精品解析：安徽省太和中学2024-2025学年高二上学期12月月考数学试题

太和中学高二上学期第四次教学质量检测卷 数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4．本卷命题范围：人教A版必修第一册，必修第二册，选择性必修第一册，选择性必修第二册第四章～第五章第1节. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由对数函数的定义域求出，由交集概念求出答案. 【详解】，解得，故 故. 故选：A 2. 已知函数，则从到的平均变化率为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平均变化率的定义计算可得. 【详解】. 故选：B. 3. 2024年度最具幸福感城市调查推选活动于9月16日正式启动，在100个地级及以上的候选城市名单中，成都市入选.“幸福感指数”是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态满意程度的指标，常用区间内的一个数来表示，该数越接近10表示满意度越高，现随机抽取10位成都市居民，他们的幸福感指数分别为4，5，6，7，7，7，8，8，9，9，则下列说法错误的是（ ） A. 该组数据的第60百分位数为7.5 B. 该组数据的极差为5 C. 该组数据的平均数为7.5 D. 该组数据的中位数为7 【答案】C 【解析】 【分析】根据百分位数的计算即可判断A，根据极差的定义即可求解B，根据平均数的计算即可求解C，根据中位数的计算即可求解D. 【详解】A选项：，因此该组数据的第60百分位数为，故A正确； B选项：该组数据最大为9，最小为4，因此极差为，故B正确； C选项：该组数据的平均数为，故C错误； D选项：该组数据的中位数为第五个和第六个数据的平均值7，故D正确， 故选：C. 4. 若数列的前四项依次为2，12，112，1112，则的一个通项公式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先利用检验法排除ABC，再利用观察法，总结数列的前几项的规律，从而得解. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，由，，，， 可得的一个通项公式为，故D正确. 故选：D. 5. 已知点，在直线上运动，且，点在圆上，则的面积的最大值为（ ） A. B. C. 20 D. 15 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，当到直线的距离最大时，的面积最大，再结合点到直线的距离公式代入计算，即可得到结果. 【详解】设圆心到直线的距离为，到直线的距离为， 又圆心坐标为，所以，又半径为， 则当最大时，， 此时的面积也最大，最大值为. 故选：D. 6. 已知抛物线的焦点为为上一点，，当的周长最小时，的面积为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】点到准线距离，的周长最小，则最小，必须使得三点共线，求出此时点坐标，可求的面积. 【详解】如图，， 作垂直于的准线，垂足为，由抛物线的定义知， 所以的周长为，要使周长最小， 则必须使得三点共线，即点在过垂直于的直线上（图中点处）， 将代入中，求得点，所以， 在边上的高为1， 故其面积为. 故选：A. 7. 如图，在直三棱柱中，，，，点为棱的中点，点是棱上的一点，且，则直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出、的长，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线与所成角的余弦值. 【详解】因为，，，则， 故， 在直三棱柱中，底面， 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 因为点为棱的中点，点是棱上的一点，且， 则、、、， ，， 所以，. 因此，直线与所成角的余弦值为. 故选：D. 8. 已知是椭圆的一个焦点，是的上顶点，的延长线交于点，若，则的离心率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据椭圆的定义，结合余弦定理即可求解. 【详解】取椭圆的另一个焦点为,连接， 则， 由可得， 故， 故由余弦定理可得， 化简可得，故， 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知事件，且，，则下列说法正确的是（　　） A. 若，则 B. 若与互斥，则 C. 若与相互独立，则 D. 若与相互独立，则 【答案】BC 【解析】 【分析】根据对立事件概率计算公式、相互独立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式直接求解. 【详解】对于A，若，则，故A错误； 对B，若与互斥，则，故B正确； 对于C，若与相互独立，则与相互独立， 所以，故C正确； 对于D，若与相互独立， 则，故D错误. 故选：BC. 10. 已知等比数列的前项积为，公比，则（ ） A. B. C. 当时，最小 D. 当时，最大 【答案】BC 【解析】 【分析】由题意，根据等比数列的性质可得，则，，，，进而，即可判断AB；根据数列的单调性即可判断CD． 