专题06 锐角三角函数（10大题型）-【寒假分层作业】2025年九年级数学寒假培优练（北师大版）

专题06 锐角三角函数 内容早知道 ☛第一层 巩固提升练（10大题型） 题型一 锐角三角函数的概念相关问题 题型二 利用锐角三角函数值求边长 题型三 锐角三角函数的相关性质 题型四 特殊的锐角三角函数值的相关计算（30°、45°、60°） 题型五 利用锐角三角函数值求角（判三角形形状） 题型六 解直角（或非直角）三角形 题型七 解直角三角形的实际应用-坡角坡比 题型八 解直角三角形的实际应用-仰角俯角 题型九 解直角三角形的实际应用-方位角 题型十 解直角三角形的实际应用-其他问题 ☛第二层 能力培优练 ☛第三层 拓展突破练 锐角三角函数的概念相关问题 ⭐技巧积累与运用 锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即。 锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即。 锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即。 正弦、余弦、正切是在一个直角三角形中引入的，实际上是两条边的比，它们是正实数，没单位，其大小只与角的大小有关，而与所在直角三角形无关。 1．（24-25九年级上·重庆万州·期中）如图，在中，，，，下列三角函数表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，勾股定理的应用，熟记在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边是解题的关键．先利用勾股定理求出的长，然后根据锐角三角函数的定义对各选项分别进行计算，再利用排除法求解即可． 【详解】解：∵，，，∴， ∴，故选项A错误；，故选项B错误； ，故选项C正确；，故选项D错误．故选：C． 2．（24-25九年级上·上海·阶段练习）在中，所对的边分别为a、b、c，下列等式中不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查解直角三角形，根据锐角三角函数的定义，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵所对的边分别为a、b、c，∴，故A成立，不符合题意； ，故B不成立，符合题意；，故C成立，不符合题意； ，故D成立，不符合题意；故选B． 3．（24-25九年级上·辽宁·阶段练习）如图， 的三个顶点都在方格纸的格点上，则的值是（   ）．    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，延长到，连接，根据题意和图形，可以得到和长，然后即可求得的值． 【详解】解：延长到，连接，如图：    由题意可得，，，∴．故选：B． 利用锐角三角函数值求边长 ⭐技巧积累与运用 在直角三角形中若已知一条边和一个角（或该角的三角函数值），就可以求出其他边长。 1．（24-25九年级上·福建泉州·期中）在中，，，，则的长为（   ） A．6 B． C．8 D． 【答案】A 【分析】本题考查了解直角三角形，熟知余弦的定义：邻边比斜边，是解本题的关键．根据三角函数的知识进行解答即可． 【详解】解：在中，，，， ，解得：，故选：A． 2．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，市政府准备修建一座高为的过街天桥，已知为天桥的坡面与地面的夹角，且，则坡面的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，直接利用锐角三角函数关系求出的长即可． 【详解】解：由题意可得：， ∵，∴，解得：，即坡面的长度为．故选：C． 3．（24-25九年级上·山东菏泽·阶段练习）如图，在中，是的中点，过点作的垂线交于点，则为（   ） A． B．10 C． D．15 【答案】A 【分析】本题考查解直角三角形，相似三角形的判定和性质，由，，求出长，再由，即可求出的长． 【详解】解：，，， ∵是直角三角形，， 是的中点，，，，， ，，．故选：A． 4．（24-25九年级上·广东佛山·阶段练习）如图，，垂直于，则（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】本题考查了解直角三角形；根据直角三角形的性质、同角的余角相等得到，根据正切的定义计算即可 【详解】解：，，，，， 在中，，．故选：C． 锐角三角函数的相关性质 ⭐技巧积累与运用 1、当0°＜＜90°时，和随的增大而增大，随的增大而减小。 2、锐角三角函数的取值范围：0＜＜1，0＜＜1，＞0。 3、（1）；（2）若∠A与∠B互余， ；（3）。 1．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）已知，则下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查同角的三角函数的关系，特殊锐角三角函数值以及锐角三角函数的增减性，掌握锐角三角函数的定义，特殊锐角三角函数值以及锐角三角函数的增减性是正确判断的前提．据逐项进行判断即可． 【详解】解：A．由于一个锐角的余弦值随着锐角的增大而减小，而，所以 ，因此选项A不符合题意； B．由于一个锐角的正切值随着锐角的增大而增大，而所以，即，因此选项B不符合题意； C．由于，而，即，所以，即，因此选项C不符合题意； D．由于锐角的对边除以斜边，锐角的对边除以锐角的邻边，而锐角的邻边小于斜边，所以，因此选项D符合题意．故选：D． 2．（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）下列说法中，正确的是（　） A．在中，每边都扩大5倍，则也扩大5倍 B．若，则 C． D．若α为锐角，，则 【答案】D 【分析】本题考查三角函数的性质，根据三角函数的定义利用排除法求解． 【详解】解：A、在中，每边都扩大5倍，但它们的比值不变，所以值不变，故本选项错误； B、若，则，故本选项错误；C、三角函数的度数不能直接相加，故本选项错误；D、根据设两直角边为，根据勾股定理得斜边为，所以，故本选项正确． 故选：D． 3．（24-25九年级上·山东泰安·期中）若为锐角． (1)求证：①；②； (2)试求：的值． 【答案】(1)①见解析；②见解析(2) 【分析】本题考查正弦、余弦的计算，理解并掌握正弦、余弦的计算方法，图形结合分析是解题的关键． （1）①根据正弦、余弦的计算方法求解即可；②根据正弦、余弦、勾股定理计算即可； （2）由（1）的计算可得，， ，由此变形即可求解． 【详解】（1）解：若为锐角，建立如上图所示的直角，，， ①，，； ②，而，， ； （2）解：由（1）可得：，， ， ． 特殊的锐角三角函数值的相关计算（30°、45°、60°） ⭐技巧积累与运用 三角函数\锐角 30° 45° 60° sin cos tan 1 1．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）下列三角函数值是有理数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，有理数．熟练掌握特殊角的三角函数值，有理数是解题的关键．分别求出各选项中特殊角的三角函数值，然后进行判断即可． 【详解】解：由题意知，A、中，是无理数，故不符合要求； B、中，是有理数，故符合要求；C、中，是无理数，故不符合要求； D、中，是无理数，故不符合要求；故选：B． 2．（24-25九年级上·山东烟台·期中）计算： (1)；(2)． 【答案】(1)(2) 【分析】此题考查了特殊角的三角函数值的相关运算，二次根式化简、绝对值． （1）把特殊角的三角函数值代入计算即可；（2）把特殊角的三角函数值代入计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 3．（24-25九年级上·山东泰安·期中）计算：(1)；(2)． 【答案】(1)(2) 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． 把特殊角的三角函数值代入原式，再分别进行计算，最后进行加减运算即可． 【详解】（1）原式． （2）原式． 利用锐角三角函数值求角（判三角形形状） ⭐技巧积累与运用 在一个三角形中，如果已知其中两个角的大小和它们所对的边长，就可以利用三角函数求出第三个角的大小。如果三角形的三个角都已知，则可以利用三角函数判断它的形状。 1．（24-25九年级上·山东烟台·期中）在中，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查特殊角的三角函数值，利用非负性，得到，根据特殊角的三角函数值，求出的度数，再利用三角形的内角和定理，求出的度数即可． 【详解】解：∵，∴， ∴，∴，∴；故选C． 2．（2025九年级下·江苏·专题练习）若，则是（   ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 【答案】C 【分析】本题考查实数的综合运算能力，先根据非负数的性质求出与的值，再根据特殊角的三角函数值求出、的值即可． 【详解】解：∵，∴，， ∴，，∴，， 在中，，且，∴是直角三角形．故选：C． 3．（24-25九年级上·甘肃张掖·阶段练习）若，，都是锐角，则的度数是 ． 【答案】/105度 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值及非负数的性质，解答本题的关键是得出，以及熟知特殊角的三角函数值． 题目已知，由非负数的性质可得，，即可得，，根据特殊角的三角函数值求得，的度数，再利用三角形的内角和定理求的度数即可． 【详解】解：，，， ，，，， ，都是锐角，，，，故答案为：． 解直角（或非直角）三角形 ⭐技巧积累与运用 1、解直角三角形的方法：“有斜（斜边）用弦（正弦、余弦），无斜用切（正切），宁乘毋除，取原避中），”这几句话的意思是：当已知或求解中有斜边时，就用正弦或余弦，无斜边时，就用正切或余切；当所求的元素既可用乘法又可用除法时，则用乘法，不用除法；既可以由已知数据又可由中间数据求解时，则用已知数据，尽量避免用中间数据。 2、对于非直角三角形，往往要通过作辅助线构造直角三角形来解，作辅助线的一般思路是： （1）作垂线构成直角三角形；（2）利用图形本身的性质，如等腰三角形顶角平分线垂直于底边。 1．（24-25九年级上·山东烟台·期中）如图，在四边形中，，，，对角线平分．，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解直角三角形，角平分线的定义，根据题目的已知条件作出正确的辅助线是解题的关键．过点作，垂足为，利用角平分线的定义可得，求出的长度，利用勾股定理求出的长度，然后利用三角形的面积进行计算即可． 【详解】解：过点作，垂足为， 对角线平分．，，， ，，，，，， ，．  故答案为：． 2．（24-25九年级上·山东泰安·期中）如图，是的中线，，，．则的长为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了解直角三角形，掌握构造直角三角形，余弦、正切值的计算方法是解题的关键． 根据题意，过点作于点，构造直角三角形，在中，运用余弦的计算方法可得，再运用勾股定理可得，在中，运用正切值计算方法可得，由即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点， 在中，，，∴，∴， 在中，，，∴，∴，故答案为： ． 3．（24-25九年级上·山东淄博·期中）如图，在中，，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了含30度直角三角形性质，等腰直角三角形的判定及勾股定理；过C作于D，在中，得，求出，有，则在中，由含30度直角三角形性质，得，由勾股定理得；最后即可得解． 【详解】解：如图，过点C作于点D． 在中，，，， 在中，，，． ． 4．（24-25九年级上·山东烟台·期中）阅读下面材料．小明遇到这样一个问题： 如图，在四边形中，，，，，求的长． 小明发现，延长与相交于点，通过构造．经过推理和计算能够使问题得到解决（如图）．解决下列问题：(1)请直接写出的长为_______；(2)请你用其他与小明的发现不一样的方法来求得的长． (3)参考小明思考问题的方法，解决问题：如图，在四边形中，，，，，求的长． 【答案】(1)；(2)见解析；(3)． 【分析】（1）延长与相交于点，解直角三角形，得出的长，那么，再解直角三角形，即可求出；（2）过点作于，交于，过作于顶，由，，，得四边形是矩形，，从而，，，进而利用解直角三角形即可求得，，从而即可得解； （3）延长与相交于点．由，得出，那么，．设，则，，．在中，由，得出，求出，那么，，，再利用勾股定理即可求出． 【详解】（1）解：如图，延长与相交于点， ∵，，∴．，∴，∴．在中，∵，，， ∴．故答案为：； （2）解：如图，过点作于，交于，过作于顶， ∵，，，∴四边形是矩形，， ∴，，，∵，∴， ∵，，∴，∴； （3）解：如图，延长与相交于点． ∵，∴，∴，． 设，则，，． 在中，．∵，∴，即，∴． 经检验是所列方程的解，且符合题意，∴，，， ∴． 【点睛】本题考查的是解直角三角形，度直角三角形的性质，等角对等边，矩形的判定及性质，勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． 解直角三角形的实际应用-坡角坡比 ⭐技巧积累与运用 1、定义：通常把坡面的铅直高度h和水平宽度的比叫做坡度（或坡比），用字母i表示，即；如果把坡面与水平面的的夹角记为（叫做坡角），那么坡度i等于坡角的正切值，即 解直角（非直角）三角形的步骤： 1）将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形,转化为解直角三角形的问题)； 2）根据条件的特点,适当选用锐角三角函数等去解直角三角形。 1．（24-25九年级上·山东菏泽·期中）如图是拦水坝的横断面，斜坡的水平宽度为米，斜面坡度为，则斜坡的长为 米． 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形的应用—坡度坡角问题，勾股定理，根据坡度的定义得，然后利用勾股定理求出的长度．解题的关键是掌握：坡面的铅垂高度与水平长度的比叫做坡面的坡度（或坡比）． 【详解】解：如图，过点作于点，则， ∵斜面坡度为，∴，∴（米）， ∴斜坡的长为米．故答案为：． 2．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）为方便山区的山货运输，某地计划在图1所示的山上开辟一条山路，其截面示意图如图2．从山脚的点开始向山上修建坡道和，并在点与点之间设置一段与地面平行的平路，其中，，坡道，的坡角分别为，． (1)求点到水平地面的高度；(2)求点与点之间的水平距离． （结果精确到1．参考数据：，，，） 【答案】(1)点到水平地面的高度是150米．(2)点与点之间的水平距离1049米． 【分析】此题主要考查了解直角三角形的应用，准确识图，正确地作出辅助线构造直角三角形，灵活运用锐角三角形函数的定义进行计算是解决问题的关键．（1）过点作于，过点作于，交延长线于，解得米，米，由此可得出答案；（2）解得米，再根据即可得出答案． 【详解】（1）解：过点作于，过点作于，交延长线于，如图所示： 在中，，，，，，， （米），（米）， 答：点到水平地面的高度是150米． （2）解：在中，，米，， ，（米）， 又米，（米）， 答：点与点之间的水平距离1049米． 解直角三角形的实际应用-仰角俯角 ⭐技巧积累与运用 仰角：当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角； 俯角：当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角成为俯角； 解直角（非直角）三角形的步骤： （1）将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形,转化为解直角三角形的问题)； （2）根据条件的特点,适当选用锐角三角函数等去解直角三角形。 1．（24-25九年级上·辽宁沈阳·阶段练习）中山广场的灯杆上挂着一个广告牌，某数学“综合与实践”小组计划测量该广告牌上下边缘高度差．测量方案如图所示，是高为18米的灯杆，广告牌的上边缘在点处，下边缘在点处．小林同学站在距灯杆16米远的处，借助测角仪观察，测得灯杆上的点的仰角是，小林同学的眼睛到地面的距离米；小赵同学借助无人机技术在观测点处进行测量，测得平行于水平线，灯杆上的点的俯角是，点，之间的距离是10米．请根据以上数据，求灯杆上广告牌的高度．（结果精确到米） （参考数据：，，，） 【答案】灯杆上广告牌的高度约为米 【分析】根据题意，过点作与点，则，可得四边形是矩形，（米），（米），在中，运用正切值可得，则有（米），（米），根据题意可得是等腰直角三角形，运用勾股定理可得，由即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作与点，则， ∵，∴， ∴四边形是矩形，∴（米），（米）， 在中，（米），，∴， ∴，∴（米）， ∴（米）， ∵灯杆上的点的俯角是，点，之间的距离是10米，， ∴，（米），∴是等腰直角三角形，∴， ∴，即，且，∴（负值舍去）， ∴（米），∵，，结果精确到米， ∴（米）， ∴灯杆上广告牌的高度约为米． 【点睛】本题主要考查矩形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理的运用，仰俯角解直角三角形的运用，掌握解直角三角形的计算方法是解题的关键． 2．（24-25九年级上·重庆·阶段练习）重庆南川金佛山因其优美的自然风光、独特的地形地貌吸引了众多游客．甲乙两名游客选择两种不同的方式游览景区，如图，甲从山脚处乘坐缆车到达景点处，同时乙开车从山脚处前行到达处，此时遇一斜坡，坡度，沿着斜坡前行到达停车场处，停车后，再跑步到达景点处（汽车行驶在平路和上坡的速度相等，停车时间忽略不计）．甲在处观测景点的仰角为，乙在处观测景点的仰角为．(1)求景点的高度；（结果精确到） (2)甲乘坐缆车的速度为，乙的车速为，乙的跑步速度为，谁先到达景点？ （参考数据：，，，，） 【答案】(1)；(2)乙先到达景点． 【分析】本题主要考查了矩形的判定及性质，平行线的性质，解直角三角形，熟练掌握解直角三角形是解题的关键．（1）过点作，于，，延长交于点，在中，由，得，，进而得，，再证明，得，，，设，进而，在中，由，构造方程求解即可； （2）利用解直角三角形分别求出及，进而求得甲、乙的运动时间，从而比较即可得解． 【详解】（1）解：如图，过点作，于，，延长交于点， ∵在中，由，∴，， ∴，，∵为的边上的高，∴， ∵，，∴四边形是矩形，∴，，， ∴，∴是等腰直角三角形，是等腰直角三角形， ∴，，设， ∴， 在中，，即， 解得，经检验是原方程的解，∴； （2）解：由（）得，，，∴， ∵，，∴，∴， ∵在中，，， ∴，∴， ∴，∴乙先到达景点． 3．（24-25九年级上·广东深圳·阶段练习）2024年，中国国产游戏3A大作《黑神话：悟空》一经上线，即火爆全球，反映了中国文化的对全世界的吸引力．作为重要取景地的济南四门塔是中国现存唯一的隋代石塔，也是中国现存最早、保存最完整的单层亭阁式佛塔．某兴趣小组利用所学知识开展以“测量四门塔的高度”为主题的活动，并写出如下报告： 课题 测量四门塔的高度 测量工具 测角仪、无人机等 测量 示意图 测量过程 如图②，测量小组使无人机在点A处以的速度竖直上升后，飞行至点B处，在点B处测得塔顶D的俯角为，然后沿水平方向向左飞行至点C处，在点C处测得塔顶D和点A的俯角均为． 说明 点A，B，C，D，E均在同一竖直平面内，且点A，E在同一水平线上，．结果精确到．（参考数据：） (1)求无人机从点B到点C处的飞行距离；(2)求四门塔的高度． 【答案】(1)；(2)． 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． （1）根据题意求出，再根据等腰直角三角形的性质求出；（2）延长交的延长线于点，设，用表示出、，根据正切的定义列出方程，解方程得到答案． 【详解】（1）解：由题意可知：， 在中，，则， 答：无人机从点B到点C处的飞行距离问； （2）解：如图，延长交的延长线于点， 则四边形为矩形，，设，则， 在中，，则，， 在中，，， ，即，解得：， 答：四门塔的高度约为． 解直角三角形的实际应用-方位角 ⭐技巧积累与运用 解直角（非直角）三角形的步骤： （1）将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形,转化为解直角三角形的问题)； （2）根据条件的特点,适当选用锐角三角函数等去解直角三角形。 1．（24-25九年级上·重庆·期中）如图，为沙坪坝区物流中心，，，为三个菜鸟驿站，在的正南方向处，在的正东方向，在的南偏西方向处，在南偏西方向．（，，，，，） (1)求驿站，驿站之间的距离（结果精确到）；(2)“双11”期间，派送员从沙坪坝区物流中心出发，以的速度沿着的路线派送快递到各个驿站，派送员途径，两个驿站各停留存放快递，请计算说明派送员能否在内到达驿站？ 【答案】(1)(2)能，理由见解析 【分析】本题考查解直角三角形的应用，将实际问题转化成解直角三角形的问题，利用解直角三角形的 知识求解是解题的关键．（1）过点P作于A，于B，先解，求得，再证明，从而得出，然后解，即可求解． （2）求出派送员所需总时间，再与比较即可得出答案． 【详解】（1）解：过点P作于A，于B，如图， 根据题意，得，，，， 在中，∵，∴， ∵，，，∴四边形是矩形， ∴，∴， 在中，∵，∴， 答：驿站，驿站之间的距离约为． （2）解：∵，∴， ∵，∴派送员能在内到达驿站． 2．（24-25九年级上·重庆·期中）如图，海上有一座小岛，一艘游艇在海中自东向西航行，游艇在A处测得小岛在北偏西方向，半小时后游艇到达离小岛处60海里的处，测得小岛在西北方向．（参考数据：，，）。 (1)求游艇每小时航行多少海里？（结果保留整数）；(2)由于游艇在处突发故障，只能减速前行，于是立即以每小时30海里的速度沿北偏西方向航行，此航线记为，与此同时，在航线上处的救援船立即以每小时40海里的速度沿北偏东方向前往小岛取维修材料（救援船取维修材料的时间忽略不计），当游艇在航线上航行到离小岛最近的处时停下来等待，救援船取到维修材料后立即以原速沿最近的路线前往处．游艇到达处后，再过多少小时救援船能到达处？（结果精确到0.01） 【答案】(1)62海里(2)0.08小时 【分析】本题主要考查了解直角三角形，构造直角三角形是解题的关键． （1）过点作的垂线交延长线于点，由题意可知，．根据三角函数的定义可求出和的长，进而可得S的长，再除以时间，即可求出的速度． （2）过点作于点，由题意可知，．根据三角函数的定义可求出, , 的长，再分别求出潜艇和救援船到达M点所用的时间，再求出它们的差即可． 【详解】（1）解：过点作的垂线交延长线于点，由题意可知：，， 在中，，，，    在中，，，   ，    （海里）．   答：游艇每小时航行62海里． （2）解：过点作于点．由题意可知：，， 在中，，， ，       在中，，   ，    ， ，  （小时）．    答：游艇到达处，再过0.08小时救援船就能到达处． 3．（24-25九年级上·重庆·阶段练习）今年校庆期间，小南和小开相约从宿舍大门出发去参观学校的津之南美术馆．如图，小南选择路线1：，小开选择路线．经勘测，A，D，E三点共线，且点，点在点的北偏东方向上，点在点的正西方向，且在点的北偏西方向；点在点的正北方向，且在点的正东方向，所有点A，B，C，M，D，E都在同一平面内．测量得知，点恰好为中点，米，米．(1)求A，E两地之间的距离（结果保留根号）； (2)已知小南的速度为每分钟50米，小开的速度为每分钟60米，小南和小开同时从宿舍大门A出发沿着各自选择的路线匀速前往津之南美术馆M，请通过计算时间说明他们俩谁先到达M（时间精确到0.1）？（参考数据：） 【答案】(1)米2)小开先到达M 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，矩形的判定和性质： （1）作于N，交于H，先证四边形是矩形，推出．设，则，利用锐角三角函数解和求出x的值，进而求出，再解即可；（2）通过解直角三角形分别计算出和的长度，再结合二人速度求出二人所用时间，比较大小即可． 【详解】（1）解：如图，作于N，交于H， 由题意知，，，四边形是矩形，． 设，则，在中，， 在中，，， 解得，即，， ， 在中，， A，E两地之间的距离为米； （2）解：在中，， 由（1）知四边形是矩形，， 在等腰中，，， ，（米）， （米）， 小南所用时间为：（分钟）， 小开所用时间为：（分钟），，小开先到达M． 解直角三角形的实际应用-其他问题 ⭐技巧积累与运用 解直角（非直角）三角形的步骤： （1）将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形,转化为解直角三角形的问题)； （2）根据条件的特点,适当选用锐角三角函数等去解直角三角形。 1．（24-25九年级上·安徽滁州·阶段练习）如图，，区域为驾驶员的盲区，驾驶员视线PB与地面的夹角，视线PE与地面的夹角，点为视线与车窗底端的交点，，，．若A点到B点的距离，则盲区中的长度是（参考数据：，，，）（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查解直角三角形的应用，首先证明四边形是矩形，利用的正弦值可求出的长，即可得的长，利用的正切值即可得答案． 【详解】解：∵，∴，∵，∴四边形是平行四边形， ∵，∴四边形是矩形，∴， 在中,，∴，∴， 在中,，，，故选: B． 2．（24-25九年级上·江苏泰州·期中）“复矩尺”是我国唐朝时期张遂（也称一行和尚）研究天文时制作的工具，其构造如图：组成直角的两边一长一短，角间有一弧形刻度，角顶点处有一丝线系一铜锤，用来测量北极星方向与水平线的夹角（图中的角）．小明用自制的复矩尺用来测量操场上的旗杆高度，小明将复矩尺的长边对准旗杆顶部，测得点到地面距离，旗杆底部到的距离，．请帮小明计算出旗杆的高度．（参考数据：，，） 【答案】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用，过点作于，先得到，在中，根据正切的定义列式求出，进而得到．掌握锐角三角函数的定义，数形结合列式求解是解题的关键． 【详解】解：过点作于，如图所示： 则四边形为矩形，，，，， ，，， 在中，，，，则， ，答：旗杆的高度约为． 3．（23-24九年级上·上海嘉定·期中）好的座椅可以让人坐着更舒适．交大附中教师办公室座椅如图1所示，它的主要组成有支撑部分、座面和椅背，座面和椅背均可以进行调节．其纵截面如图2所示，支撑部分，与水平地面垂直，，，，． (1)求点D距离地面的高度；(2)相较于座面水平、椅背竖直的情况，座面稍向下倾斜，椅背与座面的夹角略大于时，坐起来更加舒适．已知当座椅的座面与水平面的夹角为，座面与椅背的夹角为时坐起来最舒适，求坐起来最舒适时点H距离地面的高度（小数点后保留1位小数）． 【答案】(1)点距离地面的高度为；(2)点距离地面的高度 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，通过作辅助线，构造出直角三角形是解题的关键． （1）延长交于，则，在中，解直角三角形即可求解；（2）过点作，过点作，则，在，中，分别解直角三角形即可求解． 【详解】（1）解：延长交于，则， ∵，∴， ∴，则点距离地面的高度为； （2）过点作，过点作，则，∴，则， 在中，，∴， ∵，∴， 在中，，则， ∴点距离地面的高度． 1．（24-25九年级上·山东济南·期中）如图，圭表是度量日影长度的一种天文仪器，垂直于地面的直杆叫“表”，水平放置于地面上刻有刻度以测量影长的标尺叫“圭”．当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，冬至日影最长，夏至日影最短．圭面上冬至线与夏至线之间的距离的长为，则表高为（　　）（参考数据：冬至时，；夏至时，） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，利用数形结合的思想是解题关键．设，结合题意可得出，，解出x的值即可． 【详解】解：如图，设表高， ∵冬至时，；夏至时，，∴冬至时，；夏至时，， ∴，，∴，，解得：．故表高为．故选A． 2．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图所示，在的矩形网格中，每个小正方形的边长都为1，的三个顶点都在格点上，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查解直角三角形，勾股定理以及逆定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．如图，取格点E，连接．利用勾股定理的逆定理证明即可解决问题． 【详解】解：如图，取格点E，连接， ∵， 又∵，∴，∴， ∴，故选：B． 3．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）在中，，若，则（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了锐角三角函数关系，勾股定理，正确表示各边长是解题的关键．直接根据题意表示出三角形的各边，进而利用锐角三角函数关系得出答案． 【详解】在中，，如图所示， ，，设， 则，．故选：C． 3．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）周六下午，九年级嘉嘉和同学外出郊游，在河岸边玩耍，她想测量河的宽度，设计了一种测量方案：如图所示，在河对岸选择点，再在河这边岸边选取，两点，使得，，并测量出长为米，则河的宽度为 米． 【答案】 【分析】此题主要考查了解直角三角形的应用，根据题意用同一未知数表示出各线段长是解题关键．设河的宽度为，根据已知角用表示出，，的长，进而利用求出即可． 【详解】解：如图，过点作于点， 设河宽为米，在中，，∴， 在中，∴， ∵，∴，解得： 所以河的宽度为（）米，故答案为：。 4．（24-25九年级上·山东烟台·期中）“十一”期间，小华和妈妈到某景区游玩，小华想利用所学的数学知识估测基区里的观景塔的高度，他从点D处的观景塔出来走到点A处，沿着坡度为的斜坡从A点走了米到达B点，此时回望观景塔，更显气势宏伟．在点观察到观景塔顶端的仰角为；再沿水平方向继续往前走到处，回头观察到观察到观景塔顶端的仰角为，测得之间的水平距离为10米，则观景塔的高度约为 米．（结果保留根号） 【答案】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角、坡度坡角问题．延长交于F，则，作于H，，根据等腰直角三角形的性质求出，根据正切的定义用表示出，根据题意列式求出，结合图形计算，得到答案． 【详解】解：延长交于F，则，作于H， ∵坡度为的斜坡，∴设，则，∴，即， 解得，∴，，在中，，则， 在中，，∴，由题意得，， 解得，， 则，故答案为：． 5．（24-25九年级上·山东菏泽·阶段练习）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了含有特殊角的三角函数值的混合运算，还涉及负整数指数幂，熟练掌握这些知识点是解题的关键．先计算负整数指数幂和代入特殊角的三角函数值，再进行计算即可． 【详解】解： ． 6．（24-25九年级上·山东济南·期中）某数学兴趣小组在学习完“，，角的三角函数值”这一节课后，做了如下探究：如图1，中，，，，延长至点D，使．根据，，得出，，，，又∵，，∴，则求出，同时还求出． (1)如图1，根据以上的思路和数据，得出________°，________．（写出最后结果） (2)如图2，中，，，请你参考兴趣小组的思路，求的值． (3)如图3，某工程队在施工过程中，要对一个三角形区域进行勘探．已知，，，请帮助他们求出的面积． 【答案】(1)75，(2)(3)平方千米 【分析】（1）由直角三角形的性质及锐角三角函数的定义可得出答案； （2）延长到I，使，设，由勾股定理得：，，，则可得出答案；（3）过点H作，垂足为O，求出和，由三角形的面积可得出答案． 【详解】（1）解：∵，， ，．故答案为：75，； （2）解：延长到I，使，设， ∵，，∴，∴， 由勾股定理得：，∴，，∵，∴， 又∵，∴，∵，∴，∴； （3）解：过点H作，垂足为O，如图所示： 由兴趣小组的结论，可得，由题意可知，， ∴，∴，∵，∴， 由第（2）问可知，，∴，∴， ∴的面积 【点睛】本题是三角形综合题，考查了勾股定理，解直角三角形，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识． 7．（24-25九年级上·陕西西安·期中）如图，小知想测量自家小区居民楼下一棵大树的高度，由于大树旁边还有其他灌木无法直接到达大树下面测量，他先通过查询建筑说明得到居民楼的高度为28m，接着在居民楼的顶端处测得大树的顶端的俯角为，某一时刻在太阳光的照射下，大树顶端的影子落在地面上的点处，居民楼顶端的影子落在地面上的点处，测得，已知大树和居民楼均垂直于地面，且点在同一条直线上，求大树的高度．结果精确到，参考数据：，，） 【答案】 【分析】本题主要考查了解三角形的实际应用，矩形的性质与判定，相似三角形的实际应用，过点A作于点H，则四边形为矩形，设，则，再由相似三角形的判定和性质得出，利用正切函数求解即可． 【详解】解：如图，过点A作于点H，则四边形为矩形， ∴，，设，则，由题意知，∴， ∵，∴，∴， ∴，∴，， ∵在C处测得A的俯角为，∴，∴，解得， 答：大树的高度约为． 8．（24-25九年级上·四川巴中·阶段练习）自2024年10月29日起，巴中恩阳机场开通了到无锡的新航线，进一步方便了广大市民．如图，市民甲在C处看见飞机A的仰角为，同时另一市民乙在斜坡CF上的D处看见飞机A的仰角为，已知斜坡CF的坡比，铅垂高度米（点E、G、C、B在同一水平线上）．（结果保留根号）(1)求此时甲、乙两市民的距离；(2)求飞机此时距离地面的高度． 【答案】(1)米；(2)飞机距离地面的高度为米． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正确理解题中的数量关系是解题的关键． （1）过点作于点，先根据坡比的概念得到米，再利用勾股定理即可求解； （2）证明米，，设米，在中，根据三角函数的定义列方程，并求解即得答案． 【详解】（1）解：过点作于点，如图， 斜坡的坡比，铅垂高度米，，米， 米； （2）解：，，四边形是矩形，米，， ，，是等腰直角三角形，， 设米，则米，米， 在中，，，解得，米， 答：飞机距离地面的高度为米． 9．（2024·广东·模拟预测）【综合与实践】如图1，光线从空气射入水中会发生折射现象，其中代表入射角，代表折射角．学习小组查阅资料了解到，若，则把称为折射率．（参考数据：，） 【实践操作】如图2，为了进一步研究光的折射现象，学习小组设计了如下实验：将激光笔固定在处，光线可沿照射到空容器底部处，将水加至处，且时，光点移动到处，此时测得，四边形是矩形，是法线． 【问题解决】(1)求入射角的度数；(2)请求出光线从空气射入水中的折射率． 【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据平行线的性质，利用正切函数解答即可； （2）作于点，利用勾股定理，折射率的定义解答即可． 【详解】（1）解：如图1，， ，入射角约为． （2）解：如图2，作于点，在中，， 在中，， 光线从空气射入水中的折射率，光线从空气射入水中的折射率． 【点睛】本题考查了跨学科综合，平行线的性质，勾股定理，三角函数的应用，与物理的融合，熟练掌握相关知识是解题的关键． 10．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）阅读下列材料： (1)如图1，在中，、、所对的边分别为a、b、c，求证：； (2)如图2，规划中的一片三角形区域需美化，已知，，米，求的长（结果保留根号．参考数据：，） 【答案】(1)见解析(2) 【分析】本题考查解直角三角形的应用 ，掌握直角三角形的边角关系 ，即锐角三角函数的定义是解决问题的前提.（1）根据题目提供的方法进行证明即可；（2）根据（1）的结论，直接进行计算即可. 【详解】（1）证明：证明： 如图， 过点作于点，在中， ， 在中， ，∴，； （2）解：∵，∴， 在中，又∵，即，∴． 11．（23-24九年级上·全国·课后作业）对于钝角，定义它的三角函数值如下：，．(1)求的值；(2)若一个三角形的三个内角的比是，A、B是这个三角形的两个顶点，、是方程的两个不相等的实数根，求的值及和的大小． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题主要考查了特殊的锐角三角函数，根与系数的关系以及三角形内角和定理．（1）根据给定的公式求值；（2）根据三角形内角和定理三个内角之间的比例可得出三个角的度数，利用根与系数的关系即可求出的值． 【详解】（1）解：根据题意得：； ；； （2）解：∵一个三角形的三个内角的比是，∴三个内角的度数分别为， ∵，是方程的两个不相等的实数根，， ∵是三角形两个顶点，∴，∴，∴，∴． 12．（2024·河南驻马店·三模）郑州东站(图1)是京广高速铁路和徐兰高速铁路的交汇站，也是以高速铁路为中心，集高速铁路、城际铁路、城市地铁、公路客运、城市公交、机场巴士、出租车等多种交通方式为一体的交通枢纽．某数学兴趣小组想要用无人机测量东站入口 的高度(垂直于水平地面)，测量方案如图2，先将无人机垂直上升至距水平地面高的点 P，在此处测得东站入口顶端A的俯角为 再将无人机沿水平方向向东站入口飞行到达点Q，此时测得东站入口底端B的俯角为 ，求东站入口 的高度．（直线l，点A，B，P，Q均在同一平面内．参考数据： ，，) 【答案】东站入口的高度约为 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正确理解题中的数量关系是解题的关键．延长 交 的延长线于点 C，在中，可求得，所以，，在 中，根据，即可求得，由此即得答案． 【详解】延长 交 的延长线于点 C， 由题意，得，，， 在中，，，， ，， 在 中， ， ，．答: 东站入口的高度约为． 1．（24-25九年级上·江苏泰州·期中）在中，，斜边为c，，所对的直角边分别为a，b（），斜边上的高．下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】本题考查解直角三角形，由余角的性质推出，，再由锐角三角函数的定义逐个判断计算即可． 【解答】解：如图， ∵，，∴，∴，同理：， ∴，故A不符合题意； ∵，，∴，故B符合题意； ∵，， ∴，故C不符合题意； ∵，， ∴，故D不符合题意．故选：B． 2．（24-25九年级上·山东烟台·期中）如图，延长等腰直角的斜边到，使，连接，则的值为（    ） A． B． C． D．3 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，解直角三角形，熟练解直角三角形是解题的关键．过点作垂直于的延长线于点，设，根据勾股定理得，由等腰直角三角形的性质得，从而得，在中，解直角三角形得，，进而求得即可求得． 【详解】解：过点作垂直于的延长线于点，如下图， ∵等腰直角的斜边为，∴，，∴，， 设，∴，， ∴，，∴， ∵，∴，， ∴，∴，故选：C． 3．（24-25九年级上·山东东营·阶段练习）如图1是三星堆遗址出土的陶盉（hè），图2是其示意图．已知管状短流，四边形是器身，，，，．器身底部距地面的高度为，则该陶盉管状短流口距地面的高度约为 ．（结果精确到0.1cm）（参考数据：，，，） 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形的知识，解题的关键是过点作交于点，过点作交的延长线于点，根据，求出，根据，求出，根据，，求出，根据该陶盉管状短流口距地面的高度为：，即可． 【详解】解：过点作交于点，过点作交的延长线于点， ∴，∵，∴，∴， ∵，∴，∴， ∵，，∴，∴， ∴该陶盉管状短流口距地面的高度为：．故答案为：． 4．（24-25九年级上·福建泉州·期中）在矩形中，，E是的中点，一块足够大的三角板的直角顶点与点E重合，将三角板绕点E旋转，三角板的两直角边分别交，（或它们的延长线）于点M，N，设，给出下列四个结论：①；②；③；④．上述结论中正确的是 ．（填写序号） 【答案】②③④ 【分析】①作辅助线于点F，然后证明，从而求出，所以与的长度相等．②由①，即可得到结论正确；③经过简单的计算得到，④先判断出是等腰直角三角形，再用面积公式即可． 【详解】解：①如图， 在矩形中，，E是的中点，作于点F，则有， ∵，，∴， 在和中，，∴，∴，∴． ∵不一定等于，∴①错误，②由①有，∴，∴②正确， ③由①得，，∵，∴，， ∴，∴③正确， ④如图，∵E是的中点，∴，在，， ∴，由（1）知，，∴，， ∵，∴，∴是等腰直角三角形，∴．∴④正确． 故答案为：②③④． 【点睛】此题是全等三角形的性质和判定题，主要考查了全等三角形的性质和判定，旋转的性质，矩形的性质，等腰直角三角形的性质和判定，图形面积的计算锐角三角函数，解本题的关键是，难点是计算． 5．（24-25九年级上·重庆万州·期中）“天高云淡秋风炎，正是人间好游赏”，周末小明和小华决定到某地登山游玩，如图，他们同时从地出发，到达终点地集合，点在点的正北方向，小明先沿着坡度为的斜坡前进米后达到地，再沿地的北偏东的方向爬坡到地，小华沿着地北偏东的方向的爬坡到地，再沿地的北偏西方向爬坡到地．（参考数据：，，） (1)求点到点的距离：（结果保留根号）(2)已知小明的爬山平均速度为25米/分钟，小华的爬山平均速度为30米/分钟，请通过计算说明：小明和小华谁先到达终点处． 【答案】(1)米(2)小华先到达终点处 【分析】（1）过点作，交于点，设水平线为，根据坡度比求出，进而易得的长度，然后利用等腰直角三角形的性质和勾股定理求解；（2）过点作于点，过点作于点，利用（1）求出，根据等腰直角三角形的性质和勾股定理求出和的长度，进而求得，再分别求出小明和小华所走的总路程，然后比较它们的大小来求解． 【详解】（1）解：过点作，交于点，设水平线为， 如下图．，的坡度为，则,． 点在的正北方向，，，． ，，， ，，． 地在地北偏东方向上，，，， ． （2）解：过点作于点，过点作于点，如下图 地在地北偏东方向上，． 由（1）可知，，． ，，，，． ，，． 地在地北偏西方向上，，， ，，， ． ，， ．， ，． 小明的爬山平均速度为25米/分钟，小华的爬山平均速度为30米/分钟， 小明到终点所用的时间为（分钟），小华到终点所用的时间为（分钟）． ，小华先到达终点处． 【点睛】本题考查了坡度比，方位角，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，特殊角的三角函数值，作出图形是解答关键． 6．（24-25九年级上·辽宁阜新·阶段练习）实验是培养学生创新能力的重要途径，如图是小亮同学安装的化学实验装置，安装要求为试管口略向下倾斜，铁夹应固定在距试管口的三分之一处．现将左侧的实验置图抽象成右侧示意图，已知试管，，试管倾斜角为．（参考数据：；）． (1)求试管口与铁杆的水平距离的长度： (2)实验时，导气管紧靠水槽壁，延长交的延长线于点，且于点（点在一条直线上），经测得：，，，求线段的长度（结果精确到）． 【答案】(1)(2) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，理解题意是解题的关键；（1）由题意可求得的长，再由余弦函数定义即可求得的长；（2）由正弦函数求得；延长，交于点，则得四边形是矩形，求得，再由条件得，最后由即可求解． 【详解】（1）解：，，， ，； （2）解：，，延长，交于点， 四边形是矩形，，， ，， ，，，， ； 答：线段的长度为． 7．（24-25九年级上·重庆巴南·阶段练习）如图，，，分别是某公园三个景点，在景点之间计划修建健身跑道，在的正北方向米，在的北偏东方向，在的北偏西方向．（参考数据：，，）。(1)求的长度；（结果保留整数）；(2)其中跑道和跑道已经修好，准备修建跑道，为了改善健身环境，公园决定对健身跑道进行修改扩建．计划将段绕顺时针旋转并延伸至处，修建新跑道和，且在处测得在的北偏西方向上．若修建步道的成本为每米元，公园对扩建预算的费用为万元，请通过计算说明预算费用是否够用？ 【答案】(1)米 (2)预算费用不够用（理由见解析） 【分析】（1）过点作于点，首先根据已知条件可求出，在中，可求得，于是可得，根据勾股定理可求得，在中，可求得，则，于是可得，根据勾股定理可求得 ，然后根据即可求出的近似长度； （2）根据含度角的直角三角形的性质可得，又由（1）知：，在中，根据勾股定理可得，即，于是可得，进而可得，据此可求出共需费用（元），于是可得出结论． 【详解】（1）解：如图，过点作于点，， 由题可知：，在中，，， ，，， ，在中，，， ，，， ，，， 的长度约为米； （2）解：由题可知，，， 又由（1）知：，在中，， ，即：，， ， 成本每米元，共需费用（元）， 万，预算费用不够用，答：预算费用不够用． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用（方位角问题），垂线的性质，直角三角形的两个锐角互余，含度角的直角三角形，勾股定理，等角对等边，线段的和与差，等式的性质，实数运算的实际应用等知识点，熟练掌握解直角三角形的相关计算是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 锐角三角函数 内容早知道 ☛第一层 巩固提升练（10大题型） 题型一 锐角三角函数的概念相关问题 题型二 利用锐角三角函数值求边长 题型三 锐角三角函数的相关性质 题型四 特殊的锐角三角函数值的相关计算（30°、45°、60°） 题型五 利用锐角三角函数值求角（判三角形形状） 题型六 解直角（或非直角）三角形 题型七 解直角三角形的实际应用-坡角坡比 题型八 解直角三角形的实际应用-仰角俯角 题型九 解直角三角形的实际应用-方位角 题型十 解直角三角形的实际应用-其他问题 ☛第二层 能力培优练 ☛第三层 拓展突破练 锐角三角函数的概念相关问题 ⭐技巧积累与运用 锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即。 锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即。 锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即。 正弦、余弦、正切是在一个直角三角形中引入的，实际上是两条边的比，它们是正实数，没单位，其大小只与角的大小有关，而与所在直角三角形无关。 1．（24-25九年级上·重庆万州·期中）如图，在中，，，，下列三角函数表示正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·上海·阶段练习）在中，所对的边分别为a、b、c，下列等式中不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·辽宁·阶段练习）如图， 的三个顶点都在方格纸的格点上，则的值是（   ）．    A． B． C． D． 利用锐角三角函数值求边长 ⭐技巧积累与运用 在直角三角形中若已知一条边和一个角（或该角的三角函数值），就可以求出其他边长。 1．（24-25九年级上·福建泉州·期中）在中，，，，则的长为（   ） A．6 B． C．8 D． 2．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，市政府准备修建一座高为的过街天桥，已知为天桥的坡面与地面的夹角，且，则坡面的长度为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·山东菏泽·阶段练习）如图，在中，是的中点，过点作的垂线交于点，则为（   ） A． B．10 C． D．15 4．（24-25九年级上·广东佛山·阶段练习）如图，，垂直于，则（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 锐角三角函数的相关性质 ⭐技巧积累与运用 1、当0°＜＜90°时，和随的增大而增大，随的增大而减小。 2、锐角三角函数的取值范围：0＜＜1，0＜＜1，＞0。 3、（1）；（2）若∠A与∠B互余， ；（3）。 1．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）已知，则下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）下列说法中，正确的是（　） A．在中，每边都扩大5倍，则也扩大5倍 B．若，则 C． D．若α为锐角，，则 3．（24-25九年级上·山东泰安·期中）若为锐角．(1)求证：①；②； (2)试求：的值． 特殊的锐角三角函数值的相关计算（30°、45°、60°） ⭐技巧积累与运用 三角函数\锐角 30° 45° 60° sin cos tan 1 1．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）下列三角函数值是有理数的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·山东烟台·期中）计算： (1)；(2)． 3．（24-25九年级上·山东泰安·期中）计算：(1)；(2)． 利用锐角三角函数值求角（判三角形形状） ⭐技巧积累与运用 在一个三角形中，如果已知其中两个角的大小和它们所对的边长，就可以利用三角函数求出第三个角的大小。如果三角形的三个角都已知，则可以利用三角函数判断它的形状。 1．（24-25九年级上·山东烟台·期中）在中，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．（2025九年级下·江苏·专题练习）若，则是（   ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 3．（24-25九年级上·甘肃张掖·阶段练习）若，，都是锐角，则的度数是 ． 解直角（或非直角）三角形 ⭐技巧积累与运用 1、解直角三角形的方法：“有斜（斜边）用弦（正弦、余弦），无斜用切（正切），宁乘毋除，取原避中），”这几句话的意思是：当已知或求解中有斜边时，就用正弦或余弦，无斜边时，就用正切或余切；当所求的元素既可用乘法又可用除法时，则用乘法，不用除法；既可以由已知数据又可由中间数据求解时，则用已知数据，尽量避免用中间数据。 2、对于非直角三角形，往往要通过作辅助线构造直角三角形来解，作辅助线的一般思路是： （1）作垂线构成直角三角形；（2）利用图形本身的性质，如等腰三角形顶角平分线垂直于底边。 1．（24-25九年级上·山东烟台·期中）如图，在四边形中，，，，对角线平分．，则的面积为 ． 2．（24-25九年级上·山东泰安·期中）如图，是的中线，，，．则的长为 ． 3．（24-25九年级上·山东淄博·期中）如图，在中，，求的长． 4．（24-25九年级上·山东烟台·期中）阅读下面材料．小明遇到这样一个问题： 如图，在四边形中，，，，，求的长． 小明发现，延长与相交于点，通过构造．经过推理和计算能够使问题得到解决（如图）．解决下列问题：(1)请直接写出的长为_______；(2)请你用其他与小明的发现不一样的方法来求得的长． (3)参考小明思考问题的方法，解决问题：如图，在四边形中，，，，，求的长． 解直角三角形的实际应用-坡角坡比 ⭐技巧积累与运用 1、定义：通常把坡面的铅直高度h和水平宽度的比叫做坡度（或坡比），用字母i表示，即；如果把坡面与水平面的的夹角记为（叫做坡角），那么坡度i等于坡角的正切值，即 解直角（非直角）三角形的步骤： 1）将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形,转化为解直角三角形的问题)； 2）根据条件的特点,适当选用锐角三角函数等去解直角三角形。 1．（24-25九年级上·山东菏泽·期中）如图是拦水坝的横断面，斜坡的水平宽度为米，斜面坡度为，则斜坡的长为 米． 2．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）为方便山区的山货运输，某地计划在图1所示的山上开辟一条山路，其截面示意图如图2．从山脚的点开始向山上修建坡道和，并在点与点之间设置一段与地面平行的平路，其中，，坡道，的坡角分别为，． (1)求点到水平地面的高度；(2)求点与点之间的水平距离． （结果精确到1．参考数据：，，，） 解直角三角形的实际应用-仰角俯角 ⭐技巧积累与运用 仰角：当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角； 俯角：当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角成为俯角； 解直角（非直角）三角形的步骤： （1）将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形,转化为解直角三角形的问题)； （2）根据条件的特点,适当选用锐角三角函数等去解直角三角形。 1．（24-25九年级上·辽宁沈阳·阶段练习）中山广场的灯杆上挂着一个广告牌，某数学“综合与实践”小组计划测量该广告牌上下边缘高度差．测量方案如图所示，是高为18米的灯杆，广告牌的上边缘在点处，下边缘在点处．小林同学站在距灯杆16米远的处，借助测角仪观察，测得灯杆上的点的仰角是，小林同学的眼睛到地面的距离米；小赵同学借助无人机技术在观测点处进行测量，测得平行于水平线，灯杆上的点的俯角是，点，之间的距离是10米．请根据以上数据，求灯杆上广告牌的高度．（结果精确到米） （参考数据：，，，） 2．（24-25九年级上·重庆·阶段练习）重庆南川金佛山因其优美的自然风光、独特的地形地貌吸引了众多游客．甲乙两名游客选择两种不同的方式游览景区，如图，甲从山脚处乘坐缆车到达景点处，同时乙开车从山脚处前行到达处，此时遇一斜坡，坡度，沿着斜坡前行到达停车场处，停车后，再跑步到达景点处（汽车行驶在平路和上坡的速度相等，停车时间忽略不计）．甲在处观测景点的仰角为，乙在处观测景点的仰角为．(1)求景点的高度；（结果精确到） (2)甲乘坐缆车的速度为，乙的车速为，乙的跑步速度为，谁先到达景点？ （参考数据：，，，，） 3．（24-25九年级上·广东深圳·阶段练习）2024年，中国国产游戏3A大作《黑神话：悟空》一经上线，即火爆全球，反映了中国文化的对全世界的吸引力．作为重要取景地的济南四门塔是中国现存唯一的隋代石塔，也是中国现存最早、保存最完整的单层亭阁式佛塔．某兴趣小组利用所学知识开展以“测量四门塔的高度”为主题的活动，并写出如下报告： 课题 测量四门塔的高度 测量工具 测角仪、无人机等 测量 示意图 测量过程 如图②，测量小组使无人机在点A处以的速度竖直上升后，飞行至点B处，在点B处测得塔顶D的俯角为，然后沿水平方向向左飞行至点C处，在点C处测得塔顶D和点A的俯角均为． 说明 点A，B，C，D，E均在同一竖直平面内，且点A，E在同一水平线上，．结果精确到．（参考数据：） (1)求无人机从点B到点C处的飞行距离；(2)求四门塔的高度． 解直角三角形的实际应用-方位角 ⭐技巧积累与运用 解直角（非直角）三角形的步骤： （1）将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形,转化为解直角三角形的问题)； （2）根据条件的特点,适当选用锐角三角函数等去解直角三角形。 1．（24-25九年级上·重庆·期中）如图，为沙坪坝区物流中心，，，为三个菜鸟驿站，在的正南方向处，在的正东方向，在的南偏西方向处，在南偏西方向．（，，，，，） (1)求驿站，驿站之间的距离（结果精确到）；(2)“双11”期间，派送员从沙坪坝区物流中心出发，以的速度沿着的路线派送快递到各个驿站，派送员途径，两个驿站各停留存放快递，请计算说明派送员能否在内到达驿站？ 2．（24-25九年级上·重庆·期中）如图，海上有一座小岛，一艘游艇在海中自东向西航行，游艇在A处测得小岛在北偏西方向，半小时后游艇到达离小岛处60海里的处，测得小岛在西北方向．（参考数据：，，）。(1)求游艇每小时航行多少海里？（结果保留整数）；(2)由于游艇在处突发故障，只能减速前行，于是立即以每小时30海里的速度沿北偏西方向航行，此航线记为，与此同时，在航线上处的救援船立即以每小时40海里的速度沿北偏东方向前往小岛取维修材料（救援船取维修材料的时间忽略不计），当游艇在航线上航行到离小岛最近的处时停下来等待，救援船取到维修材料后立即以原速沿最近的路线前往处．游艇到达处后，再过多少小时救援船能到达处？（结果精确到0.01） 3．（24-25九年级上·重庆·阶段练习）今年校庆期间，小南和小开相约从宿舍大门出发去参观学校的津之南美术馆．如图，小南选择路线1：，小开选择路线．经勘测，A，D，E三点共线，且点，点在点的北偏东方向上，点在点的正西方向，且在点的北偏西方向；点在点的正北方向，且在点的正东方向，所有点A，B，C，M，D，E都在同一平面内．测量得知，点恰好为中点，米，米．(1)求A，E两地之间的距离（结果保留根号）； (2)已知小南的速度为每分钟50米，小开的速度为每分钟60米，小南和小开同时从宿舍大门A出发沿着各自选择的路线匀速前往津之南美术馆M，请通过计算时间说明他们俩谁先到达M（时间精确到0.1）？（参考数据：） 解直角三角形的实际应用-其他问题 ⭐技巧积累与运用 解直角（非直角）三角形的步骤： （1）将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形,转化为解直角三角形的问题)； （2）根据条件的特点,适当选用锐角三角函数等去解直角三角形。 1．（24-25九年级上·安徽滁州·阶段练习）如图，，区域为驾驶员的盲区，驾驶员视线PB与地面的夹角，视线PE与地面的夹角，点为视线与车窗底端的交点，，，．若A点到B点的距离，则盲区中的长度是（参考数据：，，，）（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·江苏泰州·期中）“复矩尺”是我国唐朝时期张遂（也称一行和尚）研究天文时制作的工具，其构造如图：组成直角的两边一长一短，角间有一弧形刻度，角顶点处有一丝线系一铜锤，用来测量北极星方向与水平线的夹角（图中的角）．小明用自制的复矩尺用来测量操场上的旗杆高度，小明将复矩尺的长边对准旗杆顶部，测得点到地面距离，旗杆底部到的距离，．请帮小明计算出旗杆的高度．（参考数据：，，） 3．（23-24九年级上·上海嘉定·期中）好的座椅可以让人坐着更舒适．交大附中教师办公室座椅如图1所示，它的主要组成有支撑部分、座面和椅背，座面和椅背均可以进行调节．其纵截面如图2所示，支撑部分，与水平地面垂直，，，，． (1)求点D距离地面的高度；(2)相较于座面水平、椅背竖直的情况，座面稍向下倾斜，椅背与座面的夹角略大于时，坐起来更加舒适．已知当座椅的座面与水平面的夹角为，座面与椅背的夹角为时坐起来最舒适，求坐起来最舒适时点H距离地面的高度（小数点后保留1位小数）． 1．（24-25九年级上·山东济南·期中）如图，圭表是度量日影长度的一种天文仪器，垂直于地面的直杆叫“表”，水平放置于地面上刻有刻度以测量影长的标尺叫“圭”．当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，冬至日影最长，夏至日影最短．圭面上冬至线与夏至线之间的距离的长为，则表高为（　　）（参考数据：冬至时，；夏至时，） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图所示，在的矩形网格中，每个小正方形的边长都为1，的三个顶点都在格点上，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）在中，，若，则（   ） A．1 B． C． D． 3．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）周六下午，九年级嘉嘉和同学外出郊游，在河岸边玩耍，她想测量河的宽度，设计了一种测量方案：如图所示，在河对岸选择点，再在河这边岸边选取，两点，使得，，并测量出长为米，则河的宽度为 米． 4．（24-25九年级上·山东烟台·期中）“十一”期间，小华和妈妈到某景区游玩，小华想利用所学的数学知识估测基区里的观景塔的高度，他从点D处的观景塔出来走到点A处，沿着坡度为的斜坡从A点走了米到达B点，此时回望观景塔，更显气势宏伟．在点观察到观景塔顶端的仰角为；再沿水平方向继续往前走到处，回头观察到观察到观景塔顶端的仰角为，测得之间的水平距离为10米，则观景塔的高度约为 米．（结果保留根号） 5．（24-25九年级上·山东菏泽·阶段练习）计算：． 6．（24-25九年级上·山东济南·期中）某数学兴趣小组在学习完“，，角的三角函数值”这一节课后，做了如下探究：如图1，中，，，，延长至点D，使．根据，，得出，，，，又∵，，∴，则求出，同时还求出． (1)如图1，根据以上的思路和数据，得出________°，________．（写出最后结果） (2)如图2，中，，，请你参考兴趣小组的思路，求的值． (3)如图3，某工程队在施工过程中，要对一个三角形区域进行勘探．已知，，，请帮助他们求出的面积． 7．（24-25九年级上·陕西西安·期中）如图，小知想测量自家小区居民楼下一棵大树的高度，由于大树旁边还有其他灌木无法直接到达大树下面测量，他先通过查询建筑说明得到居民楼的高度为28m，接着在居民楼的顶端处测得大树的顶端的俯角为，某一时刻在太阳光的照射下，大树顶端的影子落在地面上的点处，居民楼顶端的影子落在地面上的点处，测得，已知大树和居民楼均垂直于地面，且点在同一条直线上，求大树的高度．结果精确到，参考数据：，，） 8．（24-25九年级上·四川巴中·阶段练习）自2024年10月29日起，巴中恩阳机场开通了到无锡的新航线，进一步方便了广大市民．如图，市民甲在C处看见飞机A的仰角为，同时另一市民乙在斜坡CF上的D处看见飞机A的仰角为，已知斜坡CF的坡比，铅垂高度米（点E、G、C、B在同一水平线上）．（结果保留根号）(1)求此时甲、乙两市民的距离；(2)求飞机此时距离地面的高度． 9．（2024·广东·模拟预测）【综合与实践】如图1，光线从空气射入水中会发生折射现象，其中代表入射角，代表折射角．学习小组查阅资料了解到，若，则把称为折射率．（参考数据：，） 【实践操作】如图2，为了进一步研究光的折射现象，学习小组设计了如下实验：将激光笔固定在处，光线可沿照射到空容器底部处，将水加至处，且时，光点移动到处，此时测得，四边形是矩形，是法线． 【问题解决】(1)求入射角的度数；(2)请求出光线从空气射入水中的折射率． 10．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）阅读下列材料： (1)如图1，在中，、、所对的边分别为a、b、c，求证：； (2)如图2，规划中的一片三角形区域需美化，已知，，米，求的长（结果保留根号．参考数据：，） 11．（23-24九年级上·全国·课后作业）对于钝角，定义它的三角函数值如下：，．(1)求的值；(2)若一个三角形的三个内角的比是，A、B是这个三角形的两个顶点，、是方程的两个不相等的实数根，求的值及和的大小． 12．（2024·河南驻马店·三模）郑州东站(图1)是京广高速铁路和徐兰高速铁路的交汇站，也是以高速铁路为中心，集高速铁路、城际铁路、城市地铁、公路客运、城市公交、机场巴士、出租车等多种交通方式为一体的交通枢纽．某数学兴趣小组想要用无人机测量东站入口 的高度(垂直于水平地面)，测量方案如图2，先将无人机垂直上升至距水平地面高的点 P，在此处测得东站入口顶端A的俯角为 再将无人机沿水平方向向东站入口飞行到达点Q，此时测得东站入口底端B的俯角为 ，求东站入口 的高度．（直线l，点A，B，P，Q均在同一平面内．参考数据： ，，) 1．（24-25九年级上·江苏泰州·期中）在中，，斜边为c，，所对的直角边分别为a，b（），斜边上的高．下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·山东烟台·期中）如图，延长等腰直角的斜边到，使，连接，则的值为（    ） A． B． C． D．3 3．（24-25九年级上·山东东营·阶段练习）如图1是三星堆遗址出土的陶盉（hè），图2是其示意图．已知管状短流，四边形是器身，，，，．器身底部距地面的高度为，则该陶盉管状短流口距地面的高度约为 ．（结果精确到0.1cm）（参考数据：，，，） 4．（24-25九年级上·福建泉州·期中）在矩形中，，E是的中点，一块足够大的三角板的直角顶点与点E重合，将三角板绕点E旋转，三角板的两直角边分别交，（或它们的延长线）于点M，N，设，给出下列四个结论：①；②；③；④．上述结论中正确的是 ．（填写序号） 5．（24-25九年级上·重庆万州·期中）“天高云淡秋风炎，正是人间好游赏”，周末小明和小华决定到某地登山游玩，如图，他们同时从地出发，到达终点地集合，点在点的正北方向，小明先沿着坡度为的斜坡前进米后达到地，再沿地的北偏东的方向爬坡到地，小华沿着地北偏东的方向的爬坡到地，再沿地的北偏西方向爬坡到地．（参考数据：，，） (1)求点到点的距离：（结果保留根号）(2)已知小明的爬山平均速度为25米/分钟，小华的爬山平均速度为30米/分钟，请通过计算说明：小明和小华谁先到达终点处． 6．（24-25九年级上·辽宁阜新·阶段练习）实验是培养学生创新能力的重要途径，如图是小亮同学安装的化学实验装置，安装要求为试管口略向下倾斜，铁夹应固定在距试管口的三分之一处．现将左侧的实验置图抽象成右侧示意图，已知试管，，试管倾斜角为．（参考数据：；）． (1)求试管口与铁杆的水平距离的长度： (2)实验时，导气管紧靠水槽壁，延长交的延长线于点，且于点（点在一条直线上），经测得：，，，求线段的长度（结果精确到）． 7．（24-25九年级上·重庆巴南·阶段练习）如图，，，分别是某公园三个景点，在景点之间计划修建健身跑道，在的正北方向米，在的北偏东方向，在的北偏西方向．（参考数据：，，）。(1)求的长度；（结果保留整数）；(2)其中跑道和跑道已经修好，准备修建跑道，为了改善健身环境，公园决定对健身跑道进行修改扩建．计划将段绕顺时针旋转并延伸至处，修建新跑道和，且在处测得在的北偏西方向上．若修建步道的成本为每米元，公园对扩建预算的费用为万元，请通过计算说明预算费用是否够用？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$