精品解析：福建省厦门第一中学2024—2025学年上学期八年级12月月考数学试题

福建省厦门第一中学2024~2025学年度 第一学期12月阶段测试 一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分） 1. 在，，，中，是分式的有 (　 ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 如图，要使四边形木架（用四根木条钉成）不变形，至少要再钉上的木条的根数为（ ） A. 一条 B. 两条 C. 三条 D. 四条 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，四边形是轴对称图形，所在的直线是它的对称轴，下列说法错误的是（　　） A. B. C. 垂直平分 D. 垂直平分 5. 下列计算的依据是同底数幂乘法的性质的是（ ） A. B. C. D. 6. 若与的乘积中不含x的一次项，则m的值为（ ） A. 5 B. 1 C. 0 D. ． 7. 分式有意义的条件是（ ） A. x≠0 B. y≠0 C. x≠0或y≠0 D. x≠0且y≠0 8. 如图，已知△ABC与△BDE全等，其中点D在边AB上，AB＞BC，BD=CA，DE∥AC，BC与DE交于点F，下列与AD+AC相等的是（　　） A. DE B. BE C. BF D. DF 9. 如图，直线、交于点，若、是等边的两条对称轴，且点在直线上（不与点重合），则点、中必有一个在（ ） A. 的内部 B. 的内部 C. 的内部 D. 直线上 10. 在平面直角坐标系中，点，其中，若是等腰直角三角形，且，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小趣，第11愿每空2分，其余每空4分，共28分） 11. 计算： （1）____； （2）____； （3）______； （4）____． 12. ，点在线段的垂直平分线上．______________（填推理的依据） 13. 若是一个完全平方式，则的值是___________． 14. 卫星绕地球运动的速度（即第一宇宙逑度）是米/秒，则卫星绕地球运行秒走过的路程为______千米． 15. 如图，已知的面积为15，AD平分，于点D，则的面积是______． 16. 如图，已知等边中，点在边上，连接，点在线段上，以为边向下作等边，连接．下列说法正确的是______．(只需填写序号) ①； ②当点为中点时，存在点，使得； ③当点为中点时，存在点，使得； ④对于任意点，都存在点，使得． 三、解答题（本大题共9小题，共82分） 17. 计算： （1） （2） （3） （4） 18. 分解因式： （1）； （2）． 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 如图△ABC，请用尺规作出它的外角∠BAE的平分线AD，若AD∥BC，证明：AB＝AC． 21. （1）已知，则的值． （2）已知，求的取值范围． 22. 证明：如果两个三角形有两条边和其中一边上的中线分别相等，那么这两个三角形全等。（要求：将文字命题改为几何命题、画图、写出已知求证，再写出证明过程） 23. 阅读下列材料：若满足，求的值． 解：设，，则，． ∴． 请仿照上面“巧妙换元，化繁为简”的思路与方法，解答下列问题： （1）若满足，求的值； （2）若满足，求的值； （3）如图，正方形的边长为，点分别在上，且，，分别以为边作正方形．若长方形的面积是18，求阴影部分的面积． 24. 如图，是等边的外角内部的一条射线，点关于的对称点为，连接，，，其中，分别交射线于点、． （1）依题意补全图形； （2）若，求的大小（用含的式子表示）； （3）用等式表示线段，与之间的数量关系，并证明． 25. 阅读材料： 如果整数，满足，，其中，，，都是整数，那么一定存在整数，，使得．例如，，，或，…… 根据上述材料，解决下列问题： （1）已知，，或，……若，则 ； （2）已知，（，为整数），．若，求（用含，的式子表示）； （3）一般地，上述材料中的，可以用含，，，的式子表示，请直接写出一组满足条件的，（用含，，，的式子表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 福建省厦门第一中学2024~2025学年度 第一学期12月阶段测试 一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分） 1. 在，，，中，是分式的有 (　 ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【详解】分析： 根据“分式”的定义进行分析判断即可. 详解： 由“分式的定义”可知：上述四个式子中属于分式的是：，共2个. 故选B. 点睛：熟记分式的定义：“形如，其中A、B都是整式，且B中含有字母的式子叫做分式”是解答本题的关键. 2. 如图，要使四边形木架（用四根木条钉成）不变形，至少要再钉上的木条的根数为（ ） A. 一条 B. 两条 C. 三条 D. 四条 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形具有稳定性可得结论． 【详解】根据三角形的稳定性可得：至少要再钉上1根木条（过四边形的对角线钉上1根木条）． 故选A． 【点睛】本题考查了三角形具有稳定性，掌握三角形具有稳定性，而四边形不具有稳定性是解答本题的关键． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别计算出各项的结果，再进行判断即可． 【详解】解：A.，故原选项错误； B. ，故原选项错误； C. ，计算正确； D. ，故原选项错误 故选C 【点睛】本题主要考查了合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方以及积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键． 4. 如图，四边形是轴对称图形，所在的直线是它的对称轴，下列说法错误的是（　　） A. B. C. 垂直平分 D. 垂直平分 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形的性质求解即可． 【详解】解：∵四边形是轴对称图形，所在的直线是它的对称轴， ∴，，垂直平分， ∴选项A、B、D不符合题意， 选项C中不能垂直平分，符合题意； 故选：C． 【点睛】题目主要考查轴对称图形的性质，熟练掌握轴对称图形的性质是解题关键． 5. 下列计算的依据是同底数幂乘法的性质的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了幂的乘方与积的乘方以及同底数幂的乘法，熟记幂的运算法则是解答本题的关键． 分别根据积的乘方运算法则，同底数幂的乘法法则，幂的乘方运算法则以及合并同类项法则逐一判断即可． 【详解】解：A．，根据积的乘方运算法则计算，故本选项不合题意； B．，根据同底数幂乘法的性质计算，故本选项符合题意； C．，根据幂的乘方运算法则计算，故本选项不合题意； D．，根据合并同类项法则计算，故本选项不合题意． 故选：B． 6. 若与的乘积中不含x的一次项，则m的值为（ ） A. 5 B. 1 C. 0 D. ． 【答案】D 【解析】 【分析】把式子展开，找到所有x项的所有系数，令其和为0，可求出m的值． 【详解】解：（x+m）（x+5）=x2+（5+m）x+5m， ∵结果不含x的一次项， ∴5+m=0， 解得：m=-5． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了多项式乘多项式的运算，注意当要求多项式中不含有哪一项时，应让这一项的系数为0． 7. 分式有意义的条件是（ ） A. x≠0 B. y≠0 C. x≠0或y≠0 D. x≠0且y≠0 【答案】C 【解析】 【分析】分式有意义的条件是分母不为0，只要x和y不同时是0，分母x2＋y2就一定不等于0． 【详解】解：由题意得：， ∴x≠0或y≠0； 故选C． 【点睛】本题主要考查分式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件是解题的关键． 8. 如图，已知△ABC与△BDE全等，其中点D在边AB上，AB＞BC，BD=CA，DE∥AC，BC与DE交于点F，下列与AD+AC相等的是（　　） A. DE B. BE C. BF D. DF 【答案】A 【解析】 【分析】根据全等三角形的性质得出AC=DB，进而解答即可． 【详解】解：∵DE∥AC， ∴∠A=∠EDB． ∵△ABC与△BDE全等， ∴BC=BE，AC=DB，AB=DE， ∴AC+AD=DB+AD=AB=DE， 故选：A． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，根据全等三角形的对应边相等是解答本题的关键． 9. 如图，直线、交于点，若、是等边的两条对称轴，且点在直线上（不与点重合），则点、中必有一个在（ ） A. 的内部 B. 的内部 C. 的内部 D. 直线上 【答案】D 【解析】 【分析】根据等边三角形是轴对称图形，利用轴对称图形的性质解决问题即可． 【详解】解：如图， ∵△PMN是等边三角形， ∴△PMN的对称轴经过三角形的顶点， ∵直线CD，AB是△PMN的对称轴， 又∵直线CD经过点P， ∴直线AB一定经过点M或N， 故选：D． 【点睛】本题考查轴对称，等边三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 10. 在平面直角坐标系中，点，其中，若是等腰直角三角形，且，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的定义，坐标与图形．添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．过点C作轴于D，由可证，可得，，即得出a的取值范围，再根据，即可得出m的取值范围． 【详解】解：如图，过点C作轴于D， ∵， ∴． ∵是等腰直角三角形，且， ∴， ∴， ∴． 在和中，， ∴， ∴，， ∴． ∵， ∴． 故选C． 二、填空题（本大题共6小趣，第11愿每空2分，其余每空4分，共28分） 11. 计算： （1）____； （2）____； （3）______； （4）____． 【答案】 ①. 1 ②. ③. ④. 2 【解析】 【分析】（1）根据零指数幂运算法则计算即可； （2）运用积的乘方法则计算即可； （3）运用单项式乘以单项式法则计算即可； （4）运用单项式除以单项式法则计算即可． 【详解】解：（1）， 故答案为：1； （2）， 故答案为：； （3）， 故答案为： （4） 故答案为：2． 【点睛】本题考查零指数幂，积的乘方，单项式乘以单项式和单项式除以单项式，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 12. ，点在线段的垂直平分线上．______________（填推理的依据） 【答案】到线段的两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 【解析】 【分析】本题考查线段垂直平分线的判定定理． 根据“到线段的两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”解答即可． 【详解】解：， 点在线段的垂直平分线上（到线段的两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上）． 故答案为：到线段的两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上． 13. 若是一个完全平方式，则的值是___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用完全平方式的结构特征列式计算，即可确定出的值． 【详解】解：是一个完全平方式，且， 或 ， 解得或， 14. 卫星绕地球运动的速度（即第一宇宙逑度）是米/秒，则卫星绕地球运行秒走过的路程为______千米． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是科学记数法，同底数幂的乘法运算．利用路程等于速度乘以时间，再利用同底数幂的乘法法则进行运算即可得到答案． 【详解】解：由题意得：米． 米即千米． 故答案为：． 15. 如图，已知的面积为15，AD平分，于点D，则的面积是______． 【答案】##7..5 【解析】 【分析】延长BD交AC于点E，可证得，即可得BD=ED，故和为同底同高的三角形面积相等，即可推出为的一半． 【详解】延长BD交AC于点E ∵AD平分 ∴∠BAD=∠EAD 又∵于点D ∴∠ADB=∠ADE=90° ∵ ∴ ∴BD=ED ∴=， ∴++ ∵， ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，由三角形的面积公式为×底×高得出和为同底同高的三角形面积相等是解题的关键． 16. 如图，已知等边中，点在边上，连接，点在线段上，以为边向下作等边，连接．下列说法正确的是______．(只需填写序号) ①； ②当点为中点时，存在点，使得； ③当点为中点时，存在点，使得； ④对于任意点，都存在点，使得． 【答案】①③ 【解析】 【分析】本题考考查了等边三角形的性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理、含角的直角三角形的性质，证明，得出，即可判断①；当点为中点时，，根据三角形边角关系即可判断②；假设结论成立，用反证法即可判断③；当点在的中点的右边时，分当点D是在线段的端点时和当点D是不在线段的端点时两种情况讨论，即可判断④；熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：①和都是等边三角形， ，，， ，即， 在和中， ， ， ，故①正确，符合题意； ②如图，当点为中点时，， 由垂线段最短可知，，故②错误，不符合题意； ③如图，作于， 点为中点时，为等边三角形， ，，， 由①可得：， ，， 令，则，，， 假设成立，则， ， ， ， ， ， ， 故假设成立，故③正确，符合题意； ④当点在的中点的右边时， 作于点G，则， 由①可得：， ， 当点D是在线段的端点时，和不是直角，即不成立， 当点D是不在线段的端点时，， ，即不成立， 综上所述，当点在的中点的右边时，不存在点E使得垂直，故④错误，不符合题意； 综上所述，正确的有①③； 故答案为：①③． 三、解答题（本大题共9小题，共82分） 17. 计算： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查整式混合运算，熟练掌握单项式乘以多项式法则，多项式乘以多项式法则，多项式除以单项式法则，同底数幂相乘、积的乘方与幂的乘方法则是解题的关键． （1）运用单项式乘以多项式法则计算即可； （2）运用同底数幂相乘与积的乘方、幂的乘方法则计算，再合并同类项即可； （3）根据多项式乘多项式运算法则求解即可； （4）运用多项式除以单项式法则计算即可． 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 解：原式 ； 【小问3详解】 解：原式 ； 【小问4详解】 解：原式 ． 18. 分解因式： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（）先提公因式，再利用平方差公式因式分解即可求解； （）先提公因式，再利用完全平方公式因式分解即可求解； 本题考查了因式分解，掌握提公因式法和公式法是解题的关键． 【小问1详解】 解： ， ； 【小问2详解】 解： ， ． 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】；16 【解析】 【分析】题目主要考查分式的化简求值，利用分式进行约分化简，然后代入求解即可，熟练掌握运算法则是解题关键． 【详解】解： 当时， 原式 ． 20. 如图△ABC，请用尺规作出它的外角∠BAE的平分线AD，若AD∥BC，证明：AB＝AC． 【答案】见解析 【解析】 【分析】用尺规作外角∠BAE的平分线AD，再根据平分线的性质和平行线的性质进行证明即可． 【详解】解：如图所示： AD即为所求作的图形． 证明：∵AD∥BC， ∴∠DAE＝∠C，∠DAB＝∠B， ∵AD平分∠BAE， ∴∠DAE＝∠DAB， ∴∠B＝∠C， ∴AB＝AC． 【点睛】本题考查的是角平分线的画法，角平分线的性质和平行线的性质，能够熟练掌握这部分知识是解题的关键. 21. （1）已知，则的值． （2）已知，求的取值范围． 【答案】（1）6 （2） 【解析】 【分析】本题考查了幂的乘方与同底数幂相乘，解不等式，掌握幂的乘方与同底数幂相乘的法则和解不等式是解决问题的关键． （1）利用幂的乘方与同底数幂相乘的法则进行计算，即可得出答案． （2）由，得出，代入，求解即可． 【详解】解：（1），， ， ， ， ， ， （2）， ， ， ， 解得． 22. 证明：如果两个三角形有两条边和其中一边上的中线分别相等，那么这两个三角形全等。（要求：将文字命题改为几何命题、画图、写出已知求证，再写出证明过程） 【答案】 已知：在和中，，，、分别是、的中线，且， 求证： 画图如下： 证明：∵、分别是、的中线 ∴， 又∵ ∴， 在和中， ∴， ∴ 在和中 ∴ 【解析】 【分析】根据题意，写出几何命题，并画出图形，先证明得到，即可求证． 【详解】略 【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是理解题意，正确写出几何命题，掌握全等三角形的判定方法和性质． 23. 阅读下列材料：若满足，求的值． 解：设，，则，． ∴． 请仿照上面“巧妙换元，化繁为简”的思路与方法，解答下列问题： （1）若满足，求的值； （2）若满足，求的值； （3）如图，正方形的边长为，点分别在上，且，，分别以为边作正方形．若长方形的面积是18，求阴影部分的面积． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的几何应用，熟练掌握完全平方公式是解此题的关键． （1）设，，根据完全平方公式计算即可得出答案； （2）设，，根据完全平方公式计算即可得出答案； （3）根据题意用表示出、，根据长方形的面积公式用表示出长方形的面积，再根据完全平方公式、平方差公式计算即可得出答案． 【小问1详解】 解：设，，则，． ∴． 【小问2详解】 解：设，，则，． ∴． 【小问3详解】 解：由题意得：，． 从而长方形的面积， ． 设，，则，． ∴． ∴由得． ∴． 24. 如图，是等边的外角内部的一条射线，点关于的对称点为，连接，，，其中，分别交射线于点、． （1）依题意补全图形； （2）若，求的大小（用含的式子表示）； （3）用等式表示线段，与之间的数量关系，并证明． 【答案】（1）见解析 （2） （3），见解析 【解析】 【分析】（1）按要求画图即可； （2）由轴对称可得，再由等腰三角形和等边三角形的性质即可得到结论； （3）在上截取，如图所示，连接，先证明为等边三角形，再证明，则，由此可解决问题． 【小问1详解】 解：补全图形如图所示： 【小问2详解】 解：点、关于对称， 为中垂线， ，， ， 又为等边三角形， ， ， ，， ； 【小问3详解】 解：， 证明：在上截取，如图所示，连接， ，，， ， ， ， ，， ， 为等边三角形， ， 在和中， ， ， ， ， 即． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，三角形的内角和定理，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，作出合理的辅助线构造等边三角形转移线段是解答本题的关键． 25. 阅读材料： 如果整数，满足，，其中，，，都是整数，那么一定存在整数，，使得．例如，，，或，…… 根据上述材料，解决下列问题： （1）已知，，或，……若，则 ； （2）已知，（，为整数），．若，求（用含，的式子表示）； （3）一般地，上述材料中的，可以用含，，，的式子表示，请直接写出一组满足条件的，（用含，，，的式子表示）． 【答案】（1）9 （2）或 （3）， 【解析】 【分析】本题主要考查了实数运算、整式运算、完全平方公式等知识，熟练掌握相关运算法则是解题关键． （1）结合，，求解即可； （2）将，代入，整理可得，即可获得答案； （3）根据题意，可得，结合，可令，，即可获得答案． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：9； 【小问2详解】 解：根据题意，，，， ∴， ∴ ∴， ∴或； 【小问3详解】 解：∵，， ∴， 又∵， 令，， 此时可有一组解，， 即，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $