专题08 利用三角函数解决实际问题-2021-2022学年九年级数学寒假专题提优训练（北师大版）

2021-2022学年九年级数学寒假专题提优训练（北师大版） 专题08 利用三角函数解决实际问题 【典型例题】 1．（2021·全国·九年级专题练习）图①是一种手机平板支架，由托板、支撑板和底座构成，手机放置在托板上，托板长AB＝115mm，支撑板长CD＝70mm，且CB＝35mm，托板AB可绕点C转动 （1）当∠CDE＝60°时， ①求点C到直线DE的距离（计算结果保留根号）； ②若∠DCB＝70°时，求点A到直线DE的距离（计算结果精确到个位）； （2）为了观看舒适，把（1）中∠DCB＝70°调整为90°，再将CD绕点D逆时针旋转，使点B落在DE上，则CD旋转的角度为 　 　．（直接写出结果） （参考数据：sin50°≈0.8，cos50°≈0.6，tan50°≈1.2，sin26.6°≈0.4，cos26.6°≈0.9，tan26.6°≈0.5，≈1.7） 【答案】（1）①；②124mm；（2）33.4° 【分析】 （1）①过点C作CG∥DE，过点A作AH⊥CG于H，过点C作CF⊥DE于点F，根据60°角的正弦可得点C到直线DE的距离CF的长；②在Rt△ACH中，解直角三角形可得AH的长，再根据点A到直线DE的距离为AH+CF可得答案． （2）画出符合题意的图形，在Rt△B′C′D中，解直角三角形可得∠B′DC′的度数，则CD旋转的角度等于∠CDE﹣∠B′DC′． 【详解】 解：（1）①过点C作CG∥DE，过点A作AH⊥CG于H，过点C作CF⊥DE， 则点C到直线DE的距离为CF， 在Rt△CDF中， ∵sin∠CDE＝， ∴CF＝CD•sin60°＝70×＝35． ②由图可知，点A到直线DE的距离=AH+CF． ∵∠DCB＝70°， ∴∠ACD＝180°﹣∠DCB＝110°， ∵CG∥DE， ∴∠GCD＝∠CDE＝60°． ∴∠ACH＝∠ACD﹣∠DCG＝50°． 在Rt△ACH中， ∵sin∠ACH＝， ∴AH＝AC•sin∠ACH＝（115﹣35）×sin50°≈80×0.8＝64mm， ∴点A到直线DE的距离为AH+CF＝35+64≈124mm． （2）如下图所示，虚线部分为旋转后的位置，C的对应点为C′， 则B′C′＝BC＝35mm，DC′＝DC＝70mm． 在Rt△B′C′D中， ∵tan∠B′DC′＝， ∴∠B′DC′＝26.6°． ∴CD旋转的角度为∠CDC′＝∠CDE﹣∠B′DC′＝60°﹣26.6°＝33.4°． 故答案为：33.4°． 【点睛】 本题主要考查解直角三角形的实际应用，添加辅助线构造直角三角形是解题的关键． 【专题训练】 1、 解答题 1．（2021·湖南绥宁·九年级阶段练习）某过街天桥的截面图为梯形，如图所示，其中天桥斜面的坡度为，的长为，天桥另一斜面的坡角． （1）写出过街天桥斜面的长度； （2）若决定对该过街天桥进行改建，使斜面的坡度变缓，将其坡角改为，方便过路群众，改建后斜面为，试计算此改建需占路面的宽度的长． 【答案】（1）；（2） 【分析】 （1）过点D作DE⊥BC于E，作AG⊥BC于G，根据求出∠C＝30°，从而可以得到；由四边形AGED是矩形即可得AG=DE=5m，在Rt△AGB中，∠ABG＝45°，即可求AB长， （2）在Rt△AGB中，∠ABG＝45°，则可以得到BG＝AG=5m，再根据求出，由此求出． 【详解】 解：（1）作垂直于于点，作垂直于于点， ， ， ， ， ， ， ， （2）， ，BG=AG=5m， 【点睛】 本题主要考查了解直角三角形，含30度角的直角三角形的性质，坡度是坡面的铅直高度与水平宽度的比，它等于坡角的正切值．解题的关键在于能够熟练掌握解梯形问题常作出它的两条高，构造直角三角形求解． 2．（2021·广东龙华·九年级阶段练习）如图，某大楼的顶部竖有一块广告牌CD，小明与同学们在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为53°，沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45°，已知山坡AB的坡度i＝1：，AB＝10米，AE＝21米．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73，sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈） （1）求点B距水平地面AE的高度； （2）求广告牌CD的高度．（结果精确到0.1米） 【答案】（1）点B距水平地面AE的高度为5米；（2）广告牌CD的高度约为6.7米 【分析】 （1）过点B作BM⊥AE，BN⊥CE，垂足分别为M、N，由坡度的含义可求得∠BAM=30゜，由含30度角的直角三角形的性质即可求得结果； （2）由辅助线作法及已知得四边形BMEN是矩形，可得NE=BM，BN=ME=MA+AE，在Rt△BMA中可求得AM的长，从而可得BN；再由∠CBN=45゜可得CN=BN