第01讲 平方根、立方根-【寒假自学课】2025年七年级数学寒假提升精品讲义（沪科版2024）

第01讲 平方根、立方根 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．了解平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、算术平方根和立方根； 2．会求一个数的平方根、算术平方根、立方根； 知识点 1 平方根 1.算术平方根 （1）一般地、如果一个正数的平方等于，即，那么这个正数叫做的算术平方根.规定0的舞术平方根是0. （2）a的算术平方根记为，读作“根号”,叫做被开方数. 注意：(1)只有非负数才存在算术平方根，负数没有算术平方根. (2)算术平方根是它本身的数只有0和1. (3)算术平方根是非负数，即。 2.算术平方根的规律 被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位. 3.无限不循环小数 无限不循环小数是指小数位数无限，且小数部分是不循环的小数.许多正有理数的算术平方根是无限不循环小数(例如：，，等). 注意：的结果有两种情况：当是完全平方数时，是一个有理数；当不是一个完全平方数时，是一个无限不循环小数. 4.平方根的定义 一般地，如果一个数的平方等于,那么这个数叫做的平方根或二次方根.即如果,那么x叫做的平方根.如2和-2是4的平方根，简记为±2是4的平方根. 5.平方根的表示方法 正数的算术平方根可以用表示；正数的负的平方根，可以用符号“-”表示，故正数的平方根可以用符号“±”表示，读作“正、负根号”. 6.平方根的性质 (1)正数有两个平方根，它们互为相反数. (2)负数没有平方根. (3)0的平方根是0. 7.开平方 (1)定义：求一个数的平方根的运算，叫做开平方，其中数叫做被开方数. (2)平方运算与开平方运算是互为逆运算的关系. 8.平方根的求法 (1)被开方数是完全平方数，可以通过开平方运算求平方根，81的平方根是±9. (2)被开方数不是完全平方数，可用计算器求正数的算术平方根，所得的值是近似值. 注意：(1)在求平方根的运算中，被开方数会经常以和的形式出现，应先将和计算后，再求其平方根，如的平方根是±2. (2)在进行带分数的开平方运算时，应先将带分数化为假分数，再开方. 9.,,±的意义 (1)表示非负数，即,表示的算术平方根. (2)(a≥0)表示的算术平方根的相反数，也表示的负的平方根. (3)±(a≥0)表示的平方根.当>0时，±表示两个数，且这两个数互为相反数. 知识点2 立方根 1.立方根的概念与性质 （1）立方根的定义：如果一个数的立方等于,那么这个数就叫做的立方根或三次方根.即如果=，则叫做的立方根. 2.表示方法：一个数的立方根，用符号表示，读作“三次根号”,其中是被开方数，3是根指数. 3.性质 (1)正数的立方根是正数. (2)负数的立方根是负数. (3)0的立方根是0. 4.开立方:求一个数的立方根的运算，叫做开立方.开立方是一种运算，正如开平方与平方互为逆运算一样，开立方与立方也互为逆运算.开立方所得的结果就是立方根，根据开立方与立方互为逆运算的关系，我们可以求出一个数的立方根，或者检验一个数是不是某个数的立方根. 注意：(1)开立方时，被开方数可以是正数、负数或零. (2)立方根等于它本身的数是0,±1. (3)==. (4)当求一个带分数的立方根时，先将它化为假分数，然后再求它的立方根. 5.立方根与平方根的区别与联系 （1）联系 ①都与相应的乘方互为逆运算.开平方与平方互为逆运算，开立方与立方互为逆运算. ②在研究被开方数和方根的关系时，小数点的移动规律类似. ③0的立方根与平方根都是0. （2）区别 ①表示方法不同，用符号表示平方根时，根指数2可省略，如±;用符号表示立方根时，根指数3不可省略，的立方根必须写为. ②只有非负数才有平方根，任何数都有立方根. ③正数有两个平方根，但只有一个立方根. ④互为相反数的两个数的立方根也互为相反数. 6.平方根与立方根的估算 要估算“”的近似值，第一步先确定估算数的整数范围，如2³<10<3³,所以2<<3;第二步以较小整数为基础，开始逐步加0.1(或以较大整数为基础，开始逐步减0.1),并求其立方确定被估算数的十分位，…,如此继续下去，可按要求估算“”的近似值，即用“夹逼法”. 利用“夹逼法”也可确定一个数的平方根的取值范围。 考点01：求一个数的算术平方根 例题1.若，则的算术平方根是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了算术平方根的定义，求一个数的平方根，应先找出所要求的这个数是哪一个数的平方．由开平方和平方是互逆运算，用平方的方法求这个数的平方根，由，利用算术平方根的定义可以得，求出x的值，即可得出x的算术平方根． 【解析】解：， ， ， 的算术平方根是， 故答案为：． 【变式1-1】的算术平方根为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了算术平方根的定义：如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根，其中非负的平方根叫做这个数的算术平方根．根据算术平方根的定义解答即可． 【解析】解：的算术平方根是， 故选：A． 【变式1-2】已知，则的算术平方根是 ． 【答案】3 【分析】本题考查的是算术平方根的含义，先求解，再利用算术平方根的含义可得答案． 【解析】解：∵， ∴的算术平方根是， 故答案为： 【变式1-3】的算术平方根是 ，的算术平方根是 ． 【答案】 2 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根，对于两个实数a、b若满足，那么a就叫做b的平方根，若a为非负数，那么a就叫做b的算术平方根，据此求解即可． 【解析】解：∵，而的算术平方根是， ∴的算术平方根是2， ∵，而的算术平方根是， ∴的算术平方根是， 故答案为：2；． 考点02：估计算术平方根的范围 例题2．（23-24七年级下·湖北孝感·期中）已知，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了算术平方根的估算，根据被开方数每向左（向右）移动两位，则开方的结果的向左（向右）移动一位进行求解即可． 【解析】解：∵， ∴， 故答案为：． 【变式2-1】估算值是在（   ） A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间 【答案】D 【分析】本题主要考查二次根式的估算，先估算出的取值范围，再得出的取值范围即可． 【解析】解：∵， ∴， ∴， ∴值是在6和7之间， 故选：D 【变式2-2】（2024·江苏扬州·一模）估计18的算术平方根介于（    ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 【答案】D 【分析】本题考查了估算无理数的大小，利用了算术平方根与被开方数的关系． 根据算术平方根越大被开方数越大，可得答案． 【解析】解：由，得， 即， 故选：D． 【变式2-3】（23-24七年级下·湖北·期中）已知，那么下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了算术平方根的估算，根据被开方数的小数点每向右（左）移动两位，其算术平方根的小数点每向右（左）移动一位进行求解即可． 【解析】解：∵， ∴， ，这两个式子都不成立， 故选：A． 考点03：求一个数的平方根 例题3．（22-23七年级下·贵州遵义·期中）已知a的平方根为，的算术平方根为2． (1)求a，b的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】此题主要考查了算术平方根以及平方根； （1）直接利用平方根的定义以及算术平方根的定义分析得出答案； （2）直接利用平方根的定义分析得出答案． 【解析】（1）∵a的平方根为， ∴， ∵的算术平方根为2 ∴， ∴； （2）∵，， ∴， ∴的平方根为． 【变式3-1】若，则的平方根是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了非负数的性质，求一个数的平方根，根据非负数的性质得到，则，再根据若两个实数a、b满足，那么a就叫做b的平方根进行求解即可． 【解析】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的平方根为， 故选：B． 【变式3-2】的平方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平方根，根据平方根的定义即可求解，掌握平方根的定义是解题的关键． 【解析】解：的平方根是， 故答案为：． 【变式3-3】（23-24七年级下·辽宁铁岭·期中）已知，求的平方根． 【答案】 【分析】此题考查绝对值和算术平方根的非负性，根据非负性得到方程组是解题的关键．根据绝对值和算术平方根的非负性得到方程组，解方程组后即可得到答案． 【解析】解：∵， ∴， 解得：， ∴， ∴的平方根为． 考点04：求代数式的平方根 例题4．一个正数b的平方根是与， (1)求a和b的值． (2)求平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查平方根： （1）根据正数的两个平方根互为相反数，列方程求出a的值，再根据平方根求出b的值； （2）将（1）中结果代入，再计算平方根即可． 【解析】（1）解：∵正数b的平方根是与， ∴， ∴． ∴，， ∵9的个平方根是， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， 即平方根是． 【变式4-1】（23-24七年级下·山东滨州·期末）若x，y为实数，且与互为相反数，则的平方根为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了非负数的性质以及平方根的定义．直接利用非负数的性质得出x，y的值，进而利用平方根的定义得出答案． 【解析】解：∵与互为相反数， ∴， ∴，， 解得：，， 则， 故的平方根为：． 故答案为：． 【变式4-2】（22-23七年级下·陕西安康·期中）一个正数的两个不同的平方根分别是和． (1)求和的值． (2)求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查平方根定义与性质、相反数性质，熟记平方根定义与性质是解决问题的关键． （1）根据平方根性质，一个正数的两个平方根互为相反数，列方程求解即可得到答案； （2）由（1）中，代入，利用平方根定义求解即可得到答案． 【解析】（1）解：∵一个正数的两个不同的平方根分别是和， ∴，解得， ∴； （2）解：将代入中， 得， ∵的平方根为， ∴的平方根为． 【变式4-3】已知与是一个正数的平方根，求的值和这个正数． 【答案】的值为9，这个正数是或的值为3，这个正数是 【分析】根据平方根的定义进行计算即可． 【解析】解：当如果与相等时，那么， 解得， 此时， 则， 所以这个正数为； 当如果与互为相反数时，那么 解得， 此时，， 则， 所以这个正数为， 答：的值为9，这个正数是或的值为3，这个正数是． 考点05：已知一个数的平方根求这个数 例题5．如果和是正数A的平方根，则A为（     ） A．1或9 B．1或 C．1 D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了平方根．首先根据正数有两个平方根，它们可能互为相反数或相等，则列方程求解即可． 【解析】解：当两数互为相反数时，， 解得：， ∴，， 则这个正数为1； 当两数相等时，， ∴， ∴， 这个正数是9． 故这个正数为1或9， 故选：A． 【变式5-1】若一个数的平方根为和，则这个数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平方根的概念， 根据平方根的概念分得和互为相反数，据此即可列出方程求得的值，熟练掌握平方根的概念是解题的关键． 【解析】解：∵一个数的平方根为和， ∴和互为相反数， 即，解得， 则这个数是； 故答案为：． 【变式5-2】一个正数x的两个不同的平方根是和，则a的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了平方根的概念，根据一个正数的两个不同的平方根互为相反数列出式子，计算即可得出答案． 【解析】解：依题意，得：， 解得， 故答案为：． 【变式5-3】（23-24七年级下·广东东莞·期中）已知一个正数x的两个平方根分别是和，求a和x的值． 【答案】a的值为4，x的值为25 【分析】本题考查平方根，根据一个正数的2个平方根互为相反数，得到，求出的值，进而求出x的值即可． 【解析】解：依题意得， 解得， 当，， ∴ 故a的值为4，x的值为25． 考点06：利用平方根解方程 例题6．求下列各式中x的值． (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)或． 【分析】本题考查了平方根的定义，正确理解平方根的定义是解题的关键． （1）利用平方根的定义解方程即可； （2）利用平方根的定义解方程即可； 【解析】（1）移项，得， 开平方，得； （2）开平方，得， 解得：或． 【变式6-1】（23-24七年级下·贵州安顺·期中）满足方程中的x的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平方根的性质，根据平方根的性质求解即可． 【解析】解： ， ∴， 故答案为：． 【变式6-2】解方程： 【答案】 【分析】本题考查了利用平方根的定义解方程，整理方程，利用平方根的定义求解即可． 【解析】解： ，． 【变式6-3】（23-24七年级下·福建龙岩·期中）已知，求未知数x的值 【答案】或 【分析】本题主要考查了根据求平方根的方法解方程，先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时开方解方程即可． 【解析】解：∵， ∴， ∴或， 解得或． 考点07：平方根的应用 例题7．如图，这是一个3阶魔方，由三层完全相同的27个小立方体组成，体积为27． (1)求出这个魔方的棱长． (2)图中阴影部分是一个正方形，求出阴影部分的面积及其边长． 【答案】(1)3． (2)正方形的面积是5，边长为． 【分析】本题考查了立方根和平方根的意义，熟练掌握立方根和平方根的意义是解答本题的关键． （1）直接根据立方根的意义求解即可； （2）先求出阴影部分的面积，再根据平方根的意义求解即可． 【解析】（1）设魔方的棱长为x，根据题意，得， 解得． 故魔方的棱长为3． （2）∵魔方的棱长为3， ∴阴影面积为：， 设正方形的边长为y，则， 解得，（舍去）， 故正方形的面积是5，边长为． 【变式7-1】（23-24七年级下·山西吕梁·期中）如图，小英的爸爸在一块边长为5米的正方形内种植玉米，为了增加产量，小英的爸爸决定扩大种植面积，若扩大后的正方形面积是现在正方形面积的3.24倍，则边长需要延长（    ） A．3米 B．3.5米 C．4米 D．4.5米 【答案】C 【分析】本题考查了平方根的应用，找准等量关系，正确列出方程是解题的关键．设需要延长边长x米，则扩大后的正方形黄瓜地的边长为米，根据扩大后的正方形黄瓜地的种植面积是现在的3.24倍，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【解析】解：设需要延长边长x米，则扩大后的正方形黄瓜地的边长为米， 依题意得：， 即 ∴ 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴需要延长边长4米． 故选：C 【变式7-2】母亲节，是一个感恩母亲的节日．哥哥小宇和弟弟小旭准备自制节日礼物送给母亲．小旭自制了一张面积为的正方形贺卡，小宇自制了一个面积为的长方形信封，其长宽之比为．小旭自制的贺卡不折叠能完全放入小宇自制的信封中吗？请通过计算说明你的判断． 【答案】能，理由见解析 【分析】本题主要考查了平方根的应用．先求出正方形的边长为，然后设长方形的信封的长为，宽为，根据题意可得，从而确定长方形的长宽即可得出结果． 【解析】解：能，理由如下： ∵正方形贺卡的面积为， ∴正方形的边长为， 设长方形的信封的长为，宽为，依题得： ， 即， ∴， ∴或（舍去）， ∴， ∴能将这张贺卡不折叠地放入此信封中． 【变式7-3】（23-24七年级下·吉林延边·期中）如图，两个边长为2的正方形重叠，重叠部分是边长为a的正方形．若空白部分面积之和为3.5，求a的值． 【答案】 【分析】本题考查平方根的应用，解理的关键是看懂重叠部分、空白部分与两个正方形面积之间的关系． 根据大小正方形的面积之差的2倍等于重叠部分面积，由此列式可解． 【解析】解：∵空白部分面积之和为， ∴ ∴ 则 ∵ ∴ 考点08：平方根、立方根的概念理解 例题8．有下列说法：①的平方根是4； ②表示6的算术平方根的相反数； ③的立方根是；④是的平方根. 其中，正确的说法有（  ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了平方根、立方根的相关概念，掌握相关结论即可． 【解析】解：①，的平方根是，故①错误； ②表示6的算术平方根的相反数，故②正确； ③的立方根是，故③正确； ④，是的平方根，故④正确； 故选：C 【变式8-1】判断下列说法正确的是（    ）． A．的平方根是； B．是64的立方根； C．是的立方根； D．的平方根是． 【答案】C 【分析】本题考查了平方根、立方根的定义，根据平方根、立方根的定义逐项判定即可． 【解析】解∶A． 是负数，没有平方根，故原说法错误，不符合题意； B．4是64的立方根，故原说法错误，不符合题意； C．是的立方根，故原说法正确，符合题意； D．的平方根是，故原说法错误，不符合题意； 故选∶C． 【变式8-2】（23-24七年级下·内蒙古赤峰·期末）一个数的平方根和立方根都等于它本身，这个数是 【答案】 【分析】此题主要考查了平方根和立方根的定义和性质，任意一个数都有立方根，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，的立方根是．根据平方根和立方根的性质解答即可． 【解析】解：∵的平方根是它本身，的立方根是它本身， ∴一个数的平方根和立方根都等于它本身，这个数是． 故答案为：． 【变式8-3】绝对值是它本身的数是 ，平方和平方根都是它本身的数是 ，倒数是它本身的数是 ，相反数是它本身的数是 ． 【答案】 正数和0 0 0 【分析】本题考查了绝对值，倒数，相反数和平方根的性质，据此相关性质内容进行逐项分析，即可作答． 【解析】解：绝对值是它本身的数是正数和0，平方和平方根都是它本身的数是0，倒数是它本身的数是，相反数是它本身的数是0． 故答案为：正数和0，0，，0． 考点09：求一个数的立方根 例题9．求下列各式中的值： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)(2)(3) 【分析】本题考查的是解方程，灵活运用立方根解方程是关键． （1）利用立方根解方程即可； （2）整理后，利用立方根解方程即可； （3）利用立方根解方程即可． 【解析】（1）解：， 方程可化为， ； （2）解：， 方程可化为， ； （3）解：， 方程可化为， ， ． 【变式9-1】的立方根是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了算术平方根，平方根，熟练掌握算术平方根，平方根是解题的关键；先求出的值，再求出其立方根即可． 【解析】解：， 的立方根是2， 故答案为：2． 【变式9-2】的平方根是 ，算术平方根是 ，的立方根是 【答案】 【分析】本题主要考查了求一个数的平方根，算术平方根和立方根，对于两个实数a、b若满足，那么a就叫做b的平方根，若a为非负数，那么a就叫做b的算术平方根，对于两个实数a、b若满足，那么a就叫做b的立方根，据此求解即可． 【解析】解：的平方根是，算术平方根是，的立方根是， 故答案为：；． 【变式9-3】若，则 ． 【答案】或 【分析】本题考查利用算术平方根定义解方程，涉及算术平方根、平方根及立方根定义与求法，利用平方根、算术平方根及立方根的解法求解即可得到答案，熟记平方根及立方根定义是解决问题的关键． 【解析】解：， ，解得或， 故答案为或． 考点10：已知一个数的立方根求这个数 例题10．（23-24七年级下·云南曲靖·期中）已知的立方根是3，的算术平方根是4． (1)求的值； (2)求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了算术平方根和立方根的定义及代数式求值，熟练掌握算术平方根和立方根的定义是解题的关键． （1）根据算术平方根和立方根的定义列方程组求解即可； （2）将（1）中的结果代入中求出值，再求平方根即可． 【解析】（1）由的立方根是3， 的算术平方根是4， 可得：， 解得：． （2）由（1）可知， ∵， ∵的平方根是， ∴的平方根为． 【变式10-1】已知的两个平方根分别是和的立方根是的值为 ． 【答案】185 【分析】本题考查了平方根，立方根的应用，注意：一个正数有两个平方根，它们互为相反数，0的平方根是0，负数没有平方根．根据一个正数有两个平方根，它们互为相反数得出方程，求出，即可求出x、y,代入求出即可． 【解析】解：∵的两个平方根分别是和， ∴， 解得，， ∴， ∵的立方根是， ∴， ∴． 【变式10-2】知一个正数的平方根是和，的立方根为－3． (1)求a，b的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查的是平方根、立方根和算术平方根的定义，正数的平方根有两个，且互为相反数；正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，负数没有平方根． （1）利用正数的平方根有两个，且互为相反数列出方程，求出方程的解即可得到a的值，根据立方根的定义求出b的值； （2）根据平方根的定义求值． 【解析】（1）解：（1）由题意得，，， 解得：，； （2）解：∵， ∴的平方根是． 【变式10-3】（23-24七年级下·贵州安顺·期中）若既是的一个平方根，又是的立方根，求的立方根． 【答案】1 【分析】本题主要考查了立方根，平方根的定义， 先根据立方根，平方根的定义，求出a，b的值，然后代入求出，然后再根据立方根的定义求解即可． 【解析】解：既是的一个平方根，又是的立方根， ∴，， ∴，， ∴， ∴的立方根还是1． 考点11：算术平方根与立方根的综合应用 例题11．若是的算术平方根，为的立方根，求的立方根； 【答案】的立方根是1． 【分析】本题考查了算术平方根以及立方根的定义．根据算术平方根以及立方根的定义，A和B的根指数分别是2和3，即可得到一个关于a，b的方程组求得a，b的值，进而得到A、B的值，从而求解． 【解析】解：根据题意得：， 解得：， 则，， 则， ∴的立方根是1． 【变式11-1】（23-24七年级下·山东德州·期末）若的算术平方根是5，则的立方根是 ． 【答案】2 【分析】本题考查算术平方根，立方根．根据的算术平方根是5可得，从而求出a的值，进而求出，即可求出它的立方根． 【解析】解：∵的算术平方根是5， ∴， ∴， ∴， ∴的立方根是2． 故答案为：2 【变式11-2】（23-24七年级下·河北保定·期末）一个正数m的平方根是和，求正数m的立方根． 【答案】 【分析】本题主要考查平方根，立方根的知识，根据题意求出，再求出，再进行计算即可． 【解析】解：由题意得， 解得， ∴ ∴ ∴ 【变式11-3】（23-24七年级下·北京·期中）已知的算术平方根是3，，求的立方根． 【答案】 【分析】本题主要考查了算术平方根和立方根的定义，根据的算术平方根是3，，先求出，，然后再代入求值即可． 【解析】解：∵，， ∴，， ∴，， ∴． 一、单选题 1．（23-24七年级下·云南曲靖·期中）一个正方形的面积是，则这个正方形的边长是（    ） A．5 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查的是算术平方根的概念以及正方形的面积的计算，掌握算术平方根的概念是解题的关键．根据算术平方根的概念以及正方形的面积公式计算即可． 【解析】已知一个正方形的面积是， 则这个正方形的边长为， 这个正方形的边长是． 故选：A． 2．（23-24七年级下·广东东莞·期中）在下列各式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是算术平方根和平方根，掌握算术平方根和平方根的定义是解决此题的关键． 根据算术平方根和平方根的定义逐一判断即可． 【解析】解：A、，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、，正确，故该选项符合题意； 故选：D． 3．（23-24七年级下·河北保定·期末）化简的结果是（    ） A．4 B．6 C． D．0 【答案】C 【分析】本题考查求立方根，算术平方根，先根据立方根，算术平方根的概念求解，再进行加减运算． 【解析】解：． 故选：C 二、填空题 4．（23-24七年级下·云南红河·期末）已知，则的立方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了求一个数的立方根，算术平方根的非负性以及偶次方的非负性，据此先得出，，，再求解，即可作答． 【解析】解：∵， ∴，，， ∴，，， 则， ∴的立方根为， 故答案为： 5．（23-24七年级下·安徽安庆·期末）已知，则 的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查平方和算术平方根的非负性，根据平方和算术平方根的非负性即可求解． 【解析】解：∵，， 且， ∴，， ∴， ∴，， ∴． 故答案为： 6．（22-23七年级下·福建厦门·期末）某款储物箱A的底面是面积为的正方形，在一间长，宽的长方形仓库中堆放这款储物箱A，要求储物箱从墙角开始，依次整齐正向摆放，则一层最多能放下 个储物箱A． 【答案】6 【分析】本题主要考查了算术平方根的应用．根据题意可得正方形的边长为，设挨着仓库的长边可以放x个，挨着仓库短边可以放y个，由题意可得，再由 x、y均为整数可得到x最大是3，y最大是2，即可求解． 【解析】解：∵正方形的面积为， ∴正方形的边长为， 设挨着仓库的长边可以放x个，挨着仓库短边可以放y个，由题意得， ，， ∴，， ∵x、y均为整数， ∴x最大是3，y最大是2， ∴，即一层最多放下6个储物箱A， 故答案为：6． 7．（22-23七年级下·安徽池州·期末）若，， ． 【答案】 【分析】本题考查了立方根，熟练掌握立方根的定义是解题的关键． 利用立方根的定义及负指数幂的性质判断即可． 【解析】解：∵， ∴， 故答案为：． 三、解答题 8．（23-24七年级下·安徽阜阳·期中）求x的值： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了平方根和立方根的应用，解题的关键是熟练掌握平方根和立方根定义． （1）利用平方根解方程即可； （2）利用立方根解方程即可． 【解析】（1）解：， 方程两边同除以9得：， 开平方得：； （2）解：， 方程两边同除以8得：， 开立方得：， 解得：． 9．（23-24七年级下·安徽滁州·期中）已知的平方根是，求的立方根． 【答案】 【分析】本题考查了立方根，以及平方根，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．利用平方根定义列一元一次方程，求出的值，然后代入求值后利用立方根求解即可． 【解析】解：∵的平方根是， ∴， 解得， ∴， ∴的立方根为． 10．（23-24七年级下·安徽合肥·期中）已知x的两个平方根分别是与，且的立方根是． (1)求a，b的值； (2)求的算术平方根． 【答案】(1)，； (2)4． 【分析】本题考查平方根，算术平方根及立方根的定义． （1）根据平方根的意义列方程即可求得a的值，然后利用立方根的意义即可求出b的值； （2）将a，b的值代入中计算后利用算术平方根的定义即可求得答案． 熟练掌握其定义及性质是解题的关键． 【解析】（1）∵x的平方根分别是与， ∴， 解得． ∵的立方根是－3， ∴， 解得． （2）∵，， ∴， ∴的算术平方根是4． ( 4 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 平方根、立方根 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．了解平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、算术平方根和立方根； 2．会求一个数的平方根、算术平方根、立方根； 知识点 1 平方根 1.算术平方根 （1）一般地、如果一个正数的平方等于，即，那么这个正数叫做的算术平方根.规定0的舞术平方根是0. （2）a的算术平方根记为，读作“根号”,叫做被开方数. 注意：(1)只有非负数才存在算术平方根，负数没有算术平方根. (2)算术平方根是它本身的数只有0和1. (3)算术平方根是非负数，即。 2.算术平方根的规律 被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位. 3.无限不循环小数 无限不循环小数是指小数位数无限，且小数部分是不循环的小数.许多正有理数的算术平方根是无限不循环小数(例如：，，等). 注意：的结果有两种情况：当是完全平方数时，是一个有理数；当不是一个完全平方数时，是一个无限不循环小数. 4.平方根的定义 一般地，如果一个数的平方等于,那么这个数叫做的平方根或二次方根.即如果,那么x叫做的平方根.如2和-2是4的平方根，简记为±2是4的平方根. 5.平方根的表示方法 正数的算术平方根可以用表示；正数的负的平方根，可以用符号“-”表示，故正数的平方根可以用符号“±”表示，读作“正、负根号”. 6.平方根的性质 (1)正数有两个平方根，它们互为相反数. (2)负数没有平方根. (3)0的平方根是0. 7.开平方 (1)定义：求一个数的平方根的运算，叫做开平方，其中数叫做被开方数. (2)平方运算与开平方运算是互为逆运算的关系. 8.平方根的求法 (1)被开方数是完全平方数，可以通过开平方运算求平方根，81的平方根是±9. (2)被开方数不是完全平方数，可用计算器求正数的算术平方根，所得的值是近似值. 注意：(1)在求平方根的运算中，被开方数会经常以和的形式出现，应先将和计算后，再求其平方根，如的平方根是±2. (2)在进行带分数的开平方运算时，应先将带分数化为假分数，再开方. 9.,,±的意义 (1)表示非负数，即,表示的算术平方根. (2)(a≥0)表示的算术平方根的相反数，也表示的负的平方根. (3)±(a≥0)表示的平方根.当>0时，±表示两个数，且这两个数互为相反数. 知识点2 立方根 1.立方根的概念与性质 （1）立方根的定义：如果一个数的立方等于,那么这个数就叫做的立方根或三次方根.即如果=，则叫做的立方根. 2.表示方法：一个数的立方根，用符号表示，读作“三次根号”,其中是被开方数，3是根指数. 3.性质 (1)正数的立方根是正数. (2)负数的立方根是负数. (3)0的立方根是0. 4.开立方:求一个数的立方根的运算，叫做开立方.开立方是一种运算，正如开平方与平方互为逆运算一样，开立方与立方也互为逆运算.开立方所得的结果就是立方根，根据开立方与立方互为逆运算的关系，我们可以求出一个数的立方根，或者检验一个数是不是某个数的立方根. 注意：(1)开立方时，被开方数可以是正数、负数或零. (2)立方根等于它本身的数是0,±1. (3)==. (4)当求一个带分数的立方根时，先将它化为假分数，然后再求它的立方根. 5.立方根与平方根的区别与联系 （1）联系 ①都与相应的乘方互为逆运算.开平方与平方互为逆运算，开立方与立方互为逆运算. ②在研究被开方数和方根的关系时，小数点的移动规律类似. ③0的立方根与平方根都是0. （2）区别 ①表示方法不同，用符号表示平方根时，根指数2可省略，如±;用符号表示立方根时，根指数3不可省略，的立方根必须写为. ②只有非负数才有平方根，任何数都有立方根. ③正数有两个平方根，但只有一个立方根. ④互为相反数的两个数的立方根也互为相反数. 6.平方根与立方根的估算 要估算“”的近似值，第一步先确定估算数的整数范围，如2³<10<3³,所以2<<3;第二步以较小整数为基础，开始逐步加0.1(或以较大整数为基础，开始逐步减0.1),并求其立方确定被估算数的十分位，…,如此继续下去，可按要求估算“”的近似值，即用“夹逼法”. 利用“夹逼法”也可确定一个数的平方根的取值范围。 考点01：求一个数的算术平方根 例题1.若，则的算术平方根是 ． 【变式1-1】的算术平方根为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】已知，则的算术平方根是 ． 【变式1-3】的算术平方根是 ，的算术平方根是 ． 考点02：估计算术平方根的范围 例题2．（23-24七年级下·湖北孝感·期中）已知，，则 ． 【变式2-1】估算值是在（   ） A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间 【变式2-2】（2024·江苏扬州·一模）估计18的算术平方根介于（    ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 【变式2-3】（23-24七年级下·湖北·期中）已知，那么下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 考点03：求一个数的平方根 例题3．（22-23七年级下·贵州遵义·期中）已知a的平方根为，的算术平方根为2． (1)求a，b的值； (2)求的平方根． 【变式3-1】若，则的平方根是（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】的平方根是 ． 【变式3-3】（23-24七年级下·辽宁铁岭·期中）已知，求的平方根． 考点04：求代数式的平方根 例题4．一个正数b的平方根是与， (1)求a和b的值． (2)求平方根． 【变式4-1】（23-24七年级下·山东滨州·期末）若x，y为实数，且与互为相反数，则的平方根为 ． 【变式4-2】（22-23七年级下·陕西安康·期中）一个正数的两个不同的平方根分别是和． (1)求和的值． (2)求的平方根． 【变式4-3】已知与是一个正数的平方根，求的值和这个正数． 考点05：已知一个数的平方根求这个数 例题5．如果和是正数A的平方根，则A为（     ） A．1或9 B．1或 C．1 D． 【变式5-1】若一个数的平方根为和，则这个数是 ． 【变式5-2】一个正数x的两个不同的平方根是和，则a的值为 ． 【变式5-3】（23-24七年级下·广东东莞·期中）已知一个正数x的两个平方根分别是和，求a和x的值． 考点06：利用平方根解方程 例题6．求下列各式中x的值． (1)； (2)． 【变式6-1】（23-24七年级下·贵州安顺·期中）满足方程中的x的值为 ． 【变式6-2】解方程： 【变式6-3】（23-24七年级下·福建龙岩·期中）已知，求未知数x的值 考点07：平方根的应用 例题7．如图，这是一个3阶魔方，由三层完全相同的27个小立方体组成，体积为27． (1)求出这个魔方的棱长． (2)图中阴影部分是一个正方形，求出阴影部分的面积及其边长． 【变式7-1】（23-24七年级下·山西吕梁·期中）如图，小英的爸爸在一块边长为5米的正方形内种植玉米，为了增加产量，小英的爸爸决定扩大种植面积，若扩大后的正方形面积是现在正方形面积的3.24倍，则边长需要延长（    ） A．3米 B．3.5米 C．4米 D．4.5米 【变式7-2】母亲节，是一个感恩母亲的节日．哥哥小宇和弟弟小旭准备自制节日礼物送给母亲．小旭自制了一张面积为的正方形贺卡，小宇自制了一个面积为的长方形信封，其长宽之比为．小旭自制的贺卡不折叠能完全放入小宇自制的信封中吗？请通过计算说明你的判断． 【变式7-3】（23-24七年级下·吉林延边·期中）如图，两个边长为2的正方形重叠，重叠部分是边长为a的正方形．若空白部分面积之和为3.5，求a的值． 考点08：平方根、立方根的概念理解 例题8．有下列说法：①的平方根是4； ②表示6的算术平方根的相反数； ③的立方根是；④是的平方根. 其中，正确的说法有（  ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式8-1】判断下列说法正确的是（    ）． A．的平方根是； B．是64的立方根； C．是的立方根； D．的平方根是． 【变式8-2】（23-24七年级下·内蒙古赤峰·期末）一个数的平方根和立方根都等于它本身，这个数是 【变式8-3】绝对值是它本身的数是 ，平方和平方根都是它本身的数是 ，倒数是它本身的数是 ，相反数是它本身的数是 ． 考点09：求一个数的立方根 例题9．求下列各式中的值： (1)； (2)； (3)． 【变式9-1】的立方根是 ． 【变式9-2】的平方根是 ，算术平方根是 ，的立方根是 【变式9-3】若，则 ． 【答案】或 考点10：已知一个数的立方根求这个数 例题10．（23-24七年级下·云南曲靖·期中）已知的立方根是3，的算术平方根是4． (1)求的值； (2)求的平方根． 【变式10-1】已知的两个平方根分别是和的立方根是的值为 ． 【变式10-2】知一个正数的平方根是和，的立方根为－3． (1)求a，b的值； (2)求的平方根． 【变式10-3】（23-24七年级下·贵州安顺·期中）若既是的一个平方根，又是的立方根，求的立方根． 考点11：算术平方根与立方根的综合应用 例题11．若是的算术平方根，为的立方根，求的立方根； 【变式11-1】（23-24七年级下·山东德州·期末）若的算术平方根是5，则的立方根是 ． 【变式11-2】（23-24七年级下·河北保定·期末）一个正数m的平方根是和，求正数m的立方根． 【变式11-3】（23-24七年级下·北京·期中）已知的算术平方根是3，，求的立方根． 一、单选题 1．（23-24七年级下·云南曲靖·期中）一个正方形的面积是，则这个正方形的边长是（    ） A．5 B． C． D． 2．（23-24七年级下·广东东莞·期中）在下列各式中正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·河北保定·期末）化简的结果是（    ） A．4 B．6 C． D．0 二、填空题 4．（23-24七年级下·云南红河·期末）已知，则的立方根是 ． 5．（23-24七年级下·安徽安庆·期末）已知，则 的值是 ． 6．（22-23七年级下·福建厦门·期末）某款储物箱A的底面是面积为的正方形，在一间长，宽的长方形仓库中堆放这款储物箱A，要求储物箱从墙角开始，依次整齐正向摆放，则一层最多能放下 个储物箱A． 7．（22-23七年级下·安徽池州·期末）若，， ． 三、解答题 8．（23-24七年级下·安徽阜阳·期中）求x的值： (1) (2) 9．（23-24七年级下·安徽滁州·期中）已知的平方根是，求的立方根． 10．（23-24七年级下·安徽合肥·期中）已知x的两个平方根分别是与，且的立方根是． (1)求a，b的值； (2)求的算术平方根． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 $$