期末复习专题四：图形与广角·长方形和正方形及集合问题【十大考点】-2024-2025学年三年级数学上册典型例题系列（原卷版+解析版）人教版

1 / 12 且视他人之凝目如盏盏鬼火，大胆地去走你的夜路！ ——史铁生《病隙碎笔》 2 / 12 2024-2025 学年三年级数学上册典型例题系列 期末复习专题四：图形与广角·长方形和正方形及集合问题 【十大考点】 【第一篇】专题解读篇 专题名称 期末复习专题四：图形与广角·长方形和正方形及集合问题 专题内容 本专题包括长方形和正方形的认识、周长、实际应用以及集 合问题等内容。 总体评价 讲解建议 本部分内容根据篇目进行分类，每个篇目又包含多个常考考 点，每个考点又划分多种变式练习，总体来说，内容涵盖广 泛，综合性强，建议作为期末复习核心内容进行讲解。 考点数量 十大考点。 【第二篇】目录导航篇 【第三篇】知识总览篇 .......................................................................................................3 【第四篇】典型例题篇 .......................................................................................................5 【考点一】四边形及长方形和正方形的基本认识 .............................................................5 【考点二】周长的认识和大小比较 ................................................................................... 5 【考点三】长方形和正方形的周长问题 ............................................................................6 【考点四】画指定长度或周长的长方形和正方形 .............................................................7 【考点五】长方形和正方形的等长转化问题 .................................................................... 8 【考点六】长方形中的最大正方形问题 ............................................................................8 3 / 12 【考点七】一边靠墙问题 ...................................................................................................9 【考点八】图形的拼接裁剪问题 ..................................................................................... 10 【考点九】集合问题基础 .................................................................................................10 【考点十】集合问题提高 .................................................................................................11 【第三篇】知识总览篇 知识点一：四边形。 1. 四边形的特征：有 4条直的边，有 4个角，是封闭图形。 2. 长方形、正方形的联系和区别： 联系：对边相等，4个角都是直角。 区别：正方形的 4条边都相等。 知识点二：周长。 1. 封闭图形一周的长度，是它的周长。 2. 周长公式： 长方形的周长=（长＋宽）×2 正方形的周长=边长×4 知识点三：图形的拼接裁剪问题。 1.剪一下，周长增加两条边：沿长边剪一下，增加两条长的长度；沿短边剪一下， 周长增加两条宽的长度。 2.同样大小的两个长方形，如果既能拼成长方形，又能拼成正方形，那么拼成的 长方形和正方形的周长并不相等，拼成的长方形的周长长一些。 3.用数量、大小相同的小正方形拼长方形和正方形，拼成正方形时周长最短，摆 成一排拼成长方形时周长最长。 知识点四：集合与维恩图。 1.集合的意义：把指定的具有某种性质的事物看作一个整体，就是一个集合。 2.用维恩图表示集合： （1）了解维恩图：用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为维恩图。 4 / 12 （2）用维恩图表示集合的方法：填写维恩图时，先将重复的元素找出来填在中 间重合的部分，再将剩余的元素填在维恩图的其他部分。 知识点五：重叠问题的解题策略。 先从已知条件入手进行分析，画出集合图，再借助集合图进行思考。 知识点六：重叠问题的解题方法。 方法一：两部分相加后减去重复部分； 方法二：一部分减去重合部分，再加上另一部分。 5 / 12 【第四篇】典型例题篇 【考点一】四边形及长方形和正方形的基本认识。 【典型例题】 1. 是一个( )边形，有( )条边，有( )个角。 2. 填空。 (1)正方形有四个( )角，( )条边相等。 (2)长方形有( )条边，4个角都是( )角。 【对应练习】 1. 上面的图形中是长方形的有( )，是正方形的有( )。 2. 数一数，下列图中各有多少个长方形？ ( )个 ( )个 【考点二】周长的认识和大小比较。 【典型例题】 1. 这些图形都有周长。( )（填√或×），理由： 。 2. 图中甲的周长( )乙的周长。（填“大于“小于”或“等于”。） 【对应练习】 6 / 12 1. 图中，甲的周长( )乙的周长。（填上“大于”“小于”或“等于”） 2. 在图 中，甲的周长和乙的周长比较，( )长。（填：甲 或乙或一样） 【考点三】长方形和正方形的周长问题。 【典型例题】 1. 学校操场是一个长 100米、宽 50米的长方形。操场的周长是多少米？ 2. 一个正方形游乐场的边长是 65米，小丽沿游乐场的四周走一圈，一共走了多 少米？ 【对应练习】 1. 一个长方形羽毛球场地，长 49米，宽 37米，乐乐绕着这块场地的边沿跑了 4 圈，乐乐跑了多少米？ 2. 一个边长 200米的正方形操场，爸爸每天绕着它跑 5圈，他每天跑多少米？ 合多少千米？ 7 / 12 【考点四】画指定长度或周长的长方形和正方形。 【典型例题】 1. 在方格纸上按要求画图形。 （1）长 1分米，宽 10毫米的长方形。 （2）边长 2厘米的正方形。 2. 在下面的方格中，画出与左边图形周长相等的长方形和正方形各一个。（方 格的边长为 1厘米） 【对应练习】 学校准备建一个周长是 12米的花园。在下面的方格纸上按照要求设计出不同的 花园（每个小正方形边长为 1米）。 （1）如果花园是个长方形或者正方形，请画出所有不同的图形。 （2）如果花园是个不规则的图形，请设计一个满足要求的花园。 8 / 12 【考点五】长方形和正方形的等长转化问题。 【典型例题】 学校用木栅栏在操场围了一块长 18米，宽 12米的长方形活动区域，后由于场地 变动，改用这些木栅栏围成一块正方形活动场地，这块场地的边长是多少米？ 【对应练习】 一条铁丝可以围成一个长 20厘米，宽 12厘米的长方形，如果用它围成一个正方 形，正方形的周长是多少厘米？ 【考点六】长方形中的最大正方形问题。 【典型例题】 妈妈买了一块长方形大桌布，长 3米，宽 2米，结果发现不合适，就最大程度的 把它剪成了一块正方形桌布。这块正方形桌布的周长是多少米？请你先在下图中 根据题意画出正方形桌布的示意图，再列式计算。 9 / 12 【对应练习】 一个长方形的长是 79厘米，在这个长方形的一边剪去一个最大的正方形，还剩 下一部分，求剩余部分的周长是多少？（可以画图试一试） 【考点七】一边靠墙问题。 【典型例题】 共享单车是市民出行的重要交通工具，骑完单车后应停放在划定的区域里。某小 区在门口划定了一块长 45 分米、宽 2米的长方形单车停放区域，其中一边靠墙 （不用划线），划出的线一共长多少分米？写出所有可能。 【对应练习】 1. 如图，一个正方形花圃一面靠墙，边长是 6米，三面用篱笆围起来。 （1）至少需要围多长的篱笆？ （2）如果用 24米的篱笆，还围成一面靠墙的正方形花圃（如上图），边长是几 米？（温馨提醒：边长可不是 6米） 2. 张大爷要围一块长方形地，长 35米、宽 18米。这块地一边靠墙，另外三边 围篱笆，下面哪种围法用的篱笆少一些？至少需要多少米篱笆？ 10 / 12 【考点八】图形的拼接裁剪问题。 【典型例题】 1. 把长 10厘米、宽 4厘米的长方形纸条，剪成边长为 2厘米的正方形纸条。能 剪成多少个？ 2. 用两个长是 10厘米，宽是 5厘米的长方形可以拼成一个长方形，也可以拼成 一个正方形。它们的周长分别是多少厘米？ 【对应练习】 1. 长方形。如果其中一个长方形的周长是 24厘米，那么这个正方形的周长是 ( )厘米。 2. 三（1）班举办元旦绘画展，一共选出 24幅作品，每幅作品都是边长 2 分米 的正方形，现在准备把这些作品贴在一起，并配上花边，怎样设计才能使贴的花 边最少？ 【考点九】集合问题基础。 【典型例题】 1. 书法是中国传统文化的国粹之一，承载着中国人的智慧和情感。学校开展的 书法比赛中，三年级硬笔书法有 18人获奖，软笔书法有 10获奖，两项都获奖的 有 5人，三年级书法获奖的一共有多少人？ 11 / 12 2. 四（1）班共有学生 52人，每人家里至少有冰箱或摩托车中的一件。家里有 冰箱的有 38人，家里有摩托车的有 40人，家里既有冰箱又有摩托车的学生有多 少人？ 【对应练习】 1. 三（1）班有 32人订《小学生作文》，有 24人订《少年科技》，有 8人两种 都订了。订这两种报刊的同学共有多少人？ 2. 五年级一班共 48人，一次数学测试中做对第一题的有 36人，做对第二题的 有 30人，每人至少做对一道题。两道题都做对的有多少人？ 【考点十】集合问题提高。 【典型例题】 1. 某公司有 180人，其中会游泳的有 55人，会打羽毛球的有 110人，两样都会 的有 25人，两样都不会的有多少人？ 2. 把两块一样长的木板钉在一起，钉完后木板长 9分米，中间重叠部分长 10厘 米，求出原来每块木板的长度。 12 / 12 【对应练习】 1. 三年级（1）班有 40名同学，会下象棋的有 15人，会下围棋的有 18人两种 棋都会下的有 8人。两种棋都不会下的有多少人？ 2. 如图蓝色木棒长 78厘米，橙色木棒长 1米，两根木棒绑在一起重叠部分长 10 厘米，两根木棒绑在一起的长度是多少？ 1 / 21 且视他人之凝目如盏盏鬼火，大胆地去走你的夜路！ ——史铁生《病隙碎笔》 2 / 21 2024-2025 学年三年级数学上册典型例题系列 期末复习专题四：图形与广角·长方形和正方形及集合问题 【十大考点】 【第一篇】专题解读篇 专题名称 期末复习专题四：图形与广角·长方形和正方形及集合问题 专题内容 本专题包括长方形和正方形的认识、周长、实际应用以及集 合问题等内容。 总体评价 讲解建议 本部分内容根据篇目进行分类，每个篇目又包含多个常考考 点，每个考点又划分多种变式练习，总体来说，内容涵盖广 泛，综合性强，建议作为期末复习核心内容进行讲解。 考点数量 十大考点。 【第二篇】目录导航篇 【第三篇】知识总览篇 .......................................................................................................3 【第四篇】典型例题篇 .......................................................................................................5 【考点一】四边形及长方形和正方形的基本认识 .............................................................5 【考点二】周长的认识和大小比较 ................................................................................... 7 【考点三】长方形和正方形的周长问题 ............................................................................8 【考点四】画指定长度或周长的长方形和正方形 .............................................................9 【考点五】长方形和正方形的等长转化问题 .................................................................. 12 【考点六】长方形中的最大正方形问题 ..........................................................................13 3 / 21 【考点七】一边靠墙问题 .................................................................................................14 【考点八】图形的拼接裁剪问题 ..................................................................................... 16 【考点九】集合问题基础 .................................................................................................18 【考点十】集合问题提高 .................................................................................................19 【第三篇】知识总览篇 知识点一：四边形。 1. 四边形的特征：有 4条直的边，有 4个角，是封闭图形。 2. 长方形、正方形的联系和区别： 联系：对边相等，4个角都是直角。 区别：正方形的 4条边都相等。 知识点二：周长。 1. 封闭图形一周的长度，是它的周长。 2. 周长公式： 长方形的周长=（长＋宽）×2 正方形的周长=边长×4 知识点三：图形的拼接裁剪问题。 1.剪一下，周长增加两条边：沿长边剪一下，增加两条长的长度；沿短边剪一下， 周长增加两条宽的长度。 2.同样大小的两个长方形，如果既能拼成长方形，又能拼成正方形，那么拼成的 长方形和正方形的周长并不相等，拼成的长方形的周长长一些。 3.用数量、大小相同的小正方形拼长方形和正方形，拼成正方形时周长最短，摆 成一排拼成长方形时周长最长。 知识点四：集合与维恩图。 1.集合的意义：把指定的具有某种性质的事物看作一个整体，就是一个集合。 2.用维恩图表示集合： （1）了解维恩图：用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为维恩图。 4 / 21 （2）用维恩图表示集合的方法：填写维恩图时，先将重复的元素找出来填在中 间重合的部分，再将剩余的元素填在维恩图的其他部分。 知识点五：重叠问题的解题策略。 先从已知条件入手进行分析，画出集合图，再借助集合图进行思考。 知识点六：重叠问题的解题方法。 方法一：两部分相加后减去重复部分； 方法二：一部分减去重合部分，再加上另一部分。 5 / 21 【第四篇】典型例题篇 【考点一】四边形及长方形和正方形的基本认识。 【典型例题】 1. 是一个( )边形，有( )条边，有( )个角。 【答案】 四 4 4 【分析】根据对图中图形的认识，易知图中是一个四边形，根据四边形的特征， 四边形是指有四条边和四个角的多边形。每个四边形都有四条边和四个角。 【详解】根据分析得： 是一个四边形，有 4条边，有 4个角。 2. 填空。 (1)正方形有四个( )角，( )条边相等。 (2)长方形有( )条边，4个角都是( )角。 【答案】(1) 直 4 (2) 4 直 【分析】如下图，长方形、正方形都有 4个直角，4条边，正方形的 4条边都相 等，据此即可解答。 【详解】（1）正方形有四个直角，4条边相等。 （2）长方形有 4条边，4个角都是直角。 【对应练习】 1. 上面的图形中是长方形的有( )，是正方形的有( )。 6 / 21 【答案】 ①⑤ ③⑥ 【分析】长方形的两组对边相等的，并且四条边都是直直的边，有四个直角；正 方形的四条边都相等，是特殊的长方形，也有四个直角。据此解答即可。 【详解】①是长方形，②是三角形，③是正方形，④是平行四边形，⑤是长方形， ⑥是正方形，⑦是梯形，⑧是三角形，⑨是圆形，⑩是梯形。 故是长方形的有①⑤，是正方形的有③⑥（序号顺序没有要求） 2. 数一数，下列图中各有多少个长方形？ ( )个 ( )个 【答案】 18 18 【分析】根据长方形的基本特征先分类，再分别数每一类图形，按照从小到大的 顺序数出各种图形，做到不重复、不遗漏。 【详解】（1） 1个小长方形组成的长方形有 6个，分别是①、②、③、④、⑤、⑥；2个小长 方形组成的长方形有 7个，分别是①和②组合、②和③组合、④和⑤组合、⑤和 ⑥组合、①和④组合、②和⑤组合、③和⑥组合；3个小长方形组成的长方形有 2个，分别是①、②和③组合，④、⑤和⑥组合；4个小长方形组成的长方形有 2个，分别是①、②、④和⑤组合，②、③、⑤和⑥组合；6个小长方形组成的 长方形有 1个，是①、②、③、④、⑤和⑥组合；所以一共有 18个。 （2） 1个小长方形组成的长方形有 6个，分别是①、②、③、④、⑤、⑥；2个小长 方形组成的长方形有 7个，分别是①和②组合、②和③组合、④和⑤组合、⑤和 ⑥组合、①和④组合、②和⑤组合、③和⑥组合；3个小长方形组成的长方形有 2个，分别是①、②和③组合，④、⑤和⑥组合；4个小长方形组成的长方形有 2个，分别是①、②、④和⑤组合，②、③、⑤和⑥组合；6个小长方形组成的 长方形有 1个，是①、②、③、④、⑤和⑥组合；所以一共有 18个。 7 / 21 【考点二】周长的认识和大小比较。 【典型例题】 1. 这些图形都有周长。( )（填√或×），理由： 。 【答案】 × 第三个图形不是封闭图形，没有周长 【分析】封闭图形一周的长度叫做周长据此解答即可。 【详解】第三个图形不是封闭图形，没有周长。 这些图形都有周长。（×），理由：第三个图形不是封闭图形，没有周长。 2. 图中甲的周长( )乙的周长。（填“大于“小于”或“等于”。） 【答案】等于 【分析】因为甲的周长＝长方形的一组邻边的和＋中间的曲线的长，乙的周长＝ 长方形的另一组邻边的和＋中间的曲线的长，根据长方形的对边相等，可知两个 图形的周长相等。 【详解】由分析得： 甲的周长等于乙的周长。 【点睛】此题考查的目的是理解周长的意义。 【对应练习】 1. 图中，甲的周长( )乙的周长。（填上“大于”“小于”或“等于”） 【答案】等于 【分析】周长的认识：封闭图形一周的长度叫做图形的周长。 【详解】根据分析，甲与乙有一条公共边，甲的剩下两条边与乙的剩下两条边两 条边长度相等，因此甲的周长等于乙的周长。 【点睛】本题主要考查的是对图形周长的认识。 8 / 21 2. 在图 中，甲的周长和乙的周长比较，( )长。（填：甲 或乙或一样） 【答案】一样 【分析】封闭图形一周的长度是这个图形的周长，长方形的对边相等，依此比较 即可。 【详解】根据分析可知，甲的周长和乙的周长一样长。 【点睛】此题考查的是对周长的认识，熟练掌握长方形的特点是解答此题的关键。 【考点三】长方形和正方形的周长问题。 【典型例题】 1. 学校操场是一个长 100米、宽 50米的长方形。操场的周长是多少米？ 【答案】300米 【分析】根据“长方形的周长＝（长＋宽）×2”，代入数值解答即可。 【详解】  100 2    300 米 答：操场的周长是 300米。 【点睛】本题考查了长方形周长公式的实际应用。 2. 一个正方形游乐场的边长是 65米，小丽沿游乐场的四周走一圈，一共走了多 少米？ 【答案】260米 【分析】小丽沿游乐场的四周走一圈的长度，等于这个正方形游乐场的周长，正 方形的周长＝边长×4，依此列式并计算即可。 【详解】65×4＝260（米） 答：小丽沿游乐场的四周走一圈，一共走了 260米。 【点睛】熟练掌握正方形的周长的计算，是解答此题的关键。 【对应练习】 1. 一个长方形羽毛球场地，长 49米，宽 37米，乐乐绕着这块场地的边沿跑了 4 9 / 21 圈，乐乐跑了多少米？ 【答案】688米 【分析】根据长方形的周长＝（长＋宽）×2，求出羽毛球场地的周长，再乘跑的 圈数即可。 【详解】（49＋37）×2×4 ＝86×2×4 ＝172×4 ＝688（米） 答：乐乐跑了 688米。 【点睛】此题主要考查长方形周长公式的灵活运用，关键是熟记公式。 2. 一个边长 200米的正方形操场，爸爸每天绕着它跑 5圈，他每天跑多少米？ 合多少千米？ 【答案】4000米；4千米 【分析】根据正方形的周长＝边长×4，求出正方形操场的周长，再乘 5，求出每 天跑步路程。千米和米之间的进率是 1000，据此将每天跑步路程换算成千米。 【详解】200×4×5 ＝800×5 ＝4000（米） 4000米＝4千米 答：他每天跑 4000米，合 4千米。 【点睛】本题考查正方形周长公式的应用和长度单位的换算，关键是熟记公式。 【考点四】画指定长度或周长的长方形和正方形。 【典型例题】 1. 在方格纸上按要求画图形。 （1）长 1分米，宽 10毫米的长方形。 （2）边长 2厘米的正方形。 10 / 21 【答案】（1）（2）见详解 【分析】（1）1分米＝10厘米，10毫米＝1厘米，实际就是要求画一个长 10 厘米，宽 1厘米的长方形，根据长方形的特征：四个角都是直角，对边分别相等， 进行作图即可； （2）根据正方形的特征：四个角都是直角，四条边都相等，画出边长 2厘米的 正方形即可。 【详解】（1）1分米＝10厘米 10毫米＝1厘米 长 1分米，宽 10毫米的长方形。作图如下： （2）边长 2厘米的正方形。作图如下： 【点睛】本题主要考查画指定长、宽（边长）的长方形和正方形，关键培养学生 的动手操作能力和想象能力。 11 / 21 2. 在下面的方格中，画出与左边图形周长相等的长方形和正方形各一个。（方 格的边长为 1厘米） 【答案】见详解 【分析】根据周长的认识可知，左边图形的周长是 12厘米。根据长方形的周长 ＝（长＋宽）×2，可知周长为 12厘米的长方形，长宽和为 6厘米，可以是长 4 厘米宽 2厘米。根据正方形的周长＝边长×4，可知周长为 12厘米的正方形，边 长是 3厘米。据此画图。 【详解】（4＋2）×2 ＝6×2 ＝12（厘米） 3×4＝12（厘米） 长方形的长为 4厘米，宽为 2厘米，正方形的边长为 3厘米。 （长方形画法不唯一） 【点睛】本题考查周长的认识以及长方形和正方形周长公式的应用，关键是熟记 公式，求出正方形的边长以及长方形的长与宽。 【对应练习】 学校准备建一个周长是 12米的花园。在下面的方格纸上按照要求设计出不同的 花园（每个小正方形边长为 1米）。 （1）如果花园是个长方形或者正方形，请画出所有不同的图形。 （2）如果花园是个不规则的图形，请设计一个满足要求的花园。 12 / 21 【答案】见详解 【分析】（1）根据长方形的周长＝（长＋宽）×2，可知周长为 12米的花园，可 以是长 5米宽 1米，或者长 4米宽 2米的长方形。根据正方形的周长＝边长×4， 可知周长为 12米的花园，可以是边长为 3米的正方形。据此画图。 （2）保证所画花园是一个不规则图形，且这个花园的各条边长度和为 12米即可。 【详解】 【点睛】本题考查长方形和正方形周长公式的实际应用以及周长的认识，关键是 熟记公式，灵活运用公式解决问题。 【考点五】长方形和正方形的等长转化问题。 【典型例题】 学校用木栅栏在操场围了一块长 18米，宽 12米的长方形活动区域，后由于场地 变动，改用这些木栅栏围成一块正方形活动场地，这块场地的边长是多少米？ 【答案】15米 【分析】改用这些木栅栏围成一块正方形活动场地，说明这个长方形和正方形的 周长相等，先根据长方形的周长＝（长＋宽）×2，计算出长方形活动区域的周长。 正方形的周长＝边长×4，用正方形的周长除以 4，计算出这块场地的边长是多少 米；据此解答。 【详解】（18＋12）×2÷4 13 / 21 ＝30×2÷4 ＝60÷4 ＝15（米） 答：这块场地的边长是 15米。 【对应练习】 一条铁丝可以围成一个长 20厘米，宽 12厘米的长方形，如果用它围成一个正方 形，正方形的周长是多少厘米？ 【答案】64厘米 【分析】根据长方形周长＝（长＋宽）×2，代入数字即可求出这条铁丝的长度， 即正方形的周长，据此解答即可。 【详解】（20＋12）×2 ＝32×2 ＝64（厘米） 答：正方形的周长是 64厘米。 【考点六】长方形中的最大正方形问题。 【典型例题】 妈妈买了一块长方形大桌布，长 3米，宽 2米，结果发现不合适，就最大程度的 把它剪成了一块正方形桌布。这块正方形桌布的周长是多少米？请你先在下图中 根据题意画出正方形桌布的示意图，再列式计算。 【答案】8米；示意图见详解 【分析】从长方形里剪下的最大正方形的边长为 2米，然后根据正方形的周长公 式：正方形的周长＝边长×4，求出该正方形的周长，据此即可解答。 【详解】 14 / 21 周长：2×4＝8（米） 答：这块正方形桌布的周长是 8米。 【点睛】解答本题的关键是要知道剪下的最大正方形的边长是原长方形的宽的长 度。 【对应练习】 一个长方形的长是 79厘米，在这个长方形的一边剪去一个最大的正方形，还剩 下一部分，求剩余部分的周长是多少？（可以画图试一试） 【答案】158厘米；图见详解 【分析】根据题意，要使这个正方形最大，则正方形的边长和原长方形的宽一样 长，正方形边长相等，剩余部分图形的长和正方形的边长相等，则长＋宽为原长 方形的长，周长＝（长＋宽）×2，用原长方形的长乘 2即可求出剩余部分的周长 是多少。 【详解】 如图： 79×2＝158（厘米） 答：剩余部分的周长是 158厘米。 【考点七】一边靠墙问题。 【典型例题】 共享单车是市民出行的重要交通工具，骑完单车后应停放在划定的区域里。某小 区在门口划定了一块长 45 分米、宽 2米的长方形单车停放区域，其中一边靠墙 （不用划线），划出的线一共长多少分米？写出所有可能。 【答案】85 分米或 110 分米 【分析】根据题意可知，长边靠墙，需要划线的长度等于这个长方形的一条长加 上两条宽的长度；宽边靠墙，需要划线的长度等于这个长方形的一条宽加上两条 长的长度。据此解答。 【详解】2米＝20 分米 15 / 21 45＋20×2 ＝45＋40 ＝85（分米） 20＋45×2 ＝20＋90 ＝110（分米） 答：划出的线一共长 85 分米或 110 分米。 【点睛】此题主要考查长方形周长公式的灵活运用，关键是分长边靠墙和宽边靠 墙两种情况解答。 【对应练习】 1. 如图，一个正方形花圃一面靠墙，边长是 6米，三面用篱笆围起来。 （1）至少需要围多长的篱笆？ （2）如果用 24米的篱笆，还围成一面靠墙的正方形花圃（如上图），边长是几 米？（温馨提醒：边长可不是 6米） 解析： （1）6×3＝18（米） 答：至少需要围 18米长的篱笆。 （2）24÷3＝8（米） 答：边长是 8米。 2. 张大爷要围一块长方形地，长 35米、宽 18米。这块地一边靠墙，另外三边 围篱笆，下面哪种围法用的篱笆少一些？至少需要多少米篱笆？ 【答案】第一种； 71米 16 / 21 【分析】第一种：长边靠墙，需要篱笆的长度等于一条长加上两条宽的长度；第 二种：宽边靠墙，需要篱笆的长度等于两条长加上一条宽的长度；比较结果得出 哪种围法用的篱笆少；据此解答。 【详解】第一种： 35＋18×2 ＝35＋36 ＝71（米） 第二种： 35×2＋18 ＝70＋18 ＝88（米） 71＜88 答：第一种围法用的篱笆少，至少要用 71米篱笆。 【点睛】此题主要考查长方形的周长公式的灵活运用，关键是熟记公式，重点是 弄清长边靠墙、还是宽边靠墙。 【考点八】图形的拼接裁剪问题。 【典型例题】 1. 把长 10厘米、宽 4厘米的长方形纸条，剪成边长为 2厘米的正方形纸条。能 剪成多少个？ 【答案】10个 【分析】把长 10厘米、宽 4厘米的长方形纸条，剪成边长为 2厘米的正方形纸 条，用长和宽分别除以 2，则是长、宽分别能剪出几个 2厘米，再相乘则是可以 剪出正方形的个数，据此解答。 【详解】（10÷2）×（4÷2） ＝5×2 ＝10（个） 答：能剪成 10个边长 2厘米的正方形纸条。 【点睛】明确裁剪方式是解答本题的关键。一个正方形被分成了三个完全一样的 2. 用两个长是 10厘米，宽是 5厘米的长方形可以拼成一个长方形，也可以拼成 17 / 21 一个正方形。它们的周长分别是多少厘米？ 【答案】长方形的周长 50厘米；正方形的周长 40厘米 【分析】把长方形的两条宽拼在一起就能拼出一个长方形，长是 20厘米、宽 5 厘米；把两条长边拼在一起就能拼出一个边长 10厘米的正方形。由此分别计算 周长即可。 【详解】（10＋10＋5）×2 ＝25×2 ＝50（厘米） 10×4＝40（厘米） 答：长方形的周长是 50厘米；正方形的周长是 40厘米。 【点睛】明确拼成的长方形的长、宽或正方形的边长是多少是解答本题的关键。 【对应练习】 1. 长方形。如果其中一个长方形的周长是 24厘米，那么这个正方形的周长是 ( )厘米。 解析： 24÷2÷（3＋1）×3 ＝24÷2÷4×3 ＝12÷4×3 ＝3×3 ＝9（厘米） 9×4＝36（厘米） 2. 三（1）班举办元旦绘画展，一共选出 24幅作品，每幅作品都是边长 2 分米 的正方形，现在准备把这些作品贴在一起，并配上花边，怎样设计才能使贴的花 边最少？ 解析： （6×2＋4×2）×2 ＝（12＋8）×2 18 / 21 ＝20×2 ＝40（分米） 答：6幅排一行，排 4行时花边最少，最少是 40分米。 【考点九】集合问题基础。 【典型例题】 1. 书法是中国传统文化的国粹之一，承载着中国人的智慧和情感。学校开展的 书法比赛中，三年级硬笔书法有 18人获奖，软笔书法有 10获奖，两项都获奖的 有 5人，三年级书法获奖的一共有多少人？ 【答案】23人 【分析】硬笔书法获奖人数加软笔书法获奖人数减去两项都获奖的人数就求出了 三年级书法获奖的一共有多少人，据此解答。 【详解】18＋10－5 ＝28－5 ＝23（人） 答：三年级书法获奖的一共有 23人。 2. 四（1）班共有学生 52人，每人家里至少有冰箱或摩托车中的一件。家里有 冰箱的有 38人，家里有摩托车的有 40人，家里既有冰箱又有摩托车的学生有多 少人？ 【答案】26人 【分析】根据容斥原理，可知既有冰箱又有摩托车的学生人数＝家里有冰箱的学 生人数＋家里有摩托车的学生人数－学生总人数，据此代入数据即可解答。 【详解】38＋40－52＝26（人） 答：家里既有冰箱又有摩托车的学生有 26人。 【对应练习】 1. 三（1）班有 32人订《小学生作文》，有 24人订《少年科技》，有 8人两种 都订了。订这两种报刊的同学共有多少人？ 【答案】48人 【分析】由题目可知，订《小学生作文》的人数＋订《少年科技》的人数－两种 报刊都订的人数＝订这两种报刊的总人数，依此列式并计算，即可解题。 19 / 21 【详解】由分析可知： 32＋24－8 ＝56－8 ＝48（人） 答：订这两种报刊的同学共有 48人。 2. 五年级一班共 48人，一次数学测试中做对第一题的有 36人，做对第二题的 有 30人，每人至少做对一道题。两道题都做对的有多少人？ 【答案】18人 【分析】根据集合问题的解题方法，做对第一题和做对第二题的总人数超过总人 数，超过的人数就是两道题都做对的人数，做对第一题的人数＋做对第二题的人 数－全班的总人数＝两道题都做对的人数，据此列式解答即可。 【详解】36＋30－48＝18（人） 答：两道题都做对的有 18人。 【考点十】集合问题提高。 【典型例题】 1. 某公司有 180人，其中会游泳的有 55人，会打羽毛球的有 110人，两样都会 的有 25人，两样都不会的有多少人？ 【答案】40人 【分析】如下图，用长方形表示这个公司的总人数，长方形内的两个圆分别表示 会游泳和会打羽毛球的人数。要求游泳和羽毛球都不会的，则是长方形中减去两 个圆圈的部分。两个圆圈部分有 110＋55－25＝140（人），再用 180－140就可 求出答案。 【详解】180－（110＋55－25） ＝180－140 ＝40（人） 20 / 21 答：两样都不会的有 40人。 【点睛】解决集合问题的关键是明确集合之间的关系，可以画集合圈表示更清楚。 2. 把两块一样长的木板钉在一起，钉完后木板长 9分米，中间重叠部分长 10厘 米，求出原来每块木板的长度。 【答案】5分米 【分析】当两部分有重复时，从和中减去重复的部分，就是原来的总数。由此可 知，每块木板的长度＋每块木板的长度－中间重叠部分的长度＝钉完后木板的长 度，因此用钉完后木板的长度加中间重叠部分的长度，即可计算出两块木板的总 长度，然后再用两块木板的总长度除以 2即可计算出每块木板的长度，1分米＝ 10厘米，依此解答。 【详解】10厘米＝1分米 9＋1＝10（分米） 10÷2＝5（分米） 答：原来每块木板的长度是 5分米。 【对应练习】 1. 三年级（1）班有 40名同学，会下象棋的有 15人，会下围棋的有 18人两种 棋都会下的有 8人。两种棋都不会下的有多少人？ 【答案】15人 【分析】先求出会下象棋的人数与会下围棋的人数和，再减去两样都会下的人数， 这样就求出至少会下一种棋的人数；再用全班总人数减去至少会下一种棋的人数， 就是两种棋都不会下的人数；据此解答。 【详解】至少会下一种棋的人数：15＋18－8＝25（人） 两种棋都不会下的人数：40－25＝15（人） 答：两种棋都不会下的有 15人。 【点睛】熟练掌握集合问题解题方法是解答本题的关键。 2. 如图蓝色木棒长 78厘米，橙色木棒长 1米，两根木棒绑在一起重叠部分长 10 厘米，两根木棒绑在一起的长度是多少？ 21 / 21 【答案】168厘米 【分析】当两部分有重复时，从和中减去重复的部分，就是两根木棒绑在一起的 长度。1米＝100厘米，依此先用加法计算出两根木棍的总长度，然后用两根木 棍的总长度减去两根木棒绑在一起重叠部分的长度即可，依此列式并计算。 【详解】1米＝100厘米 78＋100－10 ＝178－10 ＝168（厘米） 答：两根木棒绑在一起的长度是 168厘米。 且视他人之凝目如盏盏鬼火，大胆地去走你的夜路！ ——史铁生《病隙碎笔》 2024-2025学年三年级数学上册典型例题系列 期末复习专题四：图形与广角·长方形和正方形及集合问题 【十大考点】 【第一篇】专题解读篇 专题名称 期末复习专题四：图形与广角·长方形和正方形及集合问题 专题内容 本专题包括长方形和正方形的认识、周长、实际应用以及集合问题等内容。 总体评价 讲解建议 本部分内容根据篇目进行分类，每个篇目又包含多个常考考点，每个考点又划分多种变式练习，总体来说，内容涵盖广泛，综合性强，建议作为期末复习核心内容进行讲解。 考点数量 十大考点。 【第二篇】目录导航篇 【第三篇】知识总览篇 3 【第四篇】典型例题篇 5 【考点一】四边形及长方形和正方形的基本认识 5 【考点二】周长的认识和大小比较 7 【考点三】长方形和正方形的周长问题 8 【考点四】画指定长度或周长的长方形和正方形 9 【考点五】长方形和正方形的等长转化问题 12 【考点六】长方形中的最大正方形问题 13 【考点七】一边靠墙问题 14 【考点八】图形的拼接裁剪问题 16 【考点九】集合问题基础 18 【考点十】集合问题提高 19 【第三篇】知识总览篇 知识点一：四边形。 1. 四边形的特征：有4条直的边，有4个角，是封闭图形。 2. 长方形、正方形的联系和区别： 联系：对边相等，4个角都是直角。 区别：正方形的4条边都相等。 知识点二：周长。 1. 封闭图形一周的长度，是它的周长。 2. 周长公式： 长方形的周长=（长＋宽）×2 正方形的周长=边长×4 知识点三：图形的拼接裁剪问题。 1.剪一下，周长增加两条边：沿长边剪一下，增加两条长的长度；沿短边剪一下，周长增加两条宽的长度。 2.同样大小的两个长方形，如果既能拼成长方形，又能拼成正方形，那么拼成的长方形和正方形的周长并不相等，拼成的长方形的周长长一些。 3.用数量、大小相同的小正方形拼长方形和正方形，拼成正方形时周长最短，摆成一排拼成长方形时周长最长。 知识点四：集合与维恩图。 1.集合的意义：把指定的具有某种性质的事物看作一个整体，就是一个集合。 2.用维恩图表示集合： （1）了解维恩图：用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为维恩图。 （2）用维恩图表示集合的方法：填写维恩图时，先将重复的元素找出来填在中间重合的部分，再将剩余的元素填在维恩图的其他部分。 知识点五：重叠问题的解题策略。 先从已知条件入手进行分析，画出集合图，再借助集合图进行思考。 知识点六：重叠问题的解题方法。 方法一：两部分相加后减去重复部分； 方法二：一部分减去重合部分，再加上另一部分。 【第四篇】典型例题篇 【考点一】四边形及长方形和正方形的基本认识。 【典型例题】 1. 是一个( )边形，有( )条边，有( )个角。 【答案】 四 4 4 【分析】根据对图中图形的认识，易知图中是一个四边形，根据四边形的特征，四边形是指有四条边和四个角的多边形。每个四边形都有四条边和四个角。 【详解】根据分析得：是一个四边形，有4条边，有4个角。 2. 填空。 (1)正方形有四个( )角，( )条边相等。 (2)长方形有( )条边，4个角都是( )角。 【答案】(1) 直 4 (2) 4 直 【分析】如下图，长方形、正方形都有4个直角，4条边，正方形的4条边都相等，据此即可解答。 【详解】（1）正方形有四个直角，4条边相等。 （2）长方形有4条边，4个角都是直角。 【对应练习】 1. 上面的图形中是长方形的有( )，是正方形的有( )。 【答案】 ①⑤ ③⑥ 【分析】长方形的两组对边相等的，并且四条边都是直直的边，有四个直角；正方形的四条边都相等，是特殊的长方形，也有四个直角。据此解答即可。 【详解】①是长方形，②是三角形，③是正方形，④是平行四边形，⑤是长方形，⑥是正方形，⑦是梯形，⑧是三角形，⑨是圆形，⑩是梯形。 故是长方形的有①⑤，是正方形的有③⑥（序号顺序没有要求） 2. 数一数，下列图中各有多少个长方形？ ( )个                         ( )个 【答案】 18 18 【分析】根据长方形的基本特征先分类，再分别数每一类图形，按照从小到大的顺序数出各种图形，做到不重复、不遗漏。 【详解】（1） 1个小长方形组成的长方形有6个，分别是①、②、③、④、⑤、⑥；2个小长方形组成的长方形有7个，分别是①和②组合、②和③组合、④和⑤组合、⑤和⑥组合、①和④组合、②和⑤组合、③和⑥组合；3个小长方形组成的长方形有2个，分别是①、②和③组合，④、⑤和⑥组合；4个小长方形组成的长方形有2个，分别是①、②、④和⑤组合，②、③、⑤和⑥组合；6个小长方形组成的长方形有1个，是①、②、③、④、⑤和⑥组合；所以一共有18个。 （2） 1个小长方形组成的长方形有6个，分别是①、②、③、④、⑤、⑥；2个小长方形组成的长方形有7个，分别是①和②组合、②和③组合、④和⑤组合、⑤和⑥组合、①和④组合、②和⑤组合、③和⑥组合；3个小长方形组成的长方形有2个，分别是①、②和③组合，④、⑤和⑥组合；4个小长方形组成的长方形有2个，分别是①、②、④和⑤组合，②、③、⑤和⑥组合；6个小长方形组成的长方形有1个，是①、②、③、④、⑤和⑥组合；所以一共有18个。 【考点二】周长的认识和大小比较。 【典型例题】 1. 这些图形都有周长。( )（填√或×），理由： 。 【答案】 × 第三个图形不是封闭图形，没有周长 【分析】封闭图形一周的长度叫做周长据此解答即可。 【详解】第三个图形不是封闭图形，没有周长。 这些图形都有周长。（×），理由：第三个图形不是封闭图形，没有周长。 2. 图中甲的周长( )乙的周长。（填“大于“小于”或“等于”。） 【答案】等于 【分析】因为甲的周长＝长方形的一组邻边的和＋中间的曲线的长，乙的周长＝长方形的另一组邻边的和＋中间的曲线的长，根据长方形的对边相等，可知两个图形的周长相等。 【详解】由分析得： 甲的周长等于乙的周长。 【点睛】此题考查的目的是理解周长的意义。 【对应练习】 1. 图中，甲的周长( )乙的周长。（填上“大于”“小于”或“等于”） 【答案】等于 【分析】周长的认识：封闭图形一周的长度叫做图形的周长。 【详解】根据分析，甲与乙有一条公共边，甲的剩下两条边与乙的剩下两条边两条边长度相等，因此甲的周长等于乙的周长。 【点睛】本题主要考查的是对图形周长的认识。 2. 在图中，甲的周长和乙的周长比较，( )长。（填：甲或乙或一样） 【答案】一样 【分析】封闭图形一周的长度是这个图形的周长，长方形的对边相等，依此比较即可。 【详解】根据分析可知，甲的周长和乙的周长一样长。 【点睛】此题考查的是对周长的认识，熟练掌握长方形的特点是解答此题的关键。 【考点三】长方形和正方形的周长问题。 【典型例题】 1. 学校操场是一个长100米、宽50米的长方形。操场的周长是多少米？ 【答案】300米 【分析】根据“长方形的周长＝（长＋宽）×2”，代入数值解答即可。 【详解】 答：操场的周长是300米。 【点睛】本题考查了长方形周长公式的实际应用。 2. 一个正方形游乐场的边长是65米，小丽沿游乐场的四周走一圈，一共走了多少米？ 【答案】260米 【分析】小丽沿游乐场的四周走一圈的长度，等于这个正方形游乐场的周长，正方形的周长＝边长×4，依此列式并计算即可。 【详解】65×4＝260（米） 答：小丽沿游乐场的四周走一圈，一共走了260米。 【点睛】熟练掌握正方形的周长的计算，是解答此题的关键。 【对应练习】 1. 一个长方形羽毛球场地，长49米，宽37米，乐乐绕着这块场地的边沿跑了4圈，乐乐跑了多少米？ 【答案】688米 【分析】根据长方形的周长＝（长＋宽）×2，求出羽毛球场地的周长，再乘跑的圈数即可。 【详解】（49＋37）×2×4 ＝86×2×4 ＝172×4 ＝688（米） 答：乐乐跑了688米。 【点睛】此题主要考查长方形周长公式的灵活运用，关键是熟记公式。 2. 一个边长200米的正方形操场，爸爸每天绕着它跑5圈，他每天跑多少米？合多少千米？ 【答案】4000米；4千米 【分析】根据正方形的周长＝边长×4，求出正方形操场的周长，再乘5，求出每天跑步路程。千米和米之间的进率是1000，据此将每天跑步路程换算成千米。 【详解】200×4×5 ＝800×5 ＝4000（米） 4000米＝4千米 答：他每天跑4000米，合4千米。 【点睛】本题考查正方形周长公式的应用和长度单位的换算，关键是熟记公式。 【考点四】画指定长度或周长的长方形和正方形。 【典型例题】 1. 在方格纸上按要求画图形。 （1）长1分米，宽10毫米的长方形。 （2）边长2厘米的正方形。 【答案】（1）（2）见详解 【分析】（1）1分米＝10厘米，10毫米＝1厘米，实际就是要求画一个长10厘米，宽1厘米的长方形，根据长方形的特征：四个角都是直角，对边分别相等，进行作图即可； （2）根据正方形的特征：四个角都是直角，四条边都相等，画出边长2厘米的正方形即可。 【详解】（1）1分米＝10厘米 10毫米＝1厘米 长1分米，宽10毫米的长方形。作图如下： （2）边长2厘米的正方形。作图如下： 【点睛】本题主要考查画指定长、宽（边长）的长方形和正方形，关键培养学生的动手操作能力和想象能力。 2. 在下面的方格中，画出与左边图形周长相等的长方形和正方形各一个。（方格的边长为1厘米） 【答案】见详解 【分析】根据周长的认识可知，左边图形的周长是12厘米。根据长方形的周长＝（长＋宽）×2，可知周长为12厘米的长方形，长宽和为6厘米，可以是长4厘米宽2厘米。根据正方形的周长＝边长×4，可知周长为12厘米的正方形，边长是3厘米。据此画图。 【详解】（4＋2）×2 ＝6×2 ＝12（厘米） 3×4＝12（厘米） 长方形的长为4厘米，宽为2厘米，正方形的边长为3厘米。 （长方形画法不唯一） 【点睛】本题考查周长的认识以及长方形和正方形周长公式的应用，关键是熟记公式，求出正方形的边长以及长方形的长与宽。 【对应练习】 学校准备建一个周长是12米的花园。在下面的方格纸上按照要求设计出不同的花园（每个小正方形边长为1米）。 （1）如果花园是个长方形或者正方形，请画出所有不同的图形。 （2）如果花园是个不规则的图形，请设计一个满足要求的花园。 【答案】见详解 【分析】（1）根据长方形的周长＝（长＋宽）×2，可知周长为12米的花园，可以是长5米宽1米，或者长4米宽2米的长方形。根据正方形的周长＝边长×4，可知周长为12米的花园，可以是边长为3米的正方形。据此画图。 （2）保证所画花园是一个不规则图形，且这个花园的各条边长度和为12米即可。 【详解】 【点睛】本题考查长方形和正方形周长公式的实际应用以及周长的认识，关键是熟记公式，灵活运用公式解决问题。 【考点五】长方形和正方形的等长转化问题。 【典型例题】 学校用木栅栏在操场围了一块长18米，宽12米的长方形活动区域，后由于场地变动，改用这些木栅栏围成一块正方形活动场地，这块场地的边长是多少米？ 【答案】15米 【分析】改用这些木栅栏围成一块正方形活动场地，说明这个长方形和正方形的周长相等，先根据长方形的周长＝（长＋宽）×2，计算出长方形活动区域的周长。正方形的周长＝边长×4，用正方形的周长除以4，计算出这块场地的边长是多少米；据此解答。 【详解】（18＋12）×2÷4 ＝30×2÷4 ＝60÷4 ＝15（米） 答：这块场地的边长是15米。 【对应练习】 一条铁丝可以围成一个长20厘米，宽12厘米的长方形，如果用它围成一个正方形，正方形的周长是多少厘米？ 【答案】64厘米 【分析】根据长方形周长＝（长＋宽）×2，代入数字即可求出这条铁丝的长度，即正方形的周长，据此解答即可。 【详解】（20＋12）×2 ＝32×2 ＝64（厘米） 答：正方形的周长是64厘米。 【考点六】长方形中的最大正方形问题。 【典型例题】 妈妈买了一块长方形大桌布，长3米，宽2米，结果发现不合适，就最大程度的把它剪成了一块正方形桌布。这块正方形桌布的周长是多少米？请你先在下图中根据题意画出正方形桌布的示意图，再列式计算。 【答案】8米；示意图见详解 【分析】从长方形里剪下的最大正方形的边长为2米，然后根据正方形的周长公式：正方形的周长＝边长×4，求出该正方形的周长，据此即可解答。 【详解】 周长：2×4＝8（米） 答：这块正方形桌布的周长是8米。 【点睛】解答本题的关键是要知道剪下的最大正方形的边长是原长方形的宽的长度。 【对应练习】 一个长方形的长是79厘米，在这个长方形的一边剪去一个最大的正方形，还剩下一部分，求剩余部分的周长是多少？（可以画图试一试） 【答案】158厘米；图见详解 【分析】根据题意，要使这个正方形最大，则正方形的边长和原长方形的宽一样长，正方形边长相等，剩余部分图形的长和正方形的边长相等，则长＋宽为原长方形的长，周长＝（长＋宽）×2，用原长方形的长乘2即可求出剩余部分的周长是多少。 【详解】 如图： 79×2＝158（厘米） 答：剩余部分的周长是158厘米。 【考点七】一边靠墙问题。 【典型例题】 共享单车是市民出行的重要交通工具，骑完单车后应停放在划定的区域里。某小区在门口划定了一块长45分米、宽2米的长方形单车停放区域，其中一边靠墙（不用划线），划出的线一共长多少分米？写出所有可能。 【答案】85分米或110分米 【分析】根据题意可知，长边靠墙，需要划线的长度等于这个长方形的一条长加上两条宽的长度；宽边靠墙，需要划线的长度等于这个长方形的一条宽加上两条长的长度。据此解答。 【详解】2米＝20分米 45＋20×2 ＝45＋40 ＝85（分米） 20＋45×2 ＝20＋90 ＝110（分米） 答：划出的线一共长85分米或110分米。 【点睛】此题主要考查长方形周长公式的灵活运用，关键是分长边靠墙和宽边靠墙两种情况解答。 【对应练习】 1. 如图，一个正方形花圃一面靠墙，边长是6米，三面用篱笆围起来。 （1）至少需要围多长的篱笆？ （2）如果用24米的篱笆，还围成一面靠墙的正方形花圃（如上图），边长是几米？（温馨提醒：边长可不是6米） 解析： （1）6×3＝18（米） 答：至少需要围18米长的篱笆。 （2）24÷3＝8（米） 答：边长是8米。 2. 张大爷要围一块长方形地，长35米、宽18米。这块地一边靠墙，另外三边围篱笆，下面哪种围法用的篱笆少一些？至少需要多少米篱笆？    【答案】第一种； 71米 【分析】第一种：长边靠墙，需要篱笆的长度等于一条长加上两条宽的长度；第二种：宽边靠墙，需要篱笆的长度等于两条长加上一条宽的长度；比较结果得出哪种围法用的篱笆少；据此解答。 【详解】第一种： 35＋18×2 ＝35＋36 ＝71（米） 第二种： 35×2＋18 ＝70＋18 ＝88（米） 71＜88 答：第一种围法用的篱笆少，至少要用71米篱笆。 【点睛】此题主要考查长方形的周长公式的灵活运用，关键是熟记公式，重点是弄清长边靠墙、还是宽边靠墙。 【考点八】图形的拼接裁剪问题。 【典型例题】 1. 把长10厘米、宽4厘米的长方形纸条，剪成边长为2厘米的正方形纸条。能剪成多少个？ 【答案】10个 【分析】把长10厘米、宽4厘米的长方形纸条，剪成边长为2厘米的正方形纸条，用长和宽分别除以2，则是长、宽分别能剪出几个2厘米，再相乘则是可以剪出正方形的个数，据此解答。 【详解】（10÷2）×（4÷2） ＝5×2 ＝10（个） 答：能剪成10个边长2厘米的正方形纸条。 【点睛】明确裁剪方式是解答本题的关键。一个正方形被分成了三个完全一样的 2. 用两个长是10厘米，宽是5厘米的长方形可以拼成一个长方形，也可以拼成一个正方形。它们的周长分别是多少厘米？ 【答案】长方形的周长50厘米；正方形的周长40厘米 【分析】把长方形的两条宽拼在一起就能拼出一个长方形，长是20厘米、宽5厘米；把两条长边拼在一起就能拼出一个边长10厘米的正方形。由此分别计算周长即可。 【详解】（10＋10＋5）×2 ＝25×2 ＝50（厘米） 10×4＝40（厘米） 答：长方形的周长是50厘米；正方形的周长是40厘米。 【点睛】明确拼成的长方形的长、宽或正方形的边长是多少是解答本题的关键。 【对应练习】 1. 长方形。如果其中一个长方形的周长是24厘米，那么这个正方形的周长是( )厘米。 解析： 24÷2÷（3＋1）×3 ＝24÷2÷4×3 ＝12÷4×3 ＝3×3 ＝9（厘米） 9×4＝36（厘米） 2. 三（1）班举办元旦绘画展，一共选出24幅作品，每幅作品都是边长2分米的正方形，现在准备把这些作品贴在一起，并配上花边，怎样设计才能使贴的花边最少？ 解析： （6×2＋4×2）×2 ＝（12＋8）×2 ＝20×2 ＝40（分米） 答：6幅排一行，排4行时花边最少，最少是40分米。 【考点九】集合问题基础。 【典型例题】 1. 书法是中国传统文化的国粹之一，承载着中国人的智慧和情感。学校开展的书法比赛中，三年级硬笔书法有18人获奖，软笔书法有10获奖，两项都获奖的有5人，三年级书法获奖的一共有多少人？ 【答案】23人 【分析】硬笔书法获奖人数加软笔书法获奖人数减去两项都获奖的人数就求出了三年级书法获奖的一共有多少人，据此解答。 【详解】18＋10－5 ＝28－5 ＝23（人） 答：三年级书法获奖的一共有23人。 2. 四（1）班共有学生52人，每人家里至少有冰箱或摩托车中的一件。家里有冰箱的有38人，家里有摩托车的有40人，家里既有冰箱又有摩托车的学生有多少人？ 【答案】26人 【分析】根据容斥原理，可知既有冰箱又有摩托车的学生人数＝家里有冰箱的学生人数＋家里有摩托车的学生人数－学生总人数，据此代入数据即可解答。 【详解】38＋40－52＝26（人） 答：家里既有冰箱又有摩托车的学生有26人。 【对应练习】 1. 三（1）班有32人订《小学生作文》，有24人订《少年科技》，有8人两种都订了。订这两种报刊的同学共有多少人？ 【答案】48人 【分析】由题目可知，订《小学生作文》的人数＋订《少年科技》的人数－两种报刊都订的人数＝订这两种报刊的总人数，依此列式并计算，即可解题。 【详解】由分析可知： 32＋24－8 ＝56－8 ＝48（人） 答：订这两种报刊的同学共有48人。 2. 五年级一班共48人，一次数学测试中做对第一题的有36人，做对第二题的有30人，每人至少做对一道题。两道题都做对的有多少人？ 【答案】18人 【分析】根据集合问题的解题方法，做对第一题和做对第二题的总人数超过总人数，超过的人数就是两道题都做对的人数，做对第一题的人数＋做对第二题的人数－全班的总人数＝两道题都做对的人数，据此列式解答即可。 【详解】36＋30－48＝18（人） 答：两道题都做对的有18人。 【考点十】集合问题提高。 【典型例题】 1. 某公司有180人，其中会游泳的有55人，会打羽毛球的有110人，两样都会的有25人，两样都不会的有多少人？ 【答案】40人 【分析】如下图，用长方形表示这个公司的总人数，长方形内的两个圆分别表示会游泳和会打羽毛球的人数。要求游泳和羽毛球都不会的，则是长方形中减去两个圆圈的部分。两个圆圈部分有110＋55－25＝140（人），再用180－140就可求出答案。 【详解】180－（110＋55－25） ＝180－140 ＝40（人） 答：两样都不会的有40人。 【点睛】解决集合问题的关键是明确集合之间的关系，可以画集合圈表示更清楚。 2. 把两块一样长的木板钉在一起，钉完后木板长9分米，中间重叠部分长10厘米，求出原来每块木板的长度。 【答案】5分米 【分析】当两部分有重复时，从和中减去重复的部分，就是原来的总数。由此可知，每块木板的长度＋每块木板的长度－中间重叠部分的长度＝钉完后木板的长度，因此用钉完后木板的长度加中间重叠部分的长度，即可计算出两块木板的总长度，然后再用两块木板的总长度除以2即可计算出每块木板的长度，1分米＝10厘米，依此解答。 【详解】10厘米＝1分米 9＋1＝10（分米） 10÷2＝5（分米） 答：原来每块木板的长度是5分米。 【对应练习】 1. 三年级（1）班有40名同学，会下象棋的有15人，会下围棋的有18人两种棋都会下的有8人。两种棋都不会下的有多少人？ 【答案】15人 【分析】先求出会下象棋的人数与会下围棋的人数和，再减去两样都会下的人数，这样就求出至少会下一种棋的人数；再用全班总人数减去至少会下一种棋的人数，就是两种棋都不会下的人数；据此解答。 【详解】至少会下一种棋的人数：15＋18－8＝25（人） 两种棋都不会下的人数：40－25＝15（人） 答：两种棋都不会下的有15人。 【点睛】熟练掌握集合问题解题方法是解答本题的关键。 2. 如图蓝色木棒长78厘米，橙色木棒长1米，两根木棒绑在一起重叠部分长10厘米，两根木棒绑在一起的长度是多少？ 【答案】168厘米 【分析】当两部分有重复时，从和中减去重复的部分，就是两根木棒绑在一起的长度。1米＝100厘米，依此先用加法计算出两根木棍的总长度，然后用两根木棍的总长度减去两根木棒绑在一起重叠部分的长度即可，依此列式并计算。 【详解】1米＝100厘米 78＋100－10 ＝178－10 ＝168（厘米） 答：两根木棒绑在一起的长度是168厘米。 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 且视他人之凝目如盏盏鬼火，大胆地去走你的夜路！ ——史铁生《病隙碎笔》 2024-2025学年三年级数学上册典型例题系列 期末复习专题四：图形与广角·长方形和正方形及集合问题 【十大考点】 【第一篇】专题解读篇 专题名称 期末复习专题四：图形与广角·长方形和正方形及集合问题 专题内容 本专题包括长方形和正方形的认识、周长、实际应用以及集合问题等内容。 总体评价 讲解建议 本部分内容根据篇目进行分类，每个篇目又包含多个常考考点，每个考点又划分多种变式练习，总体来说，内容涵盖广泛，综合性强，建议作为期末复习核心内容进行讲解。 考点数量 十大考点。 【第二篇】目录导航篇 【第三篇】知识总览篇 3 【第四篇】典型例题篇 5 【考点一】四边形及长方形和正方形的基本认识 5 【考点二】周长的认识和大小比较 5 【考点三】长方形和正方形的周长问题 6 【考点四】画指定长度或周长的长方形和正方形 7 【考点五】长方形和正方形的等长转化问题 8 【考点六】长方形中的最大正方形问题 8 【考点七】一边靠墙问题 9 【考点八】图形的拼接裁剪问题 10 【考点九】集合问题基础 10 【考点十】集合问题提高 11 【第三篇】知识总览篇 知识点一：四边形。 1. 四边形的特征：有4条直的边，有4个角，是封闭图形。 2. 长方形、正方形的联系和区别： 联系：对边相等，4个角都是直角。 区别：正方形的4条边都相等。 知识点二：周长。 1. 封闭图形一周的长度，是它的周长。 2. 周长公式： 长方形的周长=（长＋宽）×2 正方形的周长=边长×4 知识点三：图形的拼接裁剪问题。 1.剪一下，周长增加两条边：沿长边剪一下，增加两条长的长度；沿短边剪一下，周长增加两条宽的长度。 2.同样大小的两个长方形，如果既能拼成长方形，又能拼成正方形，那么拼成的长方形和正方形的周长并不相等，拼成的长方形的周长长一些。 3.用数量、大小相同的小正方形拼长方形和正方形，拼成正方形时周长最短，摆成一排拼成长方形时周长最长。 知识点四：集合与维恩图。 1.集合的意义：把指定的具有某种性质的事物看作一个整体，就是一个集合。 2.用维恩图表示集合： （1）了解维恩图：用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为维恩图。 （2）用维恩图表示集合的方法：填写维恩图时，先将重复的元素找出来填在中间重合的部分，再将剩余的元素填在维恩图的其他部分。 知识点五：重叠问题的解题策略。 先从已知条件入手进行分析，画出集合图，再借助集合图进行思考。 知识点六：重叠问题的解题方法。 方法一：两部分相加后减去重复部分； 方法二：一部分减去重合部分，再加上另一部分。 【第四篇】典型例题篇 【考点一】四边形及长方形和正方形的基本认识。 【典型例题】 1. 是一个( )边形，有( )条边，有( )个角。 2. 填空。 (1)正方形有四个( )角，( )条边相等。 (2)长方形有( )条边，4个角都是( )角。 【对应练习】 1. 上面的图形中是长方形的有( )，是正方形的有( )。 2. 数一数，下列图中各有多少个长方形？ ( )个                         ( )个 【考点二】周长的认识和大小比较。 【典型例题】 1. 这些图形都有周长。( )（填√或×），理由： 。 2. 图中甲的周长( )乙的周长。（填“大于“小于”或“等于”。） 【对应练习】 1. 图中，甲的周长( )乙的周长。（填上“大于”“小于”或“等于”） 2. 在图中，甲的周长和乙的周长比较，( )长。（填：甲或乙或一样） 【考点三】长方形和正方形的周长问题。 【典型例题】 1. 学校操场是一个长100米、宽50米的长方形。操场的周长是多少米？ 2. 一个正方形游乐场的边长是65米，小丽沿游乐场的四周走一圈，一共走了多少米？ 【对应练习】 1. 一个长方形羽毛球场地，长49米，宽37米，乐乐绕着这块场地的边沿跑了4圈，乐乐跑了多少米？ 2. 一个边长200米的正方形操场，爸爸每天绕着它跑5圈，他每天跑多少米？合多少千米？ 【考点四】画指定长度或周长的长方形和正方形。 【典型例题】 1. 在方格纸上按要求画图形。 （1）长1分米，宽10毫米的长方形。 （2）边长2厘米的正方形。 2. 在下面的方格中，画出与左边图形周长相等的长方形和正方形各一个。（方格的边长为1厘米） 【对应练习】 学校准备建一个周长是12米的花园。在下面的方格纸上按照要求设计出不同的花园（每个小正方形边长为1米）。 （1）如果花园是个长方形或者正方形，请画出所有不同的图形。 （2）如果花园是个不规则的图形，请设计一个满足要求的花园。 【考点五】长方形和正方形的等长转化问题。 【典型例题】 学校用木栅栏在操场围了一块长18米，宽12米的长方形活动区域，后由于场地变动，改用这些木栅栏围成一块正方形活动场地，这块场地的边长是多少米？ 【对应练习】 一条铁丝可以围成一个长20厘米，宽12厘米的长方形，如果用它围成一个正方形，正方形的周长是多少厘米？ 【考点六】长方形中的最大正方形问题。 【典型例题】 妈妈买了一块长方形大桌布，长3米，宽2米，结果发现不合适，就最大程度的把它剪成了一块正方形桌布。这块正方形桌布的周长是多少米？请你先在下图中根据题意画出正方形桌布的示意图，再列式计算。 【对应练习】 一个长方形的长是79厘米，在这个长方形的一边剪去一个最大的正方形，还剩下一部分，求剩余部分的周长是多少？（可以画图试一试） 【考点七】一边靠墙问题。 【典型例题】 共享单车是市民出行的重要交通工具，骑完单车后应停放在划定的区域里。某小区在门口划定了一块长45分米、宽2米的长方形单车停放区域，其中一边靠墙（不用划线），划出的线一共长多少分米？写出所有可能。 【对应练习】 1. 如图，一个正方形花圃一面靠墙，边长是6米，三面用篱笆围起来。 （1）至少需要围多长的篱笆？ （2）如果用24米的篱笆，还围成一面靠墙的正方形花圃（如上图），边长是几米？（温馨提醒：边长可不是6米） 2. 张大爷要围一块长方形地，长35米、宽18米。这块地一边靠墙，另外三边围篱笆，下面哪种围法用的篱笆少一些？至少需要多少米篱笆？    【考点八】图形的拼接裁剪问题。 【典型例题】 1. 把长10厘米、宽4厘米的长方形纸条，剪成边长为2厘米的正方形纸条。能剪成多少个？ 2. 用两个长是10厘米，宽是5厘米的长方形可以拼成一个长方形，也可以拼成一个正方形。它们的周长分别是多少厘米？ 【对应练习】 1. 长方形。如果其中一个长方形的周长是24厘米，那么这个正方形的周长是( )厘米。 2. 三（1）班举办元旦绘画展，一共选出24幅作品，每幅作品都是边长2分米的正方形，现在准备把这些作品贴在一起，并配上花边，怎样设计才能使贴的花边最少？ 【考点九】集合问题基础。 【典型例题】 1. 书法是中国传统文化的国粹之一，承载着中国人的智慧和情感。学校开展的书法比赛中，三年级硬笔书法有18人获奖，软笔书法有10获奖，两项都获奖的有5人，三年级书法获奖的一共有多少人？ 2. 四（1）班共有学生52人，每人家里至少有冰箱或摩托车中的一件。家里有冰箱的有38人，家里有摩托车的有40人，家里既有冰箱又有摩托车的学生有多少人？ 【对应练习】 1. 三（1）班有32人订《小学生作文》，有24人订《少年科技》，有8人两种都订了。订这两种报刊的同学共有多少人？ 2. 五年级一班共48人，一次数学测试中做对第一题的有36人，做对第二题的有30人，每人至少做对一道题。两道题都做对的有多少人？ 【考点十】集合问题提高。 【典型例题】 1. 某公司有180人，其中会游泳的有55人，会打羽毛球的有110人，两样都会的有25人，两样都不会的有多少人？ 2. 把两块一样长的木板钉在一起，钉完后木板长9分米，中间重叠部分长10厘米，求出原来每块木板的长度。 【对应练习】 1. 三年级（1）班有40名同学，会下象棋的有15人，会下围棋的有18人两种棋都会下的有8人。两种棋都不会下的有多少人？ 2. 如图蓝色木棒长78厘米，橙色木棒长1米，两根木棒绑在一起重叠部分长10厘米，两根木棒绑在一起的长度是多少？ 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$