第1章 二次根式 知识归纳与题型训练（8类题型清单）-2024-2025学年八年级数学下册单元速记·巧练（浙教版）

第1章 《二次根式》知识归纳与题型训练（8题型清单） 一、二次根式 1.二次根式的定义：． 2.二次根式有意义的条件： 3.二次根式的双重非负性： ①被开方数满足；②二次根式本身满足； 要点诠释： （1）、二次根式的判断不需要化简，如也是二次根式； （2）、组合型二次根式，在求未知数的取值范围时，各部分都要有意义，如求二次根式有意义的条件需同时满足； 二、二次根式的性质 1、二次根式的性质公式1：． 2、二次根式的性质公式2： 3、最简二次根式：根号下的被开方数不含分数、不含分母、不含有开得尽方的因数或因式的二次根式叫做最简二次根式； 要点诠释： （1）二次根式的性质公式是计算和化简二次根式中非常重要的一步骤，也是化简二次根式常用公式，必须熟记。 （2）二次根式的每个性质公式的应用都是有前提条件的，那就是必须满足对应取值范围，在做到含有字母类被开方数问题的化简时，要特别注意取值范围； 三、二次根式的运算 1、二次根式的运算公式：． 2、分母有理化：把分式的分母化成有理数的过程叫做分母有理化； 当分母是时，分子分母同乘即可；当分母是时，则利用平方差公式，分子分母同乘； 要点诠释： （1）、二次根式的运算的结果，如果能够化简，那么应把它化简成最简二次根式； （2）、二次根式的根号前如果有系数，系数可以是正数、假分数，不能是带分数，如： （3） 同类二次根式：化成最简二次根式后，根号下的被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式，只有同类二次根式才能进行进行合并，遵循合并同类项法则； （4） 二次根式的运算常和完全平方式、平方差公式结合，要注意主动应用；A D B 四、二次根式的应用 坡比：如图，斜坡AB的坡比指斜坡上A、B两点之间的高度差AD与水平距离BD的比叫做AB的坡比； 要点诠释： （1）坡比和二次根式的结合性实际问题中，常做辅助线为：作垂线； （2）二次根式的应用也常和直角三角形的勾股定理结合，辅助里面平方、开方的计算； （3）方位角和距离的计算中也常用到二次根式的化简计算； 题型一　二次根式的定义与二次根式的值 例题： 1．（2024春•鄞州区期中）下列各式是二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据二次根式的定义逐个判断即可． 【解答】解：A、a2+1≥1，则是二次根式，故此选项符合题意； B、无意义，故此选项不符合题意； C、当a＜0时，无意义，故此选项不符合题意； D、属于三次根式，故此选项不符合题意； 故选：A． 2．（2024春•鹿城区校级期中）当x＝﹣4时，二次根式的值是（　　） A．4 B．2 C．﹣2 D．±2 【分析】把x的值代入式子中进行计算，即可解答． 【解答】解：当x＝﹣4时，二次根式2， 故选：B． 3．（2023春•奉化区校级期中）下列各式中，不是二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据二次根式的定义逐项判断即可得． 【解答】解：A、是二次根式，则此项不符合题意； B、中3﹣π＜0，不是二次根式，则此项符合题意； C、是二次根式，则此项不符合题意； D、是二次根式，则此项不符合题意； 故选：B． 巩固训练 4．（2024春•海曙区校级期中）若二次根式的值为2，则x的值是（　　） A．2 B．4 C．3 D． 【分析】根据二次根式的性质进行求解即可． 【解答】解：∵二次根式的值为2， ∴， 故选：B． 5．（2023春•吴兴区期中）若x为任意实数，下列各式一定是二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据二次根式的定义逐个判断即可． 【解答】解：A、当x＝1时，不是二次根式，不符合题意； B、当x＝﹣1时，不是二次根式，不符合题意； C、x为任意实数，是二次根式，符合题意； D、当x＝﹣1时，不是二次根式，不符合题意． 故选：C． 6．（2023春•永嘉县校级期中）若是整数，则满足条件的自然数n的最小值是 　3　． 【分析】根据二次根式的定义求出n≤8，在此范围内要使是整数，自然数n只能是4． 【解答】解：∵是整数， ∴满足条件的自然数n的最小值为3，此时3， 故答案为：3． 题型二　二次根式有意义的条件 例题： 1．（2023秋•镇海区校级期末）使有意义的x的取值范围是（　　） A．x＞2024 B．x＜﹣2024 C．x≤2024 D．x≥2024 【分析】根据二次根式被开方数不小于零条件进行解题即可． 【解答】解：由题可知， x﹣2024≥0， 解得x≥2024． 故选：D． 2．（2024春•西湖区校级月考）若x＝3能使下列二次根式有意义，则这个二次根式可以是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数逐一判断即可． 【解答】解：A．当x＝3时，2﹣x＝﹣1＜0，原式无意义，不符合题意； B．当x＝3时，x﹣1＝2＞0，原式有意义，符合题意； C．当x＝3时，x﹣4＝﹣1＜0，原式无意义，不符合题意； D．当x＝3时，﹣2x＝﹣6＜0，原式无意义，不符合题意； 故选：B． 3．（2024春•椒江区月考）已知，求　　． 【分析】根据二次根式有意义求出x，y的值即可． 【解答】解：∵， ∴x﹣3≥0，3﹣x≥0， 解得：x＝3， ∴y＝8， ∴． 故答案为：． 巩固训练 4．（2024•宁波模拟）要使代数式有意义，则x的取值范围是（　　） A．x≥0 B．x≠3 C．x＞3 D．x≥0且x≠3 【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为0列出不等式，解不等式得到答案． 【解答】解：要使代数式有意义， 则x﹣3≠0，x≥0， 解得，x≥0且x≠3， 故选：D． 5．（2024春•瓯海区校级月考）已知x，y为实数，若满足，则xy的值为（　　） A．5 B．6 C．8 D．9 【分析】根据二次根式有意义的条件求出x＝3，由此得到y的值，再进行计算即可． 【解答】解：∵，， ∴x﹣3≥0，3﹣x≥0， ∴x＝3， ∴， ∴xy＝32＝9． 故选：D． 6．（2024•苍南县校级自主招生）已知实数a满足，那么a﹣20242的值是（　　） A．2023 B．﹣2023 C．2024 D．﹣2024 【分析】根据被开方数大于等于0列式求出a的取值范围，再去掉绝对值号，然后两边平方整理即可得解． 【解答】解：∵， ∴a﹣2024≥0， ∴a≥2024， 则， ∴， ∴a﹣2024＝20232， ∴a﹣20242 ＝20232﹣20242+2024 ＝（2023+2024）×（2023﹣2024）+2024 ＝﹣4047+2024 ＝﹣2023， 故选：B． 题型三　二次根式的性质与化简 例题： 1．（2024秋•杭州月考）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据二次根式的性质、立方根和平方根的定义进行解题即可． 【解答】解：A、，故该项不正确，不符合题意； B、±3，故该项正确，符合题意； C、3，故该项不正确，不符合题意； D、3，故该项不正确，不符合题意； 故选：B． 2．（2024春•柯桥区期中）若，则a与1的关系是（　　） A．a＜1 B．a≤1 C．a＞1 D．a≥1 【分析】直接利用二次根式的性质化简求出答案． 【解答】解：∵， ∴1﹣a≥0， 解得：a≤1． 故选：B． 3．（2024秋•龙湾区月考）化简： （1） （2） 【分析】（1）先利用二次根式的性质化简各式，再算加减法即可； （2）先利用平方差公式和二次根式的性质化简，再算加减法即可． 【解答】解：（1）原式 ＝2； （2）原式 ． 4．（2023•舟山一模）观察下列各式：①2，②3；③4，… （1）请观察规律，并写出第④个等式：　5　； （2）请用含n（n≥1）的式子写出你猜想的规律：　（n+1）　； （3）请证明（2）中的结论． 【分析】（1）认真观察题中所给的式子，得出其规律并根据规律写出第④个等式； （2）根据规律写出含n的式子即可； （3）结合二次根式的性质进行化简求解验证即可． 【解答】解：（1）5； （2）（n+1）； （3） ＝（n+1）． 故答案为：（1）5； （2））（n+1）． 巩固训练 5．（2024春•湖州期末）已知实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简的正确结果是（　　） A．a+b﹣1 B．1﹣a﹣b C．a﹣b+3 D．b﹣a﹣3 【分析】根据实数a，b在数轴上的位置判断a+1，b﹣2的符号，再根据二次根式的性质和化简方法进行计算即可． 【解答】解：由实数a，b在数轴上的位置可知，﹣1＜a＜0＜1＜b＜2， ∴a+1＞0，b﹣2＜0， ∴原式＝|a+1|+|b﹣2| ＝a+1﹣b+2 ＝a﹣b+3． 故选：C． 6．（2024春•鄞州区校级期末）将a根号外的因式移到根号内，得（　　） A． B． C． D． 【分析】直接利用二次根式的性质得出a的符号，进而变形得出答案． 【解答】解：a． 故选：B． 7．（2024春•平湖市期末）（1）已知，试比较a，b的大小，并写出比较过程； （2）化简：． 【分析】（1）分子有理化后比较即可； （2）先化简复合二次根式，再算加减即可． 【解答】解：（1）a＜b， ∵， ， ∵， ∴a＜b． （2） ． 8．（2023秋•鄞州区期末）【阅读材料】小明在兴趣小组学习了“基本不等式”的相关知识．整理如下：对于正数a、b，有，所以a+b﹣20，即a+b≥2（当且仅当a＝b时取到等号）特别地，a2（当且仅当a＝1时取到等号），因此，当a＞0时，a有最小值2，此时a＝1． 【简单应用】小明完成了大部分老师布置的作业，但还有两题不会，请你帮一帮他． （1）函数y＝2﹣x（x＞0）的最大值为 　﹣4　． （2）求函数y＝4x（x＞1）的最小值，并写出取最小值时x的值． 【猜想提升】小明由上述的a+b≥2提出猜想：a+b+c≥3（当且仅当a＝b＝c时取到等号）．通过查阅资料，他惊奇地发现这个猜想是正确的，请你利用小明这个猜想解答下面的问题． （3）设a，b，c是非负实数，求的最小值． 【分析】（1）变形得，则有，即可求解； （2）变形得，则有，即可求解； （3）变形得，则有，即，即可求解． 【解答】解：（1）∵， 又， ∴y有最大值＝2﹣6＝﹣4； （2）∵， 又， 当4（x﹣1）时，即x时，y有最小值＝4+4＝8； （3）∵， ∵a，b，c是非负实数， ∴， ∴， ∴的最小值为2， ∴的最小值为2． 题型四　二次根式的乘除法运算 例题： 1．（2023秋•金东区期末）化简的结果是（　　） A．100 B．60 C．40 D．20 【分析】根据二次根式的乘法法则计算即可． 【解答】解： ＝8×5 ＝40． 故选：C． 2．（2024春•鄞州区校级月考）下列各式计算正确的是（　　） A．2•36 B．2 C．（）2＝2+3＝5 D．• 【分析】运用二次根式的乘除法法则判定即可． 【解答】解：A、2•36，故A选项错误； B、3，故B选项错误； C、（）2＝2+3+25+2，故C选项错误； D、•，故D选项正确． 故选：D． 3．（2024春•西湖区校级月考）化简：　　． 【分析】把分子分母都乘以，然后化简即可． 【解答】解：原式． 故答案为． 4．（2024春•慈溪市期中）化简：　0　． 【分析】要使有意义必须3﹣a≥0，求出a≤0，再根据二次根式的性质进行计算，最后合并同类项即可． 【解答】解：∵要使有意义，必须3﹣a≥0， ∴a≤3， ∴（）2 （3﹣a） ＝3﹣a﹣3+a ＝0． 故答案为：0． 巩固训练 5．（2024春•鄞州区校级月考）能使成立的取值范围是（　　） A．a＞3 B．a≥0 C．0≤a＜3 D．a＜3或a＞3 【分析】根据平方根有意义，必须被开方数≥0，分母不能为0求解即可． 【解答】解：∵成立， ∴，解得a＞3， 故选：A． 6．（2024春•瓯海区校级期末）计算：　　． 【分析】首先计算二次根式的乘法，然后进行化简即可． 【解答】解：原式＝2 ＝6． 故答案为：6． 7．（2024秋•龙湾区期中）在草稿纸上计算：①，②，③，…，观察你计算的结果，用你发现的规律直接写出下面式子的值： 　10　， 　351　． 【分析】先根据已知条件中的算式，找出规律，再按照规律进行解答即可． 【解答】解：∵①， ②1+2； ③1+2+3； ..． 第n个算式为：， ∴，， 故答案为：10，351． 8．（2023春•宁海县期中）已知：a2，b2，求： （1）ab的值； （2）a2+b2﹣3ab的值； （3）若m为a整数部分，n为b小数部分，求的值． 【分析】（1）代入求值即可； （2）代入求值，可将（1）的结果代入； （3）根据题意估算出m、n的值，代入分式，化简计算． 【解答】解：（1）∵a2，b2， ∴ab ＝（2）（2） ＝7﹣4 ＝3； （2）∵a2，b2，ab＝3， ∴a2+b2﹣3ab ＝a2+b2﹣2ab﹣ab ＝（a﹣b）2﹣ab ＝[（2）﹣（2）]2﹣3 ＝（22）2﹣3 ＝42﹣3 ＝16﹣3 ＝13； （3）∵m为a整数部分，n为b小数部分，a2，b2， ∴m＝4，n＝b2 ∴ ， ∴的值． 题型五　最简二次根式、同类二次根式与合并 例题： 1．（2024•海曙区校级开学）下列根式化简后不能与合并的是（　　） A． B． C． D． 【分析】将各式化为最简二次根式即可得到结果． 【解答】解：A，能合并，本选项不合题意； B、2，能合并本选项不合题意； C、3，本选项符合题意； D、3，本选项不合题意， 故选：C． 2．（2023春•拱墅区期中）下列各式是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据最简二次根式的概念判断即可． 【解答】解：A、是最简二次根式； B、2，不是最简二次根式； C、|a|，不是最简二次根式； D、，被开方数的分母中含有字母，不是最简二次根式； 故选：A． 3．（2024春•鄞州区期中）若最简二次根式和可以合并，则的值为 　2　． 【分析】根据同类二次根式的概念列出方程，解方程求出a，再根据二次根式的性质计算即可． 【解答】解：∵最简二次根式和3可以合并， ∴1﹣a＝3， 解得：a＝﹣2， ∴2， 故答案为：2． 巩固训练 4．（2023春•东阳市期末）把化为最简二次根式，结果是 　　． 【分析】原来利用二次根式化简公式计算即可得到结果． 【解答】解：． 故答案为：． 5．（2023春•奉化区校级期中）下列二次根式，不能与合并的是（　　） A． B． C． D． 【分析】把各二次根式化简，然后根据不能合并的不是同类二次根式进行判断即可． 【解答】解：2， A、4，能合并，故本选项不符合题意； B、，能合并，故本选项不符合题意； C、3，不能合并，故本选项符合题意； D、能合并，故本选项不符合题意． 故选：C． 6．（2024春•吴兴区期中）如果最简二次根式与是同类二次根式，那么x的值为 　3　． 【分析】根据同类项的定义得出2x﹣1＝5，然后求解即可得出答案． 【解答】解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴2x﹣1＝5， ∴x＝3． 故答案为：3． 题型六　二次根式的混合运算 例题： 1．（2023春•临平区月考）化简： 　2　． 【分析】根据二次根式的性质解答即可． 【解答】解：∵4＜5， ∴2， ∴原式2． 故答案为：2． 2．（2024春•萧山区期中）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据二次根式的运算法则，逐一进行计算判断即可． 【解答】解：A、，原计算错误，不符合题意； B、，原计算错误，不符合题意； C、，原计算错误，不符合题意； D、，正确，符合题意． 故选：D． 3．（2024春•三门县期末）下列式子计算结果是的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据二次根式的加法、乘法、减法逐一计算即可． 【解答】解：A、不等于，故本选项错误，不符合题意； B、不等于，故本选项错误，不符合题意； C、，故本选项错误，不符合题意； D、，故本选项正确，符合题意， 故选：D． 4．（2024春•西湖区校级月考）已知，，则2y﹣3x的平方根为 　±4　． 【分析】根据，，可以求得x、y的值，然后即可求得2y﹣3x的平方根． 【解答】解：∵， ∴96﹣x≥0， ∴x≤96， ∴100﹣x+96﹣x＝200， 解得x＝﹣2， ∵， ∴m+23≥0，m﹣2≥0，2﹣m≥0， 解得m＝2， ∴y＝5， ∴±±±4， 故答案为：±4． 5．（2024春•温州期中）计算： （1）； （2）． 【分析】（1）先把各二次根式化简为最简二次根式，然后合并即可； （2）先根据二次根式的乘法法则运算，然后分母有理化，然后合并即可． 【解答】解：（1）原式＝23 ＝5； （2）原式（1） ＝3+2 ＝5． 巩固训练 6．（2024•宁波模拟）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】利用二次根式的性质化简计算即可得出结论． 【解答】解：A.，故本选项正确； B.，故本选项错误； C.5，故本选项错误； D.5，故本选项错误； 故选：A． 7．（2024•滨江区二模）计算：（　　） A． B． C． D． 【分析】先把算式中的二次根式化为最简二次根式，然后进行计算即可． 【解答】解：原式 ， 故选：B． 8．（2024春•柯桥区月考）计算：　　． 【分析】根据积的乘方的逆用把原式变形为是解题的关键；根据积的乘方的逆用和二次根式的乘方计算即可． 【解答】解： ； 故答案为：． 9．（2024•海曙区校级开学）计算： （1）（）6； （2）（1）（2）． 【分析】（1）先算除法，再化为最简二次根式，最后合并即可； （2）先展开，再去括号，最后合并． 【解答】解：（1）原式2 ＝25﹣2 ＝5； （2）原式＝3﹣21﹣（223） ＝3﹣21﹣223 ＝5﹣3． 10．（2023春•西湖区校级期中）已知a，b． （1）求a+b的值； （2）设m是a小数部分，n是b整数部分，求代数式4m2+4mn+n2的值． 【分析】（1）将a、b的值代入计算即可； （2）求出m、n的值再代入求值． 【解答】解：（1）a2，b2． a+b22＝2， （2）∵23， ∴02＜1，42＜5， ∴m2，n＝4， ∴4m2+4mn+n2＝（2m+n）2＝（24+4）2＝20． 题型七　二次根式的化简求值 例题： 1．（2024春•开化县期中）当，时，代数式x2﹣y2的值是（　　） A．2 B． C． D．6 【分析】根据二次根式的加减法法则分别求出x+y，x﹣y，根据平方差公式把原式变形，代入计算即可． 【解答】解：∵x＝1，y＝1， ∴x+y＝（1）+（1）＝2，x﹣y＝（1）﹣（1）＝2， ∴x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）＝2×24， 故选：C． 2．（2024春•东阳市月考）若，则代数式x2﹣6x+9的值是（　　） A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 【分析】将代数式化为完全平方式，再代入计算即可． 【解答】解：∵， ∴， 故选：D． 巩固训练 3．（2024•宁波模拟）已知a1，b1，则a2+b2+3ab＝　9　． 【分析】先计算a+b和ab的值，再利用完全平方公式得到a2+b2+3ab＝（a+b）2+ab，然后利用整体代入的方法计算． 【解答】解：∵a1，b1， ∴a+b＝2，ab＝2﹣1＝1， ∴a2+b2+3ab＝（a+b）2+ab＝（2）2+1＝9． 故答案为：9． 4．（2024春•余杭区校级月考）我们知道形如，的数可以化简，其化简的目的主要是把原数分母中的无理数化为有理数．如：，．这样的化简过程叫做分母有理化．我们把叫做的有理化因式，叫做的有理化因式．利用有理化因式，可以得到如下结论：①；②设有理数a，b满足，则a+b＝6；③；④已知，则；以上结论正确的有（　　） A．①③ B．①② C．①④ D．③④ 【分析】利用有理化因式进行变形计算后即可判断． 【解答】解：，故①正确，符合题意； ∴a+b＝6，故②错误，不符合题意； ， ， ∴，故③正确，符合题意； ∵，， ∴，故④错误，不符合题意； 故选：A． 题型八 二次根式的应用 例题： 1．（2023秋•兴文县期末）高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛物下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式（不考虑风速的影响）．记从50m高空抛物到落地所需时间为t1．从100m高空抛物到落地所需时间为t2，则t2：t1的值是（　　） A． B． C． D．2 【分析】将h＝50代入进行计算即可；将h＝100代入进行计算，再计算t2与t1的比值即可得出结论． 【解答】解：当h＝50时，（秒）； 当h＝100时，（秒）； ， 故选：C． 2．（2024春•西湖区校级期中）如图，长方形内有两个相邻的白色正方形，其面积分别为3和12，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C．3 D．4 【分析】直接利用二次根式的性质得出正方形的边长，再利用整体面积减去空白面积，进而得出答案． 【解答】解：由题意可得：大空白正方形的边长为2，小空白正方形的边长为：， 阴影部分的面积为：（2）×23﹣12＝3． 故选：C． 3．（2024秋•江北区校级月考）若x＞2，则的最小值为 　4　． 【分析】根据“”，当且仅当x﹣2时取等号，据此求解即可． 【解答】解：由条件可知：x﹣2＞0， ∴x﹣2++2＝（）2≥2+2＝4， 当且仅当x﹣2＝时取等号， ∴的最小值为4， 故答案为：4． 4．（2024春•萧山区期中）如图所示，有一张边长为的正方形纸板，现将该纸板的四个角剪掉，制作成一个有底无盖的长方体盒子，剪掉的四个角是面积相等的小正方形，此小正方形的边长为，求： （1）长方体盒子的底面积； （2）长方体盒子的体积． 【分析】（1）根据正方形的面积公式即可得到结论； （2）结合题意可知该长方体盒子的长为6（cm），宽为624（cm），高为cm，而长方体的容积为长×宽×高，即可得答案． 【解答】解：（1）长方体盒子的底面积＝（6）2﹣4×（）2＝96（cm2）； （2）由题意可知：长方体盒子的容积为：（62） ＝4 ＝48（cm3）， 答：长方体盒子的容积为48cm3． 巩固训练 5．（2023春•拱墅区期末）方程的解为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据解一元一次方程的解法即可得到结论． 【解答】解：的解为x， 故选：C． 6．（2023春•温州校级期中）如图，已知钓鱼竿AC的长为6m，露在水面上的鱼线BC长为3m，某钓者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿AC转动到AC′的位置，此时露在水面上的鱼线B′C′为m，则BB′的长为（　　） A．m B．2m C．m D．2m 【分析】根据勾股定理分别求出AB和AB′，再根据BB′＝AB﹣AB′即可得出答案． 【解答】解：∵AC＝6m，BC＝3m， ∴AB3m， ∵AC′＝6m，B′C′m， ∴AB′m， ∴BB′＝AB﹣AB′＝32m； 故选：B． 7．（2023秋•柯城区校级期中）把四张形状大小完全相同，宽为1cm的小长方形卡片（如图①）不重叠地放在一个底面为长方形，长为，宽为5cm盒子底部（如图②），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．则图②中两块阴影部分的周长和是（　　） A．20cm B． C． D． 【分析】先设小长方形卡片的长为x cm，再结合图形得出上面的阴影长方形的周长和下面的阴影长方形的周长，再把它们加起来即可求出答案． 【解答】解：设小长方形卡片的长为x cm， 根据题意得：， ∴， 则图②中两块阴影部分周长和是： ＝20（cm）， ∴图②中两块阴影部分的周长和是20cm． 故选：A． 8．（2023春•长兴县期中）高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛出的物体下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足（不考虑风速的影响）． （1）从200m高空抛物到落地所需时间t是多少？ （2）从高空抛物经过3s落地，该物体下落的高度是多少？ 【分析】（1）把h＝200代入公式求解，可得结论； （2）把t＝3代入公式求解，可得结论． 【解答】解：（1）当h＝200时，t2（秒）． 答：从200m高空抛物到落地所需时间t是2秒； （2）当t＝3秒时，3， ∴h＝45， 答：从高空抛物经过3s落地，该物体下落的高度是45m． 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1章 《二次根式》知识归纳与题型训练（8题型清单） 一、二次根式 1.二次根式的定义：． 2.二次根式有意义的条件： 3.二次根式的双重非负性： ①被开方数满足；②二次根式本身满足； 要点诠释： （1）、二次根式的判断不需要化简，如也是二次根式； （2）、组合型二次根式，在求未知数的取值范围时，各部分都要有意义，如求二次根式有意义的条件需同时满足； 二、二次根式的性质 1、二次根式的性质公式1：． 2、二次根式的性质公式2： 3、最简二次根式：根号下的被开方数不含分数、不含分母、不含有开得尽方的因数或因式的二次根式叫做最简二次根式； 要点诠释： （1）二次根式的性质公式是计算和化简二次根式中非常重要的一步骤，也是化简二次根式常用公式，必须熟记。 （2）二次根式的每个性质公式的应用都是有前提条件的，那就是必须满足对应取值范围，在做到含有字母类被开方数问题的化简时，要特别注意取值范围； 三、二次根式的运算 1、二次根式的运算公式：． 2、分母有理化：把分式的分母化成有理数的过程叫做分母有理化； 当分母是时，分子分母同乘即可；当分母是时，则利用平方差公式，分子分母同乘； 要点诠释： （1）、二次根式的运算的结果，如果能够化简，那么应把它化简成最简二次根式； （2）、二次根式的根号前如果有系数，系数可以是正数、假分数，不能是带分数，如： （3） 同类二次根式：化成最简二次根式后，根号下的被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式，只有同类二次根式才能进行进行合并，遵循合并同类项法则； （4） 二次根式的运算常和完全平方式、平方差公式结合，要注意主动应用；A D B 四、二次根式的应用 坡比：如图，斜坡AB的坡比指斜坡上A、B两点之间的高度差AD与水平距离BD的比叫做AB的坡比； 要点诠释： （1）坡比和二次根式的结合性实际问题中，常做辅助线为：作垂线； （2）二次根式的应用也常和直角三角形的勾股定理结合，辅助里面平方、开方的计算； （3）方位角和距离的计算中也常用到二次根式的化简计算； 题型一　二次根式的定义与二次根式的值 例题： 1．（2024春•鄞州区期中）下列各式是二次根式的是（　　） A． B． C． D． 2．（2024春•鹿城区校级期中）当x＝﹣4时，二次根式的值是（　　） A．4 B．2 C．﹣2 D．±2 3．（2023春•奉化区校级期中）下列各式中，不是二次根式的是（　　） A． B． C． D． 巩固训练 4．（2024春•海曙区校级期中）若二次根式的值为2，则x的值是（　　） A．2 B．4 C．3 D． 5．（2023春•吴兴区期中）若x为任意实数，下列各式一定是二次根式的是（　　） A． B． C． D． 6．（2023春•永嘉县校级期中）若是整数，则满足条件的自然数n的最小值是 　 　． 题型二　二次根式有意义的条件 例题： 1．（2023秋•镇海区校级期末）使有意义的x的取值范围是（　　） A．x＞2024 B．x＜﹣2024 C．x≤2024 D．x≥2024 2．（2024春•西湖区校级月考）若x＝3能使下列二次根式有意义，则这个二次根式可以是（　　） A． B． C． D． 3．（2024春•椒江区月考）已知，求　 　． 巩固训练 4．（2024•宁波模拟）要使代数式有意义，则x的取值范围是（　　） A．x≥0 B．x≠3 C．x＞3 D．x≥0且x≠3 5．（2024春•瓯海区校级月考）已知x，y为实数，若满足，则xy的值为（　　） A．5 B．6 C．8 D．9 6．（2024•苍南县校级自主招生）已知实数a满足，那么a﹣20242的值是（　　） A．2023 B．﹣2023 C．2024 D．﹣2024 题型三　二次根式的性质与化简 例题： 1．（2024秋•杭州月考）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（2024春•柯桥区期中）若，则a与1的关系是（　　） A．a＜1 B．a≤1 C．a＞1 D．a≥1 3．（2024秋•龙湾区月考）化简： （1） （2） 4．（2023•舟山一模）观察下列各式：①2，②3；③4，… （1）请观察规律，并写出第④个等式：　 　； （2）请用含n（n≥1）的式子写出你猜想的规律：　 　； （3）请证明（2）中的结论． 巩固训练 5．（2024春•湖州期末）已知实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简的正确结果是（　　） A．a+b﹣1 B．1﹣a﹣b C．a﹣b+3 D．b﹣a﹣3 6．（2024春•鄞州区校级期末）将a根号外的因式移到根号内，得（　　） A． B． C． D． 7．（2024春•平湖市期末）（1）已知，试比较a，b的大小，并写出比较过程； （2）化简：． 8．（2023秋•鄞州区期末）【阅读材料】小明在兴趣小组学习了“基本不等式”的相关知识．整理如下：对于正数a、b，有，所以a+b﹣20，即a+b≥2（当且仅当a＝b时取到等号）特别地，a2（当且仅当a＝1时取到等号），因此，当a＞0时，a有最小值2，此时a＝1． 【简单应用】小明完成了大部分老师布置的作业，但还有两题不会，请你帮一帮他． （1）函数y＝2﹣x（x＞0）的最大值为 　 　． （2）求函数y＝4x（x＞1）的最小值，并写出取最小值时x的值． 【猜想提升】小明由上述的a+b≥2提出猜想：a+b+c≥3（当且仅当a＝b＝c时取到等号）．通过查阅资料，他惊奇地发现这个猜想是正确的，请你利用小明这个猜想解答下面的问题． （3）设a，b，c是非负实数，求的最小值． 题型四　二次根式的乘除法运算 例题： 1．（2023秋•金东区期末）化简的结果是（　　） A．100 B．60 C．40 D．20 2．（2024春•鄞州区校级月考）下列各式计算正确的是（　　） A．2•36 B．2 C．（）2＝2+3＝5 D．• 3．（2024春•西湖区校级月考）化简：　 　． 4．（2024春•慈溪市期中）化简：　 　． 巩固训练 5．（2024春•鄞州区校级月考）能使成立的取值范围是（　　） A．a＞3 B．a≥0 C．0≤a＜3 D．a＜3或a＞3 6．（2024春•瓯海区校级期末）计算：　 　． 7．（2024秋•龙湾区期中）在草稿纸上计算：①，②，③，…，观察你计算的结果，用你发现的规律直接写出下面式子的值： 　 　， 　 　． 8．（2023春•宁海县期中）已知：a2，b2，求： （1）ab的值； （2）a2+b2﹣3ab的值； （3）若m为a整数部分，n为b小数部分，求的值． 题型五　最简二次根式、同类二次根式与合并 例题： 1．（2024•海曙区校级开学）下列根式化简后不能与合并的是（　　） A． B． C． D． 2．（2023春•拱墅区期中）下列各式是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 3．（2024春•鄞州区期中）若最简二次根式和可以合并，则的值为 　 　． 巩固训练 4．（2023春•东阳市期末）把化为最简二次根式，结果是 　 　． 5．（2023春•奉化区校级期中）下列二次根式，不能与合并的是（　　） A． B． C． D． 6．（2024春•吴兴区期中）如果最简二次根式与是同类二次根式，那么x的值为 　 　． 题型六　二次根式的混合运算 例题： 1．（2023春•临平区月考）化简： 　 　． 2．（2024春•萧山区期中）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 3．（2024春•三门县期末）下列式子计算结果是的是（　　） A． B． C． D． 4．（2024春•西湖区校级月考）已知，，则2y﹣3x的平方根为 　 　． 5．（2024春•温州期中）计算： （1）； （2）． 巩固训练 6．（2024•宁波模拟）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 7．（2024•滨江区二模）计算：（　　） A． B． C． D． 8．（2024春•柯桥区月考）计算：　 　． 9．（2024•海曙区校级开学）计算： （1）（）6； （2）（1）（2）． 10．（2023春•西湖区校级期中）已知a，b． （1）求a+b的值； （2）设m是a小数部分，n是b整数部分，求代数式4m2+4mn+n2的值． 题型七　二次根式的化简求值 例题： 1．（2024春•开化县期中）当，时，代数式x2﹣y2的值是（　　） A．2 B． C． D．6 2．（2024春•东阳市月考）若，则代数式x2﹣6x+9的值是（　　） A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 巩固训练 3．（2024•宁波模拟）已知a1，b1，则a2+b2+3ab＝　 　． 4．（2024春•余杭区校级月考）我们知道形如，的数可以化简，其化简的目的主要是把原数分母中的无理数化为有理数．如：，．这样的化简过程叫做分母有理化．我们把叫做的有理化因式，叫做的有理化因式．利用有理化因式，可以得到如下结论：①；②设有理数a，b满足，则a+b＝6；③；④已知，则；以上结论正确的有（　　） A．①③ B．①② C．①④ D．③④ 题型八 二次根式的应用 例题： 1．（2023秋•兴文县期末）高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛物下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式（不考虑风速的影响）．记从50m高空抛物到落地所需时间为t1．从100m高空抛物到落地所需时间为t2，则t2：t1的值是（　　） A． B． C． D．2 2．（2024春•西湖区校级期中）如图，长方形内有两个相邻的白色正方形，其面积分别为3和12，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C．3 D．4 3．（2024秋•江北区校级月考）若x＞2，则的最小值为 　 　． 4．（2024春•萧山区期中）如图所示，有一张边长为的正方形纸板，现将该纸板的四个角剪掉，制作成一个有底无盖的长方体盒子，剪掉的四个角是面积相等的小正方形，此小正方形的边长为，求： （1）长方体盒子的底面积； （2）长方体盒子的体积． 巩固训练 5．（2023春•拱墅区期末）方程的解为（　　） A． B． C． D． 6．（2023春•温州校级期中）如图，已知钓鱼竿AC的长为6m，露在水面上的鱼线BC长为3m，某钓者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿AC转动到AC′的位置，此时露在水面上的鱼线B′C′为m，则BB′的长为（　　） A．m B．2m C．m D．2m 7．（2023秋•柯城区校级期中）把四张形状大小完全相同，宽为1cm的小长方形卡片（如图①）不重叠地放在一个底面为长方形，长为，宽为5cm盒子底部（如图②），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．则图②中两块阴影部分的周长和是（　　） A．20cm B． C． D． 8．（2023春•长兴县期中）高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛出的物体下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足（不考虑风速的影响）． （1）从200m高空抛物到落地所需时间t是多少？ （2）从高空抛物经过3s落地，该物体下落的高度是多少？ 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$