【详解】对于选项AB：由题意知，由，得， 所以，得，，所以，且，， 所以，故A错误，B正确． 对于选项CD：因为，，，， 所以数列为递增数列，且当时，，当时，， 所以当时，最小，故C正确，D错误． 故选：BC． 11. 已知函数是偶函数，且在上单调递增，则下列结论中一定正确的有（ ） A. 的图象关于直线对称 B. C. D. 在上单调递减 【答案】ACD 【解析】 【分析】由是偶函数可得，即可判断A，由单调性以及对称性即可判断BCD． 【详解】是偶函数， ， 图象关于直线对称，A正确； 又在上单调递增，，但与的正负符号不确定，无法确定，的大小，B错误； ,在上单调递减， ，C正确； 令，得， 在上单调递减，D正确． 故选：ACD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若复数，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据复数的乘法运算化简，即可根据共轭的定义求解. 【详解】, 故 故答案为： 13. 已知等差数列满足，则数列的通项公式为_____；记数列的前项和为，若恒成立，则实数的取值范围为_____． 【答案】 ①. ； ②. . 【解析】 【分析】根据等差数列通项公式得到首项和公差的方程组，求出首项和公差得到通项公式，并裂项相消法求和得到，故只需故，求出答案. 【详解】由等差数列性质得， 解得， 故数列的通项公式为， 所以， 故， 故恒成立， 故， 又， 所以是递增数列，且当趋向于时，恒成立且趋向于2， 故，解得或， 实数的取值范围为. 故答案为：，. 14. 若一个圆锥的内切球与外接球的球心重合，且内切球的半径为，则该圆锥的侧面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】作出截面图形，由圆锥的侧面积公式结合题意计算可得. 【详解】 过圆锥的旋转轴作轴截面，得及其内切圆和外接圆， 且两圆同圆心，即的内心与外心重合，所以为正三角形， 由题意的半径为， 所以的边长为6， 所以圆锥的底面半径为3， 所以圆锥的侧面积． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且的周长为． （1）求角B的大小； （2）已知，，求的面积． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）先由正弦定理角化边，然后再用余弦定理求解； （2）先求，再根据正弦定理求出，最后再代入面积公式即可. 【小问1详解】 由题意得， 由正弦定理得：， 所以， 所以，又 所以. 【小问2详解】 易知角为锐角，所以， ， 由正弦定理， 所以. 16. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，，，，，为的中点. （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1） ，所以得， 又,所以， 又，，平面， 所以平面， （2） 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理得，进而证平面， （2）以为原点建立如图所示空间直角坐标系，求出平面的法向量，以及的方向向量，可求直线与平面所成角的正弦值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 知，， 以为原点建立如图所示空间直角坐标系， 则,0,,,1,,,0,,,,,,1, 则,0,,,1,,,,， 设平面的一个法向量,,， 则有，令，则有，， 平面的一个法向量,0,， 设直线与平面所成角为， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 17. 已知数列的前项和为，且． （1）证明：数列是等差数列； （2）已知，求数列的前项和． 【答案】（1） 由，得， 令，则，解得； 当时，， 所以，所以， 所以当时，， 有， 又满足上式， 所以，得， 所以数列是等差数列. （2） 【解析】 【分析】（1）根据计算可得当时，利用累乘法可得，进而，结合等差数列的定义即可证明； （2）由（1）可得，结合错位相减求和法计算即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，所以， 所以， 故， 两式相减，得 ， 所以. 18. 已知函数在区间上单调，且． （1）求函数的图象的一个对称中心； （2）若，求的解析式． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据条件确定出一个对称中心的横坐标为，由此可求结果； （2）根据单调性先求解出的范围，从而可确定出的可取值；再根据（1）中的对称中心可求满足的关系式，分析关系式结合的可取值可确定出的值，从而可知，则的解析式可求. 【小问1详解】 由题意可知，在区间上单调， 所以当时，， 则函数的图象的一个对称中心为. 【小问2详解】 由题意可知，的最小正周期，所以， 因为，所以或， 由（1）可知，，， 因为，所以， 所以，或，， 若，，则，，即，，， 易知，不存在，，使得或； 若，，则，，即，，， 易知，当即时，， 此时，， 由，得， 所以. 综上可知，. 19. 若椭圆的长轴长，短轴长分别等于双曲线的实轴长，虚轴长，且椭圆和双曲线的焦点在同一坐标轴上，则称椭圆是双曲线的共轭椭圆，双曲线是椭圆的共轭双曲线．已知椭圆的共轭双曲线为． （1）求双曲线的标准方程； （2）已知点，直线（不过点）与相交于、两点，且，求点到直线的距离的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题中定义可得出双曲线的标准方程； （2）对直线的斜率是否存在进行分类讨论，设出直线的方程，将该直线方程与双曲线方程联立，由题意可得出，利用平面向量数量积的坐标运算可得出关于直线方程中参数的值或参数之间的关系，求出直线所过定点的坐标，即可求出点到直线的距离. 【小问1详解】 解：由题意可设的标准方程为，则，， 所以双曲线的标准方程为． 【小问2详解】 解：当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 设点、， 联立，得， 所以且， 即且， 由韦达定理可得，， ． 因为，且，， 所以 ． 所以或． 当时，直线恒过点，不合题意， 当时，直线恒过点，合乎题意； 当直线的斜率不存在时，设直线的方程为， 则、 因为，所以，解得或（舍去）． 所以直线恒过点， 所以当直线时，点到直线的距离最大，距离的最大值为． 【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下： （1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明； （2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点； （3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 太和中学高二上学期第四次教学质量检测卷 数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4．本卷命题范围：人教A版必修第一册，必修第二册，选择性必修第一册，选择性必修第二册第四章～第五章第1节. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数，则从到的平均变化率为（ ） A. 2 B. C. D. 3. 2024年度最具幸福感城市调查推选活动于9月16日正式启动，在100个地级及以上的候选城市名单中，成都市入选.“幸福感指数”是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态满意程度的指标，常用区间内的一个数来表示，该数越接近10表示满意度越高，现随机抽取10位成都市居民，他们的幸福感指数分别为4，5，6，7，7，7，8，8，9，9，则下列说法错误的是（ ） A. 该组数据的第60百分位数为7.5 B. 该组数据的极差为5 C. 该组数据的平均数为7.5 D. 该组数据的中位数为7 4. 若数列的前四项依次为2，12，112，1112，则的一个通项公式为（ ） A. B. C. D. 5. 已知点，在直线上运动，且，点在圆上，则的面积的最大值为（ ） A. B. C. 20 D. 15 6. 已知抛物线的焦点为为上一点，，当的周长最小时，的面积为（ ） A. B. 1 C. D. 2 7. 如图，在直三棱柱中，，，，点为棱的中点，点是棱上的一点，且，则直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知是椭圆的一个焦点，是的上顶点，的延长线交于点，若，则的离心率是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知事件，且，，则下列说法正确的是（　　） A. 若，则 B. 若与互斥，则 C. 若与相互独立，则 D. 若与相互独立，则 10. 已知等比数列的前项积为，公比，则（ ） A. B. C. 当时，最小 D. 当时，最大 11. 已知函数是偶函数，且在上单调递增，则下列结论中一定正确的有（ ） A. 的图象关于直线对称 B. C. D. 在上单调递减 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若复数，则_____． 13. 已知等差数列满足，则数列的通项公式为_____；记数列的前项和为，若恒成立，则实数的取值范围为_____． 14. 若一个圆锥的内切球与外接球的球心重合，且内切球的半径为，则该圆锥的侧面积为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且的周长为． （1）求角B的大小； （2）已知，，求的面积． 16. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，，，，，为的中点. （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 17. 已知数列的前项和为，且． （1）证明：数列是等差数列； （2）已知，求数列的前项和． 18. 已知函数在区间上单调，且． （1）求函数的图象的一个对称中心； （2）若，求的解析式． 19. 若椭圆的长轴长，短轴长分别等于双曲线的实轴长，虚轴长，且椭圆和双曲线的焦点在同一坐标轴上，则称椭圆是双曲线的共轭椭圆，双曲线是椭圆的共轭双曲线．已知椭圆的共轭双曲线为． （1）求双曲线的标准方程； （2）已知点，直线（不过点）与相交于、两点，且，求点到直线的距离的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $