专题训练：二次根式的化简求值-2024-2025学年八年级数学下册单元速记·巧练（浙教版）

二次根式的化简求值 1．（2023春•东阳市月考）当时，代数式x2+2x+2的值是（　　） A．19 B．20 C．21 D．22 2．（2024春•慈溪市期中）已知x+y＝﹣2，xy＝1，则代数式的值是（　　） A．2 B．0 C．4 D．1 3．（2024秋•西湖区校级期中）已知，则的值为（　　） A．4 B． C．3 D．2 4．（2024春•下城区校级月考）已知，则代数式的值为（　　） A． B． C． D． 5．（2024秋•东阳市期末）设，则代数式（x+1）（x+2）（x+3）（x+4）的值是（　　） A． B． C．33 D．35 6．（2024春•义乌市校级月考）计算的值是（　　） A．1 B． C．2 D．5 7．（2024春•余杭区校级月考）我们知道形如，的数可以化简，其化简的目的主要是把原数分母中的无理数化为有理数．如：，．这样的化简过程叫做分母有理化．我们把叫做的有理化因式，叫做的有理化因式．利用有理化因式，可以得到如下结论：①；②设有理数a，b满足，则a+b＝6；③；④已知，则；以上结论正确的有（　　） A．①③ B．①② C．①④ D．③④ 8．（2024春•柯桥区期末）已知，则代数式x2﹣4x+4的值为 　 　． 9．（2024•钱塘区一模）已知x＝1，y＝1，则x2+3xy+y2的值为 　 　． 10．（2024春•义乌市期中）若规定符号“*”的意义是a*b＝ab﹣b2，则的值是 　 　． 11．（2024春•海曙区期中）已知x1，y1，则x2y﹣xy2＝　 　． 12．（2023秋•乐清市校级期中）已知实数m使得成立，则　 　． 13．（2024春•平湖市期末）已知，则3a2﹣10ab+3b2的值为 　 　． 14．（2024春•长兴县期中）已知，，求下列式子的值： （1）a2﹣b2； （2）． 15．（2024春•西湖区校级期中）按要求解下列问题： （1）计算： （2）若，求代数式：的值． 16．（2024•浙江模拟）问题：先化简，再求值：2a，其中a＝3． 小宇和小颖在解答该问题时产生了不同意见，具体如下． 小宇的解答过程如下： 解：2a ＝2a（第一步） ＝2a+a﹣5……（第二步） ＝3a﹣5．……（第三步） 当a＝3时， 原式＝3×3﹣5＝4．……（第四步） 小颖为验证小宇的做法是否正确，她将a＝3直接代入原式中： 2a ＝6 ＝6+2 ＝8． 由此，小颖认为小宇的解答有错误，你认为小宇的解答错在哪一步？并给出完整正确的解答过程． 17．（2024•苍南县校级自主招生）（1）已知方程①， ②请判断这两个方程是否有解？并说明理由； （2）已知，求的值． 18．（2024春•浙江期中）已知，，求（x+3）2+y的值． 19．（2023春•上城区期中）已知，． （1）求x2+y2﹣xy的值； （2）若x的小数部分是a，y的整数部分是b，求ax﹣by的值． 20．（2024春•宁波期中）先化简，再求值：，其中a＝1007． 如图是小亮和小芳的解答过程． （1）　 　的解答过程是错误的； （2）先化简，再求值：，其中m＝﹣2024• 21．（2024春•路桥区期中）对于任意实数a，b，定义一种运算“⊕”如下：a⊕b＝a2﹣b2.如：3﹣2＝1． （1）　 　，　 　； （2）已知⊕，求的值． 22．（2024春•义乌市期中）阅读材料，并解决问题：定义：将分母中的根号化去的过程叫做分母有理化． 如：将分母有理化，解：原式． 运用以上方法解决问题： 已知：，． （1）化简m，n； （2）求m2+mn+n2的值． 23．（2024秋•余姚市期中）阅读下列材料： 通过探究知道：1.414…，它是个无限不循环小数，也叫无理数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分，又例如：∵22＜7＜32，即，∴的整数部分是2，小数部分是． （1）的整数部分是 　 　． （2）已知，其中x是一个整数，0＜y＜1，求的值． 