七年级数学上学期期末重难点必刷卷（上海专用）-【尖子生培优】2024-2025学年七年级数学上学期重难点压轴题突破专练（沪教版五四制2024）

2024-2025学年七年级数学上学期期末重难点必刷卷 （考试时间：100分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版七上全部。 5．难度系数：0.6。 一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．如图1，从一个边长为4的正方形纸片上剪掉两个边长为a的小正方形，得到如图2所示的图形．若图2中图形的周长为22，则a的值是（    ） A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 2．下列说法正确的是（   ） A．的系数是 B．的常数项为1 C．的次数是6次 D．是二次三项式 3．计算  的结果为（    ） A． B． C． D．2 4．围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有4000多年的历史．一棋谱中四部分的截图由黑白棋子摆成的图案是中心对称的是（    ） A． B． C． D． 5．下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥中符合平方差公式特征的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 6．已知x是整数，且 为整数，则所有符合条件的x的值的和为（        ） A．12 B．15 C．18 D．20 二、填空题（本大题共12小题，每小题4分，满分48分） 7．在镜子中看到电子表显示的时间是，电子表上实际显示的时间为 ． 8．如图，将绕点B顺时针旋转一定的角度得到，此时点C在边上，若，，则的长是 ． 9．若关于x的方程的解为正数，则m的取值范围是 ． 10．若，则代数式的值为 ． 11．分式的最简公分母是 ． 12．多项式的公因式是： ． 13．如果A、B都是关于x的单项式，且是一个九次单项式，是一个五次整式，那么是一个 次整式． 14．某地居民生活饮用水收费标准为：若每月用水量不超过20立方米，每立方米收取a 元，若用量超过20立方米，则超过部分按照元每立方米收取．小红家9月饮用水用水量为26立方米，则小红家9月应交水费 元． 15．如果与的和是单项式，那么 ． 16．已知m，n为正整数，，且，则 ． 17．已知，，则的值为 ． 18．式子，此时，叫做以为底的对数，记为（即）．一般地，若（且，），则叫做以为底的对数，记为（即）．如，则叫做以为底的对数，记为，则，同理，．由此可以得到下列式子：，根据以上的信息及运算关系，若，则 三、解答题（本大题共7题，共78分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19．已知：，． (1)试化简：，结果用含a、b的式子表示． (2)若式子的值与字母a的取值无关，求的值． 20．因式分解： (1) (2) (3) (4)； 21．（1）计算∶； （2）． 22．如图所示，是两个边长分别为a、b的正方形 (1)用含a、b的代数式表示阴影部分的面积S； (2)如果，，求阴影部分的面积． 23．为治理污水，甲、乙两区都需要各自铺设一段污水排放管道，甲、乙两区八月份都各铺了米，九月份和十月份中，甲区的工作量平均每月增长率为，乙区则平均每月减少率为． (1)求十月份甲、乙两区各铺设了多少米的排污管？（分别用含字母、的代数式表示）； (2)如果，且，那么十月份甲区比乙区多铺多少米排污管？ 24．根据信息，完成下列活动任务： 素材：商店通常用以下来确定两种糖混合而成的什锦糖的价格：设A种糖的单价为a元/千克，B种糖的单价为b元/千克，则m千克A种糖和n千克B种糖混合而成的什锦糖的单价为（平均价）． 任务1：若，求10千克A种糖和30千克B种糖混合而成的什锦糖的单价． 任务2：在任务1的前提下，商店要使什锦糖的价格降低1元，则需加入哪一种糖，多少千克？ 任务3：现有甲、乙两种什锦糖，均由A、B两种糖混合而成．其中甲种什锦糖由相同质量的A，B两种糖果混合而成；乙种什锦糖由相同总价的A，B两种糖果混合而成，请选择合适的方法比较甲、乙两种什锦糖哪一种什锦糖的单价较高？ 25．综合与实践 【提出问题】唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河，”中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马．如图1，将军从山脚下的点A出发，到达河岸点P饮马后再回到点B宿营，他时常想，怎么走，才能使他每天走的路程之和最短呢？ 【分析问题】 小亮：作B关于直线l的对称点，连接与直线l交于点C，点C就是饮马的地方，此时所走的路程就是最短的．（如图2） 小慧：你能详细解释为什么吗？ 小亮：如图3，在直线l上另取任一点，连接，，，我只要证明． ∵直线l是点B，的对称轴，点C，在l上， ∴ ， ， 请完整地写出小亮的证明过程． 【解决问题】 如图4，将军牵马从军营P处出发，到河流饮马，再到草地吃草，最后回到P处，试分别在边和上各找一点E、F，使得走过的路程最短．（保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路径用实线．） 试卷第2页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年七年级数学上学期期末重难点必刷卷 （考试时间：100分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版七上全部。 5．难度系数：0.6。 一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．如图1，从一个边长为4的正方形纸片上剪掉两个边长为a的小正方形，得到如图2所示的图形．若图2中图形的周长为22，则a的值是（    ） A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 【答案】A 【分析】本题考查了平移的性质，一元一次方程的应用，根据所给图形及周长列出关于a的一元一次方程，解方程即可． 【详解】解：由题意得， 解得， 故选A． 2．下列说法正确的是（   ） A．的系数是 B．的常数项为1 C．的次数是6次 D．是二次三项式 【答案】D 【分析】本题考查了单项式与多项式的相关概念，由数与字母的积和字母与字母的积组成的代数式叫做单项式；单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数；一个单项式中,所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数；几个单项式的和（或者差），叫做多项式，多项式中的每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高项次数，就是这个多项式的次数，其中多项式中不含字母的项叫做常数项，根据单项式以及多项式的概念逐项分析即可得解，熟练掌握单项式及多项式的有关概念是解题的关键． 【详解】解：A、的系数是，故原说法错误，不符合题意； B、的常数项为，故原说法错误，不符合题意； C、的次数是次，故原说法错误，不符合题意； D、是二次三项式，故原说法正确，符合题意； 故选：D． 3．计算  的结果为（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查了含乘方的有理数运算，提取公因式，化简计算即可． 【详解】解：原式 故选：B． 4．围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有4000多年的历史．一棋谱中四部分的截图由黑白棋子摆成的图案是中心对称的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了中心对称图形定义，关键是找出对称中心．把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，根据中心对称图形的概念求解． 【详解】解：选项A能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以是中心对称图形； 选项B、C、D不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形； 故选：A． 5．下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥中符合平方差公式特征的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查平方差公式：，解题的关键是掌握平方差公式的特点：左边是两个二项式相乘，且两个二项式中有一项相同，另一项互为相反数；右边是两项的平方差（相同项的平方减去相反项的平方）；公式中的和可以是单项式，也可以是多项式．据此判断即可． 【详解】解：①符合平方差公式的特点； ②不符合平方差公式的特点； ③，符合平方差公式的特点； ④，符合平方差公式的特点； ⑤不符合平方差公式的特点； ⑥，符合平方差公式的特点； ∴符合平方差公式特征的有个． 故选：C． 6．已知x是整数，且 为整数，则所有符合条件的x的值的和为（        ） A．12 B．15 C．18 D．20 【答案】A 【分析】本题考查了分式的加法运算；先把分式通分化简得，根据分母为2的因数即可求得x的值，再把所有这些值相加即可． 【详解】解： ； 由于x为整数，且原式为整数， 所以或， 解得：或2或5或1， ∴， 故选：A． 二、填空题（本大题共12小题，每小题4分，满分48分） 7．在镜子中看到电子表显示的时间是，电子表上实际显示的时间为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了镜面对称，在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右颠倒且关于镜面对称，据此可得答案． 【详解】 解：在镜子中看到电子表显示的时间是，电子表上实际显示的时间为， 故答案为：． 8．如图，将绕点B顺时针旋转一定的角度得到，此时点C在边上，若，，则的长是 ． 【答案】3 【分析】本题考查了旋转的性质．由旋转的性质可得，，即可求解．理解旋转前后的对应线段相等是解题的关键． 【详解】解：将绕点顺时针旋转一定的角度得到， ，， ． 故答案为：3． 9．若关于x的方程的解为正数，则m的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题主要考查了根据分式方程解的情况求参数，先解方程得到，再根据分式方程的解为正数，且不能有增根得到，据此求解即可． 【详解】解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， ∵关于x的方程的解为正数， ∴， ∴且， 故答案为：且． 10．若，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是分式的化简求值，由条件可得，再化简，再整体代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ； 故答案为： 11．分式的最简公分母是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是最简公分母的确定，求分式的最简公分母就是将所有的分母分解因式，最简公分母就是所有不同的因式最高次幂之积．此题只要将所有的分母分解因式，找出所有不同的因式最高次幂之积即可． 【详解】解：，， 所以最简公分母为， 故答案为： 12．多项式的公因式是： ． 【答案】/ 【分析】本题考查了公因式，解题的关键是正确理解公因式的定义，本题属于基础题型．根据公因式的定义即可找出该多项式的公因式． 【详解】解：原式； 故答案为：． 13．如果A、B都是关于x的单项式，且是一个九次单项式，是一个五次整式，那么是一个 次整式． 【答案】五 【分析】本题考查了整式的加减计算，单项式乘以单项式，解题的关键是掌握单项式乘单项式，整式的加减运算． 利用单项式乘单项式，整式的加减运算法则来判断即可． 【详解】解：∵A、B都是关于x的单项式，且是一个九次单项式，是一个五次多项式， ∴单项式A、B一个是五次单项式，一个是四次单项式， ∴的次数是五次． 故答案为：五． 14．某地居民生活饮用水收费标准为：若每月用水量不超过20立方米，每立方米收取a 元，若用量超过20立方米，则超过部分按照元每立方米收取．小红家9月饮用水用水量为26立方米，则小红家9月应交水费 元． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了整式加减的应用，正确理解题意是解题的关键．根据所给的收费标准进行列式求解即可． 【详解】解：根据题意，得 ， ∴小红家9月应交水费元． 15．如果与的和是单项式，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查同类项，根据同类项的定义（所含字母相同，相同字母的指数相同）列出方程，求出、的值，再代入计算即可．解题的关键是掌握同类项的概念． 【详解】解：∵与的和是单项式， ∴与是同类项， ∴，， 解得：，， ∴． 故答案为：． 16．已知m，n为正整数，，且，则 ． 【答案】13 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，把两边同时乘以3得到，再利用十字相乘法分解因式得到，根据，，可得，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵m、n都为正整数 ∴都是大于1的正整数， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：13． 17．已知，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查同底数幂的乘除法的逆运算、幂的乘方的逆运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据同底数幂的乘除法的逆运算、幂的乘方的逆运算进行解题即可． 【详解】解：由题意知，， 故答案为：． 18．式子，此时，叫做以为底的对数，记为（即）．一般地，若（且，），则叫做以为底的对数，记为（即）．如，则叫做以为底的对数，记为，则，同理，．由此可以得到下列式子：，根据以上的信息及运算关系，若，则 【答案】/ 【分析】本题考查新定义，同底数幂的乘法，设，，，则，，，再根据同底数幂的乘法及新定义得到，和的关系，求解即可．正确理解新定义是解题的关键． 【详解】解：设，，， ∴，，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 解得：． 故答案为：． 三、解答题（本大题共7题，共78分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19．已知：，． (1)试化简：，结果用含a、b的式子表示． (2)若式子的值与字母a的取值无关，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了整式的加减-化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）先将化简为，然后代入M、N的值整理即得结论； （2）由（1）得，根据与字母a的取值无关，令即可求得b的值，再化简，最后代入b的值，即得结论． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ； （2）解：由（1）得， ∵式子与a的取值无关， ∴， 解得：， 原式 ， ∵， ∴原式． 20．因式分解： (1) (2) (3) (4)； 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）先提公因式，再利用平方差公式分解因式； （2）先用平方差公式，再利用完全平方公式分解因式； （3）先提公因式，再利用完全平方公式分解因式； （4）先将原式分组，再利用平方差公式分解因式． 本题主要考查了分解因式．分解因式时，首先观察是否有公因式，如果有公因式，则先提公因式，然后再利用公式法分解因式．熟练掌握分解因式的方法是解题的关键． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 21．（1）计算∶； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查分式的混合运算，负整数指数幂； （1）先根据负整数幂和零指数幂化简各个数字，再计算即可； （2）先算负整数指数幂和幂的乘方，再算分数的乘除，最后约分化简即可． 【详解】解：（1） ； （2） ． 22．如图所示，是两个边长分别为a、b的正方形 (1)用含a、b的代数式表示阴影部分的面积S； (2)如果，，求阴影部分的面积． 【答案】(1) (2)14 【分析】本题考查了整式加减的应用，单项式与多项式的乘法的应用，解题的关键是利用面积的和差关系求出阴影部分的面积． （1）根据图形可得阴影部分面积为两个正方形的面积和减去空白部分，即可得关系式； （2）代入，，计算即可得答案． 【详解】（1）解：由图可知阴影部分面积为两个正方形面积和减去空白面积， 即 答：阴影部分的面积表示为． （2）当，时， ． 答：阴影部分的面积为14． 23．为治理污水，甲、乙两区都需要各自铺设一段污水排放管道，甲、乙两区八月份都各铺了米，九月份和十月份中，甲区的工作量平均每月增长率为，乙区则平均每月减少率为． (1)求十月份甲、乙两区各铺设了多少米的排污管？（分别用含字母、的代数式表示）； (2)如果，且，那么十月份甲区比乙区多铺多少米排污管？ 【答案】(1)甲区铺设了 米的排污管，乙区铺设了米的排污管； (2)十月份甲区比乙区多铺60米排污管 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，列代数式： （1）根据，甲、乙两区八月份都各铺了米，九月份和十月份中，甲区的工作量平均每月增长率为，乙区则平均每月减少率为列出对应的代数式即可； （2）根据（1）所求用甲区十月铺设的米数减去乙区十月铺设的米数，再根据，且计算求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，十月份甲区铺设了 米的排污管，乙区铺设了米的排污管； （2）解： ， 当，时，原式， ∴十月份甲区比乙区多铺60米排污管． 24．根据信息，完成下列活动任务： 素材：商店通常用以下来确定两种糖混合而成的什锦糖的价格：设A种糖的单价为a元/千克，B种糖的单价为b元/千克，则m千克A种糖和n千克B种糖混合而成的什锦糖的单价为（平均价）． 任务1：若，求10千克A种糖和30千克B种糖混合而成的什锦糖的单价． 任务2：在任务1的前提下，商店要使什锦糖的价格降低1元，则需加入哪一种糖，多少千克？ 任务3：现有甲、乙两种什锦糖，均由A、B两种糖混合而成．其中甲种什锦糖由相同质量的A，B两种糖果混合而成；乙种什锦糖由相同总价的A，B两种糖果混合而成，请选择合适的方法比较甲、乙两种什锦糖哪一种什锦糖的单价较高？ 【答案】（1）10千克A种糖和30千克B种糖混合而成的什锦糖的单价为27元/千克；（2）加5千克A糖，可以使什锦糖的价格降低1元；（3）当时，甲种糖果的价格高，当时，两种糖果的价格一样 【分析】本题考查了分式方程的应用，找到相等关系和作差法是解题的关键． 任务1：根据素材计算； 任务2：根据“什锦糖的价格降低1元”列方程求解； 任务3：根据作差法求解． 【详解】解：任务1：（元/千克）， 答：10千克A种糖和30千克B种糖混合而成的什锦糖的单价为27元/千克； 任务2：若加A种糖x千克，则有： ， 解得：， 经检验：是这个方程的解； 若加B种y千克，则有： ， 解得：， 经检验：是原分式方程的解，当时不合题意，舍去； 答：加5千克A糖，可以使什锦糖的价格降低1元； （3）甲糖的价格为：， 乙糖果的价格为：， ∴，只有当时取等号， ∴当时，甲种糖果的价格高，当时，两种糖果的价格一样． 25．综合与实践 【提出问题】唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河，”中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马．如图1，将军从山脚下的点A出发，到达河岸点P饮马后再回到点B宿营，他时常想，怎么走，才能使他每天走的路程之和最短呢？ 【分析问题】 小亮：作B关于直线l的对称点，连接与直线l交于点C，点C就是饮马的地方，此时所走的路程就是最短的．（如图2） 小慧：你能详细解释为什么吗？ 小亮：如图3，在直线l上另取任一点，连接，，，我只要证明． ∵直线l是点B，的对称轴，点C，在l上， ∴ ， ， 请完整地写出小亮的证明过程． 【解决问题】 如图4，将军牵马从军营P处出发，到河流饮马，再到草地吃草，最后回到P处，试分别在边和上各找一点E、F，使得走过的路程最短．（保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路径用实线．） 【答案】分析问题：见解析；解决问题：见解析 【分析】本题主要考查了轴对称最短路径问题： （1）先由轴对称的性质得到，，则，，再由两点之间线段最短即可证明结论； （2）如图所示，分别作点P关于的对称点C、D，连接分别交于E、F，则路线即为所求． 【详解】解：分析问题：∵直线l是点B，的对称轴，点C，在l上， ∴，， ∴，， 由两点之间线段最短可知，， ∴， ∴作B关于直线l的对称点，连接与直线l交于点C，点C就是饮马的地方； 解决问题：如图所示，分别作点P关于的对称点C、D，连接分别交于E、F，则路线即为所求． 易证明，则，根据两点之间线段最短可得路线即为所求． 试卷第2页，共6页 试卷第1页，共6页 学科网（北京）股份有限公司 $$