精品解析：山东省青岛市第一中学2024-2025学年高二上学期12月阶段性检测数学试卷

2024—2025学年度第一学期高二年级阶段性检测 数学试题 2024.12 满分150分，考试时间120分钟 注意事项（请考生答题前先看清试卷和答题卡上的注意事项或说明．） 试题答案全部答到答题卡上，在草稿纸、试题上答题无效，考试结束只交答题卡. 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 等差数列的首项，且，则（ ） A. 4044 B. 4045 C. 4046 D. 4047 2. 已知O为坐标原点，F为抛物线焦点，点在C上，且，则C的方程为（ ）． A. B. C. D. 3. 已知数列是等差数列，数列是等比数列，若，，则（ ） A. 2 B. C. D. 4. 如图所示，，是双曲线的左、右焦点，双曲线的右支上存在一点满足，与双曲线的左支的交点A平分线段，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 5. 若数列满足，，则（ ） A. B. 2 C. 3 D. 6. 若双曲线（，）的一条渐近线被圆所截得的弦长为4，则C的离心率为（ ） A B. C. D. 2 7. 如图，设、分别是椭圆的左、右焦点，点是以为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点，延长与椭圆交于点，若，则直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知数列满足递推公式，且，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分；两个选项正确，选对一个得3分；三个选项正确，选对一个得2分，两个得4分；选错或不答得0分. 9. 数列的前n项和为，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则数列前5项和最大 B. 若等比数列是递减数列，则公比q满足 C. 已知等差数列的前n项和为，若，则 D. 已知为等差数列，则数列也是等差数列 10. 已知点是椭圆的左、右顶点，点，分别为C的左、右焦点，点O为原点，点是椭圆上关于原点对称的两点，且不与重合，则（ ） A. 的取值范围是 B. C. 以线段为直径的圆被直线截得的弦长为 D. 直线与直线斜率之积 11. 设等比数列的公比为，前项积为，且满足条件，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. 的值是中最大的 D. 使成立的最大自然数等于4044 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知数列的前n项和，则数列的通项公式为________ 13. 已知抛物线的焦点为为上一点，为的准线与轴的交点，．若为坐标原点，则______． 14. 椭圆的光学性质：从椭圆一个焦点发出的光，经过椭圆反射后，反射光线都汇聚到椭圆的另一个焦点上.已知椭圆，、为其左、右焦点.是上的动点，点，且的最大值为，则____________.动直线为椭圆的切线，右焦点关于直线的对称点为，则点到直线的距离的取值范围为____________. 四、解答题：本题共5小题，共77分. 15. 已知数列的前n项和，且满足． （1）求的通项公式； （2）记数列的前项乘积为，求的最小值． 16. 在直三棱柱中，，分别为棱中点. （1）证明：平面； （2）若，且，则当为何值时，有？ 17. 设椭圆的右焦点为，左右顶点分别为，.已知椭圆的离心率为，. （1）求椭圆的方程； （2）已知为椭圆上一动点（不与端点重合），直线交轴于点，且，若三角形与三角形面积比为1:2，求直线的方程. 18. 已知双曲线C：的右焦点为，且C的一条渐近线恰好与直线垂直. （1）求C的方程； （2）直线l：与C的右支交于A，B两点，点D在C上，且轴.求证：直线BD过点F. 19. 若集合A表示由满足一定条件的全体直线组成的集合，定义：若集合A中的每一条直线都是某圆上一点处的切线，且该圆上每一点处的切线都是A中的一条直线，则称该圆为集合A的包络圆． （1）若圆是集合的包络圆． （ⅰ）求a，b满足的关系式； （ⅱ）若，求t的取值范围； （2）若集合的包络圆为C，P是C上任意一点，判断y轴上是否存在定点M，N，使得，若存在，求出点M，N的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度第一学期高二年级阶段性检测 数学试题 2024.12 满分150分，考试时间120分钟 注意事项（请考生答题前先看清试卷和答题卡上的注意事项或说明．） 试题答案全部答到答题卡上，在草稿纸、试题上答题无效，考试结束只交答题卡. 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 等差数列的首项，且，则（ ） A. 4044 B. 4045 C. 4046 D. 4047 【答案】B 【解析】 【分析】设出等差数列的公差，利用题时的比例式以及通项公式，可得答案. 【详解】设等差数列的公差为，由， ， 可得，则，解得， . 故选：B. 2. 已知O为坐标原点，F为抛物线的焦点，点在C上，且，则C的方程为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线的定义得，结合得，将代入抛物线的方程即可解得的值，进而得C的方程. 【详解】 由抛物线的定义，得， 又，，则，即， 因此，由点在C上，得，结合，解得， 所以C的方程为． 故选：B． 3. 已知数列是等差数列，数列是等比数列，若，，则（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列等差中项和等比数列等比中项的性质即可求解. 【详解】因为数列是等差数列， ，所以 ，，又数列是等比数列，，则， ，，. 故选：C 4. 如图所示，，是双曲线的左、右焦点，双曲线的右支上存在一点满足，与双曲线的左支的交点A平分线段，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，由双曲线的定义可求得，，，利用勾股定理求得，在中利用勾股定理即可求得的关系式，从而求得答案. 【详解】设，由双曲线的定义得，，， 由得， 解得，所以，， 在中，由勾股定理得 ， 整理得 ，即双曲线的离心率 ， 故选：C． 5. 若数列满足，，则（ ） A. B. 2 C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】先分析归纳出数列的周期，利用周期可得答案. 【详解】∵数列满足，，∴， ∴，，，， ∴是周期为3的周期数列，而，故． 故选：A 6. 若双曲线（，）的一条渐近线被圆所截得的弦长为4，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据弦长和半径求出弦心距，利用点到直线的距离公式得到的关系式，从而求离心率. 【详解】由可得其渐近线为， 依题意，圆的圆心到的距离为，化简得：， 则． 故选：D 7. 如图，设、分别是椭圆的左、右焦点，点是以为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点，延长与椭圆交于点，若，则直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由点为圆与椭圆的焦点，可得，，结合条件，应用勾股定理即可得. 【详解】 连接、， 由在以为直径的圆上，故， 、在椭圆上，故有，， 设，则， 则有，， 即可得，解得， 故，则， 故. 故选：C. 8. 已知数列满足递推公式，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】对两边取对数得，令，则可得是以为首项，2为公比的等比数列，求出，从而可求出，进而可求得结果. 【详解】由题意可得，则由，得， 所以， 令，则， 所以数列是以为首项，2为公比的等比数列， 所以，所以， 所以， 所以 . 故选：A 【点睛】关键点点睛：此题考查等比数列的判定及等比数列的求和公式的应用，解题的关键是对已知递推式两边取对数变形构造等比数列，考查数学转化思想和计算能力，属于较难题. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分；两个选项正确，选对一个得3分；三个选项正确，选对一个得2分，两个得4分；选错或不答得0分. 9. 数列的前n项和为，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则数列的前5项和最大 B. 若等比数列是递减数列，则公比q满足 C. 已知等差数列的前n项和为，若，则 D. 已知为等差数列，则数列也是等差数列 【答案】CD 【解析】 【分析】根据等差数列的单调性判断A，根据等比数列的单调性判断B，根据等差数列前项和公式及下标和性质判断C，根据等差数列的定义判断D. 【详解】选项A，由，令，解得，令，解得， ，所以，，又数列单调递减，故数列前6项的和最大，故A错误； 选项B，当，时，等比数列也是递减数列，故B错误； 选项C，，∴若，则，故C正确； 选项D，若为等差数列，则， ∴，则（为常数）， ∴数列也是等差数列，故D正确． 故选：CD 10. 已知点是椭圆的左、右顶点，点，分别为C的左、右焦点，点O为原点，点是椭圆上关于原点对称的两点，且不与重合，则（ ） A. 的取值范围是 B. C. 以线段为直径的圆被直线截得的弦长为 D. 直线与直线的斜率之积 【答案】AD 【解析】 【分析】利用焦半径公式计算可判定A，利用椭圆的对称性及定义可判定B，利用点到直线的距离公式及弦长公式计算可判定C，利用两点斜率公式计算可判定D. 【详解】 易知， 对于A，设，易知， 则 ，故A正确； 对于B，易知四边形为平行四边形， 即，故B错误； 对于C，易知以线段为直径的圆其圆心为原点，半径为， 则圆心到直线的距离为， 则相应弦长为，故C错误； 对于D，易知，故D正确. 故选：AD 11. 设等比数列的公比为，前项积为，且满足条件，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. 的值是中最大的 D. 使成立的最大自然数等于4044 【答案】AD 【解析】 【分析】先由条件分类讨论得到，，再利用等比数列的性质即可求解. 【详解】，，， 同号，且或， 若，则不同号； 若，则，不满足要求； 故可得，，故A正确； ，且，可得，故B错； ，又，且最大，故C错； ，且为等比数列， 由等比数列的性质可得，， 使成立的最大自然数等于4044，故D正确. 故选：AD. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于推得，进而得到，从而得解. 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知数列的前n项和，则数列的通项公式为________ 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用前n项和与第n项的关系求出通项公式. 【详解】数列的前n项和， 当时，， 而，不满足上式， 所以数列的通项公式为. 故答案为： 13. 已知抛物线的焦点为为上一点，为的准线与轴的交点，．若为坐标原点，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据圆的性质，可得点满足的方程，联立抛物线方程，可得点的坐标，根据余弦的定义，可得答案. 【详解】 由题意知为线段的中点，又，所以． 设，则． 由为上一点，得． 将代入，可得， 解得（负值已舍去）， 则． 故答案为： 14. 椭圆的光学性质：从椭圆一个焦点发出的光，经过椭圆反射后，反射光线都汇聚到椭圆的另一个焦点上.已知椭圆，、为其左、右焦点.是上的动点，点，且的最大值为，则____________.动直线为椭圆的切线，右焦点关于直线的对称点为，则点到直线的距离的取值范围为____________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据椭圆定义可得出，可得出，当且仅当为射线与椭圆的交点时，等号成立，可求出的值，进而可得出，根据椭圆的光学性质可得出点的轨迹是以为圆心，半径为的圆，结合圆的几何性质可求得的取值范围. 【详解】根据椭圆定义得， 所以，， 当且仅当为射线与椭圆的交点时，等号成立， 因为的最大值为，且，则，解得， 则. 设切椭圆于点， 由椭圆的光学性质可得、、三点共线，， 则点的轨迹是以为圆心，半径为的圆， 所以，到直线的距离为， 由圆的几何性质可知，点到直线的距离最小值，最大值，即. 故答案为：；. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种： 一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值； 二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值． 四、解答题：本题共5小题，共77分. 15. 已知数列的前n项和，且满足． （1）求的通项公式； （2）记数列的前项乘积为，求的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由与的关系，先判定是等比数列，再求出数列的通项公式. （2）根据（1）中的结果，表示出，结合二次函数和指数函数的单调性求最小值. 【小问1详解】 当时，. 当时，，且， 两式相减得：. 所以是以为首项，以为公比的等比数列. 所以 【小问2详解】 由（1）可知：， 所以. 所以当或时，相等且最小，为. 16. 在直三棱柱中，，分别为棱中点. （1）证明：平面； （2）若，且，则当为何值时，有？ 【答案】（1）证明见详解 （2） 【解析】 【分析】（1）构造平行四边形得线线平行，结合线面平行判断定理即可证明. （2）如图建立空间直角坐标系，设，得出各点坐标，令，即可求解. 【小问1详解】 取的中点为，连接， 分别为的中点，结合题意得，且， 故四边形为平行四边形， ， 又平面，平面， 平面. 【小问2详解】 ，取中点为，则有， 连接，由题意得底面，如图以为原点，以分别为轴正方向建立空间直角坐标系， 设，， 则， ， 则， 得，由题意得， 即当时有. 17. 设椭圆的右焦点为，左右顶点分别为，.已知椭圆的离心率为，. （1）求椭圆的方程； （2）已知为椭圆上一动点（不与端点重合），直线交轴于点，且，若三角形与三角形的面积比为1:2，求直线的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知线段长度与离心率，求解出的值，然后根据求解出的值，则椭圆方程可求； （2）根据条件将问题转化为三角形与三角形的面积比，由此得到关于的关系式，通过联立直线与椭圆方程求得对应坐标，然后求解出参数值得的坐标，则可求直线方程. 【小问1详解】 因为，，，所以， 所以，所以， 所以椭圆方程为； 【小问2详解】 如图，因为三角形与三角形的面积之比为， 所以三角形与三角形的面积比为， 所以，得， 显然直线的斜率不为0，设直线的方程为， 联立，所以， 所以，， 所以，解得， 当时，， 当时，， 故直线的方程为. 18. 已知双曲线C：的右焦点为，且C的一条渐近线恰好与直线垂直. （1）求C的方程； （2）直线l：与C的右支交于A，B两点，点D在C上，且轴.求证：直线BD过点F. 【答案】（1） （2） 由题意可知直线l的斜率存在且不为0，所以， 设，，则，由（1）可知，双曲线C的渐近线为， 又直线l与双曲线C的右支交于A，B两点，则，即. 联立，消去x得， 则，得， ，，则， 又，所以，， 所以， 所以，又，有公共点F，所以B，F，D三点共线， 所以直线BD过点F. 【解析】 【分析】（1）根据焦点坐标及渐近线的斜率列式求解即可； （2）设点的坐标，联立直线与双曲线方程，韦达定理，根据向量共线坐标运算得三点共线，即证. 【小问1详解】 由焦点坐标为得，所以， 又双曲线C：的一条渐近线恰好与直线垂直， 得即，所以， 所以双曲线C的方程为，即. 【小问2详解】 略 19. 若集合A表示由满足一定条件的全体直线组成的集合，定义：若集合A中的每一条直线都是某圆上一点处的切线，且该圆上每一点处的切线都是A中的一条直线，则称该圆为集合A的包络圆． （1）若圆是集合的包络圆． （ⅰ）求a，b满足的关系式； （ⅱ）若，求t的取值范围； （2）若集合的包络圆为C，P是C上任意一点，判断y轴上是否存在定点M，N，使得，若存在，求出点M，N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）（ⅰ）；（ⅱ）. （2），或， 【解析】 【分析】（1）（i）根据所给新定义，利用圆心到直线距离等于半径得解； （ii）转化为圆与直线有公共点列出不等式求解即可； （2）根据新定义，可得出圆的方程，再设轴上存在定点，，使得，化简可知方程有解，求解即可得出点的坐标. 【小问1详解】 （ⅰ）因为圆：是集合的包络圆， 所以圆心到直线的距离为2， 所以. （ⅱ）由及，可得圆与直线有公共点， 所以. 所以的取值范围是. 【小问2详解】 设，由题意可知：点到直线的距离是与无关的定值， 所以为无关的定值. 所以，故，此时. 所以圆：. 设，则即. 假设轴上存在点、，使得， 即， 即恒成立， 所以，解得或. 所以，或，. 【点睛】关键点点睛：解决此类题目，关键在于理解所给的新定义，利用新定义去解决问题，对能力要求较高. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $