精品解析： 江苏省无锡市锡山区2024-2025学年八年级上学期月考数学试卷（12月份）

2024-2025学年江苏省无锡市锡山区八年级（上） 月考数学试卷（12月份） 一、选择题（本大题共10题，每题3分，共30分.） 1. 下列四个图形中，不是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，解答本题的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A，C，D选项中的图形都能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； B选项中的图形不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； 故选：B． 2. 在、、1.808008000、这4个数中，有理数有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数和无理数的概念以及算术平方根的知识，根据有理数的概念解答即可，熟练掌握有理数的概念是解决此题的关键． 【详解】解：在、、1.808008000、这4个数中，有理数有、1.808008000共计2个， 故选B． 3. 下列各组数据，能作为直角三角形三边长的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股数的定义，及勾股定理的逆定理：已知的三边满足，则是直角三角形，掌握勾股数的定义及勾股定理的逆定理是解答本题的关键． 根据勾股数是正整数以及勾股定理的逆定理逐项判断即可解答． 【详解】解：A、， 不能组成三角形，故A选项错误； B、， 不能作为直角三角形三边长，故B选项错误； C、， 能作为直角三角形三边长，故C选项正确； D、， 不能作为直角三角形三边长，故D选项错误． 故选：C． 4. 如果等腰三角形的两边长分别是和，那么它的周长是（　　） A. B. C. 或 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形的三边关系，利用分类讨论的思想解决问题是关键．分两种情况讨论，由三角形三边关系定理判定等腰三角形的腰长是，即可求出等腰三角形的周长． 【详解】解：如果等腰三角形的腰长， ∵，不满足三角形三边关系定理， ∴等腰三角形的腰长不能是， 如果等腰三角形的腰长是， ∵，满足三角形三边关系定理， ∴等腰三角形的周长． 故选：D． 5. 如图，点D、E分别在上，与相交于点O，已知，现添加下面的哪一条件后，仍不能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形全等的判定定理逐项判断即可． 【详解】当时， ∵，， ∴，故添加A选项能判定，不符合题意； 当时， ∵，， ∴，故添加B选项能判定，不符合题意； 当时， ∵，， ∴，故添加C选项能判定，不符合题意； 当时， ∵三个内角分别相等的两个三角形无法判断其全等，故添加D选项不能判定，符合题意． 故选D． 【点睛】本题考查添加条件使三角形全等．熟练掌握三角形全等的判定定理是解题关键． 6. 同一平面直角坐标系中，一次函数y=k1x+b的图象与一次函数y=k2x的图象如图所示，则关于x的方程k1x+b=k2x的解为 A. x=-1 B. x=0 C. x=-2. D. x=1 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数图象交点的横坐标是关于x的方程的解，可得答案． 【详解】解：由函数图象，得两直线的交点坐标是（-1，-2）， k1x+b=k2x的解为x=-1， 故选A． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次方程，两个一次函数图象的交点的横坐标是相应方程的解． 7. 如图，△ABC中，BD平分∠ABC，BC的中垂线交BC于点E，交BD于点F，连接CF．若∠A=60°，∠ABD=24°，则∠ACF的度数为（ ） A. 48° B. 36° C. 30° D. 24° 【答案】A 【解析】 【详解】∵BD平分∠ABC， ∴∠DBC=∠ABD=24°， ∵∠A=60°， ∴∠ACB=180°﹣60°﹣24°×2=72°， ∵BC的中垂线交BC于点E， ∴BF=CF， ∴∠FCB=24°， ∴∠ACF=72°﹣24°=48°， 故选A． 8. 点A（a﹣3，﹣1）与点B（2，b+2）关于x轴对称，则a，b的值分别是（　　） A. a=1，b=﹣3 B. a=1，b=﹣1 C. a=5，b=﹣3 D. a=5，b=﹣1 【答案】D 【解析】 【分析】关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，可得答案． 【详解】（2，b+2）与点（a-3，-1）关于x轴对称，得 a-3=2，b+2=1． 解得a=5，b=-1， 故选D． 【点睛】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数． 9. 如图：在中，平分平分，且交于M，若，则等于（　　） A. 75 B. 100 C. 120 D. 125 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，等角对等边，角平分线的定义和平行线的性质． 