精品解析：天津市南仓中学2024-2025学年高一上学期12月月考数学试题

天津市南仓中学2024至2025学年度第一学期 高一年级12月过程性检测（数学学科） 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷两部分，共120分，考试用时100分钟． 第Ⅰ卷至1页，第Ⅱ卷至2页． 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题纸上．答卷时，考生务必将答案涂写在答题纸上，答在试卷上的无效． 祝各位考生考试顺利！ 第Ⅰ卷 注意事项： 1．每小题选出答案后，用铅笔将机读卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 2．本卷共9小题，共36分． 一、选择题（每小题4分，共36分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列四组函数中，表示同一函数的一组是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 函数是定义域为的偶函数，且在上单调递减， 则（    ） A. B. C. D. 4. 函数的部分图像大致为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 函数的零点所在区间为（ ） A. B. C. D. 7. 若函数为幂函数，且在区间上单调递增，则（ ） A. B. 3 C. 或3 D. 2或 8. 下列命题中正确的是（ ） A. 对于命题，使得，则，均有 B. 在其定义域内既是奇函数又是增函数 C. 任意，不等式恒成立，则的范围是 D. 函数且的图象恒过定点 9. 已知函数，则函数的零点个数是（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 第Ⅱ卷 注意事项： 1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题纸上． 2．本卷共11小题，共84分． 二、填空题（每小题4分，共24分） 10. 已知集合，，若，则______． 11. 已知函数，则函数的定义域为_____________. 12. 设为奇函数，且在内是严格减函数，，则的解集为______． 13. 设，，则“”是“”的______条件． 14. 设函数，的值域是______． 15. 已知函数，若，，且，则的最小值是______；取得最小值时的值为______． 三、解答题 16. 已知函数的定义域为集合，集合． （1）若全集，，求； （2）若，求实数的取值范围． 17. 已知指数函数（且）的图象过点． （1）求实数的值； （2）若，，求的值； （3）求不等式的解集． 18. 计算下列各式的值： （1）； （2）． 19. 函数， （1）若的解集是或，求实数，的值； （2）当时，若，求实数的值； （3），若，求的解集. 20. 已知函数为奇函数. （1）写出的定义域，并求的值； （2）判断函数的单调性，并利用定义加以证明； （3）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天津市南仓中学2024至2025学年度第一学期 高一年级12月过程性检测（数学学科） 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷两部分，共120分，考试用时100分钟． 第Ⅰ卷至1页，第Ⅱ卷至2页． 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题纸上．答卷时，考生务必将答案涂写在答题纸上，答在试卷上的无效． 祝各位考生考试顺利！ 第Ⅰ卷 注意事项： 1．每小题选出答案后，用铅笔将机读卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 2．本卷共9小题，共36分． 一、选择题（每小题4分，共36分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】解不等式求得集合，然后利用交集的定义求解． 【详解】∵，， ∴． 故选：A． 2. 下列四组函数中，表示同一函数的一组是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】根据同一函数的概念判断． 【详解】对于A，由得，则的定义域为， 由得或，则的定义域为， 两个函数的定义域不同，所以不是同一函数，故A错误； 对于B，函数的定义域为，的定义域为， 两个函数的定义域不同，所以不是同一函数，故B错误； 对于C，的定义域为，的定义域为， 两个函数的定义域不同，所以不是同一函数，故C错误； 对于D，函数的定义域为，的定义域为，且， 它们的定义域和对应关系均相同，所以这两个函数是同一函数，故D正确． 故选：D． 3. 函数是定义域为的偶函数，且在上单调递减， 则（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据偶函数的定义，得到，再结合在上的单调性，即可得到答案. 【详解】因为是定义域为的偶函数，可得， 又因为在上单调递减，且，所以， 所以. 故选：D. 4. 函数的部分图像大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性排除C；当时，可排除A，D，从而可得答案. 【详解】函数的定义域为， ∵， ∴是奇函数，图象关于原点对称，故排除C； ∵当时，，故排除A，D. 故选：B. 5. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据指数函数及对数函数的单调性，计算比较指数幂及对数式即可. 【详解】因为，，， 所以. 故选：C. 6. 函数的零点所在区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先判断函数的单调性，再根据零点存在性定理判断即可． 【详解】定义域为， ∵在上单调递增， ∴在上单调递增， ∵，， 即，所以在上存在唯一零点． 故选：B． 7. 若函数为幂函数，且在区间上单调递增，则（ ） A. B. 3 C. 或3 D. 2或 【答案】A 【解析】 【分析】由幂函数及单调性列出满足的条件求解即可. 【详解】函数为幂函数，且在区间上单调递增， 所以，解得， 故选：A 8. 下列命题中正确的是（ ） A. 对于命题，使得，则，均有 B. 在其定义域内既是奇函数又是增函数 C. 任意，不等式恒成立，则的范围是 D. 函数且的图象恒过定点 【答案】D 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定可判断A，利用幂函数的性质可判断B，分和两种情况，结合二次函数分析求解可判断C，根据指数函数性质可判断D. 【详解】对A，因为全称量词命题的否定为存在量词命题知： 命题，使得，则，均有，错误； 对B，因为，其定义域为，其不关于原点对称， 故函数不具有奇偶性，错误； 对C，若关于x的不等式在恒成立， 当即时，则不等式恒成立，符合题意； 当即时，则，解得； 综上所述：的取值范围为，错误； 对D，因为函数且，令，可得， 即函数图象恒过定点，正确； 故选：D. 9. 已知函数，则函数的零点个数是（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】先利用零点和根的关系得到或，然后再利用函数的零点和函数交点的关系求零点的个数即可. 【详解】函数的零点， 即方程和的根，函数的图象，如下图所示： 由图可得方程和的根，共有4个根，即函数有4个零点． 故选：C． 第Ⅱ卷 注意事项： 1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题纸上． 2．本卷共11小题，共84分． 二、填空题（每小题4分，共24分） 10. 已知集合，，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据交集的定义求得，然后利用并集的定义求出答案． 【详解】集合，， 若，则，解得，所以， ∴，， ∴． 故答案为：． 11. 已知函数，则函数的定义域为_____________. 【答案】 【解析】 【分析】根据对数真数大于0，偶次根式非负以及分母不为0列式求解. 【详解】函数的定义需满足，得， 所以函数的定义域为. 故答案为： 12. 设为奇函数，且在内是严格减函数，，则的解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】首先根据奇函数和单调性的性质，确定和得到解集. 【详解】根据奇函数的性质可知，，且在区间单调递减， 所以，得或，得或， ，得，或， 所以不等式的解集为. 故答案为： 13. 设，，则“”是“”的______条件． 【答案】必要不充分 【解析】 【分析】由必要不充分条件的概念判断即可. 【详解】由，所以或，所以或， 但是反过来由，则，所以， 故“”是“”的必要不充分条件. 故答案为：必要不充分 14. 设函数，的值域是______． 【答案】 【解析】 【分析】对于分段函数的值域，两段分别求出值域，然后求解并集即可. 【详解】当时，单调递减，所以， 故的值域为：， 当时，单调递增，，故的值域为：， 综上，的值域为. 故答案为：. 15. 已知函数，若，，且，则的最小值是______；取得最小值时的值为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】由函数，判断出奇偶性和单调性可知，然后利用“1”的代换结合基本不等式求解即可. 【详解】函数，所以， 所以为奇函数，易知函数在上递增. 因为，所以， 即有，所以， ， 当且仅当时等号成立，即，所以， 故答案为：；. 三、解答题 16. 已知函数的定义域为集合，集合． （1）若全集，，求； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求出集合，再结合补集、交集的定义，即可求解； （2）由已知条件推得，再分是否为空集讨论，即可求解． 【小问1详解】 函数有意义，有，解得， ∴函数定义域为，即， 当时，， ∴或， ∴． 【小问2详解】 若，则， 当时，，符合题意； 当时，集合， 则，解得，故， 综上所述，实数的取值范围为． 17. 已知指数函数（且）的图象过点． （1）求实数的值； （2）若，，求的值； （3）求不等式的解集． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用代入法进行求解即可； （2）由条件列式求出即可； （3）利用指数函数的单调性进行求解即可． 【小问1详解】 ∵指数函数（且）的图象过点， ∴，又且， ∴解得． 【小问2详解】 ，若，， 则，解得， ∴． 【小问3详解】 ∵，，∴， 又函数在上单调递减， ∴，解得， ∴不等式的解集为． 18. 计算下列各式的值： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由指数幂的运算求解即可； （2）由对数的运算性质求解即可. 【小问1详解】 【小问2详解】 . 19. 函数， （1）若的解集是或，求实数，的值； （2）当时，若，求实数的值； （3），若，求的解集. 【答案】（1）， （2） （3）当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 【解析】 【分析】（1）根据三个二次的关系可求参数的值. （2）先求出，再根据代数式恒相等可求的值. （3）原不等式即为，就不同情形分类讨论后可得不等式的解. 【小问1详解】 不等式的解集为或， ，且的两根为，， ，，，. 【小问2详解】 ， 得，. 【小问3详解】 ，， 即， （1）当时， （2）当时，则， ①当时，； ②当时，若，即时，或 ， 若，即时， ； 若，即时，或 ； 综上所述：当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 20. 已知函数为奇函数. （1）写出的定义域，并求的值； （2）判断函数的单调性，并利用定义加以证明； （3）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）定义域为， （2） 由（1）知：， 则函数在定义域上单调递增， 证明如下： 设任意的，则 因为，则，则， 又，， 所以，，即， 所以，函数在定义域上单调递增. （3） 【解析】 【分析】（1）根据即可求解，根据奇函数的定义即可验证奇偶性， （2）利用单调性的定义，结合指数函数的单调性即可求解， （3）根据函数的单调性以及奇偶性，结合二次型函数恒成立，利用判别式即可求解. 【小问1详解】 对任意的，，则函数的定义域为， 则，解得，此时，， 满足， 所以，当时，函数为奇函数. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为不等式对任意的恒成立， 且函数为上的奇函数， 所以，对任意的恒成立， 又因为函数为增函数，则， 则对任意的恒成立， 所以，，解得. 因此，实数的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $