第02讲 无理数和实数-【寒假自学课】2025年七年级数学寒假提升精品讲义（沪科版2024）

第02讲 无理数和实数 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．无理数的概念，知道实数是由有理数和无理数组成的； 2．会求实数的相反数、绝对值、倒数，知道实数与数轴上的点一一对应； 3．掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算(以三步以内为主)；能运用有理数的运算解决简单的问题，知道有理数的运算律在实数范围内仍然适用。 知识点 1 无理数 1.无理数 （1）定义无限不循环小数叫做无理数.如,,π等. （2）常见的无理数 ①所有开方开不尽的方根，如. ②化简后含有π的数，如-4· ③无限不循环小数，如0.120030210…. （3）无理数的小数部分的表示 无理数是无限不循环小数，因此其小数部分是不可能全部写出来的.我们知道，的整数部分是1.因此，的小数部分就是-1.即一个无理数减去整数部分，差就是小数部分，如π的整数部分是3.小数部分是π-3. 注意：(1)无理数都是无限小数，但无限小数不一定是无理数. (2)某些数的平方根或立方根是无理数，但带根号的数却并不都是无理数. 知识点 2 实数 2.实数的定义与分类 （1）定义：有理数和无理数统称为实数. （2）分类 (1)按定义分类 (2)按正负分类 3.实数与数轴的关系 任何一个有理数，在数轴上都有一个唯一确定的点与之对应.但是，数轴上的点并不都表示有理数，有理数、无理数合在一起，才能填满整个数轴，所以实数与数轴上的点是一一对应的，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，反过来.数轴上的每一个点都表示一个实数. 4.实数的有关性质 （1）相反数：实数的相反数是-.具体地，若与互为相反数、则+=0;反之，若+=0,则与互为相反数、 （2）倒数：实数的倒数为,若与互为倒数，则=1；若=1,则与互为倒数. （3）绝对值 ①一个正实数的绝对值等于它本身；一个负实数的绝对值等于它的相反数；0的绝对值等于0. ②已知实数,在数轴上的对应点分别为,,则有,分别表示点,点到原点的距离；表示点到点的距离.这正是绝对值的几何意义. （4）平方根：非负数都有平方根. （5）立方根：任意实数都有一个立方根. 5.实数的运算 （1）实数的运算法则 当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除(除数不为0)、乘方运算，而且正数及0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算，在进行实数的运算时，有理数的运算法则和运算性质等同样适用. （2）实数的运算顺序 实数的混合运算顺序与有理数的混合运算顺序基本相同，先算乘方(开方),再算乘除，最后算加减；同级运算按从左到右的顺序进行，有括号的先算括号里面的. （3）实数的近似计算 在实数运算中，当遇到无理数并且需要求出结果的近似值时，可以按照所要求的精确度用相应的近似有限小数去代替无理数，再进行计算. 6.实数中的非负数及其性质 （1）在实数范围内，正数和零统称为非负数，我们已经学习过的非负数有如下三种形式： ①任何一个实数的绝对值是非负数，即. ②任何一个实数的平方是非负数。即. ③任何非负数的算术平方根是非负数，即. （2）非负数的性质 ①在数轴上原点和原点右边的点表示的数是非负数. ②最小的非负数是0,没有最大的非负数. ③非负数大于一切负数. ④若干个非负数的和、积、商(除数不为0)仍是非负数. ⑤如果若干个非负数的和为0,那么这若干个非负数都必为零.即若且+b+c=0,则必有=b=c=0. 考点01：无理数 例1．（23-24七年级下·陕西安康·期中）把下列各数填入相应的大括号里． ，，0，，，，，． (1)正整数集合：{_________________________________…}； (2)分数集合：{_________________________________…}； (3)无理数集合：{_________________________________…}． 【变式1-1】在下列实数中，属于无理数的是（   ） A．0 B． C． D． 【变式1-2】下列四个实数中，是无理数的为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2023·宁夏银川·三模）下列实数：①，②，③，④，⑤，其中无理数有 个． 考点02：实数的概念理解 例2．判断正误，在后面的括号里对的填写“正确”，错的填写“错误”，并说明理由． (1)无理数都是开方开不尽的数．（      ） (2)无理数都是无限小数．（      ） (3)无限小数都是无理数．（      ） (4)无理数包括正无理数、零、负无理数．（      ） (5)不带根号的数都是有理数．（      ） (6)带根号的数都是无理数．（      ） (7)有理数都是有限小数．（       (8)实数包括有限小数和无限小数．（      ） 【变式2-1】实数的相反数是（   ） A．3 B． C． D． 【变式2-2】（2023·广东梅州·二模）已知实数，则实数的倒数为（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】下列说法正确的有 ． ①实数不是有理数就是无理数；②是有理数；③不带根号的数都是有理数；④是有理数；⑤数轴上任一点都对应一个有理数；⑥的相反数是． 考点03：实数的分类 例3．关于实数和，下列判断中，正确的是（    ） A．都不是分数 B．都是分数 C．是分数，不是分数 D．不是分数，是分数 【变式3-1】（23-24七年级下·贵州安顺·期中）下列说法不正确的是（ ） A．无限循环小数是有理数 B．实数和数轴上的点一一对应 C．有理数和无理数统称为实数 D．实数是由正实数和负实数组成 【变式3-2】（23-24七年级下·广东东莞·期中）下列说法中正确的个数是（   ） ①无限小数都是无理数；②带根号的数都是无理数；③数轴上的点表示的数都是实数；④有理数都是有限小数；⑤实数分为正实数，0，负实数． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式3-3】（23-24七年级下·上海杨浦·期中）下列说法正确的是（　　） A．无理数与无理数的和为无理数 B．一个数的算术平方根不比这个数大 C．实数可分为有理数和无理数 D．数轴上的点和有理数一一对应 考点04：实数的性质 例4．的相反数是 ，的绝对值是 【变式4-1】下列各组数中，互为相反数的一组是（    ） A．131和 B．和 C．和 D．和 【变式4-2】如果一个实数的平方等于它本身，那么这样的实数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 【变式4-3】（23-24七年级下·四川广元·期末）在数，0，和中，绝对值等于它本身的共有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 考点05：实数大小的比较 例5．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）比较与的大小，其结果是M N．（填“>”，“<”或“=”） 【变式5-1】比较大小： （用“”、“”或“”表示）． 【变式5-2】比较大小： ． 【变式5-3】（23-24七年级下·广东肇庆·期中）比较大小： 3．（填“”、“”、“”） 考点06：无理数大小的估算 例6．估计的值在（   ） A．到之间 B．到之间 C．到之间 D．到之间 【变式6-1】（24-25八年级上·重庆·期中）估算的值在（   ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 【变式6-2】（24-25七年级上·浙江温州·期末）已知，则实数在（      ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 【变式6-3】（24-25八年级上·海南·期中）若，则估计的值所在的范围是（   ） A． B． C． D． 考点07：实数的混合运算 例7．（23-24七年级下·云南曲靖·期中）计算：． 【变式7-1】（24-25七年级上·浙江温州·期中）计算： (1)； (2)． 【变式7-2】计算：． 【变式7-3】计算： 考点08：程序设计与实数运算 例8．（23-24七年级上·浙江杭州·期中）如图所示的是一个数值转换器． （1）当输入值后，经过两次取算术平方根运算，输出的值为时，输入的值为 ； （2）若输入有效的值后，始终输不出值，所有满足要求的的值为 ． 【变式8-1】按如图所示的程序计算，若开始输入的值是64，则输出的值是 ． 【变式8-2】有一个数值转换器，其原理如图所示，当输入的x为256时，输出的y是 ． 【变式8-3】（23-24七年级下·四川南充·期中）下面是一个简单的数值运算程序： 当输入x的值是时，输出的结果是 考点09：新定义下的实数运算 例9．我们把对非负实数“四舍五入”到个位的值记为，即当为非负整数时，若，则．例如下列结论中：①；②当为非负整数时，；③满足的非负实数只有两个．其中结论正确的是 ．（填序号） 【变式9-1】（24-25七年级上·浙江杭州·期中）设都是有理数，规定，，则 ． 【变式9-2】（24-25七年级上·江苏无锡·期中）数学家发明了一个魔术盒，当任意数对放入其中时，会得到一个新的数：．例如把放入其中，就会得到．现在将数对放入其中得到数m，再将数对放入其中后，得到的数是 ． 【变式9-3】（24-25七年级上·江苏无锡·期中）对于两个有理数a、b，我们对运算“”作出如下定义： (1)计算： ； (2)若，求的值． 一、单选题 1．（23-24七年级下·辽宁铁岭·期中）在， ，，，，，，中，无理数的个数为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（2024·山东青岛·中考真题）实数a，b，c，d在数轴上对应点的位置如图所示，这四个实数中绝对值最小的是（    ） A．a B．b C．c D．d 3．（23-24七年级下·山西大同·期中）无理数的小数部分是（   ） A． B．5 C． D． 4．（23-24七年级下·湖北恩施·期中）如图所示，数轴上表示2，的对应点分别为，，点是的中点，则点表示的数是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（23-24七年级下·湖南永州·期末）比较大小： （填“”或“”）． 6．（23-24七年级下·广东汕头·期末）已知a是的小数部分，b是的小数部分，则的平方根是 ． 7．（23-24七年级下·重庆开州·期末）有一个数值转换器，流程如图： 当输入x的值为81时，输出y的值是 ． 三、解答题 8．（23-24七年级下·重庆九龙坡·期末）计算下列各题 (1) (2) 9．（22-23七年级下·贵州遵义·期中）数轴上点A表示，点A关于原点的对称点为B，设点B所表示的数为x， (1)求x的值； (2)求的值． 10．（23-24七年级下·福建龙岩·期中）已知的平方根是，的立方根是，c是的整数部分，求的算术平方根． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 无理数和实数 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．无理数的概念，知道实数是由有理数和无理数组成的； 2．会求实数的相反数、绝对值、倒数，知道实数与数轴上的点一一对应； 3．掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算(以三步以内为主)；能运用有理数的运算解决简单的问题，知道有理数的运算律在实数范围内仍然适用。 知识点 1 无理数 1.无理数 （1）定义无限不循环小数叫做无理数.如,,π等. （2）常见的无理数 ①所有开方开不尽的方根，如. ②化简后含有π的数，如-4· ③无限不循环小数，如0.120030210…. （3）无理数的小数部分的表示 无理数是无限不循环小数，因此其小数部分是不可能全部写出来的.我们知道，的整数部分是1.因此，的小数部分就是-1.即一个无理数减去整数部分，差就是小数部分，如π的整数部分是3.小数部分是π-3. 注意：(1)无理数都是无限小数，但无限小数不一定是无理数. (2)某些数的平方根或立方根是无理数，但带根号的数却并不都是无理数. 知识点 2 实数 2.实数的定义与分类 （1）定义：有理数和无理数统称为实数. （2）分类 (1)按定义分类 (2)按正负分类 3.实数与数轴的关系 任何一个有理数，在数轴上都有一个唯一确定的点与之对应.但是，数轴上的点并不都表示有理数，有理数、无理数合在一起，才能填满整个数轴，所以实数与数轴上的点是一一对应的，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，反过来.数轴上的每一个点都表示一个实数. 4.实数的有关性质 （1）相反数：实数的相反数是-.具体地，若与互为相反数、则+=0;反之，若+=0,则与互为相反数、 （2）倒数：实数的倒数为,若与互为倒数，则=1；若=1,则与互为倒数. （3）绝对值 ①一个正实数的绝对值等于它本身；一个负实数的绝对值等于它的相反数；0的绝对值等于0. ②已知实数,在数轴上的对应点分别为,,则有,分别表示点,点到原点的距离；表示点到点的距离.这正是绝对值的几何意义. （4）平方根：非负数都有平方根. （5）立方根：任意实数都有一个立方根. 5.实数的运算 （1）实数的运算法则 当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除(除数不为0)、乘方运算，而且正数及0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算，在进行实数的运算时，有理数的运算法则和运算性质等同样适用. （2）实数的运算顺序 实数的混合运算顺序与有理数的混合运算顺序基本相同，先算乘方(开方),再算乘除，最后算加减；同级运算按从左到右的顺序进行，有括号的先算括号里面的. （3）实数的近似计算 在实数运算中，当遇到无理数并且需要求出结果的近似值时，可以按照所要求的精确度用相应的近似有限小数去代替无理数，再进行计算. 6.实数中的非负数及其性质 （1）在实数范围内，正数和零统称为非负数，我们已经学习过的非负数有如下三种形式： ①任何一个实数的绝对值是非负数，即. ②任何一个实数的平方是非负数。即. ③任何非负数的算术平方根是非负数，即. （2）非负数的性质 ①在数轴上原点和原点右边的点表示的数是非负数. ②最小的非负数是0,没有最大的非负数. ③非负数大于一切负数. ④若干个非负数的和、积、商(除数不为0)仍是非负数. ⑤如果若干个非负数的和为0,那么这若干个非负数都必为零.即若且+b+c=0,则必有=b=c=0. 考点01：无理数 例1．（23-24七年级下·陕西安康·期中）把下列各数填入相应的大括号里． ，，0，，，，，． (1)正整数集合：{_________________________________…}； (2)分数集合：{_________________________________…}； (3)无理数集合：{_________________________________…}． 【答案】(1) (2)，，， (3) 【解析】（1）解：，， 则正整数集合：{……}， 故答案为：； （2）解：分数集合：{，，， ……}； 故答案为：{，，，； （3）解：无理数集合：{  ……}， 故答案为：． 【变式1-1】在下列实数中，属于无理数的是（   ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【解析】解：0是整数，是分数，是整数，都属于有理数； 是无理数； 故选：B． 【变式1-2】下列四个实数中，是无理数的为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：A、是有理数，故不符合题意； B、是无理数，故符合题意； C、是有理数，故不符合题意； D、是有理数，故不符合题意； 故选：． 【变式1-3】（2023·宁夏银川·三模）下列实数：①，②，③，④，⑤，其中无理数有 个． 【答案】 【解析】解：①是分数，是有理数； ②是无理数； ③开方开不尽，是无理数； ④是整数，是有理数； ⑤是无限不循环小数，是无理数； 综上，无理数有个， 故答案为：． 考点02：实数的概念理解 例2．判断正误，在后面的括号里对的填写“正确”，错的填写“错误”，并说明理由． (1)无理数都是开方开不尽的数．（      ） (2)无理数都是无限小数．（      ） (3)无限小数都是无理数．（      ） (4)无理数包括正无理数、零、负无理数．（      ） (5)不带根号的数都是有理数．（      ） (6)带根号的数都是无理数．（      ） (7)有理数都是有限小数．（       (8)实数包括有限小数和无限小数．（      ） 【答案】(1)错误，理由见解析 (2)正确，理由见解析 (3)错误，理由见解析 (4)错误，理由见解析 (5)错误，理由见解析 (6)错误，理由见解析 (7)错误，理由见解析 (8)正确，理由见解析 【解析】（1）（错误）无理数不只是开方开不尽的数，还有，1.020 020 002…这类的数也是无理数；故答案为：错误； （2）（正确）无理数是无限不循环小数，是属于无限小数范围内的数；故答案为：正确； （3）（错误）无限小数包括无限循环小数和无限不循环小数两类数，其中无限不循环小数才是无理数；故答案为：错误； （4）（错误）0是有理数；故答案为：错误； （5）（错误）如，虽然不带根号，但它是无限不循环小数，所以是无理数；故答案为：错误； （6）（错误）如，虽然带根号，但，这是有理数；故答案为：错误； （7）（错误）有理数还包括无限循环小数；故答案为：错误； （8）（正确）有理数可以用有限小数和无限循环小数表示，无理数是无限不循环小数，所以实数可以用有限小数和无限小数表示；故答案为：正确． 【变式2-1】实数的相反数是（   ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【解析】解：实数3的相反数是．故选：B． 【变式2-2】（2023·广东梅州·二模）已知实数，则实数的倒数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：，2024的倒数为，故选：B． 【变式2-3】下列说法正确的有 ． ①实数不是有理数就是无理数；②是有理数；③不带根号的数都是有理数；④是有理数；⑤数轴上任一点都对应一个有理数；⑥的相反数是． 【答案】①⑥ 【解析】解：实数不是有理数就是无理数，描述正确，故①符合题意； 是无理数，故②不符合题意； 不带根号的数都是有理数，描述错误，如，故③不符合题意； 是无理数；故④不符合题意； 数轴上任一点都对应一个实数，故⑤不符合题意； 的相反数是，故⑥符合题意； 故答案为：①⑥． 考点03：实数的分类 例3．关于实数和，下列判断中，正确的是（    ） A．都不是分数 B．都是分数 C．是分数，不是分数 D．不是分数，是分数 【答案】C 【解析】是分数，是有理数，是无理数，不是分数，故选：C． 【变式3-1】（23-24七年级下·贵州安顺·期中）下列说法不正确的是（ ） A．无限循环小数是有理数 B．实数和数轴上的点一一对应 C．有理数和无理数统称为实数 D．实数是由正实数和负实数组成 【答案】D 【解析】解：．无限循环小数是有理数，说法正确，故该选项不符合题意； ．实数和数轴上的点一一对应，说法正确，故该选项不符合题意； ．有理数和无理数统称为实数，说法正确，故该选项不符合题意； ．实数是由正实数、零和负实数组成，原说法错误，故该选项符合题意； 故选：D． 【变式3-2】（23-24七年级下·广东东莞·期中）下列说法中正确的个数是（   ） ①无限小数都是无理数；②带根号的数都是无理数；③数轴上的点表示的数都是实数；④有理数都是有限小数；⑤实数分为正实数，0，负实数． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【解析】解：①无限不循环小数是无理数，故此选项错误； ②带根号的数不一定是无理数，故此选项错误； ③数轴上的点表示的数都是实数，正确； ④有理数都是有限小数，错误； ⑤实数分为正实数，0，负实数，正确． 故选：B． 【变式3-3】（23-24七年级下·上海杨浦·期中）下列说法正确的是（　　） A．无理数与无理数的和为无理数 B．一个数的算术平方根不比这个数大 C．实数可分为有理数和无理数 D．数轴上的点和有理数一一对应 【答案】C 【解析】解：A．无理数与无理数的和不一定还是无理数，有可能是有理数，，0是有理数，故此选项不符合题意； B．一个数的算术平方根有可能比这个数大，例如的算术平方根是，，故此选项不符合题意； C．实数可分为有理数和无理数，此说法正确，故此选项符合题意； D．数轴上的点和实数一一对应，故此选项不符合题意． 故选：C． 考点04：实数的性质 例4．的相反数是 ，的绝对值是 【答案】 2 【解析】解：的相反数是，的绝对值是 故答案为：；． 【变式4-1】下列各组数中，互为相反数的一组是（    ） A．131和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【解析】解：A、131和不互为相反数，不符合题意； B、和互为相反数，符合题意； C、和不互为相反数，不符合题意； D、和不互为相反数，不符合题意； 故选：B． 【变式4-2】如果一个实数的平方等于它本身，那么这样的实数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 【答案】B 【解析】解：∵，， ∴平方等于它本身，那么这样的实数有0和1，共计2个． 故选：B． 【变式4-3】（23-24七年级下·四川广元·期末）在数，0，和中，绝对值等于它本身的共有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【解析】解：，绝对值不等于它本身 ，绝对值等于它本身 ，，绝对值不等于它本身 ，绝对值等于它本身 绝对值等于它本身的共有2个； 故选：B． 考点05：实数大小的比较 例5．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）比较与的大小，其结果是M N．（填“>”，“<”或“=”） 【答案】 【解析】解：，， ∴， 故答案为：． 【变式5-1】比较大小： （用“”、“”或“”表示）． 【答案】 【解析】解：∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式5-2】比较大小： ． 【答案】 【解析】解：∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， 即， 故答案为：． 【变式5-3】（23-24七年级下·广东肇庆·期中）比较大小： 3．（填“”、“”、“”） 【答案】 【解析】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 考点06：无理数大小的估算 例6．估计的值在（   ） A．到之间 B．到之间 C．到之间 D．到之间 【答案】C 【解析】解：∵， ∴， ∴． 故选：C． 【变式6-1】（24-25八年级上·重庆·期中）估算的值在（   ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 【答案】A 【解析】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【变式6-2】（24-25七年级上·浙江温州·期末）已知，则实数在（      ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 【答案】C 【解析】解：， ∵， ∴． 故选：C ． 【变式6-3】（24-25八年级上·海南·期中）若，则估计的值所在的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：∵， ∴， ∴，即． 故选D． 考点07：实数的混合运算 例7．（23-24七年级下·云南曲靖·期中）计算：． 【答案】 【解析】 【变式7-1】（24-25七年级上·浙江温州·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)(2) 【解析】（1）解： ． （2）解： ． 【变式7-2】计算：． 【答案】2 【解析】解： ． 【变式7-3】计算： 【答案】7 【解析】解： ． 考点08：程序设计与实数运算 例8．（23-24七年级上·浙江杭州·期中）如图所示的是一个数值转换器． （1）当输入值后，经过两次取算术平方根运算，输出的值为时，输入的值为 ； （2）若输入有效的值后，始终输不出值，所有满足要求的的值为 ． 【答案】100 0或1 【解析】解：（1）当时，，，则； 故答案为：100； （2）当，1时，始终输不出值， ，1的算术平方根是0，1，一定是有理数， 所有满足要求的的值为0或1． 故答案为：0或1． 【变式8-1】按如图所示的程序计算，若开始输入的值是64，则输出的值是 ． 【答案】 【解析】解：由题可得： 64的立方根为4，4的算术平方根为2，2的立方根是； 故答案为． 【变式8-2】有一个数值转换器，其原理如图所示，当输入的x为256时，输出的y是 ． 【答案】 【解析】解：∵，，，4为有理数， ∴把4输入，4的平方根是，，2的算术平方根为，是无理数， ∴输出的y是． 故答案为：． 【变式8-3】（23-24七年级下·四川南充·期中）下面是一个简单的数值运算程序： 当输入x的值是时，输出的结果是 【答案】 【解析】解：由题意得，， 故答案为：． 考点09：新定义下的实数运算 例9．我们把对非负实数“四舍五入”到个位的值记为，即当为非负整数时，若，则．例如下列结论中：①；②当为非负整数时，；③满足的非负实数只有两个．其中结论正确的是 ．（填序号） 【答案】②③ 【解析】解：①当时，， 而， 左边右边，故①不成立； ②注意到都是非负数，令左边， 则， ∴， ∴， 移项得左边， 即左边=左边，②式成立． ③令，则， 又因为，故， 所以将代入式中， 得，， 解得：， 又由于 知为整数， 得或1（非负整数）， 所以的非负实数只有两个． 故③式成立． 故答案为：②③． 【变式9-1】（24-25七年级上·浙江杭州·期中）设都是有理数，规定，，则 ． 【答案】 【解析】由题意可知，， ， 故答案为：． 【变式9-2】（24-25七年级上·江苏无锡·期中）数学家发明了一个魔术盒，当任意数对放入其中时，会得到一个新的数：．例如把放入其中，就会得到．现在将数对放入其中得到数m，再将数对放入其中后，得到的数是 ． 【答案】2 【解析】解：根据题意，得， 故． 故答案为：2． 【变式9-3】（24-25七年级上·江苏无锡·期中）对于两个有理数a、b，我们对运算“”作出如下定义： (1)计算： ； (2)若，求的值． 【答案】(1)22(2) 【解析】（1）解：∵， ∴， 故答案为：22； （2）解：∵， ∴， ∴ ， ， ， ． 一、单选题 1．（23-24七年级下·辽宁铁岭·期中）在， ，，，，，，中，无理数的个数为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【解析】解：无理数有，故选：C． 2．（2024·山东青岛·中考真题）实数a，b，c，d在数轴上对应点的位置如图所示，这四个实数中绝对值最小的是（    ） A．a B．b C．c D．d 【答案】C 【解析】解：由数轴上点的位置可知，， ∴这四个实数中绝对值最小的是， 故选：C． 3．（23-24七年级下·山西大同·期中）无理数的小数部分是（   ） A． B．5 C． D． 【答案】A 【解析】解：， ∴， ∴的整数部分是5， 则无理数的小数部分是， 故选：A． 4．（23-24七年级下·湖北恩施·期中）如图所示，数轴上表示2，的对应点分别为，，点是的中点，则点表示的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：表示2，的对应点分别为，， ， 点是的中点， ， 点表示的数是， 故选：B． 二、填空题 5．（23-24七年级下·湖南永州·期末）比较大小： （填“”或“”）． 【答案】 【解析】∵ ∴． 故答案为：． 6．（23-24七年级下·广东汕头·期末）已知a是的小数部分，b是的小数部分，则的平方根是 ． 【答案】 【解析】解：， ， ， 的整数部分是12，小数部分是， 即， ， ， ， ， 的整数部分是5，小数部分是， 即， ， 的平方根是， 的平方根是， 故答案为：． 7．（23-24七年级下·重庆开州·期末）有一个数值转换器，流程如图： 当输入x的值为81时，输出y的值是 ． 【答案】 【解析】解：当输入x的值为81时，，不是无理数， ，不是无理数， 是无理数，故输出y的值是， 故答案为：． 三、解答题 8．（23-24七年级下·重庆九龙坡·期末）计算下列各题 (1) (2) 【答案】(1)(2) 【解析】（1）解：原式 （2）解：原式 9．（22-23七年级下·贵州遵义·期中）数轴上点A表示，点A关于原点的对称点为B，设点B所表示的数为x， (1)求x的值； (2)求的值． 【答案】(1)(2) 【解析】（1）解：∵数轴上点A表示，点A关于原点的对称点为B， ∴点B表示的数为，即； （2）解：∵， ∴． 10．（23-24七年级下·福建龙岩·期中）已知的平方根是，的立方根是，c是的整数部分，求的算术平方根． 【答案】6 【解析】解：∵的平方根是 ∴， ∴， ∵的立方根是， ∴． ∴， ∵， ∴， ∵c是的整数部分， ∴， ∴， ∵36的算术平方根是6， ∴的算术平方根6． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$