先由平行线的性质和平角的定义证明，再证明，得到，据此利用勾股定理即可得到答案． 【详解】解：∵平分平分， ∴， ，即， ∴为直角三角形， 又∵，平分平分， ∴ ∴， 由勾股定理可知． 故选B． 10. 如图，在中，，，平分交于E，于D，交的延长线于，连接，给出四个结论：①；②；③④；其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】作，，，垂足为、，证明，由全等三角形的性质得出，，证明为等腰直角三角形，可判断①正确；求出，可得为的中线，进而可判断②；证明，，进而可判断③；证明，得出，，求出，证明，求出可判断④． 【详解】解：作，，，垂足为、， ，， ， 又，， ， ，， 又， 为等腰直角三角形， ，①正确； ，， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ，②正确； 平分，，， ，， ∵， ∴为等腰直角三角形， ， ， ，③正确； ，，， ， ，， ，， ， ， 在和中，， ， ， ， ∴；④正确； 故选D． 【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理，等腰三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，角平分线的性质，等腰直角三角形的性质等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行推理是解此题的关键． 二、填空题（本大题共8题，每空3分，共24分.） 11. 的立方根的平方根是 _______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查学生对算术平方根，立方根，算术平方根的定义的应用，主要考查学生的计算能力．先求出，再求出8的立方根，最后求出2的平方根即可． 【详解】解：∵，8的立方根是2 ∴的立方根是2， ∴的立方根的平方根是 故答案为：． 12. 某市市域面积约为16972平方公里，将数据16972精确到百位，并用科学记数法表示为 ___． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，注意对一个数进行四舍五入时，若要求近似到个位以前的数位时，首先要对这个数用科学记数法表示．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，且比原数的整数位少一位；取精确度时，需要精确到哪位就数到哪位，然后根据四舍五入的原理进行取舍． 【详解】解：数据用四舍五入法精确到百位为，用科学记数法表示为， 故答案为：． 13. 已知点在第二象限，且到y轴的距离为2，则点P的坐标为 _______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了象限内的点的坐标，直接利用第二象限点的坐标性质结合到y轴的距离为2，得出a的值，进而得出点P的坐标，正确利用坐标性质得出a的值是解题关键． 【详解】解：∵点在第二象限，且到y轴的距离为2， ∴， 解得：， ∴， 则点P的坐标为：， 故答案为：． 14. 已知点在一次函数的图象上，则的立方根是 __． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征，立方根，代数式求值，熟知一次函数图象上点的坐标一定适合此函数的解析式是解题的关键． 先把点代入一次函数，求出、的关系式，代入代数式进行计算即可． 【详解】解：∵点在一次函数的图象上， ∴， ∴， ∴ ∴的立方根是． 故答案为：． 15. 如图，点、、、在线段上，且，如果那么_________． 【答案】52 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质，求得，再根据三角形的外角定理得进一步推论，求得的度数． 【详解】∵， ∴ ∴ 同理： ∵ ∴ ∴ 故答案为：52 【点睛】本题考查等腰三角形的性质和三角形外角的定理，解题的关键是熟练运用等腰三角形的性质进行证明． 16. 已知直线为常数，且．当变化时，下列结论正确的有 _______． ①当，图象经过一、三、四象限； ②当时，随的增大而减小； ③坐标原点到定点的距离是； ④直线必过定点． 【答案】①③##③① 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数的性质，根据一次函数的图象与系数的关系及增减性判断①②；根据直线过定点得出定点坐标判断④；利用两点间的距离公式即可判断③． 【详解】解：当时，， 此时一次函数，经过一、三、四象限，故①正确； 对于直线为常数，且， 当时，即时，随的增大而增大；故②错误； 直线， 当时，， 直线过定点，故④错误； 由④知直线必过定点， 坐标原点到定点的距离是，故③正确． 故答案为：①③． 17. 如图，在中，，，点D在上，，点P、E分别是、上动点，当的值最小时，，则的长为 _______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称最短路径问题，等边三角形和直角三角形等知识点，当点、、 （关于的对称点）三点共线且于点时，的值最小，再根据等边三角形的性质，即可求出答案，熟练掌握轴对称最短路径问题，等边三角形的性质和直角三角形中，所对的直角边是斜边的一半是解决此题的关键． 【详解】如图所示，以为对称轴作，的对称点为， ， 当三点共线时，且时，的值最小， ∵，，， ∴， ， ， ， 是等边三角形， ， 故答案为：14． 18. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交点于，且，，以为边长作等边三角形，过点作平行于轴，交直线于点，以为边长作等边三角形，过点作平行于轴，交直线于点，以为边长作等边三角形，依次进行下去，则点的横坐标是 _______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查点的规律的相关知识，等边三角形的判定及性质，30度直角三角形的性质，解题关键是把点的横坐标的用底数为的幂表示出来．分别求出的横坐标，总结规律，进而得到的横坐标即可． 【详解】解：延长交轴于点，交轴于点，作轴于点， ∵轴，，轴， ∴， ∵是等边三角形，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， ， ∴点的横坐标为：． ∴点的横坐标为：． 故答案为：． 三、解答题（共7题，66分） 19. 计算与解方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的运算，平方根的定义，立方根的定义等知识点， （1）先根据算术平方根、负整数指数幂、零指数幂的运算法则计算，再根据有理数的加减法则计算即可； （2）先根据零指数幂、立方根、负整数指数幂的运算法则计算，再根据有理数的加减法则计算即可； （3）根据平方根的定义解方程即可； （4）根据立方根的定义解方程即可； 熟练掌握实数的运算，平方根的定义，立方根的定义是解此题的关键． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解：， ， ， ， ，； 【小问4详解】 解：， ， ， ． 20. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点、、的坐标分别为、、． （1） ； （2）画出关于x轴对称的； （3）已知点在轴上，且，则点的坐标是 ． 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查作图﹣轴对称变换，点的坐标，三角形的面积，解题的关键是掌握轴对称变换的性质． （1）把三角形的面积看成矩形的面积减去周围的三个三角形面积即可； （2）利用轴对称变换的性质分别作出、、都是对应点，，即可； （3）线段的垂直平分线与轴的交点即为所求． 【小问1详解】 解： ． 故答案为：； 【小问2详解】 解：如图，即为所求； 【小问3详解】 解：点在轴上，且 点在垂直平分线上． 作的垂直平分线上，如上图，点即为所求，． 21. 某景区门票价格80元/人，为吸引游客，对门票价格进行动态管理，非节假日打折，节假日期间，10人以下（包括10人）不打折，10人以上超过10人的部分打折，设游客为人，门票费用为元，非节假日门票费用（元）及节假日门票费用（元）与游客（人）之间的函数关系如图． （1）请写出与之间的函数关系式为_________________． （2）求当时，与之间的函数关系式． （3）导游小王6月10日（非节假日）带A旅游团，6月20日（端午节）带B旅游团（人数超过10人）到该景区旅游，两团共计50人，两次共付门票费用3040元，求A、B两个旅游团各多少人？ 【答案】（1） （2）y2=64x+160(x10) （3）A团有20人，B团有30人 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求正比例函数解析式求出y1的函数关系式即可， （2）利用待定系数法求一次函数解析式求出y2与x的函数关系式即可； （3）根据函数图象，用购票款数除以定价的款数，计算即可求出a的值；用第11人到20人的购票款数除以定价的款数，计算即可求出b的值；设A团有n人，表示出B团的人数为（50-n），然后分0≤n≤10与n＞10两种情况，根据（2）的函数关系式列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：设y1=k1x， ∵函数图象经过点（0，0）和（10，480）， ∴10k1=480， ∴k1=48， ∴y1=48x； 【小问2详解】 解：当时，设y2=kx+b， ∵函数图象经过点（10，800）和（20，1440）， ∴， ∴， ∴y2=64x+160； 【小问3详解】 解：由y1图象上点（10，480），得到10人的费用为480元， ∴a=×10=6； 由y2图象上点（10，800）和（20，1440），得到20人中后10人费用为640元， ∴b=×10=8； 设B团有n人，则A团的人数为（50-n）， 当0≤n<10时，80n+80×6×（50-n）=3040， 解得n=20（不符合题意舍去）， 当n10时，80×10+80×8×（n-10）+80×6×（50-n）=3040， 解得n=30， 则50-n=50-30=20． 答：A团有20人，B团有30人． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，主要利用了待定系数法求一次函数解析式，准确识图获取必要的信息并理解打折的意义是解题的关键，（3）要注意分情况讨论． 22. 在直角坐标系xOy中，直线l过（1，3）和（2，1）两点，且与x轴，y轴分别交于A，B两点. （1）求直线l的函数关系式； （2）求△AOB的面积. 【答案】（1）y=－2x+5；（2）． 【解析】 【详解】试题分析：（1）首先设直线的函数解析式为y=kx+b，然后再利用待定系数法求出函数解析式；（2）根据函数解析式分别求出点A和点B的坐标，从而得出三角形的面积． 试题解析：（1）设直线l的函数关系式为y=kx+b（k≠0），把（1，3），（2，1）代入得 解方程组得 ∴直线l的函数关系式为y=﹣2x+5； （2）在y=﹣2x+5中， 令x=0，得y=5， ∴B（0，5）， 令y=0，得x=， ∴， ∴S△AOB=AO•BO=××5=． 考点：一次函数的性质 23. 如图，Rt△ABC中，∠CAB＝90°，∠ACB＝30°，D是AB上一点（不与A、B重合），DE⊥BC于E，若P是CD的中点，请判断△PAE的形状，并说明理由． 【答案】等边三角形，理由见解析 【解析】 【分析】首先根据直角三角形斜边中线的性质和三角形外角的性质得出，， ，然后根据角的和即可得出，从而证明△PAE是等边三角形． 【详解】△PAE是等边三角形，理由如下： ∵Rt△CAD中，∠CAB＝90°，P是CD的中点， ， ， ． 同理，在Rt△CAD中，，， ． 即△PAE是等腰三角形， ， ∴△PAE是等边三角形． 【点睛】本题主要考查等边三角形的判定，掌握直角三角形斜边中线的性质，三角形外角的性质和等边三角形的判定是解题的关键． 24. 某班级在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：直线l同旁有两个定点A、B，在直线l上存在点P，使得的值最小．解法：如图1，作点A关于直线l的对称点，连接，则与直线l的交点即为P，且的最小值为． 请利用上述模型解决下列问题： （1）几何应用：如图2，中，，，E是的中点，P是边上的一动点，则的最小值为 ； （2）代数应用：求代数式的最小值； （3）几何拓展：如图3，，，，若在、上各取一点M、N使的值最小，最小值是 ． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）作点E关于直线的对称点，连接，根据“将军饮马问题”得到的最小值为，根据勾股定理求出，得到答案； （2）根据勾股定理构造图形，根据轴对称——最短路线问题得到最小值就是求的值，根据勾股定理计算即可； （3）作点C关于直线的对称点，作于N交于M，连接，根据等边三角形的性质解答． 【小问1详解】 解：如图2，作点E关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即为P，且的最小值为， 作交的延长线于F， 由题意得，，， ∴的最小值 故答案为：； 【小问2详解】 构造图形如图3所示，，，，于A，于B，， 则， 代数式的最小值就是求的值， 作点C关于的对称点，过作交的延长线于E． 则，，， ∴所求代数式的最小值是5； 【小问3详解】 解：如图4，作点C关于直线的对称点，作于N交于M，连接， 则，， ∴为等边三角形， ∴的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是轴对称——最短路线问题、勾股定理、等边三角形的判定和性质，解这类问题的关键是将实际问题抽象或转化为数学模型，把两条线段的和转化为一条线段． 25. 如图，一次函数的图象与轴正半轴交于点，与轴正半轴交于点，点在轴上．将直线沿直线翻折，使得点的对应点落在y轴上．已知点的坐标为，． （1）若点在y轴负半轴上，求直线的函数表达式； （2）已知在（1）的条件下，存在第一象限内的点，使得与以、、为顶点的三角形全等，试求出点的坐标； （3）直线上是否存在点（异于点），使得？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）点坐标为或 （3）存在，点的坐标为或 【解析】 【分析】（1）由对称性得到，，由勾股定理得到，用待定系数法即可求的解析式； （2）分两种情况：当点与点关于直线对称时，；当轴，轴时，，再根据全等三角形的性质，找到等边，建立关系求解； （3）当点与点关于点对称时，，设，根据，即可求点坐标；当点在轴正半轴时，设，根据，求点坐标即可． 【小问1详解】 解：如图1， ，， ， 由对称性可知，，， ∴， 在中，， 中，， 即， 解得， ， 设所在直线解析式为， 将，代入， ， 解得， 故所在直线解析式为； 【小问2详解】 解：①如图2， 当点与点关于直线对称时，， 点在直线上， ，， ， ， ， 设直线的解析式为， ， 解得， ， 设， ， ， ； ②如图3， 当轴，轴时，， 此时，，，， ； 综上所述：点坐标为或； 【小问3详解】 解：存在，理由如下： 如图4， 当点与点关于点对称时，， ， 点在直线上， 设， ， ， ， （舍）或； 故点坐标为； 如图5，当点在轴正半轴时， ，， ， ，， 由对称性可知，， ， 设， 根据折叠的性质，有， 即， 解得， ， ， 设直线的解析式为：， 将，代入，得 ， 解得：， 故直线的解析式为：， 点在直线上， 设， ， ， ， 解得(舍)或， 综上所述，点的坐标为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年江苏省无锡市锡山区八年级（上） 月考数学试卷（12月份） 一、选择题（本大题共10题，每题3分，共30分.） 1. 下列四个图形中，不是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 在、、1.808008000、这4个数中，有理数有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 3. 下列各组数据，能作为直角三角形三边长的是（　　） A. B. C. D. 4. 如果等腰三角形的两边长分别是和，那么它的周长是（　　） A. B. C. 或 D. 5. 如图，点D、E分别在上，与相交于点O，已知，现添加下面的哪一条件后，仍不能判定的是（ ） A. B. C. D. 6. 同一平面直角坐标系中，一次函数y=k1x+b的图象与一次函数y=k2x的图象如图所示，则关于x的方程k1x+b=k2x的解为 A. x=-1 B. x=0 C. x=-2. D. x=1 7. 如图，△ABC中，BD平分∠ABC，BC的中垂线交BC于点E，交BD于点F，连接CF．若∠A=60°，∠ABD=24°，则∠ACF的度数为（ ） A. 48° B. 36° C. 30° D. 24° 8. 点A（a﹣3，﹣1）与点B（2，b+2）关于x轴对称，则a，b的值分别是（　　） A. a=1，b=﹣3 B. a=1，b=﹣1 C. a=5，b=﹣3 D. a=5，b=﹣1 9. 如图：在中，平分平分，且交于M，若，则等于（　　） A. 75 B. 100 C. 120 D. 125 10. 如图，在中，，，平分交于E，于D，交的延长线于，连接，给出四个结论：①；②；③④；其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本大题共8题，每空3分，共24分.） 11. 的立方根的平方根是 _______． 12. 某市市域面积约为16972平方公里，将数据16972精确到百位，并用科学记数法表示为 ___． 13. 已知点在第二象限，且到y轴的距离为2，则点P的坐标为 _______． 14. 已知点在一次函数的图象上，则的立方根是 __． 15. 如图，点、、、在线段上，且，如果那么_________． 16. 已知直线为常数，且．当变化时，下列结论正确的有 _______． ①当，图象经过一、三、四象限； ②当时，随的增大而减小； ③坐标原点到定点的距离是； ④直线必过定点． 17. 如图，在中，，，点D在上，，点P、E分别是、上动点，当的值最小时，，则的长为 _______． 18. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交点于，且，，以为边长作等边三角形，过点作平行于轴，交直线于点，以为边长作等边三角形，过点作平行于轴，交直线于点，以为边长作等边三角形，依次进行下去，则点的横坐标是 _______． 三、解答题（共7题，66分） 19. 计算与解方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 20. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点、、的坐标分别为、、． （1） ； （2）画出关于x轴对称的； （3）已知点在轴上，且，则点的坐标是 ． 21. 某景区门票价格80元/人，为吸引游客，对门票价格进行动态管理，非节假日打折，节假日期间，10人以下（包括10人）不打折，10人以上超过10人的部分打折，设游客为人，门票费用为元，非节假日门票费用（元）及节假日门票费用（元）与游客（人）之间的函数关系如图． （1）请写出与之间的函数关系式为_________________． （2）求当时，与之间的函数关系式． （3）导游小王6月10日（非节假日）带A旅游团，6月20日（端午节）带B旅游团（人数超过10人）到该景区旅游，两团共计50人，两次共付门票费用3040元，求A、B两个旅游团各多少人？ 22. 在直角坐标系xOy中，直线l过（1，3）和（2，1）两点，且与x轴，y轴分别交于A，B两点. （1）求直线l的函数关系式； （2）求△AOB的面积. 23. 如图，Rt△ABC中，∠CAB＝90°，∠ACB＝30°，D是AB上一点（不与A、B重合），DE⊥BC于E，若P是CD的中点，请判断△PAE的形状，并说明理由． 24. 某班级在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：直线l同旁有两个定点A、B，在直线l上存在点P，使得的值最小．解法：如图1，作点A关于直线l的对称点，连接，则与直线l的交点即为P，且的最小值为． 请利用上述模型解决下列问题： （1）几何应用：如图2，中，，，E是的中点，P是边上的一动点，则的最小值为 ； （2）代数应用：求代数式的最小值； （3）几何拓展：如图3，，，，若在、上各取一点M、N使的值最小，最小值是 ． 25. 如图，一次函数的图象与轴正半轴交于点，与轴正半轴交于点，点在轴上．将直线沿直线翻折，使得点的对应点落在y轴上．已知点的坐标为，． （1）若点在y轴负半轴上，求直线的函数表达式； （2）已知在（1）的条件下，存在第一象限内的点，使得与以、、为顶点的三角形全等，试求出点的坐标； （3）直线上是否存在点（异于点），使得？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $