精品解析：江西省九江市同文中学2024-2025学年九年级上学期第二次月考数学试题

九江市同文中学2024-2025学年度上学期统一练习 九年级数学 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 如图为一个积木示意图，这个几何体的左视图为（ ） A. B. C. D. 2. 一个不透明的布袋中装有黄色和白色的乒乓球共20个，这些乒乓球除颜色外其他都相同．小枫通过多次摸球试验后发现摸到黄色乒乓球的频率稳定在0.4左右，由此估计布袋中黄色乒乓球有（　　） A 4个 B. 8个 C. 10个 D. 14个 3. 在中，，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 4. 给出下列命题： ① 对角线相等且互相平分的四边形是矩形； ② 对角线平分一组对角的平行四边形是菱形； ③ 对角线互相垂直的矩形是正方形； ④ 对角线相等的菱形是正方形； 其中是真命题的有（ ）个． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 5. 若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，正方形中，为对角线上的一点，，连接并延长交于点．若，则正方形的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 如果反比例函数的图像经过第一、三象限，那么k的取值范围是_______． 8. 如图是初三某班学习小组设计用手电筒来测量逸夫楼高度的示意图．点处放一水平的平面镜，光线从点出发经平面镜反射后刚好射到逸夫楼的顶端处，已知，，且测得，，，那么逸夫楼的高度为 ______． 9. 若，是方程的两个根，则的值是________． 10. 如图，在边长为的正方形中，是的中点，在上，且，是对角线上一动点，则的最小值是________． 11. 对于反比例函数，当时，y的取值范围是_______． 12. 如图，点A在双曲线（，）上，点在直线：（，）上，A与关于轴对称，直线与轴交于点，当四边形是菱形时，有以下结论：①②当时，③④则所有正确结论的序号是______． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 计算： （1） （2）． 14. 如图是的正方形网格，已知，请按下列要求完成作图（要求保留作图痕迹，不要求写作法和结论） （1）在图中，仅用无刻度直尺在线段上找一点M，使得； （2）在图中，以为公共角，仅用无刻度直尺在线段、上分别找一点P、Q，使与相似但不全等． 15. 已知：如图，是的高，，．求． 16. 如图，点，在线段上，是等边三角形，． （1）求证：； （2）若，，求的长度． 17. 如图，四边形中，ADBC，．对角线交于点平分交于点，连接． （1）求证：四边形矩形； （2）若，=，求△的面积． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 新学期伊始，某校运用今年流行的“A：龙行龘龘，B：前程朤朤，C：德行垚垚，D：身体骉骉”等祝福热词制作贺卡开展“龙年送祝福”活动，为了解学生对这四个热词的喜爱程度，随机对部分学生进行调查，要求每名学生从中选择自己最喜欢的一个，并将结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图． 根据图中所给信息解答下列问题： （1）这次抽样调查共抽取_________人，并补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数） （2）若该校有1500名学生，估计喜爱热词“前程朤朤”的学生共有___________人； （3）学校要从，，，四个词制作的四张贺卡中，随机抽出两张送给九（1）班的同学，请用列表或画树状图的方法，求抽出的两张贺卡恰好是“前程朤朤”和“身体骉骉”的概率． 19. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． （1）求反比例函数的表达式； （2）观察图象，直接写出不等式的解集； （3）若点P为x轴上的一动点． 连接，当的面积为时，求点P的坐标． 20. 某商场于今年年初以每件60元的进价购进一批商品．当商品售价为每件80元时，一月份销售64件，二、三月该商品十分畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，三月底的销售量达到100件，设二、三这两个月的销售量月平均增长率不变． （1）求第二、三这两个月的销售量月平均增长率； （2）从四月份起，在三月份销量的基础上，商场决定降价促销．经调查发现，该商品每降价1元，销售量增加10件．为尽可能让利顾客，赢得市场，问：该商品售价定为多少时，商场当月获利2160元？ 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 阅读材料：对于一个关于x的一元二次方程（其中，a、b、c为常数）的两根分别为，我们有如下发现：①若为整数，则这个一元二次方程的判别式一定为完全平方数；②满足韦达定理：即；③韦达定理也有逆定理，即如果两数和满足如下关系：，那么这两个数和是方程的两个根．例如：若实数a，b满足，那么a和b是方程的两个根，请应用上述材料解决以下问题： （1）若实数是关于x的一元二次方程的两个根． ①当时，则___________，___________； ②若均为整数且，求m值； （2）已知实数p，q满足，求的值． 22. 如图，直线与双曲线的交点为，与轴的交点为． （1）求度数； （2）求的长； （3）已知点为双曲线上的一点，当时，求点的坐标． 六、解答题（本大题共12分） 23. 平移图形是解答几何题目时一种重要的添加辅助线策略． 如图①，在正方形中，E、F、G分别是、、上的点，于点Q．求证：． 小鹿在分析解题思路时想到了两种平移法： 方法一：平移线段使点F与点B重合，构造全等三角形； 方法二：平移线段使点B与F重合，构造全等三角形； 【尝试应用】 （1）请按照小鹿的思路，选择其中一种方法进行证明； （2）如图②，点E、F、G、H分别是矩形边、、、上的点，且，若，，求的值； 【拓展探究】 （3）如图③，点E、F分别是平行四边形边、上的点，连接、交于点G，若，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九江市同文中学2024-2025学年度上学期统一练习 九年级数学 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 如图为一个积木示意图，这个几何体的左视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查简单组合体的三视图，熟练掌握左视图即从左边看到的图形，正视图即从正面看到的图形，俯视图即从上面看到的图形是解题的关键． 根据左视图是从左边看到的图形求解即可． 【详解】解：从左边看这个几何体，看到的图形为． 故选：A． 2. 一个不透明布袋中装有黄色和白色的乒乓球共20个，这些乒乓球除颜色外其他都相同．小枫通过多次摸球试验后发现摸到黄色乒乓球的频率稳定在0.4左右，由此估计布袋中黄色乒乓球有（　　） A. 4个 B. 8个 C. 10个 D. 14个 【答案】B 【解析】 【分析】本题利用了利用频率估计概率．在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，即可求解． 【详解】解：∵小枫通过多次摸球试验后发现摸到黄色乒乓球的频率稳定在0.4左右， ∴黄色乒乓球的概率为0.4， ∴（个）， 答：估计盒子中黄色乒乓球的个数有8个， 故选：B． 3. 在中，，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数的正弦，余弦，正切是解题的关键．根据锐角三角函数的定义进行计算即可解答． 【详解】解：在中，，，， ， ， 故选：C． 4. 给出下列命题： ① 对角线相等且互相平分的四边形是矩形； ② 对角线平分一组对角的平行四边形是菱形； ③ 对角线互相垂直的矩形是正方形； ④ 对角线相等的菱形是正方形； 其中是真命题的有（ ）个． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】根据矩形的判定、菱形的判定以及正方形的判定判断即可． 【详解】解：①对角线相等且互相平分的四边形是矩形，是真命题 ②对角线平分一组对角的平行四边形是菱形，是真命题 ③对角线互相垂直的矩形是正方形，是真命题 ④对角线相等的菱形是正方形，是真命题； 故选：D． 【点睛】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理． 5. 若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的性质，解题的关键是掌握反比例函数的性质．由题意易得，然后利用反比例函数的性质求解即可． 详解】解：由反比例函数，可知：， 反比例函数的图象在二、四象限， 点、在第四象限且点在点的左侧，点在第二象限， ． 故选：B． 6. 如图，正方形中，为对角线上的一点，，连接并延长交于点．若，则正方形的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质与判定等等，先根据正方形的性质、三角形全等的判定证出，得到，再根据等腰三角形的性质可得，从而可得，过点M作于N，则是等腰直角三角，则，则，据此可得答案． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图所示，过点M作于N，则是等腰直角三角， ∴， ∴， ∴， ∴正方形的长为， 故选：A 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 如果反比例函数的图像经过第一、三象限，那么k的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数图象的性质，解不等式，对于反比例函数，当时，图象在第一、三象限，当时，图象在第二、四象限，据此可得，解不等式即可得到答案． 【详解】解：∵反比例函数的图像经过第一、三象限， ∴， ∴， 故答案为：． 8. 如图是初三某班学习小组设计用手电筒来测量逸夫楼高度的示意图．点处放一水平的平面镜，光线从点出发经平面镜反射后刚好射到逸夫楼的顶端处，已知，，且测得，，，那么逸夫楼的高度为 ______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，利用入射与反射得到，则可判断，于是根据相似三角形的性质即可求出，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：根据题意得， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， 解得：， ∴逸夫楼的高度约为， 故答案为：． 9. 若，是方程的两个根，则的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，根据题意得，，再代入代数式计算即可．解题的关键是掌握：如果的两个实数根是，那么，． 【详解】解：∵，是方程的两个根， ∴，， ∴， ∴的值是． 故答案为：． 10. 如图，在边长为的正方形中，是的中点，在上，且，是对角线上一动点，则的最小值是________． 【答案】 【解析】 【分析】找到点F关于AC的对称点M，连接EM，求出EM的长度，即为PF+PE的最小值． 【详解】解：在上取点，使，连接，交于点，如图所示． ∵四边形ABCD是正方形，是关于直线AC的轴对称图形， ∴点M与点F关于直线AC对称． ∴． ∴． 即的长为的最小值． 过点作于点，则∠MNB=90°． ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠DAB=∠B=90°． ∴∠MNB=∠DAB=∠B =90°． ∴四边形ABNM是矩形． ∴MN=AB=4，BN=AM=1． ∵E是BC的中点，BC=4， ∴． ∴NE=BE-BN=2-1=1． ∴， ∴的最小值为． 故答案为： 【点睛】本题考查了正方形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理、最短路径等知识点，熟知上述有关图形的判定与性质是解题的基础，掌握求最短路径的过程和方法是解题的关键． 11. 对于反比例函数，当时，y的取值范围是_______． 【答案】或##或 【解析】 【分析】本题考查反比例函数图像与性质，由题中信息确定反比例函数的增减性是解决问题的关键．分为和两部分来求解． 【详解】解：当时，． 当时，图象在第三象限，y随x的增大而减小， ∴； 当时，图象在第一象限，y随x的增大而减小， ∴． 综上可知，当时，y的取值范围是或． 故答案为：或． 12. 如图，点A在双曲线（，）上，点在直线：（，）上，A与关于轴对称，直线与轴交于点，当四边形是菱形时，有以下结论：①②当时，③④则所有正确结论的序号是______． 【答案】②③##③② 【解析】 【分析】①根据菱形的性质和勾股定理计算点A的坐标即可判断；②根据①中的坐标，直接将代入即可判断；③先求出点B的坐标，再代入一次函数的解析式可判断；④根据菱形的面积=底边×高即可可解答． 【详解】解：如图：①中，当时，， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∵A与关于轴对称， ∴，， ∴， ∴；故①不正确； ②当时，点A的坐标为：， ∴，故②正确； ③∵，与关于轴对称， ∴， ∵点在直线上， ∴， ∴，故③正确； ④菱形的面积，故④不正确； 所以本题结论正确的有：②③． 故答案为：②③． 【点睛】本题主要考查了反比例函数和一次函数的交点问题、坐标与图形性质、勾股定理，关于x轴对称、菱形的性质等知识点，掌握函数图象上的点满足对应函数的解析式是解本题的关键． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 计算： （1） （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，实数的混合运算，特殊角的三角函数值，熟练掌握相关内容是解题的关键； （1）根据因式分解法解一元二次方程，即可求解； （2）根据特殊角的三角函数值，化简绝对值，有理数的乘方进行计算即可求解． 【小问1详解】 解： ∴ ∴， 解得： 【小问2详解】 解： ． 14. 如图是的正方形网格，已知，请按下列要求完成作图（要求保留作图痕迹，不要求写作法和结论） （1）图中，仅用无刻度直尺在线段上找一点M，使得； （2）在图中，以为公共角，仅用无刻度直尺在线段、上分别找一点P、Q，使与相似但不全等． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了格点作图，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，全等的判定，根据相关知识点正确作图是解题关键． （1）取格点、，连接，与于点，利用相似三角形的判定和性质证明即可； （2）取格点、，连接、，与的交点为点，根据平行四边形的性质和相似三角形的判定和性质证明即可． 【小问1详解】 解：如图，取格点、，连接，与交于点， 设正方形网格的边长为1，则，， ， ， ， 点为所求作； 【小问2详解】 解：如图，取格点、，连接、，与的交点为点， 则四边形是平行四边形， ， ， ， 与不全等， 点和点为所求作． 15. 已知：如图，是的高，，．求． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了解直角三角形，熟练掌握解直角三角形的方法是解本题的关键．在直角三角形中，利用30度角的正切求得，然后利用45度角的余弦，求出的长即可． 【详解】解：在中，， ， ， 在中，， ， ． 16. 如图，点，在线段上，是等边三角形，． （1）求证：； （2）若，，求的长度． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】此题考查的是相似三角形的判定与性质，掌握其性质定理是解决此题的关键． （1）根据等边三角形的性质可得，由三角形的内角定理证明，即可证明结论； （2）根据相似三角形的性质及等边三角形的性质可得答案． 【小问1详解】 证明：为等边三角形， ． ， ， ． ， ， ， ． 【小问2详解】 解：， ， 为等边三角形， 设， ， 解得（负值舍去）， ． 17. 如图，在四边形中，ADBC，．对角线交于点平分交于点，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，=，求△的面积． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先根据平行线的性质可得，从而可得，再根据矩形的判定即可得证； （2）先根据含角的直角三角形的性质、勾股定理可得，再根据矩形的性质可得，根据角平分线的定义和直角三角形的性质可得，然后根据等腰三角形的判定可得，从而可得，最后利用三角形的面积公式即可得． 【小问1详解】 证明：， ， ∵， ， ∴四边形是矩形． 【小问2详解】 解：在中，， ， 由（1）已证：四边形是矩形， ， 平分， ， ， ， ， 则的面积为． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的判定等知识点，熟练掌握矩形的判定与性质是解题关键． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 新学期伊始，某校运用今年流行的“A：龙行龘龘，B：前程朤朤，C：德行垚垚，D：身体骉骉”等祝福热词制作贺卡开展“龙年送祝福”活动，为了解学生对这四个热词的喜爱程度，随机对部分学生进行调查，要求每名学生从中选择自己最喜欢的一个，并将结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图． 根据图中所给信息解答下列问题： （1）这次抽样调查共抽取_________人，并补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数） （2）若该校有1500名学生，估计喜爱热词“前程朤朤”的学生共有___________人； （3）学校要从，，，四个词制作的四张贺卡中，随机抽出两张送给九（1）班的同学，请用列表或画树状图的方法，求抽出的两张贺卡恰好是“前程朤朤”和“身体骉骉”的概率． 【答案】（1）200，见解析 （2）600 （3） 【解析】 【分析】本题考查了列表法求概率，条形统计图及扇形统计图，掌握统计的基本知识是解题的关键． （1）根据“总数数据百分比“列式计算，再计算的数据，再画条形图； （2）用1500乘以样本中喜爱热词“前程朤朤”的学生人数所占的百分比即可； （3）先列表，再根据简单事件的概率求解． 【小问1详解】 解：， （人， 补全的条形统计图如图所示： 故答案为：200； 【小问2详解】 解：（名）， 所以估计喜爱热词“前程朤朤”的学生共有600名， 故答案为：600； 【小问3详解】 解：A：龙行龘龘，B：前程朤朤，C：德行垚垚，D：身体骉骉 列表如下： 由表可知，一共存在12种等可能性结果，其中抽出的两张贺卡恰好是“前程朤朤”和“身体骉骉”的可能性有2种， 抽出的两张贺卡恰好是“前程朤朤”和“身体骉骉”的概率为． 19. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． （1）求反比例函数的表达式； （2）观察图象，直接写出不等式的解集； （3）若点P为x轴上的一动点． 连接，当的面积为时，求点P的坐标． 【答案】（1） （2）或 （3）或 【解析】 【分析】本题考查一次函数与反比例函数图象的交点问题： （1）把点代入一次函数解析式，求出的值，待定系数法求出的值即可； （2）图象法解不等式即可； （3）设直线与轴的交点为，设，根据的面积等于的面积加上的面积，列出方程进行求解即可． 【小问1详解】 解：把代入，得：， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 由图象可知：的解集为：或； 【小问3详解】 ∵， ∴当时，， ∴， 设直线与轴交于点，则：时，解得：， ∴， 设，则：， 由题意，得：的面积， 解得：或； ∴或． 20. 某商场于今年年初以每件60元的进价购进一批商品．当商品售价为每件80元时，一月份销售64件，二、三月该商品十分畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，三月底的销售量达到100件，设二、三这两个月的销售量月平均增长率不变． （1）求第二、三这两个月的销售量月平均增长率； （2）从四月份起，在三月份销量的基础上，商场决定降价促销．经调查发现，该商品每降价1元，销售量增加10件．为尽可能让利顾客，赢得市场，问：该商品售价定为多少时，商场当月获利2160元？ 【答案】（1） （2）72元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设二、三这两个月的销售量月平均增长率为，根据题意即可得出关于的一元二次方程，进行计算即可得； （2）设该商品售价定为元，则每件的销售利润为元，当月的销售量为件，根据总利润每件的销售利润月销售量，即可得出关于的一元二次方程，再结合“要尽可能让利顾客，赢得市场”，即可得出该商品售价应定为72元． 【小问1详解】 解：设二、三这两个月的销售量月平均增长率为， 依题意得， ， ， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：二、三这两个月的销售量月平均增长率为； 【小问2详解】 解：设该商品售价定为元，则每件的销售利润为元，当月的销售量为件， 依题意得：， 整理得：， 解得：，， 又要尽可能让利顾客，赢得市场， ， 即该商品售价定为72元时，商场当月获利2160元． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 阅读材料：对于一个关于x的一元二次方程（其中，a、b、c为常数）的两根分别为，我们有如下发现：①若为整数，则这个一元二次方程的判别式一定为完全平方数；②满足韦达定理：即；③韦达定理也有逆定理，即如果两数和满足如下关系：，那么这两个数和是方程的两个根．例如：若实数a，b满足，那么a和b是方程的两个根，请应用上述材料解决以下问题： （1）若实数是关于x的一元二次方程的两个根． ①当时，则___________，___________； ②若均为整数且，求m的值； （2）已知实数p，q满足，求的值． 【答案】（1）①，；②13 （2）39 【解析】 【分析】此题主要考查了材料的理解和应用，一元二次方程的解、一元二次方程的根与系数的关系，判别式的应用，理解和灵活应用韦达定理是解本题的关键． （1）①利用根与系数的关系求解即可； ②根据所给材料可知为完全平方数，结合可求出； （2）根据韦达定理的逆定理写出方程，即可得出结论． 【小问1详解】 解：①∵， ∴当时，，， 故答案为：，； ②∵为整数 ∴上材料可知为完全平方数 即为完全平方数 ∵是整数，且 ∴只有当时满足条件． 【小问2详解】 解：∵， ， 又∵， 和可以看成是方程的两个根， 解方程得，或， ，或，， ①当，，和可以看作是方程的两根， 此时，符合题意， ； ②当，，和可以看作是方程的两根， 此时，方程无解，不符合题意； ． 22. 如图，直线与双曲线的交点为，与轴的交点为． （1）求的度数； （2）求的长； （3）已知点为双曲线上的一点，当时，求点的坐标． 【答案】（1）；（2）4；（3） 【解析】 【分析】（1）分别利用直线的解析式与双曲线的解析式求出A，B的坐标，然后利用求解即可； （2）直接利用勾股定理求解即可； （3）过点作交的延长线于点，则，然后利用相似三角形的性质得出点D的坐标，进而用待定系数法求出直线OD的解析式，然后与双曲线的解析式联立求解即可． 【详解】解：（1）由，得， 点的坐标为 由，得或． ，则点的坐标为 ； （2）； （3）过点作交的延长线于点，如图所示， , , , ， ． ，且点的坐标为 ， 点的坐标为 直线的方程为． 由，得． ，则点的坐标为． 【点睛】本题主要考查双曲线与几何综合，掌握待定系数法以及相似三角形的判定及性质是解题的关键． 六、解答题（本大题共12分） 23. 平移图形是解答几何题目时一种重要的添加辅助线策略． 如图①，在正方形中，E、F、G分别是、、上的点，于点Q．求证：． 小鹿在分析解题思路时想到了两种平移法： 方法一：平移线段使点F与点B重合，构造全等三角形； 方法二：平移线段使点B与F重合，构造全等三角形； 【尝试应用】 （1）请按照小鹿的思路，选择其中一种方法进行证明； （2）如图②，点E、F、G、H分别是矩形边、、、上的点，且，若，，求的值； 【拓展探究】 （3）如图③，点E、F分别是平行四边形边、上的点，连接、交于点G，若，求证：． 【答案】（1）证明见解析； （2） （3）证明见解析． 【解析】 【分析】（1）平移至，使点F与点重合，证明，进而得出结论； （2）将平移至，将平移至，可证得，进而得出结果； （3）平移至，交于，以点为圆心，为半径画弧，交的延长线于，，，从而得出，进一步得出结论． 【小问1详解】 证明：如图1， 平移至，使点F与点重合， ，， ， ， ， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ． 小问2详解】 解：如图2， 将平移至，将平移至， ，， 同理（1）得， ， 同理（1）可得： ，， ， ， ． 【小问3详解】 解：如图3， 平移至，交于，以点为圆心，为半径画弧，交的延长线于， ，，， ， ， ， 四边形是平行四边形， ，， ，， ， 在四边形中， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形性质与判定，相似三角形的性质与判定，平行四边形、矩形的性质与判定，平移的性质，解本题的关键是根据题意做出适当的辅助线． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $