，则球心到的距离为， 所以球与棱相切，球面与棱只有1个交点， 同理，根据正方体的对称性知，其余各棱和球面也只有1个交点， 所以以EF为直径的球面与正方体每条棱的交点总数为12. 故答案为:12. 12. “布朗运动”是指微小颗粒永不停息的无规则随机运动，在如图所示的试验容器中，容器由三个仓组成，某粒子作布朗运动时每次会从所在仓的通道口中随机选择一个到达相邻仓或者容器外，一旦粒子到达容器外就会被外部捕获装置所捕获，此时试验结束．已知该粒子初始位置在1号仓，则试验结束时该粒子是从1号仓到达容器外的概率为__________． 【答案】 【解析】 【分析】定义从出发最终从1号口出的概率为，结合独立乘法、互斥加法列出方程组即可求解. 【详解】设从出发最终从1号口出的概率为，所以，解得. 故答案为：. 二、选择题 13. 甲､乙两地四月7日至14日的最高气温如图所示，下列说法中正确的是（ ） A. 乙地在这8日内最高气温的极差为 B. 甲､乙两地12日温差最大 C. 甲地这8日平均气温为 D. 甲地的75百分位数是 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据所给气温折线图，计算极差，平均值，百分位数即可得解. 【详解】由折线图可知，乙地在这8日内最高气温的极差为，故A错误； 由图可知，甲､乙两地12日温度分别达到最高、最低，温差最大，故B正确； 甲地这8日平均气温为，故C正确； 因为，所以数据由小到大排列的第6与第7位的平均值即为75百分位数，故D正确. 故选：BCD 14. 如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，平面ABCD，平面ABCD，且，点G为MC的中点.则下列结论中不正确的是（ ） A. B. 平面平面ABN C. 直线GB与AM是异面直线 D. 直线GB与平面AMD无公共点 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，证明判断A；利用线面、面面平行的判定推理判断B；取DM中点O，证得四边形是梯形判断CD作答. 【详解】因为平面ABCD，平面ABCD，则， 取的中点，连接，如图，点G为MC的中点， 则，且，于是四边形是平行四边形， ，在正方形中，，则， 因此四边形为平行四边形，，而，点G为MC的中点， 有，所以，A正确； 因为，平面，平面，则平面， 又，平面，平面，则平面， 而平面，所以平面平面ABN，B正确； 取DM中点O，连接，则有，即四边形为梯形， 因此直线必相交，而平面AMD，于是直线GB与平面AMD有公共点，D错误； 显然点平面，点平面，直线平面，点直线，所以直线GB与AM是异面直线，C正确. 故选：D 【点睛】结论点睛：经过平面内一点和外一点的直线，与平面内不经过该点的直线是异面直线. 15. 如图1，小同同学在一张矩形卡片上绘制了函数的部分图象，A，B分别是图象的一个最高点和最低点，M是图象与y轴的交点，，现将该卡片沿x轴折成如图2所示的直二面角，在图2中，则下列结果不正确的是（ ） A. B. 点到平面的距离为 C. 点到平面的距离为 D. 平面与平面所成锐二面角为 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，求出图1中点 A,B,D,M的坐标，建立空间直角坐标系，求出图2中点A,B,D,M 的坐标，再逐项判断作答. 【详解】在图1中，由，得，，，， 在图2中，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 则，得，A正确． 设平面的一个法向量为，， 则，即，取，则，， 所以平面的一个法向量，而， 所以点D到平面的距离为，B正确． 取，， 则，，所以点D到直线的距离为，C错误． 平面的一个法向量为， 则平面与平面夹角的余弦值为， 即平面与平面所成锐二面角为，D正确. 故选：C. 16. 《九章算术·商功》中有这样一段话：“斜解立方，得两壍堵．斜解壍堵，其一为阳马，一为鳖臑．阳马居二，鳖臑居一，不易之率也．”意思是：如图，沿正方体对角面截正方体可得两个壍堵，再沿平面截壍堵可得一个阳马（四棱锥），一个鳖臑（三个棱锥），若为线段上一动点，平面过点，平面，设正方体棱长为，，与图中鳖臑截面面积为，则点从点移动到点的过程中，关于的函数图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分析得出，可得出，求出关于的函数关系式，由此可得出合适的选项. 【详解】设、分别为截面与、的交点，，， 平面，平面，所以，平面平面， 因为平面平面，平面平面， 所以，，同理可得，， 所以，， 所以，，易知， 因此，. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题考查函数图象的辨别，解题的关键就是充分分析图形的几何特征，以此求出函数解析式，结合解析式进行判断. 三、解答题 17. 已知空间直角坐标系中四个点的坐标分别为：，，，. （1）若，求x的值； （2）若点在平面上，求x的值. 【答案】（1）4.5 （2）9 【解析】 【分析】（1）根据向量垂直的坐标运算即可求解， （2）根据共面定理，结合坐标运算即可求解. 【小问1详解】 ， 由于，所以， 解得． 【小问2详解】 ， 设，即,,,,,,， 所以，解得，，． 18. 在三棱锥P﹣ABC中，已知PA，PB，PC两两垂直，PB＝3，PC＝4，且三棱锥P﹣ABC的体积为10. （1）求点A到直线BC的距离； （2）若D是棱BC的中点，求异面直线PB，AD所成角的大小（结果用反三角函数值表示）. 【答案】（1）（2）arccos 【解析】 【分析】（1）先根据已知的体积和棱长求出，结合直角三角形的知识可求点A到直线BC的距离； （2）建立空间直角坐标系，写出向量的坐标，利用向量夹角公式可求. 【详解】（1）在三棱锥P﹣ABC中，PA，PB，PC两两垂直， ∵PB＝3，PC＝4，且三棱锥P﹣ABC的体积为10. ∴VP﹣ABC＝VA﹣PBC10，解得PA＝5， 过P作PO⊥BC，交BC于O，连结PO，如图， 由三垂线定理得AO⊥BC， ∵，∴PO， ∴点A到直线BC的距离： AO. （2）以P为原点，PC，PB，PA所在直线分别为x轴， y轴， z轴，建立空间直角坐标系， 则A（0，0，5），P（0，0，0），B（0，3，0），C（4，0，0），D（2，，0）， （0，3，0），（2，，﹣5）， 设异面直线PB，AD所成角的大小为θ， 则cosθ. ∴异面直线PB，AD所成角的大小为arccos. 【点睛】本题主要考查空间中点到直线的距离和异面直线所成角，空间中的角一般是利用向量来求解，建立适当的坐标系是求解的前提，侧重考查直观想象和数学运算的核心素养. 19. 如图所示，四棱锥中，底面为菱形，且直线又棱为的中点， (Ⅰ) 求证：直线； (Ⅱ) 求直线与平面的正切值. 【答案】（1）见解析（2） 【解析】 【详解】解：（1）证明：∵∠ADE=∠ABC=60°，ED=1，AD=2， 所以，所以， ∴△AED是以∠AED为直角的直角三角形， 又∵AB∥CD, ∴EA⊥AB， 又PA⊥平面ABCD，平面ABCD，∴EA⊥PA, 又，∴EA⊥平面PAB； （2）如图所示，连结PE，过A点作AH⊥PE于H点. ∵CD⊥EA, CD⊥PA， ∴CD⊥平面PAE, 又∵AH⊂平面PAE，∴AH⊥CD， 又AH⊥PE,PE∩CD=E,PE⊂平面PCD,CD⊂平面PCD, ∴AH⊥平面PCD, ∴∠AEP为直线AE与平面PCD所成角. 在Rt△PAE中，∵PA=2，AE=, ∴. 20. 2023年9月23日至10月8日，第19届亚运会在杭州成功举办，杭州亚运会的志愿者被称为“小青荷”．某运动场馆内共有小青荷36名，其中男生12名，女生24名，这些小青荷中会说日语和会说韩语的人数统计如下： 男生小青荷 女生小青荷 会说日语 8 12 会说韩语 m n 其中m、n均为正整数，． （1）从这36名小青荷中随机抽取两名作为某活动主持人，求抽取的两名小青荷中至少有一名会说日语的概率； （2）从这些小青荷中随机抽取一名去接待外宾，用A表示事件“抽到的小青荷是男生”，用B表示事件“抽到的小青荷会说韩语”．试给出一组m、n的值，使得事件A与B相互独立，并说明理由． 【答案】（1） （2），或，或，，理由： 由题意得，，， 要使得事件A与B相互独立，则需满足, 即，即， 由于，故时，；时，； 时，，均符合题意，取其中一组即可. 【解析】 【分析】（1）求出从这36名小青荷中随机抽取两名作为某活动主持人，共有几种抽法，再求出抽取的两名小青荷中至少有一名会说日语的抽法，根据古典概型的概率公式即可求得答案； （2）分别求出事件的概率的值或表达式，根据独立事件的乘法公式列式计算，即可求得答案. 【小问1详解】 从这36名小青荷中随机抽取两名作为某活动主持人，共有种抽法， 抽取的两名小青荷中至少有一名会说日语的抽法有种， 故抽取的两名小青荷中至少有一名会说日语的概率为； 【小问2详解】 略 21. 对于数列，若从第二项起的每一项均大于该项之前的所有项的和，则称为数列. （1）若的前项和，试判断是否是数列，并说明理由； （2）设数列是首项为、公差为的等差数列，若该数列是数列，求的取值范围； （3）设无穷数列是首项为、公比为的等比数列，有穷数列，是从中取出部分项按原来的顺序所组成的不同数列，其所有项和分别为，，求是数列时与所满足的条件，并证明命题“若且，则不是数列”. 【答案】（1）是，理由：∵， ∴， 当时，， 故， 那么当时，，符合题意， 故数列是数列； （2）； （3）当是数列时，与满足的条件为或， 证明：①若是数列，则， 若，则，又由对一切正整数都成立，可知，即对一切正整数都成立， 由，，故，可得； 若，则，又由对一切正整数都成立，可知，即对一切正整数都成立， 又当时，当时不成立， 故有或，解得， ∴当是数列时，与满足的条件为或； ②假设是数列，则由①可知，，，且中每一项均为正数， 若中的每一项都在中，则由这两数列是不同数列，可知； 若中的每一项都在中，同理可得； 若中至少有一项不在中且中至少有一项不在中， 设，是将，中的公共项去掉之和剩余项依次构成的数列，它们的所有项和分别为，， 不妨设，中最大的项在中，设为， 则，故，故总有与矛盾，故假设错误，原命题正确. 【解析】 【分析】(1)由数列定义知，仅需验证当时，恒成立即可； (2)写出，的表达式，则对满足的任意都成立，则将此问题转化为不等式恒成立的问题，然后据此去求解的范围； (3)根据数列是数列，可以得到，所以需要分，和，去讨论，和(2)相似，还是去求解使得的取值范围，仍然是将其转化为不等式的恒成立问题，然后在不同的情况下求出对应的的取值范围即可.在证明命题“若且，则不是数列”时，考虑使用反证法：先排除掉数列的项都在数列中、数列的项都在数列中的情况.若数列至少有一项不在数列中，且数列至少有以一项不在数列中,先去掉其公共项得到数列，，设数列的最大项为，且数列的最大项比数列的最大项大，然后根据数列是数列的性质,得到,从而推出矛盾，进而所求证得证. 【详解】(1)略 (2)由题意知，该数列的前项和为，， 由数列是数列，可知，故公差， 对满足的任意都成立，则，解得， 故的取值范围为； (3)略 【点睛】本题考查不等关系、不等式的恒成立及数列的综合知识，属于创新题，同时也是难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $