第一单元 2.圆柱的体积

原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 一 圆柱和圆锥 2.圆柱的体积 圆柱的体积 一、 基础知识讲解 1.圆柱的体积 名称 图形 体积（V） 圆柱 V=Sh （一）圆柱的体积 （二）圆柱的容积 （三）立体图形的切拼（圆柱） 模块导航 橙 子 学 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 2.圆柱的体积推导 把圆柱平均分成 16 份，能拼成一个近似的长方体，如果把圆柱底面平均分成 32 份、64 份… 可以想象得出，分的份数越多，拼成的图形越接近长方体。 拼成的长方体的体积等于圆柱体积，拼成的长方体的底面积等于圆柱底面面积，拼成长方体 的高等于圆柱的高。 长方体的体积 = 底面积 × 高 圆柱的体积 = 底面积 × 高 用字母表示：V=Sh=πr 2 h 二、 考法技法提炼 考法 1：求圆柱的体积及逆运算 解题方法：正确利用体积的计算公式，V=Sh=πr2h，代入对应数量，求体积。 注意：求已知体积求其他量时，也可以列方程解答。 例题 1：求出下面立体图形的体积。 【答案】942 立方厘米 【分析】根据圆柱的体积公式，V＝πr2h，代入数据计算即可。 橙 子 学 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 【详解】3.14×52×12 ＝3.14×25×12 ＝3.14×300 ＝942（立方厘米） 圆柱的体积是 942 立方厘米。 考法 2：根据圆柱体积解决实际问题 解题方法：根据体积计算公式，先求出圆柱的体积，然后根据相关数量关系，解决相应问题。 例题 2：一根圆柱形木料底面直径是 0.4 米，长 5米。如果做一张课桌用去木料 0.02 立方米。这根木料最多能做多少张课桌？（不考虑损耗） 【答案】31 张 【分析】根据圆柱体积＝底面积×高，求出木料体积，木料体积÷一张课桌用的木料体积＝ 能做的课桌数量，最后无论剩下多少木料，只要不够一张课桌的用量，就无法制作一张课桌， 结果用去尾法保留近似数即可，据此列式解答。 【详解】3.14×（0.4÷2）2×5 ＝3.14×0.22×5 ＝3.14×0.04×5 ＝0.628（立方米） 0.628÷0.02≈31（张） 答：这根木料最多能做 31 张课桌。 三、 易错提示 易错点 1：错误运用圆柱体积计算公式 易错诠释：根据圆柱的体积公式和积的变化规律解决相应问题。 例题 1：一个圆柱体的底面半径扩大到原来的 3 倍，高缩小到原来的 1 3 ，则体积不变。 （ ) 【答案】× 橙 子 学 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 【分析】根据半径扩大到原来 3 倍，圆的面积就扩大到原来的 9 倍，已知把一个圆柱体底面 半径扩大到原来的 3倍，高缩小到原来的 1 3 ，由圆柱的体积公式：V＝Sh，再根据积的变化 规律解答。 【详解】由分析可知： 一个圆柱体的底面半径扩大到原来的 3倍，则圆柱的底面积就扩大到原来的 9倍，高缩小到 原来的 1 3 ，则体积就扩大到原来的 9× 1 3 ＝3 倍。原题干说法错误。 故答案为：× 【点睛】此题主要根据圆柱的体积公式和积的变化规律解决问题。 橙 子 学 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5 圆柱的容积 一、 基础知识讲解 1.圆柱的容积 名称 图形 体积（V） 圆柱的 容积 V=Sh 2.圆柱的容积的应用 圆柱形容器公式的应用与圆柱体积公式的应用计算方法相同。圆柱体容器容积的计算需要注 意的是其直径是从内部测量的，一般称为内直径。 用字母表示：V=Sh=πr 2 h 二、 考法技法提炼 考法 1：圆柱容积的计算及应用 解题方法：灵活掌握容积的计算方法，V=Sh=πr2h，认真审题，解决实际问题。 例题 1：如图，这个圆柱形水桶可以装（ )mL 水。 【答案】282600 【分析】根据圆柱的容积公式：V＝πr 2 h，据此代入数值进行计算即可。 【详解】3.14×（60÷2） 2 ×100 ＝3.14×30 2 ×100 ＝3.14×900×100 橙 子 学 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 ＝2826×100 ＝282600（cm3） 282600cm3＝282600mL 则这个圆柱形水桶可以装 282600mL 水。 【点睛】本题考查圆柱的容积，熟记公式是解题的关键。 考法 2：容积的逆运算 解题方法：根据容积计算公式，V＝Sh，推导 S=V÷h，分析题目，解决相应问题。 例题 2：如图，把 10 升水倒入甲容器中水深 8厘米，倒入乙容器中水深 12 厘米。求甲、乙 容器底面积的比。（要写出想法过程） 【答案】3∶2；过程见详解 【分析】根据长方体和圆柱的容积公式：V＝Sh，据此分别求出甲、乙容器的底面积，进而 求出底面积的比。 【详解】10 升＝10 立方分米＝10000 立方厘米 10000÷8＝1250（平方厘米） 10000÷12＝ 2500 3 （平方厘米） 1250∶ 2500 3 ＝（1250×3）∶（ 2500 3 ×3） ＝3750∶2500 ＝（3750÷1250）∶（2500÷1250） ＝3∶2 答：甲、乙容器底面积的比是 3∶2。 橙 子 学 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 7 三、 易错提示 易错点 1：错误理解容积与其他数量的关系 易错诠释：熟练掌握圆柱体积（容积）的计算公式，明确单个底面半径或高不能决定圆柱的 体积（容积）。 例题 1：一个圆柱形油桶，它的底面半径越大，容积就越大。（ ) 【答案】× 【分析】圆柱形油桶的容积＝底面积×高，因此容积是由底面积、高两个因素共同决定的据 此判断。 【详解】一个圆柱形油桶，它的底面半径越大，底面积越大，但是高并不确定，所以容积无 法确定。原题说法错误。 故答案为：× 易错点 2：不能区分体积和容积的区别 易错诠释：容积与体积的概念不同，在不忽略容器的壁厚时，物体的体积和容积是有区别 的。 例题 2：容积 100L 的圆柱形油桶，它的体积一定是 100 立方分米。（ ） 【答案】× 【分析】首先明确容积与体积的概念不同，容积是容器所能容纳别的物体的体积，而体积是 物体所占空间的大小。 【详解】虽然容积与体积的计算方法相同，1000 升＝1000 立方分米，但是计算容积是从里 面量有关数据，计算体积是从外面量有关数据。 故答案为：×。 橙 子 学 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 8 立体图形的切拼（圆柱） 一、 基础知识讲解 1.分隔 分隔 图形 表面积变化 体积变化 横切 表面积增加 2 倍底面积， 即 S 增=2πr² 体积不变 竖切 （过直径） 切面是长方形，表面积增 加两个长方形的面积，即 S 增=4rh 2.拼合 拼合 图形 表面积变化 体积变化 同底圆柱 表面积等于两个圆柱的 表面积之和减去两个底 面积 总体积等于两个 圆柱体积之和 不同底圆 柱 表面积等于两个圆柱的 表面积之和减去小圆柱 两个底面积 二、 考法技法提炼 考法：圆柱切拼后体积或表面积的计算 解题方法：理解立体图形切拼后体积和表面积的变化情况，结合实际情况进行灵活计算。 例题：计算下面半个圆柱的表面积。 橙 子 学 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 9 【答案】151.62dm2 【分析】由图可知：这个半圆柱的表面积包括一个长方形的面积，圆柱的侧面积的一半及上 下两个半圆的面积之和就是一个底面积；根据圆柱的表面积公式： = +2S S S表 侧 底，其中 dhS 侧 π ， 2S  底 πr ， 2r d  ，代入数据进行计算即可。 【详解】 2 3.14 6 8 2 3.14 (6 2) 8 6        18.84 8 2 3.14 9 48      75.36 28.26 48    2151.62 dm 三、 易错提示 易错点：错误认为把圆柱切开后表面积减少了 易错诠释：圆柱横切表面积增加 2 倍底面积，即 S 增=2πr²，竖切后切面是长方形， 表面积增加两个长方形的面积，即 S 增=4rh。 例题：一根圆柱形木料的底面半径是 0.5 米，长是 2米。如图所示，将它截成 4 段，这些木 料的表面积之和比原木料的表面积增加了多少平方米？ 【答案】4.71 平方米 【分析】看图，截成 4 段，增加了 6 个底面积。底面积＝πr2，据此先求出一个面的面积， 再乘 6，即可解题。 橙 子 学 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 10 【详解】3.14×0.52×6 ＝3.14×0.25×6 ＝0.785×6 ＝4.71（平方米） 答：这些木料的表面积之和比原木料的表面积增加了 4.71 平方米。 橙 子 学