第06讲 幂的运算-【寒假自学课】2025年七年级数学寒假提升精品讲义（沪科版2024）

第06讲 幂的运算 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．掌握同底数幂、幂的乘方和积的乘方的运算法则和公式； 2．会借助幂的运算公式进行逆运算； 知识点 1 同底数幂的乘法 1.，即同底数幂相乘，底数不变，指数相加。 注意：(1)法则对于三个或三个以上的同底数相乘仍然适用，即 . (2)不要忽略指数是1的因数，如。 (3)底数可以是数也可以是单项式或多项式。 (4)注意法则的逆用：。 知识点 2幂的乘方 ，即幂的乘方，底数不变，指数相乘。 【补充和拓展】(1)法则推广：； (2)法则逆用：。 知识点 3积的乘方 ，即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。 【补充和拓展】 (1)法则可以推广到三个或三个以上因式的积的乘方，如。 (2)法则逆用：。 知识点 4 同底数幂的除法与0指数幂 1.同底数幂的除法(都是正整数，并且)；即同底数幂相除，底数不变，指数相减。 注意：(1)同底数幂的除法和同底数幂的乘法互为逆运算。 (2)被除式、除式底数相同，被除式指数大于除式指数。 (3)底数可以是一个数，也可以是单项式或多项式。 (4)当三个或三个以上同底数幂相除时，也具有这一性质，如 (是正整数，且). 2.零指数幂的性质：即任何不等于0的数的0次幂都等于1。 (1)底数可以为单项式也可以是多项式，但是不能为0,否则，式子没有意义。 (2)任何一个常数都可以看作与字母0次方的积，因此常数项可以看作是0次单项式。 考点01:同底数幂相乘 例题1．（24-25七年级上·上海黄浦·期中）计算： ． 【变式1-1】计算： （结果用幂的形式表示）． 【变式1-2】计算： ．（结果用幂的形式示） 【变式1-3】计算： 考点02：同底数幂乘法的逆用 例题2．计算：，，则 ． 【变式2-1】计算：的值是（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】计算： ． 【变式2-3】若，则 ． 考点03：幂的乘方运算 例题3.若，则的值为 ． 【变式3-1】计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】下列计算中正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】已知，，为自然数，且满足，则的取值不可能是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 考点04：幂的乘方的逆用 例题4.（1）已知，则代数式的值为 ． （2）若均为正整数，且，则的值为 ． 【变式4-1】已知：，，则 【变式4-2】已知，，则 ． 【变式4-3】已知，求的值． 考点05：积的乘方运算 例题5.若，则 ． 【变式5-1】 【变式5-2】（24-25七年级上·重庆开州·期中）＝ ，＝ ． 【变式5-3】计算：． 考点06：积的乘方的逆用 例题6.已知，试用含的式子表示． 【变式6-1】（23-24七年级上·福建三明·期中）已知，则 ． 【变式6-2】计算： ． 【变式6-3】（24-25七年级上·山东德州·期中）计算的结果是 ． 考点07：同底数幂的除法 例题7.计算：． 【变式7-1】（22-23七年级下·福建宁德·期中）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】计算： ． 【变式7-3】已知，，求的值是 ． 考点08：同底数幂的除法的逆用 例题8.已知，求的值． 【变式8-1】已知，，那么的值为 ． 【变式8-2】若，，则的值为 ． 【变式8-3】若，，则 ． 考点09：幂的混合运算 例题9.（1）已知，求的值． （2）已知，求的值． 【变式9-1】计算的正确结果是（    ） A． B． C． D． 【变式9-2】（23-24八年级上·广东广州·期中）计算：． 【变式9-3】（23-24八年级上·江西南昌·期末）已知，，. (1)求证：； (2)求的值. 考点10：零指数幂 例题10．（22-23七年级上·河北邯郸·期末）若实数m、n满足，则 ． 【变式10-1】若无意义，则整式的值为 ． 【变式10-2】若，则大小关系是 ．（按从小到大顺序排列） 【变式10-3】阅读材料： ①1的任何次幂都等于1； ②的奇数次幂都等于； ③的偶数次幂都等于1； ④任何不等于零的数的零次幂都等于1． 试根据以上材料探索使等式成立的的值． 一、单选题 1．（23-24七年级下·安徽宿州·期末）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·安徽阜阳·期末）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·安徽蚌埠·期末）“无风才到地，有风还满空．缘渠偏似雪，莫近鬓毛生”是唐朝诗人雍裕之描写每年四月许多地方杨絮、柳絮如雪花般漫天飞舞的诗句，柳絮带给人们春天的讯息外也让人们不堪其扰，据测定，杨絮纤维的直径约为0.00000105m，该数值用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24七年级下·河南郑州·期末）若，则（  ） A．8 B．12 C．16 D．24 二、填空题 5．（23-24七年级下·广东清远·期末）的结果用科学记数法表示为 ． 6．（23-24七年级下·安徽亳州·期末）计算． 7．（23-24七年级下·安徽亳州·期末）已知，则的值为 ． 三、解答题 8．（23-24七年级下·安徽安庆·期末）计算：． 9．（23-24七年级下·安徽亳州·期末）先化简，再求值：，其中． 10．（23-24七年级下·江苏扬州·期末）若（且，、是正整数），则． 利用上面结论解决下面的问题： (1)如果，则___________； (2)如果，求的值． (3)如果，求的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第06讲 幂的运算 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．掌握同底数幂、幂的乘方和积的乘方的运算法则和公式； 2．会借助幂的运算公式进行逆运算； 知识点 1 同底数幂的乘法 1.，即同底数幂相乘，底数不变，指数相加。 注意：(1)法则对于三个或三个以上的同底数相乘仍然适用，即 . (2)不要忽略指数是1的因数，如。 (3)底数可以是数也可以是单项式或多项式。 (4)注意法则的逆用：。 知识点 2幂的乘方 ，即幂的乘方，底数不变，指数相乘。 【补充和拓展】(1)法则推广：； (2)法则逆用：。 知识点 3积的乘方 ，即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。 【补充和拓展】 (1)法则可以推广到三个或三个以上因式的积的乘方，如。 (2)法则逆用：。 知识点 4 同底数幂的除法与0指数幂 1.同底数幂的除法(都是正整数，并且)；即同底数幂相除，底数不变，指数相减。 注意：(1)同底数幂的除法和同底数幂的乘法互为逆运算。 (2)被除式、除式底数相同，被除式指数大于除式指数。 (3)底数可以是一个数，也可以是单项式或多项式。 (4)当三个或三个以上同底数幂相除时，也具有这一性质，如 (是正整数，且). 2.零指数幂的性质：即任何不等于0的数的0次幂都等于1。 (1)底数可以为单项式也可以是多项式，但是不能为0,否则，式子没有意义。 (2)任何一个常数都可以看作与字母0次方的积，因此常数项可以看作是0次单项式。 考点01:同底数幂相乘 例题1．（24-25七年级上·上海黄浦·期中）计算： ． 【答案】 【解析】解：；故答案为：． 【变式1-1】计算： （结果用幂的形式表示）． 【答案】 【解析】解：，故答案为：． 【变式1-2】计算： ．（结果用幂的形式示） 【答案】 【解析】解：原式 ． 故答案为：． 【变式1-3】计算： 【答案】 【解析】解：．故答案为：． 考点02：同底数幂乘法的逆用 例题2．计算：，，则 ． 【答案】128 【解析】解：∵，， ∴ ， 故答案为：128． 【变式2-1】计算：的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解： ， 故选：． 【变式2-2】计算： ． 【答案】 【解析】解：．故答案为：． 【变式2-3】若，则 ． 【答案】 【解析】解：∵ ∴， 解得：， 故答案为：． 考点03：幂的乘方运算 例题3.若，则的值为 ． 【答案】16 【解析】解：， ， 故答案为：16． 【变式3-1】计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：，故选：B． 【变式3-2】下列计算中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：A．，原计算错误，不符合题意； B．，原计算错误，不符合题意； C．，原计算正确，符合题意； D．，原计算错误，不符合题意； 故选：C． 【变式3-3】已知，，为自然数，且满足，则的取值不可能是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【解析】解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∵，，为自然数， ∴当时，，此时， 当时，，此时， 当时，，此时， 当时，，此时， 综上所述，的取值不可能是8， 故选：D． 考点04：幂的乘方的逆用 例题4.（1）已知，则代数式的值为 ． （2）若均为正整数，且，则的值为 ． 【答案】4 4或5 【解析】解：（1）， ． ． 故答案为： 4． （2）， ． ． 均为正整数， 当时，；当时，． 所以或． 故答案为：4或5 【变式4-1】已知：，，则 【答案】 【解析】解：∵，， ∴ ． 故答案为：． 【变式4-2】已知，，则 ． 【答案】 【解析】解：根据题意可得， ∴，， ∴，整理得，， 解得，， ∴， 故答案为： ． 【变式4-3】已知，求的值． 【答案】128 【解析】解：因为， 所以， 所以． 考点05：积的乘方运算 例题5.若，则 ． 【答案】48 【解析】解：，故答案为：48． 【变式5-1】 【答案】 【解析】解：；故答案为：． 【变式5-2】（24-25七年级上·重庆开州·期中）＝ ，＝ ． 【答案】 【解析】解：， 故答案为：，． 【变式5-3】计算：． 【答案】 【解析】解：原式 ． 考点06：积的乘方的逆用 例题6.已知，试用含的式子表示． 【答案】 【解析】解：∵， ∴． 【变式6-1】（23-24七年级上·福建三明·期中）已知，则 ． 【答案】 【解析】解：∵ ， ∴， 即， 解得， 故答案为：． 【变式6-2】计算： ． 【答案】 【解析】解： ； 故答案为： 【变式6-3】（24-25七年级上·山东德州·期中）计算的结果是 ． 【答案】 【解析】解：， 故答案为：． 考点07：同底数幂的除法 例题7.计算：． 【答案】 【解析】解： ． 【变式7-1】（22-23七年级下·福建宁德·期中）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：A. ，故选项错误，不符合题意； B. ，故选项错误，不符合题意； C. ，故选项错误，不符合题意； D. ，故选项正确，符合题意； 故选：D 【变式7-2】计算： ． 【答案】 【解析】解： ， 故答案为：． 【变式7-3】已知，，求的值是 ． 【答案】 【解析】解：∵， ∴，即， ∵， ∴， 故答案为：． 考点08：同底数幂的除法的逆用 例题8.已知，求的值． 【答案】 【解析】解：， ， 即， ， 解得， ． 【变式8-1】已知，，那么的值为 ． 【答案】 【解析】解：∵，， ∴， 故答案为：． 【变式8-2】若，，则的值为 ． 【答案】 【解析】解：，， ， ， ． 故答案为：． 【变式8-3】若，，则 ． 【答案】 【解析】解：∵，， ∴， 故答案为：． 考点09：幂的混合运算 例题9.（1）已知，求的值． （2）已知，求的值． 【答案】（1）；（2） 【解析】解：（1） ， 把代入得：原式． （2）∵， ∴， ∴ ． 【变式9-1】计算的正确结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 ． 故选A． 【变式9-2】（23-24八年级上·广东广州·期中）计算：． 【答案】0 【解析】解：原式 ． 【变式9-3】（23-24八年级上·江西南昌·期末）已知，，. (1)求证：； (2)求的值. 【答案】(1)见解析(2) 【解析】（1）证明：， . 即. （2）解：． 考点10：零指数幂 例题10．（22-23七年级上·河北邯郸·期末）若实数m、n满足，则 ． 【答案】 【解析】解：∵， ，， 解得：，， ， 故答案为：． 【变式10-1】若无意义，则整式的值为 ． 【答案】 【解析】解：∵无意义， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式10-2】若，则大小关系是 ．（按从小到大顺序排列） 【答案】 【解析】解：， ， ， ， ． 故答案为： ． 【变式10-3】阅读材料： ①1的任何次幂都等于1； ②的奇数次幂都等于； ③的偶数次幂都等于1； ④任何不等于零的数的零次幂都等于1． 试根据以上材料探索使等式成立的的值． 【答案】的值为1或0或 【解析】①当时，； ②当时，，指数为偶数，所以符合题意； ③当时，，且，所以符合题意； 综上所述：的值为1或0或． 一、单选题 1．（23-24七年级下·安徽宿州·期末）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：A．与不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意； B．，故本选项不合题意； C．，正确，符合题意； D．，故本选项不合题意． 故选：C． 2．（23-24七年级下·安徽阜阳·期末）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：A. 与不能合并，故该选项不正确，不符合题意；     B. ，故该选项不正确，不符合题意；     C. ，故该选项不正确，不符合题意；     D. ，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 3．（23-24七年级下·安徽蚌埠·期末）“无风才到地，有风还满空．缘渠偏似雪，莫近鬓毛生”是唐朝诗人雍裕之描写每年四月许多地方杨絮、柳絮如雪花般漫天飞舞的诗句，柳絮带给人们春天的讯息外也让人们不堪其扰，据测定，杨絮纤维的直径约为0.00000105m，该数值用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：将0.00000105用科学记数法表示为 故选：B 4．（23-24七年级下·河南郑州·期末）若，则（  ） A．8 B．12 C．16 D．24 【答案】A 【解析】解：根据题意，得，． 故选A． 二、填空题 5．（23-24七年级下·广东清远·期末）的结果用科学记数法表示为 ． 【答案】 【解析】解：， 故答案为：． 6．（23-24七年级下·安徽亳州·期末）计算． 【答案】3 【解析】解：原式． 故答案为：3． 7．（23-24七年级下·安徽亳州·期末）已知，则的值为 ． 【答案】8 【解析】解：∵， ， ∴ ， 故答案为：8． 三、解答题 8．（23-24七年级下·安徽安庆·期末）计算：． 【答案】 【解析】解： ． 9．（23-24七年级下·安徽亳州·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】，6 【解析】解： 把代入， 得 10．（23-24七年级下·江苏扬州·期末）若（且，、是正整数），则． 利用上面结论解决下面的问题： (1)如果，则___________； (2)如果，求的值． (3)如果，求的值． 【答案】(1)4(2)(3) 【解析】（1）解：∵， ∴， 故答案为：4 （2）∵， ∴， ∴， ∴， 解得：； （3） ∵， ∴， ， ∴， ∴， 解得：． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$