第04讲 一元一次不等式-【寒假自学课】2025年七年级数学寒假提升精品讲义（沪科版2024）

第04讲 一元一次不等式 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．能解数字系数的一元一次不等式，并能在数轴上表示出解集； 2．能根据具体问题中的数量关系，列出一元一次不等式，解决简单的问题； 知识点 1 一元一次不等式的概念 一元一次不等式的概念：只含有一个未知数，未知数的次数是I的不等式，叫做一元一次不等式，如. 注意：一元一次不等式满足的条件： ①不等式的左右两边都是整式； ②不等式中只含有一个未知数； ③未知数的次数是1. 它与一元一次方程的区别在于一元一次方程是等式，而它是不等式. 知识点 2 一元一次不等式的解法 1.解一元一次不等式，要根据不等式的性质，将不等式逐步化为或的形式. 2.解一元一次不等式的一般步骤 (1)去分母：不等式中有分母的要通过不等式两边每一项都乘分母的最小公倍数去分母. (2)去括号：不等式中有括号的要按照有理数中去括号的法则去括号，在去括号的过程中要注意符号的变化. (3)移项：就是将不等式右边含未知数的项变号后移到左边来，将左边的常数项变号后移到右边去. (4)合并同类项：就是整理成ax≥6或ax≤b的形式. (5)系数化为1:就是两边都除以a将不等式化为x≥或x≤6的形式.这一过程要根据a的符号决定不等号的方向是否改变. ① a.当时，; b.当时，; c.当,时，无解； d.当,时，为任意实数. ② a.当时，; b.当时，； c.当,时，无解； d.当,时，为任意实数. 注意：(1)去分母时，不要漏乘不含分母的项. (2)移项时，注意改变所移项的符号，但不等号的方向不变. (3)系数化为1时，要注意不等号方向是否需要改变. 知识点 3 一元一次不等式的实际应用 列一元一次不等式解实际问题与列一元一次方程解实际问题基本相仿，步骤都是：审、设、列、解、验、答。关键是找出不等关系，列出不等式，然后求解.求出解集后注意解要满足题目要求和实际意义. 考点01：一元一次不等式的定义 例题1．（22-23七年级下·重庆万州·期中）已知是关于的一元一次不等式，则的值为 ． 【答案】 【解析】解：由题意得， 且， ∴， 故答案为：． 【变式1-1】（23-24七年级下·河南许昌·期末）若是关于的一元一次不等式，则的值为（    ） A．0 B． C． D．1 【答案】D 【解析】解：∵是关于x的一元一次不等式， ∴且， ∴． 故选D． 【变式1-2】（23-24七年级下·四川内江·期中）下列各式是一元一次不等式的有（    ）个 （1）；（2）；（3）；（4） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】解：（1），（2），符合定义， （3）不等号左边不是整式，不符合定义， （4）去括号后是，最高次数是2，不符合定义， 故选：B． 【变式1-3】已知不等式是关于x的一元一次不等式，则 ． 【答案】 【解析】解：由题意得：，， 解得：， 故答案为：． 考点02：求一元一次不等式的解集 例题2．（22-23七年级下·四川泸州·期末）解不等式： 【答案】 【解析】解： ． 【变式2-1】当 时，式子的值不是负数． 【答案】 【解析】解：式子的值不是负数， ，解得， 故答案为：． 【变式2-2】解不等式： 【答案】 【解析】解： 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得． 【变式2-3】解不等式：． 【答案】 【解析】解：两边同时乘以12得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化成1得：． 考点03：求一元一次不等式的整数解 例题3.求满足不等式的正整数有 ． 【答案】，， 【解析】解：∵， ∴， ∴满足不等式的正整数有，，， 故答案为：，，． 【变式3-1】不等式的非负整数解为 ． 【答案】0，1，2 【解析】解： 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， ∴不等式的非负整数解为0，1，2， 故答案为：0，1，2． 【变式3-2】不等式的最小整数解是 ． 【答案】1 【解析】解： ， ∴不等式的最小整数解是1， 故答案为：1． 【变式3-3】已知关于x的方程． (1)若该方程的解满足，求m的取值范围； (2)若该方程的解是不等式的最小整数解，m的值． 【答案】(1)(2) 【解析】（1）解：解方程得：， ∵该方程的解满足， ∴， ∴； （2）解： 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， ∴不等式的最小整数解为4， ∴， 解得． 考点04：求一元一次不等式解的最值 例题4．（23-24八年级下·山东聊城·期中）已知关于x的方程的解是非负数，则k的最小值为 ． 【答案】 【解析】解： 解得：， 由题意得：， 解得：， ∴k的最小值为． 故答案为：． 【变式4-1】一元一次不等式的最大整数解为 ； 【答案】-1 【解析】解：， ， 则最大整数解为：-1． 故答案为：-1． 【变式4-2】（23-24七年级下·江苏泰州·期末）关于的不等式的最小整数解为，则的值为 ． 【答案】 【解析】解：解不等式得：， ∵关于的不等式的最小整数解为， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式4-3】已知关于x的方程． (1)若该方程的解满足，求a的取值范围； (2)若该方程的解是不等式的最大整数解，求a的值． 【答案】(1)(2) 【解析】（1）解方程，得， ∵该方程的解满足， ∴，解得． （2）解不等式，得， 则最大的整数解是． 把代入， 解得． 考点05：在数轴上表示不等式的解集 例题5．解不等式：，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】；数轴见解析 【解析】解：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：， 将解集表示在数轴上，如图所示： 【变式5-1】（23-24七年级下·四川宜宾·期中）不等式在数轴上表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：不等式在数轴上表示为： 故选：C． 【变式5-2】（24-25七年级上·陕西安康·期中）已知x是整数，并且，在数轴上表示x可能取的所有数． 【解析】解：x可能取的数有，，0，1，2．如图所示． 【变式5-3】（23-24七年级上·江苏苏州·期末）解不等式，并把不等式的解集在数轴上表示出来． 【答案】，图见解析 【解析】解：， 去分母，两边乘以，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为，得：， 不等式的解集在数轴上表示如下：    考点06：用一元一次不等式解决实际问题 例题6．（22-23七年级下·山东东营·期中）某校长暑假带领该校“三好学生”去旅游，甲旅行社说：“若校长买全票一张，则学生可享受半价优惠．”乙旅行社说：“包括校长在内都6折优惠．”若全票价是120元，则∶ (1)设学生数为x，甲旅行社收费，乙旅行社收费，分别写出两家旅行社的收费与学生人数的关系式． (2)就学生人数，分类讨论哪家旅行社更优惠． 【答案】(1)； (2)学生人数为人，两旅行社一样优惠；学生人数大于人，甲旅行社优惠；学生人数小于人，乙旅行社优惠 【解析】（1）解：设学生人数为人，由题意，得 ， ； （2）解：由（1）得； 设学生人数为， 则； 当时， ， 解得：， 即学生人数为人，两旅行社一样优惠； 当时， ， 解得：， 学生人数大于人，甲旅行社优惠； 时， ， 解得： 故学生人数小于人，乙旅行社优惠． 【变式6-1】某次国学知识竞赛初赛共20道题（满分100分），评分办法是：答对1道题得5分，答错或不答倒扣2分．选手要得到70分以上（含70分），至少需要答对（   ） A．16题 B．15题 C．14题 D．17题 【答案】A 【解析】解：设答对道题，答错或不答的题目为道，根据题意，得： ， 解得， ∴至少要答对16道题才能得到70分以上（含70分）． 故选：A． 【变式6-2 】（24-25七年级上·云南文山·期中）某次知识竞赛共道题，每一题答对得分，答错或不答都扣分，小明得分要超过分．设他答对了道题，则根据题意可列不等式 ． 【答案】 【解析】解：根据题意，得； 故答案为：． 【变式6-3】某出租车的收费标准是：起步价5元（即行驶距离不超过3千米都需要付5元车费），超过3千米后，每增加1千米，加收1.5元．某人乘这种出租车从甲地到乙地共支付车费29元，设此人从甲地到乙地的路程为x千米，则x的最大值是 ． 【答案】19 【解析】解：因支付车费为29元，所以x肯定大于3千米，故有 ， 解得：． 可求出x的最大值为19千米． 故答案为：19． 一、单选题 1．（23-24七年级下·广西百色·期末）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 2．（24-25七年级上·吉林长春·期末）不等式的解集在数轴上表示正确的是（    ） A．B．C．D． 【答案】B 【解析】解：， 解得， ∴该不等式的解集在数轴上如下： 故选B． 3．（23-24七年级下·安徽安庆·期末）5月 27日，怀宁县举办科技活动周暨“全国科技工作者日”系列活动启动仪式．活动期间，怀宁县将举办科学家精神进校园、科普研学、科普讲座等一系列活动，让科技创新的成果惠及千家万户，让科学精神在人民群众中生根发芽．某校开展了科技知识竞赛活动，共有20道选择题，每道题的四个选项中，有且只有一个答案正确，选对得5分，不选或错选倒扣2分，如果得分不低于80 分才能得奖，那么要得奖至少应选对的题数是（    ） A．16 B．17 C．18 D．19 【答案】C 【解析】解：设要得奖应选对x道题，根据题意，得 解得， ∵x为整数， ∴， ∴要得奖至少应选对18道题． 故选：C 4．（23-24七年级下·河北保定·期末）对于任意实数a、b，定义一种运算:．例如．请根据上述的定义解决问题：若不等式，则该不等式的解集是（   ） A． B． C． D．都不对 【答案】A 【解析】解：※， ， 故选：A 二、填空题 5．（23-24七年级下·安徽合肥·期末）不符式的解集为 ． 【答案】 【解析】解： ， 故答案为：． 6．（23-24七年级下·安徽黄山·期末）在某课外知识竞赛中，一共有30道判断题，答对一题得4分，答错或不答一题扣1分．如果在这次竞赛中得分要超过80分，那么至少应答对 道题目． 【答案】23 【解析】解：设应答对x道题目，根据题意得： ， 解得：， 答：至少应答对23道题目． 故答案为：23 7．（23-24七年级下·广东汕头·期末）已知关于的不等式的解集在数轴上的表示如图，则a的值是 ． 【答案】 【解析】解：解不等式得，， 由数轴可得该不等式的解集为：， ， 解之得，． 故答案为：． 三、解答题 8．（23-24七年级下·安徽阜阳·期末）解不等式：． 【答案】 【解析】解：去分母得：， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为1得，． 9．（23-24七年级下·安徽亳州·期末）解不等式：，并把解集表示在数轴上． 【答案】，数轴见解析 【解析】解：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 表示在数轴为： 10．（23-24七年级下·广西河池·期末）2023年6月，自治区生态环境厅发布《2022年广西壮族自治区生态环境公报》，文件显示，广西生态环境质量持续改善，排名保持在国家前列．进一步加强环境保护，我市公交公司计划购买A型和型两种环保节能公交车．若购买A型公交车1辆，型公交车2辆，共需400万元；若购买A型公交车2辆，型公交车1辆，共需350万元． (1)求购买A型和型公交车每辆各需多少万元？ (2)若该公司计划购买A型和型两种环保节能公交车共10辆，且购买A型和型公交车的总费用不超过1200万元，那么至少需要购买A型公交车多少辆？ 【答案】(1)购买A型和型公交车每辆分别需100万元、150万元 (2)至少需要购买A型公交车6辆 【解析】（1）设购买A型和型公交车每辆分别需万元、万元 根据题意得： 解得： 答：购买A型和型公交车每辆分别需100万元、150万元． （2）解：设购买A型公交车辆，则购买型公交车辆 由题意得： 解得： 答：至少需要购买A型公交车6辆． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 一元一次不等式 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．能解数字系数的一元一次不等式，并能在数轴上表示出解集； 2．能根据具体问题中的数量关系，列出一元一次不等式，解决简单的问题； 知识点 1 一元一次不等式的概念 一元一次不等式的概念：只含有一个未知数，未知数的次数是I的不等式，叫做一元一次不等式，如. 注意：一元一次不等式满足的条件： ①不等式的左右两边都是整式； ②不等式中只含有一个未知数； ③未知数的次数是1. 它与一元一次方程的区别在于一元一次方程是等式，而它是不等式. 知识点 2 一元一次不等式的解法 1.解一元一次不等式，要根据不等式的性质，将不等式逐步化为或的形式. 2.解一元一次不等式的一般步骤 (1)去分母：不等式中有分母的要通过不等式两边每一项都乘分母的最小公倍数去分母. (2)去括号：不等式中有括号的要按照有理数中去括号的法则去括号，在去括号的过程中要注意符号的变化. (3)移项：就是将不等式右边含未知数的项变号后移到左边来，将左边的常数项变号后移到右边去. (4)合并同类项：就是整理成ax≥6或ax≤b的形式. (5)系数化为1:就是两边都除以a将不等式化为x≥或x≤6的形式.这一过程要根据a的符号决定不等号的方向是否改变. ① a.当时，; b.当时，; c.当,时，无解； d.当,时，为任意实数. ② a.当时，; b.当时，； c.当,时，无解； d.当,时，为任意实数. 注意：(1)去分母时，不要漏乘不含分母的项. (2)移项时，注意改变所移项的符号，但不等号的方向不变. (3)系数化为1时，要注意不等号方向是否需要改变. 知识点 3 一元一次不等式的实际应用 列一元一次不等式解实际问题与列一元一次方程解实际问题基本相仿，步骤都是：审、设、列、解、验、答。关键是找出不等关系，列出不等式，然后求解.求出解集后注意解要满足题目要求和实际意义. 考点01：一元一次不等式的定义 例题1．（22-23七年级下·重庆万州·期中）已知是关于的一元一次不等式，则的值为 ． 【变式1-1】（23-24七年级下·河南许昌·期末）若是关于的一元一次不等式，则的值为（    ） A．0 B． C． D．1 【变式1-2】（23-24七年级下·四川内江·期中）下列各式是一元一次不等式的有（    ）个 （1）；（2）；（3）；（4） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1-3】已知不等式是关于x的一元一次不等式，则 ． 考点02：求一元一次不等式的解集 例题2．（22-23七年级下·四川泸州·期末）解不等式： 【变式2-1】当 时，式子的值不是负数． 【变式2-2】解不等式： 【变式2-3】解不等式：． 考点03：求一元一次不等式的整数解 例题3.求满足不等式的正整数有 ． 【变式3-1】不等式的非负整数解为 ． 【变式3-2】不等式的最小整数解是 ． 【变式3-3】已知关于x的方程． (1)若该方程的解满足，求m的取值范围； (2)若该方程的解是不等式的最小整数解，m的值． 考点04：求一元一次不等式解的最值 例题4．（23-24八年级下·山东聊城·期中）已知关于x的方程的解是非负数，则k的最小值为 ． 【变式4-1】一元一次不等式的最大整数解为 ； 【变式4-2】（23-24七年级下·江苏泰州·期末）关于的不等式的最小整数解为，则的值为 ． 【变式4-3】已知关于x的方程． (1)若该方程的解满足，求a的取值范围； (2)若该方程的解是不等式的最大整数解，求a的值． 考点05：在数轴上表示不等式的解集 例题5．解不等式：，并把解集在数轴上表示出来． 【变式5-1】（23-24七年级下·四川宜宾·期中）不等式在数轴上表示为（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（24-25七年级上·陕西安康·期中）已知x是整数，并且，在数轴上表示x可能取的所有数． 【变式5-3】（23-24七年级上·江苏苏州·期末）解不等式，并把不等式的解集在数轴上表示出来． 考点06：用一元一次不等式解决实际问题 例题6．（22-23七年级下·山东东营·期中）某校长暑假带领该校“三好学生”去旅游，甲旅行社说：“若校长买全票一张，则学生可享受半价优惠．”乙旅行社说：“包括校长在内都6折优惠．”若全票价是120元，则∶ (1)设学生数为x，甲旅行社收费，乙旅行社收费，分别写出两家旅行社的收费与学生人数的关系式． (2)就学生人数，分类讨论哪家旅行社更优惠． 【变式6-1】某次国学知识竞赛初赛共20道题（满分100分），评分办法是：答对1道题得5分，答错或不答倒扣2分．选手要得到70分以上（含70分），至少需要答对（   ） A．16题 B．15题 C．14题 D．17题 【变式6-2 】（24-25七年级上·云南文山·期中）某次知识竞赛共道题，每一题答对得分，答错或不答都扣分，小明得分要超过分．设他答对了道题，则根据题意可列不等式 ． 【变式6-3】某出租车的收费标准是：起步价5元（即行驶距离不超过3千米都需要付5元车费），超过3千米后，每增加1千米，加收1.5元．某人乘这种出租车从甲地到乙地共支付车费29元，设此人从甲地到乙地的路程为x千米，则x的最大值是 ． 一、单选题 1．（23-24七年级下·广西百色·期末）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·吉林长春·期末）不等式的解集在数轴上表示正确的是（    ） A．B．C．D． 3．（23-24七年级下·安徽安庆·期末）5月 27日，怀宁县举办科技活动周暨“全国科技工作者日”系列活动启动仪式．活动期间，怀宁县将举办科学家精神进校园、科普研学、科普讲座等一系列活动，让科技创新的成果惠及千家万户，让科学精神在人民群众中生根发芽．某校开展了科技知识竞赛活动，共有20道选择题，每道题的四个选项中，有且只有一个答案正确，选对得5分，不选或错选倒扣2分，如果得分不低于80 分才能得奖，那么要得奖至少应选对的题数是（    ） A．16 B．17 C．18 D．19 4．（23-24七年级下·河北保定·期末）对于任意实数a、b，定义一种运算:．例如．请根据上述的定义解决问题：若不等式，则该不等式的解集是（   ） A． B． C． D．都不对 二、填空题 5．（23-24七年级下·安徽合肥·期末）不符式的解集为 ． 6．（23-24七年级下·安徽黄山·期末）在某课外知识竞赛中，一共有30道判断题，答对一题得4分，答错或不答一题扣1分．如果在这次竞赛中得分要超过80分，那么至少应答对 道题目． 7．（23-24七年级下·广东汕头·期末）已知关于的不等式的解集在数轴上的表示如图，则a的值是 ． 三、解答题 8．（23-24七年级下·安徽阜阳·期末）解不等式：． 9．（23-24七年级下·安徽亳州·期末）解不等式：，并把解集表示在数轴上． 10．（23-24七年级下·广西河池·期末）2023年6月，自治区生态环境厅发布《2022年广西壮族自治区生态环境公报》，文件显示，广西生态环境质量持续改善，排名保持在国家前列．进一步加强环境保护，我市公交公司计划购买A型和型两种环保节能公交车．若购买A型公交车1辆，型公交车2辆，共需400万元；若购买A型公交车2辆，型公交车1辆，共需350万元． (1)求购买A型和型公交车每辆各需多少万元？ (2)若该公司计划购买A型和型两种环保节能公交车共10辆，且购买A型和型公交车的总费用不超过1200万元，那么至少需要购买A型公交车多少辆？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 $$