第03讲 不等式及其基本性质-【寒假自学课】2025年七年级数学寒假提升精品讲义（沪科版2024）

第03讲 不等式及其基本性质 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 结合具体问题，了解不等式的意义，探索不等式的基本性质。 知识点 1 不等式 1.不等式的定义 用符号“<”或“>”表示大小关系的式子叫做不等式.像a+2≠a-2这样用符号“≠”表示不等关系的式子也是不等式. 2.常见的不等号 3.等式与不等式的根本区别 等式表示的是相等关系，用等号连接；不等式表示的是不等关系，用不等号连接。 (1)有些不等式中不含未知数，如3<4，-1>-2；有些不等式中含有未知数，如2x>5中，x表示未知数。 (2)判断一个式子是否为不等式，关键是看这个式子是否含有不等号。 知识点 2 不等式的解 1.不等式的解：使不等式成立的未知数的取值叫做不等式的解。如-2，0，2是不等式2x-1<5的解。 2.不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有的解组成的集合，叫这个不等式的解集。求不等式的解集的过程叫做解不等式。 注意：不等式的解集必须符合两个条件： (1)解集中的每一个数值都能使不等式成立。 (2)能使不等式成立的数都在解集中。 3.用数轴表示不等式的解集 不等式的解集表示的是未知数的取值范围，所以不等式的解集可以在数轴上表示出来.如下图，一般来说，一元一次不等式的解集用数轴表示，有以下四种情况： 用数轴表示不等式解集时的规律：大于向右，小于向左，有等号画实心圆点，无等号画空心圆圈. 4.不等式的解与解集的联系与区别 (1)联系：不等式的所有解组成了解集，解集中包括了不等式的每一个解。 (2)区别：不等式的解是指满足这个不等式的未知数的某个值，不等式的解集是指满足这个不等式的未知数的所有的值。 知识点 3 不等式的基本性质 1.不等式的性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变；即：如果，那么。 2.不等式的性质2：不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；即：如果那么(或)。 3.不等式的性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变；即：如果那么(或). 注意：(1)不等式的两边都乘或除以同一个数时，必须先认清这个数的性质符号。如果这个数是正数，那么不等号的方向不变；如果这个数是负数，那么不等号的方向改变。 (2)不等式的两边不能乘以0，因为乘以0后不等式变为等式。 考点01：不等式的定义 例题1．（23-24七年级下·浙江台州·期末）北斗高精导航能够实时显示当前路口的信号灯颜色及时长，一辆小车行驶在限速的路段上，当距离下一路口时，发现导航显示下一路口的信号灯为绿灯，且剩余时间为，此时导航提示：按照当前时速行驶能通过下一路口，则小车当前行驶速度的取值范围是 ． 【答案】 【解析】解：， 当距离下一路口时，以速度通过需要的时间为：， 要在内通过， 小车的速度至少为， 因为导航提示：按照当前时速行驶能通过下一路口， 则小车当前行驶速度的取值范围是． 【变式1-1】某市一天的最高气温是，最低气温是，则当天该市气温的变化范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：∵当天该市气温最高气温是，最低气温是， ∴当天气温的变化范围是， 故选：A． 【变式1-2】（23-24七年级下·山东淄博·期末）一种药品的说明书上写着：“每日用量，分次服用”，一次服用这种药品的有效剂量不可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：根据题意，由“每日用量，分次服用”， 用（/次），（/次） 得到一次服用这种药的剂量为：， 则没在此范围内， 故选：A． 【变式1-3】（23-24七年级下·四川宜宾·期末）如图，是校园内限速标志，若用V表示速度，请用含字母V的不等式表示这个标志的实际意义 ． 【答案】 【解析】解：由图可知：； 故答案为：． 考点02：不等式的解集 例题2．（23-24七年级下·湖南·期中）已知当时的最小值为，当时的最大值为，则 ． 【答案】 【解析】解：∵当时的最小值为，当时的最大值为， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式2-1】（23-24七年级下·河南周口·期中）下列说法中：①是不等式的一个解；②是不等式的一个解；③不等式的解集为，正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 【答案】C 【解析】解：①把代入不等式，成立，故是不等式的一个解，正确； ②把代入不等式，成立，故是不等式的解，正确； ③不等式的解集为，正确． 故选C. 【变式2-2】（23-24八年级下·广东揭阳·期中）请写出一个关于x的不等式，使，3都是它的解 ． 【答案】（答案不唯一） 【解析】解：由，3均小于3可得， 所以符合条件的不等式可以是， 故答案为：（答案不唯一）． 【变式2-3】若不等式的解都是不等式的解，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】根据不等式组的解集意义，若不等式的解都是不等式的解，则n的取值范围是． 故答案为：． 考点03：不等式的基本性质 例题3.设a，b，c，d都是整数，且，则a的最大值是 ． 【答案】447 【解析】解：因为a，b，c，d都是整数，且， 所以d的最大值是19， 所以， 所以c的最大值是75， 所以， 所以b的最大值是224， 所以， 所以a的最大值是447． 故答案为：447． 【变式3-1】如图，表示A，B，C三人体重的大小关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：A、由图示，得，故错误； B、由图示，得，故错误； C、由图示，得，，由不等式的传递性，得，故C错误； D、由图示，得，，由不等式的传递性，得，故正确． 故选：D． 【变式3-2】如果，那么下列各式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：A、∵， ∴不等式的两边都加1，则，原式不成立，不符合题意； B、∵， ∴不等式的两边都乘以，则，原式不成立，不符合题意； C、∵， ∴不等式的两边都乘以，则，成立，符合题意； D、∵，， ∴，原式不成立，不符合题意． 故选：C． 【变式3-3】下列不等式变形正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【解析】解：A．∵， ∴，故此选项符合题意； B．∵， ∴，故此选项不符合题意； C．∵， ∴， ∴，故此选项不符合题意； D．∵， 当时， ∴，故此选项不符合题意． 故选：A． 一、单选题 1．（23-24七年级下·山东济宁·期末）下列四个不等式：（1）；（2）；（3）；（4），一定能推出的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【解析】解：（1）只有当时，才能由，推出，不符合题意； （2）只有当时，才能由，推出，不符合题意； （3）由可以推出，符合题意； （4）只有当时，才能由，推出推出，不符合题意； 故选：A。 2．（23-24七年级下·山东烟台·期末）已知，则下列各式中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：A、， 故A不符合题意； B、， ， 故B不符合题意； C、， ， 故C符合题意； D、， ， 故D不符合题意； 故选：C． 3．（23-24七年级下·云南红河·期末）如果，那么下列式子不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：A、不等式的两边都加5，则，故成立，不符合题意； B、不等式的两边都乘以，则，故成立，不合题意； C、不等式的两边都乘以，则，故成立，不合题意； D、不等式的两边都乘，再都减，则，故不成立，符合题意； 故选：D． 4．（23-24七年级下·广西百色·期末）若，则下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：∵， ∴， ∴，故选项A正确； 当，时，符合，但，，故选项B、C错误； 当，时，符合，但，故选项D错误， 故选：A． 5．（23-24七年级下·河北保定·期末）下列说法中，正确的是（   ） A．是不等式的解 B．是不等式的唯一解 C．是不等式的解集 D．是不等式的一个解 【答案】D 【解析】解：解不等式， 可得． A.由于，故不是不等式的解，故选项错误； B.由于，故是不等式的一个解，但不是唯一解，故选项错误； C.由于，故不是不等式的一个解，但不是解集，故选项错误； D.由于，故不是不等式的一个解，故选项正确； 故选D． 二、填空题 6．（23-24七年级下·广西梧州·期末）的小数部分是，小数部分是，则 ． 【答案】1 【解析】解： 的整数部分为2 的小数部分为 的整数部分为8 的小数部分为 故答案为：1． 7．（23-24七年级下·吉林·期末）如果，那么 ．（填“”或“”） 【答案】 【解析】解：， ， ， 故答案为：． 8．（23-24七年级下·河北沧州·期末）若想，且，则m的值可以是 (写出一个即可) 【答案】1（答案不唯一） 【解析】解：，， ， 解得． 比m小的任意一个数就可以,如1 故答案为：1（答案不唯一） 三、解答题 9．（23-24七年级下·广西河池·期末）【阅读材料】我们在分析解决某些数学问题时经常要比较两个数或式子的大小，解决问题时一般要进行一定的转化，“求差法”就是常用的方法之一．所谓“求差法”，就是通过求差、变形，并利用差的符号来确定它们的大小，即要比较两个数a，b的大小，只要求出它们的差．若，则；若，则；若，则． 【解决问题】 (1)已知，试比较，的大小； (2)若，，，求a的取值范围． 【答案】(1) (2)a为任意实数 【解析】（1）解：， ． （2）， ， ， ， 解得． 所以a为任意实数． 10．（23-24七年级上·四川宜宾·期末）已知．当时，；当时，． (1)求出的值； (2)当时，求代数式y的取值范围． 【答案】(1)，；(2) 【解析】（1）解： 当时，；当时，． 、满足方程组， 解方程组得：． 所以，． （2）解：根据第一问结果，，， ， 当时，， ， ． ( 3 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 不等式及其基本性质 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 结合具体问题，了解不等式的意义，探索不等式的基本性质。 知识点 1 不等式 1.不等式的定义 用符号“<”或“>”表示大小关系的式子叫做不等式.像a+2≠a-2这样用符号“≠”表示不等关系的式子也是不等式. 2.常见的不等号 3.等式与不等式的根本区别 等式表示的是相等关系，用等号连接；不等式表示的是不等关系，用不等号连接。 (1)有些不等式中不含未知数，如3<4，-1>-2；有些不等式中含有未知数，如2x>5中，x表示未知数。 (2)判断一个式子是否为不等式，关键是看这个式子是否含有不等号。 知识点 2 不等式的解 1.不等式的解：使不等式成立的未知数的取值叫做不等式的解。如-2，0，2是不等式2x-1<5的解。 2.不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有的解组成的集合，叫这个不等式的解集。求不等式的解集的过程叫做解不等式。 注意：不等式的解集必须符合两个条件： (1)解集中的每一个数值都能使不等式成立。 (2)能使不等式成立的数都在解集中。 3.用数轴表示不等式的解集 不等式的解集表示的是未知数的取值范围，所以不等式的解集可以在数轴上表示出来.如下图，一般来说，一元一次不等式的解集用数轴表示，有以下四种情况： 用数轴表示不等式解集时的规律：大于向右，小于向左，有等号画实心圆点，无等号画空心圆圈. 4.不等式的解与解集的联系与区别 (1)联系：不等式的所有解组成了解集，解集中包括了不等式的每一个解。 (2)区别：不等式的解是指满足这个不等式的未知数的某个值，不等式的解集是指满足这个不等式的未知数的所有的值。 知识点 3 不等式的基本性质 1.不等式的性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变；即：如果，那么。 2.不等式的性质2：不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；即：如果那么(或)。 3.不等式的性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变；即：如果那么(或). 注意：(1)不等式的两边都乘或除以同一个数时，必须先认清这个数的性质符号。如果这个数是正数，那么不等号的方向不变；如果这个数是负数，那么不等号的方向改变。 (2)不等式的两边不能乘以0，因为乘以0后不等式变为等式。 考点01：不等式的定义 例题1．（23-24七年级下·浙江台州·期末）北斗高精导航能够实时显示当前路口的信号灯颜色及时长，一辆小车行驶在限速的路段上，当距离下一路口时，发现导航显示下一路口的信号灯为绿灯，且剩余时间为，此时导航提示：按照当前时速行驶能通过下一路口，则小车当前行驶速度的取值范围是 ． 【变式1-1】某市一天的最高气温是，最低气温是，则当天该市气温的变化范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（23-24七年级下·山东淄博·期末）一种药品的说明书上写着：“每日用量，分次服用”，一次服用这种药品的有效剂量不可以为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（23-24七年级下·四川宜宾·期末）如图，是校园内限速标志，若用V表示速度，请用含字母V的不等式表示这个标志的实际意义 ． 考点02：不等式的解集 例题2．（23-24七年级下·湖南·期中）已知当时的最小值为，当时的最大值为，则 ． 【变式2-1】（23-24七年级下·河南周口·期中）下列说法中：①是不等式的一个解；②是不等式的一个解；③不等式的解集为，正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 【变式2-2】（23-24八年级下·广东揭阳·期中）请写出一个关于x的不等式，使，3都是它的解 ． 【变式2-3】若不等式的解都是不等式的解，则的取值范围是 ． 考点03：不等式的基本性质 例题3.设a，b，c，d都是整数，且，则a的最大值是 ． 【变式3-1】如图，表示A，B，C三人体重的大小关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】如果，那么下列各式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】下列不等式变形正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 一、单选题 1．（23-24七年级下·山东济宁·期末）下列四个不等式：（1）；（2）；（3）；（4），一定能推出的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（23-24七年级下·山东烟台·期末）已知，则下列各式中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·云南红河·期末）如果，那么下列式子不成立的是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24七年级下·广西百色·期末）若，则下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24七年级下·河北保定·期末）下列说法中，正确的是（   ） A．是不等式的解 B．是不等式的唯一解 C．是不等式的解集 D．是不等式的一个解 二、填空题 6．（23-24七年级下·广西梧州·期末）的小数部分是，小数部分是，则 ． 7．（23-24七年级下·吉林·期末）如果，那么 ．（填“”或“”） 8．（23-24七年级下·河北沧州·期末）若想，且，则m的值可以是 (写出一个即可) 三、解答题 9．（23-24七年级下·广西河池·期末）【阅读材料】我们在分析解决某些数学问题时经常要比较两个数或式子的大小，解决问题时一般要进行一定的转化，“求差法”就是常用的方法之一．所谓“求差法”，就是通过求差、变形，并利用差的符号来确定它们的大小，即要比较两个数a，b的大小，只要求出它们的差．若，则；若，则；若，则． 【解决问题】 (1)已知，试比较，的大小； (2)若，，，求a的取值范围． 10．（23-24七年级上·四川宜宾·期末）已知．当时，；当时，． (1)求出的值； (2)当时，求代数式y的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 $$