第05讲 一元二次方程根的判别式-【寒假自学课】2025年八年级数学寒假提升精品讲义（沪科版）

第05讲 一元二次方程根的判别式 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根及两个实根是否相等； 根的判别式 一般地，式子叫做一元二次方程根的判别式，通常用希腊字母，即. 根的情况与判别式的关系 方程有两个不相等的实根: 方程有两个相等的实根： 方程无实根 考点01：根据判别式判断方程根的情况 例题1.已知关于的一元二次方程． (1)判断此方程根的情况，并说明理由； (2)当时，求方程的根． 【变式1-1】（24-25九年级上·四川眉山·期中）关于方程的根的情况，下列说法正确的是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．有一个实数根 D．没有实数根 【变式1-2】一元二次方程 的根的情况是（    ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【变式1-3】已知关于x的一元二次方程． (1)若方程有一个解为0，求k的值； (2)求证：方程有两个不相等的实数根； 例题2．（24-25九年级上·江苏徐州·期中）已知关于x的一元二次方程． 求证：不论m为何值，该方程总有两个实数根． 【变式2-1】（24-25九年级上·广东河源·期中）已知关于x的一元二次方程．求证：无论k取何值，该方程总有两个实数根． 【变式2-2】（24-25九年级上·山西吕梁·期中）已知关于的一元二次方程，试说明：不论为何值，此方程总有实数根． 【变式2-3】已知关于的一元二次方程 (1)求证：无论取何实数值，方程总有实数根； (2)若的一边长，另两边长恰好是这个方程的两个根，求的取值范围． 考点02：根据一元二次方程根的情况求参数 例题3．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是 ． 【变式3-1】（24-25九年级上·陕西西安·期中）关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．且 【变式3-2】若一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是（　） A． B． C． D． 【变式3-3】（24-25九年级上·吉林长春·期末）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是 ． 例题4．（24-25九年级上·天津河东·期中）已知关于的一元二次方程（为常数）． (1)若是该方程的一个实数根，求的值； (2)若该方程有两个实数根，求的取值范围． 【变式4-1】（24-25九年级上·北京东城·期中）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求m的取值范围； (2)若m为符合条件的最大整数，求此时方程的根． 【变式4-2】（24-25九年级上·广东中山·期中）已知关于x的一元二次方程． (1)当时，求这个方程的解； (2)当m为何值时，此方程有两个相等的实数根？ 【变式4-3】已知关于x的方程． (1)若方程有两个不相等的实数根，求p的取值范围； (2)对p选取一个合适的整数，使原方程有两个实数根，并解这个方程． 例题5．已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，求证：是非负数． 【变式5-1】（24-25九年级上·安徽芜湖·期中）若关于x的方程有实根，试化简． 【变式5-2】（24-25八年级上·上海黄浦·期中）已知关于x的方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)若为整数，且，是方程的一个根，求代数式的值． 【变式5-3】已知关于x的一元二次方程．其中a，b，c分别为三边的长． (1)如果是方程的根，试判断的形状，并说明理由； (2)如果方程有两个相等的实数根，试判断的形状，并说明理由； (3)如果是等边三角形，试求这个一元二次方程的根． 一、单选题 1．（23-24八年级下·安徽马鞍山·期中）若一元二次方程有实数解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·安徽阜阳·期中）若关于x的一元二次方程有实数根，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D．且 3．（23-24七年级下·安徽马鞍山·期中）关于x的方程有实数根，则a的取值范围是（    ） A．且 B． C．且 D． 4．（23-24八年级下·安徽安庆·期中）已知a，b，c为常数，，则关于x的一元二次方程的根的情况为（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判定 二、填空题 5．（23-24八年级下·安徽蚌埠·期中）一元二次方程有两个相等的实数根，则 ． 6．（23-24九年级上·安徽宿州·期中）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ． 三、解答题 7．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）若关于的方程有实数根，求的取值范围． 8．（23-24八年级下·安徽亳州·期中）已知关于的一元二次方程，求证：无论取何值，该方程一定有实数根，并用含有的代数式表示方程的根． 9．（22-23八年级下·安徽滁州·期末）已知关于x的方程有两个不相等的实数根，化简：． 10．（23-24八年级下·安徽安庆·期中）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：方程有两个不相等的实数根； (2)若的两边、的长是方程的两个实数根，第三边的长为4，当是等腰三角形时，求k的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 一元二次方程根的判别式 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根及两个实根是否相等； 根的判别式 一般地，式子叫做一元二次方程根的判别式，通常用希腊字母，即. 根的情况与判别式的关系 方程有两个不相等的实根: 方程有两个相等的实根： 方程无实根 考点01：根据判别式判断方程根的情况 例题1.已知关于的一元二次方程． (1)判断此方程根的情况，并说明理由； (2)当时，求方程的根． 【答案】(1)方程有两个不相等的实数根，理由见解析 (2)， 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，解题的关键是掌握相关知识． （1）判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式的值的符号即可； （2）把的值代入方程，然后解方程即可． 【解析】（1）解：方程有两个不相等的实数根，理由如下： 关于的一元二次方程为， ， ， ， 即方程有两个不相等的实数根； （2）当时，原方程为， ，． 【变式1-1】（24-25九年级上·四川眉山·期中）关于方程的根的情况，下列说法正确的是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．有一个实数根 D．没有实数根 【答案】D 【分析】本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1），方程有两个不相等的实数根；（2），方程有两个相等的实数根；（3），方程没有实数根．根据根的判别式即可求出答案． 【解析】解：∵， ∴关于一元二次方程没有实数根． 故选：D． 【变式1-2】一元二次方程 的根的情况是（    ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程 (为常数)的根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 【解析】解：∵， ∴， ∴， ∴原方程有两个不相等的实数根 故选：B． 【变式1-3】已知关于x的一元二次方程． (1)若方程有一个解为0，求k的值； (2)求证：方程有两个不相等的实数根； 【答案】(1)0或 (2)证明过程见详解 【分析】本题考查了根的判别式以及解一元二次方程，解题的关键是∶(1) 代入得出关于k的一元二次方程；(2)求出的值，本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，由根的判别式来判断实数根的个数是关键． （1）将代入原方程，得出关于k的一元二次方程，解方程即可求出k的值； （2）求出的值，再与0作比较，由于，从而证出方程有两个不相等的实数根． 【解析】（1）解∶ 方程有一个根为0， ，即，解得∶，， k的值为0或． （2）证明∶， 方程有两个不相等的实数根． 例题2．（24-25九年级上·江苏徐州·期中）已知关于x的一元二次方程． 求证：不论m为何值，该方程总有两个实数根． 【答案】见解析 【分析】本题考查了一元二次方程 (为常数)的根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 计算一元二次方程根的判别式，通过配方法得出判别式大于等于0即可求解． 【解析】解：∵，， ∴ ； ∵不论m为何值， ∴不论m为何值，该方程总有两个实数根． 【变式2-1】（24-25九年级上·广东河源·期中）已知关于x的一元二次方程．求证：无论k取何值，该方程总有两个实数根． 【分析】本题考查根据判别式判断一元二次方程根的情况，掌握一元二次方程的根的判别式为，且当时，该方程有两个不相等的实数根；当时，该方程有两个相等的实数根；当时，该方程没有实数根是解题关键．求出该一元二次方程根的判别式，即可得解． 【解析】解： ． ∵， ∴， ∴无论k取何值，该方程总有两个实数根． 【变式2-2】（24-25九年级上·山西吕梁·期中）已知关于的一元二次方程，试说明：不论为何值，此方程总有实数根． 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式．熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 由题意知，，进而结论得证． 【解析】解：由题意，得． 不论为何值，此方程总有实数根． 【变式2-3】已知关于的一元二次方程 (1)求证：无论取何实数值，方程总有实数根； (2)若的一边长，另两边长恰好是这个方程的两个根，求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】本题考查了根的判别式、三角形的三边关系、求根公式： （1）先计算根的判别式，然后利用非负数的性质证明，从而得到结论； （2）先利用求根公式得到，再利用两边之和大于第三边得到，然后解不等式组得到的范围． 【解析】（1） 无论取何实数值，方程总有实数根． （2）根据求根公式可得： 解得 即 解得： 即的取值范围为． 考点02：根据一元二次方程根的情况求参数 例题3．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 利用判别式的意义得到，然后解关于的方程即可． 【解析】解：根据题意得， 解得：． 故答案为：． 【变式3-1】（24-25九年级上·陕西西安·期中）关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．且 【答案】D 【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，一元二次方程的定义，根据一元二次方程有实数根，则列出不等式，解不等式即可，需要注意二次项系数不能为0． 【解析】解：由题意得， 解得且． 故选D． 【变式3-2】若一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是（　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．根据一元二次方程根的判别式可得：，再求解即可． 【解析】解：由关于的一元二次方程有两个实数根，可得： ， 解得：； 故选：C． 【变式3-3】（24-25九年级上·吉林长春·期末）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根．由方程根的情况，根据根的判别式可得到关于a的不等式，可求得a的取值范围． 【解析】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴且， 即且， 解得且， ∴a的取值范围为且． 故答案为：且． 例题4．（24-25九年级上·天津河东·期中）已知关于的一元二次方程（为常数）． (1)若是该方程的一个实数根，求的值； (2)若该方程有两个实数根，求的取值范围． 【答案】(1) (2)且 【分析】本题主要考查根的判别式，解题的关键是对根的判别式的掌握与灵活运用． （1）将代入原方程可求出m的值； （2）根据方程的系数结合根的判别式，可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围． 【解析】（1）解：将代入原方程得： ， 解得：， 的值为； （2）解：关于的一元二次方程有两个实数根， ， 解得：， 是关于的一元二次方程， ， 的取值范围为：且． 【变式4-1】（24-25九年级上·北京东城·期中）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求m的取值范围； (2)若m为符合条件的最大整数，求此时方程的根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，因式分解法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根的判别式及解方程的方法，是解题的关键； （1）根据一元二次方程根的判别式，结合题意即可求解； （2）根据m的范围确定m的取值，代入方程，因式分解即可求得方程的根． 【解析】（1）解：因为关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， 所以， 解得； （2）解：由（1）得， 所以符合条件的最大整数为2， 即， 此时方程为， 分解因式得， 解得． 【变式4-2】（24-25九年级上·广东中山·期中）已知关于x的一元二次方程． (1)当时，求这个方程的解； (2)当m为何值时，此方程有两个相等的实数根？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程根的判别式， 对于（1），将代入，并求出解； 对于（2），根据，求出答案即可． 【解析】（1）当时，， 即， ∴， 解得； （2）∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得． 当时，一元二次方程有两个不相等的实数根． 【变式4-3】已知关于x的方程． (1)若方程有两个不相等的实数根，求p的取值范围； (2)对p选取一个合适的整数，使原方程有两个实数根，并解这个方程． 【答案】(1) (2)当时，，（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式，解题的关键是掌握当时，方程有两个不相等的实数根． （1）根据一元二次方程根的判别式即可进行解答； （2）选择一个符合条件的k的值代入求解即可． 【解析】（1）解：∵关于x的方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：． （2）当时，原方程为， ， 或， ，．（答案不唯一） 例题5．已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，求证：是非负数． 【分析】本题考查根的判别式，根据方程有两个相等的实数根，得到，进而得到，代入，得到，即可得证． 【解析】证明：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， ∴， ∴是非负数． 【变式5-1】（24-25九年级上·安徽芜湖·期中）若关于x的方程有实根，试化简． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，涉及二次根式的化简、绝对值的化简等知识，掌握相关知识是解题关键．由一元二次方程有实根得到，继而解得，再由完全平方公式因式分解，化简二次根式，结合绝对值的性质解题． 【解析】解：∵方程有实根， ∴， ∴．                                      ． 【变式5-2】（24-25八年级上·上海黄浦·期中）已知关于x的方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)若为整数，且，是方程的一个根，求代数式的值． 【答案】(1) 且 (2) 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的定义，代数式求值，理解根的判别式是解答关键． （1）根据一元二次方程的定义，根的判别式来求解； （2）根据题意先求出，进而得到，再代入代数式中进行计算求解． 【解析】（1）解：由题意得， ∴， ， ． ， 且． （2）解：由题意得：，且为的整数， ． 将，代入 得：， 将代入中 ． 【变式5-3】已知关于x的一元二次方程．其中a，b，c分别为三边的长． (1)如果是方程的根，试判断的形状，并说明理由； (2)如果方程有两个相等的实数根，试判断的形状，并说明理由； (3)如果是等边三角形，试求这个一元二次方程的根． 【答案】(1)为等腰三角形，理由见解析 (2)为直角三角形，理由见解析 (3)， 【分析】（1）把代入原方程，得出，即可得出为等腰三角形； （2）根据方程有两个相等的实数根，得出，从而得出，即可判定出为直角三角形； （3）根据是等边三角形，得出，代入原方程得出，整理得出，求出结果即可． 【解析】（1）解：将代入原方程得：， 即， ∴为等腰三角形． （2）解：∵方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， ∴为直角三角形． （3）解：∵是等边三角形， ∴， ∴原方程为：， ∵， ∴， ∴， 解得：，． 一、单选题 1．（23-24八年级下·安徽马鞍山·期中）若一元二次方程有实数解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了根据一元二次方程根得情况求参数，根据题意可知，即可求出m的取值范围． 【解析】解：根据题意可知：， 即：， 解得：， 故选：B． 2．（23-24八年级下·安徽阜阳·期中）若关于x的一元二次方程有实数根，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D．且 【答案】D 【分析】此题考查了根的判别式，解一元一次不等式，以及一元二次方程的定义，熟练掌握根的判别式的意义是解本题的关键． 根据方程有实数根，得到根的判别式大于等于0且二次项系数不为0，求出a的范围即可． 【解析】解：由题意得：， 解不等式得：， ∵该方程为一元二次方程， ∴， ∴， ∴a的取值范围是且， 故选：D． 3．（23-24七年级下·安徽马鞍山·期中）关于x的方程有实数根，则a的取值范围是（    ） A．且 B． C．且 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查一元二次方程的根的判别式．分两种情况讨论：当时，；当时，方程是一元一次方程，显然有实数根，即可得到答案． 【解析】解：∵关于的方程有实数根， ∴当时，， 解得：且， 当时，方程是一元一次方程，显然有实数根， 综上所述：． 故选：B． 4．（23-24八年级下·安徽安庆·期中）已知a，b，c为常数，，则关于x的一元二次方程的根的情况为（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判定 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此求解即可． 【解析】解：由题意得，， ∵， ∴， ∴， ∴原方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 二、填空题 5．（23-24八年级下·安徽蚌埠·期中）一元二次方程有两个相等的实数根，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元一次方程．根据一元二次方程根的判别式得出，解一元一次方程即可． 【解析】解：， 整理得：， ，，， 则， ∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 即， 解得：． 故答案为：． 6．（23-24九年级上·安徽宿州·期中）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的两个实数根；当时，方程有两个相等的两个实数根；当时，方程无实数根．利用判别式的意义得到，然后解m的不等式即可． 【解析】解：根据题意得， 解得：， 故答案为：． 三、解答题 7．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）若关于的方程有实数根，求的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查了根的判别式、一元二次方程的定义，要注意二次项系数不为． 注意分类讨论，该方程可能为一元一次方程或者一元二次方程，计算出根的判别式，令其大于等于，解出的取值范围，再要注意二次项系数不能为． 【解析】解：当， ， 此时为一元一次方程，且有实数根， 当，即时， 关于的方程有实数根， ， 解得：， 且． 综上所述，当方程有实数根． 8．（23-24八年级下·安徽亳州·期中）已知关于的一元二次方程，求证：无论取何值，该方程一定有实数根，并用含有的代数式表示方程的根． 【答案】证明见解析，， 【分析】本题考查一元二次方程的根的判别式，解一元二次方程，掌握根的根的判别式和解一元二次方程的方法是解题的关键． 先把方程整理为一般形式，求出的值，证明这个值大于或等于零，再用求根公式求出方程的根． 【解析】原方程整理，得， ∵， ∴该方程一定有实数根； 方程的根为：， ，． 9．（22-23八年级下·安徽滁州·期末）已知关于x的方程有两个不相等的实数根，化简：． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根的判别式得出，然后求解即可； 【解析】解：∵关于x的方程有两个不相等的实数根， ∴ ∴解得， ∴ ． 10．（23-24八年级下·安徽安庆·期中）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：方程有两个不相等的实数根； (2)若的两边、的长是方程的两个实数根，第三边的长为4，当是等腰三角形时，求k的值． 【答案】(1)证明见解析； (2)或 【分析】本题考查了解一元二次方程，也考查了根的判别式，解题的关键是熟练掌握因式分解求方程的解，以及具有分类讨论的思想． （1）计算判别式的值得到即可证明； （2）利用因式分解法解方程得到，求出方程的两个解为，再进行分类讨论即可． 【解析】（1）证明：． 方程有两个不相等的实数根； （2）解：由， 得， 即、的长为， 当时，即 ，满足三角形构成条件； 当时，，解得 ，满足三角形构成条件． 综上所述，或 ． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$