24．（2024•金华模拟）已知a，b，显然ab＝1，观察下列等式： ， ， ， （1）猜想：①　 　． ②Pn＝　 　＝　 　． （2）请证明猜想②成立． 25．（2024春•西湖区期中）小辰在解决问题：已知，求2a2﹣8a+1的值．他是这样分析与解的： ∵，∴． ∴（a﹣2）2＝3，a2﹣4a+4＝3，∴a2﹣4a＝﹣1， ∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1． 请你根据小辰的分析过程，解决如下问题： （1）①化简　 　． ②当时，求3a2﹣6a﹣1的值． （2）化简． 26．（2023春•玉环市期中）在数学课外学习活动中，小明和他的同学遇到一道题： 已知，求2a2﹣8a+1的值．他是这样解答的： ∵，∴， ∴（a﹣2）2＝3，a2﹣4a+4＝3∴a2﹣4a＝﹣1， ∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1． 请你根据小明的解析过程，解决如下问题： （1）　 　； （2）化简； （3）若，求a4﹣6a3+a2﹣12a+3的值． 27．（2024春•吴兴区期中）在数学课外学习活动中，小明和他的同学遇到一道题： 已知，求2a2﹣8a+1的值，他是这样解答的： ∵， ∴， ∴（a﹣2）2＝3，a2﹣4a+4＝3， ∴a2﹣4a＝﹣1． ∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1． 请你根据小明的解题过程，解决如下问题： （1）　 　； （2）化简：； （3）若，求a4﹣4a3﹣4a+3的值． 5 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 二次根式的化简求值 1．（2023春•东阳市月考）当时，代数式x2+2x+2的值是（　　） A．19 B．20 C．21 D．22 【分析】利用完全平方公式配方，再代入计算即可解答． 【解答】解：当时， x2+2x+2 ＝（x+1）2+1 ＝20． 故选：B． 2．（2024春•慈溪市期中）已知x+y＝﹣2，xy＝1，则代数式的值是（　　） A．2 B．0 C．4 D．1 【分析】由x+y＝﹣2，xy＝1，可得x＜0，y＜0，把变形为，再代入计算即可． 【解答】解：∵x+y＝﹣2，xy＝1， ∴x＜0，y＜0， ∴ ＝2； 故选：A． 3．（2024秋•西湖区校级期中）已知，则的值为（　　） A．4 B． C．3 D．2 【分析】根据二次根式的加法法则求出a+b，根据乘法法则求出ab，根据完全平方公式把原式变形，代入计算即可． 【解答】解：∵a1，b1， ∴a+b＝（1）+（1）＝2，ab＝（1）×（1）＝3﹣1＝2， 则 ， 故选：B． 4．（2024春•下城区校级月考）已知，则代数式的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据已知，得到，整体思想代入求值即可． 【解答】解：∵， ∴， ∴ ． 故选：C． 5．（2024秋•东阳市期末）设，则代数式（x+1）（x+2）（x+3）（x+4）的值是（　　） A． B． C．33 D．35 【分析】利用完全平方公式把含x的等式变形，再根据多项式乘多项式的运算法则把原式变形，代入计算得到答案． 【解答】解：∵x， ∴2x5， ∴2x+5， ∴（2x+5）2＝29，即4x2+20x+25＝29， ∴x2+5x＝1， 则原式＝[（x+1）（x+4）][（x+2）（x+3）]＝（x2+5x+4）（x2+5x+6）＝（1+4）（1+6）＝35， 故选：D． 6．（2024春•义乌市校级月考）计算的值是（　　） A．1 B． C．2 D．5 【分析】将原式的被开方数配成完全平方式，再开平方，合并． 【解答】解：原式 ＝（3）﹣（3） ＝2． 故选：C． 7．（2024春•余杭区校级月考）我们知道形如，的数可以化简，其化简的目的主要是把原数分母中的无理数化为有理数．如：，．这样的化简过程叫做分母有理化．我们把叫做的有理化因式，叫做的有理化因式．利用有理化因式，可以得到如下结论：①；②设有理数a，b满足，则a+b＝6；③；④已知，则；以上结论正确的有（　　） A．①③ B．①② C．①④ D．③④ 【分析】利用有理化因式进行变形计算后即可判断． 【解答】解：，故①正确，符合题意； ∴a+b＝6，故②错误，不符合题意； ， ， ∴，故③正确，符合题意； ∵，， ∴，故④错误，不符合题意； 故选：A． 8．（2024春•柯桥区期末）已知，则代数式x2﹣4x+4的值为 　2　． 【分析】根据完全平方公式把原式变形，把x的值代入计算即可． 【解答】解：x2﹣4x+4 ＝（x﹣2）2， 当x2时， 原式＝（2﹣2）2 ＝2． 9．（2024•钱塘区一模）已知x＝1，y＝1，则x2+3xy+y2的值为 　3　． 【分析】根据二次根式的加法法则、乘法法则分别求出x+y、xy，根据完全平方公式把所求的式子变形，代入计算即可． 【解答】解：∵x＝1，y＝1， ∴x+y＝（1）+（1）＝2，xy＝（1）（1）＝1﹣2＝﹣1， 则x2+3xy+y2 ＝x2+2xy+y2+xy ＝（x+y）2+xy ＝22﹣1 ＝3， 故答案为：3． 10．（2024春•义乌市期中）若规定符号“*”的意义是a*b＝ab﹣b2，则的值是 　﹣1　． 【分析】利用新定义得到原式＝2（1）﹣（1）2，然后根据二次根式的乘法法则和完全平方公式计算． 【解答】解：根据题意得原式＝2（1）﹣（1）2 ＝22﹣（2+21） ＝22﹣3﹣2 ＝﹣1． 故答案为：﹣1． 11．（2024春•海曙区期中）已知x1，y1，则x2y﹣xy2＝　4　． 【分析】由x与y的值，求出xy与x﹣y的值，原式提取公因式变形后，将各自的值代入计算即可求出值． 【解答】解：∵x1，y1， ∴xy＝（1）（1） ＝3﹣1 ＝2， x﹣y＝（1）+（1） 11 ＝2， 则原式＝xy（x﹣y）＝4． 故答案为：4． 12．（2023秋•乐清市校级期中）已知实数m使得成立，则　　． 【分析】利用平方差公式得到（）（）＝11，然后利用9可得到的值． 【解答】解：∵（）（）＝23﹣m﹣（12﹣m）＝11， 而9， ∴． 故答案为：． 13．（2024春•平湖市期末）已知，则3a2﹣10ab+3b2的值为 　32　． 【分析】先将a，b分母有理化，再对代数式进行变形后代入求解即可． 【解答】解：∵， ∴a+b＝4，ab＝1， ∴3a2﹣10ab+3b2＝3（a+b）2﹣16ab＝3×42﹣16＝32， 故答案为：32． 14．（2024春•长兴县期中）已知，，求下列式子的值： （1）a2﹣b2； （2）． 【分析】（1）先计算，再把a2﹣b2变形为（a+b）（a﹣b），最后整体代入计算即可得到答案； （2）求出ab＝1，把变形为，再整体代入计算即可得到答案 【解答】解：（1）∵，， ∴， ∴； （2）∵，， ∴， ∴ 15．（2024春•西湖区校级期中）按要求解下列问题： （1）计算： （2）若，求代数式：的值． 【分析】（1）根据二次根式的性质、二次根式的减法法则计算； （2）利用分母有理化把a化简，根据二次根式的性质计算，得到答案． 【解答】解：（1） ＝2 ； （2）∵a1， ∴a＞2， 则原式 ＝a﹣（a﹣2） ＝2． 16．（2024•浙江模拟）问题：先化简，再求值：2a，其中a＝3． 小宇和小颖在解答该问题时产生了不同意见，具体如下． 小宇的解答过程如下： 解：2a ＝2a（第一步） ＝2a+a﹣5……（第二步） ＝3a﹣5．……（第三步） 当a＝3时， 原式＝3×3﹣5＝4．……（第四步） 小颖为验证小宇的做法是否正确，她将a＝3直接代入原式中： 2a ＝6 ＝6+2 ＝8． 由此，小颖认为小宇的解答有错误，你认为小宇的解答错在哪一步？并给出完整正确的解答过程． 【分析】根据二次根式的性质将二次根式进行化简后，再代入求值即可． 【解答】解：错在第二步， 原式＝2a2a+|a﹣5|， ∵a＝3＜5， ∴a﹣5＜0， ∴原式＝2a+（5﹣a） ＝a+5， 当a＝3时， 原式＝3+5 ＝8． 17．（2024•苍南县校级自主招生）（1）已知方程①， ②请判断这两个方程是否有解？并说明理由； （2）已知，求的值． 【分析】（1）根据二次根式的性质得到x的取值范围，结合根式最值求解即可得到答案； （2）本题考查平方差公式，设，乘以求解即可得到答案； 【解答】解：（1）由题意可得： ， 解得：x≥2023， ∴的最小值为， ∵4046＞2024， ∴方程①无解； 由题意得： ， 解得x≥2024， ∴的最小值为， ∵， ∴方程②有解； （2）的值是2；理由如下， 设， ∵， ∴， 即：（3x+2023）﹣（3x﹣2023）＝2023y， 解得：y＝2， ∴的值是2． 18．（2024春•浙江期中）已知，，求（x+3）2+y的值． 【分析】把x，y的值代入所求代数式，然后利用完全平方公式进行计算即可． 【解答】解：∵， ∴（x+3）2+y ． 19．（2023春•上城区期中）已知，． （1）求x2+y2﹣xy的值； （2）若x的小数部分是a，y的整数部分是b，求ax﹣by的值． 【分析】（1）利用完全平方公式，进行计算即可解答； （2）先估算出2与2的值的范围，从而求出a，b的值，然后代入式子中进行计算即可解答． 【解答】解：（1）∵x＝2，y＝2， ∴xy＝（2）（2）＝4﹣3＝1， （x﹣y）2＝（22）2＝（﹣2）2＝12， ∴x2+y2﹣xy ＝（x﹣y）2+xy ＝12+1 ＝13； （2）∵1＜3＜4， ∴12， ∴3＜24， ∴2的整数部分是3， ∴b＝3， ∵12， ∴﹣21， ∴0＜21， ∴2的整数部分是0，小数部分＝20＝2， ∴a＝2， ∴ax﹣by ＝（2）（2）﹣3（2） ＝7﹣46﹣3 ＝1﹣7， ∴ax﹣by的值为1﹣7． 20．（2024春•宁波期中）先化简，再求值：，其中a＝1007． 如图是小亮和小芳的解答过程． （1）　小亮　的解答过程是错误的； （2）先化简，再求值：，其中m＝﹣2024• 【分析】（1）当a＝1007时，a﹣1，再得出答案即可； （2）根据m＝﹣2024求出m﹣3＜0，根据二次根式的性质得出m+2|m﹣3|，求出6﹣m，最后代入求出答案即可． 【解答】解：（1）小亮的解答过程是错误的， 理由是：∵a＝1007， ∴1﹣a＜0， ∴ ＝a ＝a+|1﹣a| ＝a+a﹣1 ＝2a﹣1 ＝2×1007﹣1 ＝2014﹣1 ＝2013． 故答案为：小亮； （2）∵m＝﹣2024， ∴m﹣3＜0， ∴ ＝m+2 ＝m+2|m﹣3| ＝m+2（3﹣m） ＝m+6﹣2m ＝6﹣m ＝6﹣（﹣2024） ＝6+2024 ＝2030． 21．（2024春•路桥区期中）对于任意实数a，b，定义一种运算“⊕”如下：a⊕b＝a2﹣b2.如：3﹣2＝1． （1）　1　，　3　； （2）已知⊕，求的值． 【分析】（1）根据已知条件中的新定义，列出算式，根据二次根式的性质进行计算即可； （2）根据新定义，列出含有m的等式，再根据平方差公式分解因式，然后进行解答可． 【解答】解：（1）∵a⊕b＝a2﹣b2， ∴，， 故答案为：1，3； （2）∵⊕， ∴， ， ， ， ． 22．（2024春•义乌市期中）阅读材料，并解决问题：定义：将分母中的根号化去的过程叫做分母有理化． 如：将分母有理化，解：原式． 运用以上方法解决问题： 已知：，． （1）化简m，n； （2）求m2+mn+n2的值． 【分析】（1）仿照已知把m，n化简即可； （2）求出m+n＝3，mn，再把所求式子变形后代入计算即可． 【解答】解：（1）m； n； （2）∵m；n； ∴m+n＝3，mn， ∴m2+mn+n2 ＝（m+n）2﹣mn ＝32 ． 23．（2024秋•余姚市期中）阅读下列材料： 通过探究知道：1.414…，它是个无限不循环小数，也叫无理数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分，又例如：∵22＜7＜32，即，∴的整数部分是2，小数部分是． （1）的整数部分是 　1　． （2）已知，其中x是一个整数，0＜y＜1，求的值． 【分析】（1）仿照材料估算即可得到答案； （2）结合（1）求出x，y的值，再代入计算即可． 【解答】解：（1）∵12＜3＜22，即12， ∴的整数部分为1； 故答案为：1； （2）∵12， ∴9＜810， ∴x＝9，y＝891， ∴ ＝2×9+（1）2017 ＝18+（﹣1）2017 ＝18﹣1 ＝17． 24．（2024•金华模拟）已知a，b，显然ab＝1，观察下列等式： ， ， ， （1）猜想：①　1　． ②Pn＝　　＝　1　． （2）请证明猜想②成立． 【分析】（1）①根据分式的加法法则计算即可； ②利用（1）得出的规律猜想即可得出结果； （2）根据分式的加法法则计算即可． 【解答】解：（1）猜想：①∵ab＝1， ∴ ＝1； ②Pn1； 故答案为：①1；②，1； （2）证明：． 25．（2024春•西湖区期中）小辰在解决问题：已知，求2a2﹣8a+1的值．他是这样分析与解的： ∵，∴． ∴（a﹣2）2＝3，a2﹣4a+4＝3，∴a2﹣4a＝﹣1， ∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1． 请你根据小辰的分析过程，解决如下问题： （1）①化简　1　． ②当时，求3a2﹣6a﹣1的值． （2）化简． 【分析】（1）①先将a分母有理化得出a1； ②再代入3a2﹣6a+1＝3（a﹣1）2﹣4计算可得； （2）将各式分母有理化，再计算加法即可得． 【解答】解：（1）①a1； ②3a2﹣6a﹣1＝3（a2﹣2a+1﹣1）﹣1 ＝3（a﹣1）2﹣4 ＝3（1﹣1）2﹣4 ＝3×2﹣4 ＝2， 故答案为：2； （2）原式 ＝22． 26．（2023春•玉环市期中）在数学课外学习活动中，小明和他的同学遇到一道题： 已知，求2a2﹣8a+1的值．他是这样解答的： ∵，∴， ∴（a﹣2）2＝3，a2﹣4a+4＝3∴a2﹣4a＝﹣1， ∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1． 请你根据小明的解析过程，解决如下问题： （1）　　； （2）化简； （3）若，求a4﹣6a3+a2﹣12a+3的值． 【分析】（1）按题干过程进行化简即可； （2）将每个加式分别化简，再进行计算； （3）先将a化简为a3，进而得到a2﹣6a＝1以及a4﹣6a3＝a2，然后利用整体代入的方法计算． 【解答】解：（1）， 故答案为：； （2）原式1 ＝﹣1 1 ＝16﹣1 ＝15； （3）∵a3， ∴a﹣3， ∴（a﹣3）2＝10， 即a2﹣6a+9＝10， ∴a2﹣6a＝1， ∴a4﹣6a3＝a2， ∴a4﹣6a3+a2﹣12a+3 ＝2a2﹣12a+3 ＝2（a2﹣6a）+3 ＝2+3 ＝5． 27．（2024春•吴兴区期中）在数学课外学习活动中，小明和他的同学遇到一道题： 已知，求2a2﹣8a+1的值，他是这样解答的： ∵， ∴， ∴（a﹣2）2＝3，a2﹣4a+4＝3， ∴a2﹣4a＝﹣1． ∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1． 请你根据小明的解题过程，解决如下问题： （1）　　； （2）化简：； （3）若，求a4﹣4a3﹣4a+3的值． 【分析】（1）根据所给的解答方式进行求解即可； （2）把各式的分母进行有理化，即可求解； （3）先进行分母有理化的运算，再代入相应的式子运算即可． 【解答】解：（1）； 故答案为：； （2）原式 ＝13﹣1 ＝12； （3）∵， ∴， ∴（a﹣2）2＝5， 即a2﹣4a+4＝5． ∴a2﹣4a＝1． ∴a4﹣4a3﹣4a+3 ＝a2（a2﹣4a）﹣4a+3 ＝a2×1﹣4a+3 ＝a2﹣4a+3 ＝1+3 ＝4． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$