专题15 几何综合训练（特殊平行四边形、相似、解锐角三角形、圆）-【寒假分层作业】2025年九年级数学寒假培优练（北师大版）

专题15 几何综合训练 （特殊平行四边形、相似、解锐角三角形、圆） 内容早知道 ☛第一层 巩固提升练 ☛第二层 能力培优练 ☛第三层 拓展突破练 1．（2024·山东德州·二模）如图是4000多年前龙山文化中的蛋壳黑陶高柄杯．它的器壁非常薄，口沿最薄处在0.2－0.5毫米之间．“黑如漆、明如镜、薄如纸、声如磬”这12个字点透了它的精髓所在．以下关于该蛋壳黑陶高柄杯的说法正确的是（   ） A．主视图与俯视图相同 B．主视图与左视图相同 C．左视图与俯视图相同 D．三种视图都相同 【答案】B 【详解】解：该蛋壳黑陶高柄杯的主视图和左视图为如题干所示的平面图形， 该蛋壳黑陶高柄杯的俯视图同心的圆，故该蛋壳黑陶高柄杯的主视图与左视图相同，故选：B． 2．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）下列各种现象中，属于平行投影的是（   ） A．皮影戏中的影子 B．阳光下旗杆的影子 C．台灯下的笔筒的影子 D．汽车灯光照射下行人的影子 【答案】B 【详解】解：A. 皮影戏中的影子为中心投影，故此选项不合题意；     B. 阳光下旗杆的影子为平行投影，符合题意； C. 台灯下的笔筒的影子为中心投影，故此选项不合题意；     D. 汽车灯光照射下行人的影子为中心投影，故此选项不合题意；故选：B． 3．（24-25九年级上·山西运城·期中）我们在学习书法的初期需要经历临摹阶段，黄金格是一种临摹时的习字格．如图，正方形是黄金习字格的边框，正方形内四条线段为黄金分割线，其端点都在边框上，且均为各边框的黄金分割点．若，则两条黄金分割线之间的距离的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由题意知，，，∴，解得，， ∴，∴，故选：A． 4．（24-25九年级上·浙江绍兴·期中）计算机处理任务时，经常会以圆形进度条的形式显示任务完成的百分比．下面是同一个任务进行到不同阶段时进度条的示意图，当任务完成的百分比为时，线段的长度记为．下列描述正确的是（   ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】B 【详解】解：依题意，当时，优弧与劣弧相加等于整个圆，则的长度一致， 即当时，，故B选项正确，A，C，D选项不一定成立故选：B． 5．（23-24八年级下·天津·阶段练习）如图，矩形对角线，相交于点，为上一点，连接，为的中点，．若，则的长为 ．    【答案】2 【详解】解：如图，连接，    ∵四边形是矩形，∴， ∵为的中点，∴是的中位线，，，∴， ∵，，，， 在中，由勾股定理得， ∴，，故答案为：2． 6．（23-24·上海·九年级阶段练习）在等腰△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D，G是重心，若AG=9cm，则GD=_______cm． 【答案】4.5 【详解】解：∵AB=AC，AD⊥BC于D，∴AD是△ABC的中线，∵G是△ABC的重心，∴AG=2GD， ∵AG=9 cm，∴GD=4.5cm，故答案为：4.5． 7．（24-25九年级上·山东淄博·期中）小明为测量某棵树的高度，绘制了如图所示的测量示意图（点表示树的底部，点表示树的顶端），已知于点，点在线段上，米，且．若设树顶到地面的高度米，则为求得树高可列出关于的方程为 ． 【答案】 【详解】解：在中，， ∴米，∴米， 在中，，∴米， ∴，即，故答案为：． 8．（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）如图，在中，以为圆心，长为半径画弧交于，分别以、为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，，，则的长为 ． 【答案】8 【详解】解：如图，设交于点O．由作图可知：，， ∵四边形是平行四边形，∴，∴，∴，∴， ∵，∴四边形是平行四边形，∵，∴四边形是菱形， ∴，，在中，， ∴，∴．故答案为：8． 9．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期中）某校学生开展综合实践活动，测量操场上旗杆的高度，同学们设计了如下两个测量方案： 活动目的 测量操场上旗杆的高度 活动方案 方案一：利用阳光下的影子 方案二：利用镜子的反射 示意图       实施过程 ①同学站在操场上E点处，测量同学的身高； ②测量同学在操场上的影长； ③在同一时刻，测量旗杆的影长． ①在与旗杆底部位于同一水平面的C点处，放置一面镜子； ②测量镜子到旗杆的距离； ③观测者调整位置，直至通过镜子刚好看到旗杆顶部A； ④测量观测者到镜子的距离； ⑤测量观测者眼睛距离地面的高度． 测量数据 ，， ，， 请你从以上两种方案中任选一种，计算操场上旗杆的高度． 【答案】操场上旗杆的高度约为 【详解】解：方案一：由题意知，，即，解得，，∴的高度为； 方案二：∵，∴， ∴，即，解得，，∴的高度为． 10．（24-25九年级上·上海嘉定·期中）如图，点D在的边上，点E在的边的延长线上，联结交于边于点F且(1)求证：(2)联结，如果，求证： 【答案】(1)见解析(2)见解析 【详解】（1）证明：如图，∵，∴， ∵，∴，∴，∴； （2）证明：如图∵，∴，∵，∴， ∴，，∴， ∵，∴，∴，∴,∴． 11．（24-25九年级上·重庆·期中）打铁花，是流传于豫晋地区民间传统的烟火，国家级非物质文化遗产之一，铁花飞溅，寓意着生活多姿多彩．春节前夕，在渝北区龙湖天街广场举行了一次打铁花表演．小明家在点A处，表演场地C在小明家北偏东．小明有两种方式去看表演，路线①从A经过一段楼梯到达点D，，再沿到达C处，已知点C在点D的东北方向处；路线②从A出发沿正东方向到达点B，再沿正北方向到点C处．（A、B、C、D在同一平面内）（参考数据：，，，(1)求楼梯的长度；(2)小明计划出门，如果选择路线①只能走路，走路的最快速度是，如果选择路线②则可以跑步，跑步的平均速度是，表演正式开始时间是，小明能赶在表演前到达点C处吗？如果能，选择哪条路线，如果不能，具体说明原因（数据保留1位小数）． 【答案】(1)楼梯的长度为；(2)选择路线①能赶在表演前到达点C处 【详解】（1）解：如图：取点，过作于，于，连接，， 由题意得：，，，， ，四边形为矩形，， 设，，，， ，解得：，，， ，答：楼梯的长度为； （2）解：选择路线①能赶在表演前到达点处． 理由：按照路线①需要：，选择路线①不能赶在表演前到达点处， 按照路线②需要：，选择路线①能赶在表演前到达点处． 12．（24-25九年级上·浙江绍兴·期中）如图，在中，CD是直径，弦，垂足为点E，连接AC，AD．(1)求证：．(2)若，，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【详解】（1）证明：连接，∵是直径，弦，∴．∴． 又∵．∴； （2）解：如图，连接，，则， ∵，∴，∴， ∴∴的长度． 13．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）如图，已知．(1)在上求作点，使与的长度比为；（用直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不写作法）；(2)连接，若，上的点到的大距离为2，求所在圆的半径长．（如果需要图形，请使用备用图） 【答案】(1)见解析(2)见解析 【详解】（1）解：如图1中，点即为所求； （2）如图2中，设圆心为，半径于点，设，，， ∵上的点到的大距离为2，∴，， ∵在△中，∴，解得．所在圆的半径为5． 14．（24-25九年级上·江苏南通·期中）小明同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易． (1)【学习心得】如图1，在中，，，求的度数，若以点A为圆心，为半径作辅助圆，则点C、D必在上，是的圆心角，而是圆周角，可得 ； (2)【问题解决】如图2，在四边形中，．求证：；(3)【问题拓展】在平面直角坐标系中，A为y轴上一点．若点，．当最大时，求点A的坐标． 【答案】(1)(2)见解析(3)点A的坐标为或 【详解】（1）解：如图，若以点A为圆心，为半径作辅助圆，则点C、D必在上，是的圆心角，而是圆周角，可得，故答案为：； （2）证明：如图，以点A为圆心，为半径作辅助圆，延长交圆于点P，连接， ， 点B、C、D是在以A圆心，则， ∵为直径，∴，∴，； （3）解：如图，当最大时，过B、C两点的与y轴相切，切点为点A， 过点作，垂足为点H， 线段的中点坐标为，圆心在的垂直平分线上，点横坐标为4， ∵，，，∴，∴点A的坐标为或． 1．（24-25九年级上·江苏泰州·期中）在中，，斜边为c，，所对的直角边分别为a，b（），斜边上的高．下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：如图， ∵，，∴，∴，同理：， ∴，故A不符合题意； ∵，，∴，故B符合题意； ∵，， ∴，故C不符合题意； ∵，， ∴，故D不符合题意．故选：B． 2．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）如图，在的内接四边形中，，过点作的垂线交延长线于．则下列结论：①平分；②若点是中点，则平行于的某条角平分线；③若，，则；④若，，则，其中正确的有（   ） A．①③ B．①②④ C．②④ D．①②③④ 【答案】B 【详解】解：∵，∴，∵，∴， ∵四边形是的内接四边形，∴， ∵，∴∴，即平分，故①正确； ∵点是中点，∴，∴∴， 又∵，∴，如图所示，平分， ∴∴；故②正确； 如图所示，过点作于点， 由①可得平分，∴，∴∴ 又∵，∴∴，∴∴， 在中，，故③不正确， 若，，∴∴， 在中，，故④正确，故选：B． 3．（24-25八年级上·广西南宁·阶段练习）如图，在菱形中，，，点P为线段上不与端点重合的一个动点．过点P作直线、直线的垂线，垂足分别为点、点．连结，在点的运动过程中，的最小值等于（    ）． A．7 B．7.8 C．13 D．13.8 【答案】B 【详解】解：如图，连接交于点O，连接，    ∵四边形是菱形，∴，，， 在中，由勾股定理得：，∴， ∵，∴， ∴，解得：，即的值为定值， 当最小时，有最小值，∵当时，的最小值， ∴的最小值，故选：B． 4．（24-25九年级上·北京·期中）如图，正方形边长为4，E、F分别是边、上的点，、交于点P，当时，的最小值为 ． 【答案】/ 【详解】解：取的中点Q，连接，如图所示： ∵四边形是正方形，且边长为4，∴， 在和中，，∴，∴， 在中，，∴，∴，∴， ∵点Q是的中点，∴，在中，由勾股定理得：， 根据“两点之间线段最短”得：， ∴当B，P，Q在同一条直线上时，为最小，最小值为．故答案为：． 5．（24-25九年级上·江苏镇江·阶段练习）如图所示，矩形纸片中，，把它分割成正方形纸片和矩形纸片后，分别裁出扇形和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的底面和侧面，则圆锥的侧面积为 ． 【答案】 【详解】解：设，则，根据题意，得解得， ，圆锥的侧面积为．故答案为：． 6．（24-25九年级上·山西太原·期中）如图，正方形中，点是的中点，与关于所在直线对称，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，射线交于点．若，则线段的长为 ． 【答案】/ 【详解】解：如图，连接， ∵，点是的中点，∴，∴， ∵与关于所在直线对称，∴，，，∴， ∵线段绕点顺时针旋转90°得到线段，∴，， ∴，∴，∴是等腰直角三角形，∴， ∵，∴，∴，∴，故答案为：． 7．（24-25九年级上·上海黄浦·期中）上海教育出版社九年级第一学期《练习部分》第48页复习题B组第2题及参考答案． 2．如图，图中提供了一种求的方法，阅读并填空： 先作，其中，；然后延长到点，使，连接． （1）． （2）设，那么（用t的代数式表示，以下同），． （3）． 某数学兴趣小组在完成了以上解答后，决定对该问题进一步探究： 【知识迁移】在中，，，那么____；____． 【拓展应用】如图，在中，，，，点、分别在边、上，且，，连接、交于点，求的值． 【答案】知识迁移：，；拓展应用：1． 【详解】知识迁移：解：如图，作平分交于，过作于， ∵，∴，∵平分交于， ，，中，，即， 设，则，， ∵，∴即， ∴，∴；同理可得：，故答案为：，； 拓展应用：解：连接，，，， ，，，，， ，；设，， ，，，， ，，． 8．（2024·黑龙江牡丹江·模拟预测）在菱形中，点、点分别在边、所在直线上，分别连接、，且满足． (1)若，点在线段上时，如图1，求证：；（提示：过点M作交直线于点F） (2)若，点在线段延长线上时，如图2；若，点M在线段反向延长线上时，如图3；直接写出线段间的数量关系，不需要证明； (3)在（1）和（2）的条件下，，，则_________． 【答案】(1)详见解析(2)图②的结论：；图③的结论：(3)或 【详解】（1）证明：过点作交直线于点， 四边形是菱形，，， ，，， 是等腰直角三角形，，， ，，，， 在和中，，，， ，，； （2）（2）解：图②的结论：，理由如下： 如图②，过点作交延长线于点， 四边形是菱形，，， ，，， 是等腰直角三角形，，， ，，在和中， ，，， ，； 图③的结论：，理由如下：过点作交直线于点， 四边形是菱形，，，， ，，， 是等腰直角三角形，，，， ，，在和中，， ，，，； （3）解：如图②，过点作于点， 四边形是菱形，，，是等腰直角三角形，， ，，， ，；，； 如图①，同理由，，， ，，，； 如图③同理，，，不符合题意舍去． 综上所述：的长为或． 9．（24-25九年级上·河南周口·期中）综合与实践：综合与实践课上，老师让同学们以“三角形与旋转”为主题开展数学活动． 如图1，在直角三角形中，，，边的长为2． (1)操作发现 操作：分别取边、的中点、，连接，则的比值为________． (2)变换探究：将绕点逆时针旋转得到，连接、，得到和，直线与直线相交于点，在旋转过程中的比值是否发生变化？直线与直线相交所形成的夹角（不超过）的大小是否发生变化？请就图2说明理由． (3)拓展应用：在旋转过程中，当为等腰三角形时，请直接写出的面积． 【答案】(1)(2)不变，不变(3)或 【详解】（1）解：∵，，，∴，∴， ∵、分别为边、的中点，∴，∴； （2）的比值不变；∵旋转，∴，， ∴，，∵， ∴，∴，， 设与交于点，∴，∵，∴， ∴直线与直线相交所形成的夹角（不超过）的大小为定值，不发生改变； （3）①当时，如图，过点作，则， 由（2）知，∴，∴， ∴，∴； ②当时，过点作，设， ∵，∴，∴， 在中，由勾股定理，得：，∴， 解得：，∴．综上：的面积为或． 10．（24-25九年级上·辽宁大连·期中）【问题背景】数学课上，我们以等腰直角三角形为背景，利用旋转的性质研究线段和角的关系．老师给出了下面的已知条件：在中，，，点是边上的一动点，点是外任意一点，过点与点作射线，将射线绕点逆时针旋转90°得到射线． 【问题初探】（1）如图1，点与直角顶点重合，射线交边于点，点在射线上，且满足，连接．求证：，． 【问题深探】（2）如图2，点在直角边上，射线恰巧经过点，点在射线上，且满足，连接．请直接写出，，之间的数量关系是______________． 【问题拓展】（3）点在斜边上，且，射线交边于点，射线交边于点．①如图3，当，，时，求线段的长； ②如图4，连接，请直接写出，，之间的数量关系____________（用含的代数式表示）． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）①；② 【详解】（1）证明：，， 又，．          ，，      ，       ，，．                   （2）如图，过作交延长线于点，则， ，， ，，，， ，，，， 是等腰直角三角形，， 是等腰直角三角形， 故答案为：；      （3）①方法一：解：过点作于点，于点，． ，．  ． ，，．，，， ，．．             设，，，，，． ．，．                  ，．     方法二：解：过点作于点，过点作交于点．， ，．．，．． ，，． ，．．．．         ，，．，，，，． ，            ②如图，作交于点，则，，， 根据四边形内角和可得出， ，，， 在中，，， 即，故答案为：． 1．（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，在半径为6，圆心角为的扇形的圆弧上有一动点从向运动，连接、，、是的中线，且与的交点是，则的运动路径长是（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】、是的中线，且与的交点是， 如图所示，       则是的重心，，即，， 如图，在上取点使，连接，则， 又，，，， ，即点在以为圆心，2为半径的圆弧上运动， 当重合时，则，当重合时，在上，的运动路径为，如图所示， 则，的运动路径长是，故选：D． 2．（24-25九年级上·北京·期中）如图，已知点是直线外一点，于点，且，点B，C均在直线上，，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：如图，作的外接圆，连接、、，过点作于点，则，，， ，，设，则，， ，，，解得：， ，最小值为，故答案为：． 3．（23-24九年级上·广东广州·期中）如图，在正方形中，，点E，F在对角线上，且，将绕点C旋转一定角度后，得到，连接．则下列结论： ①；②；③平分；④的面积等于； 其中正确的结论是 ．（填写所有正确结论的序号） 【答案】①②③ 【详解】解：四边形是正方形，，， ，， 将绕点旋转一定角度后，得到， ，，，， ，，故①正确， ，，，∴ ，，，平分，故③正确， ，，，故②正确， ，，∴， ∴的面积，故④错误；故答案为：①②③． 4．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）如图，在平面直角坐标系中，边长为4的菱形的顶点分别在轴，轴的正半轴上移动，点之间的距离为4，连接，则线段长度的最大值为 ． 【答案】 【详解】解：连接，由题意得， ∴和是等边三角形，∴，如图，取的中点E，连接，， ∵边长为4的菱形，的中点E，∴，，∴， ∵在中，，∴， ∴当三点共线时最大，最大值为，故答案为： ． 【点睛】本题考查了勾股定理，等边三角形的性质与判定，菱形的性质，坐标与图形，化为最简二次根式，作出合适的辅助线是解本题的关键． 5．（24-25九年级上·江西景德镇·期中）马超同学在学完相似三角形的性质后对截任意三角形边的线段展开了如下探究：如图①，中，点、分别是边、的中点，连接、、线段、交于点，已知的面积为12． （1）__________；__________；（2）_____； 如图②，中，点为边上的动点，过点作射线分别交边及边的延长线于点、，此时，马超同学发现，线段与的三边（或其延长线）都产生了交点，他把线段称为的的截线段； 深入探究：（3）截线段上的三个交点、、与的三个顶点、、所组成的线段（特别是交点所在边所形成的线段如、、等）之间是否存在某种数量关系？爱思考的马超同学立刻展开探究； 根据已有的知识经验，为了找线段之间的关系，可尝试先考虑线段的比，因此，可尝试构造平行线从而得到相似三角形，进而得出线段之间比的关系：对任意，过点作交线段的延长线于点，易得，通过多次对比，马超得出了的重要结论，请根据图②沿着马超的思路尝试着证明该结论； 通过以上结论，马超同学发现了一个有趣的事实，对于结论，该结论从结构上看，作为分子的三条线段首字母为的三个顶点（、、顺序排列），而作为分母的三条线段的第二个字母恰为上方三个字母的延续如，而如字母、、恰为线段、、边上（或延长线上）的点． 方法应用：（4）如图③，中，、、为边、、上的点，，，若点为的中点，连接交线段于点，请直接写出的值． 【答案】（1），；（2）；（3）见解析；（4）． 【详解】解：（1）∵的面积为12，点是边的中点，∴ 如图所示，连接 设，∵点、分别是边、的中点， ∴，∴ ∵是的中点∴，∴ ∵是的中点∴∴ 由∵∴∴∴即 （2）∵的面积为12．由（1）可得∴即，故答案为：． （3）由题意知，，，∴． （4）如图所示，延长，交于点， 由（3）可得：， ∵，，∴，∴， 设，则，∵点为的中点，∴ ∴，∴∴ 6．（24-25九年级上·辽宁铁岭·阶段练习）如图1，在菱形中，，射线以点为旋转中心，从位置开始逆时针旋转，旋转角为，点E与点C关于成轴对称，连接并延长与交于点F，连接．(1)试判断的形状，并说明理由；(2)当点为中点时，求此时旋转角的度数；(3)若，直接写出的值． 【答案】(1)等边三角形，理由见解析(2)(3)或 【详解】（1）解：是等边三角形，理由如下： 如图所示，连接四边形是菱形，， 关于对称，，，， 在四边形中， 又是等边三角形． （2）解：连接，为中点，， 又是等边三角形，，，， ，，，， 在菱形中，，，，， 又，与重合，，平分，旋转角； （3）解：当在点同侧时，过点作与点， ，∴可设，，， ，，，由轴对称的性质可得 ∴在中，，， 和是等边三角形，，，， ∴，∴，， 在中，，，； 当在点异侧时，过点作与点，，∴可设设，，， ，，，同理可得， ∴，，和是等边三角形， ，，，∴， ∴， 在中，，，． 综上所述，的值为或． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，旋转的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，轴对称的性质，全等三角形的性质与判定等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 7．（24-25九年级上·贵州毕节·期中）【问题提出】（1）如图1，在中，对角线平分．求证：四边形是菱形． 【问题探究】（2）如图2，点E在正方形内，点F在正方形外，连接，且．若，求的长． 【问题解决】（3）如图3，某公园内有一块平行四边形草坪，其中平分，，点E，P分别在上，且，连接．现要沿修建步行景观道，为了节省成本，要使所修的步行景观道最短，试求的最小值．（路面宽度忽略不计） 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，，． 平分，，，，∴四边形是菱形． （2）解：∵四边形是正方形，． 在和中，， ，． ，，，． （3）解：∵四边形为平行四边形，平分， ∴由（1）可知，四边形为菱形，，． 如图，过点A作，取，连接． 在和中，， ，，． 连接，当G，E，C三点共线时，取得最小值，最小值为． 在菱形中，， 是等边三角形，， ， ，故的最小值为． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定与性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理等知识，有一定的综合性，证明全等三角形是解题的关键． 8．（24-25九年级上·云南楚雄·期中）如图，以线段上一点为圆心，为半径画圆，交于点，点是异于点，的上一点，过点作，交延长线于点，连接，且． (1)求证：是的切线；(2)若，求的半径；(3)若，如图，以为圆心，为半径画弧交射线于点（与不重合），为的中点，判断点是否在一个圆上？如果在，请求出这个圆的半径；如果不在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析(2)(3)点在一个圆上，这个圆的半径为 【详解】（1）证明：如图，连接，∵，∴， ∵，∴，∵，∴，∴， ∴，∴，∴， ∵为的半径，∴是的切线； （2）解：∵，∴，∴， ∵，∴，∴，连接， ∵是的直径，∴，∴， ∵，∴∴，∴的半径为； （3）解：点在一个圆上，理由如下：连接， ∵为的中点，∴，∴，∵，∴， ∵，，∴，∴，∴， ∵，∴点四点共圆，即点在一个圆上； ∵，∴，，∴， ∵，∴，∴， ∴，∵，，∴， ∴，，∴，∴， ∵，，∴，∴，∴， ∴，∴，∴， ∵,∴为点所在圆的直径，∴这个圆的半径为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题15 几何综合训练 （特殊平行四边形、相似、解锐角三角形、圆） 内容早知道 ☛第一层 巩固提升练 ☛第二层 能力培优练 ☛第三层 拓展突破练 1．（2024·山东德州·二模）如图是4000多年前龙山文化中的蛋壳黑陶高柄杯．它的器壁非常薄，口沿最薄处在0.2－0.5毫米之间．“黑如漆、明如镜、薄如纸、声如磬”这12个字点透了它的精髓所在．以下关于该蛋壳黑陶高柄杯的说法正确的是（   ） A．主视图与俯视图相同 B．主视图与左视图相同 C．左视图与俯视图相同 D．三种视图都相同 2．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）下列各种现象中，属于平行投影的是（   ） A．皮影戏中的影子 B．阳光下旗杆的影子 C．台灯下的笔筒的影子 D．汽车灯光照射下行人的影子 3．（24-25九年级上·山西运城·期中）我们在学习书法的初期需要经历临摹阶段，黄金格是一种临摹时的习字格．如图，正方形是黄金习字格的边框，正方形内四条线段为黄金分割线，其端点都在边框上，且均为各边框的黄金分割点．若，则两条黄金分割线之间的距离的长为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·浙江绍兴·期中）计算机处理任务时，经常会以圆形进度条的形式显示任务完成的百分比．下面是同一个任务进行到不同阶段时进度条的示意图，当任务完成的百分比为时，线段的长度记为．下列描述正确的是（   ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 5．（23-24八年级下·天津·阶段练习）如图，矩形对角线，相交于点，为上一点，连接，为的中点，．若，则的长为 ．    6．（23-24·上海·九年级阶段练习）在等腰△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D，G是重心，若AG=9cm，则GD=_______cm． 7．（24-25九年级上·山东淄博·期中）小明为测量某棵树的高度，绘制了如图所示的测量示意图（点表示树的底部，点表示树的顶端），已知于点，点在线段上，米，且．若设树顶到地面的高度米，则为求得树高可列出关于的方程为 ． 8．（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）如图，在中，以为圆心，长为半径画弧交于，分别以、为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，，，则的长为 ． 9．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期中）某校学生开展综合实践活动，测量操场上旗杆的高度，同学们设计了如下两个测量方案： 活动目的 测量操场上旗杆的高度 活动方案 方案一：利用阳光下的影子 方案二：利用镜子的反射 示意图       实施过程 ①同学站在操场上E点处，测量同学的身高； ②测量同学在操场上的影长； ③在同一时刻，测量旗杆的影长． ①在与旗杆底部位于同一水平面的C点处，放置一面镜子； ②测量镜子到旗杆的距离； ③观测者调整位置，直至通过镜子刚好看到旗杆顶部A； ④测量观测者到镜子的距离； ⑤测量观测者眼睛距离地面的高度． 测量数据 ，， ，， 请你从以上两种方案中任选一种，计算操场上旗杆的高度． 10．（24-25九年级上·上海嘉定·期中）如图，点D在的边上，点E在的边的延长线上，联结交于边于点F且(1)求证：(2)联结，如果，求证： 11．（24-25九年级上·重庆·期中）打铁花，是流传于豫晋地区民间传统的烟火，国家级非物质文化遗产之一，铁花飞溅，寓意着生活多姿多彩．春节前夕，在渝北区龙湖天街广场举行了一次打铁花表演．小明家在点A处，表演场地C在小明家北偏东．小明有两种方式去看表演，路线①从A经过一段楼梯到达点D，，再沿到达C处，已知点C在点D的东北方向处；路线②从A出发沿正东方向到达点B，再沿正北方向到点C处．（A、B、C、D在同一平面内）（参考数据：，，，(1)求楼梯的长度；(2)小明计划出门，如果选择路线①只能走路，走路的最快速度是，如果选择路线②则可以跑步，跑步的平均速度是，表演正式开始时间是，小明能赶在表演前到达点C处吗？如果能，选择哪条路线，如果不能，具体说明原因（数据保留1位小数）． 12．（24-25九年级上·浙江绍兴·期中）如图，在中，CD是直径，弦，垂足为点E，连接AC，AD．(1)求证：．(2)若，，求的长度． 13．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）如图，已知．(1)在上求作点，使与的长度比为；（用直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不写作法）；(2)连接，若，上的点到的大距离为2，求所在圆的半径长．（如果需要图形，请使用备用图） 14．（24-25九年级上·江苏南通·期中）小明同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易． (1)【学习心得】如图1，在中，，，求的度数，若以点A为圆心，为半径作辅助圆，则点C、D必在上，是的圆心角，而是圆周角，可得 ； (2)【问题解决】如图2，在四边形中，．求证：；(3)【问题拓展】在平面直角坐标系中，A为y轴上一点．若点，．当最大时，求点A的坐标． 1．（24-25九年级上·江苏泰州·期中）在中，，斜边为c，，所对的直角边分别为a，b（），斜边上的高．下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）如图，在的内接四边形中，，过点作的垂线交延长线于．则下列结论：①平分；②若点是中点，则平行于的某条角平分线；③若，，则；④若，，则，其中正确的有（   ） A．①③ B．①②④ C．②④ D．①②③④ 3．（24-25八年级上·广西南宁·阶段练习）如图，在菱形中，，，点P为线段上不与端点重合的一个动点．过点P作直线、直线的垂线，垂足分别为点、点．连结，在点的运动过程中，的最小值等于（    ）． A．7 B．7.8 C．13 D．13.8 4．（24-25九年级上·北京·期中）如图，正方形边长为4，E、F分别是边、上的点，、交于点P，当时，的最小值为 ． 5．（24-25九年级上·江苏镇江·阶段练习）如图所示，矩形纸片中，，把它分割成正方形纸片和矩形纸片后，分别裁出扇形和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的底面和侧面，则圆锥的侧面积为 ． 6．（24-25九年级上·山西太原·期中）如图，正方形中，点是的中点，与关于所在直线对称，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，射线交于点．若，则线段的长为 ． 7．（24-25九年级上·上海黄浦·期中）上海教育出版社九年级第一学期《练习部分》第48页复习题B组第2题及参考答案． 2．如图，图中提供了一种求的方法，阅读并填空： 先作，其中，；然后延长到点，使，连接． （1）．（2）设，那么（用t的代数式表示，以下同），．（3）． 某数学兴趣小组在完成了以上解答后，决定对该问题进一步探究： 【知识迁移】在中，，，那么____；____． 【拓展应用】如图，在中，，，，点、分别在边、上，且，，连接、交于点，求的值． 8．（2024·黑龙江牡丹江·模拟预测）在菱形中，点、点分别在边、所在直线上，分别连接、，且满足． (1)若，点在线段上时，如图1，求证：；（提示：过点M作交直线于点F）(2)若，点在线段延长线上时，如图2；若，点M在线段反向延长线上时，如图3；直接写出线段间的数量关系，不需要证明； (3)在（1）和（2）的条件下，，，则_________． 9．（24-25九年级上·河南周口·期中）综合与实践：综合与实践课上，老师让同学们以“三角形与旋转”为主题开展数学活动． 如图1，在直角三角形中，，，边的长为2． (1)操作发现 操作：分别取边、的中点、，连接，则的比值为________． (2)变换探究：将绕点逆时针旋转得到，连接、，得到和，直线与直线相交于点，在旋转过程中的比值是否发生变化？直线与直线相交所形成的夹角（不超过）的大小是否发生变化？请就图2说明理由． (3)拓展应用：在旋转过程中，当为等腰三角形时，请直接写出的面积． 10．（24-25九年级上·辽宁大连·期中）【问题背景】数学课上，我们以等腰直角三角形为背景，利用旋转的性质研究线段和角的关系．老师给出了下面的已知条件：在中，，，点是边上的一动点，点是外任意一点，过点与点作射线，将射线绕点逆时针旋转90°得到射线． 【问题初探】（1）如图1，点与直角顶点重合，射线交边于点，点在射线上，且满足，连接．求证：，． 【问题深探】（2）如图2，点在直角边上，射线恰巧经过点，点在射线上，且满足，连接．请直接写出，，之间的数量关系是______________． 【问题拓展】（3）点在斜边上，且，射线交边于点，射线交边于点．①如图3，当，，时，求线段的长； ②如图4，连接，请直接写出，，之间的数量关系____________（用含的代数式表示）． 1．（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，在半径为6，圆心角为的扇形的圆弧上有一动点从向运动，连接、，、是的中线，且与的交点是，则的运动路径长是（   ）    A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·北京·期中）如图，已知点是直线外一点，于点，且，点B，C均在直线上，，则的最小值为 ． 3．（23-24九年级上·广东广州·期中）如图，在正方形中，，点E，F在对角线上，且，将绕点C旋转一定角度后，得到，连接．则下列结论： ①；②；③平分；④的面积等于； 其中正确的结论是 ．（填写所有正确结论的序号） 4．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）如图，在平面直角坐标系中，边长为4的菱形的顶点分别在轴，轴的正半轴上移动，点之间的距离为4，连接，则线段长度的最大值为 ． 5．（24-25九年级上·江西景德镇·期中）马超同学在学完相似三角形的性质后对截任意三角形边的线段展开了如下探究：如图①，中，点、分别是边、的中点，连接、、线段、交于点，已知的面积为12． （1）__________；__________；（2）_____； 如图②，中，点为边上的动点，过点作射线分别交边及边的延长线于点、，此时，马超同学发现，线段与的三边（或其延长线）都产生了交点，他把线段称为的的截线段； 深入探究：（3）截线段上的三个交点、、与的三个顶点、、所组成的线段（特别是交点所在边所形成的线段如、、等）之间是否存在某种数量关系？爱思考的马超同学立刻展开探究； 根据已有的知识经验，为了找线段之间的关系，可尝试先考虑线段的比，因此，可尝试构造平行线从而得到相似三角形，进而得出线段之间比的关系：对任意，过点作交线段的延长线于点，易得，通过多次对比，马超得出了的重要结论，请根据图②沿着马超的思路尝试着证明该结论； 通过以上结论，马超同学发现了一个有趣的事实，对于结论，该结论从结构上看，作为分子的三条线段首字母为的三个顶点（、、顺序排列），而作为分母的三条线段的第二个字母恰为上方三个字母的延续如，而如字母、、恰为线段、、边上（或延长线上）的点． 方法应用：（4）如图③，中，、、为边、、上的点，，，若点为的中点，连接交线段于点，请直接写出的值． 6．（24-25九年级上·辽宁铁岭·阶段练习）如图1，在菱形中，，射线以点为旋转中心，从位置开始逆时针旋转，旋转角为，点E与点C关于成轴对称，连接并延长与交于点F，连接．(1)试判断的形状，并说明理由；(2)当点为中点时，求此时旋转角的度数；(3)若，直接写出的值． 7．（24-25九年级上·贵州毕节·期中）【问题提出】（1）如图1，在中，对角线平分．求证：四边形是菱形． 【问题探究】（2）如图2，点E在正方形内，点F在正方形外，连接，且．若，求的长． 【问题解决】（3）如图3，某公园内有一块平行四边形草坪，其中平分，，点E，P分别在上，且，连接．现要沿修建步行景观道，为了节省成本，要使所修的步行景观道最短，试求的最小值．（路面宽度忽略不计） 8．（24-25九年级上·云南楚雄·期中）如图，以线段上一点为圆心，为半径画圆，交于点，点是异于点，的上一点，过点作，交延长线于点，连接，且． (1)求证：是的切线；(2)若，求的半径；(3)若，如图，以为圆心，为半径画弧交射线于点（与不重合），为的中点，判断点是否在一个圆上？如果在，请求出这个圆的半径；如果不在，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$