专项练习6：线段的最值（原卷+答案）-2024-2025学年八年级上册数学期末专题训练

专项练习六：线段的最值 · 知识提点： 线段最值问题是指在一定条件下，求线段长度的最大值或最小值，求线段最值问题的基本方法有： 1.特殊位置与极端位置法，往往先考虑特殊位置或极端位置，确定相应位置时的数值，再进行一般情形下的推证； 2.几何定理法，应用几何中的不等量性质，定理，比如“三边关系”或“将军饮马”问题 3.数形结合法：揭示问题中变动元素的代数关系，建立方程或函数来进行处理； 4.轨迹法：探寻动点轨迹而求最值，往往又会涉及到几何定理法和数形结合法的运用. · 考点类型： 类型一：利用垂线段最短来求线段最值 类型二：折线段最值（一定两动）-------利用轴对称化折为直、垂线段最短 类型三：折线段最值（两定一动）-------利用轴对称化折为直、利用两点之间线段最短（将军饮马） 类型四：折线段最值-------角内定点 · 典型练习 1．（2022秋•荔湾区期末）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，BD平分∠ABC，如果点M，N分别为BD，BC上的动点，那么CM+MN的最小值是（　　） A．6 B．8 C．10 D．4.8 2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=6，D是线段AB上一个动点，以BD为边在△ABC外作等边△BDE．若F是DE的中点，当CF取最小值时，△BDE的周长为 ． 3.如图1，在△ABC中，已知BC=5，S△ABC=6，∠C=30°，EF垂直平分BC，点P为直线EF上一动点，则AP+BP的最小值是  ． 4.如图，已知∠AOB＝35°，C为OB上的定点，M，N分别为射线OA、OB上的动点．当CM+MN的值最小时，∠OCM的度数为 ． 5．（2022秋•天河区校级期末）如图，点D是∠FAB内的定点且AD＝2，若点C、E分别是射线AF、AB上异于点A的动点，且△CDE周长的最小值是2时，∠FAB的度数是 6.（2022春•宝安区期末）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，AB=12，AD平分∠BAC交BC于点D，过点D作DE⊥AD交AB于点E，P是DE上的动点，Q是BD上的动点，则BP+PQ的最小值为 7. （2021秋•越秀区期末）如图，AD，BE在AB的同侧，AD=4，BE=9，AB=12，点C为AB的中点，若∠DCE=120°，则DE的最大值是 ． 8.（2021越秀期末）如图7，已知AC平分∠BAD，CE⊥AD于点E，CB=CD．有下列结论： ①∠ABC＋∠ADC=180°；②AB＋AD=2AE；③∠CDB=∠CAB； ④若∠BAD=30°，AC=6，M是射线AD上一点，N是射线AB上一点，则△CMN周长的最小值大于6．其中正确结论的序号是 ． 9.如图，在平面直角坐标系中，点A为x轴负半轴上一点，B为y轴正半轴上一点，若AO=2，AB=2OA． （1）作A点关于y轴的对称点E，并写出E点的坐标； （2）求∠BAO的度数； （3）如图2，P是射线OA上任意一点，以PB为边向上作等边三角形△PBD，DA的延长线交y轴于点Q， ①求AQ的长； ②若OB=2，求BD的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专项练习六：线段的最值 · 知识提点： 线段最值问题是指在一定条件下，求线段长度的最大值或最小值，求线段最值问题的基本方法有： 1.特殊位置与极端位置法，往往先考虑特殊位置或极端位置，确定相应位置时的数值，再进行一般情形下的推证； 2.几何定理法，应用几何中的不等量性质，定理，比如“三边关系”或“将军饮马”问题 3.数形结合法：揭示问题中变动元素的代数关系，建立方程或函数来进行处理； 4.轨迹法：探寻动点轨迹而求最值，往往又会涉及到几何定理法和数形结合法的运用. · 考点类型： 类型一：利用垂线段最短来求线段最值 类型二：折线段最值（一定两动）-------利用轴对称化折为直、垂线段最短 类型三：折线段最值（两定一动）-------利用轴对称化折为直、利用两点之间线段最短（将军饮马） 类型四：折线段最值-------角内定点 · 典型练习 1．（2022秋•荔湾区期末）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，BD平分∠ABC，如果点M，N分别为BD，BC上的动点，那么CM+MN的最小值是（　　） A．6 B．8 C．10 D．4.8 【解答】如图所示： 过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M，过点M作MN⊥BC于点N， ∵BD平分∠ABC，∴ME＝MN，∴CM+MN＝CM+ME＝CE． ∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，CE⊥AB， ∴S△ABC＝AB•CE＝AC•BC， ∴10CE＝6×8，∴CE＝4.8．即CM+MN的最小值是4.8，故选：D． 2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=6，D是线段AB上一个动点，以BD为边在△ABC外作等边△BDE．若F是DE的中点，当CF取最小值时，△BDE的周长为  ． 【解答】如图，连接BF，过点C作CH⊥BF．交BF的延长线于H， ∵△BDE是等边三角形，点F是DE的中点，∴∠ABF=30°， ∴点F在射线BF上运动， 当点F与点H重合时，CF最小， ∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，∴∠A=60°，AB=2AC=12， ∵∠ABF=30°，∴∠BD′H=∠AD′C=60°，∴△ACD′是等边三角形， ∴AD′=AC=6，∴BD′=AB－AD′=12－6=6，∴△BDE的周长为：18， 故答案为：18． 3.如图1，在△ABC中，已知BC=5，S△ABC=6，∠C=30°，EF垂直平分BC，点P为直线EF上一动点，则AP+BP的最小值是  ． 【解答】如图，连接PC，过点A作AH⊥BC于H． ∵EF垂直平分BC，∴B、C关于EF对称，∴PB=PC， ∵PA+PB=PA+PC≥AC，∴PA+PB的最小值为线段AC的长， ∵△ABC的面积=•BC•AH=6，∴AH=，∵∠ACB=30°， ∴AC=2AH=，∴PA+PB的最小值为故答案为： 4.如图，已知∠AOB＝35°，C为OB上的定点，M，N分别为射线OA、OB上的动点．当CM+MN的值最小时，∠OCM的度数为 ． 【解答】如图：作点C关于OA的对称点E，过点E作EN⊥OC于点N，交OA于点M， ∴ME=MC，∴CM+MN=EM+MN=EN，根据垂线段最短，EN最短， ∵∠AOB=35°，∠ENO=CFM=90°，∴∠OMN=55°，∠OCF=55°， ∴∠EMF=∠OMN=55°，∴∠E=∠MCE=35°，∴∠OCM=∠OCF-∠MCE=20°． 故答案为20°． 5．（2022秋•天河区校级期末）如图，点D是∠FAB内的定点且AD＝2，若点C、E分别是射线AF、AB上异于点A的动点，且△CDE周长的最小值是2时，∠FAB的度数是 【解答】如图，作D点分别关于AF、AB的对称点G、H，连接GH分别交AF、AB于C′、E′，连接DC′，DE′， 此时△CDE周长最小为DC′+DE′+C′E′＝GH＝2， 根据轴对称的性质，得AG＝AD＝AH＝2，∠DAF＝∠GAF，∠DAB＝∠HAB， ∴AG＝AH＝GH＝2， ∴△AGH是等边三角形， ∴∠GAH＝60°， ∴∠FAB＝GAH＝30°，故填：30° 6.（2022春•宝安区期末）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，AB=12，AD平分∠BAC交BC于点D，过点D作DE⊥AD交AB于点E，P是DE上的动点，Q是BD上的动点，则BP+PQ的最小值为 【解答】如图，过点D作DH⊥AB于H，并延长DH， ∴∠AHD=90°=∠C，∵AD是∠BAC的平分线，∴∠DAH=∠DAC， ∵AD=AD，∴△ADH≌△ADC（AAS），∴∠ADH=∠ADC，AH=AC=4， ∴BH=AB-AC=12-4=8，∵DE⊥AD，∴∠ADE=90°， ∴∠ADC+∠BDE=90°=∠ADH+∠EDH，∴∠BDE=∠HDE， 在DH上取一点Q′，时DQ′=DQ，连接PQ′，BQ′，∵DP=DP， ∴△QDP≌△Q′DP（SAS），∴PQ=PQ′， ∴BP+PQ=BP+PQ′≥BQ′（假设点Q是定点，点B，P，Q′共线时，取最小BQ′）， ∵点Q是动点， ∴当BQ′⊥DH时，即点Q′与点H重合，BP+PQ的最小值为BH=8， 故答案为：8． 7. （2021秋•越秀区期末）如图，AD，BE在AB的同侧，AD=4，BE=9，AB=12，点C为AB的中点，若∠DCE=120°，则DE的最大值是 ． 【解答】如图，作点A关于直线CD的对称点M，作点B关于直线CE的对称点N，连接DM，CM，CN，MN，NE． ∵AD=4，BE=9，AB=12，点C为AB的中点， ∴AC=CB=6，DM=AD=4，CM=CN=6，EN=BE=9， ∴∠ACD=∠ADC，∠BCE=∠BEC， ∵∠DCE=120°， ∴∠ACD+∠BCE=60°， ∵∠DCA=∠DCM，∠BCE=∠ECN， ∴∠ACM+∠BCN=120°， ∴∠MCN=60°， ∵CM=CN=6， ∴△CMN是等边三角形， ∴MN=6， ∵DE≤DM+MN+EN， ∴DE≤4+6+9=19， ∴当D，M，N，E共线时，DE的值最大，最大值为19， 故答案为：19． 8.（2021越秀期末）如图7，已知AC平分∠BAD，CE⊥AD于点E，CB=CD．有下列结论： ①∠ABC＋∠ADC=180°；②AB＋AD=2AE；③∠CDB=∠CAB； ④若∠BAD=30°，AC=6，M是射线AD上一点，N是射线AB上一点，则△CMN周长的最小值大于6．其中正确结论的序号是 ． 【解答】过点C作CF⊥AB交于点F，∵AC平分∠BAD，CE⊥AD， ∴CF=CE，∵CB=CD， ∴Rt△CDE≌Rt△DBF（HL），∴DE=BF，∠CBF=∠CDE， ∵∠ABC+∠CBF=180°，∴∠ABC+∠ADC=180°；故①正确； ∵CD=CF，∠AEC=∠AFC=90°，∴Rt△AEC≌Rt△AFC（HL），∴AE=AF， ∴AB+AD=AB+AE+ED=AB+AF+BF =AB+AB+BF+BF=2AB+2BF=2AF=2AE； 故②正确； ∵CD=BC，∴∠BDC=∠CBD，∵∠DBF=∠ADB+2∠CAB， ∠CBF=∠CDE=∠BDC+∠ADB， ∴∠ADB+2∠CAB=∠DBC+∠DBC+∠ADB， ∴∠CAB=∠DBC；故③正确； 作C点关于AD的对称点G，作C点关于AB的对称点H，连接GH交AD于点M，交AB于点N，连接CM、CN、AG、AH， ∵CM=GM，CN=HN，∴CM+CN+MN=GM+CH+MN≥GH， ∴当G、M、N、H四点共线时，△CMN周长最小， ∵∠BAD=30°，∴∠GAH=60°，∵AG=AC=AH， ∴△AGH是等边三角形，∴GH=AC， ∵AC=6，∴GH=6，∴△CMN周长的最小值为6；故④不正确； 故答案为：①②③． 9.如图，在平面直角坐标系中，点A为x轴负半轴上一点，B为y轴正半轴上一点，若AO=2，AB=2OA． （1）作A点关于y轴的对称点E，并写出E点的坐标； （2）求∠BAO的度数； （3）如图2，P是射线OA上任意一点，以PB为边向上作等边三角形△PBD，DA的延长线交y轴于点Q， ①求AQ的长； ②若OB=2，求BD的最小值． 【解答】（1）如图1中， ∵A，E关于y轴对称，∴OA=OE=2，∴E（2，0）． （2）如图1中，∵OA=OE，BO⊥AE，∴BA=BE， ∵AB=2OA=AE，∴AB=BE=AE，∴△ABE是等边三角形，∴∠BAO=60°． （3）①作点A关于y轴的对称点E，连接BE，设AD交PB于J． ∵△PBD，△ABE都是等边三角形，∴BA=BE，BP=BD，∠PBD=∠ABE=60°， ∴∠ABD=∠EBP， 在△ABD和△EBP中，∴△ABD≌△EBP（SAS）， ∴∠EPB=∠ADB， ∵∠AJP=∠DJB，∴∠PAJ=∠DBJ=60°，∴∠OAQ=∠PAJ=60°， ∵∠AOQ=90°，∴∠AQO=30°，∴AQ=2AO=4． ②∵∠AOB=90°，∠BAO=60°，∴∠ABO=30°，∴AB=2OA=4， ∵AQ=4，∴AB=AQ， ∵AO⊥BQ，∴OQ=OB=2，∵∠AQO=30°，∴点D的运动轨迹是直线QD， 根据垂线段最短可知，当BD⊥DQ时，BD的值最小，最小值=BQ=2． 学科网（北京）股份有限公司 $$