第二单元 3.比例的意义

原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 二 比和比例 3.比例的意义 比例的意义 一、 基础知识讲解 1.比例的意义 类别 比例的意义 举例 字母表示 比例 表示两个比相等的式子 叫做比例。 2.4:1.6=60:40 6.1 4.2 = 40 60 a:b=c:d 或 b a = d c （a、b、c均不为 0） 2.比例的判断 判断两个比能不能组成比例，关键要看它们的比值是否相等。若比值相等，则能组成比例； 若比值不相等，则不能组成比例。 （一）比例的意义 （二）比例的基本性质 （三）解比例 （四）比例的应用 模块导航 橙 子 学 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 二、 考法技法提炼 考法 1：判断两个比能不能组成比例 解题方法：判断两个比能不能组成比例，关键要看它们的比值是否相等。若比值相等，则能 组成比例；若比值不相等，则不能组成比例。 例题 1：下面式子中，（ ）是比例。 A． 1 5 ∶4＝1∶20 B．16∶4＝4 C．3∶5＝5∶3 D．7∶2＝ 1 7 ∶ 1 2 【答案】A 【分析】表示两个比相等的式子叫做比例。根据比例的意义可知，比值相等的两个比可以组 成比例。 【详解】A． 1 5 ∶4＝ 1 5 ÷4＝ 1 5 × 1 4 ＝ 1 20 1∶20＝1÷20＝ 1 20 1 20 ＝ 1 20 ，所以 1 5 ∶4＝1∶20，是比例； B．16∶4＝4 是一个等式，不是比例； C．3∶5＝3÷5＝ 3 5 5∶3＝5÷3＝ 5 3 3 5 ≠ 5 3 ，所以 3∶5＝5∶3 不是比例； D．7∶2＝7÷2＝ 7 2 1 7 ∶ 1 2 ＝ 1 7 ÷ 1 2 ＝ 1 7 ×2＝ 2 7 7 2 ≠ 2 7，所以 7∶2＝ 1 7 ∶ 1 2 不是比例。 故答案为：A 三、 易错提示 易错点：混淆比和比例的意义 橙 子 学 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 易错诠释：比表示的是两个数的相除关系，所以有 2个数；比例表示的是两个比的相等关系， 有 4 个数。比不是比例，比例也不是比。 例题 1：6.2∶3.1＝2 是一个比例。( ) 【答案】× 【分析】比值相等的两个比，可以组成比例。据此判断。 【详解】6.2∶3.1 是一个比，2 是一个值，6.2∶3.1＝2 不是一个比例。6.2∶3.1＝2∶1 是一个比例。 故答案为：× 例题 2：80∶2 是比例。( ) 【答案】× 【分析】表示两个比相等的式子叫做比例；据此判断。 【详解】80∶2是比，它不表示两个比相等的式子，所以不是比例。原题说法错误。 故答案为：× 【点睛】掌握比例的意义是解题的关键。 橙 子 学 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 比例的基本性质 一、 基础知识讲解 1.比例各个部分的名称 2.4 : 1.6 = 60 : 40 组成比例的四个数，叫做比例的项。 两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项。 6.1 4.2 = 40 60 2.4 和 40 是外项。 1.6 和 60 是内项。 2.比例的基本性质 a:b=c:d 或 b a = d c （a、b、c 均不为 0） ad=bc 在比例里，两个外项的积等于两个内项的积，这叫做比例的基本性质。 二、 考法技法提炼 考法 1：利用比例的基本性质判断两个比是否成比例 解题方法：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积，这叫做比例的基本性质，判断两个 比是否成比例，就看内项积是否等于外项积。 例题 1：判断下面哪组中的两个比可以组成比例。 6 :9和9 :12 1.4 : 2和 28: 40 1 1: 2 5 和 5 1: 8 4 7.5 :1.3和5.7 :3.1 【答案】见详解 内项 橙 子 学 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5 【分析】可以利用比例的基本性质：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积，来判断每 一组中的两个比是否可以组成比例。 【详解】因为 6×12＝72，9×9＝81，72≠81， 所以6 :9和9 :12不可以组成比例； 因为 1.4×40＝56，2×28＝56，56＝56， 所以1.4 : 2和28: 40可以组成比例，1.4 : 2＝ 28: 40； 因为 1 2 4 1  ＝ 1 8 ， 1 5 5 8  ＝ 1 8 ， 所以 1 1: 2 5 和 5 1: 8 4 可以组成比例， 1 1: 2 5 ＝ 5 1: 8 4 ； 因为 7.5×3.1＝23.25，1.3×5.7＝7.41，23.25≠7.41； 所以7.5 :1.3和5.7 :3.1不可以组成比例。 考法 2：比例的基本性质的逆用 解题方法：利用两组数相等写比例，借助比例的基本性质，两边的乘积是相等的，可以先确 定两个数为内项，再确定外项。 例题 2：把下面的等式改写成比例。 3 40 8 15   2.5 0.4 0.5 2   【答案】3∶8＝15∶40；2.5∶0.5＝2∶0.4（答案不唯一） 【分析】在比例里，两个外项的积等于两个内项的积，这就叫作比例的基本性质。两边的乘 积是相等的，可以先确定两个数为内项，再确定外项。 【详解】3 40 8 15   将 3和 40 作为比例的外项，8和 15 作为比例的内项，则 3∶8＝15∶40。 2.5 0.4 0.5 2   将 2.5 和 0.4 作为比例的外项，0.5 和 2 作为比例的内项，则 2.5∶0.5＝ 2∶0.4。 三、 易错提示 易错点：内项积和外项积写错 易错诠释：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积，这就叫作比例的基本性质。利用两 组数相等写比例后，要反过来根据分数的基本性质进行检验。 例题：根据 8×3＝4×6 写成比例是 8∶3＝4∶6。( ) 橙 子 学 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 【答案】× 【分析】比例的基本性质：在比例里，两个内项积等于两个外项积。据此判断。 【详解】两个内项积：3×4＝12 两个外项积：8×6＝48 12≠48，所以 8∶3＝4∶6 比例不成立。 原题说法错误。 故答案为：× 橙 子 学 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 7 解比例 一、 基础知识讲解 1.解比例的概念 类别 概念 依据 解比例 根据比例的基本性质，如果已知比例中的任 何三项，就可以求出这个比例中的另外一个 未知项。求比例中的未知项，叫做解比例。 比例的基本性质 2.解比例的方法 形式：x:57=1:10 或 57 x = 10 1 10x=57 温馨提示：解比例时，先分清内外项，利用比例的基本性质，转化成方程的形式，再通过解 方程求出未知数，一般把 x 写在等号的左边，这样便于解方程。 二、 考法技法提炼 考法 1：解比例计算 解题方法：解比例时，先分清内外项，利用比例的基本性质，转化成方程的形式，再通过解 方程求出未知数，一般把 x 写在等号的左边，这样便于解方程。 例题 1：解比例。 5 4 ∶x 5 21 ＝ ∶20 1.5∶8＝0.5∶x 5x 1 3 6 7  ＝ 【答案】x＝105；x 8 3 ＝ ；x 5 7 ＝ 根据比例的基本性质，先把比例 转化为两个外项的积与两个内项 的积相等的形式. 一般把 x 写在等号的左边，这 样便于解方程。 橙 子 学 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 8 【分析】 5 4 ∶x＝ 5 21 ∶20，解比例，原式化为： 5 21 x＝ 5 4 ×20，再根据等式的性质 2，方程 两边同时除以 5 21 即可； 1.5∶8＝0.5∶x；解比例，原式化为：1.5x＝8×0.5，再根据等式的性质 2，方程两边同时 除以 1.5 即可； 5x 1 6  ＝ 3 7 ，解比例，原式化为：（5x－1）×7＝6×3，化简，原式化为：5x×7－1×7＝ 18，再化简，原式化为：35x－7＝18，根据等式的性质 1，方程两边同时加上 7，再根据等 式的性质 2，方程两边同时除以 35 即可。 【详解】 5 4 ∶x＝ 5 21 ∶20 解： 5 21 x＝ 5 4 ×20 5 21 x＝25 5 21 x÷ 5 21 ＝25÷ 5 21 x＝25× 21 5 x＝105 1.5∶8＝0.5∶x 解：1.5x＝8×0.5 1.5x＝4 1.5x÷1.5＝4÷1.5 x＝ 8 3 5x 1 6  ＝ 3 7 解：（5x－1）×7＝6×3 5x×7－1×7＝18 35x－7＝18 35x－7＋7＝18＋7 35x＝25 35x÷35＝25÷35 橙 子 学 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 9 x＝ 5 7 三、 易错提示 易错点：错误判断内外项 易错诠释：正确判断内外项利用比例的基本性质，转化成方程的形式，再通过解方程求出未 知数。 例题：把比例 12 25 75 x  转化成方程 75x＝25×12，求出比例的解是 x＝4，体现了转化的数学 思想方法。( ) 【答案】√ 【分析】转化思想一般是将复杂问题转化为简单问题，将难解问题转化为易解问题，将未解 问题转化为已解问题，将抽象问题转化为直观问题。 【详解】把比例 12 25 75 x  转化成方程 75x＝25×12，求出比例的解是 x＝4，体现了转化的数 学思想方法。此说法正确。 故答案：√。 【点睛】转化思想是数学思想的重要组成部分。它是从未知领域发展，通过数学元素之间因 果联系向已知领域转化，从中找出它们之间的本质联系，解决问题的一种思想方法。 橙 子 学 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 10 比例的应用 一、 基础知识讲解 1.正反比例的意义 类别 意义 正比例 如果用字母y和x表示两种相关联的量，用k表示它们的比值（一定）， 正比例关系可以用下面的式子表示： x y =k(一定) 反比例 如果用字母 x 和 y 表示两种相关联的量，用 k 表示它们的积（一定）， 反比例关系可以用下面的式子表示：xy=k(一定) 2.反比例的应用 、 二、 考法技法提炼 考法：用比例解决一些实际问题 解题方法：有关正、反比例的问题，实际是前面已经学过的归一和归总问题。在实际计算时， 关键是弄清谁是不变量，哪两种量成正比例(或反比例)。 例题 1：一种农药的药液和水的比是 1∶2000，现有药液 560g，应该加水( )kg。 【答案】1120 【分析】将应加水的质量设为未知数，再根据药液和水的比是 1∶2000 列出比例，从而解比 例即可。 【详解】解：设应加水 xg。 560∶x＝1∶2000 x＝560×2000 弄清题中的各种量， 找出相关联的两种量 分析、判断这两种相关联的 量所对应的两个数的比值或 积是否一定，写出判断语 用比例解决问题的 步骤 设未知数，列比例式或等 积式（反比例），并解答 检查、验算，然后 写出答案 橙 子 学 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 11 x＝1120000 1120000g＝1120kg 所以，现有药液 560g，应该加水 1120kg。 【点睛】本题考查了比例的应用，熟练掌握解比例的方法是解题的关键。 三、 易错提示 易错点：错误判断相关联的量成什么比例 易错诠释：在用比例解决实际问题时，要分析题中哪个量是不变的量，确定两种相关的量成 什么关系，一定注意不要判断错误，再计算。 例题：甲、乙两地相距 520 千米。一辆汽车从甲地出发开往乙地，前 3 小时行驶了 240 千米。 照这样的速度，到达乙地一共需要多少小时？（用比例解） 【答案】6.5 小时 【分析】根据速度＝路程÷时间；根据题意，由于汽车的速度不变，前 3 小时行驶的速度与 从甲地到乙地行驶的速度相等，设到达乙地一共需要 x小时，列比例：240∶3＝520∶x，解 比例，即可解答。 【详解】解：设到达乙地一共需要 x 小时。 240∶3＝520∶x 240x＝520×3 240x＝1560 x＝1560÷240 x＝6.5 答：到达乙地一共需要 6.5 小时。 橙 子 学